Динамические смешанные задачи для ограниченного объема жидкости на упругом основании тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

I. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению первого рода. Постановка задачи

2. Построение решения задачи для упругой среды.

3. Построение решения задачи для объема жидкости.

4. Вывод интегрального уравнения.

II. Свойства интегрального уравнения

1. Свойства символов ядра интегрального уравнения.

2. Теоремы единственности.

3. Некоторые сведения из теории факторизации функций и матриц-функций.

III. Построение решения интегрального уравнения

1. Сведение интегрального уравнения к системе функциональных соотношений

2. Задача Римана. Общий вид решения

3. Факторизация матрицы-функции

4. Факторизация вектора-функции. Построение решения функционального уравнения

IV. Вывод расчетных формул. Анализ полученных результатов.

1. Определение аналитических выражений для распределения контактных напряжений

2. Численный анализ полученного решения: распределение контактных напряжений с учетом геометрических физических и частотных факторов

В последнее время пристальное внимание привлекают к себе проблемы, связанные с изучением динамических задач теории упругости и математической физики для сред сложной структуры.

Растущий интерес к этим задачам связан, в частности, с развитием сейсмологии, гидроакустики, геофизики, вибрационного просвечивания Земли, интенсивным освоением природных ресурсов Мирового океана.

Повышение требований к надежности и долговечности промышленных, гидротехнических и энергетических объектов, особенно в районах сейсмической активности, . обуславливает необходимость разработки достоверных способов исследования сооружений, их колебаний, напряженно деформированного состояния и его изменения во времени.

Среди вопросов требующих решения, следует назвать такие как взаимодействие сооружений с основанием и жидкой средой; распространение волн в основании, жидкости и сооружении.

Кроме того, распространение методов вибрационной разведки полезных ископаемых, в частности, под дном водоемов и в прибрежной зоне морей и океанов, требует изучения влияния масс жидкости на распространение волн в упругих средах.

Перечисленные проблемы заставляют рассматривать модели, представляющие собой системы слоев идеальной сжимаемой жидкости и однородных упругих слоев с плоскопараллельными границами раздела.

Исследования по указанному кругу вопросов проводятся в Кубанском государственном университете в рамках программы "Университеты России" и Федеральной Целевой программы "Интеграция" № 368, а также проекта "Научно-образовательный эколого-аналитический центр системных исследований, математического моделирования и экологической безопасности юга России" № П.Р.304 (REC 004 ).

Настоящая работа посвящена разработке метода решения интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами о колебании ограниченного объема жидкости на упругом основании.

Значительный вклад в развитие контактных задач внесли: Б.Л. Абрамян, В.М. Александров, А.Я. Александров, Ю.А. Амензаде, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, В.М. Бабич, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, Н.М. Бородачев, И.Н. Векуа, И.И. Ворович, JI.A. Галин, Е.В. Глушков, В.Т. Гринченко, B.C. Губенко, Б.А. Ефимов, А.И. Каландия, М. А. Колтунов, В. Д. Купрадзе, А.И.Лурье, В.И. Малый, М.Д. Мартыненко, В.И. Моссаковский, И.А. Молотков,

Н.И. Мусхелишвили, С.М. Мкиторян, Б.М. Нуллер, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, В.З. Патрон, B.C. Проценко, Б.Л. Пелех, В.А. Рвачев, H.A. Ростовцев, B.C. Саркисян, Б.И. Сметании, В.М. Сеймов, Л.А. Толоконников, B.C. Тоноян, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, А.И. Цейтлин, М.И. Чебраков, Д.И. Шерман, И.Я. Штаерман и многие другие исследователи. Обзор результатов, полученных в этой области, приведен в работах [1, 41, 53, 66-68, 130, 164].

Динамические контактные задачи исследовались в работах: В.М. Александрова [7, 8], Н.Х. Арутюняна [12], A.C. Алексеева [9], В.А. Бабешко [13-17, 20-22, 24, 25, 67], A.B. Белоконь [42-45], Н.М. Бородачева [50-53], И.И. Воровича [24, 63-67], Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой [25, 73-75], В.Н. Закорко, H.A. Ростовцева [83],

A.C. Зильберглейта, Б.М. Нуллера [84, 85], В.В. Калинчука, И.Б. Поляковой [86], В.Д. Кунадзе [94-96], М.Д. Мартыненко,

B.C. Романчик [105], Л.А. Молоткова [108], Т.Б. Муравского [111], Г.И. Петрашеня [120, 121], Г.Я.Попова [122-124], О.Д. Пряхиной [33-35,

126, 127], А.Н. Румянцева [138], В.Л. Свекло [140], В.М. Сеймова [146148], а также в работах [6, 26-30, 32, 36, 151, 157,177, 180].

Решению нестационарных задач уделили внимание A.B. Белоконь [43], A.C. Благовещенский [46, 47], В.Д. Купрадзе [96], А.И. Слегшн [152, 153], А.В.Смирнова [126, 127, 154-156], Ю. С. Яковлев [153] и другие авторы.

При решении сложных задач механики деформируемого твердого тела успешно применялись различные аналитические методы, в частности, метод факторизации [15,16,18,23,67,125], метод ортогональных полиномов и собственных функций [124, 147, 162], метод R-функций [129, 130], асимптотические методы [3, 19, 41, 66, 107, 109], метод интегральных уравнений второго рода [50-53, 98,99], метод фиктивного поглощения [18, 34, 35].

Преимущества этих методов состоят в явном виде решений интегральных уравнений первого рода, порождаемых динамическими контактными задачами и в возможности качественного исследования этих решений.

Смешанные динамические задачи механики деформируемого тела относятся к категории труднейших задач теории упругости. Наличие разрывных граничных условий приводит к необходимости решать интегральные уравнения первого рода с ядрами, обладающими как особенностями, так и сильной осцилляцией. Кроме того, математическая постановка краевых задач о возбуждении колебаний в неограниченных и полуограниченных средах требует корректной формулировки условий поведения решения на бесконечности.

Установлению этих условий посвящены работы А. Зоммерфельда [183], И.Н. Векуа [59], А.Г.Свешникова [141-143], А.Н.Тихонова, А.Л. Самарского [159].

В работах В.А. Бабешко [17 ,20, 22,], И.И. Воровича [64-66], JI.A. Молоткова [108] и других авторов [85, 91, 163] дана строгая математическая постановка краевых задач об установившихся колебаниях в полуограниченных упругих телах и рассмотрена единственность их решения.

Вклад в исследование проблем распространения волн в упругих средах внесли В.Н. Бабич [39, 40], С.Ю. Бабич, А.П. Жук, А.Н. Гузь [41], И.А. Молотков [40, 107], Е.В. Глушков [73-75], В.Г. Гринченко, В.В. Мелешко [79], Г.И. Петрашень [120], А.Ф. Улитко [162] и другие исследователи.

Среди множества работ, в которых затронуты вопросы распределения акустических волн в жидкости отметим следующие [54-57, 72, 82, 97, 139, 152].

Причем в работах [54, 56, 72, 82, 139] в качестве инструмента исследования применялся лучевой метод, имеющий ряд ограничений на параметры задачи.

В работах [55-57] изучение акустических колебаний проводилось на основе точного решения краевых задач. При этом в качестве подстилающего основания выбиралось либо абсолютно неподатливое дно, либо жидкое.

Проблемы динамического воздействия жидкости с упругими телами и средами рассматривались в работах В.Н. Сеймова [149, 150], Е.М. Гершунова [71], М.В. Чегшль [38, 170], Б.М. Островерха [117-119], A.B. Смирновой [38, 114], A.M. Трофимчука [150, 161], В.М. Ляхтера [102, 103], И.С. Шейнина [102, 172], К.В. Фролова [169], A.B. Белоконь [42] и других авторов.

Нестационарные волновые поля в жидкости на упругой среде были изучены в работах [104, 153]. В частности, в работе [153] был приведен анализ вклада волн различного типа системы "жидкость - упругое полупространство" в гидродинамическое давление.

В монографии [150] авторами В.М. Сеймовым, А.Н. Трофимчуком, O.A. Савицким приведены тщательные разработки методов исследования гидроупругих задач различного типа, направленные на выявление особенностей волновых процессов. Была рассмотрена, например, плоская задача о распространении волн в жидкости, расположенной на упругой полуплоскости под воздействием гармонической нагрузки, приложенной на границе раздела сред. Были получены перемещения в полуплоскости и гидродинамическое давление жидкости, а также проведено исследование волн Стоунли и Релея.

Работа [149] посвящена исследованию распространения упругих волн в гидротехнических сооружениях при динамических нагрузках с учетом взаимодействия с жидкостью и упругим основанием. Авторами приведены аналитические методы решения нестационарных задач для жесткого прямоугольного массива (штампа), двухмассовой системы, резервуара с жидкостью на упругом полупространстве при заданной сейсмограмме. Кроме того, на основе метода конечных разностей построены математические модели для исследования волн напряжений и деформаций конкретных сооружений.

Вопросы, связанные с колебанием резервуаров с жидкостью, рассматривались так же в работах М.А. Климова [87], Б.Г. Коренева [89, 90], A.M. Трофимчука [161].

Задача о колебании штампа на упругом основании является модельной для многих практических задач фундаментостроения, сейсмологии, вибрационного просвечивания Земли и других отраслей науки и техники.

В ранних работах на основании упрощенных контактных условий были получены приближенные законы распределения контактных напряжений для слоя и полупространства [175,184].

В работе [10] приведены результаты экспериментальных исследований взаимодействия штампа с упругим основанием.

Задача об определении контактных напряжений под штампом на упругом основании при различных видах внешних динамических воздействиях рассматривалась в целом ряде работ, например, [24, 31, 50, 52, 111, 151, 155, 156].

В настоящей работе аналитически исследуется распределение контактных напряжений на границе раздела сред: упругое основание -ограниченный слой жидкости.

Методом решения интегрального уравнения, к которому сводится изучаемая в данной работе краевая задача теории упругости, является метод факторизации функций и матриц-функций. Основы его были заложены в знаменитой работе Н. Венера и Е. Хопфа [185].

Большой вклад в развитие и использование этого метода внесли В.М. Александров, В.А. Бабешко, М.Н. Винник, И.И. Ворович, И.Ц. Гокберг, М.П. Крейн, С. Ли, Р. Миттра, Б. Нобл, Г.Я. Попов, И.М. Раппопорт, И.А Фельдман, В.А. Фок, Ю.И. Черский, Г.И. Эскин и др., из работ которых следует указать [3, 5, 7, 8, 15, 16, 18, 23, 24, 30, 31, 61, 67, 76, 77, 92, 106, 115, 125, 128, 174, 176, 182].

Основные результаты метода факторизации вытекают из теории краевых задач аналитических функций, разработанной в монографиях Н.П. Векуа [159], Ф.Д. Гахова [70], Н.И. Мусхелишвили [112, 113].

Целью настоящей работы является развитие методов решения динамических контактных задач о совместных колебаниях жидких и упругих сред; исследование и решение интегрального уравнения первого рода, ядро которого имеет особый вид и зависит как от суммы, так и от разности аргументов; построение функции распределения контактных напряжений на границе раздела сред с учетом частотных и физических факторов.

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержаться в публикациях [131-137] и были представлены на региональных конференциях в Краснодаре [132, 135], Сочи [134], Киеве [131, 133], на III Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируемого тела в Харькове [137], на XII Всероссийской конференции по теоретическим основам и конструированию численных алгоритмов решения задач математической физики (Новороссийск, 1998 г.), XVI Международной конференции по математическому моделированию в механике деформируемых тел (Санкт-Петербург 1998 г.).

Изложим кратко содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения, в которое вынесен графический материал.

Заключение

В диссертационной работе:

1) построена физико-математическая модель процесса установившихся колебаний гидротехнического сооружения, расположенного на поверхности однородной полуограниченной деформируемой среды;

2) разработан аналитический метод решения динамических контактных задач о совместных колебаниях жидкой и упругой сред, связанного с построением решения интегрального уравнения первого рода с ядром, зависящим от суммы и разности аргументов, специального вида; доказаны теоремы единственности решения полученных интегральных уравнений;

3) построение решения проведено методом факторизации, позволяющим выделить особенности и основные свойства искомой функции;

4) получены решения задач о вибрации ограниченного объема жидкости на упругом полупространстве и на упругом слое с защемленной нижней гранью;

5) в результате проведенного численного анализа установлены зависимости контактных напряжений на границе раздела сред от частотных, физических и геометрических параметров рассматриваемых задач.

Список основных обозначений х,у,г - прямоугольные декартовые координаты, ось 2 направлена по нормали к поверхности упругого основания / - время к - высота слоя жидкости

Н - ширина упругого слоя со - круговая частота колебаний источника д0 - амплитуда распределенной нагрузки источника д{х, у) - амплитуда контактных напряжений на границе раздела сред р(х, у, г) -еш - потенциал скоростей точек жидкости р0 - плотность жидкости с0 - скорость звука в жидкости и • еш - (и, V, • еш — вектор перемещений точек упругой среды тху, ту2 - компоненты тензора напряжений

Л' - расстояние от источника колебаний до объема жидкости

I - длина жидкого слоя

Я, ц - параметры Лямэ упругой среды р - плотность упругой среды у2 ~ скорости продольной и поперечной упругих волн волновые числа а - параметр преобразования Фурье п,к- индексы суммирования

Ф (п,х) - косинус преобразование Фурье потенциала скоростей точек жидкости

2(а)' (2о(а) - преобразования Фурье функций дид0

69

Qc{n) - косинус преобразование Фурье функции q К(а), R(a) - символы ядра интегрального уравнения Г - контур интегрирования

Х+(а),Х~(а) - неизвестные вектора функционального уравнения, регулярные соответственно в областях выше и ниже контура Г В (а) - матрица функционального уравнения

В+(а), В(а) - результат факторизации В (а) относительно контура Г D* — пространство обобщенных функций

A(s) - класс аналитических функций убывающих в своих областях регулярности с весом ае, £ > О

- нули и полюса подынтегральных функций

1. Развитие теории контактных задач в СССР / Абрамян Б.А., Александров В.М., Амензаде Ю.А. и др. М., 1976. 493 с.

2. Абрамян Б.Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости // Изв. АН СССР.МТТ. 1969. № 4. С. 181-197.

3. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости // Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32, № 4. С. 672-683.

4. Александров В.М. К решению некоторых контактных задач теории упругости // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 25. № 5. С. 970-972.

5. Александров В.М. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики // Прикладная математика и механика. 1967. Т.31, № 6. С. 1117-1131.

6. Александров В.М., АрутюнянН.Х. Взаимодействие движущегося упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости // Прикладная механика и математика. 1978. Т. 42. № 3. С. 475-485.

7. Александров В.М., Бабешко В.А. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 2. С. 95-107.

8. Александров В.М., Буряк В.Г. О некоторых динамических смешанных задачах теории упругости // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42. № 1. С. 114-121.

9. Алексеев A.C., Михайленко Б.Г. Решение задачи Лэмба для вертикально-неоднородного упругого полупространства // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. № 12. С. 11-25.

10. Алиев Г.А. О влиянии напряженно-деформируемого состояния системы "Основание сооружение" на поглощение и рассеивание энергии сейсмических колебаний // Строит. конструкции, сейсмостойкость сооружений, инж. геология и сейсмология. 1967. Т. 37. С. 8-12.

11. И. Амбарцумян В.А. К расчету подземных сооружений на сейсмостойкость // Расчет сооруж. на сейсмич. воздействия. Ереван. 1982, С. 39-47.

12. Арутюнян Н.Х., Баблоян A.A. О двух динамических контактных задачах для упругой среды // Прикладная математика и механика. Т. 29. № 3. С. 526-532.

13. Бабенпсо В.А. Асимптотические свойства решений некоторых двумерных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, № 5. С. 1074-1077.

14. Бабенпсо В.А. К теории динамических контактных задач // Докл. АН СССР. 1071. Т. 201, № 3. С. 556-558.

15. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач //Докл. АН СССР. 1978. Т. 242. № 1. С. 62-65.

16. Бабешко В.А. Новый эффективный метод решения динамических контактных задач // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, № 4. С. 777-780.

17. Бабешко В.А. Об интегральном уравнении некоторых динамических контактных задач теории упругости и математической физики // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33, № 1. С. 52-60.

18. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задач теории упругости. М.; Наука, 1984. С. 256.

19. Бабешко В.А. Об одном асимптотическом методе при решении интегральных уравнений теории упругости и математической физики // Прикладная математика и механика. 1966. Т. 30, № 4. С. 732-741.

20. Бабешко В.А. Об условиях излучения для упругого слоя. // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213. № 3. С. 547-549.

21. Бабешко В.А. К теории смешанных задач в произвольных областях // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 552-556.

22. Бабешко В.А. О единственности решений интегральных уравнений динамических контактных задач // Докл. АН СССР. 1973. Т. 210, № 6. С. 1310-1313.

23. Бабешко В.А. Факторизация одного класса матриц-функций и ее приложения // Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, № 5. С. 1094-1097.

24. Бабешко В.А., Ворович И.И., Селезнев М.Г. Вибрация штампа на двуслойном основании // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 1. С. 166-172.

25. Бабешко В.А., Глушков Е.В., ГлушковаН.В. К проблеме динамических контактных задач в произвольных областях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. № 3. С. 61-67.

26. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. К расчету сейсмического источника с заданной направленностью излучения. // Докл. АН СССР. 1982. Т. 262. №4. С. 831-834.

27. Бабешко В. А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. С. 344.

28. Бабешко В.А., Зинченко Ж.Ф., Смирнова A.B. К задаче о набегании волн нормального давления для штамп // Прикладная механика и техническая физика. 1982. № 2. С. 143-146.

29. Бабешко В.А. Зинченко Ж.Ф., Смирнова A.B. Нестационарное взаимодействие штампа с упругой средой // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 4. С. 136-140.

30. Бабешко В.А., Калинчук В.В. Об одном приближенном методе решения интегральных уравнений динамических контактных задачтеории упругости // Прикладная математика и механика. . 1974. Т. 38, №3.

31. Бабешко В.А., КорнееваТ.В. К расчету поведения на слое двух штампов при наличии вибрации // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38. № 3.

32. Бабешко В.А., Пельц С.П. Осесимметричные колебания плиты на упругом слое // Прикладная механика. 1977. Т. 13. № 9. С. 38-43.

33. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Об одном методе в теории динамических контактных задач для круглых штампов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981. № 2. С. 22-28.

34. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44, № 3. С. 477-484.

35. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления // Прикладная математика и механика. 1981. Т. 45, № 4. С. 725-733.

36. Бабешко В.А., Румянцев А.Н. Вибрация штампа, частично сцепленного со средой // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42. № 6. С. 1085-1092.

37. Бабешко В.А., Смирнова A.B. О решении нестационарных задач теории упругости со смешанными условиями / Ростов на Дону. 1982. 20 с. Рукопись представлена Ростовским государственным университетом. Деп. в ВИНИТИ 09.07.1982, № 3660.

38. Бабич В.М. О распространении волн Рэлея по поверхности однородного упругого тела произвольной формы // Докл. АН СССР. 1961. Т 137. №6. С. 1263-1266.

39. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы теории упругих волн // Итоги науки и техники. Сер. МТДТ / ВИНИТИ. 1977. Т. 10. С. 5-62.

40. Бабич С.Ю., Гузь А.Н., ЖукА.П. Упругие волны в телах с начальными напряжениями // Прикладная механика. 1979. Т. 5. № 4. С. 3-23.

41. Белоконь A.B., Грунфест P.A. Давление параболического контура по поверхности тяжелой идеальной жидкости конечной глубины // Прикладная механика и математика. 1971. Т 35. № 3. С. 545-548.

42. Белоконь A.B. Динамические контактные задачи теории упругости при нестационарных нагрузках // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез. докл. II Всесоюзной научной конференции. Днепропетровск, 1981. С. 122.

43. Белоконь A.B. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров // Докл. АН СССР. 1977. Т. 233. № 1. С. 56-59.

44. Белоконь A.B. Динамические контактные задачи для тел конечных размеров // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез. докл. III Всесоюзной научной конференции. Харьков, 1985. С. 176.

45. Благовещенский A.C. Обратные задачи теории распространения упругих волн // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. № 12. С. 50-59.

46. Благовещенский A.C. Об одном случае явного решения нестационарной обратной задачи // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. № 1. С. 188-190.

47. Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в простой среде // Механика. Период, сб. переводов иностр. статей. 1963. Т. 6, № 82. С. 103-134.

48. Боев С.И., Сумбатян М.А. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости при высоких частотах колебания // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49, № 6.

49. Бородачев Н.М. Колебания штампа, лежащего на упругом полупространстве, под действием горизонтальной гармонической силы //Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1963. № 9. С. 19-26.

50. Бородачев Н.М. Об одном методе решения интегральных уравнений динамических контактных задач // Расчет пространственных строительных конструкций. Куйбышев, 1976. № 6. С. 3-8.

51. Бородачев Н.М. Определение динамических напряжений, возникающих в упругом полупространстве под штампом с плоским основанием // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 4. С. 158-162.

52. Бородачев Н.М. О решении динамической контактной задачи для полупространства в случае осевой симметрии // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машиностр. 1960. № 4. С. 141-144.

53. Акустика океана / Под. ред. Бреховских JI.M. и др. М., 1974.

54. Бреховских JIM. Волны в слоистых средах. М., 1973.

55. Бреховских JI.M., Житковский Ю.Ю. Акустика океана. М., 1977.

56. Бреховских JI.M., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л., 1982.

57. Буряк В.Г. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 6. С. 155-159.

58. Векуа И.Н. О доказательстве некоторых теорем единственности в теории установившихся колебаний // Докл. АН СССР. 1951. Т. 80, № 3. С. 341-344.

59. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений М., Наука. 1970.

60. Вишик М.И., Эксин Г.И. Уравнения в свертках с ограниченной области. УМН, 1965. Т. 20, № 3.

61. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1976.

62. Ворович И.И. О поведении решений основных краевых задач плоской теории упругости в окрестности особых точек границы // III Всес. съезд по теор. прикл. мех. Аннот. докл. М., 1968. С. 80.

63. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

64. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т 245. №4. С. 817-820.

65. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

66. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

67. Галин JI.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М., 1980. 340 с.

68. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967.

69. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1978. 543 с.

70. Гершунов Е.М. Колебания круглой пластинки под слоем жидкости. Прикладная механика, 1974. Т. 10. № 4. С. 60-67.

71. Вопросы динамики моря: Сб. ст. / Под. ред. Глуховского Б.Х. М., 1974.

72. Глушков Е.И. Распределение энергии поверхностного источника в неоднородном полупространстве // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. № 1. С. 94-100.

73. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тукодова О.М. Расчет волнового поля, возбуждаемого виброисточником, анкерно сцепленным с грунтом. / Краснодар, 1983.21 с. Рукопись представлена Кубанским госуниверситетом. Деп. в ВИНИТИ 03.05.1983. № 2305.

74. Глушков Е.В., Глушкова H.B. Плоская задача о колебании штампа на слое // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1979. № 1. С. 23-25.

75. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. Вып. 2. С. 3-72.

76. Гохберг И.Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решений. М., 1971. 352 с.

77. ГрадштейнИ.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971. 1108 с.

78. Гринченко В.Т., МелешкоВ,В, Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981. 283 с.

79. ДиткинВ.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 544 с.

80. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М., 1979.

81. Житкосвкий Ю.Ю., Лысанов Ю.П. Отражение и расстояние звука дном океана // Акуст. журнал 1967. № 1.

82. Закороко В.Н., Ростовцев H.A. К динамической контактной задаче стационарных колебаний упругого полупространства // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. № 3. С. 545-552.

83. Зильберглейт A.C., Нуллер Б.М. О применении метода кусочно-однородных решений к динамическим задачам теории упругости // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Ч. 2. Тез. докл. Всесоюзной научной конференции. Ростов на Дону, 1977. С. 146.

84. Зильберглейт A.C., Нуллер Б.М. Обобщенная ортогональность однородных решений в динамических задачах теории упругости // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234. № 2. С. 333-335.

85. Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волн в слое с начальными напряжениями // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44. № 2. С. 320-326.

86. Климов M. А. Определение присоединенной массы жидкости в случае неосесимметричных колебаний днищ резервуаров. В кн.: Динамические напряжения и деформации в элементах энергетического оборудования. М.: Наука, 1977. С. 76-83.

87. Коллюгоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1989.

88. Коренев Б.Г. Импульсные воздействия на цилиндрические резервуары, наполненные жидкостью. В кн. : Строительство в сейсмических районах. М.: Стройиздат, 1957. С. 35-44.

89. Коренев Б.Г. Действие импульса на цилиндрические и призматические резервуары, наполненные жидкостью. В кн.: Строительная механика. М.: Стройиздат, 1966. С. 213-266.

90. Краснушкин П.Е. Вынужденные колебания бесконечной упругой полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т 244. № 2. С. 235-239.

91. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. Вып. 5. С. 3-120.

92. Кульмач П.П. Гидродинамика гидротехнических сооружений (основные плоские задачи). М.: Из-во АН СССР, 1963. 190 с.

93. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории установившихся колебаний // Успехи математических наук. 1953. Т. 8. № 3 (53).

94. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., 1963. 472 с.

95. Купрадзе В.Д. О контактных задачах теории упругости // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 2. С. 293-310.

96. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1967. 928 с.

97. Лобысев В.Л., Яковлев Ю.С. Осесимметричная динамическая задача теории упругости со смешанными граничными условиями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1971. № 4. С. 103-108.

98. Лобысев В.Л., Яковлев Ю.С. О решении динамических задач теории упругости со смешанными граничными условиями // Тр. Гидропоекта, 20. М., 1971. С. 65-80.

99. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М, 1955. 492 с.

100. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. -674 с.

101. Ляхтер В.М., Складнев М.Ф., Шейнин И.С. Исследования в области динамической гидроупругости гидротехнических сооружений. Гидротех. стр-во, 1971. № 8. С. 13-19.

102. Динамика сплошных сред в расчетах гидротехнических сооружений / Под ред. В.М. Ляхтера и Ю.С. Яковлева. М.: Энергия, 1976. 392 с.

103. Маркова И.Н., Шемякин Е.И. Распространение нестационарных возмущений в жидкости, находящихся в контакте с упругим полупространством // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 27, № 1. С. 57-66.

104. Мартыненко М.Д., Романчик B.C. Об одном методе решения основного интегрального уравнения контактных задач теории упругости // Весци АН БССР. Сер. физ. матем. наук. 1977. № 3. С. 42-47.

105. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М., 1974.

106. Молотков И.А. Асимптотические методы в теории упругих поверхностных волн // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1979. №41. С. 65-70.

107. Молотков Л.А. О дисперсионных уравнениях слоисто-неоднородных упругих и жидких сред // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР. 1974. Т. 42. С. 189-211.

108. Моссаковский В.И. Некоторые пространственные контактные задачи теории упругости // Автореф. дисс. на соиск. учен. степ, д-ра физ,-матем. наук. М., 1955. 15 с.

109. Морозов B.B. О коммутативных матрицах // Уч. зап. Казанск. ун-та. 1952. Т. 112. Кн. 9.

110. Муравский Т.Б. Гармонические колебания штампа на полупространстве при действии силы, приложенной к поверхности полупространства // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. № 6. С. 134-139.

111. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

112. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968. 512 с.

113. Нижегородцева О.В., Смирнова A.B., Шиленко JI.H. Расчет волновых полей в гидроупругих средах / Краснодар, 1987. 30 с. Рукопись представлена Кубанским госуниверситетом. Деп. в ВИНИТИ 07.05.1987. №4091-1387.

114. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М., 1962. 279 с.

115. НовацкийВ. Теория упругости. М., 1975.

116. Островерх Б.Н. Численное решение задачи о распространении упругих волн в неоднородной полуплоскости. Гидромеханика, 1975. Вып. 31. С. 99-103.

117. Островерх Б.Н. Разностная схема решения задачи о неустановившихся колебаниях массивных гидросооружений. // Сопротивление материалов и теория сооружений, 1975. Вып. 25. С. 186-193.

118. Островерх Б.Н. Численная реализация сейсмического воздействия на гидросооружения. // Сейсмостойкое строительство, 1976. Сер. XIV. Вып. 7. С. 34-37.

119. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах, разделенных параллельными плоскостями. // Уч. зап. ЛГУ, Л., 1952.

120. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л., 1980. 280 с.

121. Попов Г.Я. К решению краевых задач механики и математической физики для слоистых сред // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1978. Т. 31. №2. С. 34-47.

122. Попов Г.Я. Об одной плоской контактной задаче теории упругости // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1961. № 3.

123. Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. №3. С. 518-531.

124. Попов Г.Я. К решению задач теории упругости методом факторизации (Винера-Хопфа) // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38, №1.

125. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К расчету напряженно-деформированного состояния упругой среды при нестационарном нагружении // Изв. СКНЦ ВШ. № 1. 1983.

126. Раппопорт И.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1948. Т. 58, № 8. С. 1403-1406.

127. Рвачев В.Л. Об удовлетворении краевых условий в методе Бубнова-Галеркина с помощью R- функции // Успехи механики деформируемых сред. М., 1975. С. 488-492.

128. Рвачев В.Л., ПроценкоВ.С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев. Наук, думка, 1977. 235 с.

129. Рубцов С.Е. Одна гидроупругая динамическая задача для полуплоскости и слоя // Динамические задачи механики сплошной среды. Тез. докл. региональной конференции. Краснодар, 1986.

130. Рубцов С.Е. Об одном интегральном уравнении гидроупругости // "Труды XI научной конференции молодых ученых института механики АН УССР. Кийлов, 20-30 мая 1986". Сб. статей. Киев, 1986. С. 397-402. Деп. в ВИНИТИ 28.07.86. № 5507-В86.

131. Рубцов С.Е. Взаимодействие ограниченного слоя идеальной жидкости с упругим полупространством // Динамические задачи механики сплошной среды. Тез. докл. региональной конференции. Краснодар, 1988.

132. Рубцов С.Е. Исследование установившихся колебаний ограниченного объема жидкости на упругом слое // Известия высших учебных заведений, Северо-Кавказский регион, естественные науки, Ростов-на-Дону, 2000. № 1. С. 49-51.

133. Рубцов С.Е., Смирнова A.B. О решении динамических контактных задач гидроупругости. // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез. докл. III Всесоюзной научной конференции. Харьков, 1985.

134. Румянцев А.Н. Динамические контактные задачи с разнородными условиями в области контакта // Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. физ.-матем. наук. Ростов на Дону, 1979. 16 с.

135. Санто Дж. Де. Акустика океана. М., 1982.

136. СвеклоВ.Л. К решению динамической задачи теории упругости для полуплоскости при смешанных граничных условиях. // Прикладная математика и механика. 1959. Т. 23. № 2. С. 266-273.

137. Свешников А.Г. Принцип излучения // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. № 5. С. 917-920.

138. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волноводов // Докл. АН СССР. 1951. Т. 80. № 3. С. 345-348.

139. Свешников А.Г. О единственности решений внешних задач теории установившихся упругих колебаний. Прикладная математика и механика. 1954. Т. 18. В. 2.

140. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., 1967. 304 с.

141. Сеймов В.М. О рекомендациях по динамическому расчету конструкций гидросооружений на упругом основании. // Труды координацион. сов. по гидротехнике, 1972. Вып. 64. Ч. 2. С. 8-29.

142. Сеймов В.М. Применение метода ортогональных многочленов к динамическим контактным задачам // Прикладная механика. 1972. Т. 8. № 1. С. 69-77.

143. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев, 1976. 284 с.

144. Сеймов В.М. О вычислении некоторых двойных интегралов, встречающихся при решении контактных задач // Динамика и прочность тяжелого машиностроения. Днепропетровск, 1980. № 5. С. 132-135.

145. Сеймов В.М., Островерх Б.Н., Ермоленко А.И. Динамика и сейсмостойкость гидротехнических сооружений. Киев, 1983.

146. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. Киев: наук, думка, 1990. Т. 224.

147. Селезнев М.Г. Возбуждение вибрирующим штампом волн в двуслойных средах // Прикладная механика. 1976. Т. 12. № 9. С. 36-42.

148. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Ленинград, 1972. 374 с.

149. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980. 343 с.

150. Смирнова A.B. Задача о действии движущегося импульса давления на жесткий штамп, лежащий на упругой слоистой среде // Исследования по механике твердого деформируемого тела. Ереван, 1981. С. 244-248.

151. Смирнова A.B. Контактные задачи о нестационарных колебаниях массивного штампа Ростов на Дону, 1982. 18 с. Рукопись представлена Ростовским госуниверситетом. Деп. в ВИНИТИ 13.07.1982, №3745.

152. Смирнова A.B. К расчету контактных напряжений при нестационарных колебаниях массивного штампа на упругом слое. Ростов на Дону, 1982. Деп. в ВИНИТИ 15.07.82, № 3803-82.

153. Смирнова A.B., ПряхинаО.Д. К расчету энергетического баланса на упругом полупространстве // Тез. докл. региональной конференции. СКНЦ ВШ. Изв. СКНЦ ВШ, 1976. № 4.

154. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 668 с.

155. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., 1966. 736 с.

156. Ткачев Г.В. К расчету параметров виброисточников, находящихся в слое жидкости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1978. № 2.

157. Трофимчук А.Н. Влияние жидкости на основную частоту колебаний бассейна конечной жесткости на упругой полуплоскости //

158. Математические методы механики жидкости и газа. Днепропетровск, 1981. С. 119-126.

159. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев, 1979. 261 с.

160. Устюченкова Л.И. Принципы предельной амплитуды и предельного поглощения для полуполосы // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. Тез. докл. региональной конференции молодых ученых Сев. Кавказа. 1976. №4. С. 106.

161. Уфляд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука, 1967. 420 с.

162. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

163. Федорюк М.В. Метод перевала. М., 1977. 368 с.

164. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1980. 350 с.

165. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики //Мат. сб. 1944. Т. 14. № 1-2. С. 3-50.

166. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости. М.: Наука, 1983. 144 с.

167. Чепиль М.В. Динамическая контактная задача для упругого полупространства при наличии ограниченного объема жидкости на его поверхности // Автореф. дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук. Краснодар, 1991. 15 с.

168. Черский Ю.И. Уравнения типа свертки // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22. № 3. С. 361-378.

169. Шейнин И. С. Колебания конструкций гидросооружений в жидкости (справочное пособие по динамике гидросооружений, ч. 1). Л.: Энергия, 1967. 310 с.

170. Шульман С.Г. Расчеты сейсмостойкости гидросооружений с учетом влияния водной Среды. М.: Энергия, 1976. 336 с.

171. Яковлев Ю.С., ЛобысевВ.Л. О решении динамических задач теории упругости со смешанными граничными условиями // Тр. Гидропроекта. М„ 1971. Т. 20. С. 65-80.

172. Arnold R.N., Bycroft G.N., Warburton G.B. Forced vibrations of a body on an infinite elastic solid // J. Appl. Mech. 1955. E 22. P. 391-400.

173. Bates S.P. and MittraR. A factorization procedure for Wiener-Hopf kernels.lEEE. Trans. AP 17, 1969.

174. De Т.К. Dynamic contact problem of steady periodic vibrations on an elastic half-space. Z. ange W. Math, and Mech., 1972. V. 52. № 11. P. 549-551.

175. Foda M.F., Mei C.C. A boundary layer theory for Rayleiqh waves in porous fluid-filled halfspace // Int. J. Soil. Dyn. and Earthquare Eng. 1983. T. 2, № 2. P. 62-65.

176. Housner G.W. Dynamic pressures on accelerated fluid containers. Bull. Seism. Soc. Amer., 1957. T. 47. № 1. p. 15-34.

177. Hryniewicz Z. Vibration of a rigid body on an elastic halfplane. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1980. V. 29. № 1. P. 113-122.

178. Jacobsen L.S. Impulsive Hydrodynamics of Fluid Inside a cylindrical tank and of Fluid Surrounding a Cylindrical Pier. Bull. Seism. Soc. Amer., 1949. T. 39.№ 3. P. 189-204.

179. Koiter W.T. Approximate solution of Winer-Hopf tipe integral equations with applications. Proc. Konikl. Akad. wet., 1954. T. 57, № 5.

180. Sommerfeld A. Vorlesungen über the oretische Physik. Bd. IV. Optik. Wiesbaden, 150.

181. Sung T.G. Vibrations in semi-infinite solids due to periodic surface loading // ASTM Spec. Techn. Publ. 156. Symp. of Dyn. Testing of Soils. Philadelphia, 1954. P. 35-63.

182. Wiener N., HopfE. Uber eine Klasse singularer Integralg leichngen. Sitzungsber., Akad. Wiss., Berlin, 1931.1. НОЛЬполюс1. Рис. За1. аь1. Рис. 361. Рис.41. Рис. 6а