Динамический подход к рассмотрению формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

На правах рукописи

ХИРЬЯНОВ Роман Михайлович

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАССМОТРЕНИЮ ФОРМИРОВАНИЯ УГЛОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ОСКОЛКОВ ДЕЛЕНИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ КОМПАУНД-ЯДЕР

01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

о 9 АПР 2009

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск — 2009

003466443

Работа выполнена на кафедрах теоретической и экспериментальной физики Омского государственного Университета имени Ф.М. Достоевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации Г. Д. Адеев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Главанаков Игорь Владимирович; кандидат физико-математических наук, доцент Литневский Леонид Аркадьевич

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

ядерной физики имени Д. В. Скобельцына Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Защита состоится 28 апреля 2009 года в на заседании совета

по защите докторских и кандидатских диссертаций Д212.269.05 при Томском политехническом университете (634050, г. Томск, проспект Ленина, 2а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского политехнического университета.

Автореферат разослан " А-МО-р2009 года.

Ученый секретарь совета по защите

докторских и кандидатских диссертаций .

кандидат физико-математических наук^ Кожевников А. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При теоретическом анализе экспериментальных данных по угловым распределениям осколков деления традиционно используется модель переходного состояния [1, 2]. Данная модель основана на предположении, что существует некоторая выделенная (переходная) конфигурация делящейся системы, которая определяет угловые распределения осколков деления. Обычно в качестве такой переходной конфигурации выбирают седловую точку барьера деления. В рамках этой модели угловые распределения зависят от взаимной ориентации полного углового момента I и оси деления в седловой точке. Предполагается, что распределение по проекции 7 на ось деления (характеризуемой величиной К) в седловой точке становится равновесным и пе изменяется при дальнейшей эволюции делящейся системы вплоть до точки разрыва. Это предположение возможно только если время перехода от седловой точки до точки разрыва (т5а_8С ~ 10~2Ос [3, 4]) много меньше времени релаксации степени свободы, связанной с К (тк)■

На ранних этапах экспериментального изучения углового распределения осколков деления рассматривались реакции, в которых в качестве налетающих частиц выбирались нейтроны и а-частицы [1, 5]. Составные ядра, образующиеся в таких реакциях, имеют температуру порядка 1 МэВ и невысокие значения углового момента. Для таких реакций высота барьера деления много больше температуры ядра, и стандартная модель переходного состояния в седловой точке (ПССТ) позволяет хорошо описывать экспериментальные данные по анизотропии углового распределения осколков.

В дальнейших экспериментах использовались уже более массивные налетающие частицы — ионы углерода, кислорода и тяжелее [5]. Стало возможным изучение углового распределения осколков при делении более тяжелых ядер с гораздо большими температурами и угловыми моментами. Для таких систем обнаружилось, что стандартная модель ПССТ предсказывает систематически низкие значения анизотропии углового распределения по сравнению с экспериментальными данными. Для объяснения аномально больших значений анизотропии углового распределения была предложена альтернативная модель, в которой за эффективное переходное состояние принималась не седловая, а более деформированная точка разрыва [6], т.е. модель переходного состояния в точке разрыва (ПСТР).

Недавно были опубликованы работы двух теоретических групп [7, 8], в которых к изучению угловых распределений применялись динамические подходы, основанные на одномерных уравнениях Ланжевена. Основное преимущество динамических моделей перед чисто статистическими заключается в том, что они могут учесть динамические особенности формирования угловых распределений. В первую очередь, это касается испарения предразрывных нейтронов. В работе [8], основываясь на понятии времени релаксации К-моды, исследовалась также проблема нахождения эффективного переходного состояния.

В работах [9, 10) было показано, что для реакций с тяжелыми ионами статистическая модель переходных состояний не обеспечивает приемлемого уровня описания экспериментальных данных по угловым распределениям осколков деления. Результаты анализа экспериментальных данных, проведенного в [9, 10], свидетельствуют, что эффективная переходная точка, в которой реализуются переходные состояния, может находиться между седловой точкой и точкой разрыва. Таким образом, угловые распределения осколков деления неявно содержат

информацию о времени перехода делящейся системы между седловой точкой и точкой разрыва. Следовательно, разработка динамических подходов, позволяющих взаимосогласованным образом рассчитывать угловые распределения осколков деления, множественности легких частиц, длительности протекания деления, является актуальной задачей. Анализ экспериментальных данных, в рамках таких подходов, откроет новые перспективы в изучении времен протекания различных стадий реакции вынужденного деления, а также механизма ядерной диссипации.

Цель работы:

1. Разработка нового подхода к рассмотрению .формирования угловых распределений осколков деления тяжелых ядер, учитывающего динамические характеристики этого процесса. Тестирование разработанного подхода в предельных случаях.

2. Применение разработанного динамического подхода для описания энергетических зависимостей анизотропии угловых распределений осколков деления составных ядер, образованных в результате слияния тяжелых ионов.

3. Феноменологическая оценка такой важной временной характеристики как время релаксации координаты, связанной с проекцией полного момента на ось деления ядра.

Научная новизна результатов

1. Разработан подход, позволяющий учитывать динамическую природу формирования угловых распределений осколков деления. Впервые для описания анизотропии угловых распределений применена трехмерная ланжевеновская модель, объединенная с динамической моделью эволюции координаты, отвечающей за формирование углового распределения.

2. В рамках разработанного подхода произведена оценка времени релаксации координаты, связанной с проекцией полного момента на ось симметрии делящегося ядра.

Практическое значение результатов

Проведенные исследования показали, что расчеты в настоящей модели позволяют лучше описывать экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений осколков деления тяжелых ядер, чем традиционные статистические модели переходного состояния в седловой точке и точке разрыва (ПССТ и ПСТР). Результаты исследований представляют интерес для научных центров по изучению ядерных реакций (Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московского государственного университета, г. Москва; Лаборатория ядерных реакций Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна; Физико-энергетический институт имени Лейпунского, г. Обнинск; Институт ядерных исследований РАН, г. Москва; Радиевый институт им. В.Г. Хлопина, Санкт-Петербург; институт ядерной физики Национального ядерного центра республики Казахстан, г. Алматы а также других ядерных центров стран СНГ и дальнего зарубежья).

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для реакций слияния-деления тяжелых ионов разработанный подход позволяет лучше описывать экспериментальные значения анизотропии угловых распределений, чем статистические модели переходного состояния (ПССТ и ПСТР).

2. В рамках представленного подхода выполнена оценка времени релаксации степени свободы, связанной с проекцией К полного момента I на ось деления. Расчеты анизотропии угловых распределений, проведенные со временем релаксации тк = (2 — 4) х Ю-21 с, оказались наиболее близки к экспериментальным значениям. Такое время релаксации сопоставимо со средним временем спуска делящегося составного ядра от седловой до разрывной конфигурации rsd_sc для составных ядер тяжелее 248Cf, образованных в результате слияния тяжелых ионов (rscj_sc ~ б х Ю-21 с). Этот факт указывает на неприменимость обеих классических моделей переходного состояния (ПССТ и ПСТР) для таких реакций. Показано, что при переходе от трехмерной ланжевеновской динамики к одномерной извлекаемое значение тц увеличивается в 2-3 раза.

3. При тк = (0.01-г 0.001) х Ю-21 с. устанавливается статистическое равновесие К-координаты на каждом шаге интегрирования уравнений Ланжевена, и как предельный случай динамического подхода к рассмотрению углового распределения в седловой и разрывной конфигурациях имеют место модели переходного состояния ПССТ и ПСТР, соответственно. Этот результат является надежной проверкой для разработанного подхода в предельных случаях.

4. Неравновесное распределение К-координаты P(K,tSc), рассматриваемое в динамическом подходе для тяжелых делящихся ядер ближе к статистическому равновесному распределению модели ПСТР, чем к распределению в модели ПССТ. Это является следствием соотношения между полученным в динамической модели значением параметра тк и временем спуска с седловой точки к разрыву tscj_sc (rsd_sc ~ 6 х Ю-21 с.) для этих ядер.

Личный вклад соискателя

Все результаты диссертации, перечисленные в заключении, получены лично автором. Автор принимал непосредственное участие на всех этапах научно-исследовательской работы по теме диссертации: в проведении расчетов, обработке, анализе и обсуждении полученных результатов, подготовке статей.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы. Объем диссертации — 111 страниц, включая 13 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 137 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении дан краткий обзор существующих подходов к рассмотрению угловых распределений.

В первой главе подробно описана модель, основанная на уравнениях Ланжевена, которая используется нами для описания эволюции коллективных координат в процессе деления составного ядра. В качестве коллективных координат в расчетах используются параметры формы {с,Ъ.,а} [11]. Параметр с описывает удлинение ядра (длина ядра в единицах радиуса начальной сферы Яо равна 2с). Параметр Н определяет изменение толщины шейки при заданном удлинении, координата а задает отношение масс будущих осколков. В работе [20] был введен новый параметр а', который связан с а масштабным преобразованием

В качестве уравнений движения для моделирования динамики деления составного ядра использовалась система многомерных уравнений Ланжевена, которые в разностной форме для случая N коллективных координат имеют вид [3]:

-*<»>( q) + ^(чЦ^ч)^) г + ^ef'v/i,

+ )(р<-п)+Р<Г+1})Г, (1)

где ч — (c,h,a') - набор коллективных координат; р - сопряженные им импульсы; тц (||m;j|| = ||-1) - инерционный тензор; у¡j- - фрикционный тензор; V(q) -потенциальная энергия рассматриваемой термодинамической системы, Öijfj - случайная сила; Oij - амплитуда случайной силы {6ik9kj —T^ij). Гауссовая случайная переменная £;(£) предполагается белым шумом со статистическими свойствами:

=г 0, = 2Sij6nni. Угловые скобки здесь и далее означают усреднение

по статистическому ансамблю. Температура термостата Т рассчитывается в модели ферми-газа: Т = {Е\^/а{ц))112, где E;nt - внутренняя энергия возбуждения ядра, a(q) - параметр плотности уровней, явный вид которого взят из [12]. Консервативная сила Ki определяется термодинамическим потенциалом свободной энергии Ki = — (^g^)^,! свободная энергия определяется как F{q) = V(q) — a(q)T2, где K(q) - потенциальная энергия, рассчитываемая в модели жидкой капли (МЖК) с конечным радиусом действия ядерных сил [13, 14].

В уравнениях (1) верхний индекс п означает, что соответствующая величина вычисляется в момент времени tn = пт, где т - шаг интегрирования уравнений Ланжевена по времени равный 0.01 х Ю-21 с. Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до N (в нашем случае для трех коллективных координат N = 3).

Внутренняя

энергия Eint определяется из закона сохранения энергии Eint = Е* - ЕсМ{ч,р) - ПЧ) - £rot(q,/,tf) - EevapW > (2)

где Е" - полная энергия возбуждения компаунд-ядра, Ес0u(q,p) = jMijMPiPj ~ кинетическая энергия коллективных степеней свободы, Eevap(t) - энергия, унесенная испарившимися частицами к моменту времени t.

Энергия вращения ядра Erot определяется выражением

Р Г Т КЛ Д. + „ч

'' +-2Ш-• (3)

Функционалы Jy(q) и J'i.(q) представляют собой твердотельные моменты инерции ядра относительно оси симметрии и оси, перпендикулярной ей, соответственно.

Моменты ¡терцин с учетом диффузности ядерной поверхности могут быть рассчитаны следующим образом [15]:

где ад/ = 0.704 Фм - параметр диффузности ядерной поверхности, М - масса составного ядра, ^^ц^1^ ~ моменты инерции, рассчитываемые в МЖК с резким краем.

Начальные координаты q0, импульсы р0 и полный момент составного ядра I для динамических расчетов разыгрывались методом Неймана с образующей функцией:

Р{Чо. Ро. Л í = 0) ~ exp I----J х6(q0 - qgs)a(/) , (5)

где qgs - координаты основного (сферического) состояния составного ядра (с = 1, h = 0, а' = 0), a функция с(/) описывает начальное распределение составных ядер по моментам и рассчитывается в модели [3].

Во второй главе изложены статистические модели переходного состояния, а также представлена динамическая модель расчета угловых распределений осколков деления, основанная на динамическом рассмотрении эволюции дополнительной коллективной координаты, связанной с проекцией полного момента 1 на ось деления.

При анализе угловых распределений обычно предполагается, что осколки деления разлетаются в направлении оси симметрии ядра. В этом случае угловое распределение определяется тройкой квантовых чисел: I, К и М, где I - полный момент составного ядра, К - проекция I на ось симметрии ядра и М - проекция полного момента на направление пучка налетающих ионов. В случае слияния бесспиновых ионов значение М — 0. Тогда угловое распределение для фиксированных значений I и К имеет вид

W{ej,K) = (I + X/2)\d'u=0iK{e)\2, (6)

где к(в) - функция вращения Вигнера, явный вид которой можно найти в

монографии [1], в - угол между осью симметрии ядра и осью пучка налетающих ионов. Для больших значений I справедливо выражение:

Щв,1, К) ~ 1+1/2 {(I + 1/2)2 sin2*? - К'2]1'2. (7)

7Г

Угловое распределение осколков деления, наблюдаемое на эксперименте, может быть получено усреднением (6) по распределениям / и К в виде

сю I

W(fl) = £%(/) Р(К)\У(в,1,К). (8)

í=0 K=-I

Из (8) видно, что для расчета углового распределения необходимо конкретизировать вид распределений составных ядер по I (^(7)) и по К (Р(К)). Если считать, что a(I) известно, то проблема расчета угловых распределений осколков состоит только в определении распределения Р(К). В моделях ПССТ и ПСТР считается, что распределение по К равновесное (определяется боль-цмановским фактором exp(—ETOt/T) [2]) соответственно в седловой точке или точке разрыва.

Таким образом, равновесное распределение по К имеет вид:

Реч(К)= . (9)

£ ехр(-К-г/(2К§)) А'=-7

Парметр Л"о определяет ширину этого распределения:

К1 = Ля = т^Ц". (Ю)

О ± — О ||

где Т - температура ядра в переходном состоянии (на поверхности гребня в модели ПССТ и на поверхности разрыва в модели ПСТР); - эффективный момент инерции.

Усредняя (6) и (7) по Реч(К), получаем выражение для углового распределения для фиксированного I и заданного Ко-

£ |4к(б)|ехР(-К2/2К02)

\У(в,1) = (1 + 1/2) --(11)

£ ехр(—К2/2К£)

ут/)с,/^ех (12)

v ' ; у 7г егЦу/Щ 1 у

где /о - Функция Бесселя нулевого порядка; р = (/ + 1/2)2/(4А'^). Выражение (12) известно как формула Халперна-Струтинского [1, 2].

Если р 1, то можно показать, что анизотропия углового распределения дается приближенным выражением:

+ (13)

(IV (90°)) 4К2' Выражение (13) наглядно и потому удобно для выявления качественных особенностей поведения анизотропии угловых распределений. Для количественного анализа используются формулы (11) и (12). Следует отметить, что оба эти выражения с хорошей точностью дают одинаковые значения вероятности IУ(в,1) [29].

Динамические аспекты формирования угловых распределений могут быть «упрятаны» в характеристику, называемую временем релаксации координаты К -тд-. В работах [16, 17] было предложено рассматривать эволюцию координаты К методом Монте-Карло, где процесс деления характеризовался двумя коллективными степенями свободы: параметром удлинения ядра с и координатой К.

Что касается рассмотрения конкретных механизмов, приводящих к изменению величины К в процессе деления и позволяющих, в принципе, рассчитывать транспортные коэффициенты для К, то здесь необходимо особо отметить, что стохастическая модель ШЫг^-моды в ядерном делении, которая была предложена в работе московской группы [16] и которая развивается в настоящей работе, является феноменологической моделью. Таким образом, в данной модели не ставится задача вычисления транспортных коэффициентов К моды, поскольку расчет транспортных коэффициентов любой из мод является одной из сложных задач ядерной динамики. Параметром, который контролирует эволюцию К моды, является время релаксации тк, определяющееся из сравнения результатов расчетов в данной модели с экспериментальными данными по угловым распределениям

с

Рис. 1: Пример стохастической ланжевеновской траектории при движении составного ядра 248 С£ с в пространстве коллективных координат (с, К, а' = 0) на потенциальной поверхности. Энергия возбуждения в лабораторной системе координат равна 250 МэВ. Числа на изолиниях обозначают потенциальную энергию в МэВ. Сплошная кривая в правом углу рисунка - линия разрыва. Траектория, показанная на рисунке, представляет собой событие деления.

I осколков деления. Теоретические оценки времени релаксации К моды, как и других вращательных мод в реакциях глубоко неупругих передач, были сделаны в работе [18], в которой были использованы идеи теории переноса нуклонов при столкновении ядер с учетом квантовых эффектов [19]. В работе [18] была получена следующая оценка времени релаксации ШМ^-моды, тх ~ (2 — 20) х Ю-21 с в зависимости от величины полного момента системы.

Стохастический подход к рассмотрению эволюции координаты К, предложенный в [16, 17], в настоящем исследовании обобщен на трехмерную ланжевеновскую модель деления [20, 21]. Таким образом, процесс деления описывается тремя коллективными координатами формы делящегося ядра (с, Ь,а') и дополнительной степенью свободы К. Такая четырехмерная модель позволяет 1 (помимо характеристик процесса деления ядер, которые могут быть получены в трехмерной модели [20, 21]) динамически рассчитывать угловые распределения осколков деления.

Эволюция координат формы делящегося ядра (с,Л,а') описывается с помощью уравнений Ланжевена (1). Пример ланжевеновской стохастической траектории в координатах {с, к, а' = 0) показан на рис. 1. В качестве начального условия была выбрана сферическая форма ядра (с = 1,Н = 0, о' = I 0,/ — 0). Интегрирование уравнений Ланжевена (1) проводилось до пересечения траектории с поверхностью разрыва. Траектории, пересекающие поверхность | разрыва, называются траекториями деления. Вычисление наблюдаемых величин

9

Рис. 2: Примеры траекторий эволюции координаты К, проведенные вдоль координаты удлинения с при движении составного ядра 248СГ с полным угловым моментом I = 60 от основного состояния до разрывной конфигурации. Графики построены для различных значений времени релаксации координаты К: тк — 0.1 х 10~21 с (а), тк = 1 х 10~21 с (Ь), тк = 10 х 10~21 с (с) и 77<- = 100 х 10~21 с (с1). Все представленные траектории изображены на одной и той же карте потенциальной энергии, показанной на рисунке ((1). Числа на изолиниях обозначают величину потенциальной энергии в МэВ.

таких как средняя множественность предразрывных нейтронов (прте), анизотропия углового распределения (И/(0°))/(Ж(90°)) проводилось моделированием ансамбля, состоящего из (5 х 104 х 10®) ланжевеновских траекторий деления и последующим статистическим усреднением по полученному ансамблю.

Для описания эволюции координаты К в процессе движения составного ядра от основного состояния до разрывной конфигурации использовался следующий алгоритм. Для основного (сферического) состояния начальное значение К выбиралось из равномерного распределения на интервале [—/,/]. Это обусловлено тем, что для бесспиновых ионов, участвующих в реакциях слияния, и энергий налетающих частиц, существенно превышающих барьер слияния, различные значения К должны заселяться с почти равной вероятностью, и, следовательно, распределение по К должно быть равновероятным. На каждом шаге интегрирования уравнений Ланжевена т вычислялась вероятность изменения значения К. Для этого разыгрывалось равномерно распределенное на отрезке [0,1] случайное число которое сравнивалось с отношением т/тд-. Если £ < т/гя! то на следующем шаге интегрирования выбиралось новое значение К = К'. Иначе сохранялось предыдущее значение К. Новое значение К' определялось с помощью классического алгоритма Метрополиса, где в качестве вероятности Шкк' перехода (в единицу времени) системы из состояния с К в состояние с К' использовалась функция Метрополиса[28]:

ЛЕКк, > 0 ДЕкк, < 0

где

АЕКК, = Его1{ч,1,К') - Ет0^ч,1,К). Фактор та определяет шкалу времени процесса релаксации координаты К, моделируемого алгоритмом Метрополиса [22]. В настоящих расчетах т3 = Ю-21 с. При таком выборе временные шкалы процесса эволюции коллективных координат, моделируемого уравнениями Ланжевена (1), и процесса эволюции координаты К, моделируемого алгоритмом Метрополиса, совпадают. Более подробное описание и обоснование использования данного алгоритма можно найти в обзоре [23, 22].

На рис, 2 показаны примеры смоделированной эволюции координаты К во время движения делящейся системы от основного состояния до разрывной конфигурации. Как отмечалось ранее, начальное значение К выбирается равновероятным из интервала от —I до I. Из рисунка видно, что изменение величины спина К существенно зависит от величины времени релаксации тх в сравнении с шагом интегрирования уравнений Ланжевена (1) по времени т. Распределение по К становится "замороженным"(не изменяется установившееся до седловой конфигурации равновесное распределение) когда тк т. В то же время, значение К меняется практически на каждом шаге временного интегрирования т в случае, когда тк приближается к т.

Связь алгоритма Метрополиса со стохастической кинетикой можно обосновать в динамической интерпретации этого алгоритма. Известно [22], что данный алгоритм описывает марковский релаксационный процесс, определяемый неравновесной функцией распределения Рц = Р(К, £), удовлетворяющей основному кинетическому уравнению:

к' К'

Условием сходимости марковского релаксационного процесса, описываемого основным кинетическим уравнением (15), к равновесному распределению является выполнение принципа детального равновесия:

у}КК,Р^{К) = юк,кР^(К') . (16)

Вообще говоря, это условие не определяет однозначно [22] вид функции шкк'-В обзоре [23] показано, что функция Метрополиса (14) удовлетворяет условию детального равновесия (16) и, таким образом, может быть использована в данном подходе в качестве вероятности перехода. Решая уравнение (15) с функцией Метрополиса в качестве вероятности перехода, можно описать динамическую эволюцию физической величины Ак как (Лд'(г)) = ^ АкРк[1)-

Для каждой динамической траектории, дошедшей до точки разрыва, в разрывной конфигурации фиксировались значения I и К. Таким образом, рассматривая ансамбль траекторий деления, мы имеем динамические распределения по координатам / и К в момент разрыва ядра на два осколка.

Усредняя выражение (6) по ансамблю траекторий разделившихся ядер, получим вероятность вылета осколков под определенным углом относительно оси пучка налетающих ионов:

(17)

С 3= 1

где Р, К3 - значения полного момента и его проекции в момент разрыва ядра для ¿-ой ланжевеновской траектории деления, Л^ - число событий деления, в - угол

Рис. 3: Дисперсия динамического распределения по К (а) и анизотропия углового распределения (б), рассчитанные в седловой (верхняя кривая на рис. (а) и нижняя кривая на рис. (б)) и разрывной (нижняя кривая на рис. (о) и верхняя кривая на рис. (б)) конфигурациях как функция числа траекторий деления Д^. Пунктирные линии - соответствующие статистические пределы, полученные в моделях ПССТ и ПСТР.

между направлением вылета осколков деления и осью пучка налетающих ионов. Таким образом, состоянием, определяющим угловое распределение в данной модели, считается разрывная конфигурация составного ядра.

Выражение (17) в данном подходе использовалось для расчета анизотропии углового распределения, определяемой отношением (И^(0°))/(1У(90°)).

В данном подходе тк является свободным варьируемым параметром и не зависит как от коллективных координат, так и от теплового и вращательного возбуждений. Предполагается, что параметр тц не изменяется в процессе эволюции составного ядра от основного состояния до точки разрыва. Вообще говоря, время релаксации тк не является постоянной величиной. В работе [18] было показано, что существует зависимость тд- от эффективного момента инерции и, следовательно, от формы составного ядра. Но конкретный вид данной зависимости пока не известен, и его выяснение будет, вероятно, предметом исследований ближайшего будущего.

Для тестирования настоящей модели формирования угловых распределений был рассмотрен предельный случай, когда тк = 0.001 X Ю-21 с. В этом случае тк меньше шага интегрирования уравнений Ланжевена т — 0.01 X Ю-21 с и, следовательно, мало по сравнению со средними временами эволюции делящейся системы от основного состояния до седловой точки и от седловой точки до точки разрыва. При таком значении тк координата К достигает термодинамического равновесия на каждом шаге интегрирования уравнений Ланжевена. В этом случае значения дисперсий

80 100 120 140 160

Е, „, МэВ

Ub

Рис. 4: Средняя множественность предразрывных нейтронов для реакций 1бО + 208Pb, 160 + 232Th. □ - экспериментальные данные [10,26]. Точечная кривая - аппроксимация из работы [27]. Треугольники соединенные сплошной кривой - расчет в настоящей модели с к$ = 0.25. Квадраты, соединенные сплошной кривой - расчет в настоящей модели с к3 = 0.5.

динамического распределения по К, полученные в настоящей модели в седловой точке и точке разрыва по формуле:

(4)dyn = {К") - (К)\ должны быть близки к равновесным значениям

/

(<4)еЧ = ]Г K2Peq(K),

K — — I

предсказываемым моделями ПССТ и ПСТР, соответственно. Таким образом, можно также предположить, что значения угловой анизотропии {W(Q°))/(Vf(900)) , полученные в седловой и разрывной конфигурациях по формуле (17), будут близки к значениям, рассчитанным в моделях ПССТ и ПСТР по формуле (И), соответственно.

Результаты расчетов в рассмотренном предельном случае представлены на рис. 3. Расчеты проведены для реакции 160 + 238U, Eiab = 148 МэВ с тК = 0.001 X Ю-21.

О 29 40 60 <0 100

е°

Рис. 5: Угловые распределения осколков деления для реакции 160 -(-232 ТЬ —>218 С{' при различных лабораторных энергиях налетающего иона. Сплошная кривая — расчет в представленной модели с параметром тц — 4 х Ю-21 с, пунктирная кривая — тк = 8 х Ю-21 с. Квадраты — экспериментальные данные [29].

Из рисунка видно, что значения дисперсий распределения по К, рассчитанные в настоящей динамической модели (в седловой и разрывной конфигурациях) и статистических моделях (ПССТ и ПСТР), находятся в хорошем согласии. В то же время, значения угловой анизотропии, полученные в динамической модели, отличаются на 0.5 % - 1 % от значений, предсказываемых статистическими моделями.

В третьей главе представлены результаты расчетов множественностей предразрывных нейтронов и анизотропии угловых распределений осколков деления.

В процессе деления из ядра испаряются легкие частицы, и среди них подавляющее большинство составляют нейтроны. Нейтроны, испаряющиеся до разделения составного ядра на осколки, оказывают значительное влияние на процесс деления. Они уменьшают энергию возбуждения делящихся ядер и их массу, тем самым значительно усложняя картину деления. С другой стороны, множественность предразрывных нейтронов является важной характеристикой, содержащей ценную

Рис. 6: Анизотропия угловых распределений осколков деления как функция энергии налетающего иона. □ - экспериментальные данные [29]. Штриховая кривая - расчет в модели ПССТ. Квадраты, соединенные точечной кривой - расчет с параметрами к$ — 0.25 и тк — 4 х Ю-21 с. Перевернутые треугольники - расчет с параметрами к8 = 0.5 и тк — 4 х Ю-21 с. Точки, соединенные сплошной кривой - расчет с параметрами к8 — 0.5 и тк = 2 х 10~21 с.

информацию о протекании процесса деления. Такая характеристика как средняя множественность предразрывных нейтронов, определяемая как (прге) = ^ "рге/^ь

( прге ~ множестенность предразрывных нейтронов для ¿-ой ланжевеновской траектории деления, Л^ - число траекторий деления) является своеобразными «часами», измеряющими время деления.

Кроме того, множественность предразрывных нейтронов, совместно с другими наблюдаемыми, с успехом могут быть использованы для определения такой важной характеристики, как вязкость ядерного вещества.

Серьезной проверкой любого теоретического подхода является Описание такой экспериментально наблюдаемой характеристики как зависимость средней предразрывной множественности нейтронов от кинетической энергии осколков деления ((прге(Ек)))•

В данном подходе в процессе эволюции составного ядра от основного состояния до точки разрыва (вдоль ланжевеновской траектории) учитывалось испарение предразрывных легких частиц.(] = п,р,а, 7) с помощью монте-карловской процедуры [3]. Производился пересчет всех размерных факторов, кроме функционалов вращательной, кулоновской и ядерной энергии, поскольку они не зависят от массового числа составного ядра. Потеря углового момента составным ядром в процессе испарения учитывалась в предположении, что легкие частицы, испаряясь, уносят 11 = 1,1,2,1(Д) [3]. Такой учет является необходимым, поскольку в процессе испарения предразрывных легких частиц изменяется нуклонный состав и угловой момент начального составного ядра.

"о + :,:ти - "Cf

avr в gP*'"""" П D vt

(а) (6)

НЮ 120 14Л IMI 1 ИЛ 10 12« 150 1*0

--'"Fin 'W'Cm- :MRf

¿Л' ....... " S-- о (») _ ï • ' • ■ — (r)

0 НО 120 Ihrt 2(41 240 2*0 1ПП 121 140 16П

E,., МэВ

Рис. 7: Анизотропия угловых распределений осколков деления как функция энергии налетающего иона. □ - экспериментальные данные [29]. Точечные кривые - расчеты в моделях ПССТ и ПСТР. Точки - теоретические расчеты в настоящей модели с ks — 0.5 и тк = 2 х 10~21 с (а) , тк — 4 х Ю-21 с (б, в, г). Сплошная кривая -аппроксимация теоретических расчетов полиномом второго порядка.

Для описания диссипации энергии коллективных степеней свободы использовался модифицированный однотельный механизм вязкости с коэффициентом редукции ka для формулы «стены» [25]. В настоящей работе коэффициент ks рассматривался как свободный параметр, значение которого определялось из условия воспроизведения экспериментальных данных предразрывной множественности нейтронов.

Проведены динамические расчеты средней множественности предразрывных нейтронов.

Значение параметра ks варьировалось для воспроизведения экспериментальных данных по предразрывной множественности нейтронов для реакций: 160 + 208РЬ [10] и 160 + 232Th [26]. На рис. 4 представлены результаты расчетов средней множественности предразрывных нейтронов с двумя значениями ks в сравнении с экспериментальными данными.

Из рис. 4 видно, что для реакции 1еО 4- 232Th расчеты, проведенные с ks = 0.5, удовлетворительно описывают экспериментальные данные. Для реакции .160 + 208РЬ расчеты, с ks = 0.5 лучше описывают эксперимент, чем расчеты с ks = 0.25, однако лежат значительно ниже экспериментальных точек. Такое разногласие можно объяснить тем, что точный механизм ядерной диссипации, реализующийся в делении, до сих пор неизвестен, а однотельный механизм вязкости, используемый нами, является хорошим феноменологическим приближением. Все динамические расчеты анизотропии углового распределения осколков деления проводились с коэффициентом к3 = 0.5.

В представленной модели проведены расчеты угловых распределений и

■ ■ ■ ■ □

150 160 170 180 190 200 2'0 220 230

Е.., МэВ

Рис. 8: Анизотропия угловых распределений осколков деления как функция энергии налетающего иона. Открытые квадраты -экспериментальные данные [29]. Точечные кривые - расчеты в моделях ПССТ и ПСТР. Закрашенные квадраты - теоретические расчёты в настоящей модели с параметрами к3 = 0.5 и тк — 2 х Ю-21 с .

анизотропии угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер. Расчеты угловых распределений осколков деления составного ядра 248СГ при трех энергиях возбуждения представлены на рис. 5. Видно, что теоретические предсказания настоящей модели для углового распределения чувствительны к величине параметра тц. Можно сделать вывод, что для данной реакции расчеты в представленной модели с тк — 4 х Ю-21 с позволяют хорошо (как качественно, так и количественно) описывать экспериментальные угловые распределения осколков деления.

Чтобы выяснить зависимость разультатов расчетов анизотропии от параметров ка и т/с для начала фиксировалось значение параметра т/с = 4 х Ю-21 е., и проводились расчеты с двумя значениями параметра к8- к$ = 0.5 и к3 = 0.25. Результаты расчетов представлены на рис. 6. Как видно из рисунка, результаты расчетов анизотропии с фиксированным параметром т/с и различными значениями к3 практически совпадают, и можно сделать вывод о том, что анизотропия практически не зависит от параметра кя. Для этих же значений параметров к3 и тк были проведены расчеты средней множественности предразрывных нейтронов (прге).

Далее, чтобы выяснить зависимость получаемых значений анизотропии угловых распределений от параметра тк, фиксировалось значение параметра к3 = 0.5, и проводились расчеты с двумя значениями параметра тк'- тк = 2 х Ю-21 с и т/с = 4 X Ю-21 с. Результаты расчетов также представлены на рис. 6. Как видно из рисунка, значения анизотропии угловых распределений, рассчитанные с т/с — 2 х Ю-21 с. лежат заметно выше, чем значения, полученные с тк — 4 х Ю-21 с. Таким образом, зависимость расчетов анизотропии в представленной модели от параметра т/с существенна, и значение анизотропии растет с уменьшением этого параметра. Это можно объяснить тем, что при уменьшении параметра т/с в представленной модели растет вероятность изменения К на каждом временном шаге интегрирования уравнений Ланжевена, следовательно, координата К релаксирует в более вытянутой, чем седловая конфигурации, что приводит к более узкому конечному распределению по К. Расчеты в представленной модели также показали, что средняя множественно-

Е, МэВ

¡10

Рис. 9: Сравнение расчетов угловой анизотропии, полученной в одномерной (сплошная, пунктирная и точечная кривые) и трехмерной (треугольники) моделях при различных параметрах тк для реакции

160 + 208рЬ 224ТЬ_

сть предразрывных нейтронов практически не зависит от величины параметра тц. Как видно из рис. 6, расчеты в представленной модели с тц =■ 2 х Ю-21 с хорошо описывают экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений для данной реакции при энергиях налетающего иона до 130 МэВ. Но при более высоких энергиях представленная модель существенно недооценивает эксперимент. По всей видимости, сказывается то, что в настоящей модели время релаксации тк считается постоянным и не учитывается зависимость тц от эффективного момента инерции деформированного ядра, что является довольно грубым приближением.

В рамках представленной модели были проанализированы экспериментальные энергетические зависимости анизотропии угловых распределений осколков деления, результаты расчетов представлены на рис. 7 и рис. 8.

Для достижения лучшего описания экспериментальных энергетических зависимостей анизотропии угловых распределений в теоретических расчетах варьировалось значение тк. Для составных ядер 224ТЬ, 225Ра и 229^ оценка времени релаксации составляет туе = 2 х Ю-21 с. Для более тяжелых 248СГ, •2л4рт) ЛуЧшее описание достигается при тц = 4 х Ю-21 с. Также на

рис. 7 и 8 показаны предсказания классических моделей ПССТ и ПСТР. Из рис. 6, 7 видно, что для 224ТЬ, 225Ра и 229Кр ПССТ удовлетворительно описывает экспериментальные данные. Для составных же ядер с А > 246 (248СС, 254Рт, 2641и) модель ПССТ дает заниженные значения, и экспериментальные точки лежат между предсказаниями моделей ПССТ и ПСТР.

Если в данной модели рассматривать эволюцию только одной коллективной координаты удлинения с, а две другие приравнять к нулю (/г = 0,а'=0), т.е. перейти от трехмерной ланжевеновской динамики к одномерной, значение параметра тд-, получаемое из условия описания экспериментальных данных по анизотропии угловых распределений, увеличится в 2-3 раза, приближая извлеченные нами значения тк к значениям, полученным в [16, 17], где была также использована одномерная ланжевеновская модель. На рис. 9 представлены расчеты анизотропии угловых распределений для реакции 1еО + 208РЬ -> 224ТЬ при различных параметрах тц, проведенные в одномерной и трехмерной

-30 -60 '40 -20 □ 20 40 60 80

К

Рис. 10: Сравнение неравновесного распределения P(K,tsc) в точке разрыва ядра на осколки, полученного в стохастической модели с тк — 4 х Ю-21 с (гистограмма) со статистическими равновесными распределениями Р(К), полученными в моделях ПССТ (штриховая кривая) и ПСТР (сплошная кривая).

ланжевеновской динамике. Из рисунка видно, что расчеты в трехмерной модели с параметром тк — 4 х Ю-21 сив одномерной модели с параметром тк = 10 х Ю-21 с дают близкие значения предсказываемой анизотропии угловых распределений.

На рис. 10 явным образом сравниваются неравновесное распределение Р(К, tSc) в точке разрыва ядра на осколки, полученное в нашей работе с т/с = 4 х Ю-21 с (гистограмма) для реакции 160 + 238(J —> 254Fm при энергии налетающего иона Slab = 250 МэВ со статистическими равновесными распределениями Р{К), полученными в моделях ПССТ (пунктирная кривая) и ПСТР (сплошная кривая). Из рисунка видно, что рассчитанное динамическое распределение P(K,tec) значительно ближе к статистически равновесному распределению, полученному в модели ПСТР, чем к распределению в модели ПССТ. Это можно объяснить тем, что тк, полученное в нашей работе, сравнимо с временем спуска с седла к разрыву (для ядер тяжелее 248Cf это время ~ 6 х Ю-21 с, а для более легких ядер 224Th и 22оРа оно ~ 2 х Ю-21 с). Этот факт указывает, что распределение по К изменяется при спуске с седла к разрыву, а с другой стороны модель ПСТР также неприменима, поскольку тк — (2 — 4) х Ю-21 с значительно отличается от тк = 0.01 х Ю-21 с, при котором устанавливается статистическое равновесие для распределения по К на каждом шаге интегрирования уравнений Ланжевена (см. обсуждение выше). Особо отметим, что при расчете равновесных распределений Р(К) по формулам (9) и (10) температура и эффективный момент инерции в переходных состояниях в седловых и разрывных конфигурациях определялись как средние (Т) и (ieff) п0 ансамблю ланжевеновских траекторий, а эти конфигурации определялись пересечениями ланжевеновских траекторий с поверхностями гребня и разрыва, соответственно.

Основные результаты и выводы

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Динамический подход к рассмотрению формирования угловых распределений на основе одномерной ланжевеновской модели, предложенный в работах

[16, 17], в настоящей диссертационной работе обобщен на случай трехмерной ланжевеновской модели. Этот подход позволяет учитывать стохастическую природу процесса формирования угловых распределений.

2. Для реакций слияния-деления тяжелых ионов данный подход позволяет лучше описывать экспериментальные значения анизотропии угловых распределений, чем статистические модели переходного состояния (ПССТ и ПСТР).

3. В рамках данного подхода выполнена оценка времени релаксации степени свободы, связанной с проекцией К полного момента I на ось деления. Расчеты анизотропии угловых распределений, проведенные с временем релаксации тк = (2 — 4) х Ю-21 с, оказались наиболее близки к экспериментальным значениям. Такое время релаксации сопоставимо со средним временем спуска делящейся ядерной системы от седловой до разрывной конфигурации

6 х Ю-21 с), что указывает на неприменимость обеих классических моделей переходного состояния (ПССТ и ПСТР) для таких реакций. Показано, что при переходе от трехмерной ланжевеновской динамики к одномерной извлекаемое значение тк увеличивается в 2-3 раза.

4. Создан комплекс программ для анализа экспериментальных данных по множественности предразрывных легких частиц и угловых распределений осколков деления.

Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на VI международной конференции "Ядерная и радиационная физика" в г. Алма-ты, Казахстан, июнь 2007 года, на научных семинарах кафедр теоретической и экспериментальной физики физического факультета ОмГУ им. Достоевского и опубликованы в 5 печатных работах.

Список цитируемой литературы

[1] R. Vandenbosch and J. R. Huizenga, "Nuclear Fission."// New York, Academic Press, 1973, 422 p.

[2] L. Halpern and V. M. Strutinsky, "Angular distributions in particle-induced fission at medium energies."// in Proceedings of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Geneva, Switzerland, 1957 (United Nations, Geneva, Switzerland, 1958), P. 408-418.

[3] P. Frobrich and I. I. Gontchar, "Langevin description of fusion, deepinelastic collisions and heavy-ion-induced fission."// Phys. Rev., 1998, V. 292, P. 131-237.

[4] Дж. О. Ньютон, "Деление ядер под действием тяжелых ионов."// ЭЧАЯ, 1990, Т. 21, С. 821-913.

[5] L. С. Vaz and J. М. Alexander, "Raessessment of fission fragment angular distributions from continuum states in the context of transition-state theory."// Phys. Rev., 1983, V. 97, P. 1-30.

[6] H. H. Rossner, J. R. Huizenga and W. U. Schroder, "Fission fragments angular distributions". // Phys. Rev., 1986, V. 33, P. 560-575.

[7] P. Frobrich and H. Rossner, "Influence of pre-saddle neutrons on the fission fragment angular distribution."// Z. Phys., 1994, V. Л349, P. 99-100.

[8] В. А. Дроздов, Д. О. Еременко, С. Ю. Платонов, О. В. Фотина, О. А. Юминов, "Динамическая модель процесса формирования угловых распределений осколков деления."// ЯФ, 2001, Т. 64, С. 221-228.

[9] S. Kailas, "Heavy-ion induced fission at near-barrier energies."// Phys. Rep., 1997, V. 284, P. 381-416.

[10] H. Rossner, D. J. Hinde, J. R. Leigh, J. P. Lestone, J. O. Newton, J. X. Wei, S. Elfstrom, "Influence of pre-fission particle emission on fragment angular distribution studied for 20sPb(16O,f)."// Phys. Rev, 1992, C. 45, P. 719-725.

[11] M. Brack, J. Damgaard, A. S. Jensen, H. C. Pauli, V. M. Strutinsky and C. Y. Wong, "Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its application to the fission process."// Rev. Mod. Phys., 1972, V. 44, P. 320-405.

[12] А. В. Игнатюк, M. Г. Иткис, В. H. Околович, Г. Н. Смиренкин, А. С. Тишин, "Деление доактиноидных ядер. Функция возбуждения реакции (a,f)."// ЯФ,

1975, Т. 21, С. 1185-1205.

[13] Н. J. Кгарре, J. R. Nix and A. J. Sierk, "Unified nuciear potential for heavy-ion-elastic scattering, fusion, fission and ground state masses and deformations."// Phys. Rev., 1979, V. C20, P. 992-1013.

[14] A. J. Sierk, "Macroscopic model of rotating nuclei."// Phys. Rev., 1986, V. C33, P. 2039-2053.

[15] К. T. R. Davies and J. R. Nix, "Calculation of moments, potentials, and energies for an arbitrarily shaped diffuse-surface nuclear density distribution."// Phys. Rev.,

1976, V. C14, P. 1977-1994.

[16] V. A. Drozdov, D. O. Eremenko, О. V. Fotina,ei al., // Tours Symposium on Nuclear Physics V (2003) Ed. by: M. Arnould et al. (Melville, New York, 2004, AIP Conference Proc. (74), p. 130

[17] D. O. Eremenko, V. A. Drozdov, M. H. Eslamizadex, О, V. Fotina, S. Yu. Platonov, O. A. Yuminov "Stochastic Model of Tilting Mode in Nuclear Fission", // Phis. At. Nucl., 2006, V.69, N.8, P.1423-1427

[18] T. Dessing, J. Randrup, "Dynamical evolution of angular momentum in damped nuclear reactions."// Nucl. Phys., 1985, V. A433, P. 215-279; P. 280-350

[19] J. Randrup, "Theory of transfer-induced transport in nuclear colissions."// Nucl. Phys., 1979, A327, P. 490-516

[20] A. V. Karpov, P. N. Nadtochy, D. V. Vanin, and G. D. Adeev, "Three-dimensional Langeven calculations of fussion fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei."// Phys. Rev., 2001, V. C63, 054610.

[21] P. N. Nadtochy, G. D. Adeev, and A. V. Karpov, "More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach."// Phys. Rev., 2002, V. C65, 064615. P. 1-13

[22] K.. Binder, W. Heerman, "Monte-Carlo simulation in statistical physics"// Springer-Verlag, 1988, 139 p.

[23] K. Binder, "Application of Monte-Karlo methods to statistical physics"// Rep. Prog. Phys., 1997, V. 60, P. 487

[24] H. A. Weindenmuller, "Transport Theories of Heavy Ion Reaction."// Prog. Part. Nucl. Phys., 1980, 3, P.49-126

[25] J. R. Nix and A. J. Sierk, "Mechanism of nuclear dissipation in fission a.nd heavy-ion reactions."// in Proceedings of the International School-Seminar on Heavy Ion Physics, September 1986, Dubna, USSR, edited by M. I. Zarubina and E. V. Ivashkevich (JINR, Dubna, 1987), P. 453-464; in Proceedings of the 6th Adriatic Conference on Nuclear Physics: Prontiers of Heavy Ion Physics, Dubrovnik, Yugoslavia, 1987, edited by N. Cindro et al. (World Scientific, Singapore, 1990), P. 333.

[26] A. Saxena, A. Chatterjee, R. K. Choudhury, S. S. Kapoor, D. M. Nadkarni, "Entrance channel effects in the fusion-fission time scales from studies of prescission neutron multiplicities."// Phys. Rev, 1994, С. C49, P. 932-940.

[27] M. Г. Иткис, А. Я. Русанов, "Деление нагретых ядер в реакциях с тяжелыми ионами: статические и динамические аспекты."// ЭЧАЯ, 1998, Т. 29, С. 389488.

[28] N. Metropolis, A. Rosenbluth, М. Rosenbluth, A. Teller, Е. Teller, "Equation of state calculations by fast computing machines."// J. Chem. Phys., 1953,21, P.1087-1092

[29] В. B. Back, R. R. Belts, J. E. Gindler, B. D. Wilkins, S. Saini, M. B. Tsang, С. K. Gelbke, W. G. Lynch, M. A. McMahan and P. A. Baisden, "Angular distributions in heavy-ion-induced fission."// Phys. Rev., 1985, V. C32, P. 195213.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. А. V. Karpov, R. М. Hiryanov, А. V. Sagdeev, G. D. Adeev, "Dynamical treatment of fission fragment angular distribution."// Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics, 2007, V. 34, P. 255-269.

2. P. M. Хирьянов, А. В. Карпов, Г. Д. Адеев, "Стохастическая модель формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер."// Ядерная Физика, 2008, Т. 71, № 8, С. 1389-1400.

3. Р. М. Хирьянов, А. В. Сагдеев, Г. Д. Адеев, А. В. Карпов, "Применение методов Монте-Карло к расчету угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер."//Вестник Омского Университета, 2008, № 2, С. 21-28.

4. Р. М. Хирьянов, А. В. Карпов, Г. Д. Адеев, "Стохастический подход к рассмотрению формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер."// Препринт ОИЯИ, Дубна, 2007, Р7-2007-78, 15 с.

5. А. В. Сагдеев, Р. М. Хирьянов, "Стохастический подход к расчету угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер."//Вестник Омского Университета, 2004, К» 4, С. 31-33.

6. Р. М. Хирьянов, А. В. Карпов, Г. Д. Адеев, "Стохастическая модель формирования угловых распределений осколков деления."// Сборник тезисов 6-ой международной конференции "ЯДЕРНАЯ И РАДИАЦИОННАЯ ФИЗИКА"(4-7 июня 2007 года), Казахстан, Алматы, ИЯФ НЯЦ РК, С. 138139.

Хиръянов Роман Михайлович

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАССМОТРЕНИЮ ФОРМИРОВАНИЯ УГЛОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ОСКОЛКОВ ДЕЛЕНИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ КОМПАУНД-ЯДЕР

01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 23.03.2009. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 134.

Издательство ОмГУ

644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госунтерситет

Введение

I Модель многомерного стохастического подхода к динамике деления

§1.1 Параметризация формы и коллективные координаты

§1.2 Уравнения Ланжевена.

§1.3 Потенциальная энергия.

§1.4 Моменты инерции делящегося ядра. Вращательная энергия

§1.5 Консервативная сила. Параметр плотности уровней.

§1.6 Инерционный и фрикционный тензоры.

§1.7 Начальные условия. Начальное распределение по угловому моменту.

§1.8 Конечные условия распада делящегося ядра. Критерий разрыва ядра на осколки.

§1.9 Статистическая ветвь расчетов. Объединение статистической и динамической ветвей расчетов.

II Стохастическая модель расчета угловых распределений

§2.1 Введение.

§2.2 Метод расчета угловых распределений осколков деления в модели переходного состояния.

§2.3 Моделирование эволюции координаты К. Алгоритм Метрополиса. Время релаксации координаты К.

§2.4 Тест, стохастического подхода к расчету угловых распределений при равновесных условиях.

III Анализ экспериментальных данных по угловым распределениям осколков деления и множественностям предразрыв-ных нейтронов

§3.1 Результаты расчетов множественностей предразрывных нейтронов

§3.2 Результаты расчетов анизотропии угловых распределений осколков деления.

Процесс деления возбужденных атомных ядер более полувека является предметом теоретических и экспериментальных исследований. Несмотря на столь значительный период, активная разработка этого раздела ядерной физики продолжается и сегодня. За это время был собран богатый экспериментальный материал, значительная часть которого суммирована и систематизирована в [1-4]. Начало развитию теории деления положили Я. И. Френкель [5], Н. Бор и Дж. Уилер [6], применив для описания деформации ядра модель классической заряженной капли. Большой прогресс был достигнут в рамках метода оболочечной поправки В. М. Струтинско-го [7-9]. В частности, получила свое объяснение асимметрия деления тяжелых ядер - загадка, долгое время ставившая ученых в тупик.

Как только пришло понимание картины деления на качественном уровне, возникла новая задача - количественное описание данного процесса. Важнейшими количественными характеристиками процесса деления являются массово-энергетическое распределение и угловое распределение осколков деления. Главной целью разработки теоретических моделей описания деления возбужденных атомных ядер является количественное описание данных характеристик. По своей физической природе явления, происходящие на различных стадиях процесса деления, настолько разноообразны, что не существует единого подхода для объяснения основных закономерностей процесса деления ядер.

В 1940 г. Крамере предложил [10] описывать процесс деления ядра с помощью небольшого числа коллективных степеней свободы, которые взаимодействуют с "термостатом", образованным всеми остальными - одноча-стичными степенями свободы. В одном акте взаимодействия с одночастич-ной подсистемой энергия коллективной подсистемы изменяется на очень малую величину. Тогда можно провести аналогию между динамикой деления ядра и движением броуновской частицы в вязкой среде.

В 1979 г. для описания эволюции коллективных координат ядра, ответственных за деление (другими словами для описания движения "броуновской частицы"), стали использовать уравнение Фоккера-Планка (УФП) [11, 12]. Этот подход получил название диффузионного. В этом подходе процесс деления описывается с помощью небольшого числа коллективных переменных, находящихся в "термостате1'из внутренних (одночастичных) степеней свободы. Введение взаимодействия между частицей и термостатом естественным образом приводит к появлению трения, а, следовательно, эта модель дает наиболее полное описание процесса деления. Как известно, УФП - многомерное уравнение в частных производных, имеющее решение лишь для небольшого круга задач. Таким образом, приходится разрабатывать особые методы поиска приближенных решений, для чего часто прибегают ко всевозможным модельным приближениям и упрощениям, что негативно сказывается на точности получаемых результатов.

С недавнего времени уравнению Фоккера-Планка стали предпочитать систему уравнений Ланжевепа [13-18], которая физически эквивалентна УФП.

Ланжевеновский подход к описанию процесса деления ядер как альтернативный методу, основанному на решении уранения Фоккера-Планка, достиг определенных успехов. Объединение данного подхода с традиционным статистическим методом позволило успешно описать целый ряд наблюдаемых величин в реакциях деления атомных ядер.

Процесс деления возбужденных атомных ядер, рассматриваемый как флуктуационный процесс, существенно зависит от диссипативных свойств ядерного вещества. До сих пор нет единого мнения о способе описания ядерной диссипации и ее зависимости от энергии возбуждения. Проблемы, связанные с ядерной вязкостью, усложняются тем, что эта величина не является экспериментально наблюдаемой, и информация о ней может быть получена только при сопоставлении ряда экспериментальных данных с результатами расчетов, выполненных в рамках тех или иных моделей, описывающих деление.

Одними из важных характеристик процесса деления атомного ядра, наблюдаемых экспериментально, являются множественность предразрывных нейтронов и угловое распределение разлетающихся осколков. Обязательной проверкой любой теоретической модели, описывающей процесс деления, является сравнение теоретических расчетов с экспериментальными значениями данных характеристик.

При теоретическом анализе данных по угловым распределениям осколков деления традиционно используется модель переходного состояния [1921]. Суть ее заключается в предположении, что существует некоторая выделенная (переходная) конфигурация делящейся системы, которая определяет угловое распределение осколков деления. При этом существуют два предельных предположения о положении переходного состояния и, соответственно, два варианта модели переходного состояния: модель переходного состояния в седловой точке (ПССТ) [19-21] и модель переходного состояния в точке разрыва (ПСТР) [22-26].

Хорошо известно, что модель ПССТ достаточно точно воспроизводит экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений осколков деления для реакций, в которых в качестве налетающих частиц выбирались нейтроны, ионы 3Не и а-частицы [21,27]. Составные ядра, образующиеся в таких реакциях, имеют температуру порядка 1 МэВ и невысокие значения углового момента.

Для реакций с участием более массивных налетающих ионов углерода, кислорода и тяжелее обнаружилось [27], что модель ПССТ предсказывает систематически низкие значения анизотропии углового распределения, и экспериментальные данные лежат ближе к значениям, рассчитываемым согласно модели ПСТР. Тем не менее, попытки описать экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений для таких реакций, используя модель ПССТ, делаются и по сей день [28]. Больших успехов в описании угловых распределений в реакциях с тяжелыми ионами удалось добиться в модели ПСТР, развитой в работе [26]. В ней была разработана модель, более корректно (по сравнению с первыми вариантами модели ПСТР [22-25]) учитывающая спиновые моды формирующихся осколков деления.

В то же время в работе [29] было показано, что наблюдаемые экспериментально значения анизотропии угловых распределений не могут быть описаны ни моделью ПССТ, ни моделью ПСТР. Поэтому было высказано предположение, что в общем случае эффективное переходное состояние, определяющее угловое распределение осколков деления, находится где-то между седловой точкой и точкой разрыва.

Недавно Еременко с соавторами предложили принципиально новый динамический подход [30,31] к расчету углового распределения, не использующий концепцию переходного состояния. В этом подходе наряду с динамическим описанием параметров формы делящегося ядра в рамках лан-жевеновской динамики предлагается рассматривать также динамическую эволюцию £С-моды, допуская возможность термодинамических флуктуа-ций проекции К полного момента на ось деления в процессе эволюции. Процесс деления в этих работах моделировался на основе одномерной лан-жевеновской динамики, где в качестве коллективной координаты использовалось расстояние между центрами масс формирующихся осколков (не учитывалась координата, отвечающая за толщину шейки, и рассматривалось только симметричное деление). В этом подходе удалось хорошо описать экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений и средней предразрывной нейтронной множественности для ряда реакций слияния-деления тяжелых ионов.

Известно, что одномерная ланжевеновская модель является первым приближением для описания сложного многомерного процесса, каким является деление ядра. Поэтому в нашей работе [32] подход, предложенный в работах [30,31], обобщен на случай трехмерных уравнений Ланжевепа, где в качестве коллективных координат использовалась хорошо известная параметризация {с, /¿, а} [9].

В настоящем исследовании представлены результаты динамических расчетов средней множественности предразрывных нейтронов и анизотропии угловых распределений осколков деления ядер, образованных в реакциях с тяжелыми ионами. Расчеты проведены в четырехмерной модели, основанной на системе трехмерных уравнений Ланжевена и дополненной степенью свободы К, в широком интервале энергий налетающего иона для ряда реакций слияния-деления тяжелых ионов. Анализ экспериментальных данных по анизотропии угловых распределений позволил оценить значение времени релаксации координаты К.

Диссертация оформлена следующим образом. В главе 1 подробно описана модель, основанная на трехмерных уравнениях Лапжевена, которая используется нами для описания эволюции коллективных координат формы в процессе деления составного ядра.

Стохастическая модель расчета угловых распределений осколков деления, основанная на динамическом рассмотрении эволюции дополнительной коллективной координаты К, являющейся проекцией полного момента ядра на ось симметрии, представлена в главе 2. Там же описан алгоритм метода Монте-Карло, используемый для моделирования эволюции координаты К. При этом дано детальное описание той части модели, которая касается расчета угловых распределений.

В главе 3 в рамках предложенной и разработанной модели формирования угловых распределений анализируются экспериментальные энергетические зависимости средней множественности предделительных нейтронов и анизотропии угловых распределений для реакций:

160 + 208рЬ 224^ 160 + 209В1 225ра) 160 + 232ТЬ 248^

160 + 238и 254рт и 160 + 248Ст 264^

На основе анализа экспериментальных данных делаются выводы о величине времени релаксации степени свободы, связанной с К.

В заключении суммируются основные результаты, полученные в диссертации, и делаются вытекающие из них выводы.

Результаты, представленные в настоящей диссертации, докладывались на VI международной конференции "Ядерная и радиационная физика"в г. Алматы, Казахстан, июнь 2007 года, на научных семинарах кафедр теоретической физики и физического эксперимента ОмГУ им. Достоевского и опубликованы в 6 печатных работах [32-37].

Работа выполнена на кафедрах теоретической физики и физического эксперимента Омского Государственного университета имени Ф.М. Достоевского.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Динамический подход к рассмотрению формирования угловых распределений на основе одномерной ланжевеновской модели, предложенный в работах [30,31], в настоящей диссертационной работе обобщен на случай трехмерной ланжевеновской модели. Этот подход позволяет учитывать стохастическую природу процесса формирования угловых распределений.

2. Для реакций слияния-деления тяжелых ионов данный подход позволяет лучше описывать экспериментальные значения анизотропии угловых распределений, чем статистические модели переходного состояния (ПОСТ и ПСТР).

3. В рамках данного подхода выполнена оценка времени релаксации степени свободы, связанной с проекцией К полного момента I на ось деления. Расчеты анизотропии угловых распределений, проведенные с временем релаксации тк = (2 — 4) х Ю-21 с, оказались наиболее близки к экспериментальным значениям. Такое время релаксации сопоставимо со средним временем спуска делящейся ядерной системы от седловой до разрывной конфигурации (^6 х 10~21 с), что указывает на неприменимость обеих классических моделей переходного состояния (ПССТ и ПСТР) для таких реакций. Показано, что при переходе от трехмерной ланжевеновской динамики к одномерной извлекаемое значение тк увеличивается в 2-3 раза.

4. Создан комплекс программ для анализа экспериментальных данных по множественности предразрывных легких частиц и угловых распределений осколков деления.

Подводя итог, следует отметить, что выяснение роли динамических факторов при формировании угловых распределений осколков деления находится лишь на начальном этапе. Примененный в данном исследовании подход позволил получить достаточно хорошее описание энергетических зависимостей анизотропии угловых распределений в динамическом рассмотрении их формирования. Представляется перспективным использование многомерных ланжевеновских моделей, рассматривающих К как самостоятельную коллективную степень свободы.

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю - Адееву Геннадию Дмитриевичу за неоценимую помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы.

Особую признательность хочу выразить своим соавторам Карпову А. В. и Сагдееву А. В. за совместную плодотворную работу.

Признателен Кадочниковой О. П. за помощь в проведении части расчетов.

Благодарен Еременко Д. О. и Русанову А. Я. за полезные обсуждения и внимание к работе.

Хочу также выразить благодарность всем сотрудникам кафедр экспериментальной и теоретической физики физического факультета ОмГУ за поддержку и внимание к работе.

Заключение и выводы

1. Yu. Ts. Oganessian and Yu. A. Lazarcv, "Heavy ions and nuclear fission."// in Treatise on Heavy 1.n Science, edited by D. A. Bromley (Plenum, New York, 1985), V. 4, P. 1-251.

2. M. Г. Иткис, В. H. Околович, А. Я. Русанов, Г. Н. Смиренкин, "Симметричное и асимметричное деление ядер легче тория."// ЭЧАЯ, 1988, Т. 19, С. 701-784.

3. М. Г. Иткис, А. Я. Русанов, "Деление нагретых ядер в реакциях с тяжелыми ионами: статические и динамические аспекты."// ЭЧАЯ, 1998, Т. 29, С. 389-488.

4. Дж. О. Ньютон, "Деление ядер под действием тяжелых ионов."// ЭЧАЯ, 1990, Т. 21, С. 821-913.

5. JI. И. Френкель, "Электрокапиллярная теория расщепления тяжелых ядер медленными ионами."// ЖЭТФ, 1939, Т. 9, С. 614-620.

6. N. Bohr and J. A. Wheeler, "The mechanism of nuclear fission."// Phys. Rev., 1939, V. 56, P. 426-450.

7. V. M. Strutinsky, "Shell effects in nuclear masses and deformation energies."// Nucl. Phys., 1967, V. A95, P. 420-442.

8. V. M. Strutinsky, "Shell in deformed nuclei."// Nucl. Phys., 1968, V. A122, P. 1-33.

9. M. Brack, J. Damgaard, A. S. Jensen, H. C. Pauli, V. M. Strutinsky and C. Y. Wong, "Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its application to the fission process."// Rev. Mod. Phys., 1972, V. 44, P. 320-405.

10. H. A. Kramers, "Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions."// Physica, 1940, V. 7, P. 284-304.

11. P. Grange, H. C. Pauli, and H. A. Weidenmuller, "The influence of thermal fluctuations on the kinetic-energy distribution of fission fragments."// Phys. Lett., 1979, V. 88B, P. 9-12.

12. Г. Д. Адеев, И. И. Гончар, В. В. Пашкевич, Н. И. Писчасов, О. И. Сердюк, "Диффузная модель формирования распределений осколков деления."// ЭЧАЯ, 1988, Т. 19, С. 1229-1298.

13. Y. Abe, S. Ayik, P.-G. Reinhard, and E. Suraud, "On stochastic approaches of nuclear dynamics."// Phys. Rep., 1996, V. 275, P. 49-196.

14. P. Frobrich and I. I. Gontchar, "Langevin description of fusion, deepinelastic collisions and heavy-ion-induced fission."// Phys. Rev., 1998, V. 292, P. 131-237.

15. G.-R. Tillack, R. Reif, A. Schiilcke, P. Frobrich, H. J. Krappe, and H. G. Reusch, "Light particle emission in the Langevin dynamics of heavy-ion induced fission."// Phys. Lett., 1992, V. B296, P. 296-300.

16. J. Bao, Y. Zhou, and X. Wu, "Systematic studies of fission fragment kinetic energy distributions by Langein simulations.11// Z. Phys., 1995, V. A352, P. 321-325.

17. Г. И. Косенко, И. И. Гончар, О. И. Сердюк, Н. И. Писчасов, "Расчет моментов энергетического распределения осколков деления ядер методом уравнений Ланжевена."// ЯФ, 1992, Т. 55, С. 920-928.

18. Д. В. Ванин, П. Н. Надточий, Г. И. Косенко, Г. Д. Адеев, "Ланжевенов-ское описание массового распределения осколков деления возбужденных ядер."// ЯФ, 2000, Т. 63, С. 1957-1965.

19. A. Bohr, //in Proceedings of the United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy, New York, 1956, V. 2, P. 151

20. R. Vandenbosch and J. R. Huizenga, "Nuclear Fission."// New York, Academic Press, 1973, 422 p.

21. P. D. Bond, "Reexamination of fission fragment angular distributions and the fission process: Formalism."// Phys. Rev., V. C32, P. 471-482.

22. P. D. Bond, "Reexamination of fission fragment angular distributions and the fission process: Analysis of data."// Phys. Rev., V. C32, P. 483-487.

23. H. H. Rossner, J. R. Huizenga, W. U. Schroder, "Statistical Scission Model of Fission-Fragment Angular Distribution."// Phys. Rev. Lett., 1984, V. 53, P. 38-41.

24. H. H. Rossner, J. R. Huizenga and W. U. Schroder, "Fission fragments angular distributions". // Phys. Rev., 1986, V. 33, P. 560-575.

25. B. John and S. K. Kataria, "Statistical prescission point model of fission fragment angular distributions."// Phys. Rev., 1998,057, P. 1337-1348.

26. L. C. Vaz and J. M. Alexander, "Raessessment of fission fragment angular distributions from continuum states in the context of transition-state theory."// Phys. Rev., 1983, V. 97, P. 1-30.

27. Y. Jia, J-D. Bao, "Calculations of the anisotropy of the fission fragment angular distribution and neutron emission multiplicities prescission from langevin dynamics."//Phys. Rev., 2007, 075, P. 034601-1 034601-8

28. R. Freifelder, M. Prakash, J. M. Alexander, "Interplay between theory and experiment for fission-fragment angular distribution."// Phys. Rep., 1986, V. 133, P. 315-335.

29. V. A. Drozdov, D. O. Eremenko, O. V. Fotina,ei al., // Tours Symposium on Nuclear Physics V (2003) Ed. by: M. Arnould et al. (Melville, New York, 2004, AIP Conference Proc. 74), p. 130

30. D. O. Eremenko, V. A. Drozdov, M. H. Eslamizadex, O. V. Fotina, S. Yu. Platonov, O. A. Yuminov "Stochastic Model of Tilting Mode in Nuclear Fission", // Phis. At. Nucl., 2006, V.69, N.8, P.1423-1427

31. А. V. Karpov, R. M. Hiryanov, A. V. Sagdeev, G. D. Adeev, "Dynamical treatment of fission fragment angular distribution."//J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., 2007, V. 34, P. 255

32. P. M. Хирьянов, А. В. Карпов, Г. Д. Адеев, "Стохастическая модель формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер."// ЯФ., 2008, Т. 71, С. 1389-1400.

33. Р. М. Хирьянов, А. В. Сагдеев, Г. Д. Адеев, А. В. Карпов, "Применение методов Монте-Карло к расчету угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер."//Вестник Омского Университета, 2008, №2, С. 21-28.

34. Р. М. Хирьянов, А. В. Карпов, Г. Д. Адеев, "Стохастический подход к рассмотрению формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер."// Препринт ОИЯИ, Дубна, 2007, Р. 7-2007-78.

35. А. В. Сагдеев, Р. М. Хирьянов, "Стохастический подход к расчету угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер. "//Вестник Омского Университета, 2004, №4, С. 31-33.

36. V. M. Strutinsky, N. Ya. Lyashchenko, N. A. Popov, "Symmetrical shapes of equilibrium for a liquid drop model."// Nucl. Phys., 1963, V. 46, P.639.659.

37. В. M. Струтинский, H. Я. Лященко, H. А. Попов, "Симметричные фигуры равновесия в модели ядра с резкой поверхностью (капельная модель)."// ЖЭТФ, 1962, Т. 43, С. 584-594.

38. О. И. Сердюк, Г. Д. Адеев, И. И. Гончар, В. В. Пашкевич, Н. И. Писча-сов, "Массово-энергетическое распределение осколков деления в диффузионной модели."// ЯФ, 1987, Т. 46, С. 710-721.

39. А. V. Karpov, Р. N. Nadtochy, D. V. Vanin, and G. D. Adeev, "Three-dimensional Langeven calculations of fussion fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei."// Phys. Rev., 2001, V. C63, 054610.

40. P. N. Nadtochy, G. D. Adeev, and A. V. Karpov, "More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach. "// Phys. Rev., 2002, V. C65, 064615. P. 1-13

41. Г. И. Косенко, И. Г. Коляри, Г. Д. Адеев, "Применение объединенного динамическо-испарителыюго подхода для описания деления индуцированного тяжелыми ионами."// ЯФ, 1997, Т. 60, С. 404-412.

42. И .И. Гончар, А .Е. Геккингер, Л .В. Гурьян, В. Вагнер, "Многомерная динамико-статистическая модель деления возбужденных ядер."// ЯФ, 2000, Т. 63, С. 778-798.

43. Г .И. Косенко, Д .В. Ванин, Г .Д. Адеев, "Применение объединенного испарительного подхода к расчету характеристик деления возбужденных ядер."// ЯФ, 1998, Т. 61, С. 2142-2146.

44. В. В. Воеводин, Г. Ким, "Вычислительные методы и программирование."// Изд-во МГУ, 1962

45. А. В. Игнатюк, М. Г. Иткис, В. Н. Околович, Г. Н. Смиренкин, А. С. Тишин, "Деление доактипоидных ядер. Функции возбуждения реакции (a,f)."// ЯФ, 1975, Т. 21, С. 1185-1205.

46. Н. J. Krappe, "Temperature dependence of the nuclear free energy based on a finite-range mass formula."// Phys. Rev., 1999, V. C59, P. 2640-2644.

47. H. J. Krappe, J. R. Nix and A. J. Sierk, "Unified nuclear potential for heavy-ion-elastic scattering, fusion, fission and ground state masses and deformations."// Phys. Rev., 1979, V. C20, P. 992-1013.

48. A. J. Sierk, "Macroscopic model of rotating nuclei."// Phys. Rev., 1986, V. C33, P. 2039-2053.

49. К. T. R. Davies and J. R. Nix, "Calculation of moments, potentials, and energies for an arbitrarily shaped diffuse-surface nuclear density distribution."// Phys. Rev., 1976, V. C14, P. 1977-1994.

50. H. J. Krappe, // Proc. of the Intern. Workshop on Dynamical Aspects of Nuclear Fission, Smolenice, 1991; Dubna, 1992, P. 51.

51. К. T. R. Davies, A. J. Sierk, J. R. Nix, "Effects of viscosity on the dynamics of fission."// Phys. Rev., 1976, V. C13, P. 2385-2405.

52. I. Kelson, "Dynamic Calculation of Fission of an Axially Symmetric Liquid Drop."// Phys. Rev., 1964, V. 136, P. B1667-B1673.

53. В .С. Ставинский, H .С. Работнов, А .А. Серегин, "Вычисление эффективной массы в геометрической модели симметричного деления."// ЯФ, 1969, Т. 9, С. 779-782.

54. А .А. Серегин, "Расчеты эффективной массы и поля скоростей делящегося ядра в модели жидкой капли."// ЯФ, 1992, Т. 55, С. 2639-2646.

55. F. A. Ivanyuk, V. М. Kolomietz, A. G. Magner, "Liquid Drop Surface Dynamics for Large Deformations."// Phys. Rev. C, 1995, V. 52, P. 678684;

56. J. Blocki, Y. Boneh, J. R. Nix, J. Randrup, M. Robel, A. J. Sierk and W. J. Swiatecki "One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei."// Ann. Phys. (N.Y.), 1978, V. 113, P. 330-386.

57. J. Randrup, W. J. Swiatecki, "One-Body Dissipation and Nuclei Dynamics."// Ann. Phys. (N.Y.)., 1980, V. 125, P. 193-226.

58. A. J. Sierk, J. R. Nix, "Fission in a wall-and-window one-body-dissipation model."// Phys. Rev., 1980, V. C21, P. 982-987.

59. К. T. R. Davies, R. A. Managan, J. R. Nix, and A. J. Sierk, "Rapture of the neck in nuclear fission."// Phys. Rev., 1977, V. C16, P. 1890-1901.

60. P.Frobrich, "Fusion and capture of heavy ions above barrier: analysis of experimental data with the surface friction model."// Phys. Rep., 1984, V. 116, P. 337-400.

61. J. Randrup and W. J. Swiatecki, "Dissipative resistance against changes in the mass asymmetry degree of freedom in nuclear dynamics: the completed wall-and-window formula."// Nucl. Phys., 1984, V. A429, P. 105-115.

62. H. Feldmeier, "Transport phenomena in dissipative heavy-ion collisions: The one-body dissipation approach."// Rep. Prog. Phys., 1987, V. 50, P. 915-994.

63. J. J. Griffin and M. Dvorzecka, "Classical wall formula and quantal one-body dissipation."// Nucl. Phys., 1986, V. A455, P. 61-99.

64. B. W. Bush and Y. Alhassid, "On the width of the giant dipole resonance in deformed nuclei."// Nucl. Phys., 1991, V. A531, P. 27-38.

65. P. Frobrich and I. I. Gontchar, "What are sensitive probes for nuclear friction in heavy-ion induced fission?"// Nucl. Phys., 1993, V. A563, P. 326-348.

66. H. Hofmann, F. A. Ivanyuk, C. Rummel, and S. Yamaji, "Nuclear fission: "onset of dissipation"from a microscopic point of view."// Phys. Rev., 2001, V. C64, 054316.

67. B. W. Bush, G. F. Bertsch, and B. A. Brown, "Shape diffusion in the shell model."// Phys. Rev., 1992, V. C45, P. 1709-1719.

68. J. Marten, P. Frôbrich, Nucl. Phys., 1992, V. 545, P. 854

69. В. B. Back, R. R. Betts, J. E. Gindler, B. D. Wilkins, S. Saini, M. B. Tsang, С. K. Gelbke, W. G. Lynch, M. A. McMahan and P. A. Baisden, "Angular distributions in heavy-ion-induced fission."// Phys. Rev., 1985, V. C32, P. 195-213.

70. N. D. Mavlitov, P. Frôbrich, I. I. Gontchar, "Combining a Langeven description of heavy-ion induced fission including neitron evaporation with the statistical model."// Z. Phys., 1992, V. A342, P. 195.

71. V. Wiesskopf, "Statistics and nuclear reactions."// Phys. Rev., 1937, V. 52, P. 295-303.

72. А. В. Игнатюк, "Статистические свойства возбужденных атомных ядер."// Москва, Энергоатомиздат, 1983, С. 175.

73. P. Frobrich and G. R. Tillack, "Path-integral derivation for the rate of stationary diffusion over a multidimensional barrier."// Nucl. Phys., 1992, V. A540, P. 353-364.

74. P. D. Bond, "Fission-Fragment Angular Distribution."// Phys. Rev. Lett., 1984, V. 52, P. 414-416.

75. P. Frobrich and H. Rossner, "Influence of pre-saddle neutrons on the fission fragment angular distribution."// Z. Phys., 1994, V. A349, P. 99-100.

76. В. А. Дроздов, Д. О. Еременко, С. Ю. Платонов, О. В. Фотина, О. А. Юминов, "Динамическая модель процесса формирования угловых распределений осколков деления."// ЯФ, 2001, Т. 64, С. 221-228.

77. О. Бор, "К теории деления ядер."// "Материалы международной конференции по мирному использованию атомной энергии, Женева, 1955", Москва, Физматлит, 1958, Т. 2, С. 175-179

78. Г. Д. Адеев, А. В. Карпов, П. Н. Надточий, Д. В. Ванин, "Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер."//ЭЧАЯ, 2005, Т.36, С. 712-800

79. Т. D0ssing, J. Randrup, "Dynamical evolution of angular momentum in damped nuclear reactions."// Nucl. Phys., 1985, V. A433, P. 215-279; P. 280-350

80. J. Randrup, "Theory of transfer-induced transport in nuclear colissions."// Nucl. Phys., 1979, A327, P. 490-516

81. P. N. Nadtochy, A. V. Karpov, D. V. Vanin, G. D. Adeev, "Reduction coefficient in surface-plus-window dissipation: analysis of experimentaldata from fusion-fission reactions within a stochastic approach."// Yad. Fiz., 2003, V. 66, P. 1240

82. N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller, "Equation of state calculations by fast computing machines."// J. Chem. Phys., 1953, 21, P.1087-1092

83. K. Binder, W. Heerman, "Monte-Carlo simulation in statistical physics"// Springer-Verlag, 1988, 139 p.

84. Д. В. Хеерман, "Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике"// Наука, Москва, 1990, 154 с.

85. К. Binder, "Application of Monte-Karlo methods to statistical physics"// Rep. Prog. Phys., 1997, V. 60, P. 487

86. H. A. Weindenmuller, "Transport Theories of Heavy Ion Reaction."// Prog. Part. Nucl. Phys., 1980, 3, P.49-126

87. H. Rossner, D. J. Hinde, J. R. Leigh, J. P. Lestone, J. O. Newton, J. X. Wei, S. Elfstrôm, // Phys. Rev, 1992, C. 45, P. 719-725.

88. A. Saxena, A. Chatterjee, R. K. Choudhury, S. S. Kapoor, D. M. Nadkarni, "Entrance channel effects in the fusion-fission time scales from studies of prescission neutron multiplicities."// Phys. Rev, 1994, С. C49, P. 932-940.

89. P. Frôbrich, s. Y. Xu, "The treatment of heavy-ion collisions by langevin equations."// Nucl. Phys., 1988, A477, P. 143-161

90. J. R. Nix and W. J. Swiatecki, "Studies in the liquid-drop theory of nuclear fission."// Nucl. Phys., 1965, V. 71, P. 1-94; J. R. Nix, "Further studies in the liquid-drop theory of nuclear fission."// Nucl. Phys., 1969, V. A130, P. 241-307.

91. R. W. Hasse, "Dynamic model of asymmetric fission."// Nucl. Phys., 1969, V. A128, P. 609-631; "Fission of heavy nuclei at higher excitation energies in a dynamic model"// Phys. Rev., 1971, V. C4, P. 572-580.

92. И. И. Гончар, "Ланжевеновская флуктуационно-диссипативная динамика деления возбужденных атомных ядер."// ЭЧАЯ, 1995, Т. 26, С. 932-1000.

93. T. Wada, N. Carjan and Y. Abe, "Multi-dimensional Langevin approach to fission dynamics."// Nucl. Phys., 1992, V. A538, P. 283c-290c.

94. T. Wada, Y. Abe and N. Carjan, "One-body dissipation in agreement with prescission neutrons and fragment kinetic energies."// Phys. Rev. Lett., 1993, V. 70, P. 3538-3541.

95. D. Hilscher and H. Rossner, "Dynamics of nuclear fission."// Ann. Phys. (France), 1992, V. 17, P. 471-552.

96. П. H. Надточий, А. В. Карпов, Д. В. Ванин, Г. Д. Адеев, "Массово-энергетическое распределение осколков деления возбужденных ядер в трехмерной ланжевеновской динамике.11// ЯФ, 2001, Т. 64, Вып. 5, С. 926-934.

97. О. Бор, Б. Моттельсон, "Структура атомного ядра."// Москва, Мир, 1977, Т. 2, 664 с.

98. G. Chaudhuri and S. Pal, "Prescission neutron multiplicity and fission probability from Langeven dynamics of nuclear fission."// Phys. Rev., 2002, V. C65, 054612.

99. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, "Теоретическая физика."// Москва, Наука, 1988, Т. 1, "Механика", 216 с.

100. Э. Хайд, И. Перлман, Г. Сиборг, "Ядерные свойства тяжелых элементов."// Москва, Атомиздат, 1969, Вып. 5, "Деление ядер", 360 с.

101. И. Айзенберг, В. Грайнер, "Модели ядер. Одночастичные и коллективные явления."// Москва, Атомиздат, 1975, 456 с.

102. В. М. Струтинский, "Ширина деления нагретых ядер."// ЯФ, 1974, Т. 19, С. 259.

103. V. S. Ramamurthy, S. S. Kapoor, "Interpretation of Fission-Fragment Angular Distributions in Heavy-Ion Fusion Reactions."// Phys. Rev., 1985, V. 54, P. 178-181.

104. В. А. Дроздов, Д. О. Еременко, С. Ю. Платонов, О. В. Фотина, О. А. Юминов, "Динамические особенности процесса формированияугловых распределений осколков деления."// Изв. РАН, Сер. Физич., 1999, Т. 63, №1, С. 100-104.

105. В. А. Дроздов, Д. О. Еременко, С. Ю. Платонов, О. В. Фотина, О. А. Юминов, "Динамические особенности процесса формирования угловых распределений осколков деоения."// Труды 3-ей Открытой

106. Научной Конференции молодых ученых и специалистов, Дубна, 15-19 февраля, 1999, С. 125.

107. В. А. Дроздов, Д. О. Еременко, С. Ю. Платонов, О. В. Фотина, О. А. Юминов, "Динамический подход к анализу угловых распределений осколков двоения."// Изв. РАН, Сер. Физич., 2000, Т. 64, №3, С. 509.

108. G. R. Tillack, "Two-dimensional Langeven approach to nuclear fission dynamics."// Phys. Lett, 1992, V. B278, P. 403.

109. О. И. Сердюк, Г. Д. Адеев, И. И. Гончар, В. В. Пашкевич, Н. И. Писча-сов, "Массово-энергетическое распределение осколков деления в диффузионной модели."// ЯФ, 1987, Т. 46, С. 710-721.

110. Р. Fröbrich, J. Marten,// Z. Phys., 1991, V. A339, P. 171.

111. Д. О. Еременко, С. Ю. Платонов, О. В. Фотина, О. А. Юминов, "Множественность легких частиц в реакциях под действием тяжелых ионов."// Изв. РАН, Сер. Физич., 1997, Т. 61, Ж, С. 18-23.

112. H. Rossner, D. Hilsher, Е. Holub, G. Ingold, U. Jahnke, H. Ocb, J. R. Huizenga, J. R. Birkelund, W. U. Schoder, W. W. Wilcke // Phys. Rev., 1983, V. C27, P. 2666-2678.

113. B. B. Back, R. R. Betts, K. Cassidy, B. G. Glagola, J. E. Gindler, L. E. Glendenin, B. D. Wilkins, "Experimental signatures for fast fission."// Phys. Rev. Lett., 1983, V. 50, P. 818.

114. S. Cohen, F. Plasil, S. W. Swiatecki, "Eguilibrium configurations of rotating chaged or gravitating liguid masses with surface tension."// Ann. Phys. (N.Y.), 1974, V. 82, P. 557-576.

115. B. B. Back, "Complete fusion and quasifission in reactions between heavy ions."// Phys. Rev., 1985, V. C31, P. 2104-2112.

116. R. K. Choudhury, A. Saxena, K. Kumar, "Undestanding the anomalous fragment anisotropics in heavy-ion induced fission in the dynamical trajectory model."// Z. Phys., 1997, V. A357, P. 189-192.

117. B. B. Back, S. Bj0rnholm, T. Dossing, W. Q. Shen, K. D. Hildenbrand, A. Gobbi, S. P. S0rensen, "Relaxation of angular momentum in fission and quasifission reactions."// Phys. Rev., 1990, V. C41, P. 1495-1511.

118. V. M. Strutinsky, "Macroscopic and microscopic aspects in nuclear fission."// Nucl. Phys., 1989, V. A502, P. 67-84.

119. B. B. Back, "The general law of radioactive decay applied to fission of hot nuclei."// Proc. of Int. School-Seminar on Heavy Ion Physics, Dubna, 1993, P. 317-329.

120. R. Vandenbosch, T. Murakami, C. C. Sahm ct. al., "Anomously Broad Spin Distributions in Sub-Barrier Fusion Reactions."// Phys. Rev. Lett., 1986, V. 56, P. 1234-1236.