Дифференциальные многочлены с заданными решениями и аналитическая сложность голоморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Красиков Виталий Александрович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ С ЗАДАННЫМИ РЕШЕНИЯМИ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СЛОЖНОСТЬ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2013

1 2 СЕН 2013

005532841

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент, Садыков Тимур Мрадович

Официальные оппоненты: Царев Сергей Петрович,

доктор технических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», кафедра прикладной математики и компьютерной безопасности, профессор

Михалкин Евгений Николаевич, кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет имени В.П. Астафьева», кафедра математического анализа и методики обучения математике в вузе, доцент

Ведущая организация: Механико-математический факультет

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», г. Москва

Защита диссертации состоится 27 сентября 2013 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан августа 2013 г.

Ученый секретарь У*"

диссертационного совета /' Федченко Дмитрий Петрович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Системы дифференциальных уравнений и их обобщения часто применяются при решении задач в различных областях математики и ее приложениях. Нахождение решений заданного класса для таких систем в общем случае является весьма сложной задачей. Не менее сложна и обратная задача нахождения дифференциального уравнения заданного класса по известному множеству его решений. Многие знаменитые классические проблемы сводятся к обратным задачам такого вида.

В качестве примера можно привести 21-ю проблему Гильберта о построении фуксовой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии. Ее решение было получено в 1989г. A.A.Болибрухом1. Он показал, что в классе фуксовых систем обыкновенных дифференциальных уравнений систему с заданным ветвлением решений построить невозможно. Тем не менее, задача эффективного нахождения системы дифференциальных уравнений с заданным ветвлением решений в том случае, если такая система существует, активно исследуется и представляет большой интерес2,3,4.

Другой классической задачей, приводящей к обратной задаче теории дифференциальных уравнений в частных производных, является 13-я проблема Гильберта о возможности представления непрерывных функций многих переменных в виде композиции непрерывных функций двух переменных. А.Н. Колмогоров и В.И. Арнольд доказали, что такое представление всегда существует на компактном подмножестве веще-

1Болибрух A.A. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения / A.A. Болибрух. - М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2000.

2Bostan A. Differential equations for algebraic functions / A.Bostan, F.Chyzak, B.Salvy, G.Lecerf, E.Schost; Proceedings of ISSAC. - Waterloo, Ontario, Canada. 2007. P. 25-32.

3Carrä Ferro G.Generalized differential resultant systems of algebraic ODEs and differential elimination theory / G. Carrä Ferro // Trends in Mathematics: Differential Equations with Symbolic Computation, Birkhäuser, 2006. P. 327-341.

4Cormier O. Linear differential operators for polynomial equations / O.Cormier, M.F. Singer, B.M. Trager, F. Ulmer // J. Symbolic Computation. 2002. №34. P. 355-398.

ственного пространства5. Вопрос возможности представления аналитической функции многих переменных в виде композиции аналитических функций двух переменных разрешается в отрицательном смысле, однако возникает вопрос описания множества аналитических функций, для которых это представление возможно6. Данный вопрос естественным образом приводит к понятию классов сложности аналитических функций двух переменных и задаче нахождения дифференциальных критериев принадлежности функций этим классам7. Таким образом, возникает необходимость конструктивного построения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных с заданным семейством решений, зависящим от нескольких произвольных функций одного переменного.

Широкий класс обратных задач в теории дифференциальных уравнений в частных производных образуют обратные задачи математической физики. Это связано с тем, что при моделировании реальных физических процессов часто необходимо по известным результатам измерений восстановить значения некоторых параметров процесса. Сам процесс, как правило, описывается в некоторой области функционального пространства системой дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными (начальными) условиями. Такая ситуация соответствует необходимости решения обратной задачи. Непосредственные формулировки задач могут сильно отличаться в зависимости от математической модели. В частности, такие задачи могут включать установление предыстории данного состояния процесса, восстановление граничных условий или величин, в них входящих, определение коэффициентов уравнений, нахождение геометрических характеристик контура области или координат точек внутри нее. Возможны

5Арнольд В.И. О представлении непрерывных функций трех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных / В.И.Арнольд // Матем. сб. 1959. №48(90):1. С. 3-74.

6Витушкин А.Г. 13-я проблема Гильберта и смежные вопросы / А.Г. Витушкин // УМН. 2004. №59:1(355). С. 11-24.

7Beloshapka V.K. Analytic complexity of functions of two variables / V.K. Beloshapka // Russian Journal of Mathematical Physics. 2007. №14:3. P. 243-249.

также комбинированные постановки обратных задач8. Существует обширный список источников, посвященных методам решения обратных задач математической физики9'10'11.

Задачи, рассматриваемые в диссертации, имеют отношение к 13-й и 21-й проблемам Гильберта и связаны с нахождением дифференциальных уравнений (в том числе нелинейных), множество решений которых задается в явном виде, либо неявно - как решение алгебраического уравнения. Предложено новое определение сложности таких геометрических объектов, как узлы и гиперповерхности. Цель диссертации

Целью диссертации является нахождение и исследование свойств систем дифференциальных уравнений (в частности, единственного уравнения), обладающих заданным множеством решений, а именно:

- построение конструктивного алгоритма для расчета полиномиальных коэффициентов линейного дифференциального уравнения, которому удовлетворяет заданная алгебраическая функция;

- изучение структуры многогранников Ньютона и свойств коэффициентов зануляющих дифференциальных операторов для алгебраических функций;

- вычисление и оценка аналитической сложности для алгебраических функций и многочленов, в частности, для дискриминантов многочленов одного переменного;

- нахождение алгебраических дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют функции классов аналитической сложности выше первого;

- введение нового определения сложности узлов и гиперповерхно-

®Алифанов О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В.Румянцев. - М.: Наука, 1988. - 286 с.

9Бухгейм A.JI. Уравнения Волътерра и обратные задачи / А.Л.Бухгейм. - Новосибирск: Наука, 1983. - 207 с.

10Романов В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов. - М.: Наука, 1984.

''Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н.Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 285 с.

стей и развитие методов ее вычисления. Методика исследования

В первой главе используется понятие алгебры Вейля и (левых) идеалов в ней. В частности, дифференциальный оператор, зануляющий заданную алгебраическую функцию, находится в (одношаговом) модуле сизигий некоторого фактор-идеала алгебры Вейля. При доказательстве теорем существования оптимального зануляющего оператора используется теория вычетов. В алгоритме, вычисляющем коэффициенты такого оператора, используются базисы Гребнера для исключения переменных.

Во второй главе рассматривается понятие аналитической сложности голоморфной функции, введенное В.К. Белошапкой. Работа ведется в дифференциальных полях с несколькими дифференцированиями, переход от некоммутативного исключения к коммутативному использует Ь-принцип, сформулированный М.Л.Громовым12. При оценке аналитической сложности алгебраических функций используется понятие системы Гельфанда-Капранова-Зелевинского для данной функции.

В главе 3 рассматривается понятие узла в К3 в контексте определения аналитической сложности узла. Для оценки сложности узлов и при доказательстве утверждений используются геометрические методы. Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность

Полученные результаты являются теоретическими и позволяют вычислять линейные дифференциальные уравнения с заданными алгебраическими решениями, а также оценивать аналитическую сложность некоторых функций и узлов. Они могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений для решения частных видов уравнений. Результаты третьей главы могут быть использованы при классификации узлов в М3.

12Громов М.Л. Дифференциалъные соотношения с частными производными: пер. с англ. / М.Л.Громов. - М.: Мир, 1990.

Практическая ценность результатов может состоять в их включении в учебные программы специальных курсов по современным проблемам комплексного анализа или компьютерной алгебры. Апробация работы

Результаты исследований были представлены на следующих семинарах и конференциях:

- на 42-й краевой научной студенческой конференции по математике в Сибирском федеральном университете в 2009 году;

- с 2009 по 2012 годы - на городском семинаре по комплексному анализу кафедры теории функций Сибирского федерального университета;

- на 49-й и 50-й Молодежной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» в Новосибирском государственном университете в 2011 и 2012 годах соответственно;

- на факультете информационных технологий Российского государственного торгово-экономического университета, где автор проходил стажировку в 2010, 2011 и 2012 годах;

- на семинаре в ИВМ СО РАН «Математические модели и методы интегрирования» в 2012 году.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5], из них 2 работы [1-2] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста и трех приложений, содержащих программный код и объемные результаты. Список литературы содержит 63 наименования. Работа изложена на 102 страницах, содержит 11 рисунков и 2 таблицы, приложения занимают 18 страниц.

Содержание работы

Во введении дается краткое изложение содержания диссертации, а также приводятся некоторые предварительные сведения.

Под алгеброй Вейля Т>п будем понимать кольцо <C[xi, ..., хп, di, ..., 9„] с правилами коммутации

хг ■ xj = xj ■ Xi,di ■ dj = dj -di,di- Xj = Xj ■ di при i ф j, дг-хг = хг-д, +1,

изоморфное кольцу дифференциальных операторов над С".

Напомним, что идеал I алгебры Вейля Т>п называется голономным, если размерность его характеристического многообразия Char(J) = {(x,z) € С2п\ a(P)(x,z) = 0 для всех Р е 1} равна п. Здесь а(Р) -это главный символ оператора Р. Соответствующая I система дифференциальных уравнений также называется голономной.

Будем называть оптимальным зануляющим оператором для алгебраической функции у{х) такой линейный дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами, который своим действием обращает функцию у{х) в нуль и имеет наименьший дифференциальный порядок среди всех таких операторов.

В главе 1 рассматривается задача нахождения голономной системы дифференциальных уравнений, которой удовлетворяло бы решение у{х) алгебраического уравнения общего вида

ут + xl2/mi + ... + хпут- + X = 0. (1)

В дальнейшем задача сводится к нахождению оптимального зануляю-щего оператора для функции у{х).

В §1.1 сформулировано утверждение, из которого следует существование оптимального зануляющего оператора для решения уравнения (1). Данное утверждение может быть выведено из результатов, полученных в работах С.П.Царева13 и Saito, Sturmfels, Takayama14.

Предложение 1.2. В любом голономном идеале алгебры Вейля Т>п

13Tsarev S.P. Factorization of overdetermined systems of linear partial differential equations with finite-dimensional solution space / S.P. Tsarev // Proceedings of the 4th international workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. Springer Verlag, 2001. P. 529-539.

14Saito M. Grobner Deformations of Hypergeometric Differential Equations / M. Saito, B. Sturmfels, N. Takayama. - Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2000.

для любого i е {1,... ,п} существует оператор, все производные которого взяты по переменному ж*.

Также в §1.1 рассмотрена система Гельфанда-Капранова-Зелевинс-кого15 для ростков решения уравнения хпуп +хп-\уп~1 +.. .+х\у+хо = О, вида

dXidXjy = dXkdXly при i + j = к + 1,

п п

J2ixidXiy = -y И £>¿5^ = 0, ¿=0 ¿=0

сужение которой дает голономный идеал операторов, обращающих в

нуль ростки решения (1).

В §1.2 вычислен дифференциальный порядок оптимального зану-ляющего оператора на основе теоремы, сформулированной в работе Cattani, D'Andréa, Dickenstein16, в соответствии с которой число линейно независимых над полем С ростков решений уравнения (1) в точке общего положения i £ С для произвольных значений параметров (xi,..., хп) € С" равно

если НОД(т, mi,... ,mn) = 1,

Я(т,т 1,... ,тп) = <

[ нодст.т,.....т„)' если НОД(т, гщ,..., т„) > 1.

Здесь [] означает целую часть вещественного числа.

Из принципа консерватизма и теоремы Коши-Ковалевской следует, что порядок оптимального зануляющего оператора для решения уравнения (1) не может быть меньше, чем Д(ш, т\,..., тп). С другой стороны, вычисление вронскиана дает дифференциальное уравнение, порядок которого не превышает И(т, тх,..., тп). Отсюда следует, что порядок искомого дифференциального оператора в точности равен Н(тп, тпг,..., тп).

Для нахождения оптимального зануляющего оператора на основе представления производных ветвей уравнения (1), использованного в

15Mayr K. Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen / K.Mayr // Monatshefte für Mathematik und Physik. 1937. V. 45. P. 280-313.

16Cattani E. The A-hypergeometric system associated with a monomial curve / E. Cattani, C.D'Andrea, A. Dickenstein // Duke Math. J. 1999. №99. P. 179-207.

работе Ьашззоп, 8ас1укоу17, в кольце С^, ..., ят, хг, ..., хп, х] определяются идеалы 1к для к = 1,..., т следующим образом:

Здесь P(t) = _ a Sf, г = 1,...,ш - корни уравнения (1).

Доказана следующая теорема.

Теорема 1.8. Вектор полиномиальных коэффициентов оптимального зануляющего оператора для алгебраической функции, заданной уравнением (1), лежит в модуле сизигий фактор-идеала (2) по идеалу, порожденному соотношениями Виета.

Данная теорема упрощает с вычислительной точки зрения поиск коэффициентов оптимального зануляющего оператора и на ее основе строится алгоритм вычисления таких операторов. Данный алгоритм использует методы теории исключений для максимального упрощения.

Алгоритм 1.9.

1. Вычислить базис идеала Д из (2).

2. Используя лексикографический порядок переменных si,...,sm, вычислить базис Гребнера идеала V, определенного соотношениями Виета.

3. Вычислить нормальную форму порождающих идеала Ii относительно базиса Гребнера идеала V.

4. Выразить полученные на предыдущем шаге многочлены через элементы кольца C[sb х\, ..., хп,х]. Обозначим полученное семейство многочленов ,..., TZm ■

5. Любое C[a;i,... ,ж„,х]-линейное соотношение для семейства TZ\, ..., lZln соответствует системе линейных алгебраичеких уравнений над

17Lärusson F. Dessins d'enfants and differential equations / F.Lärusson, T.M. Sadykov // St. Petersburg Math. J. 2007. №19:6. P. 184-199.

/*= ((-1)^-1)! П (**"*<)

\iytk

£= 1,... ,R(m,mi,...

(2)

полем рациональных функций переменных Xi,... ,хп,х. Из предложения 1.2 и теоремы 1.8 следует существование по крайней мере одномерного комплексного векторного пространства решений этой системы линейных уравнений. Найдя базис этого пространства и убрав знаменатели, получим искомые полиномиальные коэффициенты оптимального зануляющего оператора для исходной алгебраической функции.

В §1.3 приведены примеры дифференциальных операторов, вычисленных с помощью алгоритма 1.9, в том числе таких операторов, которые обращают в нуль ветви решений алгебраических уравнений с неразрешимой группой Галуа (например, общего уравнения пятой степени).

В §1.4 исследована структура многогранников Ньютона коэффициентов оптимальных зануляющих операторов. Напомним, что многогранником Ньютона многочлена Лорана нескольких переменных

/(х 1,...,Ж„)= Са х\ 1 • ■ ■ хп" а=(01.....а„)бЛсГ

с конечным носителем А по определению называется выпуклая оболочка А.

Под многогранником Ньютона оптимального зануляющего оператора, заданного алгебраической кривой общего вида, будем понимать выпуклую оболочку векторов степеней всех мономов, которые присутствуют в его коэффициентах.

Следующая теорема, доказанная в §1.4, описывает структуру многогранника Ньютона любого оптимального зануляющего оператора.

Теорема 1.16. Вектор степеней (vi,..., ura+i) любого монома произвольного коэффициента оптимального зануляющего оператора решения уравнения (1) лежит в гиперплоскости

(т — тi)ui + ... + (ш — mn)vn + mvn+1 = const.

В главе 2 решается задача нахождения нелинейного дифференциального уравнения, которому бы удовлетворяли функции некоторого заданного класса. Производные искомых функций входят в уравнение

полиномиально, а сами функции принадлежат различным классам аналитической сложности Cln, п = 0,1,..., введенным В.К. Белошапкой. Принадлежность аналитической функции двух переменных f(x, у) некоторому классу аналитической сложности определяется количеством аналитических функций одного переменного и суммирований в представлении /(х, у) как композиции. Те функции, для которых представление в виде подобной композиции невозможно, по определению имеют бесконечную аналитическую сложность.

Например, класс аналитической сложности CIq состоит из функций одного переменного, а для п = 0,1,... классы Cln+i определяются ре-куррентно как множества функций {Сп{Ап(х,у) + Вп{х,у))}, где Сп аналитическая функция одного переменного, Ап,Вп € С1п.

Вместо суммирования в определении классов аналитической сложности может использоваться любая аналитическая функция двух переменных ф(х,у)\ однако сама иерархия классов аналитической сложности для различных функций может совпадать, например, это верно для ФЛХ,У) = х + уп ф2(х, у)=х-у.

Существует простой дифференциальный критерий принадлежности функции f{x,y) классу аналитической сложности Cli, заключающийся в обращении в нуль дифференциального многочлена

f'(f')2f" _(f>\2f>fl" , f" (f')2f" _ t" (f')2f" Jx\Jy) J xxy \Jx) JyJxyy ' Jxy\Jx> Jyy Jxy\Jy> J XX

при подстановке в него функции /. Задача вычисления аналогичного дифференциально-алгебраического критерия для класса CI2 представляет большую вычислительную сложность.

Дифференциальным многочленом будем называть многочлен DP(f,

fx 1> • • ■ 1 /х„> ■ • ■ ) fxi.}.x1...x„...xn) € K[f, fXl, . . . , fXn, . . . , fx 1...xi...xn...x„],

где - некоторое поле характеристики 0.

Везде в дальнейшем под сложностью аналитических функций будет пониматься их аналитическая сложность, если не оговорено противное.

В §2.1 вводятся основные определения, связанные с классами аналитической сложности и приводятся примеры вычисления сложности для некоторых распространенных классов функций. Также рассматривается способ нахождения дифференциального многочлена, обращающего в

нуль сумму /(х, у) +д(х, у) и произведение /(ж, у) ■д(х, у) аналитических функций /(ж, у) и д(х, у), если известен дифференциальный многочлен, зануляющий одну из этих функций.

Большой интерес представляет задача нахождения дифференциального многочлена, обращающего в нуль общую функцию класса сложности С12 • Проведенные компьютерные эксперименты показывают, что непосредственное вычисление этого дифференциального многочлена является нетривиальной задачей, а сама запись его в явной форме, ввиду своей громоздкости, создаст сложности при применении его для проверки принадлежности функций классу С12.

В §2.2 предложен алгоритм, позволяющий определить принадлежность данной аналитической функции двух переменных сужению класса С12- В данном параграфе рассмотрены функции ((х, у), представи-мые в виде

С = = + + *{£ + *!)■

Это множество функций связано с функциями второго класса аналитической сложности

г = Н(с1(а,1(х) + Ьх(у)) + с2{а2{х) + Ь2(у)))

посредством аналитических замен переменных £ = 0.2(2;), т] = Ь2(у), С =

В §2.3 рассмотрена аналитическая сложность многочленов двух переменных и введены различные оценки сверху. В частности, доказано, что аналитическая сложность любого многочлена суммарной степени й > 2 не превышает ("1оё2(<1 — 1)1 + 2, здесь \х] обозначает наименьшее из целых чисел, больших, чем Многочлен степени 1 имеет аналитическую сложность не выше 1.

Важными частными случаями многочленов являются однородные формы и дискриминанты. В §2.2.2 дана следующая оценка сложности дискриминантов редких тетраномов:

Теорема 2.25. Для тпетпранома Т = Ьт + хЬ4 + уЬТ + 1 с заданными показателями степеней тп,д,г 6 2 рассмотрим множество М(Т) =

{m,q,r,m — q,m — r,q — r}. Если одно из чисел множества М(Т) делится на другое нацело с частным к £ Z, то аналитическая сложность дискриминанта D(T) тетранома Т не превышает |~log2 /с] + 3.

В §2.4 рассмотрена сложность алгебраических функций. Для оценки аналитической сложности алгебраической функции общего вида f{xо, ..., x„+i) рассматриваем систему Гельфанда-Капранова-Зелевинского для исходной функции и множество аналитических решений этой системы в окрестности точки общего положения. Аналитическая сложность функции f(xо,..., xn+i) не превосходит максимальной сложности функций данного множества.

Понятие аналитической сложности можно распространить на класс функций, зависящих более, чем от двух переменных. В §2.5 предложено одно из возможных определений.

В §2.6 вычислены дифференциальные многочлены, обращающие в нуль функции «промежуточной» аналитической сложности - то есть такие, которые принадлежат второму классу, но не охватывают его целиком. Для классов таких функций зануляющие дифференциальные многочлены могут иметь более простой вид, нежели общий многочлен для С¡2, весьма сложный для вычисления.

Глава 3 посвящена возможности применения понятия аналитической сложности к геометрическим объектам. В ней введены определения аналитической сложности гиперповерхности и аналитической сложности узла.

Для гиперповерхности S С С2 определена локальная аналитическая сложность C(z(o)iW(o))(S) в точке (z(0\w(0^) как аналитическая сложность определяющей функции для S. Глобальной аналитической сложностью S назовем число C(S) = sup C/Zm wm)(S).

Сложность узла в М3 определена через сложность римановой поверхности, на которую этот узел может быть помещен без самопересечений. Рассмотрим двухлистную риманову поверхность М над С, не имеющую ветвления в бесконечности и проекцию узла К на комплексную плоскость, содержащую только двойные самопересечения, причем

точки самопересечения проекции лежат в достаточно малых окрестностях точек ветвления М. Поскольку К может быть изображен в виде замыкания подходящей косы18, любое самопересечение может быть разрешено помещением пересекающихся частей К на два различных листа римановой поверхности. Отсюда следует, что верно следующее предложение.

Предложение 3.10. Любой узел К может, быть помещен без самопересечений на риманову поверхность функции у/Р(х), где Р{х) - многочлен достаточно высокой алгебраической степени, имеющий различные корни.

Таким образом, можно определить аналитическую сложность узла К как наименьшую из сложностей многочленов, определяющих рима-новы поверхности, на которые К может быть помещен без самопересечений.

В конце главы доказано утверждение, позволяющее оценить аналитическую сложность некоторых узлов.

Предложение 3.12. Аналитическая сложность узлов типа 3j, 4i, 5i, 5г равна 1.

Основные результаты

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Разработан алгоритм вычисления зануляющих дифференциальных операторов для алгебраических функций. Предложенный алгоритм отличается от других методов областью своего приложения (он работает с алгебраическими уравнениями общего вида), основными принципами работы (голономные системы дифференциальных уравнений в частных производных и некоммутативное исключение) и сложностью дифференциальных операторов, эффективно вычисляемых с его помощью.

18Adams С. С. The Knot Book. An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots / Colin C.Adams. - W.H. Freeman and Company, New York, 1994.

2. Исследованы полиномиальные коэффициенты оптимального за-нуляющего дифференциального оператора. Доказана теорема о виде многогранников Ньютона этих коэффициентов.

3. Разработан алгоритм для определения принадлежности голоморфной функции двух переменных сужению второго класса аналитической сложности.

4. Доказана теорема об оценке аналитической сложности дискриминантов разреженных тетраномов.

5. Введены определения аналитической сложности для узлов и комплексных гиперповерхностей. Вычислена аналитическая сложность узлов типа 3i, 4i, 5i, 02-

Исследования по теме диссертации были поддержаны Президентским грантом РФ МК-3684.2009.1 и проектом №2.1.1/14245 аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 годы)».

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Тимуру Мрадовичу Садыкову за сотрудничество, внимание и поддержку на всех этапах выполнения данной работы.

Работы автора по теме диссертации

1. Красиков В.A. The Newton Polytope of the Optimal Differential Operator for an Algebraic Curve / B.A. Красиков, T.M. Садыков // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. 2013. №6(2), Р. 200-210.

2. Красиков ВА. Об аналитической сложности дискриминантов / В.А. Красиков, Т.М. Садыков // Труды МИАН. 2012. №279. С. 86101.

3. Красиков В.А. Аналитическая сложность многочленов и дискриминантов // В.А.Красиков. Материалы юбилейной 50-й международной научной студенческой конференции. Новосибирск: Новосибирский государственный университет. 2012. С. 92.

4. Красиков В.А. О критерии принадлежности второму классу аналитической сложности для функций двух комплексных переменных // В.А.Красиков. Четвертое российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам: тезисы докладов. - Красноярск: Сибирский федеральный университет. 2012. С. 30-31.

5. Красиков В.А. Зануляющие дифференциальные операторы для алгебраических функций // В.А.Красиков. Материалы ХЫХ международной студенческой конференции. Новосибирск: Новосибирский государственный университет. 2011. С. 49.

Соавторство. В совместной с Т.М. Садыковым работе [1] автору принадлежат результаты, связанные с вычислением оптимальных зануляю-щих операторов для алгебраических уравнений высокой степени, также в равной степени внесен вклад в алгоритм вычисления зануляющих операторов. В совместной с Т.М. Садыковым работе [2] автору принадлежат расчеты аналитической сложности функций в примерах, результаты по вычислению аналитической сложности многочленов, исключению переменных из системы Гельфанда-Капранова-Зелевинского для алгебраической функции, определение аналитической сложности для функций, зависящих от трех и более переменных, доказательство теоремы о сложности дискриминантов редких тетраномов и доказательства предложений об аналитической сложности узлов.

Подписано в печать 21.08.2013. Печать плоская Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ № 2933 Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а, тел.: +7(391) 206-26-49,206-26-67 E-mail: print_sfu@mail.ru

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201362073

Красиков Виталий Александрович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ С ЗАДАННЫМИ РЕШЕНИЯМИ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СЛОЖНОСТЬ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., доцент Садыков Тимур Мрадович

Красноярск 2013

Оглавление

Введение 4

1. Линейные зануляющие дифференциальные операторы для алгебраических функций 24

1.1. Зануляющие операторы для решений голономных систем дифференциальных уравнений............................................................25

1.2. Вычисление зануляющего оператора для заданной алгебраической функции ................................................................................28

1.3. Примеры зануляющих операторов для алгебраических функций .... 33

1.4. Многогранники Ньютона оптимальных зануляющих операторов .... 36 1.-5. Время вычисления зануляющих операторов и их свойства................39

2. Аналитическая сложность голоморфных функций двух комплексных переменных 41

2.1. Основные определения. Классы сложности..................................41

2.2. Условие принадлежности второму классу аналитической сложности . . 51

2.3. Сложность многочленов двух переменных..................................54

2.3.1. Сложность взвешенных однородных форм..........................62

2.3.2. Сложность дискриминантов..........................................63

2.4. Сложность алгебраических функций........................................69

2.5. Сложность функций трех и более переменных..............................78

2.6. Примеры дифференциальных многочленов для частных случаев функций из классов сложности С1\ и С12........................................80

3. Аналитическая сложность гиперповерхностей и узлов 85

3.1. Сложность аналитической гиперповерхности в С" ........................85

3.2. Аналитическая сложность узла, вложенного в 1'..........................86

Заключение 93

Указатель обозначений 94

Список литературы 97

Работы автора по теме диссертации 102

Приложения 103

Приложение 1. Программа на языке среды Mathematica 7.0 для вычисления

зануляющего оператора для квинтики общего вида............103

Приложение 2. Зануляющие дифференциальные операторы для алгебраических функций.................................106

Приложение 3. Дифференциальные многочлены для функций различных

классов аналитической сложности......................115

Введение

Многие классические и современные разделы математики ориентированы на решение (точное или численное) дифференциальных уравнений, их систем и обобщений (интегро-дифференциальных, дифференциально-разностных, псевдодифференциальных уравнений). К таким областям математики относятся, например, некоторые разделы функционального анализа, теория D-модулей, групповой анализ дифференциальных уравнений, значительная часть теории специальных функций. Обратная задача построения уравнения или системы уравнений из определенного класса по известным решениям пользуется значительно меньшей популярностью и зачастую воспринимается как намного более простая. Это отчасти связано с замкнутостью класса элементарных функций относительно операции дифференцирования в совокупности с множеством простых примеров элементарных функций, не имеющих элементарной первообразной. Данное обстоятельство является следствием узости класса элементарных функций и может быть устранено путем перехода к подходящему расширению этого класса, например, при помощи специальных функций математической физики.

К числу обратных задач классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений можно отнести 21-ю проблему Гильберта, решение которой было получено A.A. Болибрухом в 1989 г. [3]. Эта классическая проблема, которая на протяжении почти 70 лет ошибочно считалась решенной Племелем в 1908 г., ставит вопрос о построении фуксо-вой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданным ветвлением ее решений (то есть, с заданной группой монодромии). Результат Племеля состоял в возможности построения системы с заданной

монодромией в классе систем с регулярными особенностями. Болибрух показал, что для более узкого класса фуксовых систем обыкновенных дифференциальных уравнений это, вообще говоря, неверно.

Другой классической задачей, приводящей к обратной задаче теории дифференциальных уравнений в частных производных, является 13-я проблема Гильберта. В ее дословной формулировке ставится вопрос о возможности представления решений приведенного алгебраического уравнения 7-й степени в виде композиции непрерывных функций двух переменных. Решение данной проблемы дается теоремой Колмогорова-Арнольда, согласно которой любая непрерывная функция произвольного (конечного) числа переменных, заданная на компактном подмножестве вещественного пространства, может быть представлена в виде композиции непрерывных функций одного переменного и всего лишь одной функции двух переменных, в качестве которой можно взять, например, функцию /(ж, у) = х + у. Данное представление возможно благодаря широте класса всех непрерывных функций одного переменного. В то же время решение исходного алгебраического уравнения является многозначной аналитической функцией нескольких комплексных переменных и потому встает вопрос о нахождении аналогичного представления в классе аналитических функций двух переменных [6]. Данный вопрос естественным образом приводит к понятию классов сложности аналитических функций двух переменных и задаче нахождения дифференциальных критериев принадлежности функций этим классам [20]. Таким образом, возникает необходимость конструктивного построения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных с заданным семейством решений, зависящим от нескольких произвольных функций одного переменного.

В работе [57] Д. Цейльбергер (О. Zeilberger) рассматривает подход к доказательству функциональных соотношений, основанный на понятии голопомной функции. Определение голономной функции в этой работе несколько отличается от традиционного для теории Х>-модулей, а именно, ПОД семейством ГОЛОНОМНЫХ функций /(х 1, . . . , 777,1, . . . , 'ГП,1), где Х\.... . Хр- - переменные, 7774, ■ ■ ■ ; пц - дискретные параметры, понимается

множество функций, которое удовлетворяет «максимально возможному числу (однородных) линейных дифференциально-разностных уравнений (с полиномиальными коэффициентами)» (см. [57]). Зная такую систему уравнений («каноническое голономное представление») для функций / и д, мы можем вычислить аналогичные системы для их суммы, разности, произведения, интеграла от функции по любому переменному или функционального ряда вида /, где ш7; - дискретный параметр. Тогда любое функциональное соотношение вида ^ = С, в левой и правой частях которого стоят голономные в описанном выше смысле функции, может быть доказано, если найти канонические голономные представления для ^и Си показать, что эти представления эквивалентны. Таким образом, знание множества дифференциальных (разностных) уравнений для «сложной» функции может быть весьма полезным.

Классическая проблема якобиана также может быть сформулирована как обратная задача теории дифференциальных уравнений. Предложим формулировку в случае многочленов двух переменных: необходимо найти уравнение вида А(х,у)/'Х -Ь В(х,у)/'у — 1 = 0 с полиномиальными коэффициентами вида А(х,у) = д[, В(х,у) = д'х, которому бы удовлетворял заданный многочлен /(х,у), при условии, что отображение (/,(?) обратимо.

Широкий класс обратных задач в теории дифференциальных уравнений в частных производных образуют обратные задачи математической физики. Это связано с тем, что при моделировании реальных физических процессов часто необходимо но известным результатам измерений восстановить значения некоторых параметров процесса. Сам процесс, как правило, описывается в некоторой области функционального пространства системой дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными (начальными) условиями. Такая ситуация соответствует необходимости решения обратной задачи. Непосредственные формулировки задач могут сильно отличаться в зависимости от математической модели. В частности, такие задачи могут включать установление предыстории данного состояния процесса, восстановление граничных условий или величин, в них входящих, определение коэффи-

циептов уравнений, нахождение геометрических характеристик контура области или координат точек внутри нее [1]. Возможны также комбинированные постановки обратных задач.

В качестве наиболее общей формулировки приведем следующую (см. стр. 133 - 134 в [4]) рассматриваем уравнения

где Р оператор прямой задачи; Q - «информационный» оператор, описывающий изменения правой части; д заданный, а и и / искомые элементы соответствующих функциональных пространств.

Существует обширный список источников, посвященных методам решения обратных задач математической физики (см., например, [4], [11], [12], [14], [15]). Отметим сразу, что традиционно обратные задачи математической физики относят к классу некорректных по Адамару, поскольку чаще всего у их решений отсутствует свойство непрерывной зависимости от входных данных [1]. Однако существует другая точка зрения на этот вопрос, в соответствии с которой любую обратную задачу можно сформулировать как корректно поставленную [10]. Обычным подходом при решении некорректных задач является сужение класса допустимых решений и использование различных регуляризирующих методов.

Обозначим в (0.1) А = QP и будем считать оператор А линейным, самосопряженным, положительным, но, вообще говоря, неограниченным и действующим на некотором гильбертовом пространстве Н. Пусть также область определения D{Ä) плотна в Н. В вариационных методах вместо решения уравнения (0.1) минимизируется функционал невязки J0(v) = || Av

~ 9\\н■ Решение такой вариационной задачи не единственно, и необходимо разумно распорядиться информацией о погрешности правой части для того, чтобы выделить наиболее приемлемое решение. Отдельно хочется выделить м,етод регуляризации А. Н. Тихонова, вводящий сглаживающий функционал Ja(v) = \\Av — g\\2H + а||г>||д-. Приближенное решение задачи (0.1) есть экстремаль этого функционала Ja{u) — min JQ(^). В том случае, если оператор А нелинеен, исполь-

(0.1)

иеН

зуются методы линеаризации (см., например, п. 3 главы 4 в [11]).

Перейдем к рассмотрению различных формулировок обратных задач в теории дифференциальных уравнений. Одной из наиболее элементарных является задача построения линейного обыкновенного дифференциального уравнения с заданным линейным пространством решений.

Простой способ получения дифференциального уравнения для семейства линейно независимых функций одного переменного основан па использовании определителя Вронского (вронскиана).

Предложение 0.1. Пусть С - некоторая область в С. Если функции Уг{х): У'2{%), ■ ■ ■ ,'Уп(х) € Ск(С) линейно независимы, то определитель

В

1 У\ ■■■ У»

т. ¡А ••• Уп

Лп) (п)

с1х» У1 • ■ • У'1

(0.2)

представляет оператор, своим дел1ствием, обралцающий в нуль любую функи/аю из линейного пространства с базисом у\{х), у2(х),... ,уп(х).

Обратим внимание па то, что, в соответствии с общей теорией, пространство решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения 77-го порядка имеет размерность п, поэтому любой элемент из ядра оператора И лежит в линейном пространстве, порожденном функциями У\(х), у2(х),...,уп{х).

Однако с вычислительной точки зрения вронскиан и основанная на нем конструкция дифференциального уравнения для заданной функции представляют собой лишь неконструктивную теорему существования. Причин этому три: во-первых, для формирования вронскиана необходимо выбрать базис в пространстве всех ростков функции в окрестности неособой точки, то есть, полностью решить сложную в общем случае задачу аналитического продолжения. Во-вторых, вычислительную сложность представляет задача раскрытия определителя, содержащего производные высоких порядков. Наконец, высокую сложность имеет задача упрощения и приведения к каноническому виду полученного громоздкого выражения средствами современной компьютерной алгебры.

Например, уже вычисление дифференциального оператора для решения приведенного кубического уравнения с помощью вронскиана представляет значительную трудность (см. пример в § 5 в [39]). В общем же случае использование вронскиана невозможно еще и по причине отсутствия механизмов упрощения выражений, содержащих производные специальных функций высокого порядка, в современных системах компьютерной алгебры.

В дальнейшем не рассматриваются дифференциальные уравнения и их системы с вещественно-аналитическими коэффициентами или с коэффициентами конечной гладкости. Зависимость решений такого дифференциального уравнения от его коэффициентов может быть весьма сложной и, как показывает знаменитый пример Леви [41, 54], уравнение с вещественно-аналитическими коэффициентами может вообще не иметь решений класса С1.

Дифференциальные уравнения и их системы с аналитическими коэффициентами, решения которых ищутся в классе функций, голоморфных в окрестности заданной точки или в некоторой области, рядом своих ключевых свойств выгодно отличаются от уравнений с коэффициентами конечной гладкости. Во-первых, для таких уравнений (при необходимости дополненных начальными условиями) верны аналоги теоремы Коши-Ковалевской. Во-вторых, для уравнений с однозначными голоморфными коэффициентами имеет место принцип консерватизма [42]: если уравнению удовлетворяет некоторый росток (вообще говоря, многозначной) аналитической функции, то ему удовлетворяет и любой другой ее росток, полученный из исходного путем аналитического продолжения.

Знание глобального соотношения для специальной функции, заданной локально (например, в виде суммы сходящегося в окрестности некоторой точки ряда) позволяет сделать выводы о глобальных свойствах этой функции. При этом особенный интерес представляют линейные дифференциальные соотношения с полиномиальными коэффициентами. Если специальную функцию удается «погрузить» в пространство решений системы линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, не имеющей при этом «лишних» решений, то весьма

сложные в общем случае вопросы об аналитическом продолжении такой функции и вычислении множества ее особенностей решаются стандартными техническими средствами (см., например, [47]). При этом под «лишними» понимаются решения, которые не являются ветвями изучаемой функции, то есть, не могут быть получены из нее при помощи аналитического продолжения.

В 1827 году Абель доказал (см. [16]) теорему о том, что любая алгебраическая функция удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению с полиномиальными коэффициентами. Этот результат сразу же вызывает интерес к алгебраическим функциям с точки зрения построения таких дифференциальных уравнений.

Решив в 1989 году 21-ю проблему Гильберта, A.A. Болибрух доказал, что в общем случае невозможно построить линейную фуксову систему дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии (см. [19]). Однако задача эффективного нахождения системы дифференциальных уравнений (и, в частности, единственного дифференциального уравнения) с заданным ветвлением решений (когда это возможно) остается открытой и активно исследуемой, см. [25], [27] и [30]. Система компьютерной алгебры Magma содержит встроенную команду DifferentialOperator для нахождения таких операторов (см. [26]). Другой мощный инструмент нахождения линейных дифференциальных уравнений (как однородных, так и нет) для алгебраических функций это пакет gfun для системы компьютерной алгебры Maple 12, разработанный В. Salvy и др. (см. [25]).

Большой интерес представляет многомерный случай, то есть, нахождение линейного дифференциального уравнения в частных производных, которому удовлетворяет заданная функция многих комплексных переменных, однако такая задача имеет несколько существенных отличий от одномерного случая.

Основным классом линейных дифференциальных уравнений, рассматриваемых в данной работе, являются дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами, связанные с понятием алгебры Вей-ля. Напомним основные определения, касающиеся этих алгебраических

структур.

Пусть К некоторое поле характеристики 0. Алгеброй Вейля размерности п называется кольцо К[х\,..., хп, с^,.... дп] с правилами коммутации

х, ■ х3 = х3 • Х{, д7 • д7 = дэ • дг, дг • х3 = х3 • д, при г -ф (1, • ^ = XI • дг + 1.

изоморфное кольцу дифференциальных операторов над афинным пространством Кп размерности п. В дальнейшем алгебра Вейля размерности п обозначается Т>п, а поле К совпадает с полем комплексных чисел. Система линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами может быть ассоциирована с некоторым (левым) идеалом в Т>п.

Трудность многомерного случая по сравнению с одномерным заключ�