Численный метод решения задач дискретного оптимального управления со смешанными ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВАРИАЦИЯ ДОПУСТИМОГО УПРАВЛЕНИЯ И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ.

§ I.I. Постановка задачи

§ 1.2. Вариация управления

§ 1.3. Необходимые условия оптимальности

§ 1.4. Дополнительные слагаемые вариации управления

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ.

§ 2.1. Алгоритм вычисления матрицы С с/О

§ 2.2. Построение измененного управления

§ 2.3. Формулировка алгоритма оптимизации и доказательство его сходимости.

§ 2.4. Алгоритмы оптимизации для управлений, не являющихся вполне регулярными

§ 2.5. Локальное исследование скорости сходимости алгоритмов метода возможных направлений

§ 2.6. Алгоритмы оптимизации для других типов задач дискретного оптимального управления

Задачи дискретного оптимального управления с ограничениями, зависящими от фазовых переменных, цредставляют собою класс экстремальных задач, имеющий многочисленные практические приложения. К этому классу относятся задачи планирования развития народного хозяйства в рамках многоотраслевых макроэкономических моделей, задачи управления запасами, расчета химических реакторов и т.п. В настоящей работе рассматриваются также новые примеры задач данного класса, возникающие при оптимизации открытых горных разработок. Задачи дискретного оптимального уцравления, называемые часто также многошаговыми задачами оптимизации, естественно возникают при моделировании детерминированных процессов, состояния которых измеряются через дискретные промежутки времени, а управляющие воздействия могут принимать всевозможные вещественные значения в некотором диапазоне. При этом случай, когда некоторые из ограничений задачи зависят не только от переменных управления, но и от фазовых переменных, кажется наиболее распространенным.

Исследование задач дискретного оптимального уцравления началось на рубеже 1960-х гг. К этому времени важнейший результат теории непрерывного оптимального управления - принцип максимума Л.С. Понтрягина - получил строгое математическое обоснование [42,54] . Поэтому ряд авторов (например, JI.-Ц.Фан и Ч.-С.Вань [62] ) формулировали и для нелинейных задач дискретного оптимального управления необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума. Л.И.Розоноэр [54] показал, что для линейных задач дискретного управления цринцип максимума является необходимым и достаточным условием оптимальности и пришел к выводу, что для нелинейных задач

- 5 принцип максимума, вообще говоря, не имеет места. Пример задачи, в которой функция Гамильтона имеет лишь локальный максимум на множестве допустимых управлений, был построен А.Г.Бутковским [б] . Условия, при которых в задаче дискретного оптимального управления справедлив принцип максимума, были изучены А.И.Пропоем [44} , Р.Габасо-вымрб}, Г.Халкиным[7б], Б.Н.Шеничным(48]» наиболее общие условия были найдены А.Я.Дубовицким[2<Г}. А.И.Пропоем (45,4б]были установлены необходимые условия оптимальности в терминах возможных направлений посредством применения специальных допустимых вариаций, т.е. допустимых вариаций управления, отличных от нуля только на одном шаге. А.М.Тер-Крикоров [59]рассмотрел задачи дискретного оптимального уцравления с бесконечным числом шагов.

Задачи дискретного оптимального управления возникают также, когда для решения задач непрерывного оптимального управления используется конечноразностная аппроксимация. Такой подход обоснован в работах Ю.М.Ермольева и В.П.Гуленко [25] , Б.М.Будака, Е.М.Берко-вича и Е.Н.Соловьевой [б] и других. Он широко применяется при численном решении задач (см., нацример, монографию Р.П.Федоренко [бЗ) и работы Н.И.Грачева и Ю.Г.Евтушенко [l8,I9] , описывающие пакет программ оптимизации, разработанный в ВЦ АН СССР).

Библиография по дискретному оптимальному управлению весьма обширна (см.монографии [4,47,62] ),и поэтому во введении далее рассматриваются только работы, имеющие непосредственное отношение к предмету диссертации.

Для численного решения задач дискретного оптимального управления могут использоваться методы собственно дискретного управления и методы смежных областей математики. Прежде всего, задачу дискретного управления можно считать задачей математического программирования специального вида.Ее можно рассматривать как задачу минимизации по переменным управления целевой функции, заданной в неявном виде посредством разностных уравнений, ггри ограничениях на управляющие воздействия, заданных как в явном, так и в неявном виде. Но ту же задачу можно рассматривать как задачу условной оптимизации, в которой независимыми переменными являются переменные уцравления и фазовые переменные, а разностные уравнения являются ограничениями типа равенства [47,с.120] . Для численного решения получающихся задач могут употребляться методы математического црограммирования без существенной модификации, причем специфика задачи для некоторых методов приводит к уменьшению объема вычислений по сравнению с общей задачей математического программирования с тем же числом переменных.

С другой стороны, ряд методов решения задач непрерывного оптимального управления легко переносится на случай задач с дискретным временем. Наконец, некоторые методы разработаны специально для дискретного оптимального управления. Среди последних в первую очередь возникли методы, основанные на поиске управления, удовлетворяющего необходимому условию оптимальности - принципу максимума. Таковы четыре алгоритма;, опубликованные без обоснования в работе ЛгЦ.Фана и Ч.-С.Ваня [бз] . Обоснование сходимости аналогичных методов для задач непрерывного уцравления, предложенных в работах И.А.Крылова и Ф.Л.Черноусько [зз] , Ф.Л.Черноусько и Н.В. Баничука [67] , опубликовано А.А.Любушиным в 1979г. в статье £зб]. Из [36] следует, что алгоритм, гарантирующий сходимость для нелинейной задачи непрерывного управления, не может быть перенесен на случай дискретного уцравления. Как отмечается в статье Ю.М.Волина, Г.М.Островского и Б.В.Тандита [15] , применение методов данного типа резко усложняется, если гамильтониан многоэкстремален.

Для задач непрерывного управления с ограничениями типа равенства Т.М.Энеевым [б9] предложен метод параболического спуска, ко

- 7 торый, очевидно, может быть применен и для задачи дискретного управления. Метод Т.М#Энеева основан на поиске управления, удовлетворяющего необходимым условиям слабого относительного экстремума. В работе [б9] предлагается преобразовывать ограничения-неравенства в равенства с помощью введения дополнительных компонент управления. Однако известно [24,c.35l] , что хотя преобразованная задача формально эквивалентна исходной, но в ней множество управлений, удовлетворяющих необходимым условиям слабого экстремума, существенно шире, чем в исходной, что приводит к "прилипанию" управ-: ления к границе допустимой области.

К прямым методам для рассматриваемого класса задач относятся различные варианты метода возможных направлений и метода проекции градиента, а также динамическое программирование. Метод динамического программирования, разработанный Р.Беллманом [з] , принципиально имеет весьма широкую область црименения. Однако экспоненциальная зависимость времени счета от размерности фазового вектора препятствует его использованию в задачах оптимального управления, и, как отмечает Ю.Г.Евтушенко [24,с.285] , никаких практических задач, кроме самых элементарных, решить с его помощью не удалось. 1<1дея динамического программирования используется в методе вариаций в фазовом пространстве, разработанном в ВЦ АН СССР Н.Н.Моисеевым и его сотрудниками. Этот метод пригоден для задач с фазовыми ограничениями, в которых целевой функционал аддитивен. При его использовании область изменения фазового вектора заменяется диснретной "шкалой состояний" [З73 , так что если диапазон изменения одной фазовой переменной содержит Т значений, то для П--мерного фазового вектора шкала состояний содержит = значений. Поэтому исходный вариант метода [37^ , для которого время решения задачи пропорционально N<\ , а объем машинной памяти -/VI, практически может быть использован только в задачах небольшой размерности. Локальные минимумы можно получить с помощью метода "блуждающей трубки" [38] , в котором на очередной итерации находится решение, оптимальное в окрестности траектории, полученной на предыдущей итерации. Но и для этого варианта имеет место экспоненциальный рост времени счета от размерности фазового вектора, хотя и значительно более медленный. Наиболее широкое распространение получил метод локальных вариаций [34} , который можно применять для задач любой размерности. Р.П.Федоренко [63,0.131-132] приводит пример задачи,в которой метод локальных вариаций не гарантирует получения локального оптимума. Перечисленные методы пригодны, когда размерность фазового вектора и размерность управления совпадают. Для более общей задачи И.А.Вателем и А.Ф.Кононенко [l2] разработан метод бегущей волны, являющийся обобщением метода локальных вариаций.

Метод возможных направлений представляет собой дальнейшее развитие симплекс-метода линейного программирования применительно к нелинейным задачам. Этот метод для решения общей задачи нелинейного црограммирования с ограничениями типа неравенств предложен в работах Г.Зонтендейка [2б] и С.И.Зуховицкого, Р.А.Поляка и М.Е. Примака [27] . Различные алгоритмы метода разработаны также Д.М. Топкисом и А.Ф.Вейноттом [8l] , Э. По лаком [4l| . Для задач выпуклого црограммирования локальное исследование скорости сходимости проведено О.Пиронно и Э.Полаком [во] , а глобальное - Дж.Олрайтом [70] . Для невыпуклых задач линейная скорость сходимости доказана Р.У.Чейни [72) при ряде специальных цредположений; в частности, для алгоритма Г.Зойтендейка в [72] предполагается, что оптимальное решение является угловой точкой множества допустимых решений.

Для задач дискретного оптимального управления численные мето

- 9 ды возможных направлений разработаны А.И.Пропоем [45-47^ . Для задач без фазовых и смешанных ограничений направления спуска в пространстве управлений определяются независимо для разных шагов процесса. Если число активных фазовых или смешанных ограничений невелико (например, если ограничения наложены только на конечное состояние процесса), целесообразно воспользоваться методами декомпозиции для нахождения направления спуска [47} . Для остальных случаев предлагалось использовать специальные допустимые вариации управления общего вида [4б] . Возможности такого подхода рассматриваются и в настоящей работе в § 2.2 и § 3.2.

Другой вариант метода возможных направлений применительно к конечноразностным аппроксимациям задачи непрерывного оптимального уцравления предложен Р.П.Федоренко [63\ под названием "метод последовательной линеаризации". Этот метод пригоден в первую очередь для задач с ограничениями на конечное состояние. Для решения задачи выбора направления Р.П.Федоренко разработал специальный двойственный метод линейного программирования.

Метод проекции градиента является довольно близким к методу возможных направлений, но црименяется в первую очередь к задачам с ограничениями типа равенств. Использованию этого метода для задач оптимального управления посвящены многочисленные работы А. Миеле с соавторами (например, [7б] ); другой вариант метода изложен в работе Р.П.Федоренко [бз] . Общим достоинством прямых методов является то, что они строят минимизирующие последовательности допустимых (или близких к допустимым) управлений. С другой стороны, если начальное допустимое управление не задано, его получение может оказаться трудной задачей.

В математическом программировании широкое распространение получили методы преобразования, сводящие решение задачи условной оптимизации к решению последовательности задач безусловной минимизации или реже задач условной оптимизации с меньшим числом ограничений (см. монографии А.Фиакко и Г.Мак-Кормика [65] , К.Гроссмана и А.А.Каплана [20] и сборник обзорных статей под редакцией Ф. Гилла и У.Мюррэя [бв] ). К методам этой группы относятся двойственные методы, методы штрафных и барьерных функций, модифицированных функций Лагранжа и ряд других.

Двойственные методы в дискретном оптимальном уцравлении были разработаны Б,Н.Пшеничным [49] , а также Дж.Уилсоном [82] . В этих работах разностные уравнения трактуются как ограничения типа равенств. Задача определения значений переменных управления и фазовых переменных при заданных величинах двойственных переменных распадается на несколько задач невысокой размерности, число которых равно числу шагов процесса А/ . Благодаря этому время выполнения одной итерации зависит от Д/ линейно. Двойственные методы пригодны, однако, не для любых задач многошаговой оптимизации, а только для тех, в которых значение целевого функционала в прямой и двойственной задаче совпадают.

Методы штрафных функций и модифицированных функций Лагранжа формально применимы к любым задачам. Однако они требуют нахождения на каждой (внешней) итерации глобального минимума в задаче безусловной минимизации. Но для невыпуклых функций невозможно гарантировать нахождение глобального минимума. Известны [20,с. 55-57 и с.138-142] следующие условия, цри которых нахождение локального минимума во вспомогательных задачах приводит к нахождению локального минимума в исходной задаче: известна область, в которой находится искомый локальный минимум; точки локального минимума во всех вспомогательных задачах принадлежат этой области и доставляют в ней абсолютный минимум в своих задачах. Не требу

- II ется глобальной минимизации в методе цростой итерации, предложенном в статье А.И.Голикова и Ю.Г.Евтушенко [l7j . Специально для динамических задач методы цреобразования были разработаны В.В.Ве-личенко рЗ,14] и позднее Б.С.Разумихиным [5l| . В работах В.В. Величенко получены оценки близости приближенного решения к точному при заданных коэффициентах штрафа.

Каждая внешняя итерация рассмотренных методов преобразования состоит в минимизации некоторой функции, зависящей от всех переменных управления, общее число которых равно IYI-/V, где )Т) -размерность управления. Широко распространенным быстросходящимся методом безусловной минимизации является метод сопряженных направлений, для которого, однако, решение задачи не может быть гарантированно получено менее чем за 1П- А/ итераций даже в случае, когда минимизируемая функция является квадратичной. Каждая (внутренняя) итерация требует вычисления градиента минимизируемой функции, что может быть сделано с помощью сопряженных переменных за (jn+nvn • N умножений, не считая вычисления цроизводных всех ограничений. Таким образом, одна внешняя итерация методов цреобразования требует по крайней мере fTbH'frfl+l'fi'/Vумножений. Не менее чем квадратичная зависимость времени счета от числа шагов А/ неблагоприятна для применения методов цреобразования в задачах с большим Д/ .

Особое место занимают алгоритмы дифференциального динамического программирования (метод впервые был предложен Д.К.Мейном

7д\ ), применяющиеся как в дискретном, так и в непрерывном оптимальном управлении. В задачах, содержащих ограничения, зависящие от фазовых переменных (С.Б.Гершвин и Д.Х.Дкекобсон [74] , К.Оно [79] ), вводятся двойственные переменные, и эти переменные, так же как и переменные управления, пересчитываются на каждой итерации с целью все более точного соблюдения условий оптимальности Беллмана в дифференциальной форме. Метод не требует решения каких-либо вспомогательных задач оптимизации и является очень экономным в отношении объема вычислений: одна итерация требует порядка (m+n) умножений. Наиболее общш является алгоритм К.Оно, который пригоден для решения задач, содержащих одновременно смешанные ограничения-равенства и неравенства. Недостаток метода состоит в том, что функция Беллмана предполагается дважды непрерывно дифференцируемой. Однако, как отмечает В.Г.Болтянский , функция Беллмана, как правило, не обладает этим свойством на всей области определения. Поэтому алгоритмы К.Оно сходятся не с любого начального приближения. Если же алгоритм сходится, то он может сходиться даже сверхлинейно. Предполагается также, что оптимальное управление удовлетворяет некоторому условию регулярности, которое в настоящей диссертации называется условием вполне регулярности, но не всегда это предположение оправдывается .

Таким образом, задача создания вычислительных алгоритмов с гарантированной сходимостью, учитывающих специфику динамических задач и за счет этого обеспечивающих уменьшение объема вычислений, является актуальной. Целью диссертационной работы является разработка и теоретическое и экспериментальное исследование таких алгоритмов, а также математическая формализация прикладных задач, которые могут быть решены с их помощью. Разработанные в ней алгоритмы оптимизации строятся для задач со смешанными ограничениями типа равенств и неравенств без каких-либо предположений о линейности или выпуклости функций, входящих в постановку задачи.

В работе рассматриваются два вида прикладных задач: задачи оперативного планирования добычных работ на карьерах и задачи оп

- 13 ределения конфигурации карьеров. Рассмотрение таких задач как оптимизационных стало традиционным (см. библиографию в работе С.Я.Арсеньева и А.Д.Прудовского , обзорную статью С.Д.Коробова [3l] и работу И.Б.Табакмана [57] ), накоплен большой опыт их практического решения. Однако для известных автору работ характерным является определенное упрощение решаемых задач в целях их приспособления к использованию вычислительных методов, известных постановщикам задач (более подробно эти вопросы обсуждаются в § 3.1, § 3.3). Целью прикладной части диссертационной работы прежде всего является разработка более адекватных математических моделей для рассматриваемых задач горного производства, а также способов решения этих задач.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрен широкий класс задач дискретного оптимального уцравления - нелинейные задачи с ограничениями на уцравление и смешанными ограничениями типа равенств и неравенств. Методы дискретного оптимального управления впервые применены к задачам открытых горных работ. Получены следующие основные результаты.

1. Предложена новая форма вариации допустимого управления, основанная на представлении приращений управления на каждом шаге в виде суммы определяющего (оптимизационного) и компенсационных слагаемых. Изучены способы построения определяющих приращений управления.

2. Для рассматриваемого класса задач доказаны новые необходимые условия оптимальности первого порядка. Указан способ их проверки, установлена их связь с известными условиями оптимальности.

3. Разработано несколько итерационных алгоритмов оптимизации для рассматриваемого класса задач. Доказана их сходимость. Предложены также алгоритмы оптимизации для некоторых других типов задач многошаговой оптимизации: для задач с целевым функционалом нетрадиционного вида, с вектором параметров, а также для аналога задачи о быстродействии. Исследованы условия, при которых для задачи с ограничениями типа неравенств имеет место линейная локальная скорость сходимости.

4. Предложена модификация алгоритма Г.Зойтендейка для общей задачи математического црограммирования с ограничениями типа неравенств, для которой впервые доказана линейная локальная скорость сходимости в общем случае.

5. Проведена теоретическая и экспериментальная оценка времени решения задач с помощью предложенных алгоритмов. Установлено, метических операций. В рассчитанных примерах полное время решения раций - не быстрее, чем /V .

6. Показано, что известные постановки задачи оперативного планирования добычных работ на карьерах в режиме усреднения качества с различными критериями оптимальности формализуются в виде задач дискретного оптимального управления. В задачах могут быть учтены ограничения на содержание в продукции карьера полезных и вредных компонентов или сортов полезного ископаемого, на соотношение между содержаниями компонентов или сортов,на производительность карьера и отдельных экскаваторов для каждого интервала планирования и всего периода планирования. Эти задачи могут быть решены с помощью разработанных алгоритмов при встречающихся на практике размерностях задач.

7. Сформулирована модель геометрии карьера, в которой контуры его уступов считаются гладкими кривыми ограниченной кривизны, включающая технологические условия открытой разработки месторождений: ограничения на угол откоса бортов карьера, ширину рабочих площадок и транспортных берм, расстояние между противоположными бортами, радиус кривизны карьерных путей. На основе ее конечномерной аппроксимации получена модель карьера, в которой контуры уступов считаются замкнутыми ломаными. Исследован порядок аппроксимации .

8. Предложен способ решения различных задач оптимизации геометрии карьеров с использованием конечномерной модели, основанзадач росло в зависимости число ите

- 147 ный на идеях: разработанного численного метода. Показана работоспособность предложенного подхода на примере одной задачи оптимизации рабочей зоны для Экибастузского каменноугольного местоI рождения.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.В.Величенко, научившему автора методам оптимального управления и в особенности прямым методам и определившему стратегию работы над диссертацией.

Автор сердечно благодарит заведующего кафедрой вычислительных машин МГИ доц. М.И.Варийчука, направившего работу автора в области приложений численного метода, что в особенности касается задач оптимизации контуров карьеров.

Автор выражает благодарность проф. С.С.Резниченко, привлекшему его внимание к задачам оперативного планирования добычных работ, а также доц. С.Д.Коробову за обсуждение вопросов математического моделирования и оптимизации карьеров.

Автор благодарит к.ф.-м.н. А.А.Шананина и Д.Д.Фролкина и м.н.с. В.А.Козьминых, оказавших большую помощь в работе над текстом диссертации.

1. Арсеньев С.Я., Прудовский А.Д. Внутрикарьерное усреднение железных руд. - М.: Недра, 1980. - 248с.

2. Афанасьев Н.Н., Коровкина Т.Е. К задаче о нахождении оптимального контура карьера. В кн.: Теория оптимальных процессов. Киев, 1974, с. 53-61.

3. Беллман Р. Динамическое программирование. М.; Изд. иностр. лит., I960. - 400с.

4. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. -М.: Наука, 1973. 448с.

5. Будак Б.М., Беркович Е.М., Соловьева Е.Н. 0 сходимости разностных аппроксимаций для задачи оптимального управления. -ЖВМ и Ш, 1969, т. 9, № 3, с. 522-547.

6. Бутковский А.Г. Необходимые и достаточные условия оптимальности для дискретных автоматических систем. Автоматика и телемеханика, 1963, № 8, с. I056-1064.

7. Валуев A.M. Вариант метода возможных направлений для задач дискретного оптимального управления. В кн.: Аэрофизика и прикладная математика: Сборник научных трудов. М., 1981, с. 36.

8. Валуев A.M. Численный алгоритм с декомпонированным построением направления спуска для задач дискретного оптимального управления. М., 1982. - 32с. - Рукопись предст. Моск.горным ин-том. Деп. в ВИНИТИ 30 марта 1982г., № 1432-82.

9. Валуев A.M. Вопросы математического описания Форш карьерови решения задач ее оптимизации. В кн.: Аэрофизика и геокосмические исследования: Меледуведомственный сборник. М., 1982, с. 69-70.

10. Ватель И.А., Кононенко А.Ф. Об одной численной схеме решения задач оптимального управления. ЗКВМ и МФ, 1970, т. 10, № I, с. 67-73.

11. Величенко В.В. Численный метод решения задач оптимального управления. ЗКВМ и Ш, 1966, т. 6, № 4, с. 635-647.

12. Величенко В.В. К задаче о минимуме максимальной перегрузки. -Космические исследования, 1972, т. 10, № 5, с. 700-710.

13. Волин Ю.М., Островский Г.М., Тандит Б.В. Об оптимизации дискретных процессов. Автоматика и телемеханика, 1980, № 4, с. 61-68.

14. Габасов Р. К теории оптимальных процессов в дискретных системах. ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, № 4, с. 780-796.

15. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Об одном классе методов решения задач нелинейного программирования. Докл. АН GGCP, 1978, т. 239, № 3, с. 519-522.

16. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Пакет программ для решения задач оптимального управления. М.: ВЦ АН GCCP, 1978. - 77с.

17. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Библиотека программ для решения задач оптимального управления. ЖВМ и Ш, 1979, т. 19, № 2, с. 367-387.

18. Гроссман К., Каллан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск: Наука, 1981. -184с.

19. Гудков В.М., Васильев А.А., Николаев К.Д. Оперативное управление добычей руды заданного качества. Горный журнал, 1976, № 9, с. 25-29.

20. Дубовицкий А.Я. Дискретный принцип максимума. Автоматика и телемеханика, 1978, № 10, с. 55-71.

21. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. - 760®.

22. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432с.

23. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Кибернетика, 1966, № 3, с.1-20.

24. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: Изд. иностр. лит., 1963. - 176с.

25. Зуховицкий С.И., Поляк Р.А., Примак М.Е. Алгоритмы для решения задач выпуклого программирования. Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № 5, с. 991-1000.

26. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. - 272с.

27. Карпов В.В., Величко А.П., Курочкин А.Н., Неумывакин В.И. Оперативное планирование добычных работ на К&чканарском ГОКе, обеспечивающее стабильное качество руды. Горный журнал,1976, № I, с. I0-II.

28. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд., перераб.- М.: Наука, 1976. -543с.

29. Коробов С.Д. Исследование динамики открытых горных работ на горизонтальных и пологих месторождениях посредством ЭЦВМ:

30. Дис. . канд.техн.наук. М., 1965. - 173л.

31. Коробов С.Д. Анализ методов проектирования границ карьеров с использованием ЭВМ. Горный журнал, 1981, № 4, с. 59-62.

32. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. 0 методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. ЖВМ и Ш, 1962, т. 2, № 6, с. II32-II38.

33. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций. ЖВМ и МФ, 1966, т. 6, № 2, с. 203-217.

34. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т. 2. М.: Высшая школа, 1970. - 424с.

35. Любушин А.А. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления. ЖВМ и МФ, 1979, т. 19, № 6, с. I4I4-I42I.

36. Моисеев Н.Н. Методы динамического программирования в теории оптимальных управлений. ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, № 3, с. 485494, 1965, т. 5, № I, с. 44-56.

37. Моисеев Н.Н. Численные методы теории оптимального управления, использующие вариации в пространстве состояний. Кибернетика, 1966, т. 5, № 3, с. 1-23.

38. Научные основы проектирования карьеров/ Под общ.ред. В.В. Вкевского, М.Г.Новожилова, Б.П.Шатова. М.: Недра, 1971. -598с.

39. Опыт применения современных математических методов и ЭВМ впланировании открытых горных работ/ Под ред. В.В.Ржевского. -М.: ЩИИ ТЭЙуголь, 1967. 72с.

40. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. - 376с.

41. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидэе Р.В., Мищенко В.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 3-е изд.-М.: Наука, 1976. - 392с.

42. Проектирование, планирование и управление производством на карьерах посредством ЭВМ/Под ред. В.В.Вкевского. М.: Недра, 1966. - 240с.

43. Пропой А.И. 0 принципе максимума для дискретных систем управления. Автоматика и телемеханика, 1965, № 7, с. II77-II87.

44. Пропой А.И.Методы возможных направлений в задачах дискретного управления. Автоматика и телемеханика, 1967, № 2, с.69-79.

45. Пропой А.И. Задачи дискретного управления с фазовыми ограничениями. ЖВМ и Ш, 1972, т. 12, № 5, с. .1128-1144.

46. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов.-М.: Наука, 1973. 256с.

47. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969. - 151с.

48. Пшеничный Б.Н. Принцип двойственности в задачах выпуклого программирования. ЖВМ и Ш, 1965, т. 5, № I, с. 98-106.

49. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320с.

50. Разумихин Б. С. Метод касательных для статических и динамических задач оптимизации. Автоматика и телемеханика, 1977,1. I, с. 5-15.

51. Резниченко G.G. Математическое моделирование в горной промышленности. М.: Недра, 1981. - 216с.53. йкевский В.В. Технология и комплексная механизация открытых горных работ. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1980. 631с.

52. Розоноэр Д.И. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, 1959, № 10, с.1.20-1334, № II, с. I44I-I458, № 12, с. I56I-I578.

53. Симкин Б.А., Шкута Ю.К. Аналитическое моделирование месторождений и их открытой разработки. М.: Наука, 1976. - 152с.

54. Суменков М.С., Коуров В.А., Кисляк В.М., Маточкин В.А. Математическая модель оптимизации недельно-суточных планов горных работ на карьерах. Горный журнал, 1971, № 9, с. 14-17.

55. Табакман И.Б. Принципы построения АСУ на карьерах. Ташкент.-Фан, 1977. - 140с.

56. Танайно А.С., Красовский В.А., Шалагинова В.Н., Седов Г.П. Методика моделирования процесса перемещения фронта горных работ на математических моделях пластовых месторождений. В кн.: Оптимизация параметров карьеров. Новосибирск, 1978, с.123-138.

57. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977. - 216с.

58. Тихомиров В.М. Вариация. В кн.: Математическая энциклопедия, 1977, т. I, с. 603-604.

59. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. -496с.

60. Фан Л.-Ц., Вань Ч.-С. Дискретный принцип максимума. М.: Мир, 1967. - 180с.

61. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488с.

62. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 168с.

63. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. -240с.

64. Хохряков B.C., Саканцев Г.Г., Яшкин А.З. Экономико-математическое моделирование и проектирование карьеров. М.: Недра, 1977. 200с.

65. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные методы механики и управления. М.: Наука, 1973. - 238с.

66. Численные методы условной оптимизации. Ред. Гилл Ф., Мгоррэй У. . М.: Мир, 1977. - 292с.

67. Энеев Т.М. Некоторые вопросы применения метода наискорейшего спуска. М.: ИПМ АН СССР, 1970, препринт № 17. - 57с.

68. AMwtigh-fc 1С. A feasille diiection aCgoiithm for convex optimization: qtoiai convergence icries. — XOpWTkecy^ Appt-, 1330 v. 30, N 1, p.M8.

69. A^mljo L. Mini^czcxiLOH o-f functions having Ltpschiiz- contiguous fttsi paxtla£ dmur&iiires, -Pacific Д Math,1966,v.46, Wd? p. 4-3.

70. Chanty R. W. On the wb of сотгцепсе оf some

71. UasMe dixaoiim a^oxi-thms.-iOp^Jhe^Appl.,1. W6,v. 20, N3, p.29? -313.

72. EtccsonlD. Lonj-tange open pii ' еп^мшиз, 1968, v. 20, N

73. Jot sys-te^rts descU&ed nonfcneat difjetence equations-SIAH lCo»ttof,tt«, v. Mi p. 60-Ж 77. LeieksH,G*°ssr»iAKlF. Optimum design of open-piiwtwes. The Cawaoliaw Mf, Ш?,1. W 633 p-^-54.

74. May'ne Ъ.Q. A second-отdn giadi»* methoddeiamin^ optima? w5 n К-9Гcteit- time syst^s.-I«t.lCo*t4oU9«M-9b.

75. OUo K. A MW аррюаей to diffe^tia*paoaiammiitj foi discrete -time Systems. -1 ttt T4CmS. Automatic Conbot, Ш8, V.23, N I, P.W-W.

76. Pttonneciu 0., Po^ac E. Rate of оопаг^еисе ofaefassoi methods offeasiMe diaedcons.-SIAM З.А/мте-1./Ut., шз,

77. Top к is D.H. Veinott А.(Ь). 0» the cowajwcc of somefeasite oln«et£on$ftl(i<rtithw».jlirtBor»<iM<«. pto9»>nmi"».

78. SIAM 19G7, v.5, N 2, p. 268-2W.

79. Wson H CoM()wta.tion of optima* cowtioC.-INatb.1. ДмЛАррЦ^И.уА N d, p.83 tlacofeort M.Lf&HM. A iiarKfoWion techniqueopW conivof pnoifoms with 5Ые ■ co^^ts -TEEE hrans.Awtomatic <W4

80. Mehi«l?.K.,DavisR.E. A yiuniiitJ padiert method f«»optima conttoC ргоШм wiiM Lnequabty со^Ы^Ь anJ SiM-fa* avs.-IE££ Tmns. Automatic CoM,№, v.N p. 63-79