Динамические контактные задачи для предварительного напряженного полупространства тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

министерство науки. высшей школы и технической политики

российской федерации ростовский ордена трудового красного знамени

государственный университет

Специализированный совет К 063.52.03 по физико - математическим наукам

На правах рукописи.

УДК 539.3

БЕЛЯКОВА ТАТЬЯНА ИВАНОВНА

ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ . ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математике<. .их наук

Ростов - на - Дону 1993 г.

Ра^та выполнена в НИИ механики и прикладной математики Ростовского ордена Трудового Красного Знамени государствен-•ного университета.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник Калкнчук В.В.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

Еедядая организация - Кубанский государственный уни-

на заседании специализированного совета ГС 063.62.03 по физико-математическим наукам в РТУ по адресу: 344090, г.Ростов -на - Дону, ул. Ворге. 5, мехмат, ауд. 239.

• С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотека РГУ (ул. Пушкинская, 146).

наук, профессор Зубов Л.М., кавдвдат физико-математических наук, доцент Ананьев И.В.

верситет

Защита состоится

Автореферат разослан

Учений секретарь специализированного совета, доцент

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. Диссертация посвящена развитию методов исследования закономер стей динамического контактного взаимодействия массивных штампов и инерционных систем с пред напряженным полупространством. Материал среды предполагается сжимаемым, гиперутгруггал. первоначально изотропным, начальное .состояние - однородным.

Актуальное.ь проблемы. Задачи динамического контактного взаимодействия твердых тел относятся к числу наиболее сложных и актуальных задач мохшпп I твердого тола.

Фундачентостровние, сейсмостойкое строительство, сейсмс разведка и геофизика, машиностроение, ультразвуковая дефектоскопия и акустическая эмиссия, акуотоэлактроника - далеко ■на полный перечень отраслей современной те:_шки, где исследования по динамичоиик контактным задачам находит непосред-сгвоннов приложение. Развитие новых технологий, использова-Ш9 искусственных композиционных материалов определяют необходимость совершенствования - мопелей, учитывающих сложную структуру ерэдн (слоистость, неоднородность и т.д.) п ее свойстза.; Большое значение.приобретает учет начальных напряжений, которые .вследствие различных технологических операций и процессов практически всегда присутствуют в реальных телах • Совершенствование методов расчета деталей и узлов машин и конструкций с повышенной прочностью и низкой материалоэмко стью, потребность прогнозирования их роурсной способности при. эксплуатации, обуславливает необходимость не только учета начальных нзлряжонуй, но и разработки теоретических и "экс нершентальных методов оценки величины и характера начальных

напряжений в деталях и элементах конструкций.

Исследования по рассматриваемому в диссертации кругу вопросов проводились в НИИ механики и прикладной математики РГУ в рамках рада государственных научно-технических программ, в том число по проблеме 0.74.03 "Разработать и внедрять в практику народного хозяйства методы• оценки опасности и комплекс мероприятий для уменьшения ущерба от землетрясений:, цунами и вулканических извержений", по проблеме О.55.О4 "Разработать и внедрить экономичные и технологичные решения атомных и тепловых электростанций унифицированных типов, линий электропередач и подстанций, а также поточно-скоростные методы их строительства", по проблеме 0.Б0.03 "Разработать и внедрить аппаратуру и технологии сейсмических исследований с целью более полного изучения глубинного' строения Земли, вещественного состава пород при поиске и разводке месторождений нефти, газа к твердых ископаемых", а также с рамках республиканской научной программы Миннауки, высшей школы и технической политики Российской федерации "Фуодаменталь-ные проблемы механики деформируемых сред к конструкций".

Цель работы.

1. Разработать и реализовать в программном комплексе метод решения ютеграшшх уравнений доцшгдашзмтх коптант-ннх задач, ядра которых имеют веаиатвеннне точки ь-зтглэния.

2. Разработать метод исследования динамики массивных объектов и инерционных систем, взаимодействующих'с преднагг-ряженным полупространством.

3. Исследовать закономерности динамического взаимодействия массивных объектов и инерционных систем с преднанряжен-кыыи средами. Ьычеить динамические характеристики поведения

массивниг; тел, позволяющих эффективна оценивать величину и характер начальной деформации.

Методика исследования основана на сведении исходных кра евых задач к интегральным уравнениям с последующ™ их решением методом факторизации, позволявшим учитывать вещественные точки ветвления. Исследования проводятся в системе координат, связанной с начально-деформированным состоянием среды.

Научная иовиаяа. Изучен новый класс задач о динамическом взаимодействии массивных объектов и инерционных систем с предварительно напряженным полупространством. Рассмотрены различные виды однородного начального напряженного состояния среда: одноосное по различиям осям, двухосное и трехосное. Б аналитическом виде построены приближенные, элективные в широком диапазоне частот решения интегральных уравнений задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях полосового штампа. Раз работали и реализованы на ЭВМ программы, позволяющие проводить исследование динамического поведения массивных объектов и инерционных систем при различиях видах однородного начального напряженного состояния сроды.Выявлен ряд закономерностей динамического взаимодействия массивних штампов и инерци-оиных систем с предаапряженшш полупространством.

Практическая значимость работы определяется широким кру гом отмеченных вике практических приложений рассматриваем»* задач, наличием программ, реализующих развитый метод, большим количеством численных результатов и установленных при этом закономерностей влияния начальной деформации на динамику массивних объектов и инерционных систем.

Апробация ваяотн^. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обседались на VI Всесоюзном съезде

по Tûopt.ической и прикладной механике (1986 г..Ташкент), на международном симпозиуме по нелинейной сейсмологии (1986 г., Суздаль), на Всесоюзной конференции по динамика неоднородных структур (1987 г., Львов), на I, II, III и IV региональных,, конференциях "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1986,1988,1990,1992г. ), на Всесоюзном совещании "Проблемы контактного взаимодействия,трения и износа" (Рос -тов л^Д,1990г. ), а таккэ на семинарах ОВП НШШ - ПМ, кафедры теории упругости РГУ.

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объем райоты. Диссертация состоит из введения,шести глав, заключения, занимающих НО страниц матшкшио него текста, списка использованной литературы, вюшчшяцэй 195 наименований работ и приложения, содержащего численные резуль аты. -

- ■ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

go введении очерчен круг проблем, рассматриваемых в.дао сертации, определен характер и актуальность выполненной работы. Приеден краткий обзор работ по исследованию закономер ностей распространения волн в телах с начальными напряжениями и решению смешанных динамических задач теории упругости.

Одними из^первых работ по исследованию динамического поведения продварит ^ыга напряженных упругих тел были работы Коши, Яява. Б обцем случае для описания динамических процессов ь предварительно напряженных средах необходимо привлечение соотношений нелинейной теории упругости. В то же время ряд :{(£ектов достаточно голно опис :ваетоя .шнеаризовашюй

теорией, существенный вклад в становление которой внесли

A.Б. Groan, R.T. Shield, R.S. RlvLln, M.A. Blot, А.И. Лурье, С.Трусделл. Ими произведена линеаризация нелинейных уравне ний теории упругости, а также развита теория наложения малых деформаций на конечную. А.Н.Гузь, А.Г.Жук, С.Ю.Бабич, Ф.Г. Махорт развили трехмерную линеаризованную теорию при больших

' и малых начальных деформациях для сжимаемых и несжимаемых тёл, получили общие решения уравнений движения в случае одно "родных начальных деформаций, исследовали вопросы устойчивости и установили ряд закономерностей распространения объемных и. поверхностных волн в преднапряженных телах.

Изучением закономерностей распространения упругих волн в начальво-деформированых средах занимались также A.E.Green, Й.З. JUvlln, B.W. Ogdsn, D.K. Waeh, D.K. WlUson И Другие.

В большинстве работ рассматривались на смешанные задачи распространения волн а предположении, что источник колебаний бесконечно удалон.При исследовании взаимодействия массивных штампов и инерционных систем с упругими гголуограничешшш . средами возникают проблемы, связанные с необходимостью решения интегральных уравнений или систем интегральных уравнений

Разработке, методов решения различных динамических контактных задач к исследованию возникающих при этом интегральных уравнений посвящено большое число,статей и монографий

B.М.Александрова, В,А.Бабешко, А.Е.Еелоконя, С.И.Боева,

". Н.М.Бородачева, А.О.Ватульдаа, И.И.Воровича, Е.В.Глушкова, В.Т.Гринченко, А.Н.Гузя, В.Н.Закорко, А.Б.Ефимова, В.А.Йльи-чева, В.В.Калинчука, Е.В.Ковяленко, В.Д.Купрадзе, Ю.А.Мамте-еве, Г.Б.Муравского, Г.Я.Попова, О.Д.Пряхиной, В.Л.Рвачэва, ' Н.А.Ростовцева, М.А.Сумбатяна, В.А.СЕбкло, В.М.Сеймова, М.Г.

Селезнева, Д.И.Слепяна, А.В.Смирновой, Ю.А.Устинова, А.Ф. .. Улитко, М.И.ЧеСакова, П.Я.Шехтера и других ученых.

Принципы излучения, обеспечиваюше единственность решения смешанных краевых задач динамической теории упругости, сформулированы в работах В.А.Бабешко, Н.Н.Векуа, И.И.Воронина, А.Зоммерфельда, В.Д.Кунрадзе, Л.И.Мандельштама, А.Г.Свеш никова, АьН.Тихонова и других авторов.

Исследованию закономерностей динамического контактного взаимодействия жестких штампов с преднанряженными средами . посвящен ряд работ И.В.Ананьева, В.А.Бабешко, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой. В работах детально исследовалось влияние нача лыюго напряженного состояния на распределение напряжений под'штампом и на поведение свободной поверхности вне его. Исследования проводились в координатах естественного (ненапряженного) состояния.

В первой главе приведана постановка краевой задачи о гармонических колебаниях преднапрякенного полупространства x3s0 распределенной в области Ci нагрузкой <±{xi ,*г )e l<*" . Материал среды полагается первоначально изотропным, сжимаемым, имеющим упругий потенциал, как функцию инвариантов меры деформации. Начальное напряженное состояние среды - однородно. В рамках сделанных предположений краевая задача описывается линеаризованными уравнениями с граничными условиями

7-8 - -fx/ц а-е - ' 1 2 3 12

8 г Т.уа + 4/g"[-<jJ0 e(u) + q>sF-f(u).F Jovkmrr-'à-Ш)]

где T - тензор начальных напряжений, F - мэра деформация Фкн гера, е - линейный тензор деформации возмущенного состояния,

g,C - метрические мнокители, фк, Vkn (m,v=0,l,2) - коэффициенты, определяемые через упругий потенциал среды.

Решение краевой задачи, построенное с помощью методов операционного исчисления и принципа предельного поглощения в общей форме, безотносительно к виду начального напряженного состояния, упругого потенциала и свойств материала среды,имеет представление (а,р - параметры преобразования Фурье по переменным х1гхгг ® = 3) - безразмерная час

.тота» о?, - компоненты тензсра начальных напряжений Т):

. ■. . О

' •• ' k(a,t,x.jtX) = J f К(Л,р,кз ,*)el tc""'i'> dOd|3

Контуры Г -и Г, выбираются в соответствии с принципом предельного поглощения и поведением элементов матркцы-функ-ики К(а, (5,х-',ж) на вещественной оси, свойства которых определяются "идом -началько-деформированного состояния и свойствами среды. В диссертации приведен яеный вад элементов матрицы-функции для различных начальных напряженных состояний.

Во втором параграфе приведена система интегральных урав нений для задачи о вибрации произвольного б плане штампа на поверхности проднапряжепяого полупространства, а тагске интег ральнив уравнения и системы интегральных уравнений задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях полосового штампа на поверхности нреднапряхенного полупрострьлства для различных видев начально-деформированного состояния среди.

В третьем параграфе приводятся основные свойства ядер

интегральных уравнений рассматриваемых задач: четность, распределение особых точ^к и асимптотическое поведение ядер при больших значениях аргумента, что является условием для применения творэм разрешимости и единственности решения интегральных уравнений, рассмотренных в диссертационной работе.

Во второй главе приведены теоремы корректной разрешимой ти и единственности решения интегральных уравнений I рода, изучавшихся в данной работе. Изложены некоторые полокешя факторизации функций и матриц-функций, на основе которых строятся приближенные решения рассмотренных интегральных уравнений. Обсуждаются вопросы устойчивости."

Третьц глава посвящена некоторым методам решения интегральных уравнений I рода о ооциллирукадш на-отрезке ядром.

В первом параграфе изложен метод решения. интегральных уравнений I рода, основанной на приближенной факторизации функций и матриц-функций. Здесь используются аппроксимирующие функции, не учитывающие наличие у. ядра интегрального уравнения вещественных точек ветвления. Этот метод, оффэктив шй для сред типа слоя, пакета слоев, в случае полупрост ран с тва применим только для низких частот колебаний штампа.

Во втором параграфе развит метод решения интегральных уравнений I рода, в котором используются аппроксимирующие функции, сохраняюще точки ветвления символа ядра интегрального оператора на вещественной оси. Суть метода заключается в нетрадиционном подходе к расщеплению интегрального опера- -тора уравнения Фредгольма II рода, к которому сводится исходное интегральное уравнение, на конечномерный и малый за' счет специального представления контурного интеграла. Этот метод применен для построения решений интегральных уравнений

. задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях полосового штампа о произвольной формой основания на поверхности првднапря-яенного полупространства. В аналитическом виде получены выра жёния, описывавдие распределение напряжений в зоне контакта, . поведение свободной поверхности и реакцию среды.

Четвертая глава посвящена анализу результатов решения динамических контактных задач для предварительно напряженно. го полупространства.

,В первом параграфе рассмотрена задача о сдвиговых колебаниях полосового штампа с плоским основанием на поверхности прэднапряженного полупространства. Для напряжений под штампом и перемещения свободной поверхности ср(х)=1<р* (х), х > 1; ; <р'(н), х < -1) получены выражения

г, 1-*> ак х * х > с л ч(х) = 1ае + ■■ -I —• ...... ¥ ■ ■ I + Ы(х,х)

/ -1ге /тс(1-х) / тс(Нх)

1г. ( ХГ1) к

ф±(х) - 1 - егг/-1ае(ят1) + £ £ К (г. )з/(хт^ае)»

к-1

(К(х,ае),зк±(х,ж) - гладкие функции координат).которые нагляд но представляют структуру волнового поля как под штампом, так и на свободной поверхности. Ввдно (если учесть временной ' множитель в'1"1), что от краев штампа' распространяются убыва вдио степенным образом волны со скоростью равной скорости сдвиговой волны а преднайряненной ореде.

Амплитудное значение реактивной силы, действующей на штамп со стороны полупространства, имеет вид

Р - х ч(х)ах « р + | —эг? /-21ае + к-1 г, I-

+ /-1 (ae+z^ - e 2lI|t (1 - erf /-2i(ae+Zjt ))]j,

Po - 21X + (1 -4ix)e>rf V-SiX + / гае/% eZiX. .

Во втором параграфе рассмотрена задача о вертикальных колебаниях полосового штампа с плоским основанием на поверх-носги преднапряженного полупространства. Трение мавду штампом и полупространством отсутствует.. Приведены формулы, опи-: сывавдие распределение напряжений в зоне контакта,поведение свободной поверхности и реакцию, среды. •-•■.Показано, что под штампом от его Краев движутся быстро-затухатеио волны со скоростями равными скоростям продольных и поперечных ьолн в преднапряженной среде. 11а свободной поверхности вне штампа от его краев движутся быстрозатухазадие' волны перемещений, имеющие скорости продольных и поперечных волн. Кроме этих волн, по поверхности от краев.штампа в. обе стороны распространяется по одной незатухающей волне (Ira £ = 0), на фазовую скорость которой,Доказывают влияние начальные напр.жею^:. "

На основа разраб. танных, ы< -одев проведен д-чталыхый численный анализ влияний различны?, видов начального напряге но-го- состояния на распределение контактных напряжений и роак-цию среды. Исследования проводились в рылхах потенциала Мур-нагана, рассмотрена три вида одяееейоа'о начального ..злряжён-ного состояния • (напряжения действуют вдоль осей х ,х,,ха), двухосное и трехосное начальные нопряЕенные состояния.

Установлено, что начальные напряжения существенно влияют как на распределение контактных напряжений, так и на реак ции среды, причем влияние носит осциллирующий по "частоте■ ха-

рдктор и зависит как от величины начальной деформации, так и 1 от вида.начального напряженного состоягшя среды.

В пятой глава рассмотрены задачи о контактном ьзаимодей Ствии массивных объектов и инерционных систем с преднапряжен ной полуплоскостью. В качестве инерционных исследовались сис темы состоящий из массивного штампа п>2 и тела массы т.соеди ненных либо посредством упругого элемента жесткости к, либо посредством упругого стержня (бруса).

В первом параграфе приведэны соотношения, описываэдие динамическое поведение массивных штампов и инерционных систем', взаимодействующих с преднапряженной средой.

Ео втором параграфе приведены результаты исследования влияния различных видов начальной деформации на амплитуду ко лебаний массивного штампа. Рассмотрены случаи сдвиговых и вертикальных колебаний.

На рис.1 приведены графики функции т] = |и°|-|и| (и0,и - амплитуды колебаний массивного штампа соответственно в естественном и начально-деформированном состояниях <_реды) в зависимости от величины начальной деформации (кривые 1,2,3) и массы штампа (кривые 1,4,5). Легко видеть, что влияние начальной деформации на амплитуду колебаний носит резонансный характер и определяется частотами ае±,аео (на первых - влияние начальной деформации максимально, на вторых - отсутствует) и амплитудами резонансных .пиков-А*. Увеличение начальной дефор мации приводит к увеличении А*, значения ге* и ж0 остаются практически неизменными. Уменьшение массы штампа приводит к увеличению значений ае* и эе0, А*, при этом уменьшается.

Исследование показало, что при.вертикальных колебаниях штампа ае± и эе0 существенным образом зависят от вида начально

цо0

/ A

/*Л\ У 4 \5

/iJn

se 70

"i.s ш m

с 1

J Рис. 1

7

i

г А

/5 аг

ъ-й 2+Û

A-O.COi -. Рис. 3. '1 :

4 fi гЛ (

С".

- • '

■ ' зе

: S-à ' 5+А 6*0.0015 :

Рис. 4

го напряженного состояния, в случае сдвиговых колебаний эта зависимость отсутствует. Значения а- максимальны при трахае-ном напряженном состоянии,несколько меньше при двухоснс: :.Прг одноосном напряженном состоянии - А4 максимальны в случае, когда начальные напряжения соосньс силе.действующей на штамп.

В третьем параграфе приведены результаты исследования влияния различных видов начального напряженного состояния на динамику двухмассовой EHapL, .онной системы. Это влияние имеет тог se качественный характер, что и в случае колебаний массивного штампа. Параметры га^ и k (масса тела и жесткость упругого элемента) определяют чувствительность инерционной сис теш к изменений напряженного состояния: их соответствующим подбором можно добиться ьлачитального увеличения а* практически на любых частотах.

На рис.2,3 приведены графики функции т) при одноосной на чальной деформации для различных (при условии п^/k = const, m,,- фиксирована) значений m и к (кривые 1,2,3 на рис.2) и для различных значений массы штампа ^ (кривые 1,2,3 на pic. 3) при фиксированных и^ и U. Из графиков следует, что согласованное уменьшение параметров mi и к, равно как и увеличение .îeocu mz, приводит к усилению влиягия начальной деформации на амплитуду колебаний тела л. Также отметим, что изменение массы штампа (рис.З) приводит к изменению качественного характера влияния начальной деформации.

Особенностью двухмассовой инерционной системы с упругим элементам типа стержня (бруса) является наличие счетного чис ла длин стерзнй (толщин бруса), обеспечивающих резонанс на данной частоте, и наличие счетного числа резонансных частот при фиксированной длине стержня (толщине бруса). На рис. 4

- 1С

приведены графики функции 17 при одноосной начальной деформации для различных значений толщины бруса с фиксированной резонансной частотой- Видно, что с увеличениам толщины бруса усиливается резонансный характер влияния начальной деформации на амплитуду колебаний тела т[, в то кэ время А* практически не изменяется.

Анализ взаимодействия массивных тел и инерционных систем с предналряженной полуплоскостью показал:

—влияние начальной деформации на динамику массивного штампа наиболее ощутимо проявляется на низких частотах и прсг больших массах штампа;

-более эффективным для исследования начального натхргл:;ж ного состояния среды является использование резонансных изо! ств инерционных систем. Подбором их параметров обеспечивает ся высокая чурствителыгость динамики система к изменению нал ряженного состояния среды практически на любых частотах;'

-влияние начальной деформации на динамику как массивно го штампа, гак и двухмасссвсй инерционной системы характеризуется частота?,« зг,эг0 (на даррых - влияние максимально, на вторых - отсутствует) и амплитудами Аг,-

-значения зе1 и ж0 в случае вертикальных колебаний зави сят от параметров системы и вида начальной деформации, в сл чае сдвиговых колебаний - лишь от параметров системы;

-максимальное влияние на динамику системы оказывает трехосное начальное напряженное состояние, меньше - двухос ное напряженное состояние, из одноосных - максимальное ели? ние оказывают напряжения соосные силе, действующей на впал В шестой главе исследована особенности контактного вз; имодеЯствия полосового штампа, совершающего вертикальные ш

лвбания, с предаапрлжешшм полупространством в случае, когда штамп произвольным образом ориентирован относительно осей действия начальных напряжений. Выявлены направления ориентации штампа, при которых влияние начальной деформации на амплитуду его колебаний максимально.

2 заклрчении дана сводка основных результатов и выводов полученных в диссертации.

ВЫВОДЫ

0 диссертационной работе

1. Рассмотрен новый класс задач о взаимодействии массив ных объектов и инерционных систем с предварительно напрятанным полупространством.

2. Развит эффективный мотод решения интегральных уравнений динамических контактных задач, ядра которых имеют точки ветвления на вещественной оси.

3. В аналитическом виде построены аффективныа в широком диапазона частот решения интегральных уравнений задач о сдви говых и вертикальных колебаниях штампа на преднапряженной по луплоскости.

4. Аналитически установлена и численно потверздена осци лляция особенности на краях штампа. Показано, что края штампа являются источниками поперечных горизонтально поляризован ных во;ш в случае сдвиговых колебаний, продольных и вертикально поляризованных поперечных волн в случае вертикальных ко лебаний штампа.'

5. На основа развитых методов проведено исследование задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях массивных [¡¡там-

тв, дьухмассовых инерционных систем на поверхности предаап-ряжевдого полупространства, выявлены закономерности влияния начальной деформации на их динамику.

5. Аналиткчесы установлена и численно потвэрздана независимость амплитуд сдвиговых колебаний массивного штампа от вида начального напряженного состояния, что обусловлено существованием в этом случае волн только одного типа-.

7. Аналитически установлена и численна гатверждена зави симость амплитуды вертикальных колебаний массивного штампа как от величины начальной деформации, так и от вида начально го напряженного состояния, что обусловлено существованием в этом случае волн двух типов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Белянкова Т.Н..Ншшнчук В.В. Полякова И.Б. Динамические контактные задачи для начально-деформированных упругих тел. // Тез .докл.» I Всес. съез;,а по теор. и приклад, механике. Ташкент,1й36, С.97.

2. Белянкова Т.И. .Калинчук В.В. .Бузанов Ю.Е. К учету начальных напряжений в задачах возбуждения и распространения упругих волн. // Тез.доо,рег.конф."Дингмич'ес1ше задачи механики сплошной среды". Краснодар, 1986, С. 125. : '

3. Белянкова Т.И..Калинчук В.В. Возбуждение и распространение упр/гих волн в средах подверженных действию конечных начальных напряжений.// Тез.докл.международного симпозиума по нелинейной сейсмологии, Суздаль, 1986, С. 10. • / . ' Г •

4. Белянкова Т.И. Волновой процесс в упругой среде при одноосной начальной деформации./' Тез.докл.рег.конф. "Динау--ческие аапачк механики сшюш'ПЙ среды".Краснодар, 1Э88,С. 13.

5. Белянкова Т.И..Калинчук В.В. О вибрации штампа на поверх

нооти предварительно напряженной неоднородной сроды.//Тез.

»

докл. II Всесоюзной конф. по динамике неоднородных отру; тур Львов,1987,0.29.

6. Белянкова Т.И. Контактные задачи для начально-деформированного полупространства./'/ Тез.докл.рог.конф."Динамические задачи механики сплошной среды". Краснодар, 1990, 0.26.

7. Калинчук В.В.,Белянкова Т.И. Контактные задачи для нача-льно-дефорлированшх тел.// В кн." Проблемы коьт.взаим.ирония и износа. Ростов н/Д, 1990,0.48.

8. Белянкова Г.И.,Калинчук В.В. Об одном методе исзледова-шя задачи о сдвиговых установившихся колебаниях жесткого штампа на поверхности предварительно-напряженного полупространства." Рукопись Дэп. в ВИНИТИ 13.11.90, N 563Э-ВЭ0.

9. Белянкова Т.Н..Калинчук В.В.К задаче о сдвиговых колебаниях массивного кесткого штампа на поверхности преднапряжен-ногп полупространства.- Рукопись Деп. в ВИНИТИ 17.02.92,

N 531 - В92.

10. Белянкова Т.И..Калинчук В.В. Об одном методе исследования плоской задачи о нормальных колебаниях жесткого штампа на поверхности полупространства.- Рукопись Деп. в ВИНИТИ

Б.03.92, N 733 - В92

11. Белянкова Т.И.,Калинчук В.В. О сдвиговых колебаниях штампа на поверхности предварительно напряженного полупространства./' ТЮ. 1992г., Т.56. Вып.2, 0.313-320.

12. Балашова Т.И. О сдвиговых колебаниях массивного штампа "а поверхности преднапряжвнного полупространства.//Тез.докл. рег.копф."Динамические зад.чл механики сплошной среды". Краснодар,1992, 0.15-16. - —

УПЛ 3 4 К.зв.т но.