Принцип максимума и задача синтеза для линейных дискретных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ . ем. Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

Механико-математический факультет

На правах" рукопнся

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ' СИСТЕМ

Л

01.01.09 - математическая кибернетика.

Автореферат %

диссертации на соискание ученой степени, ■ кандидата фтстака-математагэсках наук

Сзпатов-199?г

Работа выполнен.ь на кафедре дафферекздахьных уравнений пряушдзой шшеиатшш цеханико-иатеиаткческэго факультет Саратовского государственного уншзерсгтета си

Е. Г. Чорзис-авсаого.

Научный руководитель

доктор фазлко-иатематическЕх наук, профессор \АЛ1.2ромав.

Офшртальнаэ ошонеЕты -

доктор Сшгко магс&шшгсэсюп наук, прфессор В-НЛихяйгоа,

кандадат ^пззко-математЕческах наук, доцент Тихомиров.

Вздуцая организация -

Саратовский государственный тазшчесетй унЕверсжтет

Зачзта дассертащш состоится дня 1957г. в /У ч

1ЕЛ1. на заседанин дассертацисного совета К 0ъ3.74.04 хгрп

СератовсшА государственной -университете ем. Н.Г.Чегаышевского по адресу! 41СХ)26, -г.Саратов, ул. Астраханская, 83-

С даосертацдей ыоано ознакомиться в наушюй ои&лиотек -Саратовского государственного университета. . Автореферат разослан 1997г.

Учений секретарь

даооарфацгонного совета

кандадат @ззяко-ывгеынтически1 наук <

доцент П.Ф.Недорэзоь

С£3£Я НЕШНК!ТТЛ РЛЭОШ

Актуальность та'.и. Ф^ндгйягстгигьннЗ результат з теоргя оптимального управления - принцип максияуг а Пснтрягзпа, был получен впервые ддя непрерывны! задает. Есзгк било доказало, ' что [цп определенных усдаваят он заполняется л з дпскрэтзс.! случаэ. ТервкЗ результат з дохсазгтелъетзе втого" факта бил подучен PoscEcapc'j JLB- з"559г. В дальнеЗас-ч стала появляться работа, ¡гстазгзлазашзв для дпекретшн. объектов разлвгшото ездэ гесвхег..»ыв . уодсзпя «тимальзостл етгз ггршгципэ _ыаксзплука ГсЕтрлгнна. К кзнболэе- значимым работам 2 этсм нгпразленпл злгдуэт стаестя работа Дубовпшсого А.Я. а Шлвпша A.A., Зсдтянского З.Г., Срспся А.И., Паензчнсго'S.H.

3 19^бг. вышла работа Габасовэ Р. я КарялдовеЗ 5.Г!., з атороЗ oas введен щпнлял хэвэзиЕйсгздаа, усгаЕавлпвгзгсЯ* сагзь 1Э2ЯУ "непреризнкц" я "дзскретным" пряншшем каксяиунз-

йслользозанле прзЕЦига »¿ахсицуаа позволило реззть - мнскэстбо рактлчгсзззх аадач, те» более, что услсвзя сггле-плыхостз тжтата и&хшдоа очень часто становятся &е тогыго вобходаыких, но з достаточный**.. При гседедозашга-ькстреиалывп аддч л, в частностд, задач еппмадьного управления» яг-.луя родь' грзет теория дзойстзенпостп'. таге как есстясгетшл двойственности савалЕзт строить . ^йектзвше ал^ерлтаа - реяешта задач. ' Е зскрэтяом варат-го двойственные ' г-зтоды .. разрав£ЖЕадясь. апрвмрр, з работах Ппсаса АЛ!., Тар-КрзпсрсЕЗ А.П.

-Одной 23 наиболее . ва-тш з трудпж задач опгкагкаго травления -шляется задача синтеза - яагегдгяггг- зшява травления в нид? фушашз коогдзнат состояния. Проблема синтеза

t -

дасвращп: саогш зашиались Швшгаша Б.К.» Габазов Р., Крутько 1ЬД, и другие-авторы.

В представляемо! работе рассматриваются гладкие к негладкие .задачи длскрзгного оптимального управления. На основе метода ДубовшщогоЧ&датпаа получены необгодзше к достаточные условия оптхшалъноати в форме цращктта максимума Понгрягша, а затем из щшцццв шксшууа условия опавмальвоота в двойсжвевнеа форме.

Уравнения щтацштя иакеаиука, получезше для мтвйаШ системы с квадратичным цда^ерзэ» качества, используются щи решении задача синтеза.

Цель работ. ,

1) Получение для некоторых гладких и негладко. задач опжмальвого управлбяаа дшейкыш джскретныж систоыаш с разлакшии 01ф£шичеаяяни н&обздщаш. и достаточных условий спгшгльнооги, дозвсшгвдих огради. алторяпег численного решения.

2) Исследование проблгаы синтеза для линейной; дзекрегно-З езсчецы с каадратхпнзкя функционалом.

Кетозш кослэдог.адая.' В работе- .используются нетоды ©ЗшдашаяьЕого оааягзд, иечот данайаой алгебры, методы 'теории Бкотреиальшх задач.

Научная новизна.

1) Получены необюдаае' и достаточные условия оптимальности в фор« цргнцшга максимума Понтряпща для следуходх задач ооташального управления линейшаги дискретными системами: для задача сс смешанными ограничениями, связывавдиш прсзавояьвые точка дискретной траектории; для задачи минимизации полного Ешудьоа ошш; для задачи с недаффёренцаруеыыми

л

>ункционадои ж смешанными ограничениями; для задача о вадратлчшм функционалом л Еераэделешшш гранячшаш условиями, олучена условия оптимальности в двойственней фсрг.'э,

2) Опнсанн свойства реяени® уравнений щпзщяпэ максимума для адача о квадратичны» функционалом и нерэзделеншая граннчнжп словзязет.

3) Построены синтезирущзе фупища, йорсздащая классы атЕлальных траекторий, соответствуй^^ линейной системе с вадратнчнкм функционален я афзнныья! ураезнет уоловляыя.

Практическая ценность. Подменные результаты могут бить рзленены пря численно?! решения дискретные задач оптимального правления, а такзе для построения сиатезлруклщз функций .

Апробация работы. Результаты, излояенвнэ в • диссертация, зкладавалнсь и обсуздалзсь на научном семинаре кафэдрн пфференциальЕых уравнений ж прякладво!- матрматгоя под уководством профессора а.П.Хромова, на зияли школах по • теории ?вкций- и .приближений (г.Саратов, 1983, ИЭЗбг.г.-), на Х1 зесоззнсЗ ксиЗерешщи по проблемам теоретической кибернетика Волгоград, 1990г.). ' *

Публиаацяд. Результаты доссертатдта опуСллкозсзк в работах 1]-Г71. перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит. из введения, 362 глаз и списка литературы, ' вклзчащего 57 на^зкяовсгкЗ. 5ъея работы составляет 144 страницы машинописного текста.

содекшез уасотя

В вдрпгсЗ ГЛЕЭ9 даете-: ■ постановка задачи оптимального юкретного управления и приводятся основные сведения пз теоркл гбовицкогэ-Милютина И ]. Здесь яе строятся конусы варяацаЭ, в

v дЕффэренцпруеыси и недаф^рекцкруоиом случаях» В частности,

получено описание следующих конусов:

%

1) сопрлкенвого конуса К к конусу касательных направлений

для ланэйяой даскрэтноС оислеш

*

s(t+i)=ix(t)+bu(t), ъ=о,...,ам, (i)

к краевого условия:

Ez(0)-fQx(T)=a, (2)

где А - 11*11 матраце, P,Q - Ихп-матрацк, гЦО&Е1, txsEn, асЕ™, ранг[Р,а5]=и;

2) конуса запрещенных вариаций К, для функционала

б

Т-1

I(x,u) = £ max |и (t)I;

t=0 lSSciSin

3), конуса запрещвшгых варааций К„ для функциоиаяа

Т-1

1(х,и) - 1 [qj;s(t))+h(u(t))],

- - t=o

где f), h(r]) - ввдукшэ, -конечные функции, gcE", ггсЕ". "Доказаны ?зореда:

$

Tsspsua 1.8. Пусть I сК . .Если пара (х,и) удовлетворяет it

дискретной системе (1), то существует вектор ЯсЕ™ такой, что тоет ыосто равенство:

ijU,u)=<l, ?x(0)+Qx(T)>. Здесь черев х.и обозначены дискретная траектория и дискретное управление: х={х(0),...,х(!С)}, u={u(0),...,u(T-1)};

А Л ч

через (х,и) - вершина конусов.

Tcopsiss 1.14. Пара (х,и) принадлежат конусу К тогда и только

" 6

тогда, когда выполняется неравенство:

[1] Дубовнцкйй А.Я., Милютин А.А. Задачи на екстремум приналичии огршаменнй. ЖШ и MS, 1965, 5, ИЗ.

/ &

2 í|u(t)l + £ raar [u. (t)sign u, (t)J '< O tek ° t«H ueSt K *

где ■

N={t(t=0.....3-1): u(t)=0},' •

' S ={k(k=1, — ,n) : lu. (t)|=|jû(t)!i }, t=Û,...,ï-1.

t 'А СО

TcorcíH 1.16; Конус K„ состоит isa то x я только тех пар (z,u), для которых выполняется неравенство!

Y „лаг . <çV.),z(t)> +

t.O Ç ( t >Cd<t(x( t П

T-l

+ г „ max „ <rf(t) ,u(t)> < Ç,

1 = 0 r¡< t >SSh fui t ) )

л л

где через aq(x(t)), 3h(u(t)) обозначены' оубдкфференциглц

л . л —

функций q и h в точках x(t), u(t) соответственно.

Предполагается, что существует t (t-0,...,Т-1), при котором Oesq(x(t)), или Oesh(u(t) ).

Ео зтерой глЕ^а рассматриваются следующие задачи: 1)■ задача,оптимального управления для линейной дискретной системы с' оутяларнкм критерием качества ' и смешанными ограничениями специального вида (задача 1):

ж( t+1)=A(t)x(t)+B{t)u(t), t=0.....Т-1

х(0)-з, '

'•• x(T)eï>,

u(t)eU(t), t=0,...,Œ-1 -g(s,t,x(s),x(t),u(t))sO, a.tsO,...,1!!-! •

I(x,u) -V TDin

t»a

рде A(t) - ПхП-матряци, ¿(t) - Пхш-матршш, с - постоянный i-вектор; D,ü(t) - выпуклые, замкнутые множества, содержащие внутренние точки, DcS", UcE"'; g(s,t,tf,Ç,ri) - пда всех s,t

шпуклая по совокупности переменных дифференцируемая пс

S.i.rj функция s, t е£1,ï,£eEn,г?сЕш), которая удовлетворяет условна Слейтера; F(t,Ç,n) - дифференцируемая по Ç.rç функция.

2) задача оптимального управления для линейной дискретной система с критерием качества, Еыекцш ш^ысл полного таульса оллы, со cissiasEHisai ограничениями (зацоча2):

s(t+1)=A(t)s(t)+B(t)u(1;), t=0,...,ïM

s(0)=o,

2<ï)sD,

, u(t)eïï(t), t=Of...,ï-1 e1(t,s<t),ii(tj)sO, t=0,...,5M, i=0,...,l

I(x.u) =VNt)|fô -» Eln uo

где A(t), B(t),c, D» U(t) - .те ::;з, и в прэдыдудей задаче, g, (t- прн всех t ьиауйлыэ по совокупности переменных f.r;, дг4фэре;щгруегг.-е по £,rj ôjïecesî (teE1 ,ÇeE".i?cEM), которое 'удовлетворяет уейзвгэ Слейтерз;- |u(t)| » саг lu (t)|.

13 ISfeSm

3) ЕедиЗфврзгащруемая задача оптимального управления для леззёной дискретной система с суммарным .критерием качества и шапавшЕяг огпалетешогц (задачаЗ)!

2(t+1)=l(t)2(t)4B(t)u(t), t=Û,...,!T-1

z(0)=o,

x(?}gD,

u(t)-sU(-t), t=0,...a5M ' " _

g(s(t)tu(t))-ei(z(t))+ga(u(t))£0, t=0,...,5-1,

, I(z.u) =x'iQÎï(t))ft(u(t!)) -> rin

t«0

XWS ¿(.t), B(t),c» D, TJ(t) - sé еэ, что в в предыдущих задачах.

s

функции g2(ri), q(d), h(£) - выпуклые, rj.CeЕш.

Предполагается:

1) существует t (t=0,...,T-1)% при котором Osöq(x(t)), или 053h(u(t));

2) функция g удовлетворяет условии Слойгера, а пиеняо, существует пара (5Е,й)«Я такая, "что прл лкбен t

g(i(t),ü(t))<0.

4) задача огггтальпого • управления для лшейпой дискретной системы с неразделенными крэезнт.ш усповняня и квадратичным щотерэеы качества, без ограниченна (задзча4): x(t+1)=ir(t)+bu(t>, "fc=0,...»S-1,

Ez(0)+Qz(!D)=a,

„ I(x,u)= V [<Iür(t),s(t)>+u2(t)]"i. aln (3)

где А-ПзсП-}/атрзца, b-n-Beicrop, х(1)-п-векгор (t=0,..,T), и(1)-скаляр (t=0,... ,T-1), Р,3-т*п-шзтрпци (Osas2ii), прочем, psBr[P,Q]=a; M -n*n- палоштельно-спрэделенная матрица, а-т-вектор.

В задач?1 рассиотртаекке еыешанные ограничения сзязывают две произвольные точки ■ . оптимальной траектории:

g(s,t,x(s),i(t),u(t))s0. Для/непрерывних систем задача только с фазавнка агрзничбваяуя такого вида раосматравалаеь Поповым В.А. г Якубовичем В.А.в 1933г.

В задачеЗ клашгззруется' функцгонал, который сиеет е:шсл полного шпуль с а силы. Непрерывная задача с, тагам крктарном качества в пнтогралыюЗ" форгге рассматривалась, 4 нпщишер, : .пзсовскем h.h.

В. задаче* 1-2 все заданные' ОушщД! щгодалагепгея •

дифференцируемыми.- Случай недагЕференцируемых ограничений и недяфферанцируемого функционала рассмотрен в задачеЗ- Такал -образом, методика Дуйовицкого-Мшшгина, примененная к задачам 1-2, ыоиет быть распространена на неда®ерепцируеиый случай. Доказали теоремы:

TeopsisQ 2.1. (Принцип максимума). Если (s,u) - решение задачи 1, то существуют числа X ,7(в,1;)ь0 (s,t=Ö,...,Т-1), не ' равше одновременно нулю, к векторы у, <p(t)cE" (t=0, — ,Т) такие, что

i.j-V(t) есть решение дискретной задачи:

'i(t)=AT(t)if!(t+1)-XoP?(t,z(t),u(t))-

Т — 1 А Л Л Л Л Л Л Л

. ~ Е [7(t.s-)gi(t,s,s(t),2(B),u(B))+7(s,t)g (s,t ,s(b) ,s:(t) ,u( t))'

o = 0 - . 5

t=0,...,3?-l' f(T)=7;

2) <7,y-X(T)>aQ, yeD; - '

3) i(s,t)g(a,t,x(s),x(t),ü(t))=0, s,t=0,...,I-1„

4) при всех t=0,„.. ,.T-1

min Г X m\x(t),v)-<BT(t)tp(t+1),v>+ veu<ti .. -

+ I 7(s.t)g(B,t,i(ß),x(t-),7)}

o«0

л

достигается не v=u(t).

Эта теорема .доказана в предположении, что выполняется условие:

Т~1 п л- -т л /ч

1 t I IP-.(t,2(t),u(t))l+ I |Р (t-,x(t),u(t))|] > 0. (,4) t»o 1=1 ' 1 = 1 ''

Л Л

Теоренв 2.4. (Принцип максимума). Если (z,u) - решение

А

зйдачи2, то существуют числа Xo,71(t)a0 (t=0,... ,!Е-1), не равше одновременно нуда, и векторы 7,y>(t)€En (t=0,...,Т-1;

i*Q»...,l) такие, что

1) !p(t) есть решение дискретной задачи:

p(t>=AT(t)ip<t+-i>- Е i.(tHg.')f(t,x(t),u(t>), •

2) .<J,y-2(T)>aO, yeD;

3) (t)gj{t,2(t),u(t))=0, t-0,—,5-1» 1=0,...,1;

4) при всех t=0,...,T-1

■ min f X |iv| -<BT(t)3(t+1),v>+v } (t)g.(t,i(t),v)}

v£U(t) 1=0

достигается на v=u(t).

А А

Toopcws 2.7. (Прянцш максимума). Если (x,u) - решение

л

зздочпЗ, то существуют числа X ,X1t)aO (t-0,... ,5-1), не расные одновременно нулю, и вектора y,'i?(t)eln (t=0,t.. ,5!) такие, что

1) ip(t) есть репкние дискретной задачи:

!?(t)=AT(t)v(t+i)-xo5*(t)4(t)a*(t), ■

* А « Л

1 (t)eaq(z(t)), r(t)«Sgi(2;t)), t-0.....1-1

2) <>,у-х(Т)>аО, yeD; . '

3) \(t)sCx(.t),u(t))=0, t=0,...,2-1,

. 4)-при всех t-0,. .. .i-l

min { X h(v)-<BT(t)ip(t+1) ,v>+ X(t)g_(v)} veuit)

юстигзется на v=u(t).

А А

Творэао 2.10. (Принцип максимума). Если (х,и) - решение |адвчк4,'то существуют векторы Xelf, (t=-!.....Т-1)

'ЕКЯЭ.ЧТО • - •

1) выполняется сопряженное уравненке:

9(t-l)=AT?(í)+f»¿(t), t=0,...,!P-l;

2) выполняется условен трансверсальности:

PtX-i¡J(-1)=0,

Qt1+9(T-1)=0;

3) оптимальное управление определяется по формуле:

u(t)=-<tp(t),b>, t=0,___

В работе для всех рассматриваемых задач доказана достаточность принципа максимума. При: егом в задаче1 условие (4) заменяется на условие выпуклости функции

Для. задач1-3 из принципа максимума выводятся условия . оптимальности в двойственной форме и преобразуется ■ краевая задача 'принципа максимума. В частности, для задачи2 преобразованная краевая задача имеет над: х(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t), t=0,...,1-1 ■ х(0)=о, . • ■ '

<p(t)=AT(t)tp(t+1)- £ 7j(tMg^U.xdO.údO),

i л при каадоц t u(t) - регандэ задачи

Clin * {¡у! -<BT(t)v(tf1),v>}; vcyit) 03

0 (t.xCb),*)SO

A

пра каэдсу t y ((t) - решение задачи .

пах 4 min {|7| -<BT(t)?(t+D,v>+Г 7 (t)g (t.i(t).v)}.

7 {tlbo v€UCt) . 1-0 -

, 1-Й, . . .,1

В отличии от условия максимума 4) в теореме 2.4-, в полученной краевой задача мы имеем даа условия для определения оптимального

а .•

' управления е мнояателэй у , что позволяет создать алгоритм

N

численного резашш.

В 5рзта>сЗ ктаэ рселедуетея проблема сшзеза для лилейной спстеыы с кгадратпчшм фуякциоиалш.

Под синтезом всЕпкаегся отнсказав функцза u(t,x), щп которой любое решсав двскретйой сзстена (1) сз?азсватся оптимальней траекторией задачи олшсального упровлзпяя для этой сзетомы с' квадаагасакм фуягащеваггси (3) я векотогше краевыми условиями. В та;со2 постановка проблема синтеза • впервые расшатривалась ЗГреиаска A.n. (еа. [2]) дай nenpsjsiESux енстеч. В представляемой работе некоторое рззультаты, псдученгшие Хрсмозш Л.П., переносятся на дискретны:! случай.

Предварительно исследуется • задата*. Для задачи4 доказала теорема суз&стаазаЕЯЯ а едзнственносяа ее решения. Далее исследуются уравнения дразшша мвтэдгва, Доказано несколько сзсЯетз репезЕй э'лы уреикшва (аксзтекалзЗ).

Доказаны теоряпн:

Теоргга 3.2. Пусть irspa (2,?) -вястрзиаль. Тогда . прт некоторых краевых условиях ища (2) у={х(0),...,2(1)} оудет оптшальпоЗ траекторией дтн системы (1) с квадратичные функцзшзхс?.« (3).

Ксрега .3.4. Лоедедсттельнссть {2(0),...,л(Т)' будет спттгтльнсЭ ' траекторией для систевд (1) с квадракгазш функционалом (3) при некоторых краевых услсязях вида (2) тогда а только тогда, когда для всех t

2(t)=i>i(t)c, - (5)

["2']ZpcisoBA.П. /0 задаче синтеза дянеЗкнх. систем с кзадратшшш критерием качества.//Сб. "Матеы. а ее щгияязэЕрая", Саратов, 1SS8r

Х(х-И) А -ЪЪТ

ри-м) -(АТ)_1НА ЦтГ1(Е+ШзГ)

где О (Ю - блок из п перБшс отрог; .фундаментальней «атргщ; снстемн:

у—ч . .

1 I • • * I* ■ I

^ - некоторый 2п-вектор.

В 3-ем параграфе рассматривается -вопрос о взаимосвязи постоянной о, определяющей оптшальнув траекторию в о

краевыми условия}«, которшд эта траектория удовлетворяет. Найдено представление постоянной с для некоторых сечейстэ оптямальнш. траекторий. В частности, Бассиатрзвается ыжжеотво отчшальных траекторий, которые является решениями оеиейства задач, .определяемых системой "(1), функционалом (3) и краевые услсвшаг!:

Рх(0)+Фс№=

где а0~ф;гкаЕраващш2 э-п-вектор, р - п-вектор-параыетр (а>п).

Рассматривается тзкпэ множество огггзцзалыЕИ траекторий для систеш (1) и функционала (3).,' подешенныд

гдо Р,0 - ыатраца размерности Яхи, причем, ранг [Р,5]=я, а г.-по::тор. '

Охгпйзадьны» траектории рассматриваег-их семейств определяется пг)отсйкка1 вида:

гдэ 0 - <1 - 2п-век-гср, р - параметр.

' В парштз^с получеанно результаты используются для

построения снктезирувдт. функций. Доказана

Тоорама 3.11. функция и(1»х), определенная фермуло2:

.-^л^+ш'Ч^^иь^и+т))!!,?», ' г=о,...,т-1, (6) является еннтезирушеа для системы (1) ж функционале- (3), причем, она синтезирует зее аггапиадьние .траектории вида:

хт^-ШЯр+й), (?)

где р - параметр.

Здесь обозначено; (1)0.

Рассматривается случай,, когда при некоторых 1 с!е1(Ф1 (1)В}=0.

Б втем случае вводится определеше обобщенного решения

дискретной систалз н рассматривается система (1) с функцией (6),

которая не существует в отдельных точках в которую называем

л-.

обсбаенней сянтезиругщеа.

Дойвзнввется, что ■ прз -определешшх условиях обобщенное решение получанней еяетешг становится сгптиыальной траекторией, которая смеет еид' (7). Крше того, доказывается, что любая оитамальавя траектория вида (7), для которой в некоторих точках йег(Ф (1;)1))=0, лороздается обобаеквой синтезирующей функцией. Следовательно, иогно сказать, что реиена задача сиятези для класса оптимальных траекторий, определенных формулой (7). Результаты диссертации опубликованы в еледуших работах.

1. Трогнна Н.Э. Условия оптимальности в дискретной задаче «апииэаш полного импульса силы со сыеиакнша ограничениями

Дел. в ВИНИТИ, 16 еэттября 15В9г. N¿438-289- ■

2. Трсшшь Я.®. Задача кябенизйцеи полного гзшу:\ьсп силы со -- - смепшншлл! ограничениями. Математика к ее прилезешш. Мез.

вуз. об. нзучн. трудов. Вап.2, 1991. йзд-во СГУ.

3- 'ТровЕша Н.Ю./ 0<5 одной негладкой задаче, оптимального управления дискретзшз системам. //Пройламп теоретической кибернетики- ' Тез. докл.- 11-ой ЕсссокзкоЗ конференции. Волгоград, 1990г.

¿. Тропика H.D./ НедаЗЗференцируеаая даскретная задача оптимального управления.// Теоржя фушодай в щжблвваний. Тр. 5-ой Capar. зимней школы,•1988г.

, Тропшна Н.Ю./Не обходимые и достаточные • условия оптимальности в негладкой.дискретной задаче оптимального управления.// Деп. з ВИНИТИ 12.06. 1990г. Ю587-В90.

ь. Трояюна Н.Ю./Уравнения принципа максимума и задача синтеза линейных даскретньцс систем.//Деп. в ВИНИТИ 21.10. 1994 N2397-B94.

7. Трошина Н.Ю./ Сиктезирукеие функции - линейных дискретных систем с квадратичным функционалом. //Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. 8-ой Сарат. звиней школы, 1996г.

Заказ 39 Подписано к печати /Л, 05S7, . Овьеы 1,0 пл. Тирок 100 экз" Тшкмрвфия кэт-ва СГУ