Динамические задачи теории трещин, вырезов и включений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. Актуальность работы

2. Цель и структура диссертации.

3. Краткий обзор литературы . II

ГЛАВА I. РАЗРУШЕНИЕ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ, ОСЛАБЛЕННОЙ П0-ЛУБЕСКОНЕЧНШ ТОНКИМ ВЫРЕЗОМ, ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПЛОСКИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН.

1.1 Постановка задачи. Метод решения

1.2 Построение главного члена асимптотики. Случай продольной волны

1.3 Исследование хрупкого разрушения упругой плоскости с тонким вырезом под воздействием продольной волны

1.4 Поперечная волна. Анализ разрушения

ГЛАВА 2. УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ С

ТОНКИМ ВЫРЕЗОМ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ.

2.1 Математическая формулировка задачи

2.2 Задача разрушения упругой плоскости с тонким вырезом. Случай плоской деформации

2.3 Случай деформации антиплоского сдвига

ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ ГРАНИЦЫ НА РАЗРУШЕНИЕ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ С КРАЕВЫМИ ВЫРЕЗАМИ ИЛИ ЖЕСТКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ВОЛН АНТИПЛОСКОГО СДВИГА

3.1 Постановка задачи

3.2 Задача для полуплоскости. Глубокий вырез

3.3 Полуплоскость с мелкой выточкой. Задача для четвертьплоскости.

ГЛАВА Ч. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАЗЬЯ - ПЛАМЕНЕВСКОГО ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УСТАНОВИВШИХСЯ

КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ТЕЛ.

4,1 Общая схема метода.

4*2 Установившиеся колебания антиплоского сдвига упругого кругового сектора

Ч.3 Плоские установившиеся колебания упругого сектора при смешанных краевых условиях на граничных радиусах

ВЫВОДЫ

Усовершенствование более точных методов анализа напряжений в конструкциях позволяет уменьшить коэффициенты запаса и, следовательно, повысить уровень эксплуатационных напряжений. Экономика производства требует, чтобы не только эксплуатация конструкции была надежна в течение всего срока службы, но и чтобы масса конструкции была минимально допустимой.

Выполнение требования увеличения уровня эксплуатационных напряжений при одновременном уменьшении массы конструкции, естественно, невозможно без знания картины распределения напряжений в теле при данном виде нагружения. ^е вызывает сомнения и тот факт, что даже самое совершенное производство материала не позволит избежать различных технологических дефектов. К таковым относятся трещины - тонкие полости у которых один линейный размер много меньше другого, различного рода включения и т. п. . Если же еще учесть, что до начала своей эксплуатации конструкция или сооружение подвергается различного рода агрессивным воздействиям, которые вызывают разрушение на микроуровне материала конструкции, то можно считать, что любая конструкция или сооружение имеет те или иные начальные дефекты, являющиеся концентраторами напряжений.

Из вышесказанного следует, что для обеспечения надежности эксплуатация конструкции должна допускать повреждения: конструкция должна быть спроектирована с таким расчетом, чтобы способ -ность ее воспринимать допустимые нагрузки сохранялась даже при наличии в ней концентраторов напряжений.

В связи с этим возникает вопрос об исследовании картины напряжений в окрестности существующих в материале дефектов. На -чальное разрушение конструкции всегда носит локальный характер.

Это означает, что разрушение сооружения или конструкции начинается вблизи дефектов и зависит от геометрии последних, прочностных характеристик материала и вида нагрузки. Все это позволяет изучать распределение напряжений в окрестности дефектов на примере модельных задач и уже по ним судить об истинной картине напряжений в теле, И чем ближе модель к реальности, тем точнее будет полученное приближение.

На поставленные вопросы призвана ответить механика разрушения. Известно, что в линейной механике разрушения существуют две устоявшиеся точки зрения на модель трещины. Основоположник современной теории трещин А.А.Гриффитс в своей известной работе / 69/ рассматривал трещину как предел тонких вырезов эллиптической формы. При другом подходе /40/ моделью трещины считают математический разрез. Но проведение многочисленных экспериментов по разрушению материалов, целью которых было определение разрушающих нагрузок, показало, что критические нагрузки при которых происходит разрушение реальных материалов оказываются в проме -жутке между теоретически вычисленными допустимыми нагрузками на основе двух указанных моделей трещин. При этом, как и следовало ожидать, модель трещина - разрез дают нижнюю, а модель трещина -тонкий эллипс - верхнюю границы критических нагрузок.

Естественным образом возник вопрос о более реальной модели трещины. Было предложено рассматривать трещину как тонкий гладкий вырез, кромки которого в крайних точках имеют большую, но конечную кривизну. Используя эту модель трещины в работе /II/ впервые было исследовано хрупкое разрушение упругой плоскости с трещиной при статическом нагружении. Полученное отношение пределов прочности на сжатие и разрыв зависит от радиуса кривизны кромки выреза в крайней точке и изменяется от 3.8 до 8, что соответствует значениям этого отношения для разреза и эллипса.

Этот факт несомненно говорит о том, что модель трещина - тонкий вырез является более точным приближением реальных трещин в теле.

При проведении экспериментов неоднократно отмечалось, что многие материалы при разрушении ведут себя хрупким образом, т.е. разрушаются практически без образования пластических зон в вершине трещины. Это позволяет рассматривать в механике разрушения модели с упругой реалогией.

Как уже отмечалось, в модельной задаче помимо выбора той или иной модели трещины необходимо учитывать тот вид нагрузки , которому подвержена реальная конструкция.

В последнее время в связи с развитием новых областей техники возникла необходимость учета не только дефектов, но и неравномерности нагружения во времени. Работа современных конструкций и сооружений, имеющих трещины, полости или включения, часто протекает в условиях многократного статического или циклического нагружения. При рассмотрении такого рода явлений необходимо выяснить влияние характеристик нагрузки, к таковым относятся направление распространения упругой волны относительно дефекта, амплитуда и частота источников возбуждения и т.п., на механизм разрушения. Этому вопросу посвящены главы I и 2 настоящей работы В настоящее время, исходя из нужд инженерного проектирования, встал вопрос об учете границ реальных конструкций в модельных задачах. Это связано с тем, что часто на практике следует учитывать близость границы к очагу разрушения, особенно в динамических задачах, когда вследствии многократного отражения от границ тела волн возникает сложное волновое поле. Поэтому количественные результаты, полученные для бесконечного тела при динамических нагрузках, не могут быть использованы для тела конечных размеров, и учет границы в постановке задачи делает ее решение более приемлемым для практики.

В монографии /8/ приведены фотографии образцов после испытаний на разрушение при циклических нагрузках. Из них видно, и это подчеркивается в вышеназванной работе, что трещины, зарождающиеся в углах и на границах тел, распространяются преимущественно вглубь тела и с течением времени принимают форму четверти или половины эллипса. Это указывает на необходимость рассмотрения задач для упругой полуплоскости и четвертьплоскости,с дефектами вышеупомянутой формы, возбуждаемых источниками гармонических волн. Этому вопросу посвящена глава 3 настоящей работы.

Как уже отмечалось в начале этого параграфа, одним из основ ных вопросов практики является проблема увеличения эксплуатационных напряжений в конструкции или сооружении. Но не вызывает сомнений утверждение, что для любого материала существует критический набор параметров нагрузки, превышение которого повлечет за собой разрушение. Естественным будет вопрос: какой набор значений параметров нагрузки вызывает разрушение конструкции. Именно с этих позиций исследуется механизм разрушения в главах I и 2 работы.

В механике разрушения к концентраторам напряжений относят не только трещины, но и различного рода острые выточки в телах, которые могут быть обусловленны самим типом конструкции. К таковым, например, принадлежат острые угловые проточки у валов. Знание коэффициентов интенсивности напряжений для установившихся колебаний упругого сектора с произвольным углом раствора позволит судить о концентрации напряжений в реальной конструкции, имеющей аналогичные дефекты. Э тот вопрос рассмотрен в главе 4.

Все вышесказанное указывает на актуальность, теоретическую и практическую важность исследований по механике разрушения при динамическом нагружении, выполненных в данной работе.

выводы.

1. Методом сращиваемых асимптотических разложений построен главный член равномерной асимптотики решения задачи о дифракции плоских упругих волн на полубесконечном вырезе в плоскости при условии, что максимальная ширина полости много меньше длины падающей волны.

2. Изучено влияние направления распространения волны на возможность дальнейшего развития полости. Найдены максимально опасные направления для каждого вида волн. В силу критерия хрупкого разрушения для них получены критические значения амплитуд падающих волн. Установлено, что поправка, вносимая в значения разрушающих нагрузок, вычисленных с использованием модели трещина - разрез, моделью трещина - тонкий вырез зависит только от радиуса кривизны кромки выреза в крайней точке и структурной характеристики материала. Дальнейшее развитие полости при критических значениях амплитуд падающих волн будет всегда начинаться только из одной точки контура в случае падения продольной волны. При излучении из бесконечности поперечных волн при некоторых углах падения возможен эффект ветвления трещины.

3. Рассмотрена задача о хрупком разрушении упругой плоскости, ослабленной тонким вырезом конечной длины, берега которого нагружены силами,вызывающими нормальный отрыв берегов полости или деформацию антиплоского сдвига. Построен главный член равномерной асимптотики решения по малому естественному параметру задачи (малый параметр в этой задаче - отношение максимальной ширины выреза к его длине). Используя критерий хрупкого разрушения В.В.Новожилова получены выражения, связывающие параметры нагрузки и характеристики материала. В случае длинных волн и постоянной, по всему контуру полости, амплитуды нагрузки найдено длинноволновое приближение критического значения амплитуды.

Исследовано влияние границы на возможность хрупкого разрушения упругой полуплоскости, имеющей краевые вырезы или жесткие включения полуэллиптической формы при распространении в среде волн антиплоского сдвига. Особое внимание уделено случаю длинных волн (длина падающей волны много больше фокусного рассто яния эллипса). Для длинных волн получены асимптотики главных напряжений на контуре выреза или включения с точностью доС(я) и соответственно ( , 60 - частота, ^ - фокусное расстояние эллипса, С - скорость распространения поперечных волн). Сделаны следующие выводы: опасность хрупкого разрушения для полуплоскости с глубокими краевыми вырезами или жесткими включениями в два раза больше чем для плоскости с соответствующими дефектами; для полуплоскости с мелким краевым жестким включением и для четвертьплоскости с угловой жесткой припайкой опасность разрушения возрастает еще облыпе по сравнению с предыдущим случаем ; в то же время мелкие краевые вырезы практически не опасны для длинных волн.

5. Методом В.Г.Мазья и Б.А.Пламеневского найдены коэффициенты интенсивности напряжений в задачах об установившихся колебаниях упругого сектора ^ = ((Л©) Г Рас смотрены колебания антиплоского сдвига, возбуждаемые сосредоточенными силами, приложенными на граничных радиусах области-^- . Круговая граница свободна от напряжений. Если где & частота колебаний, Ь ** точка на граничных радиусах, где приложены нагрузки, С - скорость распространения поперечных волн, то получена длинноволновая асимптотика коэффициента интенсивности . В случае А = коэффициент интенсивности для круга с разрезом по радиусу представлен через элементарные функции. Выведено уравнение для частот колебаний, при которых концентрация напряжений в угловой точке области отсутствует. Определен коэффициент интенсивности в случае плоских колебаний области , возбуждаемых равномерно распределенными по круговой границе нормаль ными нагрузками, при этом считается, что граничные радиусы подкреплены нерастяжимыми ребрами с нулевой жесткостью на изгиб. При решении задач предполагалось, что частоты колебаний не лежат на спектре собственных колебаний области

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости.- М., Высш.школа, 1971 .

2. Афанасьев Е.Ф., Черепанов Г.П. Некоторые динамические проблемы теории упругости.- Прикл.мат.и мех., 1973, т.37, № 4, с.618-639 .

3. Ахенбах Дж. Задача о распространении упругих волн при неразрушающих испытаниях.- В сб.: Мех.дефор.твер.тела. Направления развития. М., Мир, 1983, с.324-345 .

4. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы теории упругих волн.- Итоги науки и техники. Мех.дефор.твер.тела. ВИНИТИ, т.10, 1977 .

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2 , М., Наука, 1974 .

6. БорисковскиЙ Н.М., Партон В.З. Динамическая механика разрушения.- Итоги науки и техники. Мех.дефор.твер.тела. ВИНИТИ, т.16, 1983 .

7. Бородачев Н.М. Динамическая задача о трещине в случае деформации продольного сдвига.- Пробл.прочности, 1973, №4,с.23-25

8. Броек Д. Основы механики разрушения.- М., Высш.школа, 1980 .

9. ВеликотныЙ A.B., Сметанин Ё.И. К задаче об установившихся колебаниях плоскости с разрезом.- Прикл.мат.и мех., 1975, т.ЗУ, Н, с.189-192.

10. ГрадштеЙн И.О., Рыжик И.Н. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М., Наука, 1971 .

11. Зорин И.О. О хрупком разрушении упругой плоскости, ослабленной тонким вырезом.- Вестник ЛГУ, 1982, №7, с.П-15 .

12. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области со щелью. I.Двумерный случай.- Мат. сбор., 1976, т.99, М, с.265-284 .

13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.1. М., Наука, 1973 .14» Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа*- М., 1950 .

14. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками.- В кн.: Тр.Моск. мат.о-ва. М., МГУ, т.16, 1967 .

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М., Наука, 1984 .

16. Костров Б.В. Дифракция плоской волны на жестком клине, вставленном без трения в безграничную упругую среду.- Прикл. мат.и мех., 1966, т.30, вып.1 .

17. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.- М.,Мир, 1972 .

18. Кулиев В.Д. Об одной задаче динамической теории упругсти.-Прикл.мат.и мех., 1972, т.36, №6, с.1118-1123 .

19. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения.- М., Гостехиздат, 1950 .

20. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.- М., Наука, 1973 .

21. Лурье А.И. Теория упругости.- Л», 1970 .

22. Мазья В.Г., Назаров С.А., ПламеневскиЙ Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области.- Тбилиси, 1981 .

23. Мазья В.Г., ПламеневскиЙ Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребра.- Докл. АН СССР, 1976, т.229, П .

24. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения фунций Матье.- М., 1953.

25. Мартиросян А.И. Решение задачи о нормальном и касательном импульсах, приложенных на границе щели.- Уч.зап.Ереван.у-на, Естествен., 1974, т.126, №2, с.21-29 .

26. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов.- М., Мир, 1974 .

27. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- М., Наука, 1983 .

28. Морозов Н.§. Математические вопросы теории трещин и острых вырезов.- Препринт ин-та прб.мех. АН СССР, М., 1982 .

29. Морозов Н.§. Избранные двумерные задачи теории упругости.-Л., ЛГУ, 1978 .

30. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.- М., Наука, 1966 •

31. Найфе А.Х. Методы возмущений.- М.» 1976 .

32. Нейбер Г. Концентрация напряжений.- М., 1974 .

33. Никифоров А.5.,. Уваров В.Б. Основы теории специальных функций.- М., Наука, 1974 .

34. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа.- М.,Ин.лит., 1962 .

35. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкого разрушения.- Прикл.мат.и мех., 1969, т*33, №2, с.212-222 .

36. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах.- Прикл.мат.и мех., 1969, т.33, №5, с.797-812 .

37. Новожилов В.В. Теория упругсти.- Л., 1958 .

38. Олвер Введение в асимптотические методы и специальные функции.- М., Мир, 1978 .

39. Панасюк В.В. О разрушении хрупких тел при плоском напряженном состоянии.- Прикл.мат.и мех., 1961, т.1, №9, с.1653-1658

40. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Динамическая задача для плоскости с разрезом»- Докл.АН СССР, 1969, т.185, №3, с.541-544 .

41. Партон В.З., Морозов Е»М. Механика упруго-пластического разрушения.- М., Наука, 1974 .

42. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости.- М., Наука, 1981 .

43. Поручиков В.Б. Дифракция сферической волны на упругом клине.- Прикл.мат.и мех., 1976, т.40, с.898-908 .

44. Поручиков В.Б. Дифракция цилиндрической упругой волны на кли не.- Изв. АН СССР, МТТ, 1976, №5, с.136-144 .

45. Поручиков В.Б. Решение динамических задач теории упругости для угловых областей со смешанными граничными условиями.

46. Прикл.мат.и мех., 1978, т.42, №5, с.90&-919 .

47. Поручиков В.Б. Точные решения пространственных задач дифракции плоских упругих волн на клине.- Докл. АН СССР, 1981,т.258, №4, с.823-826 .

48. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости.-М., Высш.школа, 1966 .

49. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.2.~ М., 1875 .

50. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения.- В сб.: Разрушение, т.2, 1975, с.83-103 .

51. Слепян Л.И. Механика трещин.- Л., Судостроение, 1981 .

52. Тимошенко С.П., Гудьер Дк. Теория упругости.- М., 1979 .

53. Фридман М.М. Дифракция плоской упругой волны относительно полубесконечного прямолинейного разреза, свободного от напряжений.- Докл. АН СССР, 1949, т.66, Щ, с.21-24 .

54. Хёнл X., Мауэ А., Вестфалль К. Теория дифракции.- М.,Мир, 1964 .

55. Черепанов Г.П. Дифракция упругих волн на разрезе.- В сб.: Мех.сплош.среды и родст.проб.анализа, М., Наука, 1972 , с. 615-622 .

56. Черепанов Г.П. Механика разрушения.- М., Наука, 1974 .

57. Datta S. K. o^ SH-waves (fy edgeeeaejL-Згап*. (ISME. "3. Щ1 Meek, Ш 9, v^ 6,4/1,^04406.

58. Hatiwat R.S., Ü.M. Di^aeUcm ©^ SH-'waves fy бгС^ЛЬ c/iaeW lv\ a wonhomogeneeus infinite wiediuwi-CftNCfttt 77. &oe. 6th Сак. Сопдг. Meek, Vaneoimt 1îll,Y.i,Vaneeuvez, s.a., 231-232 .

59. СгсиЛелеп VK-, 3.3). etólence ©^suz,|aee-waves guixtaí Ц a slítSlftN . X fty\A- МоЛ-И'Ш,б*. беогде 0.3). S(¡ow Wsionat eseiHaU«« ; IW Reiss пег-ScMj&ei, av\d etaefe ^эго&Сет oti Eow .-ЪА.

60. Ewoj. Sei., Л^^О, ыЛ%0л/Ъ, \>. 5^07-522.69. ft.ft. 3hetV>eo*i¿ o^ au\>We : P2oe. FUst Intan.Covx^. R^.WeeW.M^HW^.íS-e-S.

61. Hernia XD., fteWnllcxeh 3.D. Necvt ^CeEol sui^aee-Wvottcms e*eiAedl л taollation ^гот a art&íitG/u) "3. GeopV^s. ге§\->., íl, v. $6, л/ 840, $352-9356 .

62. Hanzawft H.? Kí^VuxMoi M., fts<xno Í- DjjYifcwue LvAet^eze^ee letween а еъаЛ ^ate, &ouv\dart.\3.3)^naYY\(es-\2ess inten^itij ^etois indueed Ц a haimoníe1. SHwavres 3SNE, Ш1, v. ^ .

63. Hus^aü^M-ft., Pu S. I. Donarme ^t2ess iiatevm^^act-огз ^ег av\ цу\ооискс1 eot{iv\ea/t с гае Ewj. Ргае^.МескИ^, v.Z», |>. S65*-¿76 .

64. T3. íain 3)./,., Kcwwat R.P. í^^ae-bien ©^ efaske wfttfes

65. Ejj iwo GzC^-CiVt cmefes. iv\o\ efasbiemedCuYY). — U.Scxv\ci э <2, v. 2 57A. К

66. Ш1, Y. AS, 5TfO-5TG • Tí. ¿oe&e* fr.e. bi^acti©«o^ схуАЦ» Une §А\есхя. waues ^-uvile etaefe,.- Ъ. fteeus-k. Soe.

67. Wee., Ш1, v.iiA, /vi, 90-9X .

68. Hai ft. VC. (WoU onUe tow fic{ efexstüc. waves ß^ сгоЛ.-1Л. "3. Sel., Ш2,

69. V.HO, л/5 , 609-642 . 77. Маце ft-W- Dùe feeuguncj е1а&^1о>еЬег WeKov\ а\л сЛег ЙсхСЬе

70. Une.- IWM, 4955, Ь. 55, VU/2, s. 4-40.7&. haue d.W. Die feeL ^toiitLcWv*

71. ElftscVmi-ttelnes eje&^pavmtett et,as"tUe\\et \Сог\эеъ£.-ZfcUM, VU/2, S. 4-АО .

72. Ra^n R.L., Matt S. Hode Ш dywawuc. sifcess LvAewsvfojог -two ео{£й\е&л oiaeks at fr tivwcxiUCft-1

73. Ut^aee.- ZWoLVift.ftSNE. 3. Щ1 ttecVv., v. 49, VP, .

74. Sa&ùncx F.I, WitEis Ü. R. SecxtiatlnGj, Ra^tixcjVvwaves Ца/ г edge.-"3. Geo^s., №17, \>. k0{-k№.

75. S>a& una V".VJiliCs S>co-ttetCv\^ -waves o* -zougViatfo-Ua/L^ sWx^pe.-бхо^Цз. X R. asVt. Soe.,

76. SiV\ б-. C., Lozb&L "3. Р. "Зог&йоу\а£. vlltajtcom clastúe

77. SofUd eon¿tc\,úwtv\Gj. a jpenn^- sW^cd сгаеЬ.- (\е<&иъ\:. Soc. W*., \<M>$, v.kk.A/ 5", Д257-Ч2А5Г.

78. Me^wxa^ сет^>г<г.9>£\.см av\d lacUotV SW(X/L waves ai О/ ^ewi^-sW^ed c^iaetly\ a efastCe soled.- fteoust. Soc. 1<369э v.A6,1. У 5, ßojtt ~T\{~ 72 d. .

79. ST. Siov\e S.F., G-UsVi ^i^UeUe« o^glvAuane. sWo^ waves Ц a* edge ezaeL3. ^.HeeW, 49SO, V.M, л/<2, \>.ЪЪЪ-Ъ62 .

80. N.3). SeaArte^lviOj o^ ^tane SH~W9V€S (jtj (V 3emv--eyEiyi(JtLe(xi- gom^oyu- awol £ViueU.

81. S^a., ШЬ, /vl, 267-5X1 . ЗЦипае N-D., Wouj H.^ SeaiWiv^ o^ Javier SH WCXves, a, semi-еау\^о\л.- .сxv\d Sfctuett. Dijv»., л/3, y>.

82. РАБОТЫ, ВЫПОЛНЕННЫЕ АВТОРОМ

83. Крылов М.Ю. Установившиеся колебания упругой плоскости с полубесконечным тонким вырезом. Деп. рук. ВИНИТИ § 5781-83 от 19.10.83 .

84. Крылов М.Ю. Динамическая задача о хрупком разрушении упругой плоскости, ослабленной тонким вырезом произвольной формы.- Вестник ЛГУ, 1984, № I, с. II5-II7 .

85. Крылов М.Ю. Применение метода Мазья-Пламеневского для определения динамического коэффициента интенсивности.- Вестник ЛГУ, 1984, № 7, с. 95-96 .