Деформирование полупространства с неоднородным упругим покрытием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

\ г' I*

Креиев Леонид Иванович

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С НЕОДНОРОДНЫМ УПРУГИМ ПОКРЫТИЕМ

01.02,04- механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени канд идата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2003

Работа выполнена в научно-исследовательском институте механики и прикладной математики имени Воровича И И Ростовского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

кандидат фтонко-мзтематических наук старший научный сотрудник Айзикович Сергей Михайлович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор фкзнко-мзтештнческих наук, профессор Глушков Евгений Викторович;

кандидат физико-математических наук, допеит Сметавнн Борис Иванович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт проблем ммшшкн Российской Академии Наук

Защита состоится "30" оентябр* 2003 года в 17.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам по адресу:

344090, г Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, Ростовский госуниверснтет, механико-математический факультет, ауд 239

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ростовского госуннверситета (уд. Пушкинская, 14$).

Автореферат разослан "¿¡Г" августа 2003 года

Ученый секретарь I

диссертационного совета Боев Н.В,

'ЬЗ-йб-О Общая характеристика работы

В диссертации рассматривается осесимметричное упругое деформирование непрерывно-неоднородного по толщине слоя лежащего на полупространстве. На основе приближенного замкнутого решения смешанной граничной задачи исследуется проблема определения упругих характеристик неоднородного покрытия и основания при воздействии с поверхности.

Актуальность темы.

Работа посвящена одной из актуальнейших проблем механики контактного взаимодействия, основы которой были заложены более 120 лет назад Генрих Герцем. На примере контакта 2 стеклянных линз он показал, что эллипсоидальное распределение контактных давлений вызывает во взаимодействующих телах упругие перемещения, согласующиеся с областью контакта. Свои выводы Герц сделал, полагая, что характерные размеры зоны контакта малы по сравнению с размерами тел и с радиусами кривизны их поверхностей. И, разумеется, он считал тела линейно упругими, изотропными, однородными, гладкими и пренебрегал влиянием трения скольжения при контакте.

Дальнейшее развитие теории шло в направлении отказа от налагаемых классической теорией Герца ограничений и, было связано с нуждами строительства, транспорта, машиностроения и материаловедения.

Во-первых: это учет условий контакта (трение, шероховатость) и неупругости реальных тел. Прогресс в этой области связан в основном с бурным развитием в последнее время численных методов и вычислительной техники.

Наряду с этим большое внимание исследователей привлекала проблема контакта неоднородных упругих тел (задачи о вдавливании штампа в полосу или слой, тела со сложной геометрией). Общепризнанны во всем научном мире успехи советской и российской школы механики в этом направлении.

Непрерывное изменение механических свойств по глубине характерно для многих тел, что связано с условиями их создания и эксплуатации. Особенно актуальными исследования в этом направлении стали в последнее время, так как благодаря нанотехнологии получили широкое развитие тонкие покрытия и пленки из современных материалов. Исследование свойств покрытий стимулировало разработку приборов и методологии определения механических свойств тонких функционально-градиентных покрытий. Широкое распространение получила методика определения механических свойств покрытий, основанная на внедрении в поверхность покрытия штампов-инденторов различной формы н чрезвычайно точной фиксации связи между приложенной силой и смещением индентора. На сайтах компаний-производителей наноинденторов представлены р1б%па. "^ЙЩ'^^ьн'а—}

исследователей, посвященные последним достижениям бИЗДбккгКсд I

определения свойств различных неоднородных по глубине материалов, а в авторитетных научных журналах публикуются сотни статей по технологиям получения современных материалов с покрытиями с заданными свойствами.

Целью диссертационной работы является:

1. Исследование процесса деформирования неоднородного слоя лежащего на однородном полупространстве при произвольном непрерывном законе изменения по глубине упругих свойств покрытия.

2. Изучение влияния различных видов неоднородности на характер распределения контакчных давлений, определение связи между действующей силой и осадкой выпуклого штампа Получение и исследование точности приближенного замкнутого аналитического решения.

3. Исследование напряженно-деформированного состояния покрытия и подложки, анализ вида опасных зон.

4. Разработка математически обоснованной методики проведения эксперимента по определению механических свойств тонких упругих неоднородных по глубине покрытий на основе стандартных штамповых испытаний.

5. Исследование проблемы определения характера изменения упругих характеристик неоднородного слоя по глубине при воздействии с поверхности. Определение функции жесткости или эффективного модуля сдви I а неоднородного полупространства, зависящего от характерного размера зоны контакта и связанного с измелнием свойств основания по 1лубине.

6. Разработка программного комплекса для исследования процесса инденшрования штампами различной формы неоднородных покрытий, накопления результатов расчетов и графического их представления.

Методика исследования.

Рассматриваемые в диссер1ации задачи сводятся к решению парных интс!ральных уравнений с помощью аппарата интегральных преобразований Хапкеля. Трансформанты ядер интегральны* уравнений, описывающих непрерывно неоднородную среду, строятся численно на основе метода модулирующих функций, примененного Бабешко В.А., Глушковьш Г.В., Глуш копой II В./ Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987, Т,27. №1 С.93-101./ при решении задач динамики для страшфицированных по глубине непрерывно-неоднородных сред. При этом использована модификация метода, позволяющая строить поля смешений и напряжений в приповерхностном слое.

Замкнутое решение приближенного интегрального уравнения строится на основе результатов работ В.М. Александрова /ДАН, 1973/, С,М. Айзиковича/ПММ,1982/.

Численно анализируется зависимость распределение контактных давлений и напряженно-деформированного состояния непрерывно-

4

неоднородною слоя от характерного параметра, связывающего размер зоны контакта и толщину слоя.

Разработан и реализован алгоритм определения механических характеристик системы неоднородное покрытие - деформируемая упругая подложка на основании данных эксперимента по индентнрованию.

Научная иовшна.

В строгой математической постановке изучена задача о контактном взаимодействии выпуклого штампа с непрерывно неоднородным по глубине слоем, лежащем на однородном полупространстве.

Разработана модификация метода модулирующих функций, позволяющая табулировать поля смещений, деформаций и напряжений в прилегающих к поверхности слоях.

Обоснована методика построения наилучшей аппроксимации трапсформанты ядра парного интегрального уравнения задачи о внедрении выпуклого штампа в непрерывно неоднородное покрытие деформируемого основания, найдено в замкнутом виде аналитическое решение приближенного уравнения, численно получена оценка допускаемой при этом погрешности для различных случаев неоднородности.

Выявлены особенности поведения решения при различных законах неоднородности, изучено влияние неоднородности на характер распределения контактных напряжений под штампом и связь между действующей силой и смещением штампа.

Исследовано состояние предразрушения неоднородного покрытия.

Рассмотрена проблема определения механических характеристик неоднородного по глубине слоя на деформируемом основании при воздействии с поверхности. Сформулировано понятие эффективного модуля сдвига неоднородного по глубине основания (жесткости). Проанализирована зависимость изменения функция жесткости от характерного размера зоны контакта и изменения по глубине модуля сдвига в неоднородном слое. Разработана и экспериментально подтверждена методика проведения штамповых испытаний по определению механических характеристик тонких неоднородных покрытий.

Практическая значимость работы.

Решения контактных задач, полученные в работе, позволяют использовать их для анализа результатов индентирования неоднородных покрытий,

Достоверность результатов работы обеспечивается строгостью использованного математического аппарата, численной оценкой погрешности полученных решений, сопоставлением частных случаев рассмотренных постановок с известными результатами и результатами реальных экспериментов.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах отчета рабочих групп по проекту 1ЫТА5-93-3513 и 11^ТА5-93-3513Ех1 {Факультет .материаловедения Левенскою католического унивсрситета,Белъгия, 1996-1998); на заседаниях Института повышения квалификации НАТО, "Наноструктурные материалы- наука и технологии", 10-20 ав1уста, 1997,Санкт-Петербург, Россия, "Химическая физика процесса осаждения тонких пленок для микро и нанотехнологий", 3-14 сентября, 200!, Каунас, Литва ; на 3-ей конференции по механике твердого тела (ЕВРОМЕХ), Королевский технологический институт, 18-22 августа, 1997, Стокгольм, Швеция; на 4-ой Международной конференции по наноструктурным материалам, 14-19 июня 1998, Стокгольм, Швеция; на Семинаре повышения квалификации НАТО по наноструктурным пленкам и покрытиям, 28-30 июня, 1999, Сангорин, Греция; на II,IV,VI и VII Международной конференции "Современные проблемы механики контактных взаимодействий" (Ростов-на-Дону, 1996, 1998, 2000 и 2001г.); в полном объеме рабо1а представлена на семинаре кафедры теории упругости РГУ (2001-2002 г,). По теме диссертации опубликован» 13 печатных работ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 102 наименования, и трех приложений. Работа содержит 129 с ¡раниц и 58 рисунков.

Содержание работы

Я введении обосновывается актуальность темы, формулируются основные задачи исследования, а также приводится краткое содержание диссертации, и обзор работ, касающихся темы диссертации. Большой вклад в исследование контактных задач теории упругости для слоя на упругом или жестком основании внесли российские ученые В.М.Александров, И.Г.Альперин, В.А.Бабешко, А.В.Белоконь, И.И.Ворович, Ю.А.Устинов и др., а также ряд зарубежных авторов, в частности О.М.СгЫшеП.

Глава 1 посвящсна решению граничной задачи Неймана для неоднородного по глубине полупространства. Подробно изложена постановка задачи и процесс построения фундаментального решения (функции Грина). Описана процедура расчета полей смещений, напряжений и деформации в приповерхностных слоях полупространства. Приведены примеры для ра»личных случаев неоднородности.

В первом параграфе первой ¿лавы рассматривается постановка граничной задачи для непрерывно-неоднородного по глубине полупространства при заданном па его поверхности вертикальном усилии р(г), приложенном в пределах круга радиуса а верхней границы Г.

иУ" ы<"

Н

м-юм-ю а

Рис. ].

Неоднородное полупространство представляется в виде упругого неоднородного слоя, сцепленного с подстилающим однородным полупространством. Коэффициенты Ляме слоя с глубиной изменяются по закону Л = Д(г),М = М(г),-Н < г < 0 где Л(г),М(г) - произвольные, непрерывные всюду в области определения, отличные от нуля функции.

Уравнения равновесия в перемещениях в этом случае имеют вид.

М(гК V2« - 4) + (М(г) + Л(г))~ + М'(*Х^ + - О

г дг дг дг

до

М(г>+(М(г) + Л(2))— + 2М'(г)— + = О

&

дг

(I)

М'(г) =

-Л'(-) =

(к г дг дг дг2

„ ди и О = — + - + — дг г дг

На поверхности слоя приложена произвольная распределенная внутри круга радиуса а нормальная нагрузка ст, =-/>(/-) 0<г<а (2)

На границе слоя и полупространства выполняются условия сопряжения напряжений и перемещений

Отличие уравнения (I) от уравнения равновесия в перемещениях в случае деформирования однородного полупространства состоит в появлении в уравнениях дополнительных членов , связанных с первой производной от упругих модулей и переменностью коэффициентов Л(г),М(г) .

Во втором параграфе первой главы решение уравнений равновесия разыскивается в виде интегралов Ханкеля

. (3)

и(г,г) = -£и(у,г)Му,г)ус1у

система уравнений (1) в частных производных при этом преобразуется в систему дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, которую мы запишем в матричном виде

~ = &,-Н<,г< О 02

А =

0 1 0 0

2 2М + Л М' М' М+Л

'' М м г м

0 0 0 1

Л' М + Л М 2М' + Л'

} 2М + Л } 2М+Л } 2М + Л 2М + Л .

(О )

I

(4)

I Р I

И

Решение системы (4) строится численно на основе известного решетя Тередзавы для однородного полупространства, с помощью метода модулирующих функций. Суть его состоит в выделении в явном виде экспоненциальных составляющих при построении матрицы Грина, так что проблема сводится к отысканию модулирующих функций ограниченной вариации.

Решение системы дифференциальных уравнений представляется в виде линейной комбинации фундаментальных решений

*<Г,(5)

Для однородной среды векторы модулирующих функций

а,'(у,г)=(1у,1,г)

<*1 (У, *) = (у г,у +угг,-к +уг,у-ку + у1 г)

л+зм

(6)

Здесь к =-

■, а ¿¿у) - некоторые коэффициенты не

Л+М

зависящие от г и определяемые из решения системы линейных алгебраических уравнений, выписываемой из краевых условий.

Векторы модулирующих функций а,(у,г) определяются из задач Кошн при фиксированных значениях у

= -Hs.se (7)

аг

при начальных условиях а, = а, ,1 = 1,2

Коэффициенты 4, {у) определяются из граничных условий на

8

поверхности неоднородного слоя, сцепленного с однородным полупространством.

¿¿,(Г)[-Л(0)ГЛ: (/,0) + (2М(0) + Л<0))/(у,0)] = Р(Г),

i-i

¿<(у)[М(0)Д,г 0,0) + М(0)й; (г,0)] = 0.

. г-1

Р(г) - -f piy)J(!iy,p)pdp Введем обозначения

(8)

1} P{y)xt{y,i)Je{yr)dy,í, P{7)xfy,2)J^r)dy, (9)

А =ея[ Пг)*ь (г, -'К (rr)ydr> h = % \1 Р<г)х> (г, (rñydr.

л 2М(0) + Л(0) Vq =.....

(М(0) + Л(0))2М(0) Тогда решение поставленной задачи может быть представлено в

виде

м = /„№ = -/„£, =-/0—=/4,г, =—/ гг п

Е„ = /,+/„* = /,-/,,

1 (Ю)

а, = (2М + Л)/<={-Л+2М)/6 +Л/, ~2М—/„

Г2

оф =2М-/, + Л(/< + /Д<тя =2М(/2 + /)), гг

Д третьем параграфе первой главу рассматривается процесс построения численного решения поставленной задачи. В качестве примеров в работе приводятся б характерных случаев изменения упругих характеристик неоднородного слоя. Полученные результаты сравниваются с соответствующими решениями для однородного полупространства

Е(х)

г и г ** ыР

Рис 2

Законы изменения моделируются кусочно-линейными непрерывными функциями, заданными на отрезке [0,1]. Конкретные

описания приведены в Приложении А.

В ходе решения задачи Коши компоненты а,{у,2)егг табулируются при заданных значениях г и у. При г >-0,05 и у > 100 процесс теряет устойчивость и в этом случае мы полагаем й *г + ш, * у'' *1*у~', где коэффициенты т,

определяются методом наименьших квадратов на основе значений полученных при 10<у<100.

Интегрирование ведется численно, область интегрирования по у разбивается на отрезки знаколостоянства подынтегральной функции. При интегрировании по р выделяется окрестность особой точки г = р

Интефалы определяются в заданных точках приповерхностного слоя на некотором удалении от поверхности. Численные решения даются для серии законов неоднородности, представленных на рис 2 Большой наглядностью отличаются поля вертикальных деформаций е,

В главе 2 рассматривается задача о внедрении в неоднородное (слоистое или функционально - градиентное) упругое полупространство осесимметричного штампа. Предполагается, что штамп является телом вращения подошва которого имеет параболическую форму. Задача сводится к решению парного интсфального уравнения. Изложен метод построения в аналитической форме приближенного решения этого уравнения.

В первом парц^рдфе второй главы формулируется постановка задачи о внедрении жесткого выпуклого индентора в поверхность Г, неоднородного упругог о полупространства П, вер гикальной силой Р.

Контакт между штампом и неоднородным слоем полагаем гладким. Поверхность индентора описывается выражением г - /(/■), где/00 функция второго порядка. Радиус зоны контакта а, вне контактной зоны полупространство не нагружено. Под действием нормальной силы Р индептор смещается на расстояние х. вдоль оси г. Для описания упругих характеристик среды наряду с параметрами Ламе будем использовать технические упругие характеристики модуль сдвига

£ Л

О = М - — - -■-■ и коэффициент Пуассона г =-. Коэффициент

„2{1 + г> ** ' 2(Л + М)

Пуассона V считаем постоянным, а модуль сдвига в пределах слоя толшины П непрерывной функцией С(г) ограниченной вариации от глубины 2

Равномерное давление Н/й—1,000 Вертикальная деформация Ег(г,2>

Рис.3

С(г) = й^г), -И ¿гНО

С(г) = с, (-//)= е„ (И)

О'(О) = О'0

Граничные условия на поверхности имеют вид

г»-'гх#=0» сгг=0, > Й,Г =0

™ = = /{г)-X, гйа,г = 0 (12)

/(/•)= Лг2, 0 <г<а

При z = -Н , выполняются условия неразрывности по смещениям и напряжениям, при (r,-z) оо напряжения и деформации исчезают.

Требуется найти распределение контактных давлений в пределах контактной зоны, а также смещения, деформации н напряжения в приповерхностном неоднородном слое. На основании результатов первой главы посредством преобразования Ханкеля (3) и метода модулирующих функций (5) задача сводится к решению парного интегрального уравнения

) P{a)L{Xa)J0 (ar)da = 0 й < 1

Г " <13>

|/Ча)У0(аг)аЛ* =0, л>1

U

Р(а) = ]p(r)J0(ar}rdr,f{r) = ,

i ö

L{Xa) = ¿4 (Ла)а'ц (Aa,0)

i-i

Здесь Jq функция Бесселя нулевого порядка, S~х/а>- Л=Н/а характерный геометрический параметр задачи, ЦЛа) трансформанта ядра интегрального уравнения, построенная численно методом модулирующих функций.

Во утором параграфе второй главы исследуется вид

трансформанты ядра парного интегрального уравнения (13) и обосновывается построение приближенного замкнутого решения поставленной задачи.

Аппроксимируем трансформанту ядра выражением

ЦЛа) = Ln (Ла) + LZM (Л а),

¿лг(Да) = р[(а2 + В}Х*)'\ (14)

ll(Xa) = ^CllaX',(a1 + D^X i-i

Парное интегральное уравнение (13) , в котором ядро ЦЛа) заменено на lN{Xa) имеет замкнутое решение. В работе подробно изложен алгоритм построения аппроксимации и на численных примерах дана оценка ошибки допускаемой при замене.

На Рис.4 показана зависимость ошибки аппроксимации от параметров А ( точки отображения) и М (количество членов аппроксимации) . Наибольшая ошибка допускается в случае немонотонных законов (5 и 6), лучше всего строятся приближения для многослойных сред и линейных законов изменения упругих характеристик неоднородного слоя.

Полученное решение имеет вид

= (л/2 МА-З.агсКг ) + £Сд Г \

Коэффициенты С, находя гея из решения линейной системы.

О,

■Л ^ а, Е1пК а, + Ы а > с ■ — --!-- +

' а3 .2

Ьк - а,

(Щ

Смешение штампа § определяется из условия ч(г) = 0.

+ + ¿С, со5Ь(Ч) = 0

<', О,

В третьем параграфе второй главы строятся и анализируются поля напряжений и деформаций внутри неоднородного полупространства в случае смешанных условий на границе.

Глава 3 посвящена оценке параметров неоднородности тонких неоднородных покрытий методом индатирования

В первое параграфе третьей главы дается определение понятия функции жесткости неоднородного покрытия и исследуется ее зависимость от параметров неоднородности слоя.

з 2

1.0

о.о

м 1

—

1

Рис, 5.

При решении задачи о внедрении кругового штампа с плоской или выпуклой подошвой в неоднородный по глубине слой сцепленный с однородным полупространством, было установлено, что наблюдаемый модуль Юнга, то еегь полученный из обработки данных о связи приложенной к штампу силы и его смещении, зависит от размера контактной зоны. Таким образом применяя набор штампов разного лиамегра можно в эксперименте обнаружить неоднородность исследуемого материала.

8 случае сферического (параболического ) индентора появляется возможность при непрерывном вдавливании исследовать покрытие в некотором диапазоне изменения зоны контакта.

Таким образом, применяя набор штампов разного диаметра можно в эксперименте обнаружить неоднородность исследуемого материала. Заметим, что при внедрении сферического (штампа зона контакта изменяется непрерывно и, поэтому эффект неоднородности можно обнаружить и проанализировать в рамках одного эксперимента.

Для однородного основания величина

3/'

* -53 (,7>

является постоянной и не зависит от размеров штампа. Здесь а -радиус зоны контакта штампа, Р - величина вдавливающей силы, 3 -перемещение штампа под действием силы Р. Еи связана с модулем

упруюсти Е соотношением ,г -——, где V - коэффициент Пуассона.

В случае же воздействия штампа на неоднородную среду, эта величина является функцией, зависящей от диаметра штампа. Штамп каждого фиксированного диаметра "измеряет" некоторые средние характеристики слоя, толщина которою пропорциональна диаметру штампа. Поэтому в результате измерений при помощи штампов разных диаметров содержится информация, на основе которой, при помощи разработанного метода расчета, можно определить модуль упругости как глубинных, так и поверхностных слоев .

Ниже будем называть функцию £„ функцией жесткости. Интересно отметить, что отношение функции жесткости поверхностною слоя £„ (по отношению к глубинным слоям), при постоянстве коэффициента Пуассона в материале, не зависит от абсолютного значения коэффициента Пуассона. Таким образом, взяв набор штампов различного диаметра, можно определить, однородны ли упругие свойства материала, и, в проливном случае, оценить степень неоднородности упругих свойств поверхностного слоя и установить упрушс свойства материала. На Рис.6 показана зависимость от отношения величины зоны контакта к толщине покрытия для характерных вида неоднородности слоя.

Второй параграф третьей главы посвящен учету условий реального эксперимента по индентированию. В нем рассмотрен вопрос о применении численно-аналитического метода к исследованию свойств тонких пленок, разработаны требования к разрешающей способности измерительной аппаратуры (наноиндентора) и к меюлике самого эксперимента.

¡B третьем параграфе обсуждается проблема экспериментального определения механических характеристик неоднородного по глубине упругого полупространства (толщина неоднородного слоя, значение модуля Юнга на поверхности и в глубине). При внедрении сферического штампа зона контакта изменяется непрерывно и, поэтому эффект неоднородности можно обнаружить и проанализировать в рамках одного эксперимента.

Анализируются данные, полученные при индентнровании слоя DLC (алмазоподобный углерод (diamond-like-carbon)) толщиной 250 nm на подложке из плавленного кварца (fused quartz).

Слой DLC толщиной 250 nm и модулем Юнга 250 ГПа нанесен на fused quartz с модулем Юнга 69.6 ГПа. В ходе эксперимента был использован Hysitron индентор, максимальная нагрузка которого - 25mN с разрешением lOOriN. Точность при определении смещения - 1А. Данные по разгрузочному сегменту кривой сила-смещение анализируются аналогично /G M.Pharr,W.C. Oliver. Measurement of Thin Film Mechanical Properties Using Nano indentation. И MRS BULLETIN/JULY 1992 pp.28-33./

По результатам эксперимента была построена зависимость наблюдаемого модуля Юнга (жесткости) от отношения зоны контакта к толшине слоя £'(/) ,1 = а/Н, при этом 0.22 </ <0.64 .

Численный анализ результатов эксперимента проводился следующим образом: предполагается, что основание является двуслойным, требуется определить модуль Юнга поверхностного и подстилающегося оев при известной толщине покрытия.

Решение искалось так, чтобы по крайней мере одна из точек расчетной кривой совпадала с экспериментальным значением, а отклонение остальных точек было минимально. Примененный в работе алгоритм позволяет организовать быстросходящийся процесс поиска параметров неоднородного основания.

слой тэлипгной км 01 С ni подложка Jii.iflieíinro кмриа

* Эксперимент - 'Теорш EC^2S9,EI-50 -теория E0=2i0,FI-ТО

Рис 6 16

При этом были получены следующие результаты

Е',,1, = 250 ГПа

(15)

Ечтга = 50 ГПа

Сплошной линией показан вид кривой функции жесткости для табличных значений модуля упругости материалов покрытия и подложки

Е*. = 250 ГПа

(16)

^ = 70 ГПа

Таким образом результаты индентирования могут использоваться для определения параметров неоднородности основания при известном характере неоднородности и толщине. Применение серии штампов с различными радиусами кривизны позволит увеличить диапазон изменения / и повысит точность определения характерных параметров неоднородности.

Заключение.

В работе поставлены граничные задачи теории упругости, возникающие при исследование процесса деформирования неоднородного слоя лежащего на упругом основании (однородном полупространстве) при воздействии с поверхности. Получено обобщение численно-аналитического метода построения их решения, позволяющее находить поля смещений, деформаций и напряжений в приповерхностном слое,

Изучено влияние различных видов неоднородности на характер распределения контактных давлений, определена связь между действующей силой и осадкой выпуклого штампа и форма осадки поверхности вне штампа. Получена оценка точности приближенного замкнуюю аналитическою решения.

Исследовано на пря же» шо-де формирован но го состояние покрытия в зависимости от свойств подложки и проанализирована форма опасных зон при различных критериях разрушения

Обоснована методика проведения эксперимента по определению механических свойств тонких упругих неоднородных по глубине покрытий на основе стандартных штамповых испытаний.

Исследована проблема определения характера изменения упругих характеристик неоднородного слоя по глубине при воздействии с поверхности. Дано определение функция жесткости или эффективного модуля сдвига неоднородного полупространства, зависящего от характерного размера зоны контакта и связанного с изменнием свойств основания по глубине.

Разработан программный комплекс для исследования процесса индентирования штампами различной формы неоднородных покрытий, накопления результатов расчетов и графического их представления

Публикации по теме диссертации.

1.АЙЭНКОВИЧ С.М., Кренев Л.И. Построение полей напряжений в задаче Герца для неоднородного по глубине полупространства.//Труды Второй международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 19-20 сентября 19%. МП «Книга» Т. 3, С. 10-14.

2.Aisikovich S„ Krenev L. and Serova N.. Indention Testing Control of Mechanical Characteristics of Nanostnictured Materials.// NATO Advanced Study Institute, Nanostnictured Materials: Science and Technology, Program and Abstracts. St. Petersburg, Russia. August 10-20. 1997. P. 33.

3.Aizikovich S.M., Krenev L.I., Trubchik l.S. The Analytical solution of the Hertzian contact problem for functionally gradient materials. // 3-rd EUROMECH Solid Mechanics Conference KTH, Royal Institute of Technology. Stockholm, Sweden. August 18-22. 1997, Book of Abstracts. P. 79.

4.Aizikovich S,M., Krenev L.I., Serova N. A. Determination of elasic properties of functional-graded nanostructured coatings. // 4-th International Conference on Nanostructured Materials. Stockholm, Sweden, June 14-19 1998. Book of Abstracts. P. 419

5.Aizikovich S.M., Krenev L.I., Serova N.A. Non-Destructive Determination of Mechanical Properties of Non-Homogeneous Coatings. // 7-th European Conference on Non-Destructive Testing and Exhibition. Copenhagen, Denmark. May 26-29 1998. P. 1063-1069

6.АЙзикович СМ., Кренев Л И., Серова H.A. Поля напряжений и деформаций, возникающие при взаимодействии сферы с неоднородным по глубине покрытием упругого однородного полупространства, И Труды IV международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 27-28 октября 1998. МП «Книга» T. I, С. 10-13.

7.АЙЗИКОВИЧ СМ., Кренев Л,И., Трубчик И.С. Асимптотическое решение задачи о внедрении сферы в неоднородное по глубине полупространство // Изв. АН СССР. МТТ. 2000. ifs 5. С. 107-117.

8.АЙзикович С.М., Кренев Л.И., Staedler Т. Определение механических характеристик тонкого покрытия по результатам наноиндентирования. // Труды VI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 2000. Изд. СКНЦ ВШ. Т. 2. С. 3-7.

9.Atzikovich S.M., Celts J-P, Krenev L,i., Serova N.A, Non-destructive mechanical characterization of mechanical properties of non-homogeneous nanostructured coatings.// Nanostructured Films and Coatings. NATO Science series, 3,High Technology. Edited by Chow G.M. et al. 2000. Vol. 78 P. 315-322

10.Aizikovich S.M, Krenev L.I., Staedler T.. Non-Destructive Mechanical Characterization of Mechanical Properties of Notr-Homogeneous Nanostructured Coatings. //Abstracts of fey Notes. NATO Advanced Study Institute, Chemical Physics of Thin Film Deposition Processes for Micro and Nano-Tecbnologies Kaunas, Lithuania. September 3-14, 200!.. P. 16.

11.Aizikovich S.M., Atexandrov V.M., Kalker J J.. Krenev L.I., Trubchik I S. Analytical solution of the spherical indentation problem for a half-space with gradients with the depth elastic properties // Int. J. of Solids and Structures 2002. Vol 39, No 10, pp. 2745-2772

12 Aizikovich S.M., Krenev L.I ,Trubchik I S. Approximate analytical solutions of the contact problems forcontinuously non-homogeneous elastic coatings // 434 EUROMECH Colloquium, Program and Abstracts, Moscow, May, 21-24, 2002. P.9.

13,Aizikovich S.M., Krenev L.I,.Trubchik [,S. Mathematically based determination of mechanical properties of coating-substrate structures by nanoindentation method // 434 EUROMECH Colloquium, Program and Abstracts, Moscow, May, 21-24, 2002. P,10.

Подписано в печать 20,08.2003. Заказ б/н. Бесплатно. Бумага офсетная. Тираж 100 экз.Печлист. 1.1,Усл.печ.я. 1.0 ООО Вираж.344091,г. Pocros-на-Дрну, Зорге 198.

РНБ Русский фонд

2006-4 37660

08 СЕН 2003

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ПО ГЛУБИНЕ ОСНОВАНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ.

§1.1 Постановка граничной задачи для непрерывно-неоднородного по глубине полупространства при заданных на его поверхности усилиях.

§1.2 Построение фундаментального решения для неоднородного по глубине полупространства.

§1.3. Численный анализ фундаментального решения для некоторых характерных видов неоднородности.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПО ГЛУБИНЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА.

§2.1 Постановка задачи о внедрении выпуклого штампа в неоднородное по глубине полупространство.

§2.2 Приближенное решение задачи о внедрении выпуклого штампа в непрерывно-неоднородное по глубине полупространство.

§2.2.1. Свойства парных интегральных уравнений задачи

§2.2.2.Приближенное аналитическое решение парного интегрального уравнения задачи.

§2.3. Численный анализ решения задачи о внедрении параболического штампа в неоднородное основание.

§2.3.1.Оценка точности приближенного аналитического решения.

§2.3.2.Численный анализ напряженно-деформированного состояния неоднородного слоя при индентировании.

ГЛАВА 3. ОЦЕНКА УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕОДНОРОДНЫХ

ПОКРЫТИЙ МЕТОДОМ ИНДЕНТИРОВАНИЯ.

§3.1 Определение понятия жесткости неоднородного покрытия.

Зависимость жесткости от параметров слоя и индентора.

§3.2 Учет условий реального эксперимента по индентированию.

§3.2.1 Учет деформируемости штампа

§3.2.2 Определение условий проведения неразрушающих испытаний неоднородных покрытий

§3.3 Определение механических характеристик неоднородного покрытия по результатам индентирования.

В диссертации рассматривается осесимметричное упругое деформирование неоднородного основания, состоящего из покрытия, (представляющего из себя упругий, непрерывно-неоднородный по толщине слой), сцепленного с подложкой в виде упругого однородного изотропного полупространства. Упругие свойства покрытия изменяются как произвольные непрерывные функции по глубине. Далее будем называть неоднородное основание также неоднородным полупространством, полагая что упругие характеристики его непрерывно изменяются по глубине в приповерхностном слое, а затем стабилизируются. С поверхности основание загружено произвольной осесимметричной, распределенной внутри круга, нормальной нагрузкой, которая может быть задана или определяется как решение некоторой контактной задачи.

Изменение механических свойств по глубине в приповерхностном слое присуще многим материалам и конструкциям (основаниям, фундаментам, дорожным покрытиям и т.п.). Это вызвано как технологией их создания, так и условиями эксплуатации. В том случае, когда зона контакта сопоставима с толщиной неоднородного слоя, а различие упругих свойств подложки и покрытия достаточно велики, пренебрежение эффектом неоднородности может приводить к серьезным ошибкам в моделировании процесса деформирования основания и в определении упругих свойств неоднородного слоя.

В настоящее время большое развитие получили технологии создания тонких покрытий и пленок, состав которых, а значит, механические и физические характеристики, непрерывно изменяются по глубине, что позволяет увеличить срок эксплуатации изделий и придать им новые свойства. Подобные технологии применяются в машиностроении, энергетике, электронике, компьютерной и военно-космической технике, биотехнологии, обеспечивают прорыв в ведущих областях человеческой деятельности, и являются в Германии, США, Японии и других развитых странах, приоритетным направлением 2001-2010 г.г. с прогрессирующим увеличением государственного финансирования.

Несмотря на сверхмалые толщины тонких покрытий, законы их механического поведения хорошо описываются в рамках теории упругости. Основным методом контроля механических характеристик системы подложка-покрытие является индентирование (внедрение в поверхность испытываемого материала штампа и чрезвычайно точная фиксация связи между приложенной к нему силой и вызванным этой силой смещением). Приборы для проведения этих исследований для тонких покрытий довольно редки (в России только 1 ) и дороги (=100 000$). С этим связана высокая стоимость и длительность испытаний новых материалов и изделий непосредственно на стендах. Необходимость систематизации результатов испытаний поддерживает и сегодня интерес к решению задач контактного взаимодействия в случае, когда упругие свойства материала являются переменными. На сайтах компаний-производителей инденторов [www.hysitron.com, www.mts.com] представлены постоянно обновляющиеся работы исследователей, посвященные последним достижениям в области определения свойств различных неоднородных по глубине материалов. В ведущих научных журналах публикуются сотни статей по технологии получения тонких покрытий с заданными свойствами и исследованию их механических характеристик (упругость, твердость, адгезия)[65-67,69-78,81-102].

Исследование напряженно-деформированного состояния тонкого неоднородного покрытия сцепленного с однородной подложкой и определение по результатам индентирования механических характеристик системы покрытие-подложка является одной из целей данной работы.

Изучение процесса взаимодействия твердых деформируемых тел является предметом механики контактного взаимодействия, основы которой были заложены более 100 лет назад Генрихом Герцем [37, 80]. На примере контакта 2 стеклянных линз он показал, что эллипсоидальное распределение контактных давлений вызывает во взаимодействующих телах упругие перемещения, согласующиеся с областью контакта. Свои выводы Герц сделал, полагая, что характерные размеры зоны контакта малы по сравнению с размерами тел и с радиусами кривизны их поверхностей. При этом он считал тела линейно упругими, изотропными, однородными, гладкими и, соответственно, пренебрегал влиянием трения скольжения в зоне контакта.

Дальнейшее развитие теории контактного взаимодействия шло в направлении отказа от налагаемых классической теорией Герца ограничений. В настоящей работе рассматривается случай контакта , при котором упругие свойства основания непрерывно изменяются в пределах приповерхностного слоя конечной глубины и размер зоны контакта соизмерим с толщиной неоднородного слоя.

Систематическое исследование проблемы определения напряженно-деформированного состояния неоднородных по глубине (многослойных) оснований началось в 60 - 70 годах прошлого века, что нашло свое отражение в библиографическом указателе Г.Б.Колчина, Э.А.Фавермана [39]. При этом большое внимание исследователей привлекала проблема контакта неоднородных упругих тел (в частности, задачи о вдавливании штампа в полосу или слой, тела со сложной геометрией). Общепризнанны успехи советской и российской школы механики в этом направлении.

Следует отметить, что несмотря на обилие публикаций по теории упругих неоднородных сред, число публикаций, посвященных контактным задачам и даже основным краевым задачам в общей постановке не так уж велико, в большинстве случаев рассматривались некоторые частные законы неоднородности. Большинство работ затрагивают различные аспекты смешанных задач теории упругости для многослойных оснований и составных сред.

Разумеется исследовать процесс деформирования неоднородного по глубине основания при воздействии произвольной осесимметричной вертикальной нагрузки можно и с помощью МКЭ. Но здесь остаются открытыми вопросы точности и скорость решения на ЭВМ на несколько порядков меньше, чем при применении методов рассмотренных в данной работе.

Исследованию смешанных задач также посвящено большое количество работ, предложен широкий ряд методов их решения.

Решение контактных задач для сред с произвольным законом неоднородности по глубине двухсторонним асимптотическим методом было построено в работах Айзиковича С.М. [5-10] и Айзиковича С.М. и Александрова В.М. [9-13,21]. Суть метода состоит в том, что трансформанта ядра интегрального уравнения, к которому сводится задача, и ее аппроксимация находятся численно. После того, как структура трансформанты ядра интегрального уравнения определена, она аппроксимируется выражением специального вида. Решение интегрального уравнения с аппроксимированным ядром строится аналитически. Это дает возможность получить решение в виде, удобном для аналитического исследования различных эффектов, связанных с неоднородностью. Кроме того, эта аппроксимация позволяет найти решение задачи для достаточно широкого класса законов неоднородности.

Динамические задачи для слоя с неоднородными по глубине свойствами рассматривались в работах И.В.Ананьева, В.А.Бабешко [26], И.В.Ананьева, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой [27]. В основе метода лежит численное построение интегрального уравнения динамической контактной задачи, для которой устанавливаются теоремы единственности и разрешимости. Методом факторизации это интегральное уравнение сводится к уравнению Фредгольма 2-го рода.

На основании сделанного обзора следует сделать следующие выводы.

К настоящему времени важные в теоретическом и практическом отношениях контактные задачи в общей постановке для непрерывно-неоднородных сред изучены недостаточно. Это связано с тем, что эти задачи для непрерывно-неоднородного слоя являются одними из наиболее сложных в математическом отношении краевыми задачами математической физики.

Указанные задачи даже в простейшей постановке являются ключевыми, так как методы их решения можно применить к исследованию более сложных контактных задач, а полученные результаты количественного и качественного характера способствуют выработке более полных представлений об особенностях деформирования упругих непрерывно-неоднородных сред.

С учетом вышесказанного целью настоящей диссертации является:

1. Корректная постановка и исследование процесса упругого деформирования неоднородного слоя лежащего на упругом основании (однородном полупространстве) при произвольном непрерывном законе изменения по глубине упругих свойств покрытия.

2. Изучение влияния различных видов неоднородности на характер распределения контактных давлений, определение связи между действующей силой и осадкой выпуклого штампа. Построение приближенного замкнутого аналитического решения и изучение его точности.

3. Исследование напряженно-деформированного состояния покрытия в зависимости от свойств подложки и анализ вида опасных зон.

4. Разработка математически обоснованной методики проведения эксперимента по определению механических свойств тонких упругих неоднородных по глубине покрытий на основе стандартных штамповых испытаний.

5. Исследование проблемы определения характера изменения упругих характеристик неоднородного слоя по глубине, при воздействии с поверхности. Определение функции жесткости или эффективного модуля Юнга неоднородного полупространства, зависящего от характерного размера зоны контакта и связанного с изменением свойств основания по глубине.

6. Разработка программного комплекса для исследования процесса индентирования штампами неоднородных покрытий, накопления результатов расчетов и графического их представления.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 102 наименований. Работа содержит 129 страниц, 58 рисунков, 3 приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе поставлены граничные задачи теории упругости, возникающие при исследование процесса деформирования неоднородного слоя лежащего на упругом основании (однородном полупространстве) при воздействии с поверхности. Получено обобщение численно-аналитического метода построения их решения, позволяющее находить поля смещений, деформаций и напряжений в приповерхностном слое.

Изучено влияние различных видов неоднородности на характер распределения контактных давлений, определена связь между действующей силой и осадкой выпуклого штампа. Получена оценка точности приближенного замкнутого аналитического решения.

Исследовано напряженно-деформированного состояние покрытия в зависимости от свойств подложки и проанализирована форма опасных зон.

Обоснована методика проведения эксперимента по определению механических свойств тонких упругих неоднородных по глубине покрытий на основе стандартных штамповых испытаний.

Исследована проблема определения характера изменения упругих характеристик неоднородного слоя по глубине при воздействии с поверхности. Дано определение жесткости или эффективного модуля Юнга неоднородного полупространства, зависящего от характерного размера зоны контакта и связанного с изменением свойств основания по глубине.

Разработан программный комплекс для исследования процесса индентирования штампами различной формы неоднородных покрытий, накопления результатов расчетов и графического их представления.

1. Развитие теории контактных задач в СССР. М. Наука. 1976. 493 с.

2. Механика контактных взаимодействий (под ред. Воровича И.И., Александрова В.М.) М. ФИЗМАТЛИТ. 2001. 672 с.

3. Нанотехнология в ближайшем десятилетии. Прогноз направления исследований.Под ред, Роко М., Вильяме Р.С., Аливисатос П. М. Мир. 2002

4. Абрамович М. Стиган И. Справочник по специальным функциям. М. Наука. 1979. 832 с.

5. Айзикович С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред // ПММ. 1982. Т. 46. № 1. С. 148-158.

6. Айзикович С.М. Контактные задачи теории упругости для полупространства и полуплоскости, неоднородных по глубине. //Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 1983. С. 121-131.

7. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при малых значениях параметра. // Докл.АН СССР. 1990. Т. 313, № 1.С. 48-52.

8. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при больших значениях параметра. // Докл.АН СССР. 1991, Т. 319. №5. С. 1037-1041.

9. Айзикович С.М. Двухсторонний асимптотический метод решения контактных задач "Механика контактных взаимодействий" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 20-29.

10. Ю.Айзикович С.М. Статические контактные задачи для неоднородного по глубине основания "Механика контактных взаимодействий" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 199-213.

11. Айзикович С.М., Александров В.М. О свойствах функций податливости, соответствующих слоистому и непрерывно-неоднородному полупространству // ДАН СССР. 1982. Т. 266. № 1. С. 40-43.

12. Айзикович С.М., Александров В.М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство. // Изв. АН СССР. МТТ. 1984, N2, С.73-82.

13. Айзикович С.М., Александров В.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для полупространства и полуплоскости, неоднородных по глубине. // Изв.АН Арм.ССР. Механика. 1986. Т. 39. № 3. С. 13-28.

14. Айзикович С.М., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Асимптотическое решение задачи о внедрении сферы в неоднородное по глубине полупространство. //Изв. АН СССР. МТТ. 2000. № 5. С. 107-117.

15. Александров В.М. О решении одного класса парных уравнений. //Докл.АН СССР. 1973. Т. 210. № 1. С. 55-58.

16. Александров В.М., Белоконь А.В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических упругих тел //ПММ. 1967. Т. 31. вып. 4.

17. Александров В.М., Белоконь А.В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений, встречающихся при изучении смешанных задач математической физики для областей с цилиндрическими границами //ПММ. 1968. Т. 32. вып. 3. С. 401-413.

18. Александров В.М., Ворович И.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины //ПММ. 1960. Т. 24. вып. 2. С. 323-333.

19. Александров В.М., Калкер Д.Д., Пожарский Д.А. К расчету напряжений в осесимметричной контактной задаче для двухслойного основания. //Изв. АН СССР. МТТ. 2000. № 5. С. 118-130.

20. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М. Наука. 1986. 336 с.

21. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М. Машиностроение, 1986. 176 с.

22. Александров В.М., Сметанин Б.И. Об одном эффективном методе решения неклассических смешанных задач теории упругости //ПММ. 1971. Т. 35. вып. 1.С. 80-87.

23. Ананьев И.В., Бабешко В.А. Колебания штампа на слое с переменными по глубине характеристиками // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 1. С. 6469.

24. Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волн вибрирующим штампом в среде с неоднородными начальными напряжениями //ПММ. 1983. Т. 47. вып. 3. С. 483-489.

25. Аргатов И.И. Асимптотическое решение контактной задачи с полунеизвестной границей области контакта. //ПММ. 2000. Т. 64, вып. З.С. 462-467.

26. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матриц Грина для стратифицированного упругого полупространства //Журнал вычислительной математики и матем. физики. 1987. Т. 27. № 1.С. 93-101.

27. Бородачев А.Н., Дудинский В.И. Контактная задача для упругого полупространства с переменным коэффициентом Пуассона. // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 86-91.

28. Булычев С.И., Алехин В.П. Испытание материалов непрерывным вдавливанием индентора. М. Машиностроение, 1990. 224 с.

29. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М. Наука, 1974. 456с.

30. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М. Наука, 1979. 320с.

31. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины //ПММ. 1959. Т. 23. вып.З.

32. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости .М. Наука. 1980. 304 с.

33. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Физматгиз, 1962. 1100 с.

34. Джонсон K.JI. Механика контактного взаимодействия. М. Мир. 1989. 509 с.

35. Коган Б.И. Напряжения и деформации в покрытиях с непрерывно меняющимся модулем упругости //Труды Харьковского автомоб.-дор. инст-та. 1957. вып. 19. С. 53-66.

36. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородного тела. Кишинев. Штиинца. 1987. 166 с.

37. Кузнецов Е.А. Деформирование неоднородного полупространства при давлении круглого цилиндрического штампа. // Проблемы прочности. № И. 1983. С. 30-37.

38. Кузнецов Е.А. О взаимосвязи некоторых контактных характеристик с переменными упругими свойствами сопряженных тел. //Трение и износ, 1983. Т.4. № 2. С. 238-248.

39. Кузнецов Е.А. К решению контактных задач для неоднородного полупространства при давлении на него круглого цилиндрического штампа. // Прикл. мех. 1984. Т. 20, № 8. С. 24-33.

40. Кузнецов Е.А. Распределение напряжений на поверхности неоднородного полупространства при давлении на него кругового штампа. // Трение и износ. 1984. Т. 5. № 6. С. 1085-1094.

41. Кузнецов Е.А. Давление круглого цилиндра на полупространство с переменным по глубине коэффициентом Пуассона. // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 1.С. 73-86.

42. Кузнецов Е.А., Гороховский Г.А. Напряженное состояние неоднородного полупространства с переменным по глубине коэффициентом Пуассона при действии на него сосредоточенной силы. //Трение и износ. 1984. Т. 5. № 5. С. 806-816.

43. Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Решение граничных задач теории упругости для многослойных оснований // В сб.: Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетровск. 1978. вып. 1. 64 е., вып. 2. 68 с.

44. Лурье А.И. Теория упругости. М. Наука. 1970. 824 с.

45. Марковец М. П. Определение механических свойств металлов по твердости. М. Машиностроение. 1979. 191 с.

46. Никишин B.C. Статические контактные задачи для многослойных оснований. "Механика контактных взаимодействий" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 199-213.

47. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи теории упругости для многослойных сред. М. Наука. 1973.

48. Попов Г.Я. Контактная задача теории упругости при наличии круговой области контакта. // ПММ. 1962. Т. 26, вып. 1. С. 207-216.

49. Приварников А.К., Ламзюк В.Д. Упругие многослойные основания. // 4.1. Днепропетровский ун-т. Днепропетровск. 1985. 162 с. (рук.деп. в ВИНИТИ 23.12.85, №8789-В).

50. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М. Наука. 1983. 752 с.

51. Рвачев В.Л., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев. Наукова думка. 1985. 176 с.

52. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л. Наука. 1977. 220 с.

53. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Serova N.A.Determination of elasic properties of functional-graded nanostructured coatings.//4-th International Conference on Nanostructured Materials. Stockholm, Sveden. June 14-19 1998. Book of Abstracts. P. 419

54. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Serova N.A. Non-Destructive Determination of Mechanical Properties of Non-Homogeneous Coatings. //7-th European Conference on Non-Destructive Testing and Exhibition. Copenhagen, Denmark. May 26-29 1998. P. 1063-1069

55. Aizikovich S.M., Krenev L.I.,Trubchik I.S. Approximate analytical solutions of the contact problems forcontinuously non-homogeneous elastic coatings // (publish in Proceedings) 434 EUROMECH Colloquium, Moscow, May, 2124,2002. P.9.

56. Aizikovich S.M., Krenev L.I.,'Trubchik I.S. Mathematically based determination of mechanical properties of coating-substrate structures by nanoindentation method // (publish in Proceedings) 434 EUROMECH Colloquium, Moscow, May, 21-24, 2002. P.10.

57. Anderson I.A.,Collins I.F. Plane strain stress distributions in discrete and blended coated solids under normal and sliding contact. // Wear. 1995. Vol. 185. P. 23-33.

58. Awojobi A.O. On the hyperbolic variation of elastic modulus in a non-homogeneous stratum // Intern. J. Solids Struct. 1976. Vol. 2. No. 11. P. 639-748.

59. Brown P.T., Gibson R.E. Surface settlement of a finite elastic layer whose modulus increases linearly with depth // Intern. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1979. Vol. 3. No. l.P. 33-47.

60. Burmister D.M. The General Theory of Stresses and Displacements in Layered System //J.Appl.Phys. 1945. Vol. 16. P. 89-94; 126-127; 296-302.

61. Chen W.T. Computation of Stresses and Displacements in a Layered Elastic Medium. // Int. J. Engng. Sci. 1971. Vol. 9. P. 775-800.

62. David J. Unger and Elias C. Aifantis. The asymptotic solution of gradient elasticity for mode III. // International Journal of Fracture. 1995. Vol. 71. P. 27-32.

63. Dhaliwall R.S., Singh B.M. On the theory of elasticity of a non-homogeneous medium //Journ. Elasticity. 1978. Vol. 8. No. 2. P. 211-219.

64. Dub S.N. Curves of elasto-plastic deformation of thin coatings obtained in depth-sensing indentation experiments. // MRS Symposium proceedings. 1998. Vol. 505. P. 223-228.

65. E1-Sherbiney M.G.D., Hailing J. The Hertzian Contact of Surfaces Covered with Metallic Films // Wear. 1976. Vol.40, No 3. P. 325-337.

66. Fougere G.E., Riester L., Ferber M., Weertman J.R., Siegel R.W. Young's modulus of nanocrystalline Fe measured by nanoindentation. //Materials Science and Endgineering. 1995. Vol. A204. P. 1-6.

67. Giannakopoulos A.E., Suresh S. Indentation of solids with gradients in elastic properties: Part I. Point force.Part II. Axisymmetric indentors. // Int. J. Solids Structures. 1997. Vol.34. No 19. P. 2357-2428.

68. Gibson R.E., Brown P.T., and Andrews K.R.F. Some results concerning displacements in a non-homogeneous elastic layer Z.Angew. // Math, und Phys. 1971. Vol. 22. No. 5. P. 855-868

69. Gladwell G.M.L. On Some Contact Problems in Plane Elasticity Theory. //Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. June 1976. Vol. E43. No 2. P. 263-267

70. Gupta P.K., Walowit J.A., Finkin E.F. Stress Distributions in Plane Strain Layered Elastic Solids Subjected to Arbitrary Boundary Loading, // ASME Journal of Lubrication Technology. 1973. Vol. 95. P. 427-433.

71. Hainsworth S.V., Chandler H.W. Analysis of nanoindentation load-displacement loading curves. //J. Mater. Res. Aug. 1996. Vol. 11. No. 8. P. 1987-1995.

72. Johnson G.R., Epstein H.I., Cristiano P. Stiffness coefficients for layered media // Proc. Amer Soc. Civil. Engrs. Journ. Struct. Div. 1974. Vol. 100 No. 7. P. 1537-1542.

73. Komvopoulos K. Elastic-Plastic Finite Element Analysis of Indented Layered Media. //ASME Journal of Tribology. 1989. Vol. 111. P. 430-439.

74. Lim Y.Y. and Chaudhri M.M., Enomoto Y. Accurate determination of the mechanical properties of thin aluminum fims deposited on sapphire flats using nanoindentations. // J.Mater. Res. Jun 1999. Vol. 14, No. 6. P. 2314-2327.

75. Lu C.J., Bogy D., Kaleko R. Nanoindentation Hardness Tests Using a Point Contact Microscope. // Journal of Tribology. January 1994. Vol. 116, P. 175-180.

76. MarshalI D.B., Evans A.G. Measurement of adherence of residually stressed thin films by indentation.i. Mechanics of interface delamination. //J.Appl.Phys.15 November 1984. Vol 56 No 10. P. 2632-2638.

77. Mohrbacher H., Blanpain В., Celis J.P., Roos J.R., Stals L., Van Stappen M. Oxidational wear of TiN coatings on tool steel and nitrided tool steel in unlubricated fretting. //Wear. 1995. Vol. 188. P. 130-137.

78. Pharr G.M., Bolshakov A., Tsui T.Y. and Hay Jack C. Nanoindentation of soft films and hard substrates: experiments and finite element simulations. //MRS Synp. Proceedings. Fall 1997.

79. Pharr G.M., Oliver W.C. Measurement of Thin Film Mechanical Properties Using Nanoindentation. // MRS BULLETIN. July 1992. P. 28-33

80. Rother В., Dietrich D.A. A new valuation of the classical hardness definition and consequences for mechanical characterizations of thin films. //Surface and Coatings Technology.1995. Vol. 74-75. P. 614-617.

81. Stibson R.E., Brown P.T., Anderews K.R.F. Some results concerning displacements in non-homogeneous elastic layer // Z.angew.Math.und Phys. 1971. Vol. 22. No. 5. P. 855-866

82. Stiehler R.D., Decker G.E and Bullman G.W. Determination of hardness and modulus of rubber with spherical indentors. // Rubber Chemistry and technology. 1975. Vol. 52. P. 255-262.

83. Suresh S., Giannakopoulos A.E., Alcala J. Spherical indentation of compositionally graded materials: theory and Experiments. // Acta mater. 1997.Vol. 45. No 4. P. 1307--1321.

84. Tsui T.Y., Oliver W.C., Pharr G.M. Influences of stress on the measurement of mechanical properties using nanoidentation: Part I. Experimental studies in an aluminum alloy. // J. Mater. Res. Mar 1996. Vol. 11. No. 3. P. 752759.

85. Vetters H., Hirsch Т., Stock H.R. und Mayr P. Dunne Hartstoffschichten prufen. // Materialprufung. 1993. Vol. 35 No 4. P. 90-97.

86. Vingsbo Olof, Hogmark Sture, Jonsson Bo, and Ingermarsson Anders. Indexation Hardness of Surface-Coated Materials. // Microindentation Techniques in materials science. 1986. P. 257-271.

87. Zeng K., Breder K. and Rowcliffe D.J. The hertzian stress field and formation of cone cracks-I. // Theoretical approach. Acta mater. 1992. Vol. 40, No. 10. P. 2595-2600.

88. Zeng K., Breder K. and Rowcliffe D.J. The hertzian stress field and formation of cone cracks-II. // Determination of fracture toughness. 1992. Vol. 40, No. 10. P. 2595-2600.

89. Zeng K., Breder K. and Rowcliffe D.J, Herrstrom C. Elastic modulus determined by Hertzian indentation. // Journal of materials science. 1992. Vol. 27. P. 3789-3792.