Численная стабилизация неустойчивых решений уравнений Навье-Стокса с границы области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Иванчиков Андрей Александрович

ЧИСЛЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА С ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

003451311

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Е.В. Чижонков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Фурсиков

кандидат физико-математических наук, с.н.с. С.А. Горейнов

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета

Защита состоится « Ц » ноября 2008 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан « 12 » октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических, наук

Г.А. Бочаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уже долгое время задачи управления решениями эволюционных уравнений в частных производных являются объектом исследования математиков. В их числе рассматриваются уравнения, допускающие неустойчивые решения. В теории неустойчивых задач информации о существовании и единственности решения недостаточно для их успешного численного решения. Поэтому задачей исследователей является, с одной стороны, указание алгоритма решения, с другой стороны — анализ процесса возникновения возмущений и разработка методов их подавления.

Пусть известно стационарное решение w(a:) эволюционного уравнения, которое, возможно, является неустойчивым. Сформулируем задачу стабилизации этого решения. Для начального условия из достаточно малой окрестности w(x) требуется найти краевые условия, выполняющие роль управления, такие, что решение v(t, •) начально-краевой задачи устремится к стационарному решению w(x) с заданной скоростью: ||v(i, •) — w|| < С ■ e~at при t > О, определяемой показателем а > 0. Объектом исследования в диссертации будет задача стабилизации неустойчивого решения системы уравнений Навье -Стокса, описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости.

Среди теоретических исследований, посвященных стабилизации уравнений математической физики, наиболее привлекательной является дифференциальная теория A.B. Фурсикова, которая, в частности, позволяет строить стабилизирующие граничные условия. Мы будем пользоваться лишь той ее частью, которая касается уравнений Навье - Стокса. Следующие положения, базирующиеся на более общих результатах из теории банаховых пространств, являются в этой теории центральными:

1. Существует устойчивое инвариантное многообразие М_ такое, что эволюционное решение, принадлежащее М_ в начальный момент времени и стартовавшее из окрестности стационарного решения w, экспоненциально стремится к последнему. Само многообразие имеет представление в виде суммы линейной и нелинейной частей.

2. Существует оператор продолжения, отображающий малую окрестность стационарного решения w в многообразие М_.

Естественным является вопрос о принципиальной возможности стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса при реальном компьютерном моделировании. Несмотря на все положительные предпосылки дифференциальной теории, ответ на этот вопрос оставался открытым. На момент начала исследований никакой конструктивной информации об устройстве инвариантного многообразия А/_ известно не было, кроме, конечно, способа построения касательного пространства L_. Это, в свою очередь, порождало разрыв между построенной дифференциальной теорией и практикой численного моделирования. Все теоретические оценки для реального процесса говорят о том, что сходимость к неустойчивому решению при численной

стабилизации обссисчсна, правда со скоростью несколько меньшей. Но это остается справедливым лишь в том случае, если в любой нужный момент времени мы умеем точно проектировать решение на устойчивое многообразие М_. Такая возможность в реальной ситуации отсутствует, поэтому, в первую очередь, кажется естественным использование свойств линейного приближения многообразия — множества

При проведении численной стабилизации неустойчивых решений самым наглядным фактором роста ошибок является непосредственное интегрирование эволюционных уравнений, поскольку М_ является отталкивающим множеством. Кроме того в этих задачах присутствует еще предельная точность решения вспомогательных задач, которая на несколько порядков хуже машинной. Одной из таких вспомогательных задач является спектральная задача. Другая такая задача — это решение системы линейных алгебраических уравнений с некоторой плохо обусловленной матрицей проектирования. Поэтому уже при проведении операции проектирования накопленные ошибки могут далеко отодвинуть решение от целевого линейного многообразия

Из всего вышесказанного следует, что задача численной стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с помощью граничных условий является важной и трудной задачей современной вычислительной математики.

Цель работы. Основная задача диссертации заключается в создании вычислительной технологии для стабилизации с границы области неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с наперед заданной скоростью. Под вычислительной технологией здесь понимается совокупность численных методов, структур данных и программных реализаций для решения последовательности разнородных вычислительных задач на вычислительных системах. С целью разделения сложной проблемы на этапы переход к основной задаче осуществляется последовательно — от линейной к нелинейной, от устойчивой к неустойчивой, от симметричной к несимметричной. Конечной целью является стабилизация неустойчивого течения Куэтта, которое в отсутствие управления стремится к вихрям Тейлора. Выбор этих течений обусловлен тем, что такая картина неустойчивости наблюдается в природе и хорошо описывается математической моделью — теорией уравнений Навье -Стокса.

Для решения основной проблемы требуется решить несколько вспомогательных. Первая состоит в вычислении собственных функций с максимально высокой точностью и построении базиса в в корневых подпространствах. Второй задачей является установление возникновения неустойчивости течения Куэтта в дискретном случае. Ее решение является основой для постановки целевой задачи — стабилизации неустойчивого течения Куэтта.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработана вычислительная технология стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с помощью граничных условий. Алгоритм сформулирован и успешно применен в самом общем случае — для стабилизации неустойчивых нетривиальных стационарных течений, приводящих к несимметричным спектральным задачам. Стабилизация уравнений динамики жидкости проведена впервые и аналогов не имеет.

2. Реализованы и успешно применены алгоритмы численного решения частичных спектральных задач для линеаризованных уравнений Навье - Стокса. Получены аналитические решения спектральных задач.

3. Описана динамика стабилизируемых течений с объяснением всех, возникающих в процессе стабилизации, численных эффектов.

Достоверность, теоретическая и практическая ценность работы.

Работа носит теоретический характер. Достоверность проведенного исследования основана на строгой математической теории стабилизации в дифференциальном случае и тщательном анализе и сравнении результатов численных экспериментов. Теоретическая ценность состоит в построении отправной точки для дальнейших исследований по разработке новых, более совершенных численных алгоритмов стабилизации уравнений математической физики. Практическая ценность работы заключается в обширном наборе формул, алгоритмов и графических представлений расчетов. Ее методы и результаты могут быть использованы учеными и инженерами различных научно-технических институтов при решении прикладных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором: на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2002), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004), на ежегодных научных конференциях "Ломоносовские чтения" (Москва, 2004, 2005), на 6-ом Всероссийском семинаре "Сеточные методы и приложения" (Казань, 2005), на международной научной конференции "Математическая гидродинамика" (Москва, 2006), на научно-исследовательском семинаре "Вычислительная математика, математическая физика, управление" под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. В.И. Лебедева, проф. A.B. Фурсикова (ИВМ РАН, Москва, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ: 3 — в материалах конференций, 5 — в рецензируемых журналах (из них [4], [7], [8] — в журналах, рекомендованных ВАК для защиты кандидатских диссертаций).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии из 48 наименований. Она изложена па 100 страницах, содержит 96 рисунков и 25 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается краткое изложение дифференциальной теории A.B. Фурсикова по стабилизации уравнений Навье - Стокса. Формулируется задача о неустойчивом течении Куэтта и связанная с ним задача стабилизации.

Глава 1 посвящена численному и аналитическому решению проблемы собственных значений для уравнений Стокса.

Численные расчеты проводятся на примере решения двух спектральных задач: 1) в единичном квадрате с нулевыми краевыми условиями; 2) в прямоугольнике с периодическими условиями по одному направлению. Во втором случае приводится аналитическое решение дифференциальной задачи.

В §1.1 дается строгое определение оператора, по отношению к которому формулируется спектральная задача. Для задачи Стокса

в ограниченной двумерной области Г2 определим оператор Л[ : и ^ ^ В качестве его области определения 0(А1) возьмем совокупность всех решений задачи (1) для всевозможных правых частей Г £ Известно, что спектр

оператора дискретный, конечной кратности и стремится к +оо. Система собственных функций ортогональна и полна в

В §1.2 приводится постановка спектральных задач и их дискретизация. Остановимся на случае периодических краевых условий, поскольку именно эти результаты будут востребованы в алгоритме стабилизации. Периодическая спектральная задача в О = [—Т/2, Т/2] х [—а, а] имеет вид

и дополняется условиями и(х1,хг) = и(ж1 +Т,х2), р(х 1,3:2) = р(х1 +Т,х2), где а и Т — параметры определяющие размеры области, Т = 2ж — период. Под границей дП теперь понимается лишь та ее часть, на которой заданы краевые условия. Для дискретизации введем в П равномерную прямоугольную сетку. Пусть каждая из дискретных компонент вектора скорости и определена в узлах сетки, а дискретное давление — в центрах ячеек. Теперь сеточные аналоги дифференциальных операторов V/,, сИу /,, Д/, определяются стандартным симметричным образом.

В §1.3 дается описание алгоритмов, используемых для численного решения сеточного аналога задачи (2). Основным является метод Ланцоша, который предназначен для решения частичной проблемы собственных чисел и векторов для симметричных матриц. Применительно к нашим целям в качестве оператора А возьмем определенный выше А— он сопоставляет правой части £ решение краевой задачи для дискретных уравнений (1).

-Ди + Vp = f, div и = 0, и|эп = О

(1)

—Ди + Vp = Ли, div и = 0, и|ап = О

(2)

Найдем несколько максимальных собственных чисел оператора А~[1. Тогда обратные к ним величины будут искомыми минимальными собственными числами. Качество полученных приближений измеряется с помощью невязок г, = ЦЛ^у» - К^И

В §1.4 дастся аналитическое решение дифференциальной периодической спектральной задачи.

Теорема 1. Обозначим ц = \/Л — т.2. Решение задачи (2) распадается на четыре случая:

1. т ■ tg ац = (г • Л ат, т = 1,2,...,

2. ¡1 ■ tg ац = т ■ Ш ат, т = 1,2..........,„,

3. А = (жк + 7г/2)2/а2, А; = 0,1,... ^

4. Л = (тгк)2/а2, к = 1,2,...,

Первые два уравнения задают для каждого целого т > 0 бесконечную серию собственных чисел А. Последние два дают еще пару бесконечных серий собственных чисел.

Теорема 1 также дает явный вид собственных функций.

В §1.5 проводится численное решение спектральной задачи (2) при различных значениях сеточных параметров и анализ вычислений. Параметр а полагался равным 7г/2. В алгоритме Ланцоша размерность крыловского пространства бралась равной 50. При этом число искомых собственных чисел с учетом кратности составляло 10. Из расчетов можно сделать вывод, что приближения сходятся со вторым порядком к точным значениям, полученным по формулам (3).

В Главе 2 строится алгоритм стабилизации устойчивых и неустойчивых решений уравнений Стокса и Навье - Стокса в дискретном случае. Проводится полный вычислительный цикл стабилизации и анализ наблюдаемых явлений.

В §2.1 приводится точная постановка задачи. В ограниченной области С Я? рассмотрим следующую систему уравнений

и( - Ди + Ур + Ие ик\хХк = 7и, сЦу и = 0, и|(=0 = и0 (4)

От системы Навье - Стокса ее отличает член 711 с параметром 7 > 0. Варьируя значение 7, мы можем превратить тривиальное решение системы из устойчивого в неустойчивое, поскольку собственные значения линеаризованной стационарной задачи смещаются па величину 7 и некоторые из них становится отрицательными. Стабилизации здесь подвергается тривиальное решение, а задачей является построение таких граничных условий и|эп, которые обеспечивают стремление нормы возмущения ио решения к нулю с оценкой

||и(х,0||Ь2(п)<Се-а(|КЦ. (5)

Система уравнений (4), дополненная некоторым условием на границе, будет решаться в двух областях: в рассмотренной ранее Г2 и ее симметричном расширении б = и и и>2 (рис.. 1). Ввиду периодичности функций и и р но первой координате, под границами областей и в понимаются лишь те их части, где отсутствуют условия периодичности.

В §2.2 формулируется алгоритм стабилизации решения линейной задачи (система (1) при Ие = 0) с заданной скоростью а в дифференциальной форме. Дается его обоснование. Алгоритм состоит из 3-х шагов.

1. Продолжение - проектирование заданного начального условия из исходной области в расширенную область на линейное приближение устойчивого инвариантного многообразия М_.

2. Стабилизация в расширенной области б, т.е. интегрирование нестационарной системы уравнений вбе нулевыми краевыми условиями, где в качестве начального условия взята проекция, полученная на предыдущем шаге.

3. Стабилизация в исходной области П, т.е. интегрирование системы уравнений с полученными граничными условиями — следом на 5Г2, определенного в С1, решения.

В формулировку алгоритма входит циклическое повторение операции продолжения - проектирования (п.1) через равные промежутки времени при интегрировании в С. В таком виде он применяется в реальных расчетах. Формальное описание алгоритма в общем виде дается в §4.2.

В §2.3 проводится дискретизация задачи по пространству и времени. Основная часть этой работы уже была проделана в §1.2 в области И. В области в сеточные области (?„ и С7р строятся аналогично. При этом выполняется свойство вложения Пи С Си, Г2р С (?р. Разностные аналоги нелинейных членов N(11, и) = щщк строятся симметричным образом. Для дискретизации эволюционной задачи (4) с краевыми условиями и|эс = 0 используется проекционная схема Чорина - Темама. В численных экспериментах уравнения, составляющие разностную схему, на каждом шаге решались методом минимальных невязок (GMR.ES) и методом сопряженных градиентов.

В §2.4 описываются некоторые детали решения вспомогательной спектральной задачи в расширенной области б. Приводятся необходимые для анализа процесса стабилизации собственные числа соответствующих спектральных задач в б и в

В §2.5 приводятся результаты численных экспериментов по стабилизации и их подробный анализ. Введем дискретный аналог показателя а из (5) по формуле а(Ьк) = (1п — 1п /т. В основе анализа лежит поведе-

ние функции а(Ь) в процессе стабилизации. Изучаются четыре типа задач:

Х2 дв

дП

п х1

дП

и>2 дв

Рис. 1. Область (?

1. Устойчивая задача Стокса (Яе = 0, 7 = 0);

2. Неустойчивая задача Стокса (Яе = 0, 7 = 2);

3. Устойчивая задача Навье - Стокса (Яе = 1, 7 = 0);

4. Неустойчивая задача Навье - Стокса (Яе =1, 7 = 2).

Остановимся на результатах расчета последней задачи, которая представляет собой наиболее общий и сложный случай. При 7 = 2 три младших собственных значения становятся отрицательными, при этом тривиальное решение из устойчивого превращается в неустойчивое. Чтобы противостоять неустойчивости, необходимо выбрать К > 3. Для достижения достаточно высокой скорости стабилизации зададимся К = 7. Это приводит к ожидаемому показателю стабилизации а = \к+\(С) — 7 га 2.38. На рис. 2 изображены результаты стабилизации в области й, на рис. 3 — в области П.

В Г2 зададим сеточную область 32 х 32, в б — 32 х 64, шаг по времени т = 0.01, частоту реортогонализации — каждые 10 шагов.

м.31^ 2.38' - (V Т

1............ -0.97- ............. N \ ..............................................;.........1

им

°° " ".......... ..................'»

Рис. 2 а(£) в в Рис. 3 а{Ь) в О

График в (3 имеет осцилляции в начале. Если увеличить К или Яе то осцилляции резко возрастут по своей амплитуде и длине временного интервала. Это эффект нелинейности задачи: проектирование ведется лишь на касательное пространство к многообразию М_. Затем график приобретает идеальный характер, демонстрируя выход показателя стабилизации на предсказанную асимптотику а ~ 2.38, что полностью соответствует дифференциальной теории экспоненциального затухания возмущения. Затухание осцилляций с течением времени связано с тем, что решение переходит в окрестность нуля, где М_ и Ь- достаточно близки.

График в П имеет две характерных особенности. Первая — это несколько больших немонотонных скачков на первых шагах интегрирования. Она является следствием полученных граничных условий. Вторая особенность — это неконтролируемое падение а к значению Ах(Г2) — 7 » —1. Объяснение состоит в том, что реортогонализация проводится в области б, где этого эффекта нет. В области же Г! имеются свои неустойчивые собственные функции, коэффициенты при которых монотонно растут, а у нас отсутствует инструмент их подавления. Существенным является то, что описываемое изменение а(£)

происходит, когда падение нормы возмущения достигает 3-1011 на промежутке интегрирования, т.е., по сути, когда цель стабилизации достигнута.

Итоговыми являются эксперименты по стабилизации с большими значениями Г1е. Они показывает, что из-за осцилляций в б стабилизация невозможна уже при Ие = 8. Это ограничение является следствие используемого линейного приближения М_ в численном алгоритме стабилизации.

Глава 3 посвящена численному и аналитическому решению спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта. Она формулируется для оператора, получающегося линеаризацией уравнений Навье - Стокса в окрестности течения Куэтта. Рассматриваются численные методы решения спектральной задачи, в основе которых лежит метод Арнольди; иллюстрируется сходимость спектра дискретной задачи к спектру дифференциальной при измельчении сетки, поведение спектра при изменении числа Рейнольд-са; возникновение неустойчивости при решении нестационарных уравнений Навье - Стокса с увеличением числа Рейнольдса и ее связь со спектром.

В §3.1 дается постановка краевой и спектральной задач для уравнений Навье - Стокса. Исходная система, для которой при подходящих числе Рейнольдса Ие и периоде Т решение не единственно, имеет вид:

-Ауг + ^ + Ие 2 + «Ч + «ч) + Рг = О, -Ауф + ^ + Ие (^уфуг + угуф + Л?) = 0, ^

-Ау2 + Яе ^г>гг>г2 + «ч) + рг = О, (™г)г + (гу% = 0, ^|г=го = 1, у\=п = 0, = = о, д2 1 д д2

где Д = -¿—г + + —-, а вектор скорости V = {иг(г, А уф(г, А у'(г, г)} ог* гаг

и давление р(г,г) определены в плоской области С = [0,Т] х [го,гх]. Здесь и далее все функции периодичны: у(г, г) — лг(г, г+ Т), р(г, г) = р{г, г+ Т).

Оператор в (6) представим как сумму линейного Ь и нелинейного К, перейдем к уравнениям для возмущения и = v — ту, где то1 — какое-либо стационарное решение, отбросим нелинейные члены по и; тогда в компактном виде задачу можно записать так:

Ь(и) + Ие [N(4, + N(1^, и)] + в(р) = 0, сИу и = 0, и|ап = 0. (7)

Полученные уравнения представляют собой линеаризацию нелинейной задачи (6) в окрестности своего решения Таким решением является течение Куэтта. При достаточно больших 11е задача (6) имеет решение, отличное от течения Куэтта — вихри Тейлора. Спектральная задача, связанная с устойчивостью течения Куэтта, имеет вид:

Ь(и) + Яе [N(11, ъ) + Щчг, и)] + в(р) = Ли, йу и = 0, и|0П = 0. (8)

В §3.2 проводится дискретизация задачи. Для дискретизации введем в П равномерную прямоугольную сетку. Пусть каждая из дискретных компонент вектора скорости и определена в узлах сетки, а дискретное давление — в центрах ячеек. Теперь сеточные аналоги дифференциальных операторов Уь, Д^, Мл определяются стандартным симметричным образом.

В §3.3 дается описание алгоритмов, используемых для численного решения сеточного аналога задачи (8). Основным является метод Арнольди, который предназначен для решения частичной проблемы собственных чисел и векторов для несимметричных матриц. Применительно к нашим задачам в качестве оператора А возьмем оператор А^1, сопоставляющий правой части Г задачи (7) ее решение и. Найдем несколько максимальных собственных чисел оператора Л^"1. Тогда обратные к ним величины будут искомыми минимальными собственными числами. Качество полученных приближений измеряется с помощью невязок р3 = ^Ь^у, — А~1ув||.

В §3.4 дается аналитическое решение спектральной задачи.

Теорема 2. Обозначим ц = \/А — т2. В некоторых случаях задача (8) имеет аналитическое решение:

1. Ие ^ 0, иг = 0, иф = 0: Му/\г0)/Му^п) = Уо{-Лг0)/У0(^г0),

2. Ие = 0, иг = 0, иг = 0 : МЫ/М^п) = У1(//г0)М(^о),

3. Ие ф 0, и*? 0, 4 = 0 : Л(^г0)/Л(7Лг1) = У^^/У^го),

4. Ие = 0, иф = 0 : ца1 - гта2 - О,

(9)

Здесь ^(г), Ут(г) — функции Бесселя и 1т(г), Кт(г) — модифицированные функции Бесселя. Второе уравнение, как и четвертое задает для каждого целого т > 0 бесконечную серию собственных чисел А. Первая и третья формулы дают еще пару бесконечных серий собственных чисел (достаточно громоздкие выражения для а, (3 мы здесь не приводим).

Теорема 2 также дает явный вид собственных функций.

В §3.5 дается численное решение спектральной задачи (8) и его анализ. Положим го = 7г/2, г 1 = 37г/2. Т = 2тт. Зафиксируем сетку 32 х 32 в П„.

С ростом Ие задача становится все более несимметричной и результаты расчетов показывают, что в спектре появляются комплексные собственные значения. Появление значений с отрицательной действительной частью и увеличение их количества с ростом числа Рейнольдса также является ожидаемым результатом и соответствует росту неустойчивости течения Куэтта.

В §3.6 анализируется численное решение эволюционных уравнений На-вье - Стокса при разных числах Рейнольдса (для их решения использовалась схема Чорина - Темама, описанная в §4.3). В качестве начального условия берется возмущенное течение Куэтта, временной интервал [0,100], шаг по времени 0.01, сеточная область П„ — та же, что и в спектральной задаче.

Расчеты показывают, что полученные результаты вполне соответствуют ожидаемым — с ростом Re неустойчивость течения Куэтта появляется примерно с появлением собственных чисел с отрицательной вещественной частью, а при дальнейшем росте Re неустойчивость увеличивается.

Приведем функцию тока решения при Re = 32, t = 100.0. Изображенное на рис. 4 течение имеет вид классических вихрей Тейлора. Решение, которое в начальный момент времени представляло собой слабо возмущенное течение Куэтта, с течением времени эволюционировало в вихри Тейлора.

Рис. 4 Вихри Тейлора

В Главе 4 строится алгоритм стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса в самом общем несимметричном случае с применением обратной связи. Проводится полный вычислительный цикл по стабилизации неустойчивого течения Куэтта и анализ наблюдаемых явлений.

В §4.1 дается постановка задачи стабилизации. Эволюционные уравнения, соответствующие стационарной задаче (6) после переноса решения в окрестность течения Куэтта w в обозначениях §3.1 примут вид:

ut + L(u) + Re [N(u, u) + N(u, w) + N(w, u)] + G(p) = 0, (1Q) div u = 0, u|i=0 = u0.

В этих уравнениях при больших Re неустойчивым является нулевое решение, а устойчивым — вихри Тейлора за вычетом течения Куэтта. Поэтому стабилизации здесь подвергается нулевое решение, а задачей является построение таких граничных условий u|r_ri на части границы области П, которые обеспечивают стремление возмущения и к нулю с оценкой (5). Причем начальное возмущение Uo бездивергентно и тождественно равно нулю на dfl.

В §4.2 формулируется алгоритм стабилизации в дифференциальной форме. Дается его обоснование.

Нам потребуется ввести расширенную область G = П U ш (рис. 5), а также несколько видоизмененное скалярное произведение в L2 что вызвано переходом к цилиндрическим координатам:

(и-у)ь2(П) = ^ I («,y)rdrdz.

В расширенной области G помимо спектральной задачи вида (8) нам понадобится решать спектральную задачу формально сопряженную к ней в скалярном произведении (, )l2(g>-

Г2

П

ГО

дш

ш

дП дш

ш

Алгоритм стабилизации состоит из шести шагов, некоторые из которых выполняются однократно (п.1 - п.З), некоторые — циклически (п.4 - п.5), затем непосредственно выполняется стабилизация (и.6) с построенными краевыми условиями. Перейдем к его изложению. Задавшись числом а > 0, определяющим скорость стабилизации, найдем К из неравенства Я.е(Ак(С?)) < а < Ле(Лх+1(0)), предварительно вычислив достаточно большую часть спектра.

Рис. 5. Область С?

1а. Определение М собственных и присоединенных функций ф^, 1 = 1,...К, 3 = 1.....А;), М = Е^х МАО в С:

Цф^) + Ле V) + ЩЪ, + = + Кф^-ь

¿IV ф^ = 0, ф^\9в = 0.

где V/ — течение Куэтта в П, продолженное нулем в ш.

1Ь. Определение М сопряженных собственных и присоединенных функций ф'^ в (3:

Ь+ Ле [Щф>^, *) + №(*, + С(р'у) = А¡^у + и <Иуф>^ = 0, Ф^\дс = 0.

2. Доопределение ид с Г2 на в, т.е. нахождение функции й в области ш:

Ци) + в(р) = О, сНуА = 0, й|г=п = ио|г=п , и|г=г2 = 0.

3. Определение вспомогательных М функций \Уу в области ш как решений задач Стокса с ограничениями функций фу на ш в качестве правых частей:

+ Пе [Г^у, + w!■J■)] + = ф^,

ШУ = 0, \Уу|Эи = 0.

4. Построение функции йо — продолжения ио в область С:

Г и0

ио = { -

Iи"

ио в Г2,

ЛЙГ

-7=1 "-¡¿"М

' + ви.

(11)

Коэффициенты су определяются из условия ортогональности к функциям сопряженной задачи: (йо, — 0) которое сводится к системе линей-

ных алгебраических уравнений А с = —Ь с симметричной и положительно определенной матрицей А.

5. Интегрирование (стабилизация) уравнений с построенным начальным условием üo в области G:

ü, + L(ü) + Re [N(G, u) + N(ü, w) + N(w, ü)] + G(p) = 0, div ü = 0, ü|9G = 0, ü|(=0 = ü0.

Интегрирование происходит с возвратом к п.4 через равные промежутки времени, где процедура проектирования применяется к текущему решению ü(i).

6. Интегрирование (стабилизация) уравнений с построенным граничным условием u|a(J (следом полученного в G решения й на г = г{) в области П:

u( + L(u) + Re [N(u, u) + N(u, w) + N(w, u)] + G(p) = 0, div u = 0, u|r=ro = 0, u|r=r> = ü|r=ri, u|(=0 = uo.

В §4.3 проводится дискретизация задачи по пространству и времени. Фактически она уже построена в §3.2 в области Q. В G сеточные области строятся так, чтобы выполнялось свойство вложения Qu С Gu, ilp С Gp. Для дискретизации эволюционной задачи (10) применяется проекционная схема типа Чорина - Темама. В численных экспериментах составляющие ее уравнения решались методом минимальных невязок (GMRES).

В §4.4 описываются некоторые аспекты решения прямой и сопряженной спектральных задач в расширенной области G. Приводятся необходимые для анализа собственные числа — прямой спектральной задачи в fi; прямой и сопряженной спектральных задач в расширенной области G. Далее для экспериментов фиксируются области, сетки и число Рейнольдса:

ft = [0,2тг] х [тг/2, Зтг/2], Qu = 32 х 32, G = [0,2тг] х [тг/2,5тг/2], Gu = 32 х 64, Re = 32.

В §4.5 приводятся результаты численных экспериментов по стабилизации течения Куэтта. В основе анализа, как и прежде, лежит поведение функции a(t), которая моделирует поведение показателя скорости сходимости в формуле (5) в процессе стабилизации. Для всех экспериментов зафиксируем ряд параметров: норму начального возмущения Uo = Ю-2, интервал интегрирования [0,10], шаг по времени г = 0.01, частоту проектирования 5„t = 0.1. В качестве размерности проектирующего собственного подпространства М брались величины М = 5, М = 10, М = 16. Рассмотри случай М = 10.

В расширенной области (рис. 6) мы наблюдаем сходимость a(t) к 1.83 и то есть стабилизация происходит с наперед заданной скоростью. Отсутствие точного совпадения с собственными значениями объясняется нелинейностью решаемой задачи. Наличие же незатухающих со временем всплесков (которые происходят в момент операции проектирования) можно объяснить отсутствием сопряженности спектральных задач в дискретном случае и, как следствие этого — неточное выполнение операции проектирования. На всем промежутке интегрирования норма решения падает в 7.11 • 10® раз.

Рис. 6. a(t) в G при M = 10 Рис. 7. a{t) в П при M = 10

В исходной области (рис. 7) мы интегрируем уравнения Навье - Стокса с построенными стабилизирующими краевыми условиями на внешней стенке цилиндра. Сначала происходит всплеск a(t) в область отрицательных значений (который на графике не показан), затем идет полезный промежуток, на котором a(t) положительна и норма решения падает, после чего ее поведение ничем не отличается от случая, когда уравнения интегрируются без стабилизации — a(t) падает к —1.17 « Ai(fi). Как видно, подавлять возмущение в течении достаточно длительного времени за счет одних лишь краевых условий не удается. Тем не менее, его норма успевает значительно уменьшиться.

Задавшись целью провести стабилизацию в О. за счет краевых условий, несколько модифицируем алгоритм стабилизации. Проинтегрировав уравнения в Q до момента времени, когда норма решения упала достаточно сильно, возьмем полученное решение u(i) на верхнем временном слое в качестве начального возмущения и0 и повторим весь алгоритм стабилизации с начала. Такая система удовлетворяет определению системы с обратной связью, а сам подход позволяет достичь желаемого результата — на всем промежутке интегрирования норма решения падает в 1.96 • 102 раз. В этом случае речь уже не идет о стабилизации с наперед заданной скоростью, а о максимально возможной скорости при используемом подходе. Тем не менее, падение нормы значительно увеличивается с ростом M, а па достаточно большом временном промежутке можно подавить норму возмущения до машинного нуля.

В Заключении обсуждаются полученные результаты. Приводятся пути их возможного улучшения.

Основные результаты.

1. Разработан алгоритм стабилизации (вычислительная технология), работающий в условиях реального компьютерного моделирования. С его помощью проведена стабилизация неустойчивых решений разностных уравнений Навье - Стокса в двумерной прямоугольной области в двух случаях:

а) в декартовых координатах с тривиальным неустойчивым решением, которое стремится к бесконечности в отсутствии стабилизации;

b) в цилиндрических координатах с неустойчивым течением Куэтта, которое перестраивается в вихри Тейлора в отсутствии стабилизации.

2. Реализованы алгоритмы численного решения частичных спектральных задач для линеаризованных уравнений Навье - Стокса. С их помощью построены базисы в собственных подпространствах. Показана сходимость спектра по сетке. В важнейших случаях получено аналитическое решение.

3. Показано возникновение неустойчивости течения Куэтта при численном интегрировании эволюционных разностных уравнений Навье - Стокса при числе Рейнольдса, превышающем некоторое критическое значение. Тем самым установлено соответствие с дифференциальной теорией.

4. Подробно исследовано поведение стабилизирующего процесса во всех случаях. Даны объяснения возникающих численных эффектов.

Публикации по теме диссертации

[1] Иванчиков A.A. Численное решение некоторых спектральных задач для уравнений Стокса // Вычисл. методы и программ. 2003. Т.4, N.2, С. 58-74.

[2] Иванчиков A.A., Чижонков Е.В. Стабилизация решений уравнений Стокса и Навье - Стокса за счет граничных условий // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2004. Т.25, С.128-129.

[3] Иванчиков A.A. Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Материалы шестого Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". 2004. С.102-106.

[4] Chizhonkov E.V., Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of solutions of Stokes and Navier - Stokes equations by the boundary conditions // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. V.19, N.6, P.477-494.

[5] Иванчиков A.A. Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Вычисл. методы и программ. 2005. Т.6, N.2, С.55-70.

[6] Иванчиков A.A. О численной стабилизации неустойчивого течения Куэтта по граничным условиям // International Conference "Mathematical Hydrodynamics" Abstracts. 2006. C.92-93.

[7] Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of unstable Couette flow by the boundary conditions // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006. V.21, N.6, P.519-537.

[8] Иванчиков A.A. О численной стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с границы области // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2007. N.6, С.26-30.

Подписано в печать 09.10.2008 г. Печать трафаретная

Заказ №910 Тираж: 90 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

Глава 1 Численное решение спектральных задач для уравнений Стокса

§ 1.1 Необходимые сведения о спектральных задачах для уравнений

Стокса.

1.1.1 Определение оператора.

1.1.2 Свойства спектра.

§ 1.2 Постановка спектральных задач и их дискретизация

1.2.1 Задача с краевыми условиями первого рода.

1.2.2 Дискретизация задачи.

1.2.3 Задача с периодическими условиями по одному направлению

1.2.4 Дискретизация периодической задачи.

§ 1.3 Алгоритмы и их тестирование

1.3.1 Общие замечания.

1.3.2 Решение уравнения Пуассона методом Фурье.

1.3.3 Метод сопряженных градиентов решения уравнений Стокса

1.3.4 Решение симметричной частичной проблемы собственных чисел методом Ланцоша.

§ 1.4 Решение спектральных задач.

1.4.1 Численное решение спектральной задачи с условиями первого рода

1.4.2 Аналитическое решение периодической задачи.

1.4.3 Численное решение периодической спектральной задачи

§ 1.5 Выводы.

Глава 2 Численная стабилизация решений уравнений Стокса и

Навье — Стокса

§ 2.1 Постановка модельной задачи

§ 2.2 Алгоритм стабилизации в дифференциальной форме.

§ 2.3 Дискретизация задачи по пространству и времени.

§ 2.4 Численное решение вспомогательных спектральных задач

§ 2.5 Результаты численных экспериментов.

2.5.1 "Устойчивая задача Стокса (Re = 0, 7 = 0).

2.5.2 Неустойчивая задача Стокса (Re = 0, 7 = 2).

2.5.3 Устойчивая задача Навье - Стокса (Rc = 1,7 = 0)

2.5.4 Неустойчивая задача Навье - Стокса (Re = 1,7 = 2)

2.5.5 Увеличение числа Рейнольдса в неустойчивой задаче Навье - Стокса.

§ 2.6 Выводы.

Глава 3 Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта

§ 3.1 Постановка задач.

3.1.1 Краевая задача для уравнений Навье - Стокса в цилиндрических координатах

3.1.2 Линеаризация уравнений Навье - Стокса и спектральная задача

§ 3.2 Дискретизация задачи.

3.2.1 Дискретизация стационарной задачи.

3.2.2 Дискретизация нестационарной задачи

§ 3.3 Алгоритм решения спектральной задачи.

3.3.1 Метод Арнольди.

3.3.2 Явный метод.

§ 3.4 Аналитическое решение спектральной задачи в некоторых частных случаях.

3.4.1 Решение спектральной задачи при Re ^ 0, ит = 0, и4' =

3.4.2 Решение спектральной задачи при Re = 0, иг = 0, uz =

3.4.3 Решение спектральной задачи при Re ^ 0, v? ^ 0, uf = О

3.4.4 Решение спектральной задачи при Re — 0, v? = 0.

§ 3.5 Численные эксперименты.

3.5.1 Решение спектральной задачи на разных сетках.

3.5.2 Решение спектральной задачи при разных числах Рейнольд

3.5.3 Решение уравнений Навье - Стокса при разных числах Рей-нольдса.

§ 3.6 Выводы.

Глава 4 Численная стабилизация неустойчивого течения Куэтта

§ 4.1 Краевая задача для уравнений Навье - Стокса.

§ 4.2 Алгоритм стабилизации в дифференциальной форме.

§ 4.3 Дискретизация задачи по пространству и времени.

§ 4.4 Спектральная задача и вопросы устойчивости.

§ 4.5 Стабилизация. Численные эксперименты.

4.5.1 Стабилизация с обратной связью.

§ 4.6 Выводы.

Уже долгое время задачи управления решениями эволюционных уравнений в частных производных являются объектом исследования математиков. В их числе рассматриваются уравнения, допускающие неустойчивые решения. В теории неустойчивых задач информации о существовании и единственности решения недостаточно для их успешного численного решения. Поэтому задачей теоретиков является также с одной стороны указание алгоритма решения, с другой стороны — исследование процесса возникновения возмущений и разработка методов их подавления.

Задачей стабилизации решения некоторого эволюционного уравнения является поиск краевого условия Дирихле при заданном начальном условии v|t=0 = vq и условии стремления решения к заданной функции v —»■ w(x) при t —» оо. Такой функцией может быть, например, стационарное решение этого уравнения. Объектом нашего исследования будет задача стабилизации неустойчивого решения системы Навье - Стокса, описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости.

Среди работ, посвященных стабилизации уравнений математической физики, наиболее теоретически законченной и совершенной является теория А.В. Фурсикова, развитая в [34] — для квазилинейных параболических уравнений, в [35] — для двумерных уравнений Навье - Стокса и Озеена, в [32], [33] — для трехмерных уравнений Навье - Стокса. Теория А.В. Фурсикова послужила отправной точкой, базисом для настоящей работы. Сама она базируется на более общих результатах из теории банаховых пространств. Перейдем к ее краткому изложению. Рассмотрим уравнения Навье - Стокса dtv(t, х) - Av(t, х) + (v(t, х), V)v + Vp(t, х) = f (£, х), div v = 0, (1) в ограниченной области Q 6 R3 с гладкой границей dQ с начальными и краевыми условиями v(t, x)\t=0 = v0(.t), v(t, = vc. (2)

Пусть известно стационарное решение w(x), удовлетворяющее уравнениям (1) которое, возможно, является неустойчивым. Сформулируем теперь задачу стабилизации. Для начального условия vq(x) из достаточно малой окрестности w(x) и числа а > 0 найти управление vc такое, что решение v(£, х) начально-краевой задачи (1), (2) устремится к стационарному решению с показателем о":

IIv(t, •) - w||Vi(n) < С ■ епри t > 0, (3) где V*(ft) = {vG (Нк{П))3 : div v = 0}.

Вложим область Q в некоторую расширенную область G. Продолжим w(:c) до некоторого соленоидалытого векторного поля w(a;) в G. От системы (1) в D, перейдем к системе в G\ dtv(t, х) - Av(t, х) + (v(t, х), V)v + Vp(t, x) = f (t, x), div v = 0, (4) на которую наложим условия: v(i,a;)|t=0 = v0(x) = Ev0(x), v(t,x)\0G = 0, (5) где E представляет собой нелинейный оператор продолжения векторного поля из Q в G. Его определение является основной задачей.

Для заданного а определим устойчивое инвариантное многообразие M(w) как гладкое многообразие в пространстве Vq(G) = {v£ V1(G) : vj^ = 0} в окрестности w такое, что для любого vo £ M(w) решение v(i, •) начально-краевой задачи (4), (5) при t > 0 принадлежит М(w) и v(t, •) - w||vi(G) < Cllvo - w||vi(G) • е-'4 при t > 0 (6)

Другими словами, решение выпущенное в окрестности стационарного течения w экспоненциально к нему стремится с течением времени. Следующие положения являются центральными результатами теории:

1. Устойчивое инвариантное многообразие M(w) существует и имеет конечную коразмерность. Оно является отталкивающим множеством.

2. Для достаточно малого б существует оператор продолжения Е, отображающий б-окрестность стационарного решения w в многообразие M(w).

Из этих конструкций видно, что тем самым построено решение задачи стабилизации в исходной области Q, т.к. из (6) следует (3), а в качестве решения достаточно взять ограничения 70, 7on решения v(i, х) задачи (4), (5): v(*, •), vc(t, •)) = (7nv(i, •), 7env(£, •)) •

Подведем резюме алгоритма стабилизации. Все его применяемые ныне модификации так или иначе включают следующие шаги:

1) продолжение - проектирование заданного начального условия из исходной области в расширенную область на устойчивое инвариантное многообразие;

2) интегрирование нестационарной системы уравнений в расширенной области, приводящее к искомым граничным условиям;

3) стабилизация с заданной скоростью, т.е. интегрирование системы уравнений в исходной области с полученными граничными условиями.

Чтобы перенести теорию стабилизации в практическую плоскость, сделать ее пригодной для численной реализации в теории А.В. Фурсикова вводится понятие "реального процесса". Суть его в следующем. Пусть па решение v(t, х) в расширенной области G в дискретные моменты времени tj = jr действуют возмущения 4>j{x). Эти возмущения призваны моделировать ошибки округления, возникающие при вычислениях. Понятно, что возмущения выводят решение v(t,x) из инвариантного многообразия М(w), поэтому в качестве корректировки алгоритма стабилизации предлагается осуществлять проектирование решения на M(w) не только в начальный момент времени, но и в дискретные моменты tj = jr. Для стабилизированного "реального процесса" v(£, х) при малых флуктуациях ||0j(-)llv£(G) < бо справедлива оценка v(£, •) - w||Vi(n) < Ci (||v0 - w||Vi(fi) • e~at + C2e0) при t > 0.

Займемся теперь устройством устойчивого инвариантного многообразия, поскольку оно играет крайне важную роль в конструкции алгоритма стабилизации. Перенесем решение уравнений (4) в расширенной области в окрестность стационарного решения w(:c), обозначив й = v — w: dtu{t, х) - Лй + (w, V)u + (й, V)w + (й, V)u + Vp = 0, div и = 0, Запишем эту задачу в виде

С0 + Ay(t) + Чу, V)y = о, (7) где А : Ау = 7г(—Ду + (w, V)y + (у, V)w) — замкнутый линейный оператор, 7г — ортопроектор на = {v G V°(G) : (v, i/)|dG = 0}, v — поле внешних нормалей к dG. Относительно А известно, что для заданного числа сг сопряженный к нему А* (как и он сам) обладает конечной системой собственных и присоединенных векторов, соответствующих собственным числам Л с Re(A) < сг. Занумеруем их подряд: di(:c),., <1к(%) и определим L(w) как ортогональное к ним линейное пространство:

М w) = {уе V0\G) : JG (y(x),dj(x)) dx = 0,j = l,.,K}.

Пространство L+ определим как дополнение L до Vq(G). Обозначим разрешающий оператор задачи (7) S(t, уо). Это полугруппа операторов, сопоставляющая начальному условию уп решение y(t) в момент t. Для нее справедливо разложение в точке уо = 0:

S{t, уо) = e~Atyo + B{t, уо).

При этом B(t: 0) = 0, В' (t, О) = 0. В окрестности уо = 0 построим, наконец, многообразие M(w), инвариантное относительно полугруппы S(t, уо). Это многообразие можно задать в виде графика:

M(w) = {u£ Vq(G) : u = u + p(u), u G L(w)} , где д : —> L+ — оператор - функция класса причем д{0) = 0,

0) = 0. Ясно, что пространство касательно в нуле многообразию М, а для линейных уравнений Стокса М линейно и совпадает с L. Приведем теперь конструкцию оператора продолжения на L. Мы продолжаем исПв G. Обозначим ei,., ек базис для оператора А биортогональный di,., d^. Обозначим через (тгА)1е^ решение задачи Стокса в G\Q,:

-Awj + VPj = ej: div u, = 0, wi|a(GW) - 0 Тогда продолжение имеет вид

Ей = Ru + J2f= i сДтгД)"1^-, где Ru — есть некоторое соленоидальное продолжение поля и в G, а коэффициенты Cj находятся из условия ортогональности fG(Eu, dj)cfo; = 0. В случае нелинейного Л/, последняя формула дает продолжение на линейное приближение к М.

Совсем недавно в работе [30] прозвучало предложение использовать аналитическое представление многообразия i\/, а точнее — разложение функции д по полилинейным функциям, что может дать возможность строить приближения к М- более высокого порядка. Появилась также работа [15] по численной реализации точного проектирования на М для простейшего параболического уравнения. Однако тот факт, что при этом происходит экспоненциальный рост объема вычислений с увеличением порядка приближения, оставляет вопрос эффективности предложенного метода открытым.

Известно большое количество случаев, обусловленных физическими и геометрическими параметрами, при которых возникают неустойчивые течения (см., например, [11]). В настоящей работе мы сосредоточимся на одном таком случае. Рассмотрим уравнения Навье - Стокса в области между двумя бесконечными соосными цилиндрами, из которых внутренний вращается с некоторой фиксированной угловой скоростью, а внешний покоится. Мы ограничимся лишь решениями, периодическими вдоль оси цилиндра и не зависящими от угла поворота относительно оси. Хорошо известно одно стационарное решение этой задачи — это течение Куэтта. Оно имеет аналитическое выражение и лишь одну отличную от нуля угловую компоненту скорости, зависящую только от г. Известно также (см. [27]), что при фиксированном периоде и достаточно больших значениях числа Рейнольдса существует другое решение стационарной задачи, называемое вихрями Тейлора. Оно зависит от обеих независимых переменных и имеет вид наложенных друг на друга торов. Такая картина хорошо согласуется с физическими экспериментами, в которых течение Куэтта с ростом числа Рейнольдса становится неустойчивым и происходит его бифуркация в вихри Тейлора (см. [11]). Такое же поведение неустойчивого течения Куэтта установлено при численном моделировании (см. [45]), кроме того, показана связь возникновения неустойчивости с появлением отрицательных собственных чисел в спектре соответствующей спектральной задачи с ростом числа Рейнольдса. Спектральная задача в этом случае формулируется для оператора, получающегося линеаризацией уравнений Навье - Стокса в окрестности течения Куэтта. Таким образом, одним из исходных положений в формулируемой задаче стабилизации является неустойчивость течения Куэтта при некотором соотношении периода и числа Рейнольдса. Наиболее точные расчеты задачи построения нейтральных кривых, т.е. зависимостей критических чисел Рейнольдса от длины периода, при которых происходит потеря устойчивости, были проведены в [3].

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Естественным является вопрос о принципиальной возможности стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье -Стокса при реальном компьютерном моделировании. Несмотря на все положительные предпосылки дифференциальной теории, ответ на этот вопрос оставался открытым. На момент начала исследований никакой конструктивной информации об устройстве инвариантного многообразия М известно не было, кроме, конечно, способа построения касательного пространства L. Это, в свою очередь, порождало разрыв между построенной дифференциальной теорией и практикой численного моделирования. Все теоретические оценки для реального процесса говорят о том, что сходимость к неустойчивому решению при численной стабилизации обеспечена, правда со скоростью несколько меньшей. Но это остается справедливым лишь в том случае, если в любой нужный момент времени мы умеем точно проектировать решение на устойчивое многообразие М. Такая возможность в реальной ситуации отсутствует, поэтому, в первую очередь, кажется естественным использование свойств линейного приближения многообразия — множества L.

Важным шагом в этом направлении были работы Е.В. Чижонкова (см. [36]). На основе имевшейся к тому времени дифференциальной теории в них были разработаны и успешно применены алгоритмы численной стабилизации для дискретного аналога уравнения Чафе - Инфанта. Принципиально новыми элементами в них стали: использование только линейного приближения инвариантного многообразия и применение многократного проектирования па него. Также было установлено, что численная стабилизация (в отличие от дифференциальной) с произвольной наперед заданной скоростью а > О невозможна. Причина этого в том, что алгоритм включает решение системы линейных алгебраических уравнений с матрицей проектирования, размерность которой пропорциональна задаваемой скорости стабилизации. При этом число обусловленности этой матрицы растет экспоненциально (аналогично матрице Гильберта) с увеличением ее размерности.

Кроме постоянно действующих возмущений в виде ошибок округлений в этих задачах присутствует еще предельная точность решения вспомогательных задач. А она, как правило, при использовании даже самых современных алгоритмов па несколько порядков хуже машинной точности. Одной из таких вспомогательных задач является спектральная задача, где требуется численно определить базисы корневых подпространств для всех собственных чисел Л из диапазона Re(A) < а. Другая такая задача — это решение системы линейных алгебраических уравнений с уже упоминавшейся выше матрицей проектирования. Результатом этого решения служат коэффициенты разложения по собственным и присоединенным функциям в операции проектирования, откуда следует, что при проектировании накопленные ошибки могут далеко отодвинуть решение от целевого линейного многообразия Третьим, самым наглядным, фактором роста ошибок является непосредственное интегрирование эволюционных уравнений, как в расширенной области G, так п в исходной области Q. Известно, что М является отталкивающим множеством, поэтому оказавшись за пределами М, решение совершенно не обязано возвращаться к нему с течением времени.

Из всего вышесказанного следует, что задача численной стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с помощью граничных условий является важной и трудной задачей современной вычислительной математики.

Цель работы. Основная задача диссертации заключается в создании вычислительной технологии для стабилизации по граничным условиям неустойчивых решении уравнений Навье - Стокса с наперед заданной скоростью. Под вычислительной технологией здесь понимается совокупность численных методов, структур данных и программных реализаций для решения последовательности разнородных вычислительных задач на вычислительных системах. С целью разделения сложной проблемы па этапы переход к основной задаче осуществляется последовательно — от линейной к нелинейной, от устойчивой к неустойчивой, от симметричной к несимметричной. Конечной целью является стабилизация неустойчивого течения Куэтта, которое в отсутствие управления стремится к вихрям Тейлора. Выбор этих течений обусловлен тем, что такая картина неустойчивости наблюдается в природе и хорошо описывается математической моделью — теорией уравнений Навье - Стокса.

Для решения основной проблемы требуется решить несколько вспомогательных. Первая состоит в поиске и осуществлении методов решения спектральных задач. Известные методы Ланцоша и Арнольди модифицируются для наших целей: вычисления собственных функций с максимально высокой точностью, построения базиса в собственных (а при необходимости и в корневых) подпространствах, соответствующих некоторому заданному промежутку собственных чисел. В численных экспериментах задачей также является исследование поведения спектра в зависимости от числа Рейнольдса, установление сходимости к дифференциальному случаю в зависимости от сеточных параметров, для чего спектральные задачи решаются аналитически. Второй задачей является установление возникновения неустойчивости течения Куэтта в дискретном случае, а также установление связи неустойчивости с поведением спектра. Ее решение является основой для постановки целевой задачи — стабилизации неустойчивого течения Куэтта.

Кроме того, для процесса численной стабилизации важным является исследование, описание и объяснение всех качественных эффектов, связанных с влиянием погрешностей.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработана вычислительная технология стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с помощью граничных условий. Алгоритм сформулирован и успешно применен в самом общем случае — для стабилизации неустойчивых нетривиальных стационарных течений, приводящих к несимметричным спектральным задачам. Стабилизация уравнений динамики жидкости проведена впервые и аналогов не имеет.

2. Реализованы и успешно применены алгоритмы численного решения частичных спектральных задач для линеаризованных уравнений Навье - Стокса. В случаях, необходимых для целей стабилизации, получены аналитические решения.

3. Реализован процесс возникновения и развития неустойчивости течения Куэтта в дискретном случае.

4. Описана динамика стабилизируемых течений с объяснением всех, возникающих в процессе стабилизации, численных эффектов.

Достоверность, теоретическая и практическая ценность работы.

Работа носит теоретический характер. Достоверность проведенного исследования основана па строгой математической теории стабилизации в дифференциальном случае и тщательном анализе и сравнении результатов численных экспериментов. Теоретическая ценность состоит в построении отправной точки для дальнейших исследований по разработке новых, более совершенных численных алгоритмов стабилизации уравнений математической физики. Практическая ценность работы заключается в обширном наборе формул, алгоритмов и графических представлений расчетов. Ее методы и результаты могут быть использованы учеными и инженерами различных научно-технических институтов при решении прикладных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором: па конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2002), па международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004), на ежегодных научных конференциях "Ломоносовские чтения" (Москва, 2004, 2005), на 6-ом Всероссийском семинаре "Сеточные методы и приложения" (Казань, 2005), на международной научной конференции "Математическая гидродинамика" (Москва, 2006), на научно-исследовательском семинаре "Вычислительная математика, математическая физика, управление" под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. В.И. Лебедева, проф. А.В. Фурсикова (ИВМ РАН, Москва, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ: 5 — в рецензируемых журналах, 3 — в материалах конференций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии из 48 наименований. Она изложена на 100 страницах, содержит 96 рисунков и 25 таблиц.

§4.6 Выводы

Основным итогом настоящей главы является построение алгоритма численной стабилизации неустойчивого течения Куэтта. Он является обобщением алгоритма, построенного в гл. 2, на случай нетривиального неустойчивого решения, приводящего к несимметричным спектральным задачам. Алгоритм позволяет проводить стабилизацию слабо возмущенного течения Куэтта в условиях реального компьютерного моделирования. Сам алгоритм в своей формулировке, может быть применен не только к стабилизации течения Куэтта, но и любого другого стационарного течения w. Численные эксперименты демонстрируют соответствие дифференциальной теории и дискретного случая, при стабилизации в расширенной области, поскольку наблюдается выход скорости стабилизации на предсказанный уровень, определяемый некоторым собственным числом. Применение обратной связи позволяет проводить стабилизацию в исходной области с использованием стабилизирующих краевых условий.

Заключение

Практическим итогом диссертации явилось создание программного комплекса XStokes, позволяющего решать спектральные задачи для уравнений Стокса и задачи стабилизации для уравнений Навье - Стокса в прямоугольных областях в декартовых координатах. Он включает:

• решатели уравнения Пуассона методами (51?-разложения, много сеточным и Фурье;

• решатели уравнений Стокса методами Узавы и сопряженных градиентов;

• реализации алгоритмов Ланцоша и Арнольди применительно к решению частичных спектральных задач для уравнений Стокса;

• Q-R-алгоритм решения спектральных задач для симметричных матриц;

• реализацию схемы Чорнна - Темама для интегрирования нестационарных уравнений Навье - Стокса;

Для решения спектральных задач для уравнений Навье - Стокса, линеаризованных в окрестности течения Куэтта, и задач стабилизации уравнений Навье - Стокса в цилиндрических координатах была разработана вторая часть программного комплекса XStokes, которая включает:

• решатель уравнений Стокса с применением библиотеки UMFPACK [8];

• реализацию алгоритма Арнольди применительно к решению частичных спектральных задач для уравнений Стокса;

• <3/?-алгоритм с двойными шагами решения спектральных задач для хессенберговых матриц. Решатель этой же задачи с помощью библиотеки LAPACK [1];

• реализацию схемы Чорина - Темама для интегрирования нестационарных уравнений Навье - Стокса;

С помощью программного комплекса XStokes получены все результаты диссертации. Он разработан автором на С++ с использованием Fortran - библиотеки LAPACK [1] и С - библиотеки UMFPACK [8].

Визуализация результатов численных расчетов осуществлялась с помощью пакета jXViewer, разработанного автором на Java. С его помощью получены все приведенные в диссертации иллюстрации результатов. Отладка основного расчетного комплекса была бы вряд ли возможна без средств визуализации — в этом заключалась главная роль пакета jXViewer. Пакеты jXViewer и XStokes могут работать как единое сетевое клиент-серверное приложение. Это позволило в качестве конечного продукта получить видеоматериалы, иллюстрирующие эволюцию стабилизируемого процесса по времени. Эти возможности позволяют еще лучше понять внутреннее устройство процесса стабилизации.

Для решения трансцендентных уравнений, возникших при получении аналитических решений спектральных задач, была использована система символьных вычислений Maple 9.0 [20]. Вез ее использования доказательство теоремы 3.1 оказалось бы крайне затруднительным.

С помощью комплекса jXViewer - XStokes были проведены многочисленные эксперименты, основные из которых нашли отражение в диссертации, и получено исчерпывающее решение поставленных задач. Особенностью пакета XStokes является также то, что весь многошаговый процесс стабилизации, включая решение спектральных задач, может быть осуществлен однократным запуском в полностью автоматическом режиме. На используемых в гл. 4 сетках весь процесс стабилизации занимает время порядка десяти минут на современной ЭВМ (с процессором Pentium М - 2000 МГц).

Основным итогом диссертации явилось построение дискретного алгоритма стабилизации неустойчивых решений уравнений Стокса и Навье - Стокса с помощью граничных условий. Он не является простым переносом соответствующего алгоритма из дифференциальной теории, а существенно отличается способом проектирования получаемого в процессе решения на устойчивое многообразие М.

Целью гл. 2 была апробация алгоритма для стабилизации неустойчивой задачи для нелинейных уравнений, но в процессе были рассмотрены четыре типа задач, начиная с самой простейшей — линейной устойчивой. Это позволило как дифференцировать возникающие сложности, так и выявлять различия в самом процессе стабилизации разных задач. При этом сам процесс стабилизации с наперед заданной скоростью оказался вполне осуществим.

Гл. 4 является первой попыткой стабилизации неустойчивости, наблюдаемой в естественных условиях и хорошо описываемой математической моделью. Стабилизация с наперед заданной скоростью не представляется пока возможной, однако построение стабилизирующих краевых условий, дающее некоторую достаточно высокую скорость, можно считать успешным. Впервые в численной стабилизации был применен алгоритм с обратной связью.

Полученные результаты следует квалифицировать как успешные, так как их следствием является понимание не только специфически численных аспектов решаемой проблемы, но и принципиальных ограничений по применению идеи стабилизации с помощью граничных условий на практике.

Основное ограничение, при котором стабилизация вообще не будет происходить — это наличие достаточно большого числа собственных чисел с отрицательной действительной частью в спектре вспомогательной спектральной задачи. В частности, такая ситуация имеет место при больших числах Рейнольдса, если считать, что остальные параметры фиксированы. Причина невозможности стабилизации здесь двоякая. С одной стороны необходимо будет проектировать на собственное подпространство высокой размерности, что приведет к необходимости решать плохо обусловленную систему уравнений. С другой стороны скачки нормы решения в моменты проектирования станут настолько большими, что уже не будут компенсироваться падением нормы на полезных интервалах стабилизации.

Суть этих ограничений заключается непосредственно в самом предложенном подходе численной стабилизации — использовании линейного приближения к устойчивому многообразию. Поэтому перспективным направлением по их преодолению является развитие методов точного и эффективного проектирования на устойчивое многообразие. В настоящее время успешные работы в этом направлении уже ведутся: см. [30], [15], [17], [21] [18].

1. Иванчиков А. А. Численное решение некоторых спектральных задач для уравнений Стокса. // Вычисл. методы и программ., 2003, Т.4, No.2, 58-74.

2. Иванчиков А.А., Чижонков Е.В. Стабилизация решений уравнений Стокса и Навье - Стокса за счет граничных условий. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского, 2004, Т.25, 128-129.

3. Иванчиков А.А. Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта между вращающимися цилиндрами. // Материалы шестого Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", 2004, 102-106.

4. Chizhonkov E.V., Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of solutions of Stokes and Navier - Stokes equations by the boundary conditions. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2004, Vol.19, No.6, P.477-494.

5. Иванчиков A.A. Исследование спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта между вращающимися цилиндрами. // Вычисл. методы и программ., 2005, Т.б, No.2, 55-70.

6. Иванчиков А.А. О численной стабилизации неустойчивого течения Куэтта по граничным условиям. // International Conference "Mathematical Hydrodynamics" Abstracts, 2006, C.92-93.

7. Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of unstable Couette flow by the boundary conditions. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2006, Vol.21, No.6, P.519-537.

8. Иванчиков A.A. О численной стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье - Стокса с границы области. // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2007, No.6, 26-30.