Динамическая самоорганизация системы квазидвумерных экситонных поляритонов в условиях резонансного фотовозбуждения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

□0345037Э

Гаврилов Сергей Сергеевич

ДИНАМИЧЕСКАЯ САМООРГАНИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ КВАЗИДВУМЕРНЫХ ЭКСИТОННЫХ ПОЛЯРИТОНОВ В УСЛОВИЯХ РЕЗОНАНСНОГО ФОТОВОЗБУЖДЕНИЯ

специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 ОПТ 2008

Черноголовка 2008

003450379

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте физика твердого тела РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Кулаковский Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Маслова Наталья Сергеевна, кандидат физико-математических наук, с.н.с. Эделынтейн Виктор Меерович

Ведущая организация: Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН

Защита состоится » ^ 2008 года в часов на заседании

диссертационного совета Д 002.100.01 в Учреждении Российской академии наук Институте физики твердого тела РАН по адресу: 142432, г. Черноголовка Московской области, ул. Институтская, д. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФТТ РАН.

Автореферат разослан » октября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Зверев В. Н.

© Гаврилов С. С., 2008 © Институт физики твердого тела РАН, 2008 © Институт проблем химической физики РАН, 2008

Общая характеристика работы

Физические закономерности взаимодействия света и вещества рассматривались на протяжении всей истории естествознания. Однако бурное развитие микро- и нанотехнологии в конце XX века позволило контролируемым образом создавать объекты с размерами меньше длины волны света, что обнаружило новые аспекты этой проблемы. Были открыты квазкгча-стицы (элементарные возбуждения), представляющие собой связанные состояния света и вещества. Один из самых интересных примеров такого рода — квазидвумерные экситонные поляритоны, возникающие в активном слое пленарного полупроводникового микрорезонатора за счет сильной связи экситона (электрон-дырочной пары) и резонагорной фотонной моды [1].

Квазидвумерные поляритоны характеризуются чрезвычайно малой эффективной массой (10~4 -т- Ю-5 масс электрона в вакууме) и обладают уникальной дисперсией Ей?{к), имеющей точку перегиба в области световых квазиимпульсов (индекс ЪР' указывает нижнюю ветвь поляритон-ной дисперсии, совпадающей с дисперсией экситона при больших к). Система поляритонов в микрорезонаторе обнаруживает свойства слабонеиде-ального квазидвумерного бозе-газа; обменное взаимодействие электронов, составляющих экситонные состояния (композитные бозоны), приводит к поляритон-поляритонному рассеянию. Представляя характерный пример открытой диссипатпивной системы с нелинейным взаимодействием, система квазидвумерных поляритонов обнаруживает примечательные коллективные свойства, теоретическому исследованию которых и посвящена данная диссертация.

Актуальность темы. Ключевой эффект, анализу которого будет уделено большое внимание, наблюдается экспериментально в условиях резонансного оптического возбуждения системы квазидвумерных поляритонов. В 2000 г. было обнаружено, что возбуждение в окрестности точки перегиба дисперсии Еър(к) с небольшой расстройкой энергии относительно резонанса [Яр > £а,р(&р)] приводит к пороговому усилению моды к ~ 0, в результате чего появляется гигантский сигнал люминесценции резонатора в направлении нормали к поверхности [2, 3]. Последующие эксперименты, показали, что с увеличением плотности накачки на несколько процентов (вблизи порога) сигнал в направлении вт^ = Нск/Ер « 0 относительно нормали возрастает на несколько порядков [4, 5, 6].

Начиная со времени первых экспериментов, о которых сказало выше, процессы перераспределения возбуждения в системе поляритонов вызывают неослабевающий интерес. В теоретических работах была предложена модель параметрического рассеяния фотовозбужденных поляритонов из состояния (кр, Ер) в состояния (кS,ES) и (к¡,Ei), получившие названия "сигнала" и "холостого сигнала" {англ. "idler"), соответственно, с сохранением энергии и пленарного квазиимпульса: ks + ki = 2kp, Es+ E\ = 2Ep. В том случае, когда накачка фиксирована в окрестности точки перегиба дисперсии I?Lp(k), "сигнал" и "холостой сигнал?' также находятся на дисперсионной кривой, и потому рассеяние идет намного более интенсивно [7, 8]. Заметим, однако, что законы сохранения предполагают сильную зависимость положения "сигнала" от импульса и частоты возбуждения, не наблюдающуюся в экспериментах.

Очерченная проблема "неравновесной конденсации" поляритонов останется не вполне решенной вплоть до настоящего времени. В частности, не совсем ясны процессы развития неустойчивости, приводящие к появлению выделенного "сигнала" в направлении в = 0, а также динамика неравновесных переходов, в которых осуществляется критическая трансформация состояния. Настоящая работа посвящена исследованию этих явлений.

Основная цель настоящей работы состоит в исследовании эффектов, приводящих к пороговой трансформации состояния системы квазидвумерных поляритонов в условиях резонансного фотовозбуждения.

Поставлены следующие задачи:

• Исследовать возможные сценарии развития параметрической неустойчивости в системе квазидвумерных поляритонов.

• Проанализировать динамику неравновесного перехода в состояние с выделенным "сигналом" стимулированного рассеяния и определить условия, в которых такой сигнал возникает под действием когерентной накачки.

• Исследовать отклик системы квазидвумерных поляритонов в зависимости от оптической поляризации возбуждения.

Теоретический формализм, в рамках которого решаются поставленные задачи, основан на квазиклассической теории слабонеидеального бозе-газа

с кубичной нелинейностью во взаимодействии. Решаются уравнения, аналогичные уравнению Гросса-Питаевского в приближении среднего поля, учитывающие внешнюю накачку и экситон-экситонное взаимодействие в системе большого числа (порядка нескольких тысяч) экситонных и фотонных мод на двумерной сетке пленарных квазиимпульсов. Данный подход обусловлен выбором предмета исследования: существенно коллективных эффектов в сильно неравновесной системе взаимодействующих бозонов с макрозаполненными когерентными модами, возникающими под действием когерентной накачки. Таким образом, вопрос об исходном возникновении когерентности нами не рассматривается.

Научная новизна и практическая ценность работы состоит в решении указанных выше задач, в известной мере являющихся ключевыми дня понимания свойств нелинейного отклика системы планарных поляритонов в микрорезонаторе.

К защите представлены следующие основные результаты.

1. Построена теоретическая модель динамики квазидвумерных экситонных поляритонов в условиях резонансного когерентного фотовозбуждения, учитывающая процессы упругого экситон-экситонного рассеяния в приближении среднего поля. На примере численного решения уравнений эволюции показано, что процессы перераспределения возбуждения в системе поляритонов приводят к выраженному гистерезису сигнала стимулированного рассеяния в зависимостях от внешней накачки и амплитуды возбуждаемой моды, в качественном согласии с результатами недавних экспериментов.

2. Исследован процесс развития параметрической неустойчивости в системе квазидвумерных поляритонов. Найдено, что в том случае, когда пленарная проекция волнового вектора накачки фиксирована вблизи точки перегиба нижней поляритонной ветви, а частота превышает собственную частоту поляритона, в системе пороговым образом возникает многомодовая неустойчивость. Именно, сколь угодно плавный рост интенсивности накачки вблизи порога приводит к скачку интенсивности возбуждаемой поляритонной моды и быстрому заполнению множества мод в конечной двумерной области ¿-пространства (жёсткое возбуждение стимулированного рассеяния).

3. Найдено, что в случае жесткого возбуждения стимулированного рассеяния становятся существенными коллективные эффекты, приводящие к появлению выделенного сигнала в направлении нормали к поверхности (к3 « 0). Квазистацнонарное распределение интенсивности поля в активном слое резонатора обнаруживает резкие максимумы в направлениях к8 «0 (сигнал), кр (накачка) и 2кр— к3 к 2кр (холостой сигнал), в хорошем качественном согласии с результатами экспериментов. Переход к такому состоянию сопровождается значительным спектральным сужением сигнальной моды (к5) и появлением линейных участков д исперсии в окрестностях к5] кр и 2кр— к8.

4. Показано, что устойчивость квазистационарного состояния с выделенным сигналом рассеяния (к8) обусловлена сильными корреляциями в поведении "надконденсатных" мод, имеющих значительно меньшую интенсивность. Таким образом, установлено, что теория, описывающая процесс порогового усиления сигнала в области к « 0, а также свойства такого сигнала в квазистационарном режиме, принципиально несводима к моделям типа параметрического осциллятора, учитывающим только три поляритонные моды к5, кр и 2кр— к5.

5. Исследованы свойства системы квазидвумерных поляритонов в случае произвольной оптической поляризации возбуждения. Найдено, что поляритон-поляритонное взаимодействие приводит к неоднозначности отклика поля в активном слое резонатора; число различающихся решений, определяющих стационарное состояние возбуждаемой моды, зависит от поляризации накачки и в общем случае может достигать четырех. В критических точках, в которых меняется количество и/или устойчивость стационарных решений, сколь угодно плавное изменение параметров накачки может привести к скачку состояния возбуждаемой моды. Проанализированы критические переходы, осуществляющиеся за счет изменения интенсивности и поляризации возбуждения. Показано, что даже малое отклонение поляризации накачки от строго линейной может привести к значительной циркулярной поляризации поля в активном слое.

6. Установлено, что взаимодействие экситонов с противоположными проекциями полного момента (7г = ±1) приводит к возможности спонтанного нарушения симметрии <т ^компонент поля в активном

слое резонатора в условиях строго линейной поляризации когерентной накачки. Диапазон значений интенсивности накачки, в котором наблюдается данный эффект, существенно зависит от частоты возбуждения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах ИФТТ РАН, ФИАН им. П. Н. Лебедева, ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН, Физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова, рабочих семинарах университетов Клермон-Феррана (Франция) и Шеффилда (Великобритания), а также на международных конференциях: "Physics of Light-Matter Coupling in Nanostructures" (Магдебург, 2006г., устный доклад), "4th Russian-French Workshop on Nanosciences and Nanotechnologies" (Гренобль, 2007 г., приглашенный доклад).

Публикации. По результатам исследований, представленных в диссертации, опубликовано пять печатных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка публикаций по материалам диссертации и списка литературы.

Содержание работы

Первая глава диссертации является вводной и посвящена обзору литературы. В разделе 1.1 рассмотрены характерные свойства квазидвумерных (2D) поляритонов в полупроводниковом резонаторе типа III-V (GaAs) с квантовыми ямами (InGaAs) в активном слое. Поляритоны возникают тогда, когда частота R экситон-фотонных переходов (частота Раби) превосходит коэффициент затухания как фотонной, так и экситонной моды. В результате в области пересечения энергий фотона [Ее (к)] и экситона [-Ех(к)] состояния расщепляются, и появляются две — верхняя (UP) и нижняя (LP) — ветви поляритонной дисперсии:

£ьр,ир(к) = Дс(к);^х(к) т ^[Ес(к)-Ех(к)]2 + ^ (1)

2D состояния фотона и экситона характеризуются квадратичной дисперсией с минимумом в запрещенной зоне. Эффективная масса экситона много больше, чем масса 2D фотона, поэтому в интересующей нас области малых к можно положить i?x(k) = const. Характерная форма нижней поляритонной ветви показана жирной линией на рис. 1а.

>°

О)

£-2

I

-4.

(а) - т

у/

-2 0 2 4

кх (¡жГ1)

0 2 4

кх (цпг1)

Рис. 1: Схема стимулированного рассеяния. Жирная и тонкая линии панели (а) соответствуют Ет_р (к) и 2ЕР—Еьр (2кр -к) для ку = 0; кружок и треугольники отмечают положения накачки (Р), сигнала (в) и холостого сигнала (I) в координатах (кх,Е). Пунктирная и сплошная линии панели ( Ъ) — решения уравнения Е^р (к)+£х,р (2кр—к) = 2Ер в случаях нулевой и положительной [как на панели (а)] расстройки В = Ер — Е^р(кр), соответственно.

В разделе 1.2 рассматривается стимулированное рассеяние полярито-нов. В частности, в разд. 1.2.1 обсуждается природа экситон-экситонного взаимодействия, а в разд. 1.2.2 проанализирован процесс параметрического распада возбуждаемой моды (кр, Ер) в состояния сигнала [(к5, Ев)] и холостого сигнала [(к;, Е\)) стимулированного рассеяния. Самые простые свойства такого процесса можно понять из законов сохранения, которые показывают, что разрешенные направления рассеяния образуют характерную "восьмерку" в пространстве пленарных квазиимпульсов (рис. 1).

Далее в разд. 1.2 рассмотрена квазиклассическая модель системы квазидвумерных поляритонов, предложенная в работах [7, 8] с целью объяснить пороговый характер развития стимулированного рассеяния. Соответствующие уравнения содержат кубичную нелинейность во взаимодействии и аналогичны тем, что исследовались в моделях сверхпроводимости (уравнения Гинзбурга-Ландау), бозе-конденсации (уравнения Гросса-Питаевского) и теории лазеров; формально, возможность "фазового перехода" в области критического значения "управляющего параметра" является общим свойством этих моделей. Для бозе-конденсата экситонов, возникающего в условиях когерентной оптической накачки с частотой выше частоты экеитонного перехода, кубичность уравнений приводит к биста-

бильности отклика на внешнее возбуждение [9].

В квазиклассическом подходе система поляритонов рассматривается как совокупность взаимодействующих когерентных мод (с разными к). Возможно следующее качественное определение: сигнальная гармоника к8 Ф кр становится неустойчивой тогда, когда ее нарастание за счет рассеяния (кр, кр) —> (к3, 2кр—к5) полностью компенсирует затухание "в единицу времени?', определяемое мнимой частью собственной энергии .£^р(к5). После этого "сигнал" растет вплоть до точки, в которой достигается новое равновесие (за счет перераспределения возбуждения между "сигналом" и накачиваемой модой).

Расчеты, представленные в работе [7], показали, что множество Аз-состояний, теряющих устойчивость в точке порога рассеяния, образует "восьмерку" (такую же, как на рис. 1Ь), форма которой определяется положением накачки {кр, Ер} и сильно зависит от амплитуды возбуждаемой моды в пороговой точке. Отметим, например, что увеличение расстройки частоты накачки И = Ер — (кр) приводит к смещению "сигнальной" гармоники квх (при кау = 0) в сторону отрицательных значений кх. Отсюда следует, что наблюдаемое экспериментально появление "сигнала" в области к = 0 [4, 5, 6] связано со сложным перераспределением возбуждения в процессе развития неустойчивости. Анализу такого эффекта посвящены вторая и третья главы нашей работы.

Вторая глава посвящена исследованию сценариев развития неустойчивости в условиях когерентной накачки.

В разделе 2.1 сформулирована модель, представляющая отправную точку наших расчетов. Мы исследуем решения квазиклассических уравнений для электрического поля [£(к, ¿)] и экситонной поляризации [^(к, £)] в двумерной квантовой яме, расположенной в активном слое пленарного резонатора [10, 11]:

£(к, г) = а (к) Лк, г) + 0(к) Як, *), (2)

ЯМ) = А£(М) +

+ V £ Ь) Р(Я1,{) ЯЯ2, *) + £(к, £). (3)

41.42

Компоненты квазиволнового вектора к — дискретные параметры, "нумерующие" различные динамические переменные , , £ь2, 7\2 и т.д.

-7-"(к, 4) = ¿к.кр-^оСО ехр(—гшр£) — электрическое поле падающей электромагнитной волны накачки вдали от резонатора, которое описывается как макрозаполненная фотонная мода с фиксированной частотой о)р, волновым вектором кр и амплитудой ^о(^); являющейся, в общем случае, медленной функцией времени. Далее, .Ее (к) — энергия резонаторной моды, Ех — энергия экситона в свободной квантовой яме; А — экситонная поляризуемость, V — константа экситон-экситонного взаимодействия, £(к, £) — случайная ланжевеновская сила: (£(к,£)) = 0 и {£*(к,<)£(к/,</)) ос ¿к,к'<5«'.

В предположении, что система содержит единственную макрозаполнен-ную моду к = кр (что справедливо для малых плотностей возбуждения), были исследованы два типа неустойчивости, возникающей в системе по мере роста накачки. Один из них возникает вследствие нелинейного самодействия возбуждаемой моды поля в активном слое, приводящем к би-стабильности отклика на внешнее возбуждение (раздел 2.2). В том случае, когда расстройка частоты накачки В = Ер — Ее Е-^р (кр) превосходит зависимость стационарного значения интенсивности поля в активном слое [|"Ро|2 или |£о|2] от интенсивности накачки принимает вид ¡З-образной кривой (рис. 2а), причем решения в области отрицательной производной ¿\Vl\jdiTl) < 0 параметрически неустойчивы [12]. Превышение критической интенсивности возбуждения, соответствующей граничной точке нижней устойчивой ветви Б-контура (То — см.

рис. 2 а), приводит к бифуркации системы и "прыжку" на верхнюю ветвь — т. е. к резкому увеличению поля на квантовой яме.

С другой стороны, состояние с заданной амплитудой V = То может оказаться неустойчивым относительно распада (кр, кр) —> (к3, к;), к8 ^ кр. С целью проанализировать этот тип неустойчивости, система (2, 3) была линеаризована по малым возмущениям комплексных амплитуд "сигнала" {¿(к, ЯМ)} и "холостого сигнала'' {¿(к',£), Т(к', ¿)}, где к' = 2кр — к, и были вычислены собственные значения О (к; То) соответствующей линейной задачи 4x4 (раздел 2.3). Значение наибольшей мнимой части П определяет инкремент нарастания (показатель Ляпунова) рассеянных мод в зависимости от состояния возбуждаемой моды, Г(к;"Р0) = тах; 1тП(к;"Р), I = 1,2,3,4. Если Г(к) < 0 для всех к, то стационарное одномодовое решение асимптотически устойчиво, поскольку |Р(к, £) | ос ехр [Г(к)£/?г] —> 0 при Ь —оо. В противном случае инкремент нарастания положителен, Г(к) > 0, и такое решение оказывается неустойчивым относительно рассеяния в состояния { к | Г (к) > 0 }. Нижняя граница

\То\2 кх {¡¿т'1) к^т'1)

Рис. 2: (а) Функция стационарного отклика возбуждаемой моды (зависимость |Ро|2 от |Я,|2, произвольные единицы) для к = |кр| = крх и £) = Ер — Ке^р(кр) = 0.48мэВ. Значения [Р^ |2 и |р(иррег) |21 отвечающие скачку поля в точке потери устойчивости одномодового решения, отмечены квадратами. (Ь,с) Распределения инкремента нарастания поляритонных мод в пространстве планарных квазиимпульсов, Г = Г(кх, ку-,Ро), для |-Р0|2 = (снизу) и |Я0|2 = |р<ирРег>|2 (сверху). Контуры нулевого инкре-

мента отмечены черными линиями. (<1) Зависимость инкремента нарастания Г произвольной гармоники поля на оси ку = 0 от кх и квадрата амплитуды экситонной поляризации раскачиваемой моды, Г = Г(А:з;, |Ро|2)|д. _0- Черной линией отмечен контур нулевого инкремента, определяющий границу области неустойчивости. Вертикальные оси панелей (а) и (с!) совпадают; цветовые схемы панелей (Ь), (с) и (в.) совпадают.

области неустойчивости для системы в целом (порог рассеяния) определяется как ^о"1'^ = 1П^(к;Ро)>о \Щ- Подчеркнём, что в таком приближении интенсивность поляритон-поляритонного рассеяния определяется функцией стационарного отклика "внутреннего" поля То^о)- Эволюция системы достаточно сильно зависит от соотношения значений |р0ои'ег)| и

|р(иррег)|^ а также Пр0филя накачки То(Ь). В расчетах мы полагаем, что накачка "включается" достаточно медленно по сравнению с характерными временами затухания т^р = Й/| 1т

Первые исследования параметрического рассеяния в системе квазидвумерных поляритонов [7, 8, 13] были основаны на предположении о плавном изменении У|Ро(-^Ь)|2 по мере роста накачки. Это предположение справедливо при отрицательных (или очень малых положительных) расстройках Ер — Н.с /ч.р(кр). В этом случае плавное превышение порога рассеяния приводит к плавному заполнению состояний в направлениях, образующих "восьмерку" в пространстве квазиволновых векторов. Отсюда возникает "синий сдвиг" резонансной энергии, который приводит к увеличению эффективной расстройки и, следовательно, к уменьшению коэффи-

циента поглощений, волны накачки в активном слое; тем самым исходное превышение порога рассеяния компенсируется уменьшением VjT'oP по мере роста заполнения рассеянных поляритонных гармоник. В результате система переходит в новое стационарное состояние с j'P(kp)]2 = const и Sk^kp = const при Tl — const. Этот сценарий "мягкого" развития

неустойчивости аналогичен фазовому переходу второго рода, происходящему в неравновесной системе под действием внешнего возбуждения, когда по достижении порога вся система согласованно и плавно переходит в ставшее более вероятным новое макроскопическое состояние. Развившиеся сигнальные моды играют роль параметров порядка, определяющих макроскопические свойства системы.

Однако если расстройка частоты накачки положительна и D — Ер - Rei?Lp(kp) > V3 ■ I ImBLp(kp)l, возникает качественно иной сценарий развития неустойчивости, осуществляющийся в области бистабильно-го отклика, — жесткое возбуждение поляритон-поляритонного рассеяния, когда сколь угодно плавный рост плотности когерентной накачки приводит к скачку интенсивности возбуждаемой поляритонной моды V|"Poi2 и сильной неустойчивости [Л/Г ~ tlp = —Й/ Im Ет_р] относительно рассеяния (кр, кр) (к, 2кр—к), возникающей в конечной двумерной области fc-состояний (рис. 2). Состояния, обнаруживающие максимальный инкремент нарастания, расположены в окрестностях ks = 0 и к; = 2кр (что справедливо для разных значений интенсивности и частоты накачки в широком диапазоне значений).

Модель, описывающая такой переход в случае, когда скачок V\Vо|2 предшествует параметрическому распаду (кр, кр) —> (к, 2кр—к) (т.е. у\<р(thr)|2 > предложена в работах [10, 11] и детально ис-

следована в работе [А1] на примере квазидвумерной системы.

Настоящая диссертация содержит более общий анализ, учитывающий обратное влияние неустойчивости сигнальных гармоник на состояние возбуждаемой моды. В частности, нами показано, что по достижении точки порога рассеяния, находящейся на нижней ветви устойчивости строго одномодовых состояний (V\V(0thr) р < y|^lower) р), возникает сильная положительная обратная связь сигнала и возбуждаемой моды, приводящая к скачку амплитуды поля в активном слое. Таким образом, установлено, что сценарий жёсткого возбуждения параметрического рассеяния квазидвумерных поляритонов является общим в области достаточно больших расстроек накачки (раздел 3.4). Сделанный вывод составляет основной ре-

зультат второй главы.

Жесткое возбуждение поляритон-ноляритонного рассеяния аналогично фазовому переходу первого. рода, так как параметр порядка обнаруживает разрыв в критической точке; однако следует подчеркнуть, что состояние, в котором система оказывается после такой трансформации, является нестабильным. Дальнейшая эволюция системы проанализирована в третьей главе диссертации.

В третьей главе исследована динамика системы (2, 3) в случае жесткого возбуждения рассеяния. Изучены переходные процессы, связанные с развитием неустойчивости, а также свойства возникающих с течением времени квазистационарных состояний. В разделе 3.1 сделаны общие заг-мечания, касающиеся способов численного решения данной системы.

В разделе 3.2 подробно рассматривается пример характерного численного решения. Параметры системы соответствуют рис. 2, на котором представлена схема анализа устойчивости. Уравнения (2, 3) решались на дискретной сетке квазиволновых чисел —4.2мкм-1 < кх < 7.8 мкм-1, —З.Омкм-1 < ку < 3.0мкм-1 с шагом 0.1 мкм-1 в кх- и ^-направлениях (таким образом, общее число уравнений составило 2АГ = 2 • 7381; в каждом из N уравнений для экситонной поляризации учитывалось Ы2 нелинейных слагаемых). Форма возбуждающего импульса \То(Ь)\2 (пунктирная линия на рис. За) была выбрала так, чтобы критическое значение интенсивности накачки достигалось плавно: рассчитанная зависимость |£(кр,4)|2 от |^0(<)|2 практически не отклоняется от нижней ветви ¡З-контура стационарного отклика одномодового решения по мере "включения" накачки. Приближение к порогу сопровождается появлением слабого рассеяния в направлениях, образующих "восьмерку" — линию пересечения дисперсионных поверхностей "сигнала" и "холостого сигнала" (как на рис. 16), в согласии с предсказанием модели, линеаризованной по амплитудам сигналов. Это рассеяние является настолько слабым, что практически не оказывает обратного влияния на динамику возбуждаемой моды.

Достижение критической интенсивности накачки приводит к бифуркации состояния и "прыжку" на верхнюю ветвь ¡5-контура; время, в течение которого осуществляется трансформация одномодового решения, составляет около 30пс, при этом интенсивность /р(£) = |£(кр,£)|2 раскачиваемой гармоники электрического поля на квантовой яме возрастает более чем в 3 раза (сплошная кривая на рис. За). Начинается взрывообразное усиление множества мод, ставших неустойчивыми на верхней ветви 8-контура.

Интегральная интенсивность = ¿)|2 электрического поля на

квантовой яме, устанавливающаяся после такой трансформации, зависит от значения расстройки Б = Ер-ЛеЕьр(кр), поскольку рост 1Ш приводит к синему сдвигу резонансной энергии возбуждаемой моды и, в конечном счете, компенсирует исходную расстройку частоты возбуждения. Согласно данным численного анализа, система эволюционирует к состоянию равновесия с накачкой, в котором значение усредненное по нескольким тьр, на больших временах сохраняется постоянным, т. е. уменьшение энергии системы 2Т> состояний за счет излучения выравнивается с притоком энергии от накачки. Данный механизм ограничивает развитие неустойчивости и приводит к резкому уменьшению интенсивности возбуждаемой моды вследствие скачка суммарной интенсивности ¿)Р рассеянных мод (пунктирная кривая на рис. 36). "Выход" на почти постоянное значение осуществляется за время порядка нескольких десятков пико-секунд.

Рис. 3: (а): Пунктирная кривая — интенсивность внешней накачки в зависимости от времени. Сплошная кривая — зависимость /р({) = |£(кр,4)|2 (возбуждаемая мода электрического поля в активном слое). Скачок интенсивности, происходящий в области [360 пс < 4 < 390 пс], переводит систему на верхнюю ветвь Б-контура стационарного одномодового решения. (Ь): сплошная кривая — функция = (¿(кг, £)|2 для кя = (0.3,0)мкм-1-, пунктирная кривая — функция

Установление равновесия с накачкой не означает установления стационарного состояния динамической системы. Последнее потребовало бы достижения устойчивости относительно рассеяния — ситуации, когда лю-

бое малое отклонение |<5£(к, ¿)| от равновесного распределения |£(к)| экспоненциально затухает со временем. Однако, как показывают наши расчеты, в системе с достаточно большим значением l-tot устойчивость относительно рассеяния не достигается. Это аналогично отсутствию устойчивых одно-модовых состояний в широкой области значений VJPoC^o)!2 (отметим, что равновесное значение Itot сравнимо с величиной |£(кр)|2 на верхней ветви S-контура и, как и £о(-7"о) на верхней ветви, достаточно слабо зависит от амплитуды накачки). Таким образом, получается, что условие равновесия с накачкой может быть несовместно с условием детального равновесия двумерной системы на малых временных масштабах. Это обстоятельство приводит к формированию нестационарных состояний системы, обнаруживающих сильно коррелированное поведение множества поляритонных гармоник; отсюда же, в частности, могут возникать достаточно большие характерные времена эволюции.

В таких условиях происходит своеобразная конкуренция мод, неустойчивых относительно рассеяния, но подчиненных "внешнему" условию Itot — const. С течением времени этот процесс приводит к формированию состояния с выделенной сигнальной гармоникой ks = (0.3,0)мкм-1. В области 500 пс < t < 700 пс происходит сравнительно плавное увеличение Is(t) = |£(ks, i)|2 (сплошная кривая на рис. ЗЬ), после чего система переходит в квазистационарное состояние, в котором распределение /(к) не испытывает качественных трансформаций с течением времени. На рисунке 4 представлено распределение 1( к), усредненное в области 800 пс < t < 1300 пс.

В диссертац ии проанализированы двумерные распределения интенсивности рассеянного сигнала I(kx,ky), а также спектральные распределения в смешанном частотно-временном представлении. Найдено, в частности, что переход к квазистационарному состоянию (как на рис. 4) сопровождается резким спектральным сужением "сигнальной" моды ks и появлением

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Рис. 4: Распределение \£(кх)\2 для

[800 пс < t < 1300 пс] (шкала времени соответствует рис. 3).

линейных участков дисперсии в окрестностях ks, kp и 2kp— ks.

Квазистационарное распределение интенсивности сигнала, возникающее по завершении всех быстрых переходных процессов, обнаруживает три макрозаполненные моды {к£) кр, к;} поля в активном слое. Суммарная интенсивность всех остальных мод ^k^{ks,kpiki} сравнима с 10-1|£(ks)(2, т.е. остается конечной, превосходя на несколько порядков заданную интенсивность ланжевеновского шума. В разделе 3.3 исследуется, каково влияние этих сравнительно слабых мод на состояние системы. А priori есть три качественно разные возможности, перечисленные ниже в порядке усиления возможной "роли" коллективных эффектов:

1) эволюция системы определяется процессами типа

(кр,кр) ^ (к, 2кр—к), (к, 2кр—к) & (2кр-к, к), (кр,к)^(к,кр), (к,к)^(к,к) (4)

для всех к; тем самым предполагается, что процессы взаимодействия разных сигнальных (рассеянных) мод между собой несущественны;

2) трехмодовое распределение интенсивности поля возникает в результате взаимодействия разных сигнальных мод, но коль скоро эти процессы привели к появлению выделенной пары {ks, к;}, слабые моды к ^ {ks,kp,ki} уже не оказывают существенного влияния на состояние системы;

3) коррелированная система надконденсатных (в классической аналогии) мод k ^ {kg, кр, к;} поддерживает устойчивость выделенной паг pbi{ks,kj}.

Первая из перечисленных здесь возможностей предполагается в большинстве работ, посвященных исследованию стимулированного рассеяния поляритонов (в частности, [7, 8, 13, 14, 16]). В разделе 3.2 представлен

анализ решений замкнутой системы

гП~ - ЕС{к) £(к, I) = <5к,кр+ ¡3{к) Р(к, <), (5)

Ш^ - 7>(М) = А£(М) +

+ 77>(к,*)- (|Р(к^)|2 + 2|7>(кР^)|2 + 2|Р(2кр-к,«)|2) +

+ УТ*(2кр-Ы)Г2(кр,г)+£(к,$ дляк^кр, - (6) г/4 - -Вх! Р(кр,4) = А£(кр,1) + V |Р(кр,4)|2Р(кр^) +

+ (2 |Р(к, ¿) |2 7>(кр, *) + Г(к, г) Р(2кр-к, Ь) 7>*(кр, *)) +

(7)

в которой взаимодействие экситонных гармоник ограничено процессами типа (4). В такой системе развитие неустойчивости одномодового решения происходит так же, как и в исходной системе (2, 3): коль скоро в пороговой точке интенсивность сигнала невелика, взаимодействием разных сигнальных мод между собой действительно можно пренебречь по сравнению с воздействием на них макрозаполненной моды накачки. По достижении порога происходит скачок,^(кр)] и последующее усиление "сигнала" в области к ~ 0, однако такое состояние оказывается неустойчивым и распадается за время порядка сотни пикосекунд. Квазистационарное распределение интенсивности, устанавливающееся со временем, образует "восьмерку" в пространстве пленарных квазиволновых векторов. Далее нами было найдено, что даже установившееся решение системы (2,3), которое обнаруживает выделенный "сигнал" в направлении к3 « 0 (при том что более 95% полной интенсивности ¡£(к)|2 сосредоточено в состояниях {к3,кр, к^), оказывается чрезвычайно чувствительным к процессам взаимодействия в системе надконденсатных мод. Мы выяснили, что подавление такого взаимодействия [не сводящегося к процессам типа (4)] приводит к распаду квазистационарного состояния с выделенным сигналом. Наконец, мы оценили интенсивность взаимодействия "сигнала" (к8) и надконденсатных мод и обнаружили, что их совокупное влияние на "сигнал" оказывается эквивалентным воздействию дополнительной когерентной накачки (тем самым мода к3 и 0 оказывается действительно выделенной в фазовом пространстве состояний). Это говорит о появлении значительных корреляций

в поведении большой совокупности рассеянных мод, т. е. о динамической самоорганизации.

Раздел 3.4 посвящен анализу экспериментальных данных, представленных в публикациях [А2] и [АЗ]. В работе [А2] обнаружена пороговая трансформация распределения сигнала в пространстве пленарных к, в хорошем качественном соответствии с результатами наших расчетов. В работе [АЗ] описаны результаты время-разрешенных экспериментов, впервые позволивших проследить переходные процессы развития неустойчивости. В частности, был обнаружен сильный гистерезис сигнала в области к и 0 в зависимостях от внешней накачки и амплитуды возбуждаемой моды. Наг ми предложено объяснение этого эффекта в рамках когерентной модели (2,3); показано, что наблюдаемый гистерезис вызван существенно коллективными эффектам в открытой неравновесной системе взаимодействующих поляритонов.

В разделе 3.5 объясняется значение результатов, полученных нами, в контексте предшествующих исследований. В ряде недавних работ [8, 14, 15,16] исследовались стационарные состояния трехмодовой системы, включающей раскачиваемую гармонику кр и фиксированные моды "сигнала" [к8 = 0] и "холостого сигнала" [к; = 2кр] параметрического рассеяния. По сути предполагалась, что такое трехмодовое распределение принадлежит классу устойчивых стационарных решений общей задачи типа (2, 3), и поэтому можно, например, исследовать свойства сигнала в зависимости от параметров непрерывной накачки (кр, Ер, \Т\2), не интересуясь теми переходными процессами, в которых этот сигнал возникает динамически по мере ее "включения". Такая посылка была обоснована только общими соображениями о применимости модели типа (2, 3) и тем, что "трехмодовое распределение" действительно наблюдается в экспериментах выше порога. Одаако уже в работе [15] отмечалось, что трехмодовые стационарные состояния неустойчивы относительно малых флуктуаций. В нашей работе мы показали, что 1) выделенный сигнал рассеяния в направлении к да 0 не возникает без взаимодействия между собой разных сигнальных гармоник и 2) сильно коррелированное поведение надконденсатных мод обеспечивает устойчивость квазистационарного состояния с выделенным сигналом.

Данный результат имеет важное методологическое значение: нами устаг новлено, что теория, описывающая процесс порогового усиления сигнала в области к и 0, а также свойства такого сигнала в квазистационарном режиме, принципиально несводима к моделям типа параметрического ос-

циллятора, учитывающим только три состояния, связанные законами сохранения. Кроме того, мы обнаружили, что коллективные эффекты в системе взаимодействующих поляритонов приводят к достаточно большим характерным временам эволюции. Этот вопрос исследован еще далеко не в полной мере; по сути, мы продемонстрировали саму возможность таг ких коллективных эффектов и их значение, но пока не выяснили параметры порядка связанной многочастичной системы такого рода. Однако мы показали, что процессы перераспределения возбуждения приводят к выраженному гистерезису сигнала в зависимостях от внешней накачки и амплитуды возбуждаемой моды, в хорошем соответствии с недавними экспериментальными результатами.

В четвертой главе представлено обобщение модели (2, 3) на случай произвольно поляризованной накачки, когда падающая волна возбуждает эк-ситоны с различными значениями проекции полного момента — — 1, +1 (раздел 4.1). Отправная точка — уравнения, аналогичные системе (2, 3) и записанные в базисе циркулярно поляризованных компонент (сг±). Константы Ее, Б}с, а и т.д. представлены теперь матрицами 2 х 2. Эффект ТЕ-ТМ расщепления учитывался, но в связи с тем, что он не оказывает существенного влияния на полученные результаты, детали расчета спектра резонатора мы не обсуждаем.

В разделе 4.2 исследуется задача о стационарном отклике возбуждаемой поляритонной моды в одномодово'м приближении [Р^к^кр, £) = 0]. В стационарном пределе, предположив, что £± и Р± осциллируют с частотой накачки, мы получаем линейную систему

Ёр-Ех-А(Ёр-Ёсу1^ -

(У++ПР+Р+ 4-У+_Р1Р_РЛ р 4-х (ТЛ

где и — константы взаимодействия экситонов с одинаковыми и противоположными проекциями полного момента соответственно. В соответствии с оценкой, сделанной на основании экспериментального исследования спиновой динамики поляритонов в СаАв микрорезонаторе [17], мы полагаем И|__ — —0.1 ■ У++. Амплитуды и Р± принимают комплексные значения и могут быть представлены в форме

= (1±Ре*0ехР(г^), Р± = ^(1±Лп4)ехр(#±), (9)

где Iext и lint — интенсивности, a pext и pint — степени циркулярной поляризации накачки и поля V, соответственно. Система (8) может быть записана в виде трех вещественных уравнений, определяющих отображение (Jext, pext, A<£ext) (Imt,Pmt, ГДв = ф^ш ~ Ф£*t,int> свойства которого и рассматриваются в разделе 4.2.

Ряд характерных свойств этого отображения, приводящих к трансформации функции Zmt(Iext) с изменением рехt> можно пояснить, не учитывая взаимодействие экситонов с разными Jz (т.е. полагая V+_ = 0). Другими словами, можно принять, что а+- и а ~ -компоненты стационарного поля в активном слое не связаны между собой и потому характеризуются одинаковыми S-контурами отклика на соответственные сг±-кошюненты накачки, и |7>i|(|jri|). В таком случае критические значения сг-компонент внешнего поля и |Jrl_cnt-)|2) совпадают, но если pext ф 0, то по ме-

ре "включения" накачки эти значения достигаются неодновременно. Иначе говоря, совпадающим ]2 и |2 отвечают разные значения пол-

ной интенсивности возбуждения = 2|jr-crit-) |2/(l±pext)- Если pext = 1, существует лишь одна критическая точка I+rlt\ отвечающая скачку <т+-компоненты поля в активном слое. Сколь угодно малое отклонение pext от 1 приводит к появлению второй критической точки > отве-

чающей скачку о" ~-компоненты по мере дальнейшего увеличения Jext, при этом второй скачок полной интенсивности I;nt сопровождается уменьшением степени циркулярной поляризации р-тЪ. Для pext — 0 значения

и совпадают, если К)__= 0, но в случае V+_ < 0 такого совпадения

нет.

Таким образом, максимальное значение, числа возможных соответствующих определенной накачке (Iext, р^и &Фехь), составляет 3x3 = 9, поскольку максимальное число состояний каждой из двух с^-компонент поля в активном слое равно трем. При этом одно из трех состояний (как для Р+, так и для.Р_) неустойчиво. Следовательно, в общем случае существует не более четырех устойчивых значений I-mt для заданной накачки. Мы исследовали критические переходы, осуществляющиеся по мере плавного изменения как интенсивности, так и поляризации возбуждения (см. также [А4]).

Далее в разделе 4.2 проанализированы некоторые специальные эффекты., отсутствующие в приближении У^__= 0 и возникающие за счет

взаимодействия сг+- и сг~-компонент поля экситонной поляризации. Оказывается. что в определенном диапазоне параметров накачки слабое ст±-

1.5

- ¡ехЬ — 1о

- РвуЛ = О

Г= О

О

о

0.5

1.5

\К\2

Рис. 5: Фазовая плоскость (ХР+\2,\'Р-\2), на которой указаны положения решений системы (8), отвечающих заданной внешней накачке = /о, рехг = 0, Афеу± = 0 (точки А,Б,...,Е). Синяя (тонкая темная) линия показывает решение уравнения /еХ1(['Р+|2, |Я-|2) = /о, зеленая (тонкая светлая) линия — решение Ре*х{\Р+\2¡[Р-.]"2) = 0. Жирные серые линии Г(|Я+|2,\Р~\2) = 0 соответствуют травницам областей устойчивости в одномодовом приближении; неустойчивые решения В, £>1, £>2 отмечены перечёркнутыми маркерами (®). По мере плавного увеличения интенсивности накачки 1ехг при рехг = 0 (сплошная стрелка) система теряет устойчивость в точке А, после чего осуществляется быстрая трансформация состояния. Пунктирными стрелками указаны равновероятные переходы в состояния Сг,2- Стационарное состояние Е устойчиво, но динамически недостижимо при 1ехх —» ¡0-

взаимодействие приводит к качественной трансформации свойств отклика системы по сравнению со случаем V]__= 0. Положив = 0,

мы считали, что скачки <т+ и сг_-компонент поля в активном слое могут происходить независимо. Но коль скоро ¥+- < 0, очевидно, что резкое изменение одной из компонент приведет к изменению второй компоненты, зависящему от полной интенсивности поля V в силу нелинейности отклика. Отсюда следует, что разность критических знаг чений интенсивности внешнего поля остается конечной даже при

Рехь 0, поскольку соответствующие значения |-р(/£сгЛ')|2 отличаются достаточно сильно и потому первый и следующий за ним переходы в определенном смысле неравноценны. При этом, однако, получается, что

lim^+o(4crit) - licrit)) = -limPext^_0(4crit) - licrit)) ф 0. Следовательно, в случае строго линейной поляризации внешнего поля может произойти спонтанное нарушение симметрии ст^компонент поля в активном слое. (А в общем случае pext ф 0 появляются новые ветви устойчивости отклика /int(/ext). достижимые в ходе плавного увеличения Jext-) Возможность таких переходов открывается начиная с некоторого определенного значения расстройки D = Ер — ReEip(kp), зависящего от величины V+- (поскольку, вообще говоря, рост частотной расстройки накачки усиливает нелинейность отклика). Характерный пример представлен на рис. 5 (реУл = 0). Помимо решения системы (8), была исследована устойчивость состояний (\V+\2,\V-\2) относительно параметрического процесса (kp,kp) —> (kp,kp); для этого мы использовали процедуру линеаризации по малым отклонениям от стационарного состояния и вычисляли инкремент Г = Г(|Р+|2, \Р~\2) как максимальную мнимую часть собственных энергий. Было найдено, что в случае V+- < 0 неустойчивость может возникнуть на нижней ветви стационарных решений с положительной производной /¡nt(4xt) (точка А на рис. 5); этот результат был подтвержден путем решения динамических уравнений.

В разделе 4.3 рассмотрено поведение решений спиноризованной системы типа (2, 3). Показано, что выводы, касающиеся сценария развития неустойчивости и последующей самоорганизации в системе взаимодействующих поляритонов, полученные на примере скалярной модели (фактически для pext = 1), остаются справедливыми и в общем случае рехt ф 0. Раздел 4.4 содержит обсуждение результатов данной главы; кроме того, в нем перечислены некоторые перспективы дальнейших исследований.

Заключение содержит общее обсуждение результатов диссертации. ,

В настоящей работе исследован достаточно сложный механизм развития параметрической неустойчивости, характерный для неравновесной системы квазидвумерных эксигонных поляритонов. Ключевая особенность этой системы — существование точки перегиба дисперсионной кривой [k = kjnfl] в области световых квазиимпульсов. Мы показали, что биста-бильность (характерная для нелинейного осциллятора) и неустойчивость относительно распада возбуждаемой моды kp ~ к;пя могут возникать совместно, приводя к возможности новых динамических режимов. По достижении критической плотности накачки происходит взрывообразное усиление большого числа мод в двумерной области ^-пространства, после чего динамика системы становится, сильно стохастической. Последующая эво-

люция (в условиях стационарной накачки) осуществляется как процесс самоорганизации, с течением времени приводящей к появлению корреляции множества волновых гармоник и, одновременно с этим, — к появлению выделенного сигнала (макрозаполненной моды) рассеяния в области дна нижней поляритонной ветви.

Таким образом, нами установлено, что гигантский сигнал стимулированного рассеяния возникает за счет образования коллективного состояния в системе взаимодействуют^ поляритовсных мод. Коллективные эффекты приводят к макроскопической пространственной и временной когерентности, а также к выраженному гистерезису сигнала в зависимостях от внешней накачки и амплитуды возбуждаемой моды. Эти результаты находятся в хорошем качественном соответствии с результатами недавних экспериментов и открывают широкую перспективу для дальнейших исследований. В частности, необходимо установить характерные параметры порядка связанной многочастичной системы такого рода, исследовать роль флуктуаций и построить статистическую теорию осуществляющихся неравновесных переходов. В свою очередь, это позволит проанализировать другие возможности управления состоянием вблизи критических точек, например с помощью возбуждения акустических волн, приводящего к трансформации закона дисперсии поляритонов за счет экситон-фононного взаимодействия.

Кроме того, нами был исследован случай произвольной оптической поляризации возбуждения. Было найдено, что в общем случае экситонная нелинейность приводит к мультистабилъности (в отличие от простой бистабильности) отклика возбуждаемой моды. Установлена возможность неравновесных переходов, в которых осуществляются резкие изменения как амплитуды, так и состояния поляризации поля в активном слое под действием сколь угодно плавно меняющейся накачки. Наиболее интересный эффект такого рода связан с возможностью спонтанного нарушения симметрии о^-компонент экситонной плотности в условиях строго линейной (симметричной) оптической поляризации возбуждения. Данный эффект имеет место только тогда, когда константа взаимодействия экситонов с противоположными проекциями полного момента (/2 = ±1) принимает отрицательные значенйя, и сильно зависит от интенсивности и частоты наг качки. Ожидается, что изучаемые нами процессы эффективного "переключения" отклика низкоразмерной оптической системы найдут практическое приложение.

Список публикаций

[Al] С. С. Гаврилов, Н. А. Гиппиус, В. Д. Кулаковский, С. Г. Тиходе-ев. Жесткий режим стимулированного рассеяния квазидвумерных экситонных поляритонов, Журнал экспериментальной и теоретической физики, т. 131, №5, стр. 819-828 (2007)

[А2] D. N. Krizhanovskii, S. S. Gavrilov, А. P. D. Love, D. Sanvitto, N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev, V. D. Kulakovskii, D. M. Whittaker, M. S. Skolnick, J. S. Roberts. Self-organization of multiple polariton-polariton scattering in semiconductor microcavities, Physical Review B, 77, 115336 (2008)

[A3] A. A. Demenev, A. A. Shchekin, A. V. Larionov, S. S. Gavrilov, V. D. Kulakovskii, N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev. Kinetics of stimulated polariton scattering in planar microcavities: Evidence for a dynamically self-organized optical parametric oscillator, Physical Review Letters, 101, 136401 (2008)

[A4] N. A. Gippius, I. A. Shelykh, D. D. Solnyshkov, S. S. Gavrilov, Yu. G. Rubo, A. V. Kavokin, S. G. Tikhodeev, G. Malpuech. Polarization multistability of cavity polaritons, Physical Review Letters, 98, 236401 (2007)

[A5] M. N. Makhonin, A. A. Demenev, S. S. Gavrilov, V. D. Kulakovskii, N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev. Stimulated parametric scattering of excitonic polaritons in planar GaAs microcavities: Distinctive feature of QW electric field, Solid State Communications, 144 (9), p. 384-389 (2007)

Литература

[1] С. Weisbuch, M. Nishioka, A. Ishikawa, Y. Arakawa. Observation of coupled exciton-photon mode splitting in a semiconductor quantum microcavity, Phys. Rev. Lett. 69, 3314 (1992)

[2] A. I. Tartakovskii, D. N. Krizhanovskii, V. D. Kulakovskii. Polariton-polariton scattering in semiconductor microcavities: Distinctive features

and similarities to the three-dimensional case, Phys. Rev. В 62, R13298 (2000)

[3] R. M. Stevenson, V. N. Astartov, M. S. Skolnick, D. M. Whittaker, M. Emam-Ismail, A. I. Tartakovskii, P. G. Sawidis, J. J. Baumberg, J. S. Roberts. Continuous wave observation of massive polariton redistribution by stimulated scattering in semiconductor microcavities, Phys. Rev. Lett. 85, 3680 (2000)

[4] V. D. Kulakovskii, A. I. Tartakovskii, D. N. Krizhanovskii, N. A. Gippius, M. S. Skolnick, J. S. Roberts. Nonlinear effects in a dense two-dimensional exciton-polariton system in semiconductor microcavities, Nanotechnology 12, 475 (2001)

[5] R. Butté, M. S. Skolnick, D. M. Whittaker, D. Bajoni, J. S. Roberts. Dependence of stimulated scattering in semiconductor microcavities on pump power, angle, and energy, Phys. Rev. В 68, 115325 (2003)

[6] В. Д. Кулаковский, Д. H. Крижановский, M. H. Махонин, А. А. Де-менев, Н. А. Гиппиус, С. Г. Тиходеев. Стимулированное поляритон-поляритонное рассеяние в полупроводниковых микрорезонаторах, УФН 175, 334 (2005)

[7] С. Ciuti, P. Schwendimarm, A. Quattropani. Parametric luminescence of microcavity polaritons, Phys. Rev. В 63, R41303 (2001)

[8] D. M. Whittaker. Classical treatment of parametric processes in a strong-coupling planar microcavity, Phys. Rev. В 63, 193305 (2001)

[9] В. Ф. Елесин, Ю. В. Копаев. Бозе-кондешщия экситонов в сильном магнитном поле, ЖЭТФ 63, 1447 (1972)

[Ï0] N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev, V. D. Kulakovskii, D. N. Krizhanovskii, A. I. Tartakovskii. Nonlinear dynamics of polariton scattering in semiconductor microcavity: Bistability vs. stimulated scattering, Europhys. Lett. 67, 997 (2004)

[11] H. А. Гиппиус, iC. Г. Тиходеев, JI. В. Келдыш, В. Д. Кулаковский. Жесткий режим возбуждения поляритон-поляритонного рассеяния в полупроводниковых микрорезонаторах, УФН 175, 334 (2005)

[12] Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний ("Наука", Москва, 1974)

[13] C. Ciuti, P. Schwendimann, A. Quattropani. Theory of polariton parametric interactions in semiconductor microcavities, Semicond. Sei. Technol. 18, S279 (2003)

[14] A. Baas, J. P. Karr, M. Romanelli, A. Bramati, E. Giacobino. Optical bistability in semiconductor microcavities in the nondegenerate parametric oscillation regime: Analogy with the optical parametric oscillator, Phys. Rev. B 70, 161307(R) (2004)

[15] D. M. WMttaker. Effects of polariton-energy renormalization in the microcavity optical parametric oscillator, Phys. Rev. B 71,115301 (2005)

[16] M. Wouters, I. Carusotto. Parametric oscillation threshold of semiconductor microcavities in the strong coupling regime, Phys. Rev. B 75, 75332 (2007)

[17] P. Renucci, T. Amand, X. Marie, P. Senellart, J. Bloch, B. Sermage, K. V. Kavokin. Microcavity polariton spin quantum beats without a magnetic field: A manifestation of Coulomb exchange in dense and polarized polariton systems, Phys. Rev. B 72, 075317 (2005)

Сдано в набор 29.09.08. Подписано в печать 02.10.08. Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная. Объем 1,5 п. л. Заказ 268. Тираж 70

Подготовлено и отпечатано в типографии ИПХФ РАН. 142432, Московская обл., г. Черноголовка, пр-т академика Семенова, 5

'"> I i

шя- «да®

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Экситонные поляритоны.

1.1.1 Экситонные состояния в полупроводниковых средах.

1.1.2 Экситон-фотонное взаимодействие

1.1.3 Экситонные поляритоны в планарном микрорезонаторе.

1.2 Стимулированное поляритон-поляритонное рассеяние.

1.2.1 Экситон-экситонное взаимодействие.

1.2.2 Стимулированное поляритон-поляритонное рассеяние в приближении среднего поля. Оптический параметрический осциллятор

2 Анализ устойчивости возбуждаемой поляритонной моды

2.1 Квазиклассическая модель системы экситонных и фотонных состояний в активном слое планарного резонатора.

2.2 Сдвиг резонансной энергии и бистабильность отклика возбуждаемой моды поля в активном слое.

2.3 Перенормировка спектра поляритона. Анализ устойчивости относительно рассеяния.

2.4 Взаимовлияние бистабильности и параметрической неустойчивости. Жесткое возбуждение поляритон-поляритонного рассеяния.

2.5 Выводы и общие замечания о результатах второй главы.

3 Динамическая самоорганизация системы взаимодействующих поля-ритонов

3.1 Численный анализ эволюции системы поляритонов (общие замечания)

3.2 Эволюция после прохождения порога неустойчивости: формирование сигнала рассеяния (ks ~ 0).

3.3 Коллективные эффекты рассеяния.

3.4 Пороговая трансформация распределения сигнала рассеяния: результаты эксперимента. Гистерезис сигнала в зависимостях от внешней накачки и амплитуды возбуждаемой поляритонной моды.

3.5 Выводы и общие замечания о результатах третьей главы

4 Стимулированное рассеяние в условиях взаимодействия оптических (ст*) компонент поля экситонной поляризации

4.1 Квазикласснческая модель экситон-фотонной системы в микрорезонаторе, учитывающая оптическую поляризацию.

4.2 Мультистабильность отклика возбуждаемой моды поля в активном слое

4.3 Стимулированное рассеяние в общем случае произвольно поляризованной накачки. Эффект инверсии линейной поляризации.

4.4 Выводы и общие замечания о результатах четвертой главы.

Физические закономерности взаимодействия света и вещества рассматривались на протяжении всей истории естествознания. Однако бурное развитие микро- и нано-технологии в конце XX века позволило контролируемым образом создавать объекты с размерами меньше длины волны света, что обнаружило новые аспекты этой проблемы. Были открыты квазичастицы (элементарные возбуждения), представляющие собой связанные состояния света и вещества. Один из самых интересных примеров такого рода — квазидвумерные экситонные поляритоны, возникающие в активном слое планарного полупроводникового микрорезонатора за счет сильной связи эксито-на (электрон-дырочной пары) и резонаторной фотонной моды [1].

Квазидвумерные поляритоны характеризуются чрезвычайно малой эффективной массой (Ю-4 — Ю-5 массы электрона в вакууме) и обладают уникальной дисперсией Ei,p(k), имеющей точку перегиба в области световых квазиимпульсов (индекс 'LP' указывает нижнюю ветвь поляритонной дисперсии, совпадающую с дисперсией экси-тона при больших к). Система поляритонов в микрорезонаторе обнаруживает свойства слабонеидеального квазидвумерного бозе-газа; обменное взаимодействие электронов, составляющих экситонные состояния (композитные бозоны), приводит к поляритон-поляритонному рассеянию. Представляя характерный пример открытой диссипатив-ной системы с нелинейным взаимодействием, система квазидвумерных поляритонов обнаруживает примечательные коллективные свойства, теоретическому исследованию которых и посвящена данная диссертация.

Актуальность темы. Ключевой эффект, анализу которого будет уделено большое внимание, наблюдается экспериментально в условиях резонансного оптического возбуждения системы квазидвумерных поляритонов. В 2000 г. было обнаружено, что возбуждение в окрестности точки перегиба дисперсии Е^р(к) с положительной расстройкой энергии относительно резонанса [Ер > £ьр(£ф)] приводит к пороговому усилению моды к ~ 0, в результате чего появляется гигантский сигнал люминесценции резонатора в направлении нормали к поверхности [2, 3]. Последующие эксперименты показали, что с увеличением плотности накачки на несколько процентов (вблизи порога) сигнал в направлении sin0 = hck/Ep ж 0 относительно нормали возрастает на несколько порядков [4, 5, 6].

Начиная со времени первых экспериментов, о которых сказано выше, процессы перераспределения возбуждения в системе поляритонов вызывают неослабевающий интерес. В теоретических работах была предложена модель параметрического рассеяния фотовозбужденных поляритонов из состояния (кр,Ер) в состояния (ks,Es) и (к;,£;), получившие названия "сигнала" и "холостого сигнала" (англ. "idler"), соответственно, с сохранением энергии и планарного квазиимпульса: ks + kj = 2kp, Es + E\ — 2Ep. В том случае, когда накачка фиксирована в окрестности точки перегиба дисперсии

E'lp(к), "сигнал" и "холостой сигнал" также находятся на дисперсионной кривой, и потому рассеяние идет намного более интенсивно [7, 8]. Заметим, однако, что законы сохранения предполагают сильную зависимость положения "сигнала" от импульса и частоты возбуждения, не наблюдающуюся в экспериментах.

Очерченная проблема "неравновесной конденсации" поляритонов остается не вполне решенной вплоть до настоящего времени. В частности, не совсем ясны процессы развития неустойчивости, приводящие к появлению выделенного "сигнала" в направлении в = 0, а также динамика неравновесных переходов, в которых осуществляется критическая трансформация состояния. Настоящая работа посвящена исследованию этих явлений.

Основная цель настоящей работы состоит в исследовании эффектов, приводящих к пороговой трансформации состояния системы квазидвумерных поляритонов в условиях резонансного фотовозбуждения.

Поставлены следующие задачи:

• Исследовать возможные сценарии развития параметрической неустойчивости в системе квазидвумерных поляритонов.

• Проанализировать динамику неравновесного перехода в состояние с выделенным "сигналом" стимулированного рассеяния и определить условия, в которых такой сигнал возникает под действием когерентной накачки.

• Исследовать отклик системы квазидвумерных поляритонов в зависимости от оптической поляризации возбуждения.

Теоретический формализм, в рамках которого решаются поставленные задачи, основан на квазиклассической теории слабонеидеального бозе-газа с кубичной нелинейностью во взаимодействии. Решаются уравнения, аналогичные уравнению Гросса-Питаевского в приближении среднего поля, учитывающие внешнюю накачку и экситон-экситонное взаимодействие в системе большого числа (порядка нескольких тысяч) экситонных и фотонных мод на двумерной сетке планарных квазиимпульсов. Данный подход обусловлен выбором предмета исследования: существенно коллективных эффектов в сильно неравновесной системе взаимодействующих бозонов с мак-розаполненными когерентными модами, возникающими под действием когерентной накачки. Таким образом, вопрос об исходном возникновении когерентности нами не рассматривается.

Научная новизна и практическая ценность работы состоит в решении указанных выше задач, в известной мере являющихся ключевыми для понимания свойств нелинейного отклика системы планарных поляритонов в микрорезонаторе.

К защите представлены следующие основные результаты.

1. Построена теоретическая модель динамики квазидвумерных экситонных поля-ритонов в условиях резонансного когерентного фотовозбуждения, учитывающая процессы упругого экситон-экситонного рассеяния в приближении среднего поля. На примере численного решения уравнений эволюции показано, что процессы перераспределения возбуждения в системе поляритонов приводят к выраженному гистерезису сигнала стимулированного рассеяния в зависимостях от внешней накачки и амплитуды возбуждаемой моды, в качественном согласии с результатами недавних экспериментов.

2. Исследован процесс развития параметрической неустойчивости в системе квазидвумерных поляритонов. Найдено, что в том случае, когда планарная проекция волнового вектора накачки фиксирована вблизи точки перегиба нижней поляритонной ветви, а частота превышает собственную частоту поляритона, в системе пороговым образом возникает многомодовая неустойчивость. Именно, сколь угодно плавный рост интенсивности накачки вблизи порога приводит к скачку интенсивности возбуждаемой поляритонной моды и быстрому заполнению множества мод в конечной двумерной области ^-пространства (жесткое возбуждение стимулированного рассеяния).

3. Найдено, что в случае жесткого возбуждения стимулированного рассеяния становятся существенными коллективные эффекты, приводящие к появлению выделенного сигнала в направлении нормали к поверхности (ks 0). Квазистационарное распределение интенсивности поля в активном слое резонатора обнаруживает резкие максимумы в направлениях ks 0 (сигнал), кр (накачка) и 2кр— ks» 2кр (холостой сигнал), в хорошем качественном согласии с результатами экспериментов. Переход к такому состоянию сопровождается значительным спектральным сужением сигнальной моды (ks) и появлением линейных участков дисперсии в окрестностях ks, kp и 2kp— ks.

4. Показано, что устойчивость квазистационарного состояния с выделенным сигналом рассеяния (ks) обусловлена сильными корреляциями в поведении "надкон-денсатных" мод, имеющих значительно меньшую интенсивность. Таким образом, установлено, что теория, описывающая процесс порогового усиления сигнала в области k ~ 0, а также свойства такого сигнала в квазистационарном режиме, принципиально несводима к моделям типа параметрического осциллятора, учитывающим только три поляритонные моды ks, kp и 2kp— ks.

5. Исследованы свойства системы квазидвумерных поляритонов в случае произвольной оптической поляризации возбуждения. Найдено, что поляритон-поляритонное взаимодействие приводит к неоднозначности отклика поля в активном слое резонатора; число различающихся решений, определяющих стационарное состояние возбуждаемой моды, зависит от поляризации накачки и в общем случае может достигать четырех. В критических точках, в которых меняется количество и/или устойчивость стационарных решений, сколь угодно плавное изменение параметров накачки может привести к скачку состояния возбуждаемой моды. Проанализированы критические переходы, осуществляющиеся за счет изменения интенсивности и поляризации возбуждения. Показано, что даже малое отклонение поляризации накачки от строго линейной может привести к значительной циркулярной поляризации поля в активном слое.

6. Установлено, что взаимодействие экситонов с противоположными проекциями полного момента (Jz = ±1) приводит к возможности спонтанного нарушения симметрии а±-компоиент поля в активном слое резонатора в условиях строго линейной поляризации когерентной накачки. Диапазон значений интенсивности накачки, в котором наблюдается данный эффект, существенно зависит от частоты возбуждения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах ИФТТ РАН, ФИАН им. П. Н.Лебедева, ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН, Физическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова, рабочих семинарах университетов Клермон-Феррана (Франция) и Шеффилда (Великобритания), а также на международных конференциях: "Physics of Light-Matter Coupling in Nanostructures" (Магдебург, 2006 г., устный доклад), "4th Russian-French Workshop on Nanosciences and Nanotechnologies" (Гренобль, 2007г., приглашенный доклад).

Публикации. По результатам исследований, представленных в диссертации, опубликовано пять печатных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка публикаций по материалам диссертации и списка литературы.

4.4 Выводы и общие замечания о результатах четвертой главы

Суммируем основные результаты, полученные в данной главе.

• Поляритон-поляритонное взаимодействие приводит к неоднозначности отклика поля в активном слое резонатора; число различающихся решений, определяющих стационарное состояние возбуждаемой моды, зависит от поляризации накачки и в общем случае может достигать четырех. В критических точках, в которых меняется количество и/или устойчивость стационарных решений, сколь угодно плавное изменение параметров накачки может привести к скачку состояния возбуждаемой моды. Нами проанализированы критические переходы, осуществляющиеся за счет изменения интенсивности и поляризации возбуждения. Показано, что даже малое отклонение поляризации накачки от строго линейной может привести к значительной циркулярной поляризации поля в активном слое.

В разд. 4.2, где эти результаты обоснованы, мы не принимали во внимание возможность параметрического распада состояния возбуждаемой моды (кр) в другие к-состояния. В соответствующих расчетах, связанных с анализом решений системы (134), положение кр не имеет специального значения и, следовательно, может быть выбрано в близкой окрестности к = 0, где такого распада не происходит (см. [А5]). Таким образом, мы ожидаем, что полученные результаты (в частности, характер зависимости поля в активном слое от интенсивности и поляризации накачки) могут быть проверены экспериментально; отметим, что простая бистабильность, типичная для |/9ext| = 1, действительно наблюдалась при возбуждении с кр и 0 [82]. С другой стороны, ясно, что в случае кр ~ кшя характер трансформации возбуждаемой моды с ростом накачки имеет определяющее значение для перехода в режим стимулированного рассеяния — несмотря на то что, вообще говоря, такая трансформация уже не может рассматриваться как строго одномодовая. Возникающие здесь задачи анализа обратного влияния рассеянного сигнала на состояние возбуждаемой моды представляют широкое поле дальнейших исследований. Ожидается, например, что коллективное состояние системы взаимодействующих поляритонов (см. гл. 3) обнаружит примечательные нелинейные свойства, связанные с оптической поляризацией.

• Взаимодействие экситонов с противоположными проекциями полного момента (V+ < 0) приводит к возможности спонтанного нарушения симметрии а'^'-компонент поля в активном слое в условиях строго линейной (симметричной) поляризации когерентной накачки. Диапазон значений интенсивности накачки, в котором наблюдается данный эффект, существенно зависит от частоты возбуждения.

Возможность такого эффекта установлена путем исследования стационарных решений (134), а также анализа устойчивости в приближении (138-142). Вслед за этим мы рассмотрели динамику трансформации возбуждаемой моды вблизи критической точки, решив исходные уравнения (128, 129), и нашли, что спонтанное усиление сг+-или сг~-компоненты поля в активном слое происходит с равной вероятностью. В дальнейших работах должен быть сделан более последовательный анализ структурной устойчивости ([96]), а также роли флуктуаций, "управляющих" переходом и, в частности, определяющих характерные времена трансформации как в классическом, так и в существенно квантовом описаниях (см., например, [100]).

• В том случае, когда в процессе критической трансформации состояние раскачиваемой моды (кр) остается линейно поляризованным (в условиях линейной поляризации внешнего поля J7), жесткое возбуждение стимулированного рассеяния (кр, кр) —> (ks, 2кр—ks) приводит к усилению "сигнала" (ка и 0), поляризованного по нормали к накачке: V{ks) L Т.

Эффект инверсии линейной поляризации в процессе параметрического рассеяния был обнаружен экспериментально ([97, 98]) и описан в рамках предположения о малой интенсивности рассеянного сигнала ([99]). Мы нашли, что тот же эффект имеет место в ситуации жесткого возбуждения рассеяния — тогда, когда "сигнал" ks ~ 0 возникает вследствие самоорганизации и оказывает сильное обратное воздействие на состояние возбуждаемой моды, а система в целом характеризуется значительной корреляцией множества поляритонных гармоник.

Заключение

В настоящей работе исследован достаточно сложный механизм развития параметрической неустойчивости, характерный для неравновесной системы квазидвумерных экситонных поляритонов. Ключевая особенность этой системы — существование точки перегиба дисперсионной кривой [k = kinfl] в области световых квазиимпульсов. Мы показали, что бистабильность (характерная для нелинейного осциллятора) и неустойчивость относительно распада возбуждаемой моды kp ~ к!пП могут возникать совместно, приводя к возможности новых динамических режимов. По достижении критической плотности накачки происходит взрывообразное усиление большого числа мод в двумерной области /с-пространства, после чего динамика системы становится сильно стохастической. Последующая эволюция (в условиях стационарной накачки) осуществляется как процесс самоорганизации, с течением времени приводящей к появлению корреляции множества волновых гармоник и, одновременно с этим, — к появлению выделенного сигнала (макрозаполненной моды) рассеяния в области дна нижней поляритонной ветви.

Таким образом, нами установлено, что гигантский сигнал стимулированного рассеяния возникает за счет образования коллективного состояния в системе взаимодействующих поляритонных мод. Коллективные эффекты приводят к макроскопической пространственной и временной когерентности, а также к выраженному гистерезису сигнала в зависимостях от внешней накачки и амплитуды возбуждаемой моды. Эти результаты находятся в хорошем качественном соответствии с результатами недавних экспериментов и открывают широкую перспективу для дальнейших исследований. В частности, необходимо установить характерные параметры порядка связанной многочастичной системы такого рода, исследовать роль флуктуаций и построить статистическую теорию осуществляющихся неравновесных переходов. В свою очередь, это позволит проанализировать другие возможности управления состоянием вблизи критических точек, например с помощью возбуждения акустических волн, приводящего к трансформации закона дисперсии поляритонов за счет экситон-фононного взаимодействия.

Кроме того, нами был исследован случай произвольной оптической поляризации возбуждения. Было найдено, что в общем случае экситонная нелинейность приводит к мулътистабильности (в отличие от простой бистабильности) отклика возбуждаемой моды. Установлена возможность неравновесных переходов, в которых осуществляются резкие изменения как амплитуды, так и состояния поляризации поля в активном слое под действием сколь угодно плавно меняющейся накачки. Наиболее интересный эффект такого рода связан с возможностью спонтанного нарушения симметрии ст*-компонент экситонной плотности в условиях строго линейной (симметричной) оптической поляризации возбуждения. Данный эффект имеет место только тогда, когда константа взаимодействия экситонов с противоположными проекциями полного момента (Jz = ±1) принимает отрицательные значения, и сильно зависит от интенсивности и частоты накачки. Ожидается, что изучаемые нами процессы эффективного "переключения" отклика низкоразмерной оптической системы найдут практическое приложение.

В заключение я хотел бы выразить искреннюю благодарность моим учителям и коллегам, без постоянного участия и поддержки которых эта работа никогда не была бы выполнена. Я глубоко признателен своему научному руководителю Владимиру Дмитриевичу Кулаковскому за постоянное внимание и всестороннюю поддержку на всех этапах работы. Хочу особенно поблагодарить Николая Алексеевича Гиппиуса и Сергея Григорьевича Тиходеева, моих старших коллег и наставников.

1. С. Weisbuch, М. Nishioka, A. 1.hikawa, Y. Arakawa. Observation of coupled exciton-photon mode splitting in a semiconductor quantum microcavity, Phys. Rev. Lett. 69, 3314 (1992)

2. A. I. Tartakovskii, D. N. Krizhanovskii, V. D. Kulakovskii. Polariton-polariton scattering in semiconductor microcavities: Distinctive features and similarities to the three-dimensional case, Phys. Rev. В 62, R13298 (2000)

3. V. D. Kulakovskii, A. I. Tartakovskii, D. N. Krizhanovskii, N. A. Gippius, M. S. Skolnick, J. S. Roberts. Nonlinear effects in a dense two-dimensional exciton-polariton system in semiconductor microcavities, Nanotechnology 12, 475 (2001)

4. R. Butte, M. S. Skolnick, D. M. Whittaker, D. Bajoni, J. S. Roberts. Dependence of stimulated scattering in semiconductor microcavities on pump power, angle, and energy, Phys. Rev. В 68, 115325 (2003)

5. В. Д. Кулаковский, Д. Н. Крижановский, М. Н. Махонин, А. А. Деменев, Н. А. Гиппиус, С. Г. Тиходеев. Стимулированное поляритон-поляритонное рассеяние в полупроводниковых микрорезонаторах, УФН 175, 334 (2005)

6. С. Ciuti, P. Schwendimann, В. Deveaud, A. Quattropani. Theory of angle-resonant polariton amplifier, Phys. Rev. В 62, R4825 (2000)

7. D. M. Whittaker. Classical treatment of parametric processes in a strong-coupling planar microcavity, Phys. Rev. В 63, 193305 (2001)

8. G. H. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937)

9. R. S. Knox. Theory of Excitons (New York, 1963) Нокс P. С. Теория экситонов ("Мир", Москва, 1966)]

10. И. Н. Haken. Quantenfeldtheorie des festkorpers (В. G. Teubner, Stuttgart, 1973) Xa-кен X. Квантовополевая теория твердого тела ("Наука", Москва, 1980)]

11. J1. В. Келдыш, А. Н. Козлов. Коллективные свойства экситонов в полупроводниках, ЖЭТФ 54, 978 (1968)

12. J. J. Hopfield. Theory of the contribution of excitons to the complex dielectric constant of crystals, Phys. Rev. 112, 1955 (1958)

13. Y. Yamamoto, F. Tassone, H. Cao. Semiconductor Cavity Quantum Electrodynamics (Springer, Berlin, 2000)

14. E. Yablonovitch. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics, Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987)

15. E. L. Ivchenko, G. E. Pikus. Superlattices and Other Heterostructures: Symmetry and Optical Properties (Springer, Berlin, 1995)

16. R. P. Stanley, R. Houdre, U. Oesterle, M. Ilegems, C. Weisbuch. Impurity modes in one-dimensional periodic systems: The transition from photonic band gaps to microcavities, Phys. Rev. A 48, 2246 (1993)

17. R. C. Miller, D. A. Kleinman, W. T. Tfeang, A. C. Gossard. Observation of the excited level of excitons in GaAs quantum wells, Phys. Rev. В 24, 1134 (1981)

18. G. Bastard, E. E. Mendez, L. L. Chang, E. Esaki. Exciton binding energy in quantum wells, Phys. Rev. В 26, 1974 (1982)

19. R. L. Greene, К. K. Bajaj, D. E. Phelps. Energy levels of Wannier excitons in GaAs quantum-well structures, Phys. Rev. В 29, 1807 (1984)

20. L. C. Andreani and A. Pasquarello. Accurate theory of excitons in GaAs quantum wells, Phys. Rev. В 42, 8928 (1990)

21. V. M. Agranovich, O. A. Dubovskii, JETP Lett. 3, 233 (1966)

22. E. Hanamura. Rapid radiative decay and enhanced optical nonlinearity of excitons in a quantum well, Phys. Rev. В 38, 1228 (1988)

23. L. C. Andreani, F. Tassone, F. Bassani. Radiative lifetime of free excitons in quantum wells, Solid State Commun. 77, 641 (1991)

24. B. Deveaud, F. Clerot, N. Roy, K. Satzke, B. Sermage, D. S. Katzer. Enhanced radiative recombination of free excitons in GaAs quantum wells, Phys. Rev. Lett. 67, 2355 (1991)

25. B. Sermage, B. Deveaud, K. Satzke, F. Clerot, D. Dumas, N. Roy, D. S. Katzer, F. Mollot, R. Planel, M. Berz, J. L. Oudar, Superl. Microst. 13, 271 (1993)

26. D. S. Citrin. Homogeneous-linewidth effects on radiative lifetimes of excitons in quantum wells, Solid State Commun. 84, 281 (1992)

27. D. S. Citrin. Radiative lifetimes of excitons in quantum wells: Localization and phase-coherence effects, Phys. Rev. В 47, 3832 (1993)

28. N. Peyghambarian, H. M. Gibbs, J. L. Jewell, A. Antonetti, A. Migus, D. Hulin, A. Mysyrowicz. Blue Shift of the Exciton Resonance due to Exciton-Exciton Interactions in a Multiple-Quantum-Well Structure, Phys. Rev. Lett. 53, 2433 (1984)

29. D. S. Citrin, Comments Condens. Matt. Pliys., 16, 263 (1993)

30. E. L. Ivchenko. Excitonic polaritons in periodic quantum well structures, Sov. Phys. Solid State 33, 1344 (1991)

31. F. Tassone, F. Bassani, L. C. Andreani. Quantum well reflectivity and exciton-polariton dispersion, Phys. Rev. В 45, 6023 (1992)

32. A. Kavokin, G. Malpuecli. Cavity Polaritons (Elsevier, Amsterdam, 2003)

33. V. Savona, L. C. Andreani, P. Schwendimann, A. Quattropani. Unified treatment of weak and strong coupling regimes, Solid State Commun. 93, 733 (1995)

34. R. Houdre, C. Weisbuch, R. P. Stanley, U. Oesterle, P. Pcllandini, M. Ilegems. Measurment of cavity-polariton dispersion curve from angle-resolved photoluminescence experiments, Phys. Rev. Lett. 73, 2043 (1994)

35. R. J. Elliot, Phys. Rev. 96, 266 (1954);

36. Y. Yafet. Solid State Physics, Vol. Ц (Academic Press, New York, 1963)

37. Г. E. Пикус, Г. Л. Вир, ЖЭТФ 60, 195 (1971)

38. М. И. Дьяконов, В. И. Перель, Физика твердого тела 13, 3851 (1971)

39. М. Z. Maialle, Е. A. de Andrada е Silva, L. J. Sham. Exciton spin dynamics in quantum wells, Phys. Rev. В 47, 15776 (1993)

40. S. Pau, G. Bjork, J. Jacobson, H. Cao, Y. Yamamoto. Stimulated emission of a microcavity dressed exciton and suppression of phonon scattering, Phys. Rev. В 51, 7090 (1995)

41. В. Sermage, S. Long, I. Abram, J. Y. Marzin, J. Bloch, R. Planel, V. Thierry-Mieg. Time-resolved spontaneous emission of excitons in a microcavity: Behavior of the individual exciton-photon mixed states, Phys. Rev. В 53, 16516 (1996)

42. R. P. Stanley, S. Pau, U. Oesterle, R. Houdre, M. Ilegems. Resonant photoluminescence of semiconductor microcavities: The role of acoustic phonons in polariton relaxation, Phys. Rev. В 55, R4867 (1997)

43. F. Tassone, С. Piermarocchi, V. Savona, A. Quattropani, P. Schwendimann. Photoluminescence decay times in strong-coupling semiconductor microcavities, Phys. Rev. В 53, R7642 (1996)

44. J. Bloch, J. Y. Marzin. Photoluminescence dynamics of cavity polaritons under resonant excitation in the picosecond range, Phys. Rev. В 56, 2103 (1997)

45. F. Tassone, C. Piermarocchi, V. Savona, A. Quattropani, P. Schwendimann. Bottleneck effects in the relaxation and photoluminescence of microcavity polaritons, Phys. Rev. В 56, 7554 (1997)

46. A. I. Tartakovskii, M. Imam-Ismail, R. M. Stevenson, M. S. Skolnick, V. N. Astratov,

47. D. M. Whittaker, J. J. Baumberg, J. S. Roberts. Relaxation bottleneck and its suppression in semiconductor microcavities, Phys. Rev. В 62, R2283 (2000)

48. E. Hanamura. Theory of the high density exciton, J. Phys. Soc. Jpn. 29, 50 (1970);

49. E. Hanamura, J. Phys. Soc. Jpn. 37, 1545 (1974); E. Hanamura, J. Phys. Soc. Jpn. 37, 1553 (1974);

50. A. I. Bobrysheva, M. F. Miglei, M. I. Shmiglyuk. On the bi-exciton formation in crystals, Phys. Stat. Sol. (b) 53, 71 (1972)

51. E. Hanamura, H. Haug. Condensation effects of excitons, Phys. Rep. 33, 209 (1977)

52. H. Stilz, R. Zimmermaim, G. Ropke. Correlated Hartree-Fock theory of the electron-hole plasma containing exciton bound states, Phys. Stat. Sol. (b) 105, 585 (1981)

53. A. L. Ivanov, H. Haug. Self-consistent theory of the biexciton optical nonlinearity, Phys. Rev. В 48, 1490 (1993)

54. С. Ciuti, V. Savona, C. Piermarocchi, A. Quattropani. Role of the exchange of carriers in elastic exciton-exciton scattering in quantum wells, Phys. Rev. В 58, 7926 (1998)

55. J. Inoue, T. Brandes, A. Shimizu. Effective hamiltonian for excitons with spin degrees of freedom, J. Phys. Soc. Jpn. 67, 3384 (1998)

56. Yu. P. Svirko, M. Shirane, H. Suzuura, M. Kuwata-Gonokami. Four-wave mixing theory at the excitonic resonance: Weakly interacting boson model, J. Phys. Soc. Jpn., 68, 674 (1999)

57. F. Tassone, Y. Yamamoto. Exciton-exciton scattering dynamics in a semiconductor microcavity and stimulated scattering into polaritons, Phys. Rev. В 59, 10830 (1999)

58. G. Rochat, С. Ciuti, V. Savona, C. Piermarocchi, A. Quattropani, P. Schwendimann. Excitonic Block equations for a two-dimensional system of interacting excitons, Phys. Rev. В 61, 13856 (2000)

59. J. Inoue, T. Brandes, A. Shimizu. Renormalized bosonic interactions of excitons, Phys. Rev. В 61, 2863 (2000)

60. К. Bott, О. Heller, D. Bennhardt, S. T. Cundiff, P. Thomas, E. J. Mayer, G. O. Smith, R. Eccleston, J. Kuhl, K. Ploog. Influence of exciton-exciton interactions on the coherent optical response in GaAs quantum wells, Phys. Rev. В 48, 17418 (1993)

61. J. Fernandez-Rossier, C. Tejedor, L. Munoz, L. Vina. Polarized interacting exciton gas in quantum wells and bulk semiconductors, Phys. Rev. В 54, 11582 (1996)

62. M. Kuwata-Gonokami, S. Inouye, H. Suzuura, M. Shirane, R. Shimano, T. Someya, H. Sakaki. Parametric Scattering of Cavity Polaritons, Phys. Rev. Lett. 79, 1341 (1997)

63. N. N. Bogoliubov, J. Phys. USSR 11, 23 (1947);

64. H. H. Боголюбов, H. H. Боголюбов (мл.). Введение в квантовую статистическую механику ("Наука", Москва, 1984);

65. V. A. Zagrebnov, J. В. Bru, The Bogoliubov model of weakly imperfect Bose gas, Phys. Rep. 350, 291 (2001)

66. А. А. Абрикосов, JI. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. Методы квантовой теории поля в статистической физике ("Физматгиз", Москва, 1962)

67. N. R. Werthamer, in Superconductivity, Vol. 1, ed. R. D. Parks (Marcel Dekker Inc., New York, 1969)

68. L. P. Pitaevskii, S. Stingari. Bose-Einstein Condensation (Clarendon Press, Oxford, 2003)

69. H. Haken, in Encyclopedia of Physics, Vol. XXV'/2c: Laser Theory (Springer, Berlin, 1970)

70. Ii. Haken. Synergetics, An Introduction: Nonequilibrium Phase Transitions and Self-Organization in Physics, Chemistry and Biology (Springer, Berlin, 1978) Г. Хакен, Синергетика ("Мир", Москва, 1980)]

71. С. Ciuti, P. Schwendimann, A. Quattropani. Parametric luminescence of microcavity polaritons, Phys. Rev. В 63, R41303 (2001)

72. С. Ciuti, P. Schwendimann, A. Quattropani. Theory of polariton parametric interactions in semiconductor microcavities, Semicond. Sci. Technol. 18, S279 (2003)

73. A. Baas, J. P. Karr, M. Romanelli, A. Bramati, E. Giacobino. Optical bistability in semiconductor microcavities in the nondegenerate parametric oscillation regime: Analogy with the optical parametric oscillator, Phys. Rev. В 70, 161307(R) (2004)

74. C. Ciuti, I. Carusotto. Quantum fluid effects and parametric instabilities in microcavities, Phys. Stat. Sol. (b) 242, 2224 (2005)

75. D. M. Whittaker. Effects of polariton-energy renormalization in the microcavity optical parametric oscillator, Phys. Rev. В 71, 115301 (2005)

76. M. Wouters, I. Carusotto. Parametric oscillation threshold of semiconductor microcavities in the strong coupling regime, Phys. Rev. В 75, 75332 (2007)

77. N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev, V. D. Kulakovskii, D. N. Krizhanovskii, A. I. Tartakovskii. Nonlinear dynamics of polariton scattering in semiconductor microcavity: Bistability vs. stimulated scattering, Europhys. Lett. 67, 997 (2004)

78. N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev. Multiple-polariton scattering in a semiconductor microcavity, J. Phys.: Condens. Matter 16, S3653 (2004)

79. N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev, V. D. Kulakovskii. Bistability vs stimulated scattering in semiconductor microcavities, Phys. Stat. Sol. (c) 2, 744 (2005)

80. H. А. Гиппиус, С. Г. Тиходеев, JI. В. Келдыш, В. Д. Кулаковский. Жесткий режим возбуждения поляритон-поляритонного рассеяния в полупроводниковых микрорезонаторах, УФН 175, 334 (2005)

81. В. Ф. Елесин, Ю. В. Копаев. Бозе-конденсация экситонов в сильном магнитном поле, ЖЭТФ 63, 1447 (1972)

82. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний ("Наука", Москва, 1974)

83. Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос ("Наука", Москва, 1992)

84. V. Savona, P. Schwedinmann, A. Quattropani. Onset of coherent photoluminescence in semiconductor microcavities, Phys. Rev. В 71 125315 (2005)

85. A. Baas, J. P. Karr, H. Eleuch, E. Giacobino. Optical bistability in semiconductor microcavities, Phys. Rev. A 69, 023809 (2004)

86. W. Langbein. Spontaneous parametric scattering of microcavity polaritons in momentum space, Phys. Rev. В 70, 205301 (2004)

87. H. Haken. Advanced Synergetics: Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and Devices (Springer, Berlin, 1983) Г. Хакен. Иерархии пеустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах ("Мир", Москва, 1980)]

88. R. Houdre, С. Weisbuch, R. P. Stanley, U. Oesterle, М. Ilegems. Nonlinear emission of semiconductor microcavities in the strong coupling regime, Phys. Rev. Lett. 85, 2793 (2000)

89. В. Д. Кулаковский, А. И. Тартаковский, Д. H. Крижановский, А. Армитаж, Дж. Роберте, М. С. Сколник. Двумерные экситонные поляритоны и их взаимодействия, УФН, 170, 912 (2000)

90. A. I. Tartakovskii, D. N. Krizhanovskii, D. A. Kurysh, V. D. Kulakovskii, M. S. Skolnick, J. S. Roberts. Polariton parametric scattering processes in semiconductor microcavities observed in continuous wave experiments, Phys. Rev. В 65, 081308(R) (2002)

91. D. N. Krizhanovskii, A. I. Tartakovskii, V. D. Kulakovskii, M. S. Skolnick, J. S. Roberts. Threshold power and internal loss in the stimulated scattering of microcavity polaritons, Phys. Rev. В 66, 165329 (2002)

92. В. Д. Кулаковский, Д. H. Крижановский, А. И. Тартаковский, Н. А. Гиппиус, С. Г. Тиходеев. Поляритон-поляритонное взаимодействие и неравновесная конденсация экситогтых поляритонов в полупроводниковых микрорезонаторах, УФН 173, 995 (2003)

93. V. D. Kulakovskii, М. N. Makhonin, D. N. Krizhanovskii, A. I. Tartakovskii, N. A. Gippius. Instability effects in cw FWM of cavity polaritons in planar microcavities, Phys. Stat. Sol. (c) 2, 751 (2005)

94. I. Carusotto, C. Ciuti. Spontaneous microcavity-polariton coherence across the parametric threshold. Quantum Monte Carlo studies, Phys. Rev. В 72, 125335 (2005)

95. D. M. Whittaker. Numerical modelling of the microcavity OPO, Phys. Stat. Sol. (c) 2, 733 (2005)

96. D. N. Krizhanovskii, D. Sanvitto, A. P. D. Love, M. S. Skolnick, D. M. Whittaker, J. S. Roberts. Dominant Effect of Polariton-Polariton Interactions on the Coherence of the Microcavity Optical Parametric Oscillator, Phys. Rev. Lett. 97, 097402 (2006)

97. R. Thom. Stabilite Structurelle et Morphogenese (Benjamin, New York, 1972) P. Том. Структурная устойчивость и морфогенез ("Логос", 2002)]

98. Т. Poston, I. Stewart. Catastrophe Theory and its Applications ("Pitman", London, 1978) Т. Постои, И. Стюарт. Теория катастроф и ее приложения ("Мир", Москва, 1980).

99. К. V. Kavokin, P. Renucci, Т. Amand, X. Marie, P. Senellart, J. Bloch, B. Sermage. Linear polarisation inversion: A signature of Coulomb scattering of cavity polo,ritans with opposite spins, Phys. Stat. Sol. (c) 2, 763 (2005)

100. I. A. Shelykh, A. V. Kavokin, G. Malpuech. Spin dynamics of exciton polaritons in microcavities, Phys. Stat. Sol. (b) 242, No.ll, 2271 (2005)

101. N. S. Maslova, R. Johne, N. A. Gippius. Role of fluctuations in nonlinear dynamics of driven polariton system in semiconductor microcavities, Письма в ЖЭТФ, 86,1. No.2, 135 (2007)