D - устойчивость матриц и знакопостоянство полиномов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

московским государственный университет имени М.в. ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи удк 512.643.8

Кановей Григорий Владимирович ^ Г 5 О Л

2 о Ш ш

^-устойчивость матриц и знакопостоянство

полиномов.

01.01.09 - математическая кибернетика автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Д.О. Логофет.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Латышев,

кандидат физико-математических наук В.Н. Чугунов.

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН.

Защита диссертации состоится" 17- . лУ ОрГсУ_ 2000 г.

в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " /у*'

к

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В прикладных задачах , связанных с анализом устойчивости динамических систем, наряду с классическим понятием устойчивости стационарного состояния по Ляпунову, важную роль играют понятия мультипликативной П-устойчивости (или просто О-устойчивости) и аддитивной О-устойчивости, возникающие вследствие имеющихся неопределенностей в данных или знаниях о моделируемой системе.

Понятие £>-устойчивости матриц впервые появилось в конце 50-х годов в работах по математической экономике, а в дальнейшем и в математической экологии. Матрицу называют И-устойчивой, если она устойчива в произведении с любой диагональной матрицей с положительными элементами на главной диагонали.

Понятие аддитивной О-устойчивости возникло несколько позже, в середине восьмидесятых годов. Ранее, в литературе по математической экологии матрицы, обладающие этим свойством, называли сильно устойчивыми. Устойчивая матрица называется сильно устойчивой (или аддитивно О-устойчивой, или короче, аО-устойчивои), если она сохраняет устойчивость при вычитании из нее диагональной матрицы с любыми неотрицательными элементами на главной диагонали.

Из определений О- и аО-устойчивости матриц не ясно, можно ли проверить их за конечное число шагов. Поэтому возникает задача построения конструктивных, т.е. проверяемых за конечное число шагов, критериев (или ха-рактеризаций) принадлежности произвольной матрицы множеству D- и ай-устойчивых матриц. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица [1] позволяет свести проблему £>- и й£>-устойчивости к вопросу, являются ли положительными всюду в положительном ортанте некоторые действительные полиномы от многих переменных. Благодаря элементарности соответствующих полиномов для матриц 2x2 и 3x3, данная проблема решена достаточно давно, см. [2]. Были известны также некоторые необходимые условия и некоторые достаточные условия О- и аЛ-устойчивости, см. например [2,3,4,5], однако проблема характери-зации оставалась открытой уже для матриц 4x4.

1 Гантмахер Ф.Р. Теория матриц//М.: Наука (1966)

2 Cross, G.W., Three types of Matrix Stability// Linear Algebra and Its Applications 20,253-263 (1978)

1 Д.О. Логофет, Свикобианы компартментальных моделей и DaD-устойчивость свикобианов,// Доклады Академии Наук, т.360, №2, стр 167-170, 1998

4 Johnson С. Я. Second, third and fourth order D-Stability//Joumal of Research of the National Bureau of Standarts- 8. Mathematical Sciences, Vol 788, No I, Jan-March 1974

! Johnson, C.R. Sufficient conditions for D-Stability // j. Econom. Theory, 1974. V.9, P. 53-62

Из теоремы Рауса - Гурвица, в частности, следует, что с помощью теоремы Зайденберга - Тарского (см. [6,7,8]) могут быть получены конструктивные критерии (полуалгебраические условия) принадлежности множества D- и aD-устойчивых матриц. Однако, трудоемкость алгоритмов исключения переменных, основанных на/геореме Зайденберга - Тарского не позволяет применить их к достаточно сложным полиномам с большим числом переменных и с высокими степенями переменных (каковыми являются полиномы, возникающие при анализе D- и д£)-устойчивых матриц). С практической точки зрения, эти алгоритмы реально применимы лишь для полиномов от двух переменных и для полиномов от трех переменный небольших степеней.

Современная практика математического моделирования в прикладных областях (в частности, в проекте INTAS - PIK «New version of the Moscow global biosphere model», 1995-97, номер INTAS-94-1154) требовала разработки компактных критериев для свойств D- и ^¿»-устойчивости матриц размера 4x4 и выше.

Цель работы. Построение алгоритмически проверяемых за конечное число шагов необходимых и достаточных условий D- и aD- устойчивости действительных матриц.

Методы исследования. Используются методы компьютерной алгебры (метод квазиоднородных полиномиальных форм, [9]), методы топологии.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации решены следующие новые задачи:

1) построены алгоритмически проверяемые за конечное число шагов необходимые условия и достаточные условия D- и aD- устойчивости действительных матриц,

2) построена картина включений и пересечений множеств D- и aD- устойчивых матриц, Pq - матриц, а также устойчивых матриц,

3) доказана звездность множества aD- устойчивых матриц любого порядка и D- устойчивых матриц порядка 2 и 3.

' Tarski, A. A decision method for elementary algebra and geomeoy, 2nd edition// Univ. of California Press, Berkeley Los Angeles (1951).

' Seidenberg. A new decision method for elementary algebra.// Ann. of math. Ser.2,1954, v. 60, p.356-374

* Кушниренко А.Г., Коркина О. Еще одно доказательство теоремы Зайдеиберга-Тарского// Сибирский математический журнал, 1985 г. т.26, вып. 5

* Кановей Г.В., Нефедов В.Н. О некоторых необходимых условиях и достаточных условиях положительности действительного полипома от нескольких переменных в положительном ортанте. //Деп. в ВИНИТИ, 07.02.2000 г., №281-BOO.

4) построены новые алгоритмически проверяемые за конечное число шагов необходимые условия и достаточные условия знакопостоянства действительных полиномов в положительном ортанте.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы специалистами в области математической экологии, математической экономики, математического моделирования и компьютерной алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в 1999 году на следующих семинарах и конференциях:

• на семинаре кафедры алгебры механико-математического факультета МГУ "Компьютерная алгебра" под руководством проф. A.B. Михалева, проф. В.Н. Латышева, проф. В.А. Артамонова, проф. В.К. Захарова, доц. В.Т. Маркова, доц. Е.С. Голода, вед. н.с. Е.В. Панкратьева,

• на семинаре факультета ВМК МГУ "Численные методы в оптимизации" под руководством проф. Ф.П. Васильева,

• на семинаре "Матричные методы вычислений" под руководством проф. Е.Е. Тыртышникова (ИВМ РАН),

• на семинаре по проблемам устойчивости в математических моделях под руководством А.Н. Филатова (ИВМ РАН),

• на международной научно-технической конференции и российской школе молодых ученых и специалистов "Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий", Сочи, 1999 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. 61

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 76 страницах, включая 3 рисунка и 8 таблиц. Список литературы содержит 34 наименования.

Содержание работы

Во введении формулируются проблемы, которым посвящена диссертация, кратко излагается история вопроса и формулируются результаты диссертации.

В § 1 главы 1 даются основные определения, излагается связь свойств D-и aD-устойчивости матриц с задачами математической экологии.

Пусть M„(R) - множество квадратных матриц размера пуп над полем R действительных чисел и пусть о(А) обозначает спектр матрицы AsM„(R). Мат-

з

рица ЛеМ„(/?) называется устойчивой (А е£„), если для любого Яе а{А) ЯеЯ<0. Пусть Х<=Мп{К), тогда определим множество -Х={-х\ хеХ}.

Определение 1. Матрица АеМ„(Л) называется мультипликативно В-ус-тойчивой или просто В-устойчивой, (АеВ5„), если матрица ВА устойчива для всех £е£>л.

Определение 2. Матрица А еМп(К) называется аддитивно В-устойчивой, в дальнейшем - а£)-устойчивой (А е аВЗ„), если матрица (А-О) устойчива для всех ВеВ °„.

В § 2 главы 1 построена картина включений и пересечений множеств В-и аВ- устойчивых матриц, Ро - матриц, а также устойчивых матриц (см. приложение 1), доказана звездность множества ай- устойчивых матриц любого порядка и В- устойчивых матриц порядка 2 и 3.

Определение 3. Матрица А еМ„(Я) принадлежит классу Р0 (или является Рй-матрицеи), если все главные миноры А неотрицательны и для каждого к<п существует строго положительный минор матрицы А порядка к.

Теорема 3. Множества Р0, аВБ„, а также ВБг и ВБ} являются звездными.

В § 3 главы 1 рассматриваются проблемы характеризации свойств й- и аО-устойчивости и приводится характеризация £)-устойчивых матриц 4x4 (полученная автором в работе [10]).

Теорема 5. Эквивалентны следующие утверждения:

1) Матрица -А еМА(К) £>-устойчива;

2) АеР0 иДх^)>0 для всех*,у, г>0, где Ах^)=Е^ВА)Е1(ВА)Е1{ВА)-Е32(ВА)-Е12(ВА)Е4(ВА)^>=й1 аё( 1 да) е£>4, Е,(М) ~ сумма главных миноров /-го порядка матрицы М;

10 Каноеей Г.В., Логофет Д.О. О-устойчивость матриц 4х4//Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, т. 38, №9 ,1429-1435 (1998)

3) А еРо,/(ху,1)>0 для всех х, у>О, и нет положительных локальных экстремумов среди решений следующей задачи полиномиального программирования:

1ос.ех1г.,

Х.У-Л) = о,

где ей\{0}, х>0, у>0, аЛ„.) представляет собой полином из утверждения 2 данной теоремы.

В главе 2 строятся необходимые и достаточные условия положительности действительных полиномов в положительном ортанте, которые реально применимы для анализа достаточно сложных полиномов. Данные условия получены с помощью анализа свойств носителя полинома с применением метода квазиоднородных полиномиальных форм [9] (анализа многогранника Ньютона полинома).

В § 4 главы 2 даются основные определения связанные с методологией квазиоднородных полиномиальных форм и доказываются базовые утверждения о свойствах квазиоднородных полиномиальных форм, а также строится необходимое условие положительности действительных полиномов в положительном ортанте.

Пусть Х^Я. Обозначим Хг={хеХ | х>0} и Х+={хеХ | х>0}. Пусть лге/Г,

т

к<=.Е™, обозначим х*={~£х/>, где X] и Агу- являются_/-гыми компонентами векторов

/=1

хк к.

Определение 4. Пусть хе/Г, п> 1, ¡¿е2>т, о, * 0, <=1,2,..., п, к/ * к

п

при / *}, р(х)=^£/1рР - полином. Носителем полинома р(х) называется множе-

/=1

ство Мр — {к | (=1,2,...,«}. Для произвольного непустого множества обозначим р\(х) = ^а^. Для полинома р\(х) будем писать р\(х) < р(х), если

ЗЛ/сЛ^: -р^х).

Определение 5. Пусть Ае2Г, хеЯ", р(х) - полином. Полином р(х)

называется А-квазиоднородной полиномиальной формой (АКПФ), если для всех кеИр величина <<4, к> = А\к\+ ... одинакова. Указанную величину в дальнейшем будем обозначать через . Полином р(х) называется квазиоднород-

ной полиномиальной формой (КПФ), если существует А е2!",А?О, такое чтор{х) является Л-квазиоднородной полиномиальной формой.

Определение 6. ПустьяеИт,р{х),р\{х) — ненулевые полиномы, /?1(х)<р(х). Пусть Ае2"", А?0. Полином р\{х) называется главной квазиоднородной полиномиальной формой полинома р(х) относительно вектора А (или, кратко, А-ГКПФ полиномар(х)), если ЫРх = {к<=Ыр | <А,к>= та\<А, к>).

Если полином р\(х) является А-ГКПФ полинома р(х) для некоторого вектора А е/Г" (где А*0), то он называется главной квазиоднородной полиномиальной формой (ГКПФ) полинома р(х).

Если р\(х) является ГКПФ и состоит из одного члена, назовем его угловым членом полинома р(х), а соответствующую ему точку носителя Л'р исходного полиномар(х) -угловой точкой полинома р(х). Множество угловых точек полинома р(х) обозначим Ор.

Теорема 9. Пусть р(х) - полином, хеЯ+т. Тогда если р{х) положителен, то все ГКПФ />(*) неотрицательны при

Проверка положительности ГКПФ размерности 0 и 1 тривиальна, для проверки положительности ГКПФ размерности 2 эффективен алгоритм исключения переменных в полиномиальных задачах оптимизации [11].

В § 5 доказываются достаточные условия положительности действительного полинома в положительном ортанте.

Определение 7. Пусть хеНт и р(х) - ненулевой полином. Назовем границей полинома р(х) полином являющийся суммой всех одночленов полинома р(х), входящих хотя бы в одну из ГКПФ полинома р{х), отличную от самого полинома р(х).

Определение 8. Пусть хей™ ир(х) — ненулевой полином. Назовем внутренностью полинома р(х) полином г(х)= р(х) - д(х), где ц{х) - граница полинома р(х).

Определение 9. Пусть хеН™ и р{х) - ненулевой полином. Назовем полином р(х) положительным в среднем смысле в положительном ортанте Л+", если

'' Нефедов В.Н. Полиномиальные задачи оптимизации //Журнал вычислительной математики и математической физики, т.27, № 5 стр. 661 - 675 {1987).

для каждого углового члена aLxk полинома р(х) существует sk>0 такое, что полином р(х)— 2] £к является положительным в слабом смысле в положи-

ып,

тельном ортанте R+m, а каждую из величин г* , keDp, удовлетворяющих данному условию, будем называть константой средней положительности соответствующего углового члена полиномар(х) [12].

Определение 10. Пусть xeRn,p(x) - ненулевой полином, р\{х) и р2(х) -ГКПФ полинома р(х), р\(х) Ф рг(х). Назовем Р\(х) и рг{х) смежными ГКПФ полинома р(х), если Npx n Np2 ф 0.

Условие А. Пусть р(х) - ненулевой полином, xeÄ+"\ Пусть границей полинома р(х)является полином q(x), внутренностью полинома р(х)является полином г(х). Тогда будем говорить, что полином р(х) удовлетворяет Условию А, если полином q(x) является положительным в среднем смысле, т.е.

q(x)= и(х)+ v(x), где и(х) = J^spc*, (5.7)

^еД,

£j- константа средней положительности угловой точки к! полинома q(x), v(x) -полином, положительный в слабом смысле.

Утверждение 21. Пусть xgRm, р(х) - ненулевой полином, q(x) -его граница. Условие А выполняется в следующих трех частных случаях:

1) когда положительны все коэффициенты при элементах всех ГКПФ полинома р(х);

2) когда существует положительная в среднем смысле ГКПФ полинома р(х), содержащая все отрицательные члены полинома q(x);

3) когда все ГКПФ полиномар{х) положительны и для любой ГКПФpi(x) полиномар(х) верно, что если pi(x) имеет хотя бы один отрицательный член, то ни одна из ГКПФ pi{x) полинома р(.г), смежная с р\(х), не имеет отрицательных членов.

Для полинома р{х), удовлетворяющего Условию А, определим следующее

12 Кановей Г.В., О некоторых необходимых условиях и достаточных условиях D- и aD-устойчивости матриц. //Деп. в ВИНИТИ, 07.02.2000 г., №282-В00.

Условие В. Пусть р(х) - ненулевой полином, удовлетворяющий Условию А, xeR Пусть границей полинома р(х)является полином q(x), внутренностью полинома р{х) является полином г(х). Для каждого отрицательного члена акхк полинома rix), поскольку к е int СГ2Р, существует представление

к= S , £ с» = 1, cJk > 0. (5.8)

Рассмотрим произвольный набор XJ%k,j =1, 2, ..., п, неотрицательных вещественных чисел, удовлетворяющих условию:

X = где определены в (5.7); (5.9)

ieNeg(r)

Будем говорить, что полином р(х) удовлетворяет Условию В, если для каждого AreNeg(r) существуют наборы чисел Я,,* (определены в 5.9), cJk (определены в 5.8), j =1,2,..., п, удовлетворяющие следующему условию:

-aifijji<XjMj= 1,2,...,п.

Для определения значений /^д из (5.9) можно положить

ÄjjrejCCk I X at Г. где а; - коэффициент при отрицательном члене сцх полино-IjeNeg(c) J

ма г(х).

Теорема 12 (достаточное условие положительности действительного полинома). Если полином р(х) удовлетворяет Условию В, то он является положительным в слабом смысле в положительном ортанте.

Теорема 13. Пусть х, L, 1 &R™ и р(х) - ненулевой полином, который удовлетворяет Условию А. Тогда может быть конструктивно построен конечный параллелепипед П={х 1/,<*,<£„ i =\,2,...,т, //>0}, такой что еслир(х)<0, то хеЛ

Следствие 6 (критерий положительности полиномов, удовлетворяющих условию Теоремы 13).

Если выполнены условия Теоремы 13, то полином р{х) положителен в положительном ортанте«\/хе/7 р(х)>0, где П- параллелепипед, построенный для данного полинома р(х) в доказательстве Теоремы 13.

В главе 3 данной работы на основе необходимых и достаточных условий положительности действительного полинома главы 2 построена серия конст-

руктивно проверяемых необходимых условий и достаточных условий £>- и аD-устойчивости, которые оказываются применимыми для анализа D- и aD-устойчивости матриц размерности более 4x4,

В § 6 главы 3 доказан ряд необходимых условий D- и я£>-устойчивости. Теорема 18. Пусть матрица/! = (а,у)eM„(Ä), п > 4, имеет по крайней мере

2 нулевых элемента на главной диагонали. Тогда если -А ¿»-устойчива то А еРо и выполнено следующее условие:

A{k]A{ij]-A[ij,k}>Q,\fkeZ, \<к<л, т.ч. аи>0 и V ij, т.ч. i*j<n,

Теорема 19. Пусть матрица А = (ач)вМ„(Я), п > 4, имеет по крайней мере 1 нулевой и 2 положительных элемента на главной диагонали. Тогда если -А D-устойчива, тоАеРо и V целого числа i, 1 <i<n, такого что а» = 0 и V пары (к,Г), такой что 1 <к*1<п, аи > О, ац > О, верно одно из следующих условий: 1 )A[k]A[i, /] +A[[\A[i, к)-A[i, М > 0;

2) {A[k]A[i, /] + А[(]А[г, к)-A[i, Ar, /])2 - 4A{k]A[i, l\A[[\A[i, к] S 0, и не выполнено условие 1.

Теорема 20. Пусть матрица А = (a,;)eA/„(Ä), п ä 4, имеет по крайней мере

3 положительных элемента на главной диагонали и ац >0. Тогда если -А D-устойчива то АеР0 и для любых двух неравных целых чисел /,_/, 1< i,j < п, таких что <7„>0, %>0, верно одно из следующих трех условий:

1) Ab]A[\j\+Am[lA+A[\]A[ij}-A[\,ij)>Q-,

kA{i]AVj]+ ЛУ) А{1, i)±A[\]A[,j}-А[ 1, ij]f -ЛАШШШУ.1*0, ] UM/ätUI+^Mfl, i]+A{\]A[iJ\-А[\, и] < 0;

3) если не выполнены условия 1,2, то следующая система неравенств от одной переменной не должна иметь положительных решений:

d(t) > 0, 6(0 < о,

где d{t) = {A\)Wijtf + OWl/Ml/MU] + A[\]A[ij] - Л[1,»,/])/+/1[1}Л[1,0)2 --4А[г]А[\ j]{A [ij]t+A [ 1 ,i])(A \j]t+A[l ])/,

b{t) = Am[4^A[i\A{\A+A№{\A+A[\Wj}~A[\,ij})t+A[\]A[\A.

Теорема 21. Пусть матрица А = (а,/) eh4„(R), nä 4, имеет по крайней мере

4 положительных элемента на главной диагонали и ац >0. Тогда если -А D-

устойчива то А еPo и для любых попарно неравных целых чисел i,j, к, \<ij,k<n, таких что a,i>0, ац>О, «ц> 0 верно одно из следующих трех условий: 1) А[к) A[i,j] + A\j] A[i, А'] + A[i] A[,, к] -A[iJ, к] S 0; IА[к) A[ij} + A[)] A[i, k] + A[i] A{/, k]-A[i,j, ¿]<0,

3) если не выполнены условия 1, 2, то следующая система неравенств от одной переменной не должна иметь положительных решений: ÎJ(/)>0,

Ь(/)<0;

где d(t) = {A[k\A\j,k]il+ {A[i,k]A\j] + A[j,k]A[i} + A{,j]A[k] - A[iJ,k])t+A[,]A[ij])2--AA[)\Am(A\)№A[',j\){ A[i]t + A[k])l-

m = А[к]АЦ, kf + (A[i, к\АУ\ + Ay, k] A[i] +A[iJ] A[k] -A[i,j, *])/ + A[i]A[i,j).

Теорема 22. Пусть матрица A = (a,j)eM„(R), n > 4, имеет по крайней мере 4 положительных элемента на главной диагонали ноц > 0. Тогда если -A D-устойчива тоАеРа и для любых попарно неравных целых чисел i,j, к, \<ij,k<n, таких что ац>0, 0, ацр-0 верно одно из следующих трех условий:

\) A[\,k]A[\,iJ} + A[\,j]A[\,i,k]+ A[\,i]A[\,j,k\-A[Щ[\,ij,k]*Q■, ~A[\, к1 A[l, ij] + A[l, i, к] + АЦ, 0 A[\J, к] - А[\]А[\, i,j, к] < 0;

mj№\ л+лн^щ^+Аншм-лнщит)1-

- АА{\, кЩ\,}, к] AU, i]A[ 1, i,j] S 0; 3) если не выполнены условия 1,2, то следующая система неравенств от одной переменной не должна иметь положительных решений:

Uo>o, 1.6(f) < 0;

где d(j) = {А[ 1, k\A{\,j, /г]/2 + (Л[1, /, A:] A{\,j] + A[\,j, к] А[ 1, /] + А[\, ÎJ] А[\,к\-

f I с 1 ^^З)^^С1. ïl^ f I СI [ 1 П ^ДгЗ/н-^f 1f 1,[ 1 ;

b{t) = A[l, k]A[\,j, A]/2 + 04[1, i, k] A[l,j] + A[l,j, к) A[l, г] + /([1, i,j\A[\, -A[l\A[\,i,j,k])t + A[l,i]A[l,i,j].

Теорема 23. Пусть матрица Л = (a//)eM„(Ä), п > 4, имеет по крайней мере 4 положительных элемента на главной диагонали и а» > 0. Тогда если -A D-устойчива то АеР(, и для любых попарно неравных целых чисел ij, к, \<ij,k<n, таких что <зг„>0, djj>0, верно одно из следующих трех условий:

2)

1) A[i, к] A{ 1, kj] +A[k,j] A[ 1, U к] + А[\,к] A{i,j, к] -А[к]А[ 1, ij, А:] > 0; fA{i, к] /1(1, к,;] + A[k,j) Л[1, /, к] +А[\,к] A[i,j, к) -А\кЩ\, i,j, *]< О,

2) < ( A[i, A] A[l,kJ] + A[k,j\ Л[1, /, Ar] * А[ 1, Л] А\Ц, к] - А[к\А[ 1, i, j, к})2-[ - 4/1 [/, k]A[i,j, £]/ф. k\A[\, i,k] Z 0 ;

3) если не выполнены условия 1, 2, то следующая система неравенств от одной переменной не должна иметь положительных решений:

4') > О, b(t)< О,

где £/С0=С-4 VI [ 1 [Ä:^]^ [ 1 »г [ 1 [Ат^Л 11

Щ\,кЩ\, К к})2- 4A[I,k]A[lk](A[i,J, k]!+A[l, i, k))(A\], k]t + A[l,k])f; b(/)=A y,k]A [UMr+{A [ЩА [ 1 ,kj}+A [kj]A[\,t,k]+A [ 1 ,k\A[ijJc\-A [k]A[l ,ij,k])t+ +A[\,k)A[\J,k].

Пусть матрица A eM„{R), n>2, /„={1,2,...,«}, Jc/„, ke!„. Введем следующее обозначение:

I/(Л) = A[it,...,it]. Кроме того, положим, что V JcJ„ Z0J{A)= 1 и доопределим при к>п Г/(Л)=0. Очевидно, что справедливы следующие соотношения:

1) Ек(А) = гк0{А),

2) Et'XD+A) = Zk%l) + х&.ЛА),

3) Ek™(JCh-A) = Zk0(A) + x,2k-t "'(A) + ij]{A) + х^к.2iiji(A), где D=diag(xu...Jx„)>

Теорема 24. Пусть матрица AeM„(R), n > 4. Тогда если -A aD-устойчива TO/le/'o и выполнены следующие условия:

1) V» \<i<n 2i(i,(y4)S2(i,H) ~ 2зи>И) 2 0;

2) V/ \<!<л 2,^(А)Егщ(А)г3{'\А) + - Z3!'W~ W(A)W(A) 2: 0;

3) V/V \<i*j<n I, {ij)(A)l2['J){A) - Z3"jl(/J) > 0.

В § 7 главы 3 получен ряд достаточных условий D- и aD-устойчивости матриц. Введем следующие определения:

Определение 11. Будем называть /Лполиномом i-того порядка матрицы AeM„(r) главный гнездовой минор /-того порядка матрицы Гурвица H(x-da(ä)) характеристического полинома X-daW матрицы -DA, / = l,2,.../i, где D-

н

-diag(l, X2,...jc„). Обозначим D-полиномом /-того порядка матрицы АеМ„(Л) через Dp[A ;/; х2,... j„).

Определение 12. Будем называть аО-полиномом /-того порядка матрицы AeM„{R) главный гнездовой минор /-того порядка матрицы Гурвица Н(2-а•£>№) характеристического полиномаХ-л^ск^) матрицы -A+D, / = 1,2,...,//, где D — diag^i,...^). Обозначим аО-полиномом /-того порядка матрицы АeM„(R) через aDp(A;i; Хи... , х„).

Теорема 25. Пусть AeM„(R), h,{x)=Dp(-A;rj2, --, х„), i = 2,3,...,n-l, АеРо. Тогда, если полиномы h,(x), /=2,3,...,м-1 (при п=4 рассматривается только полином h}(x)) удовлетворяют условию В, то матрица -А D-устойчива.

Теорема 26 Пусть А&Mn(R), ht(x)=Dp(-A\i,Xi,..., хп), / = 2,3,...>и-1, АеР0. Тогда если полиномы < = 2,3,...,и-1 (при rt=4 рассматривается только полином Аз(дг)) удовлетворяют условию А, то матрица -А D-устойчива о УхеД h,(x)>0, / = 2,3,...,/i-l (при п=4 рассматривается только полином Аэ(х)), где леД -параллелепипед, определенный в формулировке теоремы 13, построенный для полинома h,(x).

Теорема 27. Пусть AeM„(R), g,{x)=aDp{-A\i^и..., х„), i = 2,3,...,/¡-1, АеРй. Тогда, если полиномы g,{x), /=2,3,...//-1 (при п-4 рассматривается только полином gi(x)) удовлетворяют условию В, то матрица -А £>-устойчива.

Теорема 28. Пусть AeM„(R), g,{x)=aDp(-A-,i,Xi,...j„), /=2,3,...,и-1, АеР0. Тогда, если полиномы g,(x), /=2,3,.../¡-1 (при п=4 рассматривается только полином g}(x)) удовлетворяют условию А, то матрица -А D-устойчива о Ухе Л, g,(x)>0, /=2,3,...,и-1 (при /2=4 рассматривается только полином ЯзМ), где Д -параллелепипед, определенный в формулировке теоремы 13, построенный для полинома g,(x).

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Д.О. Логофету за постоянное внимание и поддержку, а также доценту А.Г. Кушниренко, доценту С.А. Богатому и к.ф.-м.н A.C. Кочурову за полезные советы.

Список работ автора по теме диссертации

1. Кановей Г.В., Нефедов В.Н. О некоторых необходимых условиях и достаточных условиях положительности действительного полинома от нескольких переменных в положительном ортанте. //Деп. в ВИНИТИ, 07.02.2000 г., №281-В00,42 с.

2. Кановей Г.В. " О некоторых необходимых условиях и достаточных условиях О- и аО-устойчивости матриц "//Деп. в ВИНИТИ, 07.02.2000 г. №282-ВОО 73 с.

3. Кановей Г.В., Логофет Д.О. Б-устойчивость матриц 4х4//Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, т. 38, №9 , 1429-1435 (1998).

4. Кановей Г.В.^Информационные технологии в проектировании и прризводст- р ве: Науч.-техн. журн./ ГУП "ВИМИ",№4, 55-59 ^^^¡^^¡¡^

5. Кановей Г.В. /З-устоичивость матриц в задачах математической экологии // Материалы международной научно-технической конференции и российской школы молодых ученых и специалистов "Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий", Москва-Сочи, 1999 г.,с. 82-83.

6. Кановей Г.В. Методы решения проблемы положительности действительного полинома в положительном ортанте // Материалы международной научно-технической конференции и российской школы молодых ученых и специалистов "Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий", Москва-Сочи, 1999 г., с. 84-85.

В работе [1] автору принадлежат теоремы 2,3, леммы 2,3,4, утверждения 1,2,3,4,6,7,8,9,10, замечания 1,3,4,5,7,11,12,13,15, следствия 4,5. В работе [3] автору принадлежат теоремы 1,2,4,5, лемма 1, следствия 1,2,3.

Приложение 1.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.Я- МАО-УСТОЙЧИВОСТЬ МАТРИЦ.

§ 1. б- и ао-устойчивые матрицы в математических моделях в экологии.

§ 2. Свойства Б- и аО-устойчивых матриц.

§ 3. вопросы характеризации множеств О- и аО-устойчивых матриц.

ГЛАВА 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ.

§ 4. необходимое условие положительности действительного полинома.

§ 5. достаточные условия положительности действительного полинома.

ГЛАВА 3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ Б- И АО-УСТОЙЧИВОСТИ МАТРИЦ.

§ 6. необходимые условия б- и ао-устойчивости матриц.

§ 7. достаточные условия б- и ао-устойчивости матриц.

Для моделирования экологических систем часто используют математический аппарат теории обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных.

Одной из важных задач математического исследования моделей является задача анализа устойчивости равновесных (или стационарных) состояний системы, в которых численности популяций остаются практически неизменными.

Математическая теория устойчивости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ведущая свое начало от трудов A.M. Ляпунова, широко известна и изложена в монографиях и учебниках (см. например [1]).

Одним из методов анализа устойчивости стационарного решения автономной системы дифференциальных уравнений является метод линеаризации (первый ^етод Ляпунова). В соответствии с этим методом для анализа устойчивости исследуется спектр матрицы Якоби линеаризованной в окрестности равновесия системы. Если действительные части всех собственных значений матрицы Якоби отрицательные, то имеет место устойчивость данного стационарного состояния. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то стационарное состояние неустойчиво.

Действительные матрицы, все собственные значения которых имеют отрицательные действительные части, называются устойчивыми.

Метод линеаризации в задаче устойчивости, обобщающий результаты Ляпунова для широкого класса систем уравнений в частных производных, разработан В.И. Юдовичем. Эти результаты в частности применимы к диффузионной задаче, рассматриваемой в § 1 данной работы.

При построении модели часто возникает ситуация, когда при возмущении начальных данных модели или некоторых ее параметров нарушается устойчивость равновесных состояний модели, имевшая место до возмущения. Таким возмущением, к примеру, может служить погрешность в измерениях данных или неточность в выборе параметров модели. Вследствие этого модель может давать неверные выходные данные, неадекватные реальному развитию экосистемы.

Поэтому возникает задача построения методов, позволяющих определить, сохраняется ли устойчивость равновесных состояний модели при возмущениях ее определенных параметров или данных. К числу таких методов относятся анализ £>-устойчивости и аИ-устойчивости матрицы Якоби линеаризованной системы дифференциальных уравнений модели.

Понятие И-устойчивости матриц впервые появилось в конце 50-х годов в работах по математической экономике, а в дальнейшем и в математической экологии. Матрицу называют Э-устойчивой, если она устойчива в произведении с любой диагональной матрицей с положительными элементами на главной диагонали.

Понятие аддитивной й-устойчивости возникло несколько позже, в середине восьмидесятых годов. Ранее, в литературе по математической экологии матрицы, обладающие этим свойством, называли сильно устойчивыми. Понятие и термин происходили из так называемых "диффузионных" моделей, или уравнений "реакции -диффузии", - непрерывных пространственных обобщений локальных (или "точечных") популяционных моделей. Устойчивая матрица называется сшъно устойчивой (или аддитивно й-устойчивой, или короче, аИ-устойчивой), если она сохраняет устойчивость при вычитании из нее диагональной матрицы с любыми неотрицательными элементами на главной диагонали.1

Из определений £>- и а£>-устойчивости матриц не ясно, существует ли возможность проверить их за конечное число шагов. Поэтому возникает задача построения конструктивных, т.е. проверяемых за конечное число шагов, критериев принадлежности произвольной матрицы множеству Б- и а£>-устойчивых матриц.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица позволяет свести проблему характеризации £>- и ¿^-устойчивости к вопросу, являются ли положительными всюду в положительном ортанте некоторые действительные полиномы от многих переменных. Благодаря элементарности соответствующих полиномов для матриц 2x2 и 3x3, данная проблема для матриц этой размерности решена достаточно давно, см. [2]; характеризация £)-устойчивых матриц 4x4 получена автором в работе [3] и приведена в § 3 данной работы. Также известны некоторые необходимые условия и достаточные условия £>- и а.0-устойчивости, см. например [2,4,5,6].

Задача проверки положительности действительного полинома от одной переменной в положительном ортанте может быть решена с помощью теоремы Ж. Штурма [7, 8]. Аналогичная задача для действительных полиномов от многих переменных может быть решена за конечное число шагов с помощью алгоритмов исключения переменных из полиномиальных задач. Существование таких алгоритмов

1 Строгие определения И- и а£>-у стойчивости будут даны ниже, в §1. доказывает теорема Зайденберга-Тарского (см. [9,10,11]), подробное описание алгоритма исключения переменных в полиномиальных задачах приведено в [12].

Однако, с практической точки зрения алгоритмы исключения переменных реально применимы лишь для полиномов от двух переменных и для полиномов от трех переменных небольших степеней, поэтому с помощью данных алгоритмов не удается (ввиду их трудоемкости) исследовать свойства D- и ^-устойчивости для матриц размерности большей 4x4.

В работе [13], а также в § 4-5 данной работы приводятся необходимые условия и достаточные условия положительности действительного полинома в положительном ортанте, которые могут быть применены к достаточно сложным полиномам, т.е. с большим числом переменных и с высокими степенями переменных. Данные условия получены с помощью метода квазиоднородных полиномиальных форм или укорочений полиноме?, сущность которого заключается в выделении в исследуемом полиноме более простых полиномов, являющихся суммами части его членов, неотрицательность которых является необходимым условием положительности всего полинома, а положительность которых при некоторых дополнительных условиях влечет положительность всего полинома. Квазиоднородные полиномиальные формы, по сути, являются обобщением общеизвестных однородных полиномиальных форм. Основные свойства квазиоднородных форм описываются в § 4 данной работы.

В § 6-7 данной работы на основе необходимых и достаточных условий положительности действительного полинома из § 4-5 строятся конструктивно проверяемые необходимые условия и достаточные условия D- и aD-устойчивости, которые оказываются применимыми для анализа D- и aD-устойчивости матриц размерности более 4x4.

В § 2 данной работы исследуются свойства множеств D- и aD-устойчивых матриц, строится картина включений и пересечений этих множеств с множеством устойчивых матриц и множеством Р^-матриц3, доказывается звездность множества aD- устойчивых матриц любого порядка и D- устойчивых матриц порядка 2 и 3.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность доценту А.Г. Кушниренко, доценту С.А. Богатому и к.ф.-м.н A.C. Кочурову за полезные советы по теме диссертации.

2 Термин укорочение полинома введен А. Д. Брюно в работе [14]. Термин квазиоднородная полиномиальная форма введен позднее В.Н. Нефедовым в работе [15]

3 Определение Р0-матриц будет дано ниже, в §2.

1. Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, // М. Наука, 1969.

2. Cross, G.W., Three types of Matrix Stability// Linear Algebra and Its Applications 20,253-263 (1978).

3. Кановей Г.В., Логофет Д.О. D-устойчивость матриц 4х4//Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, т. 38, №9,1429-1435 (1998).

4. Д.О. Логофет, Свикобианы компартментальных моделей и DaD-устойчивость свикобианов,// Доклады Академии Наук, т.360, №2, стр 167-170, 1998.

5. Johnson С. R. Second, third and fourth order D-Stability//Journal of Research of the National Bureau of Standards 8. Mathematical Sciences, Vol 788, No 1, Jan-March 1974.

6. Johnson, C.R. Sufficient conditions for D-Stability // J. Econom. Theory, 1974. V.9, P. 53-62.

7. Shturm J. Ch„ "Bull de Ferussac",I829, t.l 1.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, 11 изд.// М., 1975.

9. Tarski, A. A decision method for elementary algebra and geometry, 2nd edition// Univ. of California Press, Berkeley Los Angeles (1951).

10. Seidenberg, A. A new decision method for elementary algebra,// Ann. of math. Ser.2,1954, v. 60, p.356-374.

11. Кушниренко А.Г., Коркина О. Еще одно доказательство теоремы Зайденберга-Тарского// Сибирский математический журнал, 1985 г. т.26, вып. 5.

12. Нефедов В.Н. Полиномиальные задачи оптимизации //Журнал вычислительной математики и математической физики, т.21, № 5 стр. 661 675 (1987).

13. Кановей Г.В., Нефедов В.Н. О некоторых необходимых условиях и достаточных условиях положительности действительного полинома от нескольких переменных в положительном ортанте. //Деп. в ВИНИТИ, 07.02.2000 г., №281-В00.

14. А.Д. Брюно. Степенные асимптотики решений нелинейных систем. //Известия АН СССР. Сер. матем. 1965, т. 2, вып. 2, с. 329-364.

15. Нефедов В.Н. Об оценивании погрешности в выпуклых полиномиальных задачах оптимизации.// Ж. Вычисл. Мат. И мат. Физ., 1990, т.30, № 2, стр. 200-216.

16. Arrow К.J., McManus М. A note of dynamic stability // Econometrica, 26, 448-454(1958).

17. Quirk J., Ruppert R. Qualitative economics and the stability of equilibrium // Review of Economic Studies, 32, 311-325 (1965).

18. Johnson, C.R., Olesky, D.D., Van den Driessche, P. Stability of M-matrix products.// Linear and Multilinear Algebra, 1985, Vol.18: 67-76.

19. Segel, L.A. and Jackson, J.L. Dissipative Structure: an explanation and ecological example // J. Theor. Biol, 1972. V.37, No.3. P. 545-559.

20. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. // М: Наука, 1978, 352 стр.

21. Одум Ю. П. Экология: в 2 томах. Т.1. Пер. с англ.// М.: Мир, 1986.-328 е., главы 3,4.

22. Завалишин Н.Н., Логофет Д.О. Моделирование экологических систем по заданной диаграмме "запасы потоки", //Математическое моделирование,.т.9, №9, 1997 г.

23. Togawa, Y. A Geometric Study of D-Stability Problem// Linear Algebra and Its Applications 33, 133-151 (1980).

24. Кановей Г.В., Логофет Д.О. Соотношения, свойства и инвариантные преобразования D- и aD-устойчивых матриц// поступила в ред. ж. Вестник МГУ в июне 1999 г.

25. Красносельский М. А. Об одном критерии звездности.//Математический Сборник, т. 19 (61), №2 309-310, (1946).

26. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц // М.: Наука (1966).

27. Бренстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. //Москва, Мир,1988.

28. С.Г. Гиндикин Энергетические оценки, связанные с многогранником Ньютона. //Тр. Моск. мат об-ва, 1974, т. 31, с. 189-236.

29. А.Д. Брюно, Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, //М. Наука, 1998, 288 с.

30. Нефедов В.Н. Об одном методе глобальной максимизации функций нескольких переменных на параллелепипеде. //Деп. в ВИНИТИ 14.01.85 №377-85 ДЕП.

31. Нефедов В.Н. Некоторые вопросы решения липшицевых задач глобальной оптимизации с использованием метода ветвей и границ. //Ж. Вычисл. Мат, И мат. Физ. 1992, т. 32, №4.Список литературы. 73

32. Logofet D. О, Matrices and Graphs Stability Problems in Mathematical Ecology// Boca Raton, FL. CRC Press, 1993, 308 pp.

33. Логофет Д.О. Об иерархии подмножеств устойчивых матриц.//ДАН, 1986, т.290, №1.

34. Jeffries С., Klee V., Van den Driessche P. When is a matrix sign stable? Can. J. Math., 1977,29,315-326.Рис. 11Рис. 3