Дифракция оптического поля на регулярных,асимметричных и мультифракталах Кантора тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. Юрія Федьковнча

УДІ< 235.42

і>Г6 ОД 1 І) «ОЙ ‘-іи1

Ковальчук Олександр Вячеславович

Дифракція оптичного поля на регулярних, асиметричних та мультифракталах Кантора

01.04.05 - оптика, лазерна фізика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізнко-математичних наук

Чернівці

2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі кореляційної оптики Чернівецького державного університету ім. Юрія Федьковича

Науковий керівник:

Офіційні опоненти:

Провідна організація:

Ангельський Олег Вячеславович,

док. фіз.-мат. наук, професор, завідувач кафедри кореляційної оптики Чернівецького державного університету ім. Юрія Федьковича

Одулов Сергій Георгієвич, чл.-кор. НАН України, проф., док. фіз.-мат. наук, головний науковий співробітник Інституту Фізики НАН України, Київ.

Курашов Віталій Наумович, канд. фіз.-мат. наук, доцент Київського національного університету ім. Тараса Шевченка;

Одеський державний університет ім.

І. І. Мечнікова

Захист відбудеться 27 жовтня 2000 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 76.051.01 при Чернівецькому державному університеті за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Коцюбинського 2.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Чернівецького державного університету (58012, м. Чернівці, вул. А. Українки 23).

Автореферат розіслано 27 вересня 2000 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

М.В. Курганецький

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми досліджень.

Традиційні оптичні методи діагностики структури статистичних розсіюючих об’єктів базуються на уявленнях теорії ймовірностей і математичної статистики. В основу цих методів покладено взаємозв’язок статистичних параметрів структури об’єкту та відповідних статистичних параметрів поля дифрагованого випромінювання. Разом з тим, в природі існують розсіюючі об’єкти, структура яких є фрактальною. Під фракталами розуміють об’єкти, яким притаманна самоподібність: структура частини об’єкту подібна до структури об’єкту в цілому (в детермінованому або статистичному змісті). Адекватними характеристиками природних об’єктів з фрактальною структурою будуть фрактальні параметри (рівень, розмірність). Потужним інструментом для визначення цих параметрів є оптика, яка дозволяє проводити безконтактну діагностику об’єктів дослідження.

Концепція фрактальної міри вперше з’явилася в роботах Б. Мандельброта в 1967 році при описі просторових розподілів областей розсіяння в турбулентних потоках [1]. З того часу ця нова концепція виявилась дуже зручною для моделювання самоподібних об’єктів, що з’являються в багатьох фізичних ситуаціях, зокрема і в оптиці. Вивчення фракталів засобами оптики проводиться шляхом пошуку зв’язку між параметрами розмірності об’єкту і характеристиками поля оптичного випромінювання, що дифрагувало на ньому.

В оптиці досліджувалася дифракція випромінювання як на регулярних фракталах [2,3], так і на випадкових [4,5]. Тим не менше, результати більшості з цих досліджень мали швидше якісний характер, вивчення полів дифракції Френеля на регулярних фракталах не виявило ефективних діагностичних зв’язків між параметрами об’єкту та поля дифракції в цій зоні, а дослідження дифракції на асиметричних фракталах майже не проводилося.

Ідея фракталів в дослідженнях явища дифракції оптичної хвилі має особливу вагу з двох причин. По-перше, оскільки багато природних об’єктів володіють фракталь-ними властивостями, необхідно зрозуміти вплив таких об’єктів на утворення дифракційного поля. По-друге, дифракція чи розсіяння на фрактальних об’єктах утворює

нові структури хвильових полів, які можуть бути використані в практиці застосувань оптичних методів в задачах діагностики фрактальних об’єктів завдяки властивості са-моподібності, притаманній їхнім характеристикам. Для досліджень в цьому напрямку штучні фрактали і математичні моделі більш придатні як об’єкти дослідження, ніж природні, завдяки можливості завдання їх параметрів [6].

Поряд з фрактальною концепцією для визначення мультифрактальних явищ, що з’являються в багатьох фізичних ситуаціях [7], широко використовується і мульти-фрактальна концепція [1]. В своїй сучасній формі мульти-фрактальний підхід в основному пристосований до статистичного опису масштабних властивостей самоподібних об’єктів.

В дисертаційній роботі ці підходи були застосовані до вивчення розподілів інтенсивності полів дифрагованих на самоподібних об’єктах. Це дозволило виявити ряд діагностичних залежностей між параметрами структури таких об’єктів (фрактальною розмірністю, рівнем, коефіцієнтом асиметрії, ваговим параметром) і поведінкою кореляційного експоненту, коефіцієнту асиметрії, спектру розмірностей розподілів інтенсивності відповідних дифракційних полів.

Таким чином, актуальність роботи полягає в розробці нових ефективних методів безконтактної діагностики структури регулярних фракталів, асиметричних фракталів і мультифракталів, які є моделями багатьох природних самоподібних об’єктів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких представлені в дисертацій', виконані у відповідності до програми госп-договірної науково-дослідної роботи: «Дослідження нових можливостей розв’язання оберненої діагностичної задачі в оптиці шляхом використання уявлень фрактальної оптики та хаосу» номер держреєстрації: Фунд. ДР

N0.019711014408.

Мета роботи полягала в розробці методів оптичної безконтактної діагностики регулярних, асиметричних та мультифракталів Кантора шляхом використання кореляційного експоненту, коефіцієнта асиметрії і спектру розмірностей для вивчення розподілу інтенсивності оптичного поля дифрагованого на цих фракталах.

з

Для досягнення цієї мети вирішувалися задачі:

• виготовлення об’єктів дослідження (регулярних, асиметричних та му,\ьтифракталів Кантора) і експериментальної оптичної схеми для реєстрації полів дифраго-ваних на цих об’єктах, комп’ютерного моделювання об’єктів та дифракції на них оптичного поля;

• дослідження залежностей між кореляційною розмірністю дифракційного поля і рівнем та розмірністю об’єкта - регулярного фракталу Кантора;

• дослідження залежностей між коефіцієнтом асиметрії дифракційного поля і ступенем асиметрії та рівнем об’єкта - асиметричного фракталу Кантора;

• дослідження залежностей між спектром розмірностей та коефіцієнтом асиметрії дифракційного поля і ваговим параметром та рівнем об’єкта - мультифракталу Кантора;

• Розробка методів діагностики регулярних, асиметричних і мультифракталів.

Наукова новизна результатів отфиманих в цій роботі

полягає в тому, що в ній вперше:

• Показано, що кореляційний експонент поля в ближній зоні дифракції може бути використаний для діагностики фрактальних характеристик (рівня і розмірності) регулярних фракталів Кантора.

• Виявлена поздовжня самоподібність кореляційного експоненту оптичного поля, що дифрагувало на регулярних смугах Кантора.

• Встановлена можливість застосування коефіцієнта асиметрії розподілу інтенсивності дифракційного поля для оптичної діагностики асиметрії фракталів і дифракційних ґраток.

• Встановлені методи визначення характеристик мультифракталу (його вагового параметра, рівня) за допомогою параметрів спектру розмірностей (напівши-рини, положення максимуму) дифрагованого ним оптичного поля, які, в свою чергу, розраховуються шляхом використання мультифрактального формалізму.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що в дисертації розроблені нові оптичні методи визначення структури (розмірності, рівня, вагового параметру) об’єктів - фракталів і ступеня їх асиметрії. Розроблені методи можуть стати основою для вирішення проблеми безконтактної діагностики природних фрактальних об’єктів і можуть знайти практичне застосування в таких галузях науки, техніки і господарства, як фізика твердого тіла (контроль квазікристалів), хімія (контроль кластериза-ції в реакціях), атмосферна і гідрооптика (моніторинг оточуючого середовища, дослідження турбулентностей у воді, хмар, діагностика гідро- і аерозолей), промисловий контроль шорстких поверхонь (інструментальне і машинобудування), біологія і медицина (рання діагностика хвороб рослин, тварин, людей), та ін.

Достовірність наукових результатів забезпечена використанням апробованих методик (процедура Пакарда-Такенса для визначення кореляційного експоненту, визначення коефіцієнта асиметрії через статистичні моменти розподілу, визначення спектру розмірностей за допомогою мультифрактального формалізму), сучасних вимірювальних приладів та обладнання (цифрова камера Оіітрив 820Ь, аналогово-цифровий перетворювач, комп’ютер), а також відповідністю експериментальних даних і результатів комп’ютерного моделювання. Одержані результати відповідають сучасним уявленням про властивості оптичних полів дифрагованих фрактальними об’єктами.

Публікації і особиста участь автора в отриманні наукових результатів. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 10 наукових праць. Список основних публікацій наведено у кінці автореферату.

Особистий внесок автора полягає в проведенні експериментальних досліджень[1*,3*,4*,6*,7*,9*], обробці результатів^*,2*,4*,5*,7*-9*] та участі в теоретичних розрахунках і інтерпретації одержаних даних[1*-10*].

Апробація роботи. Матеріали дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на науковій конференції присвяченій 120-річчю заснування ЧДУ (Чернівці 1995), міжнародних конференціях: “Holograpy and Correlation Optics” (Чернівці 1995), “Correlation Optics” (Чернівці 1997, 1999), “RomOpto’97” (Бухарест 1997), “Photonics’99” (Прага 1999), “Methods of X-ray Diagnostics of Crystal Imperfections in Science and Engineering” (Чернівці 1999), на 5-му Конгресі сучасної оптики “ОРТІКА’98” (Будапешт 1998), і в Школі “Мультфрактали — математика і застосування” (Кембрідж 1999).

Структура і об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури з 108 джерел, які займають 10 сторінок, додатку. Виклад зроблено на 132 сторінках друкованого тексту, ілюстрації займають 12 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність дисертаційної роботи та її зв’язок з науковими програмами і темами досліджень, які виконуються на кафедрі кореляційної оптики в Чернівецькому університеті, сформульовані мета і основні задачі роботи, її наукова новизна і практичне значення одержаних результатів, наведено дані про апробацію роботи.

В першому розділі, що є оглядом літератури по темі дисертації, викладено основні положення фрактальноі геометрії та фрактальної оптики. Наведені приклади природних фракталів та їх математичних моделей. Розглянута застосовність математичних фрактальних моделей до фізичних ситуацій. Введено поняття розмірністі Хаусдорфа, фрактальної розмірністі і розмірністі подоби. Проведено детальний аналіз публікацій, які присвячені експериментальному дослідженню особливостей оптичного поля, диф-рагованого на ідеальних та хаотизованих об’єктах - фракталах, пошуку нових підходів до дослідження розмірнос-них характеристик фрактальних і мультифрактальних об’єктів. Визначені напрямки проведення пошуку можливості оптичної безконтактної діагностики регулярних, асиметричних та мультифракталів Кантора.

В другому розділі представлено результати дослідження залежності кореляційного експоненту дифракційного поля від фрактальних параметрів регулярного тріадного фракталу Кантора.

Запропонований в даному розділі метод безконтактної оптичної діагностики реіулярних амплітудних фракталів базується на визначенні кореляційного експоненту V просторового розподілу інтенсивності поля оптичного випромінювання, що дифрагувало на об’єктах - регулярних фракталах Кантора різних рівнів, і дозволяє визначати рівень п і фрактальну розмірність сі^ цих об’єктів.

В якості об’єктів дослідження були використані смуги Кантора (множина Кантора), що є одним з найбільш відомих регулярних фракталів з розмірностю 0,631, якому притаманні усі фрактальні властивості. При побудові цього фракталу не здійснюється операція повороту, що значно спрощує моделювання дифракції оптичного випромінювання на ньому. З іншого боку, множина Кантора є елементарним фракталом, що є складовою частиною структури багатьох складніших регулярних фракталів (таких як серветка Серпінського, криві Коха). Це дає підстави припустити, що результати, отримані при дослідженні об’єктів - смуг Кантора, можуть до певної міри характеризувати властивості регулярних фракталів взагалі.

Для визначення розподілів інтенсивності дифрагова-ного на об’єктах оптичного поля проводилися як експериментальна їх реєстрація, так і комп’ютерне моделювання.

Для експериментальних досліджень фотолітографічним методом були виготовлені об’єкти - фрактали Кантора з 2го по 6-й рівень. Дифракційне поле реєструвалося за допомогою фото-електронного помножувача, яким сканувалася дифракційна картина в площині перпендикулярній до оптичної вісі (рис. 1). Поле аналізувалося в зоні, де можна знехтувати ефектами просторово-частотної фільтрації в полі дифракційного випромінювання [8]. Розмір зони аналізу Ь визначався з урахуванням відстані між площинами об’єкту та реєстрації г, рівня фрактала п і його розміру а:

Ь = а + 2

гЛЗ"

(1)

Зареєстрований розподіл інтенсивності заводився в комп’ютер, де проводилася обробка даних.

о г

Рис. 1. Оптична схема дослідження дифракції на амплітудних фракталах Кантора. 1 - гелій-неоновий лазер (Л = 0,6328мкм); 2, 4 - об’єктиви; 3, б - мікродіафрагми; 5- досліджуваний об’єкт з амплітудним пропусканням заданим розподілом смуг Кантора; 7 - фотодетектор (ФЕП); 8 - аналогово-цифровий перетворювач; 9 - комп’ютер.

При моделюванні дифракції оптичного випромінювання на об’єктах - смугах Кантора комплексна амплітуда дифракційного поля обчислювалася за інтегралом Релея — Зомерфельда:

2 г Р{х) &(<%)= ехр

2Л->Л(а-,£)

А

йх ■

(2)

де Р(х) - апертурна функція смуг Кантора, яка має одиничне амплітудне пропускання на своїх сегментах та нульове між ними; г - відстань від площини об’єкту до площини спостереження; л та £ - поперечні координати в площинах відповідно об’єкту та спостереження; Л — довжина хвилі випромінювання (Я = 0,6328 мкм);

\2

£(*,£)= л/г2+(*-£)2 - відстань від біжучої точки на фракталі до точки спостереження.

Із розрахованих значень амплітуди поля £/(£) отримувався розподіл інтенсивності /(£) =і[/(^)|2 .

Для полів, що дифраіували на об’єктах - фракталах були розраховані кореляційні експоненти V за допомогою процедури Пакарда-Такенса [9,10]

В залежності г(^31) спостерігаються значні коли-

вання, що зумовлені перерозподілом інтенсивності при

інтерференції просторово-частотних компонент дифракційного поля, співвідношення амплітуд та фаз яких змінюється із зростанням г (рис. 2). Для отримання можливості порівняння результатів розрахунків із експериментальними даними та коректного аналізу цієї залежності, ми усереднювали теоретичні результати.

На рис. З подана експериментально отримана з використанням скануючої мікродіафрагми діаметром 1 мкм крива залежності у(г) смуг Кантора 6-го рівня, а також результати згладжування розрахункових даних, яке моделює усереднення скануючою діафрагмою.

Рис. 2. Залежність ко- Рис. 3. Залежність кореля-

релядійного експоненту ^ дійного експоненту V від І(^3 Z

від І0£3 2. для смуг Кантора для смуг Кантора 6-го рівня

6-го рівня. згладжена по 45 точках (1) та

' виміряна з використанням мікро-

діафрагми діаметру 1 мкм (2).

При більшому згладжуванні виявляються головні максимуми розрахованих залежностей (рис. 4) для смуг

Кантора 4-го, 5-го та 6-го рівнів.

Рис. 4. Розраховані залежності у(к^3 Z) для смуг Кантора 4го (крива 1), 5-го (крива 2) та 6-го (крива 3) рівнів, згладжені по 81 точці.

Усі криві характеризуються: зоною біля об’єкту, де кореляційний експонент V постійний, максимумом у Френе-лівській зоні та наступним швидким спаданням до нуля.

Величини кореляційного експоненту V в зоні біля об’єкту та в максимумі приблизно рівні та лінійно пов’язані із рівнем фракталу. Ця залежність визначена нами як:

V = \ 0с1 г(п - 1) , (3)

де п - рівень фракталу, а - його фрактальна розмірність.

Положення максимумів кривих, наведених на рис. 4, співпадають з положенням вершини умовного трикутника, в межах якого присутні усі компоненти кутового спектру об’єктного поля [8]. Основа цього трикутника співпадає із розміром фракталу відповідного рівня, а бічні сторони утворені променями, що дифрагуйали на елементах фракталу з найменшими розмірами (що відповідають найвищій просторовій частоті його структури).

Відстань між положеннями сусідніх максимумів уздовж вісі 2 збільшується в три рази при зміні рівня фракталу на одиницю, що пояснюється тріадною структурою об’єкту - фракталу.

Подальше збільшення 7 призводить до зменшення V . Це пояснюється просторово-частотною фільтрацією. в полі дифрагованого випромінювання в наслідок скінченності розмірів об’єкта. Збіднення просторово-частотного спектру реалізується послідовно із зростанням 2.

Раніше було показано, що розподіл інтенсивності випромінювання, що дифрагувало на смугах Кантора виявився поздовжньо самоподібним [б]. Нами була якісно виявлена поздовжня самоподібність і в залежності г) для смуг Кантора усіх досліджених нами рівнів.

У третьому розділі дисертації проведено дослідження залежності коефіцієнту асиметрії дифракційного поля від ступеня асиметрії і фрактальних параметрів об’єкта -асиметричного фракталу Кантора.

Запропонований в даному розділі метод безконтактної оптичної діагностики асиметричних і хаотичних амплітудних фракталів базується на визначеному нами взаємозв’язку між коефіцієнтом асиметрії самого об’єкта та його дифракційного поля.

В якості об’єктів для дослідження обиралися смуги Кантора, в структуру яких вводилася асиметрія за ступе-невим законом. Координати елементів асиметричних об’єктів — у визначалися через координати відповідних елементів симетричних об’єктів — х таким чином:

.У = *'+\ (4)

де к — коефіцієнт, що задає асиметрію фрактала.

Зміна ступеня асиметрії фрактала проявляє себе в зміні просторової структури, а отже і симетрії поля дифра-гованого випромінювання в ближній зоні.

Розподіли інтенсивності оптичного поля, що дифрагу-вало на об’єктах - асиметричних смугах Кантора, визначалися експериментально і за допомогою комп’ютерного моделювання методами, що описані вище.

Асиметрія фрактала та дифрагованого поля, що утворилось на ньому, оцінювалася за допомогою коефіцієнта асиметрії [11], який визначався співвідношенням:

М,

к. ^ . (5)

де М= - ' (({ і,.)!Яс)Л і .«,■=' [Ц-с,)'/(4)г/х - моменти, відповідно, другого та третього порядків розподілу

інтенсивності поля і(^), £0 = * [х • І(^)(1х є «центром ваги»

л- J

відповідного розподілу, і 5= є коефіцієнтом нор-

мування.

На рис. 5 подана поведінка коефіцієнта асиметрії для фракталів 6-го рівня з значеннями к, що змінюються від

0,02 до 0,20, в залежності від відстані між площинами об’єкту і реєстрації розподілу поля інтенсивності. Результати комп’ютерного моделювання подані суцільними кривими, а експериментальні - пунктирними.

Рис. 5. Залежність коефіцієнтів асиметрії поля дифрагова-ного випромінювання, Ка , від ^ г для різних значень параметра асиметрії к фрактала Кантора 6-го рівня.

Експериментальні значення виявилися меншими за розраховані приблизно на 10 процентів незалежно від рівня фрактала. Це обумовлено усереднюючою дією фотодетектора.

Наведені залежності мають такі характерні риси:

• в зоні присутності усіх кутових компонент об’єктного поля коефіцієнт асиметрії Ка майже не змінюється і співпадає із значеннями коефіцієнта асиметрії об’єкту

к'.;

• наявні максимуми коефіцієнту асиметрії на відстані г,тх ~ асі/А від об’єкту;

• при г > асі ІА , значення коефіцієнту асиметрії швидко асимптотично спадає до нуля.

Такий хід залежності коефіцієнта асиметрії поля від зони його реєстрації пояснюється так. Апертурна обмеженість об’єкту - фракталу призводить до того, що інтерференційна структура поля, яка утворюється при дифракції на ньому оптичного випромінювання, розвивається від області локалізації об’єкта до межі зони (вершини трикутника), що визначає область, в якій присутні усі просторово-частотні компоненти поля випромінювання, що ди-фрагувало. При наближенні до цієї вершини усе більше число просторово-частотних компонент беруть участь у формуванні поля. В області за вершиною відбувається збіднення спектру просторових частот за рахунок фільтрації ряду просторово-частотних компонент. Це призводить до зниження значення коефіцієнта асиметрії, що видно із поданих залежностей. Особливо явно це простежується на

спадаючій ділянці залежності, де збіднення просторово-частотного спектру призводить до різкого зменшення значення коефіцієнта асиметрії і наближення його до нуля.

Нами був встановлений зв’язок між коефіцієнтом асиметрії фрактала та максимальним значенням коефіцієнта асиметрії поля дифрагованого випромінювання:

в якому коефіцієнт С дорівнював 2,0 для проведеного експерименту і 2,2 для модельного експерименту.

Було виявлено, що коли зсув елементів об’єкту, що відбувається під час процедури його асиметризації, стає порівняним чи більшим за їх розмір, зв’язок між асиметрією об'єкта і поля порушується.

З аналізу залежностей коефіцієнта асиметрії від відстані між площинами об’єкту і реєстрації і від рівня фракталу нами був встановлений взаємозв’язок між рівнем

фрактала, п , та відстанню гпт , на якій коефіцієнт асиметрії Ка приймає максимальне значення:

Встановлено також, що аналогічні можливості безконтактної діагностики можуть бути реалізовані як для дифракційних ґраток, так і фракталів із асиметрією, введеною випадково.

В четвертому розділі досліджено взаємозв’язок між рівнем, розмірністю та ваговим параметром об’єкта -мультифракталу Кантора, з одного боку, і спектрами розмірностей та коефіцієнтами асиметрії розподілів інтенсивності оптичних полів, що дифрагували на них, з іншого.

Досліджувалися мультифрактальні об'єкти, побудовані на основі множини Кантора, від 1 до 5 рівня з ваговим параметром р від 0,3 до 0,5. З оптичної точки зору роль маси інтервалів множини відіграє оптичне пропускання смуг Кантора. Об'єкти для експерименту були виготовлені фотографічним способом.

Проводилося як експериментальне вимірювання розподілу інтенсивності поля, що дифраіувало на об’єктах -мультифракталах, так і його комп’ютерне моделювання.

К,

а

шах

(б)

.тах

/

\

(7)

Для розрахунку спектрів розмірностей дифракційних полів використовувався відомий підхід мультифракталь-ного формалізму. Він полягає в розкладі фрактальної міри на переплетені набори, які характеризуються параметром

а і спектром /(а). пов’язаним з узагальненою фрактальною розмірністю £> розподілу інтенсивності дифракційного поля [12].

Отримані спектри розмірності виявилися практично ідентичними для оптичних полів, що дифраіували на об’єктах - мультифракталах різних рівнів. Тому спектри розмірності не можуть бути використані для діагностики рівня мультифрактала.

При зміні вагового параметру р об’єкту - мультифракталу (всі інші умови однакові), змінюється напівширина спектрів розмірності випромінювання дифрагованого на цих об'єктах, при незмінному положенні максимумів спектрів. Чим більше відрізняється параметр р від значення

0,5 (яке характеризує ідеальний фрактал), тим більше зростає напівширина спектра розмірності дифракційного поля в порівнянні із напівшириною спектра розмірності розподілу інтенсивності поля, що дифрагувало на ідеальному фракталі (рис. б).

Р

Рис. 6. Залежність середньої напівширшш спектрів розмірності від значення параметра р об’єктів -

мультифракталів 3-6 рівнів, розраховані для полів, що дифрагували на цих об’єктах і зареєстрованих на відстанях 10 б-10 і м від об’єктної площини. Значення напівширини різних спектрів розбігались не більше як на 3%.

Залежність середньої напівширини спектрів розмірності від значення параметра р об’єктів - мультифракталів може бути описана співвідношенням:

Аа = С„{р- 0,51 + 0,5), (8)

де А а —напівширина спектру розмірності поля, що диф-рагувало на об’єкті - мультифракталі, р — ваговий параметр мультифракталу, С„ — коефіцієнт, що дорівнював Си, = 0,75 + 0,02 для спектрів розмірності виміряних дифракційних полів.

Збільшення відстані від об’єкта до площини реєстрації приводить до зміщення положення максимуму спектра розмірності в сторону менших значень а .

Положення максимуму спектра розмірності граничного поля співпадає з фрактальною розмірністю підтримуючого фрактала. Із збільшенням 2, його значення поступово спадає до певного рівня насичення (рис. 7).

, мкм

Рис. 7. Залежність положення максимумів спектрів розмірності для поля випромінювання, дифрагованого на мультифракталі 5-го рівня (р =0,3), від відстані до площини реєстрації.

Зміщення положення максимумів спектрів розмірності можна пояснити так. При збільшенні відстані між об’єктом і площиною реєстрації г аж до досягнення зони дифракції Фраунгфера структура поля повільно спрощується, а середня розмірність розподілу інтенсивності дифракційного поля поступово зменшується. Подальше зрос-

тання відстані 2 практично не впливає на розподіл інтенсивності дифракційного поля, отже і на його спектр розмірностей.

Розподіл інтенсивності випромінювання, дифрагова-ного на мультифракталі, в зоні дифракції Френеля є асиметричним Ступінь асиметрії дифракційних полів оцінювалася за допомогою коефіцієнта асиметрії.

Залежності коефіцієнта асиметрії полів, дифрагованих на мультифракталах 3-5 рівнів, від відстані між площинами об'єкту і реєстрації (рис. 8) характеризуються:

(1) постійним значенням в зоні дифракції безпосередньо за об’єктом,

(2) максимумом, розташування якого відповідає локалізації вершини трикутника, що визначає область, в якій присутні усі просторово-частотні компоненти поля випромінювання, що дифрагувало,

(3) наступним зменшенням до нуля

І£^2 , мкм

Рис. 8. Залежність коефіцієнта асиметрії поля, що дифраіувало на мультифракталах від 3 до 5 рівнів (р - 0,3), від відстані між площинами об’єкту і реєстрації.

Розмір зони постійного значення коефіцієнта асиметрії залежить від рівня підтримуючого фрактала і збільшується в три рази при зменшенні рівня фрактала на одиницю. Це пояснюється тріадною структурою набору Кантора. Хід залежностей коефіцієнта асиметрії від зони реєстрації поля дифракції на мультифрактальних об’єктах та їх рівня відповідає вигляду аналогічних залежностей, отриманих для асиметричних фракталів, що розглядалися в розділі 3.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Визначені зв’язки між фрактальними параметрами об’єктів - смуг Кантора і оптичних полів дифрагованих ними, які можна використати для вирішення оберненої задачі оптичної безконтактної діагностики регулярних, асиметричних і мультифракталів Кантора.

2. Досліджено залежності між кореляційним експонентом дифракційного поля і рівнем та розмірністю об’кта -регулярного фракталу Кантора. Використання кореляційного експоненту для оцінки просторового розподілу інтенсивності поля оптичного випромінювання, що дифрагу-вало на фракталах Кантора різних рівнів, дозволило встановити діагностично-важливий взаємозв’язок між рівнем регулярного фракталу Кантора і його фрактальною розмірністю та кореляційним експонентом поля дифрагованого випромінювання. Це пояснюється тим, що значення кореляційного експоненту дифракційного поля визначається структурою об’єкту.

3. Встановлена самоподібність залежностей кореляційного експоненту від відстані між об’єктом і площиною реєстрації оптичних полів, що дифрагували на об’єктах - амплітудних смугах Кантора різних рівнів.

4. Досліджені залежності між коефіцієнтом асиметрії дифракційного поля і ступенем асиметрії та рівнем асиметричного фракталу Кантора. В результаті встановлено діагностичний взаємозв’язок між вказаними параметрами, який дозволяє визначити коефіцієнт асиметрії фракталу Кантора та його рівень за значенням та локалізацією максимуму коефіцієнту асиметрії поля дифрагованого випромінювання. Це пояснюється тим, що розподіл інтенсивності оптичного випромінювання, що дифрагувало на асиметричному об’єкті також має відхилення від симетрії в

ближній зоні дифракції, яке визначається ступенем асиметрії об’єкту. ■

Встановлено також, що аналогічні можливості безконтактної діагностики можуть бути реалізовані як для дифракційних ґраток, так і фракталів із асиметрією, введеною випадково.

5. Досліджені залежності між формою, шириною і розташуванням максимуму спектру розмірностей, з одного боку, та коефіцієнтом асиметрії дифракційного поля і ваговим параметром та рівнем об’єкта - мультифракталу Кантора, з іншого. В результаті встановлено діагностичний взаємозв’язок, який дозволяє визначити ваговий параметр мультифракталу Кантора, розмірність та рівень підтримуючого фракталу за напівшириною і локалізацією максимумів спектрів розмірностей дифракційного поля та за локалізацією максимумів і значенням в ближній зоні коефіцієнту асиметрії дифракційного поля.

Основні результати дисертації опубліковано в роботах:

1*. Angelsky О. V., Kovalchuk А. V., Maksimyak P. P., Rudeichuk V. М. Diffraction of Radiation on Cantor Bars / / Proc. SPIE - 1995,- Vol.2647,- P.86-89.

2*. Ангельський О. В., Рудейчук В. M., Ковальчук О. В. Дифракція випромінювання на фракталах Кантора / / Матеріали наукової конференції присвяченої 120-річчю заснування Чернівецького університету.- Чернівці: ЧДУ, 1995,- Т.2.- С.67.

З*. Angelsky О. V., Kovalchuk А. V., Maksimyak P. P., On the Feasibility of Diagnostics of One-Dimensional Amplitude Fractals // Pure Appl. Opt.- 1997.- Vol.6, No.3.- P.435-442.

4*. Angelsky О. V., Kovalchuk A. V., Maksimyak P. P.

Diffraction of light by asymmetric amplitude fractals / / Proc. SPIE.- 1997 - Vol.3317.- P.224-228.

5*. Ангельський О. В., Ковальчук О. В., Максимяк П. П. Дистанційна діагностика асиметричних фрактальних структур / / Наук. Вісник Чернівецького Університету. Вин.22: Інженерно-технічні науки.- Чернівці: ЧДУ, 1998.-С.3-18.

6*. Angelsky О. V., Kovalchuk А. V., Maksimyak P. P.

Optical diagnostics of asymmetrical fractal structures // J.

Opt. A: Pure Appl. Opt - 1999,- No.l, p. 103-108.

7*. Angelsky О. V., Kovalchuk A. V., Maksimyak P. P.

Feasibility of optical correlation diagnostics of multifractals // Proc. SPIE.- 1999.-Vol. 3904 - P. 347-352.

8*. Ангельський О. В., Ковальчук О. В., Максимяк П. П. Про можливість оптичної діагностики мультифрактальних об’єктів / / Наук. Вісник Чернівецького університету, Вип. 63: Фізика,- Чернівці: ЧДУ, 1999,- С.40-44.

9*. Angelsky О., Kovalchuk A., Maksimyak P. Diffraction of Optical Field on Multifractals // Proc. SPIE.- 1999,-Vol.4002.- P. 155-161.

10*. Ангельський О. В., Ковальчук О. В., Максимяк П. П. Дослідження полів оптичного випромінювання дифрагованих на мультифрактальних об’єктах / / Тезисы докладов Международной конференции, посвящённой методам рентгенографической диагностики несовершенств в кристаллах, применяемых в науке и технике (11-15 октября 1999г.).- Черновцы, 1999,- С.73.

Література, одо цитувалася:

1. Mandelbrot В. В. The Fractal Geometiy of Nature.- San Francisco: Freeman, 1982, 42 lp.

2.AllainC., CloitreM. Optical Diffraction on Fractal // Phys. Rev.- 1986-Vol.B33.- P.3566-3569.

3. SakuradaY., UozumiJ., AsakuraT. Fresnel Diffraction by One-Dimensional Regular Fractals // Pure Appl. Opt- 1992-No. 1- P.29-40.

4. Bercy М. V. Diffactals // J. Phys. A: Math. Gen.- 1979.-No. 12 - P.781-797.

5. Jaggard D. L., KimY. Diffraction by Band-limited Fractal Screens // J. Opt. Soc. Am.- 1987,- Vol.A4.~ P. 1055-1062.

6. SacuradaY., UozumiJ., AsacuraT. Fresnel diffraction by one-dimensional regular fractals // Pure Appl. Opt.- 1992 - No.l.-P.29-40.

7. Feder J. Fractals - New York: Plenum Press, 1988, 294p.

8. Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику // Часть 2: Случайные поля. - М.: Наука, 1978, 464с.

9. Packard N. Н., Grutchfield J. P., Farmer J. D., Shaw P. S. Geometiy from a Time Series // Opt. Lett- 1980 - No.45 - P.712-716.

10. TakensF. Detecting Strange Attractors in Turbulence // Lect. Notes in Math - 1981- No.898 - P.366-381.

11. Абезгауз Г. Г., Тронь А. П., Копенкин Ю. Н., Коровина И. А. Справочник по вероятностным расчетам,- Москва: Воєніздат, 1970 - 536с.

12. Ameodo A. Wavelet analysis of fractals in Wavelets: Theory and Applications, ed. G.Erlebacher, M.Y.Hussaini, L.M.Jameson-Oxford: Oxford University Press, 1996.

Ковальчук О. В. Дифракція оптичного поля на регулярних, асиметричних та мультифракталах Кантора. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.05 -оптика, лазерна фізика. Чернівецький державний університет, Чернівці, 2000.

Дисертацію присвячено дослідженню взаємозв’язку параметрів розмірності фракталів Кантора та поля оптичного випромінювання, що дифраіувало на них.

В дисертації експериментально вимірюється розподіл інтенсивності оптичного поля, що дифрагувало на регулярних, асиметричних та мульти - фракталах Кантора. Дифракція також моделювалася математично.

Розроблені методи діагностики рівня, фрактальної розмірності, коефіцієнту асиметрії фракталу Кантора, вагового параметра мультифракталу Кантора, розмірності та рівня підтримуючого фракталу.

Виявлена поздовжня самоподібність залежностей кореляційного експоненту полів, що дифрагували на об’єктах - амплітудних смугах Кантора.

Ключові слова: фрактал, мультифрактал, дифракція оптичного випромінювання, кореляційний експонент, асиметрія, фрактальна розмірність.

A.V. Kovalchuk Diffraction of the Optical Field on Cantor’s Regular, Asymmetric, and Multifractals. -Manuscript.

Thesis for a Ph.D. degree by speciality 01.04.05 - Optics, Laser Physics. Chernivtsi State University, Chernivtsi, 2000.

The thesis is devoted to determination of the diagnostic relations among the parameters of a fractal object structure and ones of an optical field diffracted on it.

Traditionally methods of the statistical scattering objects diagnostics are based on the probabilities theory and the mathematical statistics. These methods use the interconnection among statistical parameters of the object structure and corresponding statistical parameters of the scattered field intensity distribution. In this case the objects are considered as one-, two- or three-dimensional ones. .

However dimension of many natural objects is not strictly integer. In order to describe such objects the fractal approach was developed. One ought to expect that the object fractal dimension should define parameters of its diffraction pattern.

The purpose of the thesis consisted in the development of the remote diagnostics methods of Cantor’s regular, asymmetric, and multi fractals by means of using the correlation exponent, asymmetry coefficient and dimension spectra for investigation of intensity distribution of the optical field diffracted on these fractals.

As an object for investigations was used a Cantor set that is a classic and one of the well-known fractals which possesses all fractal properties.

We investigated regular Cantor sets, as well as Cantor’s asymmetric, and multi-fractals in the capacity of models more approached to natural objects. .

Intensity distribution of the optical field diffracted on Cantor’s regular, asymmetric, and multi- fractals were measured experimentally in the work. Diffraction was also modelled mathematically.

Correlation exponents of the intensity distributions were calculated using Packard - Takens procedure. Field’s asymmetry was estimated by computing its asymmetry coefficient. Its spectra of dimensions were calculated applying multifractal formalism.

It was shown that correlation exponent of the diffracted field has a main maximum. Its location and value depend on the level and fractal dimension of the object regular fractal.

Asymmetry coefficient of the intensity distribution of the optical field diffracted on asymmetric Cantor fractals has a maximum value and location of which depends on the level and asymmetry coefficient of the object itself.

It was displayed that the dimension spectra of the intensity distributions of the fields diffracted on multifractal objects have a parabola-like shape. The half-wide of the dimension spectrum depends on the object mass parameter. Location of the spectrum maximum depends on the object’s dimension.

It also was shown that the location of the asymmetry coefficient maximum of the optical field’s intensity distribution diffracted on the multifractal object depends on the level of the fractal which supports the object’s multifractal structure.

The following diagnostic interconnections between object’s fractal parameters on the one hand, and ones of diffracted field on the other hand were investigated.

• Level and dimension of the object against correlation exponent of diffraction field.

• Asymmetry degree and level of the asymmetric Cantor fractal against asymmetry coefficient of diffraction field.

• Mass parameter and level of the object - Cantor multifractal against form, width, and location of the dimension spectrum maximum and asymmetry coefficient of diffraction field.

Methods of diagnostic of Cantor fractal’s level, fractal dimension, asymmetry coefficient, and Cantor multifractal’s mass parameter, dimension and level of its support are developed.

Longitudinal selfsimilarity of the correlation exponent dependencies of the optical field diffracted on the objects -amplitude Cantor bars was discovered.

Key words: fractal, multifractal, optical radiation

diffraction, correlation exponent, asymmetry, fractal dimension.

Ковальчук А. В. Дифракция оптического поля на регулярных, асимметричных и мультифракталах Кантора. -Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.05 -оптика, лазерная физика. Черновицкий государственный университет, Черновцы, 2000.

Диссертация посвящена исследованию взаимосвязи параметров размерности фракталов Кантора и поля оптического излучения, дифрагировавшего на них.

В диссертации экспериментально измеряется распределение интенсивности оптического поля, которое дифрагировало на регулярных, асимметричных и мульти - фракталах Кантора. Дифракция также моделировалась математически.

Разработаны методы диагностики уровня, фрактальной размерности, коэффициента асимметрии фрактала Кантора, весового параметра мультифрактала Кантора, размерности и уровня поддерживающего фрактала.

. Выявлено продольное самоподобие зависимостей корреляционного экспонента полей, которые дифрагировали на объектах - амплитудных полосах Кантора.

Ключевые слова: фрактал, мультифрактал, дифракция оптического излучения, корреляционный экспонент, асимметрия, фрактальная размерность.

С'\ /'г^-

Підписано до друку 25.09.2000. Формат 60 х 84/16.

Папір офсетний. Друк офсетний. Обл.-вид. арк. 1,4. Ум. друк. арк. 1,3. Зам. 347. Тираж 100 прим.

Друкарня видавництва “Рута“ Чернівецького національного університету 58012, Чернівці, вул.Коцюбинського, 2