Динамическое взаимодействие системы штампов и упругого полупространства тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

* *

I РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

^ 4 Ц ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи УДК 539.3

Павловская Екатерина Евгеньевна

ДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИСТЕМЫ ШТАМПОВ И УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

01.02.04 — Механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской

Академии Наук.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук Лавров Николай Александрович

Научный консультант — доктор физико-математических наук Индейцев Дмитрий Анатольевич

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук Петров Юрий Викторович — доктор технических наук, профессор Уздин Александр Михайлович

Ведущая организация — Сашй-Петербургский государственный горный институт (технический университет) им. Г.В.Плеханова

Защита состоится 22 декеЪря 1998 года в часов на заседание

Диссертационного совета Д 200. 17. 01 Института проблем машиноведенш РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомится в ОНТИ ИПМаш РАН.

Автореферат разослан 1998 года.

Учёный секретарь Совета, к.х.н. В. П. Глинин

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Многочисленные проблемы строительной механики, геофизики, акустики, горного дела, задачи контакта деталей машин требуют изучения процессов взаимодействия тел, контактирующих по нескольким удаленным областям. Данные задачи могут быть сформулированы как динамические задачи теории упругости для полупространства со смешанными граничными условиями. Нередко встречаются ситуации, когда размер зон контакта много меньше расстояний между ними, а характерный временной масштаб внешнего воздействия сравним со временем пробега упругой волны между областями контакта (и значительно превышает время пробега вдоль зоны контакта).

Трехмерные динамические задачи контакта тел конечных размеров успешно решаются численно методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и другими. Эти решения являются достаточно трудоемкими. Например, решение задачи методом интегральных уравнений предусматривает, во-первых, расчет ядер, выражающихся кратными несобственными интегралами от осциллирующих функций, и, во-вторых, решение сингулярных интегральных уравнений. В случае же нескольких удаленных областей контакта реализация численных решений сопряжена с принципиальными трудностями. Они связаны с необходимостью точного учета многочисленных отражений упругих волн от границ областей контакта. По этой причине актуальной является разработка новых подходов.

Перспективным представляется обращение к асимптотическим методам. Последние, с одной стороны, дают адекватное описание динамического процесса, а с другой стороны приводят к существенно более простым уравнениям, чем уравнения исходной трехмерной динамической задачи теории упругости (в соответствующем диапазоне изменения параметров). Асимптотический подход основывается на использовании малого геометрического параметра, равного отношению малого геометрического размера (диаметра области контакта) к большому характерному размеру (расстоянию между областями контакта). В силу предположения о сравнимости характерного временного масштаба внешнего возмущения и времени пробега упругой волны между областями контакта в данной задаче указанный малый параметр будет единственным.

Для изучения динамического взаимодействия тел, имеющих несколько удаленных областей контакта, рассматривается модельная контактная задача о динамическом взаимодействии нескольких штампов и упругого полупространства.

Сказанное определяет актуальность диссертационной работы.

Цель работы состоит в построении новой модели динамического взаимодействия системы штампов и упругого полупространства при длинно-

волновом возмущении, а также в решении ряда конкретных динамических задач, имеющих как иллюстративное, так и самостоятельное значение.

Научная новизна.

Разработана длинноволновая модель динамического взаимодействия системы штампов и полупространства, позволяющая учесть взаимное влияние штампов и распространение упругих волн в среде. Используются предположения о медленном изменении нагрузки во времени (в масштабе времени пробега упругой волны под штампом) и об удаленности штампов, позволящие воспользоваться асимптотическими методами для решения задачи.

Решен ряд новых модельных задач: рассчитан стационарный отклик системы удаленных круглых штампов (на полупространстве) на вертикальное гармоническое возбуждение (силовое, волновое и кинематическое), а также нестационарный отклик системы на вертикальный импульс (возбуждение силовое, волновое и кинематическое).

Все результаты, составляющие основу диссертации, получены впервые, что и определяет их научную новизну.

Научная и практическая значимость работы

Научная значимость результатов диссертации обусловлена построением новых асимптотических решений динамических контактных задач теории упругости. Г ~ 7* -

Практическая значимость результатов связана с возможностью использования предложенной модели в инженерных расчетах и для тестирования численных решений в задачах строительной механики, горного дела, акустики, а также в задачах контакта деталей машин.

Методика исследования состоит в использовании аппарата функции Грина для построения граничных интегральных уравнений рассматриваемой динамической контактной задачи теории упругости, а также в использовании асимптотических методов для упрощения построенной системы уравнений.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на XV Международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" (С.-Петербург, 1996), на XXV Международной Школе ученых-механиков "Анализ и синтез нелинейных механических систем" (С.-Петербург, 1997), на 14 Международной конференции "Structural mechanics in reactor technology" (Лион, 1997), на Ежегодном Конгрессе Немецкого Общества по Прикладной Математике и Механике GAMM 98 (Бремен, 1998), на XXVI Международной Школе ученых-механиков " Анализ и синтез нелинейных механических колебатель ных систем" (Санкт-Петербург, 1998), на семинаре кафедры "Теоретиче-

екая Механика" СПбУПС, на семинаре кафедры "Механика и Процессы Управления" СПбГТУ, на семинарах по механике ИПМаш РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти печатных работах.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка цитируемой литературы из наименований и приложений. Общий объём диссертации — страниц, включая рисунков.

2 Краткое содержание диссертации

Во введении дана общая характеристика работы. Сформулирована цель и основные направления исследований, составляющих содержание диссертации, дан литературный обзор различных подходов и методов решения задач динамического контактного взаимодействия круглых штампов и упругого полупространства. Приведено краткое описание работы по главам.

В рамках статической задачи теории упругости контактное взаимодействие штампов и полупространства изучалось И.Я.Штаерманом, Л.А.Га-линым, А.И.Лурье, G.Gladwell, K.Johnson и многими другими. Для изолированного штампа было построено точное решение задачи, а для системы удаленных штампов - асимптотические решения. Строгое обоснование асимптотических разложений выполнено И.И.Аргатовым и С.А.Назаровым.

Останавливаясь вкратце основных методах решения динамической контактной задачи о взаимодействии изолированного круглого штампа и полупространства необходимо отметить следующее. Первые попытки построения решения данной задачи были сделаны в работах E.Reissner, О.Я.Шех-тер, R.Arnold, G.Bycroft, G.Warburton, T.Sung, В.А.Ильичева и др., где принимались некоторые допущения о характере распределения контактных напряжений под штампом (равномерное или квазистатическое), а контактное условие на перемещение удовлетворялось приближенно либо в одной точке, либо в среднем по площади.

При построении решения использовалась техника интегральных преобразований (Лапласа по времени и Ханкеля по координате). Полученные парные интегральные уравнения преобразовывались в интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Последнее решалось различными приближенными методами (Н.М.Бородачев, Ю.С.Яковлев, В.Л.Лобысев, R.Westmann, J.Luco, Т.De и др.).

В работах В.М.Сей.мова, M.Oien, S.Krenk, H.Schmidt, Г.Я.Попова и др. после выполнения преобразования Лапласа по времени задача сводилась к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений на основе раз-

ложения решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных многочленов.

Наибольший интерес в практических приложениях вызывает взаимодействие между штампами на упругом полупространстве. Решения динамической задачи о двух жестких штампах на полупространстве при различных предположениях были получены в работах О.Я.Шехтер, В.А.Ильичева, G.Warburton, J.Richardson, J.Webster, T.Triantafyllidis и др.

С развитием вычислительной техники большое распространение получили численные решения трехмерных динамических контактных задач методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и др. (C.Duns, H.Wong, J.Luco, M.Ohmi, N.Tosaka, M.Ottenstrener и др.).

Особый вклад в развитие динамических контактных задач внесен ростовской школой механики (И.И.Ворович, В.А.Бабешко, В.М.Александров, Ж.Ф.Зинченко, Е.В.Глушков, О.Д.Пряхина и др.). Ими были разработаны эффективные методы решения смешанных задач и получен целый ряд новых решений для слоя.

Ключевым моментом при выводе граничных интегральных уравнений эластодинамики является построение фундаментальных решений соответствующих задач. Различные формы фундаментальных решений задачи Лэмба для полупространства получены в работах Г.И.Марчука, К.И.Огур-цова, Г.И.Петрашеня, Е.И.Шемякина, C.Pekeris, P.Richards и др.

На основе анализа лцтературныхданных_определены ,основные задачи настоящей работы.

В первой главе диссертации изучается динамическое взаимодействие круглого штампа и упругого полупространства при длинноволновом внешнем возмущении.

В параграфе 1.1 сформулирована динамическая трехмерная контактная (со смешанными граничными условиями) задача теории упругости. Она включает в себя дифференциальные уравнения динамики линейно упругой среды (уравнения Ляме), начальные и граничные условия (рассмотрен контакт со сцеплением, контакт гладких тел без трения и сцепления и пленочный контакт), условия отсутствия рассеянного поля и излучения на бесконечности, а также уравнения динамики штампа с соответствующими начальными условиями. Совместное решение указанных уравнений в принципе позволяет определить неизвестные перемещения штампа и среды, вычислить распределение напряжений как на границе, так и внутри полупространства.

При отсутствии массовых сил уравнения движения среды переписывается в интегральной форме: перемещение представляется в виде свертки (по времени и по координатам) тензора Грина (фундаментального решения нестационарной задачи Лэмба для полупространства) и поверхностной нагрузки. В случае, когда искомыми являются перемещение и напряжение в точках границы 2 = 0 полупространства, используется фундаментальное

решение, построенное в замкнутой форме [1]. На этой основе записывается интегральное уравнение контакта, связывающее неизвестные перемещения точек границы и неизвестные контактные напряжения. Тогда перемещение штампа и контактные напряжения определяются при совместном интегрировании уравнения контакта и уравнений динамики штампа с соответствующими начальными условиями. Следует отметить, что перемещения и напряжения внутри упругого полупространства при этом не вычисляются. (Впоследствии они могут быть найдены при решении динамической задачи для полупространства с несмешанными граничными условиями.)

Детальный анализ проводится для случая контакта без трения упругого полупространства г < 0 и дискообразного штампа с плоским основанием, расположенного на свободной от нагрузок границе х = 0. (Начало декартовой системы координат совпадает с центром штампа, оси х и у направлены вдоль поверхности полупространства, ось 2 - перпендикулярно). Движение штампа вызывается сейсмическим импульсом в среде (при этом внешнее воздействие задается перемещением шо границы 2 = 0), или вертикальной внешней силой, не создающей внешнего момента. Предполагается, что временной масштаб Т внешнего воздействия (перемещения границы щ = г/7о(£/Т) или внешней силы Рз = Рз(р/Т)) много больше, чем время пробега Н/с2 упругой волны сдвига (со скоростью с^) под штампом (радиуса К). С учетом характера внешнего возмущения, при построении решения задачи (под решением понимается перемещение и контактное напряжение) разыскивается гладкая (плавно меняющаяся во времени) часть решения. По этой причине в уравнениях вместо зависимости переменных от размерного времени 4 указывается зависимость от безразмерного времени ¿/Т. Таким образом, постановка задачи имеет вид1:

М

¿2

<Й2 Мк2 <Р 4 Л2 Мк2 <Р 4 ей2

«ф"

= Рзф

^гф

= - / 2/тфя.У)

5

= / эгегф X, у) ¿5,

(1)

иф + тф-яРгф-и^Н (2)

0 5

'Нижние индексы х, у, г и 1, 2, 3, соответствующие компонентам векторов, направленным вдоль осей х,у иг, для сохранения традиционных обозначений используются параллельно

U(0) = 0, v»i(0) = о, <^2(0) = 0, 1 ÎAo) = o, &pi(0) = 0, ^2(0) = 0

Здесь точки x = (z,y), x' = (x',y') принадлежат границе упругого полупространства, M - масса штампа, S - область контакта, вертикальное перемещение определяется смещением и центра масс штампа и углами малого поворота ц>\ и tp2 штампа относительно осей х и у, а - контактное давление, G(i', |х — х'|) - соответствующая компонента тензорной функции Грина (вертикальное перемещение рассматриваемой точки х границы полупространства в момент времени t', отвечающее вертикальной сосредоточенной силе, внезапно приложенной в момент времени t = 0 в некоторой точке х' границы и затем остающейся постоянной).

В параграфе 1.2 на основе сделанного предположения (Л/сг « Т) о характере приложенного внешнего воздействия проводится асимптотический анализ уравнения контакта (2).

Предварительно в правой части уравнения (2) изменяется порядок интегрирования по времени и по области, интеграл по времени берется по частям, и функция Грина G(t', |х — х'|) представляется в виде суммы:

G(f, |х - х'|) = Gst(|x - х'|)H{t') + [G(f, |х - х'|) - Gsi(|x - х'|)Я(г')],

где Gsi(|x — х'|) = 2тф[х-х'| ~ ФункДИЯ Грина статической задачи (решение Буссинеска), H(t) - функция Хэвисайда. Далее интеграл по времени от произведения a((t — t')/T, х') и выражения в квадратных скобках асимптотически оценивается (используется замкнутая форма функции Грина динамической задачи [1] для v < 0.263).

Асимптотические оценки выполняются в уравнениях, предварительно приведенных к безразмерному виду с использованием безразмерного времени г = t/T, безразмерных параметров и функций:

е = h/{Тсг) = о(1), /3 = M/(ph%

vo(r) = wo(t/T)/h, v(t) = u(t/T)/h, f(T) = F(t)/(h2»), тпх(т) = Mx{t/T)/{h*n), ту{т) = My(t/T)/(h3fx),

где fj, - модуль сдвига, р - плотность среды, F (t/T), Mx(t/T) и My(t/T) - сила и моменты относительно осей х я у, действующие на штамп со стороны упругого полупространства,

В полученном в результате асимптотических преобразований уравнении контакта учитываются только слагаемых 0(e). Структура этого уравнения такова, что можно воспользоваться хорошо известными (в случае

круглого плоского штампа) результатами решения статической контактной задачи [2], и выразить неизвестное перемещение штампа через силу и моменты, действующие на штамп со стороны полупространства. Распределение напряжений под штампом в этом случае оказывается таким же, как и в соответствующей статической задаче, а динамические эффекты описываются зависящим от времени множителем.

Таким образом из уравнения контакта (2), содержащего тройную свертку (по времени и координатам), асимптотическим путем получено следующее уравнение:

v{T) + - - «0(т) = l-^f(r) + (4)

,3(1-1/)

X у

Лту(т) + дт*(т)

-elA^m + Oie2),

где v - коэффициент Пуассона, точкой обозначена производная по безразмерному времени г, для постоянной А имеем

А = A{v) = | -0.5 - 0.5— + / q(s) ds - 2q3arccos{~) 1 < 0,

Л [ 01 сг/а 7 J

- J(s) = -qi(si-pl)-1/2 + q2(si-p2y1/2-q3tf-sr1/2,

где 7 = сг/ся, qn — 4n{v), Pm = Vm{v) - безразмерные постоянные [1], ci -скорость волны растяжения, сд - скорость волны Рэлея.

В параграфе L3 проводится анализ системы (1), (4). Из него следует, что задача определения вертикального перемещения распадается на отдельные задачи: определение поступательного смещения центра масс штампа v и определение углов поворота <р\ и Показано, что углы поворота при нулевых начальных условиях оказываются малыми величинами порядка

ои.

При построении уравнения для поступательного смещения v используется следующее асимптотическое представление:

Пт)-еЩ{т) + 0{е>) = /(т-еЩ. (5)

С учетом оценки (5) и уравнения (4) выводится уравнение для v:

+ тг^)+- гМт+' (6)

которое и описывает взаимодействие рассматриваемого штампа со средой в случае длинноволнового возмущения.

Параметр е в данном случае является неким масштабирующим параметром, изменение значения которого означает изменение плавности процесса (при этом решение строится каждый раз в соответствующем безразмерном времени). Наличие множителя г2 перед второй производной от перемещения V по медленному времени т и множителя е перед первой производной, позволяет правильно описать развитие процесса не только в масштабе медленного времени г, но и в реальном времени:

8к2ц\А\ йи 4/г/х АНц (г 2Л|.4|\

Возникновение в результате асимптотического анализа уравнения такой структуры представляется вполне обоснованным с физической точки зрения: слагаемые в левой части уравнения (7) можно интерпретировать, соответственно, как инерционные, диссипативные и упругие силы. Несмотря на отсутствие реально существующих сил трения в изучаемой системе (упругое полупространство - жесткий штамп), полученная диссипация в асимптотическом уравнении имеет ясный физический смысл: она описывает перенос энергии упругими волнами, распространяющимися в полупространстве. Полученные инерционные силы определяются массой рассматриваемого штампа, а упругие и диссипативные - свойствами упругой среды и радиусом штампа.

Далее полученное уравнение (6) анализируется, выписываются общее решение однородного уравнения, собственная частота и коэффициент демпфирования.

Непосредственная подстановка первого уравнения системы (1) в осред-ненное по площади штампа уравнение контакта (4), приводит к уравнению для перемещения V центра масс штампа, которое в безразмерных переменных имеет вид:

е^Щ^Л у (Т) - - „(т) = -ИЙ(Т). (8)

Неизвестное перемещение при решении данного уравнения можно найти, если вместо трех начальных условий (задаваемых обычно для уравнений третьего порядка) использовать два начальных условия (исходных), а также ограничение на функцию V, которое было сформулировано ранее в 1.1: функция V должна зависеть от медленного времени т — ¿/Т. Выполнение этого требования сводится к занулению коэффициента при растущей экспоненте, зависящей от быстрого времени т/е = сг</Л.

Решения уравнений (6) и (8) оказываются близкими, в обоих случаях искомая функция представляет собой сумму частного решения, обусловлен-

ного внешним воздействием, и неких затухающих во времени колебаний, частота и затухание которых зависят от параметров системы.

В параграфе 1.4 рассматриваются некоторые тестовые задачи, позволяющие проверить адекватность описания предложенной асимптотической моделью известных динамических процессов. Решения выбранных тестовых задач строятся разными способами (на основе уравнений (6) и (8)), и приводятся результаты сравнения этих решений.

Пример 1 демонстрирует переход системы в статическое состояние при волновом возбуждении вида

vq(г) = Я(т)Я(0.5 - т) sin2(7rr) + Н(т - 0.5). (9)

В примере 2 рассматривается переход системы в статическое состояние при заданной вертикальной внешней силе рз(т) = Рз(£/Т)/(/х/г2):

Рз(т) = [Н(т)Н(0.5 - т) sin2(7rr) + Н(т - 0.5)].

В примере 3 изучается реакция штампа на сейсмический импульс вида: и0(т) = Я(т)Я( 1 - т) sin2(7rr). (10)

В примере 4 рассмотрена стационарная задача о колебаниях штампа. Гармоническое возбуждение задается в виде vo (г) = ешт (где ш - безразмерная частота, т - безразмерное время). Выводится выражение функции Грина стационарной задачи через функцию Грина нестационарной задачи, рассчитываются частотные характеристики изучаемой системы.

В примере 5 рассмотрена нестационарная задача с нулевыми начальными условиями и гармоническим внешним воздействием vq (т) = ешт. Исследован динамический переход системы к колебательному движению с частотой ш.

Анализ результатов расчетов и сравнение с решениями В.М.Сеймова, В.А.Ильичева, G.Bycroft, C.Duns, I.Robertson, Liu Tierang и Zhang Xiangzhou позволяют сделать вывод об эффективности асимптотического уравнения (6) для описания динамического взаимодействия штампа и среды при длинноволновом возмущении.

Во второй главе диссертации рассматривается динамическое взаимодействие (контакт) упругого полупространства z < 0 и нескольких гладких (трение отсутствует) штампов, расположенных на границе z = 0. Штампы представляют собой абсолютно твердые тела. Предполагается, что размеры областей контакта S* (^ ~ номер штампа) существенно меньше расстояний между ними и что временной масштаб Т внешнего воздействия сравним со временем пробега упругой волны от одной области до другой.

В параграфе 2.1 приведена постановка задачи о контакте без трения и сцепления системы удаленных штампов и полупространства. Как и ранее в Главе 1 для определения неизвестных перемещений штампов необходимо решать совместно уравнения динамики штампов с соответствующими начальными условиями и уравнение контакта, связывающее между собой перемещение точек границы полупространства и контактные напряжения.

В параграфе 2.2 проводится асимптотический анализ уравнения контакта на основе сделанных предположений о характере внешнего воздействия и об удаленности штампов. Чтобы оценить перемещение w в точках области х € Sk, удобно выделить вклад в него от контактных напряжений в этой же области:

х) - Шоф = / // |х - х') dS(x')dt' +

О St

+ £'/// ^G(t',\x-x.'M^,x')dS(x')dt>, (11)

i=N

где введено обозначение Е = £ (как и ранее рассматривается случай

i=l, ijtk _____ _______ ...

V < 0.263). ..: ...........

Асимптотический анализ первого слагаемого в правой части уравнения (11) основывается на предположении о длинноволновом внешнем воздействии и аналогичен анализу, проведенному в Главе 1.

Второе слагаемое в правой части уравнения (11) оценивается на основе предположения об удаленности штампов. Предварительно интеграл по времени берется по частям, и функция Грина G(t', |х —х'|) представляется в виде суммы:

G(f, |х - х'|) = G(t', \хк - xi|) + [G(f, |х - х'|) - G(t', \хк - х;|)],

где х^ и X; радиус-вектора центров к-го и г-го штампов. Далее интегралы по времени и координатам от произведения сг(^-,х') и выражения в квадратных скобках асимптотически преобразуются. Как и ранее асимптотические оценки выполняются в уравнениях, приведенных к безразмерному виду с использованием безразмерного времени т = i/T, безразмерных параметров и функций:

£1 = Л/(С2Т), £2 = h/l, ¡3 = M/{ph3), b = e2/ei;

6i = Mi/M, 6i = hi/h, Rik = \xk-xi\/l,

Vi(T) = Ui(t/T)/h, v0(r) = wo(t/T)/h, fi(T) = Fi{t/T)/(h2ri,

mxi(r) = Mxi(t/T)/(h^), myi(r) = Myi(t/T)/(h3/z),

где М,- - масса г-го штампа, /г; - его радиус, М — тт{М,}, /г = тах{/г;}, I = шт{|х^ — х,|}, щ - вертикальное перемещение центра масс г-го штампа, ^(¿/Т), МХ1(1/Т) и Му,(4/Т) - сила и моменты, действующие на г-ый штамп со стороны полупространства.

Два независимых предположения (о характере внешнего возбуждения и об удаленности штампов), необходимые для проведения асимптотических преобразований, порождают, вообще говоря, два малых параметра £1 и £2- Однако условие Ь = Е1/Е2 = 0(1) (т.е. характерный период внешнего воздействия сравним со временем пробега упругой волны между областями контакта) позволяет избежать построения многомасштабных разложений.

Асимптотика уравнения контакта, учитывающая только члены 0(е:) и 0(е2), позволяет, как и ранее в Главе 1, воспользоваться хорошо известными результатами решения статической задачи для единичного штампа. Отметим, что в случае, когда слагаемые 0(е\) и 0(е%) отбрасываются, распределение напряжений под штампом остается таким же, как в статической задаче.

В параграфе 2.3 строится асимптотическое решение поставленной задачи.

Проведенный анализ показывает, что, как и ранее, задача определения вертикального перемещения распадается на отдельные задачи: определение поступательного смещения центра масс г^ и определение углов поворота и <¿>2к к-то штампа. При нулевых начальных условиях углы поворота и (р2к остаются асимптотически малыми (0(е\), О^)).

Использование асимптотической оценки, аналогичной (5), позволяет вывести уравнение, описывающее динамику к-го штампа:

5к(5е\щ(т) + £1-^МЦ(г) + —я*(т) = (1 — 1/)7Г 1 — 1/

40* ( ^ 2\А\9Л

= -«о Г + £1-— + (12

1 — и \ 7Г /

+е2--£ / д(т + е 1---з,1Ък)Ыз)<1з,

I — и 7Г

где функция Грина динамической задачи приведена к безразмерному виду (з = г/1):

1-й

З(т, з) = <?(«, =

1н(т-Ч)+1н[т-г) +

2 V с1 ь; 2 V ь)

Неизвестные контактные усилия /¿(т) удовлетворяют уравнениям второй закона Ньютона:

Правая часть уравнения (12) определяется внешним воздействием на систему (функция vo со сдвинутым аргументом) и влиянием соседних штампов (слагаемые суммы Е'). Дополнительное воздействие, обусловленно* взаимодействием штампов, вычисляется через результирующие контактные усилия (реакции основания). Взаимодействие рассматриваемого штампа со средой (без учета соседних штампов) описывается на основе предложенной в Главе 1 асимптотической модели. Соответствующие инерционные силы при этом зависят только от массы рассматриваемого штампа, г упругие и диссипативные - от свойств упругой среды (ц и v) и размеро! штампа (параметр вк — hk/h).

Полученные уравнения асимптотической модели (12), (13) решаются численно. Для построения'реккурентной схёмьГрасчета существенным является следующее: интеграл-свертка в правой**гаети (12) фактически зави-сит«не-0-Т-значений:функций /¿ в данный момент-времени, а от предысторш процесса™ . - ■

В третьей главе диссертации асимптотическая модель взаимодействш системы штампов и полупространства тестируется, и решается ряд новы? динамических задач.

В параграфе 3.1 рассматривается тестовая задача о динамическом пере ходе системы штампов в статическое состояние. Внешнее воздействие vq(t выбирается в виде (9).

Расчеты проводятся для трех систем штампов. Сначала рассматривается система из двух одинаковых штампов, далее - система, состоящая и: двух штампов одинакового радиуса, но разной массы, и, наконец, система состоящая из двух штампов одинаковой массы, но разного радиуса. При водятся результаты расчетов по предложенной модели.

Далее сравнивается динамический переход в статическое состояние изо лированного штампа и системы, состоящей из двух одинаковых штампо! (изучаются два случая: суммарная масса штампов равна массе изоли рованного штампа, и масса каждого из штампов равна массе изолирован ного штампа).

Результаты расчетов показывают, что построенная асимптотическая мо дель правильно описывает переход системы к статическому состоянию (пе реход этот происходит тем быстрее, чем меньше масса штампа и больше егс

/¿(г) =

(13

радиус), а также позволяют также сделать вывод о том, что для правильного описания системы штампов необходимо учитывать их взаимное влияние. Пренебрежение динамическим взаимодействием штампов через среду приводит к искажению реальной картины.

В параграфе 3.2 рассматривается стационарная задача о колебаниях системы штампов на полупространстве.

На границе г = 0 задается вертикальное перемещение г>о(т) = еыт (где ш - безразмерная частота, т - безразмерное время). Решение задачи ищется в виде:

= Ц(ш)ешт, и = Ъ(Ш)ешт.

Движение штампов описывает система уравнений, непосредственно следующая из (12), (13):

' ВД + е^М + 1]-еИ ВДЛН =

= ехр (14)

6к(Зе2{гш)2Ук(ш) = -Ь2Рк{ш).

Здесь

00

- Ки(ш) = гш/д(т,1ик)е-*"Г <1т

о

Рассмотрены две модельных задачи. N одинаковых штампов располагаются в вершинах правильного многоугольника, вписанного в некоторую окружность. В первой задаче, при сохранении расстояния между штампами и их радиусов фиксированными увеличивается количество штампов на окружности (при одновременном увеличении диаметра этой окружности) и изучаются амплитудно-частотные характеристики системы. Во второй задаче в вершинах правильного многоугольника, вписанного в окружность фиксированного радиуса, располагаются несколько одинаковых штампов N = 2,..Лгта1, причем суммарная масса этих штампов фиксирована. Радиус окружности выбирается так, чтобы для заранее выбранного максимального числа штампов Мтах выполнялось условие их достаточной удаленности. Изучается изменение амплитудно-частотных и фазо-частот-ных характеристик при перераспределении заданной массы на разное число штампов.

Проведенное исследование показало, что при гармоническом возмущении системы штампов, контактирующих с упругим полупространством, на амплитудно-частотных характеристиках кроме основного максимума на "собственной" частоте изолированного штампа наблюдаются дополнительные максимумы, обусловленные динамическим взаимодействием штампов через среду (посредством волнового процесса).

Рис.1 Зависимость контактного усилия / от времени т.

Рис.2 Зависимость перемещения 1'2 от времени т.

Перераспределение массы на разное число штампов позволяет изме нять частоту системы, на которой увеличивается амплитуда колебаний Таким образом, если известна частота внешнего гармонического воздей ствия, можно так подобрать конфигурацию системы, что амплитуда уста» вившихся колебаний будет заведомо попадать в желаемый диапазон.

В параграфе 3.3 изучается реакция системы штампов на вертикаль ный сейсмический импульс, задаваемый формулой (10). Рассматривает ся система N одинаковых штампов, расположенных на границе полупро странства в вершинах правильного многоугольника. Конфигурация систс мы штампов совпадает с конфигурацией в первой задаче параграфа 3.2.

Расчеты показывают, что импульсное воздействие вызывает в систем штампов затухающие колебания (рис. 1). В общем случае колебания в си стеме с большим числом штампов затухают медленнее, но возможно та подобрать параметры системы, что наложение волн, приходящих от сосед] них штампов, приведет к более быстрому гашению колебаний. Исследуете влияние массы (параметра ¡3) на движение штампов.

В параграфе 3-4 рассматривается взаимодействие двух одинаковых шта пов, в случае, когда перемещение одного из них (и^г)) задается формуло

(Ю). , ч

Рассчитано нестационарное перемещение второго штампа (рис.2) и ког тактные усилия под обоими штампами. Оценен вклад в контактное усили под первым штампом, вносимый колебаниями второго штампа. Из рис. видно, что волна Рэлея оказывает существенно большее воздействие н штамп, чем волны растяжения и сдвига.

В заключении подведен краткий итог работы.

Приведены результаты сравнения предложенной асимптотической мс дели и некоторых простых моделей динамического взаимодействия штаь пов и полупространства, построенных в приближении безынерционной уг ругой среды. Построенная асимптотическая модель отличается от послед них тем, что она позволяет учесть распространение волн в среде и обуслс вленную этим диссипацию.

Наиболее близкими к предложенной асимптотической модели являются приближенные модели В.JI.Лобысева и В.А.Ильичева, в основе которых лежит аппроксимация импульсной переходной функции системы штамп -полупространство. Следует отметить, что в определенной области изменения параметров результаты расчетов по предложенной асимптотической и вышеуказанным моделям не совпадают.

Сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

3 Основные результаты, выносимые на защиту

1. Разработана длинноволновая модель динамического взаимодействия изолированного круглого штампа, а также системы удаленных круглых штампов и упругого полупространства. Модель позволяет описать диссипацию энергии в среде за счет уноса энергии упругими волнами.

2. Рассчитан отклик системы удаленных круглых штампов на вертикальное гармоническое воздействие и на вертикальный импульс (возбуждение силовое, волновое и кинематическое). Проведено сравнение результатов расчета по асимптотической модели с результатами численных решений, выполненных другими авторами (в той области изменения параметров, где такое сравнение возможно). Сравнение показало эффективность предложенной асимптотической модели.

3. Изучены зависимости динамических свойств системы от инерции штампов, их размеров и взаимного расположения. Рассмотрены различные варианты размещения штампов на границе. Показано, как выбором конфигурации и рациональным распределением массы можно отстраивать систему от резонанса (в определенном диапазоне частот).

4. Проведено сравнение результатов расчета динамических процессов на основе предложенной асимптотической модели и на основе простых инженерных моделей. Сравнение указало на недостаточность описания динамического процесса простыми моделями.

Публикации.

Основные положения диссертации представлены в следующих публикациях:

1. Лавров H.A., Павловская Е.Е. Динамика сооружения, взаимодействующего с упругим грунтом посредством нескольких точечных опор. // Труды XV Междунар. конф. "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" (Санкт-Петербург, июнь 19-22, 1996), СПб: СПбГТУ. - 1996. - с. 118-120.

2. Павловская Е.Е. Нестационарная задача для системы удаленных шта: пов, расположенных на упругом полупространстве. // Труды XXIV Международной Школы ученых-механиков "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, июл! 1-8, 1997), СПб: ИПМаш РАН. - 1997. - с. 364-369

3. Lavrov N.A., Pavlovskaya Е.Е. An asymptotic approach to soil-structure dynamic interaction. // Proc. 14th Intern. Conf. "Structural mechanics in reactor technology" (Lyon, August 17-22, 1997), vol.7, Lyon: IASMIRT. -1997. p. 299-306

4. E.E.Pavlovskaya. Dynamic contact pressure between two solids having a few small areas of contact. // Abstracts of Annual Meeting of German Society for Applied Mathematics and Mechanics GAMM 98 (Bremen, April 6-9, 1998), Bremen: GAMM. - 1998. - p. 99

5. Лавров H.A., Павловская Е.Е. "Динамика системы удаленных штампов на упругом полупространстве". // Журнал прикладной механики и технической физики, 1999, (в печати).

Цитируемая литература. ......... ...........-.•••. ...

[1] Richards P.G; Elementary solutions to Lamb's problem for a point source and their relevance to three-dimensional studies ¿f spontaneous crack propagation // Bulletin of the Seismological Society of America, 1979, v. 69, N 4, p. 947-956.

[2] Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости.

- М.: Наука, 1980. - 304 с.

/

¡-V. Ч.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи

Павловская Екатерина Евгеньевна

ДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИСТЕМЫ ШТАМПОВ И УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

01.02.04 — Механика деформируемого твёрдого тела

Диссертация

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н. Лавров H.A.

Научный консультант д.ф.-м.н. Индейцев Д.А.

Санкт-Петербург 1998

Оглавление

Введение. 4

1 Движение штампа конечной массы на упругом полупространстве. 9

1.1 Постановка задачи................................................................9

1.2 Асимптотический анализ уравнения контакта.........................16

1.3 Построение асимптотического решения........................................22

1.4 Некоторые задачи динамического взаимодействия изолированного штампа и полупространства......................................33

1.4.1 Переход в статическое состояние 1.............................33

1.4.2 Переход в статическое состояние 2.........................36

1.4.3 Реакция на импульсное возбуждение..................................42

1.4.4 Стационарная задача......................................................45

1.4.5 О некоторых известных решениях......................................51

2 Движение нескольких удаленных штампов конечной массы на упругом полупространстве. 57

2.1 Постановка задачи................................................................57

2.2 Асимптотический анализ уравнения контакта................................58

2.3 Построение асимптотического решения................................72

3 Некоторые задачи динамического контактного взаимодействия. 77

3.1 Динамический переход системы штампов в статическое состояние .... 77

3.2 Задачи о гармоническом возбуждении системы штампов....................82

3.3 Реакция системы штампов на заданный сейсмический импульс............93

3.4 Определение перемещения штампов при заданном законе движения одного из них........................................................................98

Заключение. 102

Литература. 108

Приложения. 116

Введение.

Многочисленные проблемы строительной механики, геофизики, акустики, горного дела, задачи контакта деталей машин требуют изучения процессов взаимодействия тел, контактирующих по нескольким удаленным областям. При этом нередко встречаются ситуации, когда размер зон контакта много меньше расстояний между ними, а характерный временной масштаб внешнего воздействия сравним со временем пробега упругой волны между областями контакта (и значительно превышает время пробега вдоль зоны контакта).

В настоящее время существуют различные способы описания контактного взаимодействия. Этот процесс является сложным и при его моделировании необходимо, вообще говоря, учитывать не только упругие, но и пластические деформации, а также микроразрушения и термодинамические эффекты. Однако в ряде задач возможно получить адекватное описание процесса, ограничиваясь рамками линейной трехмерной задачи динамической теории упругости.

В случае, когда размеры одного из рассматриваемых тел намного превышают размеры другого, например при изучении взаимодействия сооружения с грунтом (основанием), или в случае, когда за время протекания процесса возмущения не успевают достичь границ одного из тел, широко применяется модель упругого полупространства.

При изучении динамического взаимодействия тел, имеющих несколько удаленных областей контакта, часто рассматривают модельную контактную задачу о динамическом взаимодействии нескольких удаленных штампов и упругого полупространства. Жесткий штамп является хорошо изученным объектом, для которого легко выписываются уравнения движения, и обладает, в отличие от объектов с распределенными параметрами, конечным числом степеней свободы. Но несмотря на это, использование модели жесткого штампа позволяет описать с достаточной достоверностью многие реальные объекты.

Трехмерные динамические задачи контакта тел конечных размеров успешно решаются численно методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и другими. Эти решения являются достаточно трудоемкими. Например, решение задачи методом интегральных уравнений предусматривает, во-первых, расчет ядер, выражающихся кратными несобственными интегралами от осциллирующих функций, и, во-вторых, решение сингулярных интегральных уравнений. В случае же нескольких удаленных областей контакта реализация численных решений сопряжена с принци-

пиальными трудностями. Они связаны с необходимостью точного учета многочисленных отражений упругих волн от границ областей контакта. По этой причине актуальной является разработка новых подходов.

Перспективным представляется обращение к асимптотическим методам. Последние, с одной стороны, дают адекватное описание динамического процесса, а с другой стороны приводят к существенно более простым уравнениям, чем уравнения исходной трехмерной динамической задачи теории упругости (в соответствующем диапазоне изменения параметров). Асимптотический подход основывается на использовании малого геометрического параметра, равного отношению малого геометрического размера (диаметра области контакта) к большому характерному размеру (расстоянию между областями контакта). В силу предположения о сравнимости характерного временного масштаба внешнего возмущения и времени пробега упругой волны между областями контакта в данной задаче указанный малый параметр будет единственным.

Целью настоящей работы является построение новой модели динамического взаимодействия системы штампов и упругого полупространства при длинноволновом возмущении, а также решение ряда конкретных динамических задач, имеющих как иллюстративное, так и самостоятельное значение.

Методика исследования состоит в использовании аппарата функции Грина для построения граничных интегральных уравнений рассматриваемой трехмерной динамической контактной задачи теории упругости, а также в применении асимптотических методов для упрощения построенной системы уравнений.

Необходимо подчеркнуть, что при изучении контактного взаимодействия предполагается, что в рассматриваемые моменты времени не нарушается условие контакта, т.е. не происходит отскок штампа от поверхности полупространства. Это условие (непрерывности контакта) будет выполняться в тех случаях, когда на систему действует статическая нагрузка достаточной величины. В реальных системах такое статическое нагружение осуществляется силой тяжести.

При анализе опубликованных в литературе результатов исследований по данной тематике прежде всего необходимо остановиться на различных подходах и методах решения задач динамического контактного взаимодействия круглых штампов и упругого полупространства.

В рамках статической задачи теории упругости контактное взаимодействие штампов и полупространства изучалось И.Я.Штаерманом [1], Л.А.Галиным [2], А.И.Лурье [3], G.Gladwell [4], K.Johnson [5] и многими другими. В указанных фундаментальных

монографиях были заложены основы теории контактных задач. К настоящему времени для изолированного штампа построено точное решение задачи, а для системы удаленных штампов - асимптотические решения. Строгое обоснование асимптотических разложений выполнено И.И.Аргатовым и С.А.Назаровым [6].

Основные методы решения динамической контактной задачи о взаимодействии изолированного круглого штампа и полупространства рассмотрим более подробно. Первые попытки построения решения данной задачи были сделаны в работах E.Reissner [7], О.Я.Шехтер [8] - [11], R.Arnold, G.Bycroft, G.Warburton [12], [13] , T.Sung [14], P.Quinlan [15], В.А.Ильичева [16] и др., где принимались некоторые допущения о характере распределения контактных напряжений под штампом (равномерное или квазистатическое), а контактное условие на перемещение удовлетворялось приближенно либо в одной точке, либо в среднем по площади.

Техника интегральных преобразований (Лапласа по времени и Ханкеля по координате) использовалась при построении решения в более поздних исследованиях. Полученные парные интегральные уравнения преобразовывались в интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Последнее решалось различными приближенными методами (Н.М.Бородачев [17] - [24], В.Б.Поручиков [25], В.Н.Закорко, Н.А.Ростовцев [26], [27], I.Robertson [28], G.Gladwell [29], M.Gutzwiller [30], Ю.С.Яковлев, В.Л.Лобысев [31] -[33], R.Westmann, J.Luco [34], T.De [35], T.Liu, X.Zhang [36] и др.).

В работах В.М.Сеймова [37] - [40], M.Oien [41], S.Krenk, H.Schmidt [42], Г.Я.Попова [43], [44] и др. после выполнения преобразования Лапласа по времени задача сводилась к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений на основе разложения решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных многочленов.

В практических приложениях указанной тематики наибольший интерес вызывает движение штампа, вызванное силой, приложенной в некоторой точке границы среды, и взаимодействие нескольких штампов, расположенных на упругом основании. Решения динамической задачи о двух жестких штампах на полупространстве при различных предположениях были получены в работах О.Я.Шехтер [45], В.А.Ильичева [46], [47], G.Warburton, J.Richardson, J.Webster [48], [49], T.Triantafyllidis [50], [51] и др. Гармонические колебания штампа под действием упругих волн, распространяющихся от силы, приложенной на большом расстоянии от штампа, исследованы Г.Б.Муравским [52], [53].

С развитием вычислительной техники большое распространение получили численные решения трехмерных динамических контактных задач методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и др. (C.Duns [54], H.Wong, J.Luco

[55], ХЬувшег [56], М.ОЬш, К.Тоэака [57], M.Ottenstrener [58], КагаЬаИв Б., Вевкоэ Б. [59] и др.).

Особый вклад в развитие динамических контактных задач внесен ростовской школой механики (И.И.Ворович [60], В.А.Бабешко [61], В.М.Александров [62], Ж.Ф.Зинченко, Е.В.Глушков [63], О.Д.Пряхина и др.). Ими были разработаны эффективные методы решения смешанных задач и получен целый ряд новых решений для слоя.

Ключевым моментом при выводе граничных интегральных уравнений эластодинами-ки является построение фундаментальных решений соответствующих задач. Различные формы фундаментальных решений задачи Лэмба для полупространства получены в работах Г.И.Марчука, К.И.Огурцова, Г.И.Петрашеня [64], [65], Е.И.Шемякина [66], С.Рекеш [67], Р.ШсИагс^ [68] и др.

Более полные обзоры можно найти в посвященных контактным задачам монографиях, например [60], [62], [63], [37] - [39], [69] - [71].

К настоящему времени достаточно подробно изучены все четыре формы стационарных колебаний изолированного круглого штампа, расположенного на упругом полупространстве: колебания вдоль и вокруг вертикальной и горизонтальных осей. Найдено решение целого ряда задач динамики. Однако при изучении большинства из них принимались упрощающие допущения, например о характере распределения контактных напряжений. Взаимодействие нескольких штампов рассматривалось приближенно при дополнительных упрощающих предположениях. Таким образом, проведенное в настоящей диссертационной работе исследование динамики системы штампов на упругом полупространстве в рамках трехмерной динамической теории с применением асимптотических методов представляется актуальным. Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в [72] - [74].

В первой главе диссертации рассмотрено динамическое взаимодействие круглого штампа и упругого полупространства при длинноволновом внешнем возмущении. В 1.1 сформулирована динамическая трехмерная контактная (со смешанными граничными условиями) задача теории упругости.В 1.2 на основе сделанного предположения о характере приложенного внешнего воздействия проведен асимптотический анализ интегрального уравнения контакта. В 1.3 построено уравнение для поступательного смещения центра масс штампа, описывающее взаимодействие рассматриваемого штампа со средой в случае длинноволнового возмущения. В 1.4 рассмотрены некоторые тестовые задачи, позволяющие проверить адекватность описания предложенной асимптотиче-

ской моделью известных динамических процессов. Проведено сравнение полученных результатов с известными решениями В.М.Сеймова, G.Bycroft, C.Duns, I.Robertson, Liu Tierang и Zhang Xiangzhou.

Во второй главе диссертации рассмотрено динамическое взаимодействие (контакт) упругого полупространства и нескольких штампов, расположенных на границе. В 2.1 приведена постановка задачи о контакте системы гладких удаленных штампов и полупространства. В 2.2 приведен асимптотический анализ уравнения контакта на основе сделанных предположений о характере внешнего воздействия и об удаленности штампов. В 2.3 построено асимптотическое решение задачи о динамическом взаимодействии системы штампов и полупространства.

В третьей главе диссертации асимптотическая модель взаимодействия системы штампов и полупространства протестирована, а также решен ряд новых динамических задач. В 3.1 рассмотрена тестовая задача о динамическом переходе системы штампов в статическое состояние. В 3.2 исследована стационарная задача о колебаниях системы штампов на полупространстве. В 3.3 изучена реакция системы штампов на вертикальный сейсмический импульс. В 3-4 рассмотрено взаимодействие двух одинаковых штампов, в случае, когда перемещение одного из них задано.

В заключении подведен краткий итог работы. Сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Глава 1

Движение штампа конечной массы на упругом полупространстве.

1.1 Постановка задачи.

Рассматривается динамическое взаимодействие (контакт) упругого полупространства г < Ои круглого штампа с плоским основанием, расположенного на границе г = 0. Штамп представляет собой абсолютно твердое тело.

Уравнения движения среды в перемещениях при отсутствии объемного нагружения имеют вид:

д2и

{\ + = р-^р, (1.1) и(£, х, у, г) = ых^, х, у, г)\ + ги2(г, х, у, г)} + х, у, г)к,

где и - вектор перемещений точек среды, Л - константа Ляме, ц - модуль сдвига, р -плотность среды.

До начального момента времени £ = О среда находится в покое:

4<о = 0> (1-2)

при t > О рассматривается контакт недеформируемого штампа и полупространства. При изучении контакта со сцеплением граничные условия на поверхности полупространства г = 0 формулируются как равенство перемещений штампа х,у) и среды и в области контакта Б и отсутствие напряжений вне области контакта1:

4=0 = ^>1/) {х,у)е Б, (1.3)

1Нижние индексы х, у, г и 1, 2, 3, соответствующие 1,и к-ым компонентам векторов и тензоров, для сохранения традиционных обозначений используются в данной работе параллельно

Tz\z=0 = 0 (x,y)£S,

tz = к • T = rxz(t, x, y)i + Tyz(t, x, y)j + cr(t, x, у)k,

где T - тензор напряжений в упругой среде, к - нормаль к поверхности полупространства z = 0. В случае рассмотрения контакта гладких тел - без трения и сцепления -имеем граничные условия в следующем виде:

Txz = Tyz = 0 • — ОО < X , у < ОО, Z = 0

w = f3(t,x,y) (x,y)es, (1.4)

aUo = 0 (x,y)<£S, f3(t,x,y)= kf,

при пленочном [63] контакте:

<j = ryz = 0 — oo < x ,y < oo, z = 0

wi = fi(t,x,y) (x,y)ES, (1.5)

Txz\z=o = 0 (x,y)£S,

fl(t,X,y) = i f.

Чтобы полностью замкнуть постановку задачи, необходимо к записанным уравнениям (1.1), начальным (1.2) и граничным условиям ((1.3), (1.4) или (1.5)) добавить условие на бесконечности

и ->• 0, R = ^x2 + у2 + z2 оо. (1.6)

В случае, когда прикладываемое возбуждение является гармоническим, это условие заменяется на известное условие излучения [63].

Перемещение штампа f в данной динамической задаче, вообще говоря, является неизвестным. Для того, чтобы определить все искомые величины, необходимо решать совместно выписанные уравнения движения среды и уравнения динамики твердого тела.

Рассмотрим более подробно движение штампа и приведем уравнения, описывающие его динамику. Предположим, что в начальный момент времени круглый плоский штамп покоится на упругом полупространстве. Введем две системы координат: одну (x,y,z), связанную с полупространством, а другую (£, г}, С), связанную со штампом (рис. 1.1), так что при t = 0

£ = г) = у, С = z + a. 10

Рисунок 1.1: Расположение штампа на полупространстве.

В момент времени t = 0 радиус-вектор r(£, r¡, Q описывает положение точек диска, а радиус-вектор p(t,x,y,z)\t=o - положение точек полупространства. Нижняя грань штампа находится в контакте с поверхностью z = 0:

r(£, V, -а) = Р(0, х, у, 0) = XI + yj

В произвольный момент времени t радиус-вектор R(t, r¡, ("), описывающий положение точек штампа, равен

R(t, <£, rj, С) = R(t, 0,0,0) + P(t) • [r(e, V, С) - г(0,0,0)]

P(í) = Е + V>(*) х Е, tp{t) = v>i(t)i + ip2{t)i + <p3(t)k,

где R(t, 0,0,0) = Rc(t) - радиус-вектор центра масс штампа в момент времени t, г(0,0,0) = rc = ак - радиус-вектор центра масс штампа в момент времени t = 0, Р (t) - тензор малого поворота, <p(t) - вектор малого поворота, Е - единичный тензор второго ранга.

Рассмотрим движения центра масс штампа общего вида

Rc(t) = «i(í)i + u2(t) j + [u(t) + a] k,

в данном случае центр масс штампа смещается вдоль оси х на величину Ui(t), вдоль оси у на величину мг(^) и вдоль оси z на величину u(t).

При контакте со сцеплением радиус-вектор р(£,ж,у,0), определяющий положение точек поверхности г = О, совпадает с радиус-вектором R(t, 77, — а), определяющим положение точек нижней грани штампа, в каждый момент времени Р.

p(t,x,y, 0) = R{t,Z,r},-a) = Rc{t)+T>{t)-[r(Z,i1,-a)-rc} = = u1(t)i + u2(t)j + (u(t)+a)k +

+ [Е + (pi(i)(kj - jk) + ^2(i)(-ki + ik) + ¥>3(