Исследование плоской контактной задачи на произвольном временном интервале тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОД

2 2 *ВГ ®

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ!:; ЛЗКАИИОННЫЙ" ИНСТИТУТ (T35X1W1 ЧЕСКИЙ УН ii DE ГС ИТЁТ)

На правах рукописи

МЕДВЕДСКИЙ Александр Леонидович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ ВРЕМЕННОМ ИНТЕРВАЛЕ

01.02.04-механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москза -

Ш-1 г.

Работа ныкоян'яип г- '¿'¡скоьокот« ¡¡¡^.¡циопк-и

^статуте (техиичегком уииворситете.1.

Научный рукано^/пгель - доктор физико-математических внук,

профессор Горшке» Л.Г.

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор Тарлакозский Д.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александров В.М.

доктор технических наук, профессор Сабодаш П.Ф.

Ведущая организация - Институт механики МГУ .

Защита состоится "20" СЙ1Л-*1994 г. в 15 часов 00 мин. на • .с здании специализированного совета Д 053.18.07 при Московском •• • >еуда рственном авиационном институте по адресу: г. Москва,

-..члоколамское ш, д. 4, МАИ, Зал заседаний Ученого Совета С диссертацией можно познакомиться в библиотеке МАЯ.

Автореферат разослан

1 " 1994

г

Ученый секреч'арь «пеции.тазиропанпог') Д <153.13.07 при МАИ

кандидат "еккич^жи илул донолт

- -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Механика контактного взаимодействия принадлежит к числу наиболее бурно развивающихся областей механики сплошной среды. Это вызвано с одной стороны растущими запросами машиностроения. добывающих и перерабатывающих отраслей промышленности. С другой стороны, контактные задачи приводят к специфическим математическим проблемам, связанным прежде всего со смешанным характером граничных условий в соответствующих краевых задачах и неизвестностью области контакта.

В настоящее время наименее исследованным является класс нестационарных контактных задач. Для них во многих случаях (например, подвижная граница области контакта) не могут быть применены известные методы решения стационарных и статических задач. Поэтому актуальна разработка специфических алгоритмов решения этих задач.

Конкретным объектом исследования в диссертационной работе являлись плоские нестационарные контактные задачи для упругого полупространства и твердого тела, ограниченного гладкой выпуклой поверхностью. В этом направлении наименее исследован дозвуковой этап вза нмо действия. на котором граничные условия носят смешанный характер. Предложенные ранее постановки подобных задач предполагали, что контакт ударника с полупространством происходит в основном в условиях свободного проскальзования, а также рассматривались частные случаи движения ударника. Из анализа публикаций по нестационарным контактным задачам следует, что так же отсутствуют методики, позволяющие исследовать динамику ударника и напряженно-деформируемое состояние полупространства при значительных временах взаимодействия. В диссертации предложен и реализован метод решения задач указанного класа.

Цели работы.

1. Разработка метода решения плоских нестационарных контактных задач для упругого полупространства и гладких ударников на произвольном временном интервале.

2. Оценка влияния типа граничных условий на параметры контактной задачи.

3. Исследование качественных и количественных особенностей распределения контактных напряжений под ударником.

Научная новизна. В работе впервые проведено исследование плоской нестационарной контактной задачи для упругого полупространства и гладкого ударника на произвольном временном интервале. В том числе рассмотрен сверхзвуковой этап взаимодействия в условиях жесткого сцепления, для которого построены система квазилинейных дифференциальных уравнений движения ударника и интегральные представления контактных напряжений. Предложен эффективный алгоритм интегрирования разрешающей системы функциональных уравнений с сингулярным оператором типа Вольтерра. Решен ряд новых плоских нестационарных контактных задач с симметричной и несимметричной пространственно-временной областями контакта. Произведена оценка влияния типа граничных условий на параметры контактной задачи. Рассмотрен вопрос об использовании упрощенной модели движения ударника при временах взаимодейстаия, соизмеримых с моментом отскока.

Практическая и научная ценность. Результаты работы в теоретическом плане представляют интерес с точки зрения аналитических решений нестационарных контактных задач, а также разработки алгоритмов численного решения многомерных интегральных уравнений с сингулярным ядром. Разработанная методика расчета кинематических параметров движения ударника и напряженно-деформированного состояния полупространства может быть применена при расчетах элементов конструкций, работающих в условиях ударного взаимодействия, в НИИ и КБ соответствующего профиля.

Достоверность результатов, полученных в диссертации обеспечивается корректной математической постановкой задачи, совпадением решений с известными частными случаями, а также тем, что используемые в работе математические методы являются обоснованными и апробированными. Кроме того, показана практическая сходимость предложенного численного алгоритма.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семенаре кафедры "Сопротивления материалов, динамики и прочности машин" МАИ (г. Москва, 1990-1994 г.), на III Всесоюзной конференции по механике

- .•> -

неоднородных структур (г. Львов, 1991 г.), на IV Региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные воросы вибрационного просвечивания Земли" (г. Краснодар, 1992 г.).

По теме диссертации опубликованы три научные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников из 87 наименований. Объем диссертации 140 страниц, из них 44 рисунка. ...

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении дана общая характеристика диссертации, указано место проведенных исследований в механике контактного взаимодействия, а также приведено краткое содержание работы по главам.

В первой главе приведен .обзор современного состояния научных исследований в теории контактного воздействия на упругое полупространство в рамках плоской задачи. Из обзора следует, что наименее исследоваными являются контактные задачи для гладких абсолютно твердых тел и упругого полупространства при длительных временах взаимодействия и с несимметричной пространственно-временной областью контакта.

Далее дана математическая постановка плоской нестационарной контактной задачи. Рассматривается линейно упругое однородное изотропное полупространство, граница которого в прямоугольной декартовой системе координат Ох\Ж:хз совпадает с плоскостью х, = 0. Ось Ох| направлена в глубь полупространства, ось О хг - вдоль свободной поверхности. Движение среды описывается известными . волновыми уравнениями теории упругости относительно скалярного <р и ненулевой компоненты векторного потенциала у/ упругих перемещений.

Начальные условия при времени г=0 однородные, возмущения на бесконечности отсутствуют. Абсолютно твердое тело (ударник), ограниченное гладкой выпуклой поверхностью П, касается границы полупространства в точке О. Направляющая цилиндра задается явно в системе главных центральных осей Оу,у2уг Динамика ударника описывается начальной задачей Коши для абсолютно твердого тела.

Вследствие линейности задачи граничные условия сносятся на ; нозмущенную поверхность полупространства. Также предполагается, о область контакта односвязная. В первом приближении область •;:;такта П(т)=[Л1( г),Л, ( г)] определяется из условий пересечения направляющей ударника с осью Ох г-

Рассматриваются граничные условия двух типов: свободное проскальзование и жесткое сцепление. Соответствующие граничные условия имеют вид. Задача 1:

-тЛхг.т) '-г (йбП(г)), (1)

= (jc? efl(r)), =0 (х, б,Л").

Задача 2: > .. • ••••■••' -,,■ ■ ■;• : ' .....(2)

стуи;хг.г)|;.о'=о--'(х:гй(г)), j = 1,2

Здесь и,а ' компоненты вектора перемещений й0 точек поверхности полупространства под ударником в базисе ё, -

Для определения ц0 предлагается модель, основанная на. учете только дополнительного перемещения точек поверхности полупространства, вызванного движением ударника.

й,,* й(хг,т) = г*(т)-?„(г'), (г„(т).ё|) = 0, (3)

где г „ С г) - радиус-вектор точки M поверхности ударника, совпадающей в комент времени г с геометрической точкой пространства (хьХг); т -момент контакта точки M с невозмущенной поверхностью полупространства.

Задача замыкается связью результирующих реакций полупространства R и M с контактными напряжениями

Л,(г) -

л*(г> = (г?,/Ц,)+л/о(г).

(4)

М( (у = 1.2).

л

Поставленная выше контактная задача сведена к системе функциональных уравнений. Для этого рассматривались три вспомогательные начально-краевые задачи для определения функций

влияния т) = г)./ч(л-;.г) = |7,<,(дг,, г) = и,(х, ,г:, г)| „ упругой

полуплоскости, которые соответствуют следующим граничным условиям:

н,(.г,,хг,г)|1] 0 = <5{х;)<5(г), о-::(х„*2.т)|п=о=0 (я» = 1) (5)

»»(г.. х:, г) [ = 6( Х:)а( г) (т = 2) (6)

аи(.Г,.У;,г)| л = й„ДггЖг) (7)

где 5(т) - дельта-функция Дирака, ¿П1 - символы Кронекера.

Для нахождения (}"' и применялось интегральное

преобразование Фурье-Лапласа по переменным х - г с последующим использованием процедуры совместного обращения изображений. При этом принцип суперпозиции для контактных задач представлялся в следующем виде:

¿1;,(г:.г) = йГ(хг,г)*о(;)(х2.г) (8)

/71;,(л.г) = огЛй. Г)'ГА(Х!,Г) (9)

£> = {(/,£>еЛ2\1 е[0. г], £е[Ь,(1),Ь2Ш, (т=1,2;М = 1,т)

где Н( ) - характеристическая функция множества.

Система функциональных уравнений лключала в себя уравнения доижения ударника в интегральной форме, систему сингулярных

интегральных уравнений для определения контактных напряжений, следующую из принципа суперпозиции (9), и функциональные соотношения, описывающие кинематику контактирующих поверхностей и

геометрию области контакта О(т). В нее входят регулярные и

сингулярные интегральные операторы типа Вольтерра:

£""(/)^(г-о'/ол, (ю)

и £

/Г(?) = ¡1 -1 г-0ОФ. ^ ¥ 6 / е Л([0, г]).

о

Далее подробно исследован вопрос о характере особенностей ядер

г (")

операторов ^ , и показано, что их ядра имеют интегрируемую точечную особенность и сингулярности первого порядка, сосредоточенные на фронте волн Ре лея |*|= с, г.

Вторая глава посвящена исследованию сверхзвукового этапа взаимодействия. Получены достаточные условия на начальную кинематику ударника, выполнение которых обеспечиьаег существование сверхзвукового этапа для гладких ударников. Показано, что независимо от типа граничных условий, на начальном участке взаимодействия задача определения кинематических параметров движения ударника может быть решена отдельно от задачи определения контактных напряжений. Для этого использована связь между проекциями контактной реакции Л и

момента М и изображениями Фурье г) ксятактных напряжений: '

^

ъ = стГо(0, г). Л/о =' 1'ш-г- оГо(р. г) О = 1,"') (П)

Использование свойств преобразована Фурье и Лапласа применительно к принципу суперпозиции (8) приводит к следующим соотношениям:

Д« = - й. + и, &«) " (-1)' (12)

где S, ,у„ и J ч - моменты нулевого, первого и второго порядков области контакта Q относительно оси О у,; - кинематические параи-гтры

ударника; с, - скорости распространения упругих волн в упругой среде.

Таким образом, результирующие контакгкыо силы и момент являются линейными комбинациями кинематических параметров движения ударника с коэффициентами в виде геометрических характеристик области контакта. Последнее приводит к следующей начальной задаче для ударника:

Н = Л,Ё(0)=н,- = <?,«>), (13)

Л = Л(г,Н,Г), f = (S,Sn,J„).

На сверхзвуковом этаче взаимодействия краевые условия (I) и (2) могут быть заменены на граничные условия несмешанное характер... Зк» позволяет воспользоваться сверткой (8) и для кохт^хташс капрл:ке.чнЛ с<л (а = 2) получить следующее интегральное представление:

г) = - ула S* Л (х. »)#(/?} - Ы - 4 r-t)d¡¡-t- (14)

J„ i стдс т-t

iíl 0 r '

На основе формулы (14) проведено исследование ксчт?ктт'!1х напряжений в задаче о вертикальном движении симметричного в условиях жесткого сцепления. При этом длл i;ci:Ta:cnarx iií пряжений получен следующий результат (х > 0):

«i j-t У U'+í' )bi{ta)

где /!/'*' (л. г) - сингулярные интегралы, пснюдаеьгмс в смысле гл&пилго значения по Коши; ¡¡{а./;- некоторое функции от параметров а и / ; /„, -корень следующего уравнения />;(/<о)-х = 0.

Исследовано влияние типа граничных условий на параметры контактной задачи. Приведены примеры расчета задачи об ударе по упругому полупространству (сталь) эллиптического цилиндра с большой полуосью Л = 1 и эксцентриситетом е.

Проведенное параметрическое исследование динамики ударника и распределения контактных напряжений в случае вертикального удара позволяют сделать следующие выводы.

1) Учет жесткого сцепления качественно меняет картину вращательного движения ударника, но дает незначительное перераспределение нормальных контактных напряжений в сторону равномерного распределения последних под ударником.

2) Касательные контактные напряжения при вертикальном внедрении на порядок меньше нормальных.

3) Поведение контактных напряжений в окрестности границы области контакта не может быть исследовано численно в силу сингулярности интегралов г)-

4) Результаты расчетов, проведеных для твердых тел, ограниченных другим типом алгебраических поверхностей (парболический и гиперболический цилиндры), качественно не отличаются от соответствующих зависимостей для эллиптического ударника.

В третьей главе предложена явная разностная схема для интегрирования системы функциональных уравнений на произвольном временном интервале. При этом пространственно-временная область контакта 1)(т) в момент времени т=1„ = пИ (И - шаг) аппроксимировалась

многоугольником Д, = ШК.' 1де ~ элементаРные квадраты :

' !

К,, = {(./,(16)

Функциям одного

¿7ДО,УАО.т.о^О). Ом<£0 =

функции и',. V,, в' .О) И <4:

и нескольких переменных

1,2) ставились в соответствие сеточные

- п -

= )',(/,), о'= (к,.), со'= сои,), (П)

сг[ = а-„,(£,я.л), -(/) = ]-Ш0(12(Ы). Регулярным операторам и ставились в соответствие

разностные аналоги и 1, соответствующие формулам

прямоугольников:

У,=УЬХ (18)

1*1

Интегрирование в операторах ¿^""'проводилось по следующим множествам:

" $«.= {(/.#:' /„-/>14,-^1,'>0| = 5иррГ™(^-^/,-0 (19)

Ядра сингулярных операторов представлялись в виде

регулярной и сингулярной составляющих. Регулярные составляющие ядер Раат(тк являются ограниченными функциями на Л .„Л В™- где

= Поэтому соответствующие интегралы вычислялись

численно с заданной точностью £ с использованием двумерных квадратур типа Симпсона. Сингулярные составляющие находились аналитически.

Для аппроксимации по Нг„ рассматривалась следующая

вспомогательная задача для упругого полупространства:

«и.-/.«.. «.Ц=й.и=°. »«и= (20)

!/.(хь0 = О(1), ,*,->+* (а - 1,2), и с учетом (9) получен следующий результат:

Разностный аналог Д^а> оператора имел вид:

(22)

1,2\а*Р)\

= (23)

С использованием разностных операторов (18), (22) и "(23) построена явная разностная схема для системы функциональных уравнений:

(7? = {/Г1+Ак7. В" =01 +С,Г, Хт = и7 + Сг?"а, (24)

\Г" = >Г-07 + Сг?"т, = у: = уг'+ш(г. + п

где О" = - обобще1шый вектор перемещения ударника; у" - (У;

В" - вектор, описывающий геометрию области /)„; - вектор

перемещения точек поверхности полупространства под ударником; " вектор контактных напряжений в точке (*„,£„); 'Г, и Г - обобщенные вектора внешней и контактной нагрузки соответственно.

Вопрос о практической сходимости построенной разностной схемы рассматривался на примере двух задач. В начале решалась нестационарная одномерная задача для полуплоскости:

% = «и,*, • «ЛЬ = 4,0 = И,1«о = Т"Щ Т)' (25)

и1(х,г) = 0(1), *,->+«, к>\,

Показано, что погрешность разностной схемы (24) для задачи (25) зависит только от числа разбиений п. Приведены зависимости погрешности Дет от параметра к, показывающие сходимость полученного решения к точному.

дГ(^)=ХУЛ.-, о»,- У. ОТ). 1=1 /-к,

Аналогично аппроксимировался оператор (а,/? =

Также рассмотрена нестационарная задача с фиксированной площадкой контакта. Сравнение полученных зависимостей для контактных напряжений с результатами, полученными методами ортогональных многочленов, показывает хорошее совпадение.

Четвертая глава посвящена исследованию собственно нестационарных контактных задач для гладкого ударника и упругого полупространства на дозвуковом этапе взаимодействия.

Решена задача о вертикальном внедрении в упругое полупространство симметричного ударника. В качестве примера приведены результаты расчета для эллиптического цилиндра.

Исследован ряд задач о наклонном ударе по упругому полупространству эллиптическим цилиндром. В том числе построены распределения контактных напряжений в задаче о внедрении быстро вращающегося ударника = 0,05; 0,5; 45°; а)о = °Л)- Здесь

характерным является нал1гчие значительных градиентных изменений на зависимости оу;(х:, г)■

Проведена оценка влияния типа граничных условий на параметры контактной задачи на дозвуковом этапе внедрения.

В этой главе также исследован вопрос о допустимости использования на дозвуковом участке начальной задачи (13) . Показано, что использование модели сверхзвукового участка при свободном проскальзовании допустимо для определения кинематических параметров ударника лишь вдали от момента отскока.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Построена разрешающая система функциональных уравнений плоской нестационарной контактной задачи для гладкого выпуклого абсолютно твердого ударника и упругого полупространства в условиях свободного проскальзования и жесткого сцепления контактирующих поверхностей.

2. Получены достаточные условия существования сверхзвукового этапа взаимодействия при наклонном ударе.

3. На сверхзвуковом этапе взаимодействия получены несвязанные задачи определения кинематических параметров

- 1-1

ударника и контактных напряжений: задача Коши для ударника и интегральные представления напряжений.

4. Проанализировано влияние типа гранячных условий на параметры контактной задачи.

5. Предложен и реализован алгоритм интегрирования системы функциональных уравнений, основанный на дискретизации пространственно - временной области контакта. Показана его практическая сходимость на известных решениях.

6. Исследован ряд плоских контактных задач о симметричном и несимметричном ударе по упругому полупространству абсолютно твердым телом, при различных условиях контакта и произвольных временах взаимодействия, вплоть до отскока.

7. Проанализирована возможность использования модели сверхзвукового участка на дозвуковом этапе взаимодействия.

В заключении автор выражает большую благодарность научному руководителю профессору доктору физико-математических наук Горшкову А.Г. и научному консультанту профессору доктору физико-математических наук Тарлаковскому Д.В. за постоянное внимание к работе и ценные замечания и советы при ее написании.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Медведский АЛ. Плоская нестационарная контактная задача для абсолютно твердого тела и упругого полупространства // Мех. неодн. структур: Тезисы докл. III Всесоюзн. конф. (Львов, 17-19 сент. 1991 г.). -Львов, 1991. - С. 211.

2. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Влияние граничных условий на параметры нестационарной контактной задачи // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. - 1993. - N3. - С. 133-143.

3. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Наклонный удар абсолютно твердого цилиндра по упругому полупространству // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. - 1994. - N1. - С. 27-37.