Динамические контактные задачи для тонкостенных конструкций с пористым заполнителем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 539.3

КРАХМАПЕВ Сергей Юрьевич

Динамические контактные задачи для тонкостенных конструкций с пористым заполнителем

02.04 - "Механика деформируемого твердого тела"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете на кафедре сопротивления

материалов.

Научный руководитель:

д.т.н., профессор Скворцов Виталий Радиевич

Официальные оппоненты:

д.т.н., профессор Вилков Сергей Михайлович к.т.н., доцент Фрумен Александр Исаакович

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита диссертации состоится " Р^^ЯиЯ 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета Д.212.228.02 в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу: 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке СПбГМТУ.

Автореферат разослан "/5 2005

г.

Учёный секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

С.Г. Кадыров

ЧаъИ

£4 4 666

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Практика проектирования современных инженерных сооружений на основе трехслойных и подобных им конструкций с легким пористым заполнителем делает актуальным исследование их поведения при ударном взаимодействии с твердыми телами Наиболее распространенными примерами таких конструкций являются трехслойные пластины - важнейший элемент многих судовых, авиационных и других транспортных сооружений, а также двухслойные покрытия. Другим, менее известным примером, может послужить транспортный упаковочный комплект для перевозки радиоактивных материалов (рис. 16-17).

Точное аналитическое решение сложной задачи прогнозирования повреждений трехслойных конструкций, вызванных механическими ударными воздействиями, невозможно Главное затруднение для решения проблемы с помощью численных методов (например, с использованием современных конечноэлементных комплексов) заключается в том, что его реализация требует дополнительных сведений о свойствах материалов, которые, как правило, отсутствуют. Немаловажно и то, что использование результатов такого рода численных расчетов для прогнозирования влияния различных параметров на процесс ударного взаимодействия встречает большие трудности. Поэтому, наряду с основным экспериментальным методом и численным решением задач являются актуальными исследования, направленные на создание методик, позволяющих получить приближенные, но эффективные решения с помощью аналитических методов. При этом очевидно, что подобные исследования не могут быть проведены в рамках единого, общего подхода к описанию деформирования заполнителя в составе трехслойной конструкции. Это объясняется, с одной стороны, разнообразием постановок рассматриваемых задач, с другой -необходимостью выбора разумной меры между трудоемкостью расчета и практической значимостью ожидаемого результата. Эта идея во всей работе была ведущей; она объединяет на первый взгляд не связанные исследования, проводимые в диссертации. В связи со сказанным, актуальным также является построение иерархического подхода при описании работы заполнителя. Это диктуется как необходимостью разработки эффективных методов

изучения закономерностей изменения основных механических величин, характеризующих прочность трехслойных конструкций при динамическом контактном взаимодействии с твердыми телами, так и необходимостью учета главного и пренебрежения второстепенным.

Цель работы. Основные цели работы состоят в следующем:

- изучение локального напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин при динамическом взаимодействии с твердыми телами; при этом, общий прогиб пластины исключен;

- разработка методов оценки баллистического предела трехслойной пластины и величины механической энергии, приходящейся на волновой процесс, при ее пробивании;

- моделирование реологического поведения пористого материала с неупругой объемной сжимаемостью на основе стандартных тестов механики материалов;

- разработка прикладной методики оценки повреждений наружной части транспортного упаковочного комплекта при его падении на жесткое основание и ударе стержнем.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории упругости и механики конструкций, аппарат интегральных преобразований, специальные функции математической физики, а также численные методы.

Научная новизна работы заключается в следующих результатах, выносимых на защиту:

- исследовано локальное напряженно-деформированное состояние трехслойной пластины с различными моделями работы пористого заполнителя при динамическом взаимодействии с твердыми телами; при этом заполнитель рассматривался в рамках линейной и нелинейной теории упругости, в простейших моделях считалось, что глобально, заполнитель работает только на сдвиг;

- на основе подхода С П. Тимошенко разработана методика решения задач о пробивании трехслойных пластин твердыми телами более общая, чем существовавшие ранее;

- проведено исследование реологического поведения пористого материала с неупругой объемной сжимаемостью;

- разработана методика и решен ряд задач прикладного характера, связанных с оценкой повреждений трехслойных пластин, а также наружной части транспортного упаковочного комплекта

Достоверность результатов. Большинство результатов, полученных на основе общепризнанных методов механики деформируемого твердого тела и конструкций, подтверждены экспериментально или косвенно, сопоставлением с результатами решения по методу конечных элементов.

Практическая ценность работы. Результаты работы развивают методику расчета трехслойных конструкций при их динамическом контактном нагружении в направлении нормали к несущим слоям и позволяют оценить:

- величину внешней нагрузки, при которой заполнитель начинает разрушаться;

- величину баллистического предела трехслойной пластины и обосновано выбрать условия лабораторного эксперимента, обеспечивающих воспроизведение заданных параметров удара;

- деформацию наружной части транспортного упаковочного комплекта при ударе стержнем и падении на жесткое основание.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры сопротивления материалов СПбГМТУ (СПб., 2004); научно-технической конференции по строительной механике корабля "Бубновские чтения" (СПб., 2004); ХХ-ой международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (СПб.,2003); конференции "Кораблестроительная наука и образование" (СПб., 2003); международной конференции "Advanced Problems in Mechanics - 2002" (Репино, 2002); Vlll-ой международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 2002); школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, содержит 110 страниц, 48 рисунков, 3 таблицы и список литературы, включающий 85 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы и сформулированы основные цели диссертационной работы.

В первой главе проведен обзор публикаций по вопросам локального изгиба тонкостенных конструкций на деформируемом основании, а также некоторых распространенных подходов, которые могут быть использованы при расчете тонкостенных конструкций с пористым заполнителем. Отмечается, что к настоящему времени проблема выбора расчетной модели основания (заполнителя) решается неоднозначно. В случае линейно-деформируемого основания распространены два подхода, основанных на классических моделях Винклера-Пастернака и изотропного упругого слоя. С первым подходом связанны работы В.З Власова и H.H. Леонтьева, М.М. Филоненко-Бородича. Вопросам дальнейшего развития этой модели в рамках теории упругости уделено большое внимание в работах К.Е Егорова, Ю.А. Наумова, Ю.А. Шевлякова, Г.Я. Попова, А.И. Цейтлина, а применительно к трехслойным панелям в работах X. Аллена, Д. Зенкерта и др. авторов. При исследовании локального напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин представляет интерес модель основания в виде изотропного упругого полупространства, развитая в работах, Б.Н. Жемоч-кина, Б.Г. Коренева, П.И. Клубина, А.П. Филиппова. Из более поздних здесь также необходимо отметить работы В.Р. Скворцова, С.В Сорокина и их учеников.

Численному моделированию передачи интенсивных динамических воздействий от одного наружного слоя трехслойной пластины к другому уделено большое внимание в работах С.М. Вилкова и его учеников.

В общей постановке задачи динамического контактного взаимодействия твердых тел с трехслойными и подобными им конструкциями приводят к исследованию сложных нестационарных краевых задач. Значительные достижения в этой области связаны с основополагающими работами В.М. Александрова, И.И Ворови-ча, А Г. Горшкова, В.И Пожуева, Э.И. Григолюка, Д.В. Тарлаковско-го, Л.И. Слепяна, В.Д. Кубенко, М.А. Ильгамова, А Я Сагомоняна, H.A. Кильчевского, С.П. Тимошенко и др. авторов.

Во второй главе рассматривается локальный цилиндрический и осесимметричный изгиб неограниченной в плане пластины на упругом слое в составе трехслойной конструкции при действии статических и динамических сосредоточенных нагрузок.

Первый пункт главы является вспомогательным. Здесь приве-

дены постановка и решение двух статических задач: цилиндрического изгиба пластины на слое конечной толщины под действием распределенной вдоль линии силы и задачи осесимметричного изгиба под действием сосредоточенной силы. Разрешающие уравнения выведены с использованием теории Кирхгоффа для самой пластины и решения уравнений теории упругости в форме Папковича-Нейбера для упругого слоя. Явные выражения основных механических переменных, характеризующих жесткость и прочность при изгибе, получены с помощью интегральных преобразований Фурье и Ганкеля. Далее найденные решения асимптотически упрощаются с учетом того, что наружный слой является относительно тонким и жестким в плане. Основная цель пункта состоит в количественной оценке влияния на конечный результат моментной нагрузки, связанной с действием касательных напряжений на контактной поверхности, учета растяжимости наружного слоя "сэндвича" и ограниченности толщины заполнителя. Последнее существенно в связи с изучением возможности сведения анализа напряженно-деформированного состояния пластины на слое конечной толщины к подобному анализу для пластины на полупространстве, что, несомненно, является более простой и изученной моделью.

Рис. 1 Обозначения для основных переменных в плоской и осесиммет-

ричной задачах

Во втором пункте главы дано решение рассматриваемых задач в упрощенной (в указанном выше смысле) динамической постановке. Дополнительно, априорно принимается, что инерционные свойства легкого пористого заполнителя не оказывают существенного влияния на локальный упругий отклик трехслойной пластины. Линейные дифференциальные уравнения малых поперечных колебаний наружного слоя имеют вид

Р(1)

▼г

DfЛЛwf + - ст =

8(г)/2яг

8(х)/2Ь ' (1)

где йг и р? - изгибная жесткость и плотность наружного слоя, Ь -ширина панели в случае плоской постановки, 8 - дельта-функция Дирака, А - дифференциальный оператор Лапласа, равный А = 0*18х4 для плоской задачи и А = 1/г д/дт (гд/дг) в случае осесим-метричной задачи. Отметим, что для плоской постановки рассматривается только половина пластины (0 < х < <»). Остальные обозначения приведены на рис. 1 На основе аппарата операционного исчисления и интегральных преобразований Фурье и Ганкеля по пространственной координате даны явные выражения для прогиба и межслойных нормальных напряжений при единичном импульсном воздействии, а также для произвольно заданного закона изменения нагрузки во времени. Далее, полученные решения обобщаются на случай динамического взаимодействия с точечным ударником массы т с начальной скоростью у0, движение которого описывается следующим уравнением

пш0 = -Р(0, (0) = у0 , \у0 (0) = 0, (2)

где - прогиб наружного слоя в точке удара Изображающие равенства, соответствующие уравнениям (1) и (2) в точке удара, а также статической связи между изображениями межслойных напряжений и прогиба для плоской задачи записываются так

р^у2/^^)' х0 р2^(р,е) + у2

ь ._ ту0 у2 2 _ рАхоЬ

(3)

рь = " ^-'-, у

Ц р2^ь(р,е) + у2 ' Ш

Для осесимметричной постановки получаются такие же зависимости с точностью до замены ^, g\ ->§2 и Ь-»2 х0. Переменные и параметры, входящие в формулы (3), имеют вид

Р = Р*0. ¡Щ^^о-М.^^. (4)

V Е, у Е, Ъс

где р - безразмерный параметр при интегральном преобразовании Лапласа, Е, - приведенный модуль упругости заполнителя, 1о, х0 - естественные параметры времени и длины, е - безразмерная

толщина заполнителя. Функции ^, \ = 2 в равенствах (3) отвечают безразмерным изображениям прогиба и напряжений задачи о воздействии единичного импульса

Для получения итоговых временных зависимостей основных переменных в случае бесконечной толщины заполнителя (е—>0) использована техника разложения образа решений при преобразовании Лапласа в асимптотические ряды по параметру преобразования р. В случае конечной толщины заполнителя обращение изображающих равенств выполняется численно. Например, используя свойство преобразования Лапласа для произведения изображении, третью формулу равенств (3) можно записать в виде интегрального уравнения Вольтера первого рода

|р(т)(^ (т - т,) + у2 (т - т,)) <Ь, =^у2т, (5)

о

где х - безразмерное время. Далее для решения (5) используется регуляризирующий численный алгоритм.

В заключение пункта проведено сопоставление полученных решений с результатами конечноэлементного моделирования. Проиллюстрируем некоторые из них. На рис. 2 и рис. 3 приведены зависимости безразмерного прогиба и межслойных напряжений от безразмерного времени для осесимметричной задачи при воздействии единичного сосредоточенного импульса в точке его приложения. Штриховая линия соответствует параметру толщины е = 0, сплошная получена при е = 0,15. Из графиков видно, что на начальном участке кривые совпадают. Напряжения при малых временах имеют особенность вида 0(т~1/2).

На рис. 4-6 проведено сопоставление временных зависимостей максимумов безразмерных контактного усилия, прогиба и межслойных напряжений с аналогичными переменными, полученными в результате решения по методу конечных элементов, для осесимметричной задачи. Сплошная линия на графиках отвечает решению при е = 0,15, штриховая соответствует случаю асимптотически большой толщины заполнителя (е->0), точки -

Рис. 2. Изменение безразмерного прогиба во времени для осесиммет-ричной задачи при единичном импульсном воздействии.

Рис. 3. Изменение безразмерного напряжения во времени для осе-симметричной задачи при единичном импульсном воздействии.

Рис. 4. Зависимость безразмерной контактной силы от безразмерного времени для осесимметричной постановки задачи (у = 0,195).

Рис. 5. Зависимость безразмерного прогиба от безразмерного времени для осесимметричной постановки задачи (у = 0,195).

Рис 6. Зависимость безразмерного Рис. 7 Зависимость безразмерного напряжения от безразмерного вре- прогиба от безразмерного времени мени для осесим. задачи (у = 0,195) для плоской задачи (у = 0,36).

решение по методу конечных элементов при с = 0,15. Отметим, что для аналитических моделей, в отличие от результата решения по методу конечных элементов, контактная сила в начальный момент времени не равна нулю. Этот факт является прямым следствием дискретности конечноэлементного представления трехслойной пластины. Для прогиба в точке удара результаты находятся в хорошем соответствии вплоть до максимума. Отличие максимумов при вычислении напряжений для конечного и асимптотически малого е не превосходит 20%. Ход кривых на графиках, приведенных на рис. 7, демонстрирует хорошее соответствие между аналитическими оценками величины безразмерного прогиба плоской задачи и результатом конечноэлементного моделирования. Важно отметить, что при решении рассматриваемых задач по методу конечных элементов радиус бойка считался конечным (моделировалась контактная задача). Также принимались во внимание инерционные свойства заполнителя.

Сказанное позволяет сделать вывод, что априорные допущения о возможности пренебрежения инерционными свойствами заполнителя, а также действительным распределением контактного усилия между бойком и наружным слоем, косвенно подтверждаются и могут быть использованы для проведения предварительных оценок основных механических переменных

В третьей главе исследуются некоторые аспекты задачи удара и пробивания трехслойных пластин абсолютно твердыми телами. Допускается, что при ударе в зоне контакта имеет место разрушение, развивающееся в пределах малых объемов. Общие деформации трехслойной пластины считаются малыми и упругими. Предполагается, что локальное разрушение трехслойной пластины не оказывает существенного влияния на ее глобальный динамический упругий изгиб.

Рис. 8. Условная схема деформирования трехслойной пластины.

а)

б)

В первом пункте главы определена нижняя оценка баллистического предела трехслойной пластины на основе эмпирически заданной статической зависимости контактной силы от местного проникания. Следуя С.П. Тимошенко, общее перемещение S бойка в процессе удара представляется в виде суммы местного проникания и и динамического прогиба пластины w0 в точке удара (рис. 8 а), которые определяются из следующей системы

mS(t) + P(t) = О, S(0) = 0, S(0) = Vq ,

P = P(u), (6)

w0(t)=jH(t-T)P(x)dt

о

Вторым равенством в (6) задается зависимость контактной силы от местного проникания, определяемая эмпирически. На практике статическая силовая характеристика может быть получена, например, в результате испытания на продавливание трехслойной пластины, свободно опертой на жесткое основание с цилиндрическим вырезом, диаметром "немного" превышающем диаметр ин-дентора (рис. 8 б). Третья формула системы (6) представляет собой решение уравнений движения трехслойной пластины под действием сосредоточенной силы Р относительно прогиба в точке удара Аналитическое выражение для интегрального ядра Н зависит от граничных условий задачи и механических характеристик материала Физический смысл функции Н - прогиб пластины при воздействии единичного сосредоточенного импульса в месте его приложения Для построения ядра принималась модель типа Ти-мошенко-Рейсснера, учитывающая жесткость на сдвиг, но без учета инерции вращения Соответствующая система уравнений движения трехслойной пластины имеет вид

[DA2© + p0w = q w(0) = W(0) = 0

|s(w-©)+DA© = 0

где © - потенциал углов поворота нормали, р0 - приведенная плотность, D и S - интегральные жесткости изгиба и сдвига соответственно. Далее рассмотрим два примера построения инте-

трального ядра Н для квадратной и неограниченной в плане трехслойной пластины.

Допустим, что к точкам круга малого радиуса а, расположенного в центре свободно опертной квадратной пластины, приложена единичная импульсная нагрузка q = Т F(x,y)/na2 5(t), где F - функция распределения нагрузки, Т - единица, имеющая размерность импульса. Имея в виду представления оператора Лапласа в декартовых координатах, а также граничные условия задачи - свободное опирание, будем искать решение системы (7) в форме двойного тригонометрического ряда по синусам. Распределение F импульсного воздействия также можно представить в виде двойного тригонометрического ряда. Подстановка искомых решений в систему (7) приводит к уравнению относительно амплитуды поперечных колебаний пластины - коэффициентов разложения в ряд прогиба, разрешая которое при нулевых начальных условиях для прогиба в центре пластины получим следующее выражение

где L - длина стороны пластины ^ -функция Бесселя первого порядка. Отметим, что двойной тригонометрический ряд сходится весьма медленно, особенно при малых временах. С целью получения выражения для ядра H при малых временах, обратимся к задаче о поперечных колебаниях неограниченной трехслойной пластины. Допустим, что суммарная сила, равная единице, равномерно распределена по окружности малого радиуса а Тогда попе. . ? ô(r - a) s

речную нагрузку можно представить так q(r) = 1-o(t) ,

2ла

где г - радиальная координата. Далее, последовательно применяя к системе (7) интегральное преобразование Ганкеля с ядром

^о(Хг) и преобразование Лапласа, получим разрешающее уравнение относительно прогиба в изображениях Возвращаясь к начальным функциям, для прогиба в точке г = 0 имеем

ЫХ (9)

Для интеграла (9) при малом значении радиуса а справедлива асимптотическая оценка

1

На

, О , л/ррР

1+10 и в

• 1о

—а2 (10) Б

!_, мм мм |-|с, мм Ег, ГПа вс, МПа рг, кг/м^

500 3 40 0,3 20 31 1700

с8 = (Э/ро)1'2 = 317,7 м/с; иса = 1,57 м/с Таблица 1. Характеристики трехслойной пластины

Проиллюстрируем полученные для ядра Н решения на примере трехслойной пластины, геометрические и механические характеристики которой приведены в таблице 1. На рис 9. показана зависимость прогиба, построенная суммированием двойного тригонометрического ряда (8), умноженного на безразмерный параметр динамической жесткости, от времени. При малых временах сходимость ряда весьма медленная. Поэтому, для малых времен, практическое использование решения в таком виде затруднительно.

1,с 0 0005 0 001 0 0015 { (»

Рис 9. Изменение прогиба центра Рис.10. Зависимость прогиба беско-пластины во времени. нечной пластины в точке г=0 от

времени.

В момент времени t = L/cSl соответствующий приходу отраженной волны сдвига в центр пластины, скорость центра пластины претерпевает скачек Далее, суперпозиция изгибных и сдвиговых волн приводит пластинку в сложное колебательное состояние.

На рис. 4 приведен аналогичный результат для прогиба в точке г = 0 в случае неограниченной пластины. На временном участке О < t £ L/cs, решение в рядах и решение, даваемое асимптотической зависимостью (10) находятся в хорошем соответствии.

Исходная система разрешающих уравнений (6) решалась численными методами. Определенная в результате решения нижняя оценка баллистического предела была сопоставлена с результатами эксперимента. Погрешность составила 20-25%. Полученное расхождение с экспериментальными данными вполне ожидаемо. Важно отметить, что при расчете принималась статическая зависимость контактной силы Р(и) от глубины проникания бойка. При высоких скоростях удара выражение для контактной силы, необходимо должно зависеть и от du/dt. Поэтому динамический прогиб трехслойной пластины, а значит и часть энергии удара, поглощаемая за счет динамического изгиба, может быть существенно выше. Косвенно, величина допускаемой ошибки, вследствие замены динамической зависимости контактной силы от проникания и скорости проникания на статическую силовую характеристику, оценена во втором пункте.

Во втором пункте главы проведена оценка величины механической энергии, приходящейся на волновой процесс, в трехслойной пластине при ее пробивании. Начальная скорость бойка v0 считается превышающей баллистический предел Конечная скорость бойка V! после пробивания предполагается известной. Локальность задачи, а также малая продолжительность удара по сравнению со временем распространения волн сдвига от точки удара до граничного контура, позволяет использовать модель неограниченной пластины. Допускается возможность аддитивного представления полной механической энергии, поглощаемой трехслойной пластиной при ее пробивании

Е = Ed + ЕР = m(vß - vf )/2 , (11)

где Ed - энергия, приходящаяся на разрушение пластины, Ер -энергия, затрачиваемая на глобальный динамический изгиб Следуя В.Р. Скворцову, вводится понятие интегрального прогиба wP(t)

в точке г = 0 (пластина отнесена к цилиндрической системе координат) под действием силы P(t), эквивалентного прогибу w(r,t) пластины, при воздействии локальной поперечной динамической контактной нагрузки q(r,t). Условие эквивалентности выражается в равенстве вариации работы сосредоточенной силы Р на перемещении wP и работы распределенной нагрузки q на действительном прогибе пластины w Таким образом был определен фиктивный прогиб пластины

здесь а - радиус бойка, F - функция, характеризующая плотность распределения нагрузки При известном законе изменения ударной нагрузки P(t) во времени и известном распределении давления F по площадке контакта второе слагаемое в равенстве (11) можно определить по формуле

Построено решение для ряда модельных распределений давления (по окружности, равномерное внутри круга, параболическое внутри круга) и ударного импульса (в форме правого, левого и равнобедренного треугольников). При сопоставлении полученных решений с данными эксперимента обнаружено их хорошее совпадение.

Приведенная в третьей главе методика оценки повреждений трехслойной пластины используется далее, в главе пять.

Четвертая глава дает некоторый подготовительный материал к главе 5 и посвящена задаче численного моделирования деформирования пористого материала с неупругой объемной сжимаемостью на основе стандартных тестов механики материалов.

Известно, что пористые материалы представляют собой сложные образования, содержащие наряду с основным веществом, трехмерные дефекты (поры). При действии на пористый материал даже сравнительно небольших давлений происходит его своеобразная "упаковка", приводящая к существенному увеличению объемного веса материала. Принципиальную важность при математическом моделировании подобных явлений представляет необхо-

(12)

о

(13)

димость учета пластического деформирования пористого материала заполнителя, как при формоизменении, так и при объемном сжатии Численное решение (например, с помощью конечноэле-ментных комплексов) соответствующих задач требует задания двух кривых деформирования материала, одной из которых, как правило, является кривая объемного сжатия. На практике эксперименты по определению подобной кривой труднореализуемы. Поэтому возникает задача ее построения на базе стандартных тестов механики материалов.

В рамках используемого в главе 4 подхода предполагается, что пористый материал является изотропным и находится в условиях активного деформирования (т.е. разгрузка в материале не рассматривается и его объемное поведение неотличимо от нелинейно-упругого). Ставится задача обработки результатов двух независимых тестов: на одноосное сжатие без ограничения бокового расширения (рис. 11 а) и одноосное сжатие в жесткой обойме (рис. 11 б), с целью получения зависимости давления от объемного сжатия. Анализ проводился на базе двух реологических моделей' нелинейно-упругой среды Генки-Каудерера (геометрически линейная, но физически нелинейная среда), а также с приближенным учетом конечных деформаций. Опишем подход, основанный на первой из указанных моделей. В рамках перехода от описания уп-ругопластического деформирования материала к нелинейно-упругому с ненулевыми объемными деформациями, рассмотрим плотность энергии его деформации (упругий потенциал) Для изотропного материала потенциал зависит только от инвариантов тензора деформаций, и поэтому его можно записать, например, в виде:э = э (е0, е|р е^ез), где е0 - средняя линейная деформация (соответствует первому инварианту), е, - интенсивность деформации (соответствует второму инварианту) Третий инвариант е1е2е3 как аргумент потенциала дает добавку третьего порядка малости, которой можно пренебречь. В итоге удельный потенциал можно представить в виде суммы двух слагаемых, определяющих энергию изменения объема и энергию формоизменения: э = эу (во) + э, (е,)- Компоненты тензора напряжений в главных осях определяются формулами

Ф(е)

Ш1

i

Ще)

/ 'ЧШ С'Ы О

'у * ■■ ^ ^¿ъ /

^ 1 -зЙ* V ^

0///////Х

а) б)

Рис. 11. Условные схемы нагружения образцов.

Ф(е), МПа

4г

Рис. 12. Зависимость напряжений от деформации при одноосном напряженном состоянии для ФК-75 (результат испытаний).

Рис 13. Зависимость напряжений от деформации при одноосном деформируемом состоянии для ФК-75 (результат испытаний).

Р(е), МПа

05!

Рис. 14. Зависимость функции попе- Рис 15. Зависимость давления от

речной деформации от продольной деформации.

объемной деформации.

стк = —^

Эе0 Ээ, де

де„ дск

+ -

де, де

к= 1, 2, 3

(14)

"О ^к ^к

Проводя дифференцирование инвариантов, получим

е, 3 деп

зае, (15)

где Р« и Р, - функции объемного расширения и интенсивности деформации соответственно.

Для получения итоговой системы разрешающих уравнений зависимости (15) выписываются для трех частных случаев деформирования: одноосного напряженного, одноосного деформированного и однородного объемного напряженного состояний. Окончательно система нелинейных функциональных уравнений записывается так

1

1

Ру --(е-2ё(е)) =--Ф(е)

(2 Л 2

-(е + БСе)) =-Ф(е) V, 5 ) ->

Р(е) = -Ру(-е) (16)

-К,

+ Р

2е

= 8(е)

Дополнительной функцией g, входящей в систему, является функция поперечной деформации. Для решения системы разработан численный алгоритм на основе градиентного метода и метода последовательных приближений. Результат его использования, применительно к двум независимым кривым нагружения (рис. 12 и рис. 13) огнезащитной вспенивающейся композиции марки ФК-75, показан на рис. 14 и рис. 15. График на рис 14 иллюстрирует поведение функции g(e)/e, аналогом которой в линейной теории упругости является коэффициент Пуассона. Кривая на рис. 15 представляет собой зависимость давления от объемной деформации. Полученная кривая объемного сжатия используется далее в главе 5 при проведении прикладных расчетов по методу конечных элементов транспортных упаковочных комплектов.

Пятая глава содержит примеры прикладного использования методик и основных результатов, полученных в предыдущих главах, применительно к задаче оценки повреждений транспортного упаковочного комплекта.

Назначение транспортных упаковочных комплектов (ТУК) состоит в обеспечении безопасности перевозки радиоактивных материалов. Конструкция ТУК должна удовлетворять ряду требований, регламентированных правилами МАГАТЭ или аналогичными документами В частности, ТУК должен обеспечивать сохранность содержимого при падении с высоты 9 м на жесткое основание и при ударе стрежнем. Пятая глава посвящена прикладной задаче расчета повреждений наружной части ТУК при указанных динамических воздействиях.

В первом пункте главы на основании результатов главы 3 рассмотрен пример расчета защитного контейнера, входящего в состав ТУК-39М2, при ударе стержнем массой 6 кг, диаметром 32 мм с полусферическим торцом, со скоростью 4,43 м/с. Удар наносился в наиболее уязвимое в смысле прочности место - в центр крышки защитного контейнера. Крышка защитного контейнера представляет собой квадратную трехслойную пластину, свободно опертую по контуру размерами в плоскости 670 х 670 мм, со стальными несущими слоями толщиной 3 мм и слоем пористого заполнителя толщиной 50 мм. Многочисленные прове-

Рис. 16. Схема ТУК-39М2.

Рис. 17. Схема ТУК-115.

и м

м

О 002?

0 008

О 001*

0 0005

0 001 0 002 0 003

Рис. 18. Зависимость смятия центра крышки от времени

0 001 О 002 0 003 { с

Рис. 19. Зависимость прогиба центра крышки от времени.

денные эксперименты для ТУК с близкой конструкцией защитного контейнера показали, что при ударе стержнем пробивание его наружной части не происходит; местное смятие и прогиб в точке удара - малы, а зависимость контактной силы от смятия Р(и) близка к линейной. Основные результаты расчета свелись к следующему. На рис 18 и рис. 19 показана зависимость смятия и прогиба центра крышки от времени Максимальное смятие составило 2,1 мм, прогиб не превзошел 7,3 мм.

Во второй части главы приведена методика оценки деформации наружной части транспортного упаковочного комплекта при его падении с высоты 9 м на жесткое основание в различных положениях. Предполагается, что наружная часть ТУК представляет собой полую тонкостенную конструкцию, пространство между стенками которой заполнено пористым теплоизолирующим материалом. Методика расчета основана на анализе экспериментальных данных о повреждениях упаковок, прошедших ранее натурные испытания. Расчет деформаций при падениях определялся балансом механической энергии падения и суммы энергий деформации металлических элементов и теплоизоляции. При проведении оценок повреждений наружной части ТУК принималась следующая условная классификация динамических воздействий.

Все динамические воздействия на ТУК при его падении могут быть условно разделены на два класса. Первый из них касается жестких ударов, т.е. падений при наибольшей площади контакта с жестким основанием. При этом наружной части ТУК наносятся наименьшие повреждения, однако в его внутренней части возникают наибольшие перегрузки. В этом случае для обеспечения консервативности расчета перегрузка должна быть оценена

сверху, а величина смятия наружной части снизу. Далее, при известном коэффициенте перегрузки, проводится обоснование прочности внутреннего содержимого.

Второй класс касается мягких ударов, т.е. падений на жесткое основание при которых площадь контакта минимальна. При этом наружной части ТУК наносятся наибольшие повреждения, однако при сохранении целостности наружной части перегрузки внутреннего содержимого минимальны При расчете необходимо показать, что удар не доходит до внутреннего содержимого. Поэтому, для данного варианта падений ТУК оценку величины смятия наружной части следует проводить сверху.

Проиллюстрируем методику на примере падения ТУК-115 (рис. 17) центром тяжести на кромку защитного кожуха Указанный вариант падения приводит к наиболее мягкому удару, при котором величина смятия должна быть оценена сверху.

Согласно схеме деформирования защитного контейнера при его контактном взаимодействии с жестким основанием 1-2 (рис. 20), величина смятия теплоизоляции может быть оценена так

ьо А ТЛ \

6(Р)

о- ^(z),

- к

0 Ч

dz ; (17)

здесь Р - контактное усилие (параметр, характеризующий в интегральном смысле контактные напряжения а),

S(z)= abarceos^- - хэуэ, z < 2R sin а

irab, z>2Rsina

- площадь площадки смятия ABC на глубине z, h0 - эффективная толщина теплоизолирующего слоя в направлении удара. Используемые обозначения приведены на рис. 20. Эмпирическая зависимость напряжений от деформаций а = ст(е) (рис 12) предполагается заданной так, что имеет смысл обратная функция е = а ~1(ст). Работа, приходящаяся на разрушение слоя теплоизоляции глубины Л,равна

д

W(A) = jP(5)dô (19)

о

Величина смятия Д определяется из уравнения баланса энергии

Ы(А) = П- ДУ г ЯП, П = п^Н, X е [ОД], (20) где П - полная энергия падения, Н - высота падения, т - масса ТУК. Второе слагаемое в первом равенстве (20) определяет величину энергии, приходящейся на уплотнение теплоизолирующего слоя и деформирование металлических элементов корпуса (например, наружных ребер, колец, амортизаторов). Безразмерный параметр определяющий долю энергии, приходящейся на разрушение теплоизоляции, назначается эмпирически. Для рассматриваемого варианта падения по результатам обработки экспериментальных данных упаковок с аналогичным механизмом смятия наружной части ТУК, доля энергии, приходящейся на разрушение слоя теплоизоляции, составляет 20-40% от полной энергии падения для конструкции без дополнительных амортизирующих элементов и 60-80% при их наличии. С учетом наличия окан-товочной трубы на кромке кожуха ТУК-115, доля энергии разрушения теплоизоляции составляет не более 60%. Для верхней оценки смятия принимается К = 0,6. Значит величина энергии, приходящейся на разрушение слоя теплоизоляции согласно формуле (20), равна ЩА) = К т д Н = 0,6 1270 9,8 9 = 6,7 104 Н м.

Зависимость \Л/(Д), определяемая интегралом (19), показана кривой на рис. 21. Из приведенных графиков видно, что уравнение баланса (20) удовлетворяется при смятии, равном Д*=180 мм.

Важно отметить, что предложенная методика фактически является лишь приближенной оценкой повреждений наружной части ТУК при ударе после падения на жесткое основание. Точное аналитическое решение такой задачи ввиду сложности геометрии конструкции и существенной нелинейности реологических свойств материала невозможно.

Здесь также был выполнен аналогичный численный расчет по методу конечных элементов для некоторых вариантов падения ТУК-115. При численном расчете для моделирования реологического поведения пористого теплоизолирующего слоя наружной части ТУК, использовалась диаграмма объемного сжатия, полученная в главе 4 и показанная на рис. 15. Результаты численного расчета для перемещения цента тяжести ТУК в направлении удара при его падении на кромку кожуха, приведены на рис. 22. Смятие слоя теплоизоляции не превзошло 190 мм.

а =13-15°, (3 = 120°, Р = 250 мм

Рис. 20. Общая схема смятия и обозначения размеров деформации при падении ТУК-115 на кромку защитного кожуха.

\Л/(Д), 107 Н мм

А, мм

Рис. 21 Зависимость энергии разрушения слоя теплоизоляции от величины смятия для ТУК-115.

(I), мм

1, МС

Рис 22. Зависимость перемещения центра тяжести ТУК-115 в направлении удара от времени.

В заключение главы проведено сопоставление полученных результатов с данными натурных полномасштабных испытаний. Показана достаточная с практической точки зрения достоверность полученных результатов.

Основные результаты работы

• Аналитически решены две задачи изгиба пластины на упругом слое в составе трехслойной конструкции при действии статических и динамических нагрузок- задачи цилиндрического изгиба под действием силы, распределенной вдоль прямой, и осесим-метричного изгиба под действием сосредоточенной силы. В случае статической постановки проведены количественные оценки влияния межслойных касательных напряжений, растяжимости лицевого слоя и толщины заполнителя. На основании проведенного анализа, сформулирована упрощенная динамическая постановка указанных задач и дано их решение при произвольном законе изменения импульса. Полученные решения обобщены на случай динамического взаимодействия с точечным ударником Косвенно, аналитические решения подтверждены результатами расчетов по методу конечных элементов.

• Разработана методика решения задач о пробивании трехслойных пластин твердыми телами более общая, чем существовавшие ранее. На основе способа Тимошенко численно определена нижняя оценка баллистического предела пластины. На базе экспериментальных данных о высокоскоростном пробивании сделана оценка величины механической энергии, приходящейся на волновой процесс. Результаты сопоставлены с экспериментальными данными. Обнаружено их хорошее соответствие.

• Построено решение задачи численного моделирования деформирования пористого материала с неупругой объемной сжимаемостью на основе стандартных тестов механики материалов. На базе полученной реологической модели с помощью метода конечных элементов решены контактные динамические задачи для ряда транспортных конструкций, содержащих такие материалы

• Разработана прикладная методика оценки повреждений наружной части транспортного упаковочного комплекта при его падении на жесткое основание и ударе стержнем. Методика основана на анализе экспериментальных данных о повреждениях упаковок,

прошедших ранее натурные испытания. Осуществлено сравнение результатов расчета по предложенной методике с результатами конечноэлементного моделирования и с данными эксперимента. Показана достаточная с практической точки зрения достоверность полученных результатов.

Публикации по теме диссертации

1. Крахмалев С Ю. Динамический изгиб трехслойных пластин с учетом нелинейной контактной жесткости Труды математического центра имени Н И. Лобачевского. Том 12, Казань, 2001. 2 Скворцов В.Р., Койсин В.Е, Крахмалев С.Ю. Динамическое взаимодействие твердого тела с пластиной на упругом слое и полупространстве. Механика твердого тела, вып. 33, 2002.

3. Koissin V., Krahmalev S., Skvortsov V. The response of sandwich structures to local dynamic loading Труды Международной конференции "Advanced Problems in Mechanics - 2002", Репино, 2002.

4. Крахмалев С.Ю., Скворцов B.P. Численное решение динамических контактных задач для конструкций с неупругим объемно сжимаемым заполнителем. Труды XX Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов" (BEM-FEM-2003). С-Петербург, том 3, 2003.

5. Скворцов В.Р., Крахмалев С.Ю. Ударное проникание твердых тел в трехслойные пластины. Тезисы докладов научно-технической конференции по строительной механике корабля "Бубновские чтения". С-Петербург, 2003.

6. Скворцов В.Р., Койсин В.Е., Крахмалев С.Ю. Реакция пластины на упругом слое в составе трехслойной конструкции на локальное нестационарное динамическое воздействие. Сборник трудов научно-техн конференции "Кораблестроительное образование и наука - 2003", С-Петербург, СПбГМТУ, 2003.

7. Skvortsov V., Krahmalev S., Koissin V., Shipsha A. Non-Stationary oscillation of sandwich plates under dynamic loading. In-Proc. of the 10th international congress sound and vibration Stockholm, Sweden. 2003.

8. Koissin V., Skvortsov V., Krahmalev S., Shipsha A The elastic response of sandwich structures to local loading. Composite Structures, 2004; 63 (3-4).

ИЦ СПбГМТУ, Лоцманская. 10 Подписано в печать 05 01 05 Зэк 2782 . Тир 100 1,1 печ. л

РНБ Русский фонд

2006-4 1787

Введение.

глава 1 Аналитический обзор литературы. Структура и содержание работы.

1.1 Обзор методов решения статических задач изгиба пластин на слое конечной толщины и полупространстве под действием сосредоточенных нагрузок.

1.2 Обзор методов решения динамических контактных задач для трехслойных конструкций.

1.3 Структура и содержание работы.

Глава 2 Динамические контактные задачи для трехслойных пластин с упругим заполнителем.

2.1 Постановка и решение статических модельных задач изгиба пластины на слое конечной толщины и упругом полупространстве.

2.2 Реакция трехслойной пластины на локальное нестационарное воздействие.

2.3 Заключительные замечания.

Глава 3 Ударное проникание твердых тел в трехслойные пластины.

3.1 Полуэмпирический подход к задаче проникания на основе метода Тимошенко.

3.2 Случай высокоскоростного удара. Оценка величины энергии динамического изгиба по методу Скворцова.

3.3 Заключительные замечания.

Глава 4 Модель пористого заполнителя с учетом его неупругой объемной сжимаемости.

4.1 Реологические соотношения и система разрешающих уравнений в случае малых деформаций.

4.2 Реологические соотношения и система разрешающих уравнений в случае конечных деформаций.

4.3 Пример использования метода.

Глава 5 Динамические контактные задачи для транспортных упаковочных комплектов.

5.1 Общий подход к обоснованию прочности при падениях. Постановка задачи.

5.2 Пример прикладного расчета ТУК при падениях.

5.3 Пример прикладного расчета ТУК при ударе стрежнем.

5.4 Сопоставление результатов с данными натурных испытаний. Выводы.

При проектировании современных инженерных сооружений широкое применение находят трехслойные и подобные им конструкции, заполнителем промежуточного слоя которых является легкий пористый материал. Наиболее распространенными примерами таких конструкций являются трехслойные пластины - важнейший элемент многих судовых, авиационных и других транспортных сооружений, а также двухслойные покрытия. Другим, менее известным примером может послужить транспортный упаковочный комплект для перевозки радиоактивных материалов. Эти конструкции состоят из тонких наружных (лицевых) слоев, изготовленных из высокопрочного материала и связанных между собой слоем сравнительно малопрочиого, но зато легкого заполнителя (рис. 1). Для наружных слоев обычно используется металл или волокнистый композитный материал. В качестве материала заполнителя часто применяются пенопластмассы -легкие газонаполненные полимерные материалы.

Пористый заполнител!

Несущие слои а)

Внутреннее содержимое

Наружный контейнер б)

Рис. 1. Примеры исследуемых объектов; а - трехслойная пластина (сэндвич); б - транспортный упаковочный комплект.

Формально пенопластмассы делятся на пенистые и пористые [5]. В пенистых пластмассах (пеноплаетах) полимерная основа образует систему замкнутых изолированных ячеек, заполненных • газообразной фазой; в пористых пластмассах (поропластах) - систему ячеек с частично разрушенными перегородками, сообщающихся между собой. В первом случае газ из ячеек может лишь медленно диффундировать через перегородки ячеек, во втором -газообразная фаза может свободно циркулировать. Это деление в некоторой мере условно. Реальные газонаполненные пластмассы редко имеют однотипную структуру, чаще смешанную. Механические свойства пористых и пенистых пластмасс качественно не различается. В связи со сказанным ниже не делается различий между пенопластами и поропластами, которые обозначаются просто, как пористые.

К настоящему времени выполнено большое количество работ в области расчета прочности трехслойных конструкций. Преимущественно в них исследованы задачи общей устойчивости, изгиба и продольно-поперечного изгиба трехслойных пластин и оболочек. Решения строятся, например, исходя из описания деформирования трехслойной конструкции, как однослойной с приведенными модулями [24, 81]. Известны также альтернативные варианты теории трехслойных пластин и оболочек с мягким заполнителем, основанные на гипотезе ломаной нормали с априорно не заданным соотношением ее наклона во внутреннем и наружных слоях [14]. Распространение теории трехслойных пластин с мягким заполнителем на любые пластины симметричного строения, материал которых существенно неоднороден в поперечном направлении, проведено в [44]. Во многих работах авторами получены явные формулы достаточно простой структуры, что позволяет их использовать для инженерных расчетов. Однако в опубликованных по этому вопросу работах не рассмотрены с достаточной полнотой некоторые важные для практики постановки задач и схемы нагружений трехслойных конструкций, связанные, прежде всего, с особенностью их строения и выполняемыми амортизирующими функциями в некоторых типах транспортных конструкций. Известно, что эффективность применения сэндвичей обусловлена тем, что они значительно легче однослойных конструкций, при той же изгибной жесткости и прочности, но вместе с этим обладают слабыми прочностными свойствами в направлении нормали к лицевым слоям. Поэтому, принципиальную важность при проектировании на основе трехслойных конструкций представляет необходимость прогнозирования их повреждения, вызванного механическими ударными воздействиями. Такие повреждения могут носить как локальный, (например, при ударе по наружному слою сэндвича твердого тела), так и не локальный (удар после падения конструкции на жесткое основание) характер. В ряде случаев ударные повреждения нельзя обнаружить при визуальном осмотре, например при частичном разрушении заполнителя, однако они оказывают существенное влияние на остаточную прочность конструкции. В связи со сказанным, получение количественных оценок, характеризующих прочность трехслойных конструкции при динамическом контактном взаимодействии с твердыми телами, является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела и конструкций.

Аналитическое или численное решение указанных задач не может быть выполнено исключительно на основе моделей пластин и оболочек, пусть даже повышенного порядка. Для описания поведения пористого заполнителя необходимо использование уравнений теории упругости или пластичности.

Выше отмечено, что пористые материалы представляют собой сложные образования, содержащие наряду с основным веществом, трехмерные дефекты (поры). Вследствие этого, при действии на пористый материал даже сравнительно небольших давлений происходит его "упаковка", приводящая к существенному увеличению объемного веса материала.

При моделировании реологических свойств пористого материала заполнителя необходимо учитывать возможность его пластического деформирования, как при формоизменении, так и при объемном сжатии. Реализация таких материальных моделей в современных конечноэлементных комплексах (например, ЬБ-ВУЛА) требует задания двух кривых деформирования материала, одной из которых, как правило, является кривая объемного сжатия [85]. На практике эксперименты по определению подобной кривой труднореализуемы. Поэтому возникает задача ее построения на базе стандартных тестов механики материалов.

Трехслойные конструкции находят широкое применение при проектировании транспортных упаковочных комплектов. Назначение транспортных упаковочных комплектов (ТУК) состоит в обеспечении безопасности перевозки радиоактивных материалов. Конструкция ТУК должна удовлетворять ряду требований, в частности, по тепловой защите и прочности, регламентированных правилами МАГАТЭ [84] или аналогичными документами.

Одним из наиболее интенсивных механических воздействий предусмотренных правилами МАГАТЭ, является удар после падения ТУК с высоты 9 м на жесткое основание. В связи с этим, часто, в конструкцию ТУК вводят внешний защитный контейнер (рис. 1. б). Внешний защитный контейнер представляет собой составную толстостенную трехслойную оболочку (в приведенном на рис. 1. б примере - оболочку вращения) с пористым заполнителем и предназначен одновременно для тепловой защиты элементов герметизации и снижения динамических нагрузок, действующих на его содержимое.

Другим примером динамического контактного воздействия может послужить удар стрежнем, имитирующий возможное падение инструмента при эксплуатации ТУК.

В связи со сказанным, на этапе проектирования и обоснования прочности ТУК возникает необходимость прогнозирования величины смятия слоя теплоизоляции при ударе после падения. Точное аналитическое решение такой задачи ввиду сложности геометрии конструкции и существенной нелинейности реологических свойств материалов невозможно. Конечноэлементное моделирование задачи не всегда оправдано. Поэтому, наряду с основным экспериментальным методом необходимы исследования, направленные на создание методики, позволяющей получить приближенные, предварительные оценки величины повреждения ТУК при его контактном взаимодействии с жестким основанием, а также при ударе стержнем.

Таким образом, актуальным является

• разработка эффективных аналитических и численных методов изучения закономерностей изменения основных механических величин, характеризующих прочность трехслойных конструкции при динамическом контактном взаимодействии с твердыми телами;

• исследование реологического поведения пористого заполнителя с неупругой объемной сжимаемостью;

• решение ряда задач прикладного характера, связанных с оценкой локальной прочности и повреждения трехслойной пластины -важнейшего элемента многих транспортных сооружений, а также с оценкой повреждения наружной части ТУК при ударе стрежнем и падении на жесткое основание.

При этом очевидно, что подобные исследования не могут быть проведены в рамках единого, общего подхода к описанию деформирования заполнителя в составе трехслойной конструкции. Это объясняется с одной стороны, разнообразием постановок задач, с другой - необходимостью выбора разумной меры между трудоемкостью расчета и практической значимостью ожидаемого результата. Эта идея является ведущей; она объединяет на первый взгляд не связанные исследования, проводимые в диссертации. Таким образом, актуальным также является построение иерархического подхода при описании работы заполнителя, с учетом специфики решаемых задач.

Основные результаты работы видятся в следующем.

• Приведенные в диссертационной работе построения демонстрируют иерархический подход к описанию деформирования легкого пористого заполнителя в составе трехслойных и подобных им конструкций, учитывающий специфику решаемых задач. В работе собраны воедино результаты многих исследований по данному вопросу.

• Аналитически решены две задачи изгиба пластины на упругом слое в составе трехслойной конструкции при действии статических и динамических нагрузок: задачи цилиндрического изгиба под действием силы, распределенной вдоль прямой и задачи осесимметричного изгиба под действием сосредоточенной силы. В случае статической постановки проведены количественные оценки влияния межслойных касательных напряжений, растяжимости наружного слоя трехслойной пластины и толщины заполнителя. На основании проведенного анализа, сформулирована упрощенная динамическая постановка указанных задач и дано их решение при произвольном законе изменения импульса. Полученные решения обобщены на случай динамического взаимодействия с точечным ударником. Косвенно, аналитические решения подтверждены результатами расчетов по методу конечных элементов.

• Разработана методика решения задач о пробивании трехслойных пластин твердыми телами более общая, чем существовавшие ранее. Закон изменения квазистатического контактного усилия в зависимости от глубины продавливания предполагался известным. На основе способа Тимошенко численно определена нижняя оценка баллистического предела пластины. На базе экспериментальных данных о высокоскоростном пробивании сделана оценка величины механической энергии, приходящейся на волновой процесс. Результаты сопоставлены с экспериментальными данными. Обнаружено их удовлетворительное соответствие.

• Построено решение задачи численного моделирования деформирования пористого материала с неупругой объемной сжимаемостью на основе стандартных тестов механики материалов. На базе полученной реологической модели с помощью метода конечных элементов решены динамические контактные задачи для ряда транспортных конструкций, содержащих такие материалы.

• Разработана прикладная методика оценки повреждений наружной части транспортного упаковочного комплекта при его падении на жесткое основание и ударе стержнем. Методика основана на анализе экспериментальных данных о повреждениях упаковок, прошедших ранее натурные испытания. Осуществлено сравнение результатов расчета по предложенной методике с результатами численного моделирования по методу конечных элементов и с данными эксперимента. Показана достаточная с практической точки зрения достоверность полученных результатов.

Заключение

1. Александров В.М. Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости // Автореферат дисс. А соискание учен, степени докт. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1970.

2. Александров В.М., Ворович И.И. Статические и динамические задачи теории упругости. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1983.

3. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983.

4. Барановский Г.К. Упругопластический удар массивного тела по прямоугольной пластине, лежащей на основании. Автореф. дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2002.

5. Берлин A.A. Основы производства газонаполненных пластмасс и эластомеров. М.: Химиздат, 1954.

6. Власов В.З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960.

7. Вилков С.М. Численное моделирование совместного деформирования слоистой и монолитной стенок заполненного жидкостью бака при ударном нагружении. Сб. ВНТО им. акад. Крылова. Вып. 510, Л., 1990.

8. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.

9. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.

10. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.

11. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1973.

12. Горшков А.Г., Пожуев В.И. Пластины и оболочки на инерционном основании при действии подвижных нагрузок. М.: Изд-во МАИ, 1992.

13. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995.

14. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с мягким заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН. № 1. 1957.

15. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Мех. деф. тв. тел, 1973, №5.

16. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971.

17. Егоров К.Е. О деформации основания конечной толщины. Основания, фундаменты и механика грунтов. Минск: Изд-во Вышэйшая школа, 1961. Вып. 1.

18. Жемочкин Б.Н., Спицын А.П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. М.: Госстрой из дат, 1962.

19. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Расчет оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1987.

20. Ишкова А.Г. Изгиб круглой пластинки, лежащий на упругом полупространстве под действием сосредоточенной силы и продольных сил. Изв. Вузов. Математика. 1962. № 3.

21. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978.

22. Кильчевский H.A. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наук, думка, 1976.

23. Клубин П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании. Инж. сб. 1952 Т 12.

24. Кобелев В.Н., Коварский JI.M., С.И. Тимофеев. Расчет трехслойных конструкций. М.: Машиностроение, 1984.

25. Коренев Б.Г. Конструкции, лежащие на упругом основании. Строительная механика в СССР 1917- 1967. М.: Стройиздат, 1969.

26. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наук, думка, 1979.

27. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

28. Лурье А.И. Операционное исчисление. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951.

29. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

30. Наумов Ю.А., Шевляков Ю. А. К изгибу круглых плит на многослойном основании. Изв. АН СССР. МТТ. 1967 № 3.

31. Николаенко H.A. Колебания неограниченной плиты, лежащей на упругом полупространстве и упругом слое. Сб. «Вопросы расчета плит на упругом основании». М., Изд-во по строительству и архитектуре, 1958.

32. Павлик Г.Н. Изгиб круглой плиты на линейно-деформируемом основании при одновременном действии продольных и поперечных усилий // ПММ. 1977. Т. 41. Вып. 5.

33. Павлик Г.Н. Изгиб круглой плиты на слое конечной мощности // Изв. СКНЦ ВШ. Сер. естеств. наук. 1976. № 4.

34. Павлик Г.Н. Контактное взаимодействие пластины Рейснера с линейно-деформируемым основанием. Тез. докл. Всес. конф. «Смешанные задачи механики деформируемого тела», Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1977.

35. Павлик Г.Н. Некоторые задачи о контактном взаимодействии тонкостенных упругих элементов с линейно-деформируемым основанием. Автореф. дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1978.

36. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976.

37. Папкович П.Ф. Теория упругости. Оборонгиз, 1939.

38. Пастернак П. JI. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при наличии двух коэффициентов постели. M.-jl:• Госстройиздат, 1954.

39. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. JI.: Судостроение, 1987.

40. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания. Киев: Вища школа, 1982.

41. Попов Г. Я. Пластинки на линейно деформируемом основании (обзор). Прикл. мех. 1972. Т.8. Вып. 3.

42. Сагомонян А.Я. Динамика пробивания преград. М.: Изд-во МГУ, 1988.

43. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.44'. Скворцов В.Р. Симметрично-неоднородная по толщине пластина как трехслойная пластина с мягким заполнителем. Изв. РАН. Мех. тв. тела. № 1. 1993.

44. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. JL: Судостроение, 1972.

45. Тимошенко. С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматлит, 1959.

46. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматлит, 1963.

47. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1968.

48. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.

49. Филоненко-Бородич М.М. Некоторые приближенные теории упругого основания. Изв. АН СССР. МТТ. 1968 № i.

50. Цейтлин А.И. Об изгибе круглой плиты, лежащей на линейно -деформируемом основании. Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 1.

51. Abrate S. Impact on composite structures. Cambridge: Cambridge University Press., 1998.

52. Abrate S. Localized impact on sandwich structures with laminated facings. Applied Mechanics Reviews, vol. 50(2), Febr. 1997.

53. Allen H.G. Analysis and Design of Structural Sandwich Panels. Oxford: Pergamon Press, 1969.

54. Biot M.A. Bending of an Infinite Plate on an Elastic Foundation. J. of Applied Mechanics, 4(1): A 1-7,1937.

55. Goldsmith W., Sackman J.L. An experimental study of energy absorption in impact on sandwich panels. International Journal of Impact Engineering, Vol. 12, No. 2, 1992

56. Hetenyi M.I. Beams on Elastic Foundation. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1946.

57. Karman T. and Biot M.A. Mathematical Methods in Engineering. NY: McGraw-Hill book co., 1940.

58. Kepler J.A. Localized Impact on Sandwich Structures An Experimental Study. 2001, PhD dissertation. Special Report N 46, Aalborg University, Denmark.

59. Kepler J.A., Sayir M.B. Penetrating impact on narrow sandwich beams. In: Meyer-Peining H-R, Zenkert D., editors. Proceedings of the Fifth International Conference on Sandwich Construction. Zurich (Switzerland): EMAS Publishing, 2000.

60. Koissin V. and Shipsha A. Modeling of Quasi-Static Response of Sandwich Structures Subject to Local Loading. In. Proc. Of 6-th Int. Conference on Sandwich Structures (ICSS-6), Fort Lauderdale, USA, 2003.

61. Kosza P., Sayir M.B. Failure patterns in the core of sandwich structures under impact loading. International Journal of Impact Engineering, Vol. 15, No. 4, 1994.

62. Ling F.F. Fundamentals of Surface Mechanics with Applications. NY: Springer inc., 2002.

63. Liss J., Goldsmith W. Plate perforation phenomena due to normal impact by blunt cylinders. Int. J. Impact Engng. 2(1), 1984.

64. Mitcheltree R.A. A passive Earth-entry capsule for Mars sample return. NASA Langley Research Center, Hampton, Va.

65. Mittal R.K. A Simplified analysis of the effect of transverse shear on the response of elastic plates to impact loading. Int. J. Solids Structures Vol. 23 №8, pp. 1191-1203, 1987.

66. Olsson R. Engineering Method for Impact Response and Damage in Sandwich Panels. J. of Sandwich Structures Materials. 4 (1): 3-29, 2002.

67. Olsson R. Impact Response and Delamination of Composite Plates. Doctoral thesis, Stockholm: KTH, 1998.

68. Reddy T.Y., Wen H.M., Reid S.R., Soden P.D. Penetration and Perforation of Composite Sandwich Panels by Hemispherical and Conical Projectiles. J Pressure Vessel Technol 1998; 120.

69. Roach A.M., Evans K.E., Jones N. The Penetration Energy of Sandwich Panels Elements under Static and Dynamic Loading. Part I. Compos Struct 1998; 42.

70. Roach A.M., Evans K.E., Jones N. The Penetration Energy of Sandwich Panels Elements under Static and Dynamic Loading. Part II. Compos Struct 1998; 42.

71. Shuaeib F.M. and Soden P.D. Indentation Failure of Composite Sandwich Beams. J. of Composite Science and Technology, 57: 1249-1259, 1997.

72. Skvortsov V.R. Boundary Effects and Local Stability of Sandwich Panels. // in: Mechanics of Sandwich Structures. Pros, of the Euromech 360 Colloquium (France, 1997). Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1998.

73. Skvortsov V.R. Exact Analysis of Sandwich Plates Bending Based on Elasticity Theory and the Technique of Integral Transformation. In: Proc. of5.th Int. Conference on Mechanics of Sandwich Structures, Zurich, 2000. pp. 129-140.

74. Skvortsov V.R., Kepler J.A., Bozhevolnaya E. Energy partition for ballistic penetration of sandwich panels. International Journal of Impact Engineering 28, 2003.

75. Soden P.D. Indentation of Composite Sandwich Beams. J. of Strain Analysis. 37, 1996.

76. Sorokin S.V., Ershova O.A. and Grishina S.V. The Active Control of Vibrations of Composite Beams by Parametric Stiffness Modulation. Eur. J. Mech. A/Solids, 19: 2000.

77. Thomsen O.T. Analysis of Local Bending Effects in Sandwich Plates with Orthotropic Face Layers Subjected to Localized Loads. J. of Composite Structures, 25: 511-520, 1993.

78. Thomsen O.T. Theoretical and Experimental Investigation of Local Bending Effects in Sandwich Plates. J. of Composite Structures, 30: 85-101, 1995.

79. Zenkert D. An Introduction to Sandwich Construction. London: Chameleon Press Ltd, 1995.

80. The Handbook of Sandwich Construction // editor D.Zenkert, London, EMAS Ltd, 1997.

81. ГОСТ 23206 78. Пластмассы ячеистые жесткие. Метод испытания на сжатие.

82. Правила безопасной перевозки радиоактивных материалов. Требования МАГАТЭ, № ST-1, 1996.

83. LS-DYNA. Theoretical manual. Livermore Software Technology Corporation, 1998.