Динамика линейных дефектов и низкотемпературные характеристики упругих сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

4-2005-152

На правах рукописи УДК 548.4; 539.2; 539.3; 536.2; 536.63

ЧУРОЧКИН Дмитрий Викторович

ДИНАМИКА ЛИНЕЙНЫХ ДЕФЕКТОВ И НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГИХ СРЕД

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2005

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им.H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.А. Осипов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.М. Чернов (ВНИИНМ, г. Москва)

доктор физико-математических наук J1.M. Зубов (НИИМ и ПМ, г. Ростов-на-Дону)

Ведущая организация:

Физико-технический институт УрО РАН, г. Ижевск

Защита диссертации состоится 4fy " 2005 г. в 15—

на заседании диссертационного совета К 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан ." 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

С.И. ФЕДОТОВ

,/3 357

Общая характеристика диссертации.

Актуальность темы. В теории дислокаций широкое распространение, благодаря своей физической наглядности и математической простоте, получила струнная модель Гранато-Люке. В основе модели лежит аналогия между колебанием пинингованного сегмента дислокационной линии и вынужденным колебанием струны, испытывающей затухание. Базовыми характеристиками модели » являются линейное натяжение, эффективная масса и постоянная демпфирова-

ния, которые для дислокаций были рассчитаны в серии работ Лауба, Эшелби, Ниномии и Ишиоки. В рамках модели колеблющейся струны были успешно рассмотрены вопросы дислокационного внутреннего трения, вклада дислокаций в теплоемкость и рассеяние фононов. Учет взаимодействия между дислокациями, рассматриваемыми как струна, позволил Низелю и Гранато на основе дипольных представлений о ансамбле дислокаций описать поведение низкотемпературной теплопроводности пластически деформированного кристалла 1лР, находящегося в сверхпроводящем состоянии. В серии недавних экспериментов, исследовались низкотемпературное внутреннее трение, теплопроводность, теплоемкость и теплота выхода пластически деформированных кристаллических образцов алюминия, тантала и ниобия высокой чистоты, находящихся в сверхпроводящем состоянии. Полученные данные сравнивались с результатами экспериментальных измерений того же набора характеристик в аморфном кремнии БЮг- Было установлено, что пластическая деформация оказывает ярко выраженное влияние на поведение теплопроводности и внутреннего трения. А именно, внутреннее трение демонстрирует атермальное и частотно-независимое поведение, а его величина возрастает на два порядка по сравнению с отожженными образцами, и становится сравнимым по порядку величины с внутренним трением в аморфном кремнии. Кроме того, теплопроводность также принимает значения, попадающие в диапазон, характерный для аморфного кремния. В то же время, никаких аномалий ни по теплоте выхода, ни по теплоемкости, , характерных для аморфного состояния, в случае деформированных металлов

ИОС НАЦИОНАЛЬНАЯ) БИБЛИОТЕКА /

"* ■ чш.т т

не наблюдалось Такое поведение указывает на то, что рассеяние фононов на дислокациях определяет низкотемпературные характеристики пластически деформированных металлов, находящихся в сверхпроводящем состоянии. Одной из целей работы было нахождение механизма релаксации, который позволил бы объяснить наблюдаемые эффекты, поскольку, как отмечено в диссертации, известных доминирующих в области низких температур релаксационных процессов оказалось недостаточно для описания наблюдаемых эффектов

Как хорошо известно, наряду с дислокациями, ответственными за нарушения трансляционной симметрии кристалла, существуют линейные дефекты, дис-клинации, вызывающие нарушения ротационной симметрии кристалла В работах Даса и Коссецки исследовалось движение дисклинаций и дисклинационных петель и были найдены выражения для силы, действующей на линию дисклина-ции и её ось, а также условие консервативности движения дисклинаций. Однако до настоящего времени не было построено модели, позволяющей количественно оценить влияние динамики дисклинаций на физические характеристики упругих сред. Следует отметить, что в последнее время широко исследуется влияние дисклинаций и дисклинационных петель на физические характеристики топологически неупорядоченных систем (стекол), демонстрирующих аномалии по целому спектру свойств: теплопроводности, теплоемкости, внутреннему трению, теплоте выхода, относительному изменению скорости звука Кроме того, структурные свойства металлических стекол могут быть смоделированы на основе дисклинационных представлений Для описания целого ряда физико-механических характеристик оказалось вполне достаточным представлений о статических дисклинациях, обладающих дальнодействующими полями напряжений Как правило, статическая дисклинация в таком случае моделируется дислокационной стенкой. Однако, данное приближение требует уточнения при рассмотрении динамических характеристик, прежде всего связанных с процессами рассеяния, поскольку квазидвумерный объект (стенка) и линейный объект (дисклинация) участвуют в рассеянии по разному. Таким образом, представляется актуальным построение модели, которая учитывала бы специфику дина-

мики дисклинаций. В диссертации построена струнная модель, описывающая движение дисклинаций кручения и оценен вклад дисклинаций в теплоёмкость и внутреннее трение.

Целью работы является исследование тепловых и акустических свойств упругих сред, обусловленных динамикой линейных дефектов, в рамках модифицированных струнных моделей.

Научная новизна и практическая ценность. Показано, что в отличие от случая дислокаций, динамику дисклинаций необходимо моделировать с помощью представлений о неоднородной струне. Рассчитаны характеристики такой струны: эффективная масса, линейное натяжение, параметр демпфирования. В рамках модели неоднородной струны, вычислены вклады в теплоемкость и внутреннее трение, обусловленные динамикой дисклинаций. Построенная в диссертации струнная модель для дисклинаций может быть использована при расчете релаксационных свойств материалов, структура которых предполагает наличие в них линейных дефектов ротационного типа. Модель допускает возможность дальнейшей модификации, для учета взаимной экранировки дефектов, шумов напряжений, а также наличия внешнего потенциального рельефа.

Показано, что учет взаимодействия между дислокациями и шумов напряжений произвольной природы, в рамках подхода Чернова-Камаевой, позволяет описать недавние эксперименты по тепловым и акустическим свойствам пластически деформированных металлов в сверхпроводящем состоянии. Принятие во внимание отмеченных факторов актуально для экспериментов по внутреннему трению, поскольку даже незначительное по амплитуде по отношению к основному периодическому сигналу шумовое воздействие при высокой степени пластической деформации, когда дислокации формируют сильноэкранированные системы, приводит к изменению значений низкочастотного внутреннего трения при низких температурах на несколько порядков. Наиболее просто учесть этот эффект в случае дипольного взаимодействия дислокаций.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической фи-

зики им H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, а также представлялись и докладывались на' 6-ой научной конференции молодых ученых и специалистов ( Дубна, 2002); Международной школе по топологии в физике конденсированного состояния TOPCON02 ( 2002, Дрезден, Германия); Международной конференции "Extended defects in semiconductors'^ 2002, Болонья, Италия); Международной конференции "Structural Relaxation in Solids" ( 2003, Винница, Украина); III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием ( 2003, Ростов-на-Дону - Азов, Россия); XXX Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка-2004"( 2004, Екатеринбург-Челябинск, Россия); Международной конференции "Unifying Concepts in Glassy Physics III"(2004, Бангалор, Индия); XXI Международном Конгрессе по Теоретической и Прикладной Механике ( 2004, Варшава, Польша).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем 95 страниц, включая 23 рисунка, 4 таблицы и список литературы из 64 наименований.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность проводимых исследований. Дано краткое содержание диссертации.

В первой главе подробно рассматриваются механизмы диссипации, связанные с линейными дефектами. Можно выделить условно две группы таких механизмов. Во первых, это диссипация, вызванная взаимодействием линейных дефектов с источниками потенциальных барьеров различной природы, сюда можно отнести как взаимодействие с точечными дефектами, так и специфическое влияние решетки, отражающее ее дискретность, а именно, существование барьеров Пайерлса . Ко второй группе механизмов можно отнести диссипацию, вызванную взаимодействием дислокации с различными элементарными возбуждениями в кристалле: фононами, электронами проводимости, и т.д.

Особое внимание уделяется механизмам, определяющим поведение диссипации в области низких температур, ниже температуры сверхпроводящего перехода Отмечается, что в сверхпроводящей области, при достаточно низких температурах, диссипация, обусловленная динамикой линейного дефекта в упр\гом поле падающей волны (флаттер-эффект), и диссипация, обусловленная движением линейного дефекта или части его (кинка) в барьере Пайерлса, являются доминирующими. Дополнительно обсуждается недавно исследованный Черновым и Камаевой вопрос о шумовом воздействии на дислокацию. Как было показано авторами модели, шум напряжений ведет к возникновению дополнительного канала диссипации, дающего существенный постоянный в области низких частот вклад в декремент.

Во второй главе вводится понятие линейного дефекта в упругой среде и на основе существующей теории детально излагаются известные результаты, касающиеся вопросов консервативности движения линейных дефектов. Отмечается, что дисклинация кручения как и обычные дислокации имеет естественную плоскость скольжения и, следовательно, для нее допустимо моделирование с помощью эффективной струны. Формулируется струнная модель для квазиравновесной динамики дисклинаций кручения. Квазиравновесность означает, что движение дисклинации кручения происходит таким образом, что в каждый момент времени она находится в положении упругого равновесия со средой Тогда можно применить известную формулу теории дислокаций для линейного натяжения

F = T/p, (1)

где Т -статическое линейное натяжение, /> радиус кривизны, и F -компонента силы Пича-Келлера, действующая в плоскости скольжения; F имеет смысл силы реакции среды на искривление линейного дефекта. Соотношение для Т перенесено без изменений на случай дисклинаций, поскольку оно получено из геометрических соображений для линии произвольной природы, находящейся под действием внешней силы F. Пусть дефекты двигаются по механизму скольже-

ния Сила Пича-Келлера, действующая на единицу длины линейного дефекта имеет вид

/г = £такТаи^агк, (2)

где та- единичный касательный вектор к линии дефекта, и^- скачок поля смещений обусловленный, наличием линейного дефекта, сг^-тензор напряжений, етак-полностью антисимметричный единичный тензор. Тензор напряжений определяется через квазистатические поля смещений в упругой среде, вызванные пластической деформацией, обусловленной движением дефекта Используя метод функций Грина, поле смещений можно представить в виде

ип (г, г) = - I СуIV', (3)

где Су/у-тензор упругих постоянных, (^„-тензорная функция Грина, ¿е^'-вариа-ция пластической части тензора деформации. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, и С]П1 — дС]п/дхг. В результате расчетов в конкретной геометрии (линия дисклинации по оси г, ось дисклинации по оси у) для среднего линейного натяжения дисклинации кручения было получено выражение

где ¡1- модуль сдвига, Г2- мощность дисклинации Массу единицу длины дисклинации кручения определяем из кинетической энергии Е движущейся дисклинации (подобный прием был использован Ниномией для определения эффективной массы дислокации)

(5)

В результате расчетов приходим к результату

т{г) = (6)

где тп(г)-масса единицы длины дисклинации, р- плотность.

Следует отметить, что как линейное натяжение, так и масса характеризуют вклад в свободную энергию от дисклинации кручения. Расходимость этих

параметров модели целиком обусловлена ротационным типом дефекта и специфическим характером полей напряжений вокруг него. Для дислокаций подобная зависимость от размеров среды отсутствует из-за постоянства скачка ноля смещений. Как видно из полученных результатов, линейное натяжение и масса дисклинации кручения зависят от z. Это означает, что дисклинацию кручения мы должны трактовать как неоднородную струну. В этом состоит существенное отличие от случая дислокаций, в котором струна была однородной. Уравнение движения неоднородной струны имеет вид

Полагаем, что концы дисклинации кручения закреплены, то есть e(—L) = e(L) = 0. Удовлетворяющее таким граничным условиям решение имеет вид

, . e0v . ljz . .

e(z, t) — — sm — cosut, (8)

U)Z V

здесь eo максимальная амплитуда (при 2 = 0), и спектр

wn = t>|fc„|, kn = irn/L, п = 0, ±1,±2,... (9)

Получено решение, узлы которого расположены регулярно. Этот факт позволяет рассчитать вклад в тепловые характеристики решетки от дисклинаций кручения подобно тому как это было сделано в случае дислокаций. Вклад в теплоемкость дисклинаций кручения рассчитывается аналогично случаю дислокаций. А именно, задача сводится к расчету внутренней энергии одномерного кристалла

и = т_^__(10)

суммирование происходит по всем нормальным колебаниям дисклинации кручения. В результате вычислений приходим к выражению

с,(И,

где а0- постоянная решетки, Л- плотность дисклинаций, N- количество атомов в моле вещества, Z- количество атомов в элементарной ячейке, Q- температура

Дебая и р = г'о/'и , где ?,'(г скорость звука в идеальной решетке. Полученный результат по форме совпадает с аналогичной оценкой для дислокаций Таким образом, вклад дисклинаций кручения в теплоемкость линеен по плотности дефектов и по температуре.

Учет торможения в рамках струнной модели осуществляется добавлением еще одного слагаемого в уравнение движения. Для дислокаций это было проделано Гранато. Физически, существование трения у дисклинации характеризует наличие внутреннего трения в среде, обусловленного потерями на дисклинации. Для количественной оценки внутреннего трения вводится понятие декремента С^^1, который имеет смысл относительных потерь за цикл. Смещения дисклинации с учетом диссипации подчиняются общему уравнению движения неоднородной струны

где В- постоянная демпфирования, Р,- внешняя сила. Известно несколько механизмов, ограничивающих движение дислокаций, связанных как с ангармоническими фононными механизмами торможения равномерно движущихся дислокаций (фононная вязкость, термоупругая диссипация, фононное рассеяние, фононный ветер) так и с фононными механизмами торможения, обусловленными возбуждением собственных степеней свободы движущихся дислокаций ( флаттер-эффект, радиационное трение, комбинационное рассеяние фононов). В области низких температур, одним из главных и наиболее интересных вкладов в диссипацию энергии будет вклад, обусловленный колебаниями дислокации в фононном поле (флаттер-эффект). Флаттер-эффект будет иметь место и для дисклинации кручения из-за наличия у нее поверхности скольжения по которой она может легко перемещаться в поле внешних сил. Поле напряжений налетающего фонона вызывает колебания дисклинации кручения, которые приведут к генерации и излучению упругих волн, обуславливающих рассеяние энергии падающей волны. Для расчета параметра демпфирования В дисклинации кручения, учитывающего флаттер дисклинации, применялся метод

фиктивных сил Эшелби и использовалась динамическая функция Грина изотропной упругой среды. В конкретной геометрии (линия дисклинации по оси z, ось дисклинации по оси у) было получено выражение для В вида

nnVcW 1 1 2 /с2\ B-—8—{7i + ct-^)' (13)

где с(, с/- поперечная и продольная скорости звука; к- z-компонента волнового вектора; ш- частота фононов. Легко видеть, что В также становится зависимым от z. Расчет дисклинационного внутреннего трения с z-зависимым параметром демпфирования приводит к выражению

t _ S^gV/i у_1__(14)

1та V n2 (72w2 + (u>2 - fc>2)2) ' где q = cro/fo-ориентационный фактор;

cWl 1 2А;2 \

а = pft2/2. (16)

Легко видеть, что в рамках предложенной модели внутреннее трение, обусловленное дисклинациями кручения, не зависит от мощности дисклинации Q. Кроме того Q 1 пропорционально четвертой степени длины дисклинации. Для дислокаций в рамках струнной модели был получен подобный результат, следовательно, существует глубокая аналогия в поведении линейных дефектов, обладающих плоскостями скольжения, в динамических процессах.

В заключение главы изложен оригинальный результат по расчету вклада во внутреннее трение LiF от ансамбля оптически колеблющихся диполей краевых дислокаций. Исследована зависимость дипольного вклада от размера плеча. Показано, что наличие диполей приводит к повышению частоты пика внутреннего трения.

В третьей главе построена теоретическая модель, являющаяся модификацией модели Чернова и Камаевой, описывающая динамику диполей дислокаций в поле случайных и периодических сил, позволяющая самосогласованно объяснить недавние эксперименты по теплопроводности и внутреннему трению в

пластически деформированных образцах А1, Та, Г\Ь высокой чистоты, в сверхпроводящем состоянии. Пластическая деформация приводила к увеличению на два порядка внутреннего трения по сравнению с отожженными образцами и к изменению кривой теплопроводности в области низких температур В то же время теплоемкость и теплота выхода демонстрировали стандартное поведение. Результаты экспериментов указывают на то, что рассеяние фононов на дислокациях играет ключевую роль для объяснения наблюдавшихся эффектов.

Как хорошо известно, существует два класса принципиально различных механизмов рассеяния фононов на дислокациях: рассеяние, обусловленное статическими полями напряжений дислокации, и рассеяние, связанное с динамикой дислокаций. Первый из них связан с ангармоничностью дислокационных полей напряжений, тогда как последний обусловлен колебаниями дислокации, индуцированными проходящей акустической волной. В этом случае, падающая энергия рассеивается, так как колеблющаяся дислокация излучает собственные упругие волны (флаттер-эффект). В эксперименте чрезвычайно трудно выяснить какой из двух типов рассеяния доминирует, и особенно, получить количественное согласие между наблюдаемыми эффектами и теоретическими расчетами, выполненными на основе статической или динамической моделей. Кроме того, было установлено, что оба механизма фононного рассеяния ансамблем единичных дислокаций, не позволяют описать целый ряд наблюдавшихся эффектов в теплопроводности пластически деформированных образцов. К примеру, оценка вклада в теплопроводность по механизму резонансного взаимодействия фононов с дислокацией, соответствовала наблюдавшейся в эксперименте только при длинах дислокационного сегмента много меньших чем экспериментально полученные. Заметим, что подобного рода проблемы уже возникали в экспериментах по теплопроводности пластически деформированного 1лР. Эксперименты по теплопроводности и баллистике распространения фононов в деформированном ПР при низких температурах показывают, что фононное рассеяние не может быть объяснено в рамках статического механизма и находится в качественном согласии с динамическим флаттер-механизмом рассеяния. Прин-

ципиальную роль в объяснении экспериментальных данных сыграло предположение, высказанное Низелем и Гранато, заключающееся в том, что 1лР содержит ансамбль оптически колеблющихся диполей краевых дислокаций. В таком случае, резонансная частота становится значительно выше. Следует отметить, что ансамбль дислокационных диполей высокой плотности, наблюдался экспериментально в 1лР, также как и в целом ряде других материалов Экспериментальные оценки на отношение плотности диполей к плотности единичных дислокаций варьируются от 1000 до 100 и меньше В главе показывается, что концепция динамического рассеяния фононов диполями дислокаций, использованная для объяснения экспериментов в ЫГ, может быть применена и для объяснения экспериментов в А1, N1}, и Та, если предположить, что по аналогии с 1лР, пластически деформированные А1, N1), и Та также содержат ансамбли диполей дислокаций. В таком случае, увеличение резонансной частоты может быть достигнуто за счет присутствия в образце оптически колеблющихся диполей дислокаций с соответствующей акустическим экспериментам длиной дислокаций и размером плеча. Это позволяет получить количественное согласие с экспериментальными данными для всех трех образцов.

Очевидно, дислокационные диполи, испытывающие флаттер во внешнем упругом поле, будут оказывать влияние не только на транспортные свойства (теплопроводность), но и на другие структурно-чувствительные характеристики, в частности, на внутреннее трение. В работе показано, что в рамках струнной модели может быть достигнуто хорошее согласие с экспериментами по внутреннему трению в А1, N5, и Та если дополнительно предположить наличие случайной компоненты напряжений в ансамбле диполей дислокаций. Вопрос о влиянии случайных напряжений на дислокационный декремент рассматривался недавно Камаевой и Черновым. В частности, они установили, что действие случайной силы на дислокацию приводит к дополнительному вкладу в декремент. В экспериментах по внутреннему трению в пластически деформированных А1, N1}, и Та, находящихся в сверхпроводящем состоянии, декремент принимает аномально большие значения и практически не зависит от амплитуды и частоты

внешнего напряжения. Это означает, что параметры шума, который, как мы предполагаем, может быть ответственен за наблюдаемый эффект, должны зависеть от параметров внешнего напряжения, поскольку это единственный способ обеспечить постоянство низкочастотного вклада в декремент при изменении параметров внешнего напряжения. Таким образом, мы предполагаем, что внешнее напряжение вносит временной масштаб в корреляции флуктуаций напряжения в ансамбле дислокаций, который, как известно, всегда имеет собственную сложную динамику. Вносимый временной масштаб определяет время дополнительной релаксации внутренних напряжений, обусловленной случайными силами. Помимо этого, мы полагаем, что дополнительное время релаксации является в общем случае функцией частоты внешнего воздействия. В качестве простейшей аппроксимации использована корреляционная функция, экспоненциально спадающая со временем (телеграфный процесс). Заметим, что введение конечного временного масштаба означает, что дислокация испытывает воздействие окрашенного шума. Полагая, что характеристики струн одинаковы для дислокаций, составляющих диполь, мы можем сразу выписать систему уравнений, описывающих демпфированное скольжение диполя дислокаций, в следующем виде

дф{г,г) дЩг,1) _

. (17)

где е(г,£) и ц>(х, 1)- смещения положительной и отрицательной дислокаций, тп-эффективная масса, То- линейное натяжение, В- параметр демпфирования и рех1±- полная внешняя сила, которая действует на положительную и отрицательную дислокации, соответственно, в их плоскостях скольжения. Полная внешняя сила, действующая в плоскости скольжения на дислокацию в диполе, состоит из трех слагаемых

рет1± = ;± + Е± + Ь±фу (18)

Здесь /±- сила взаимодействия между дислокациями в диполе, F±- силы обу-

словленные внешним полем напряжений ((71к), и описывает стационарную

случайную компоненту напряжений После выполнения всех расчетов приходим

к следующему выражению для декремента

47Г«/то? . , „.ч ^ ЪЛЗо1и) , ч

= т—5--^т 1 - УА - + У —=Г7-—!9

(4а2т + 2аВ + Б) v " и ^ пЕр{2р + I)2 ^

где

У - -

2\1

(4а2тп + 2аВ + £>) Ь2Л

Т0{тг/Ь)2 2<Ж>'

а, г/ц- параметры шума, Л- плотность диполей дислокаций; < IV >- средняя полная энергия колебаний единицы объема.

На Рис. 1 изображена зависимость декремента от нормированной частоты для параметров поликристаллического алюминия. Как видно из рисунка, при низких частотах (вплоть до 108 Гц для алюминия) полный декремент практически постоянен. Постоянство декремента в области низких частот целиком определяется вкладом от случайной составляющей полных напряжений В то же время, вблизи резонансной частоты декремент имеет ярко выраженный пик, обусловленный вкладом от периодической составляющей полных напряжений. А именно, периодическая составляющая полного декремента для алюминия оказывается в 104 раз больше чем, случайная составляющая вблизи резонансной частоты. Следует отметить, что подобное поведение характерно также и для Та и Г^Ь Таким образом, наблюдаемое в экспериментах атермальное и независимое от частоты поведение внутреннего трения находит свое объяснение в рамках предложенной модели. Причем атермальность достигается доминированием членов с Б, учитывающих взаимодействие, как над температурнозависи-мыми членами, учитывающими влияние диссипации В, так и над слагаемыми с линейным натяжением и массой. Заметим, что доминирование дальнодейству-ющих взаимодействий уже использовалось при рассмотрении внутреннего трения, обусловленного взаимодействием дислокаций с точечными дефектами. В свою очередь, основной вклад в теплопроводность дает область спектра вблизи резонансной частоты где доминирует периодическая составляющая декремента. Следовательно, влияние шума, моделируемого как телеграфный процесс, на

10

-5

с ф

Е

2 10

о

CD

а

-10

10

-15

10

11*^ 111^ ММЧ IHI

. 1

А 1

/ \ 1

\ 1

\i

Г i

Г i

Г 1

i 1

■ А 1 1

......АР i 1

Л 1 1

i

i

i

Г 1 ..._i .J .J ...-J ...J ;

-20_

10~9 10"7 10"5 10"3 10"1

св/п"

ю1

Рис. 1 Теоретические кривые для внутреннего трения 10% деформированного 5N поликристалла алюминия, = 1011 Нг Сплошная линия-полный декремент, пунктир-периодическая составляющая декремента, точки-случайная составляющая декремента 10"1

0.15

Рис. 2- Теплопроводность для алюминия. Квадраты-экспериментальная кривая Сплошной

линией изображена теоретическая кривая для плотности дислокаций Км = 6 х 1012 т~2 .

Резонансная частота для алюминия (if = 1011 Hz.

14

теплопроводность будет пренебрежимо мало Типичная кривая для поведения теплопроводности в случае пластически деформированного алюминия приведена на Рис 2 Из рисунка видно хорошее совпадение теоретической и экспериментальной кривой в интересующей нас области температур ниже 0.15 К, в которой влияние электронов пренебрежимо мало При повышении температуры начинают доминировать недефектные вклады в теплопроводность, связанные в первую очередь с процессами рассеяния на электронной подсистеме металла, которые обуславливают рост экспериментальной кривой теплопроводности с ростом температуры.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые выносятся на защиту

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1 Построена струнная модель для описания динамики дисклинаций кручения Для дисклинации кручения вычислены масса, линейное натяжение и параметр демпфирования, отнесенные к единице длины.

2 В рамках струнной модели рассчитаны вклады в теплоемкость и внутреннее трение, обусловленные динамикой дисклинации кручения.

3 Сформулирована модель диполя дислокаций, находящегося в поле случайных сил.

4 В рамках дипольной модели дислокаций описаны эксперименты по теплопроводности и внутреннему трению пластически деформированных образцов А1,Та и Nb в сверхпроводящем состоянии.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. D.V. Churochkin, S. Sahling and V.A. Osipov, "Low-temperature internal friction and thermal conductivity in plastically deformed metals due to dislocation dipoles and random stresses", Phys. Rev. В 71 (2005) 014116.

2. V.A. Osipov, D.V. Churochkin, "Contribution of mobile twist disclinations to the specific heat of crystals", Phys. Lett. A 282 (2001) 92-96.

3 D.V. Churochkin, V A. Osipov, "On the disclination-induced internal friction",

Phys. Lett. A 289 (2001) 273-277.

4. D.V. Churochkin and V A. Osipov, "The influence of twist disclinations on the specific heat and internal friction of disordered semiconductors", J. Phys.: Condens. Matter 14 (2002) 12917-12922.

5 D V. Churochkin, V.A. Osipov, "The low-temperature acoustical and thermal properties of materials due to the dynamics of linear topological defects", Mechanics of the 21st Century, Proceedings of the 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics with CD-ROM, ISBN 1-4020-3456-3 (HB), ISBN 1-4020-3559-4 (e-book), Eds. W. Gutkowski, T.A Kowalewski, Springer Verlag 2005.

6. Д.В. Чурочкин, В.А. Осипов, "Вклад во внутреннее трение LiF от дислокационных диполей", Труды III Всерос. конф. по теории упругости с междун. участием, 2003, Ростов-на-Дону, с. 425.

7. D.V. Churochkin, V.A. Osipov, "Internal friction due to dislocation dipole and single twist disclination", Materials of international scientific-practical conference "Structural Relaxation in Solids", 2003, Vinnitsa, Ukraine, p.84.

Получено 6 октября 2005 г.

РНБ Русский фонд

2006-4

13397

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Макет Н. А. Киселевой

Подписано в печать 06.10.2005 Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № 55047.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru www.jinr.ru/publish/

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕХАНИЗМЫ ТОРМОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФЕКТОВ

• 1.1 Фононные механизмы торможения . .б

1.2 Электронные механизмы торможения.

1.3 Механизм диссипации, обусловленный динамикой кинков.

1.4 Механизмы диссипации, связанные с шумом

2. ВКЛАД ЛИНЕЙНЫХ ДЕФЕКТОВ ВО ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ

2.1 Консервативность движения линейных дефектов.

2.2 Вклад дисклинаций кручения в теплоемкость.

2.3 Расчёт характеристик дисклинационного внутреннего трения.

2.4 Вклад во внутреннее трение LiF, обусловленный динамикой дислокационных диполей

3. ТЕПЛОВЫЕ И АКУСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ

В МОДЕЛИ ДИПОЛЕЙ ДИСЛОКАЦИЙ В ПОЛЕ СЛУЧАЙНЫХ СИЛ т 3.1 Эксперимент.

3.2 Модель.

3.3 Внутреннее трение.

3.4 Теплопроводность.

В теории дислокаций широкое распространение, благодаря своей физической наглядности и математической простоте, получила струнная модель Гранато-Люке [1]. В основе модели лежит аналогия между колебанием пинингованного сегмента дислокационной линии и вынужденным колебанием струны, испытывающей затухание. Базовыми характеристиками модели являются линейное натяжение, эффективная масса и постоянная демпфирования, которые для дислокаций были рассчитаны в серии работ [2, 3, 4, 5]. В рамках модели колеблющейся струны были успешно рассмотрены вопросы дислокационного внутреннего трения [1], вклада дислокаций в теплоемкость [6] и рассеяние фононов [7]. Учет взаимодействия между дислокациями, рассматриваемыми как струна, позволил в [8] на основе дипольных представлений о ансамбле дислокаций описать поведение низкотемпературной теплопроводности пластически деформированного кристалла LiF, находящегося в сверхпроводящем состоянии.

Тепловые и акустические свойства упругих сред, обусловленные динамикой линейных дефектов, существенно зависят от механизмов торможения линейного дефекта упругой средой. Ввиду особой важности вопроса, первая глава посвящена подробному рассмотрению механизмов диссипации, связанных с линейными дефектами. Можно выделить условно две группы таких механизмов. Во первых, это диссипация, вызванная взаимодействием линейных дефектов с источниками потенциальных барьеров различной природы, сюда можно отнести как взаимодействие с точечными дефектами, так и специфическое влияние решетки, отражающее ее дискретность, а именно, существование барьеров Пайерлса. Ко второй группе механизмов можно отнести диссипацию, вызванную взаимодействием дислокации с различными элементарными возбуждениями в кристалле: фононами, электронами проводимости, и т.д. Особое внимание уделяется механизмам, определяющим поведение диссипации в области низких температур, ниже температуры сверхпроводящего перехода. Отмечается, что в сверхпроводящей области, при достаточно низких температурах, диссипация, обусловленная динамикой линейного дефекта в упругом поле падающей волны (флаттер-эффект), и диссипация, обусловленная движением линейного дефекта или части его (кинка) в барьере Пайерлса, являются доминирующими. Дополнительно обсуждается недавно исследованный в [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15] вопрос о шумовом воздействии на дислокацию. Как было показано в [9, 10, 13, 14, 15], шум напряжений ведет к возникновению дополнительного канала диссипации, дающего существенный, постоянный в области низких частот, вклад в декремент.

Как хорошо известно, наряду с дислокациями, ответственными за нарушения трансляционной симметрии кристалла, существуют линейные дефекты, дисклинации, вызывающие нарушения ротационной симметрии кристалла. В работах [16, 17, 18] исследовалось движение дискли-наций и дисклинационных петель и были найдены выражения для силы, действующей на линию дисклинации и её ось, а также условие консервативности движения дисклинаций. Однако до настоящего времени не было построено модели, позволяющей количественно оценить влияние динамики дисклинаций на физические характеристики упругих сред. Следует отметить, что в последнее время широко исследуется влияние дисклинаций и дисклинационных петель на физические характеристики топологически неупорядоченных систем (стекол), демонстрирующих аномалии по целому спектру свойств: теплопроводности, теплоемкости, внутреннему трению, теплоте выхода, относительному изменению скорости звука. Кроме того, структурные свойства металлических стекол могут быть смоделированы на основе дисклинационных представлений [19]. Для описания целого ряда физико-механических характеристик оказалось вполне достаточным представлений о статических дисклинациях, обладающих дальнодействующими полями напряжений. Как правило, статическая дисклинация в таком случае моделируется дислокационной стенкой. Однако, данное приближение требует уточнения при рассмотрении динамических характеристик, прежде всего связанных с процессами рассеяния, поскольку квазидвумерный объект (стенка) и линейный объект (дисклинация) участвуют в рассеянии по разному. Таким образом, представляется актуальным построение модели, которая учитывала бы специфику динамики дисклинаций. Поскольку дисклинация по определению является линейным дефектом, было бы естественным попытаться обобщить струнную модель [1], на случай дисклинаций и получить, таким образом, базовую модель для динамики дисклинаций.

Струнная модель для дисклинации кручения была построена в серии работ [20, 21, 22, 23, 24]. Подробному изложению модели посвящена глава 2 диссертации. Во второй главе вводится понятие линейного дефекта в упругой среде и на основе существующей теории детально излагаются известные результаты, касающиеся вопросов консервативности движения линейных дефектов. Отмечается, что дисклинация кручения как и обычные дислокации имеет естественную плоскость скольжения и, следовательно, для нее допустимо моделирование с помощью эффективной струны. Оригинальная часть главы посвящена расчету базовых характеристик струнной модели для динамики дисклинации кручения, и оценке вклад дисклинаций кручения в теплоёмкость и внутреннее трение.

В заключение главы изложен оригинальный результат [25] по расчету вклада во внутреннее трение LiF от ансамбля оптически колеблющихся диполей краевых дислокаций. Исследована зависимость дипольного вклада от размера плеча. Показано, что наличие диполей приводит к повышению частоты пика внутреннего трения.

В серии недавних экспериментов [26, 27, 28, 29, 30], исследовались низкотемпературное внутреннее трение, теплопроводность, теплоемкость и теплота выхода пластически деформированных кристаллических образцов алюминия, тантала и ниобия высокой чистоты, находящихся в сверхпроводящем состоянии. Полученные данные сравнивались с результатами экспериментальных измерений того же набора характеристик в аморфном кремнии SiC>2. Было установлено, что пластическая деформация оказывает ярко выраженное влияние на поведение теплопроводности и внутреннего трения. А именно, внутреннее трение демонстрирует атер-мальное и частотно-независимое поведение, а его величина возрастает на два порядка по сравнению с отожженными образцами, и становится сравнимым по порядку величины с внутренним трением в аморфном кремнии. Кроме того, теплопроводность также принимает значения, попадающие в диапазон, характерный для аморфного кремния. В то же время, никаких аномалий ни по теплоте выхода, ни по теплоемкости, характерных для аморфного состояния, в случае деформированных металлов не наблюдалось. Такое поведение указывает на то, что рассеяние фононов на дислокациях определяет низкотемпературные характеристики пластически деформированных металлов, находящихся в сверхпроводящем состоянии.

Глава 3 диссертации посвящена изложению оригинальной модели [31], позволяющей удовлетворительно описать, наблюдавшиеся в [26, 27, 28, 29, 30] эффекты. Необходимо было найти механизм релаксации, позволяющий объяснить наблюдаемые аномалии, поскольку, как отмечено в главе 3 диссертации, известных доминирующих в области низких температур релаксационных процессов оказалось недостаточно для описания наблюдаемых эффектов. В качестве механизма релаксации, ответственного за наблюдавшиеся аномалии, в работе [31] был предложен шумовой канал релаксации. На наш взгляд расширение струнной модели путем учета шумов напряжений и взаимодействий между дислокациями является совершенно естественным. Дислокационный ансамбль, как правило, содержит статистически большое количество взаимодействующих дефектов. Следовательно, описание вкладов в тепловые и акустические свойства упругих сред путем простого суммирования вкладов от единичной струны является не совсем верным. Отсутствие полной информации о динамике ансамбля дефектов учитывается стандартным для статистической физики образом, путем введения шума. В данном I 5 случае шум вводится в динамику элементарного объекта ансамбля, а именно единичной дислокации, описываемой как струна. Тогда суммарные физические эффекты от ансамбля дефектов есть уже сумма эффектов от струн с шумом и взаимодействием. Очевидно, что при внешнем воздействии на ансамбль, будет меняться как динамика самой струны так и характеристики ее шумового окружения. Следовательно, параметры шума в общем случае должны сложно зависеть от параметров внешних воздействий. Адекватность модели шума будет определяться соответствием полученных теоретических результатов эксперименту. В главе 3 диссертации, показано, что учет взаимодействия между дислокациями и шумов напряжений произвольной природы, в рамках подхода Чернова-Камаевой [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15], позволяет описать эксперименты [26, 27, 28, 29, 30] по тепловым и акустическим свойствам пластически деформированных металлов в сверхпроводящем состоянии. Для объяснения конкретного класса экспериментов, шум моделировался как телеграфный процесс, взаимодействие между дислокациями носило дипольный характер, а связь между внешними параметрами сигнала и характеристиками шума предполагалась линейной. Этого оказалось достаточно для адекватного описания экспериментов по внутреннему трению и теплопроводности.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и основывается на работах [20, 21, 22, 23, 24, 25, 31].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построена струнная модель для описания динамики дисклинаций кручения. Для дисклинации кручения вычислены масса, линейное натяжение и параметр демпфирования, отнесенные к единице длины.

В рамках струнной модели рассчитаны вклады в теплоемкость и внутреннее трение, обусловленные динамикой дисклинаций кручения.

Сформулирована модель диполя дислокаций, находящегося в поле случайных сил.

В рамках дипольной модели дислокаций описаны эксперименты по теплопроводности и внутреннему трению пластически деформированных образцов А1,Та и Nb в сверхпроводящем состоянии. Причем диполь-ное взаимодействие обеспечивает атермальность поведения декремента, подавляя влияние зависящих от температуры вкладов, обусловленных наличием диссипации. Кроме того, посредством введения диполей, которые повышают резонансную частоту, удалось самосогласованно описать наряду с внутренним трением и теплопроводность.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю В.А. Осипову за постановку задачи и помощь, оказанную в выполнении работы. Глубокая благодарность моему коллеге С. Салингу (Технический университет, Дрезден), совместная работа с которым позволила получить часть результатов, вошедших в диссертацию. Автор признателен В. Вассербашу (МПИ, Штутгарт), М. Клеману (Франция), С. Е. Красавину (ОИЯИ), С. А. Сер-геенкову (ОИЯИ), Е. А. Кочетову (ОИЯИ), А. Д. Сергееву (ИПМаш, Санкт-Петербург), В. Д. Нацику (ФТИНТ НАНУ, Харьков) за полезные и продуктивные обсуждения отдельных результатов данной диссертации. Я также благодарен РФФИ и программе Гейзенберг-Ландау за финансовую поддержку исследований.

1. A. Granato and К. Liicke, "Theory of Mechanical Damping Due to Dislocations,"J: Appl. Phys. 27, 583 (1956).

2. J. D. Eshelby, "The interaction of kinks and elastic waves, "Proc.R. Soc. London A 266, 222(1962).3j T. Laub and J. D. Eshelby, "The Velocity of a Wave along a Dislocation,"Phil. Mag. 11 ,1285 (1966).

3. T. Ninomiya and S. Ishioka, "Dislocation Vibration: Effective Mass and Line Tension,"J. Phys. Soc. Japan 23, 361 (1967).

4. T. Ninomiya, "Dislocation Vibration and Phonon Scattering,"J. Phys. Soc. Japan 25, 830 (1968).

5. A. Granato, "Thermal Properties of Mobile Defects,"Phys. Rev. Ill, 740 (1958).

6. F. R. N. Nabarro, "The interaction of screw dislocations and sound waves,"Proc. R. Soc. London A 209, 278 (1951).

7. G. A. Kneezel and A. V. Granato, "Effect of independent and coupled vibrations of dislocations on low-temperature thermal conductivity in alkali halides,"Phys. Rev. В 25, 2851 (1982).

8. О. В. Камаева и В. М. Чернов, "Амплитудно-независимое дислокационное внутреннее трение при случайных внешних воздействиях, "ФТТ 44, 1601 (2002).

9. V. М. Chernov and О. V. Kamaeva, "Dislocation internal friction at random external loadings,"Mat. Sci. Eng. A 370, 246 (2004).

10. О. В. Камаева и В. М. Чернов, "Динамическое поведение дислокации при случайном внешенем воздействии: Часть 1. Дислокация со свободными концами,"Препринт ФЭИ-2770. Обнинск, 1999, 32 с.

11. О. В: Камаева и В. М. Чернов, "Пространственно-неоднородное движение дислокации при случайном внешнем воздействии," Препринт ФЭИ-2785. Обнинск, 1999, 18 с.

12. О. В. Камаева и В. М. Чернов, "Дислокационное внутреннее трение, обусловленное совместным действием периодической и случайной внешних сил,"Препринт ФЭИ-2811. Обнинск, 2000, 16 с.

13. О. В. Камаева и В. М. Чернов, "Дислокационное внутреннее трение при случайном внешнем воздействии,"Препринт ФЭИ-2856. Обнинск, 2000, 38 с.

14. О. В. Камаева и В. М. Чернов, "Дислокационное внутреннее трение в материалах, находящихся под одновременным действием постоянной и переменной внешних нагрузок,"Препринт ФЭИ-2890. Обнинск, 2001, 36 с.

15. Е. S. P. Das, М. J. Marcinkowski, R. W. Armstrong and R. de Wit, "The movement of Volterra disclinations and the associated mechanical forces,"Phil. Mag. 27, 369 (1973).

16. E. Kossecka and R. de Wit, "Disclination dynamics"Arch.Mech. 29, 749 (1977).

17. E. Kossecka, "Interaction of defects with the elastic field,"Arch. Mech. 31, 851 (1979).

18. M. Ю. Гуткин, И. А. Овидько, "Дефекты и механизмы пластичности в наноструктурных и некристаллических материалах"С.-П., "Янус 2001, 178 с.

19. V.A. Osipov, D.V. Churochkin, "Contribution of mobile twist disclinations to the specific heat of crystals Phys. Lett. A 282 92 (2001).

20. D.V. Churochkin, V.A. Osipov, "On the disclination-induced internal friction Phys. Lett. A 289 273 (2001).

21. D.V. Churochkin and V.A. Osipov, "The influence of twist disclinations on the specific heat and internal friction of disordered semiconductors J. Phys.: Condens. Matter 14 12917 (2002).

22. D.V. Churochkin, V.A. Osipov, "Internal friction due to dislocation dipole and single twist disclination Materials of international scientific-practical conference "Structural Relaxation in Solids 2003, Vinnitsa, Ukraine, p.84.

23. Д.В. Чурочкин, В.А. Осипов, "Вклад во внутреннее трение LiF от дислокационных диполей Труды III Всерос. конф. по теории упругости с междун. участием, 2003, Ростов-на-Дону, с. 425.

24. Xiao Liu, EunJoo Thompson, В. E. White, and R. O. Pohl, "Low-temperature internal friction in metal films and in plastically deformed bulk aluminum,"Phys. Rev. В 59, 11767 (1999).

25. W. Wasserbach, S. Abens, and S. Sahling, "Low-Temperature Thermal Conductivity and Specific Heat of Plastically Defromed High-Purity Tantalum Single Crystals,"J. Low Temp. Phys. 123, 251 (2001).

26. W. Wasserbach, S. Abens, S. Sahling, R. O. Pohl, and E. J. Thompson, "Low-temperature Acoustic and Thermal Properties of Plastically Defromed, High-Purity Polycrystalline Aluminum,"Phys. Status. Solidi. b 228, 799 (2001).

27. W. Wasserbach, S. Sahling, R. О. Pohl, and E. J. Thompson, "Low-Temperature Internal Friction and Thermal Conductivity of Plastically Defromed, High-Purity Monocrystalline Niobium, "J. Low Temp. Phys. 127, 121 (2002).

28. R. Konig, F. Mrowka, I. Usherov-Marshak, P. Esquinazi, and W. Wasserbach, "Influence of sample preparation on the glass-like acoustic properties of pure crystalline tantalum, "Physica В 316-317, 539 (2002).

29. D.V. Churochkin, S. Sahling and V.A. Osipov, "Low-temperature internal friction and thermal conductivity in plastically deformed metals due to dislocation dipoles and random stresses Phys. Rev. В 71 014116 (2005).

30. В. И. Альшиц и В. JI. Инденбом, "Динамическое торможение дислокаций,"УФН 115, 3 (1975).

31. V. I. Alshits and YU. М. Sandler, "Flutter Mechanism of Dislocation Drag,"Phys. Stat. Sol. b 64, K45 (1974).

32. В. И. Альшиц, В. JI. Инденбом, А. А. Штольберг, "Динамическая сила Пайерлса,"ЖЭТФ 60, 2308 (1971).

33. V. I. Alshits, V. L. Indenbom, and A. A. Shtolberg, "Stationary Kink Motion in the Secondary Peierls Relief,"Phys. Stat. Sol. b 50, 59 (1972).

34. M. И. Каганов, В. Я. Кравченко, В. Д. Нацик, "Электронное торможение дислокаций в металлах,"УФН 111, 655 (1973).

35. А. А. Абрикосов, "Основы теории металлов"М., "Наука 1987, 520 с.

36. A. Hikata and С. Elbaum, "Dislocation drag in sodium chloride at low temperature-A radiation-damping model,"Phys. Rev. В 9, 4529 (1974).

37. А. Зегер и П. Шиллер, "Перегибы на дислокациях и их влияние на внутреннее трение в кристаллах. В кн.: "Физическая акустика под ред. У. Мэзона, Т.З, Часть А, Гл. 8, М., "Мир 1967, 580 с.

38. В. А. Лихачев и Р. Ю. Хайров, "Введение в теорию дисклинаций"Л., "Изд-во Ленингр. ун-та 1975, 183 с.

39. В. И: Владимиров и А. Е. Романов, "Дисклинации в кристалл ах "Л., "Наука 1986, 224 с.

40. Л. М. Зубов, "О дислокациях Вольтерра в нелинейно упругих телах, "ДАН 287, 579 (1986).

41. С. В1 Дерезин, Л. М. Зубов, "Уравнения нелинейно упругой среды с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинация-ми,"ДАН 366, 762 (1999).

42. Л. М. Зубов, Е. С. Никитин, "Точное решение задачи о краевой дислокации в нелинейно-упругой среде, "ДАН 366, 762 (1999).

43. А. М. Косевич, "Динамическая теория дислокаций,"УФН 84, 579 (1964).

44. Ж. Фридель, "Дислокации"М., "Мир 1967, 644 с.

45. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, "Теория упругости"М., "Наука 1987, 248 с.

46. А. С. Anderson and М. Е. Malinowski, "Interaction between Thermal Phonons and Dislocations in LiF,"Phys. Rev. В 5, 3199 (1972).

47. E. P. Roth and A. C. Anderson, "Interaction between thermal phonons and dislocations in LiF,"Phys. Rev. В 20, 768 (1979).

48. W. G. Johnston and J. J. Gilman, "Dislocation Multiplication in Lithium Fluoride Crystals," J. Appl. Phys. 31, 632 (1960).

49. R. C. Zeller and R. 0. Pohl, "Thermal Conductivity and Specific Heat of Noncrystalline Solids,"Phys. Rev. В 4, 2029 (1971).

50. P. W. Anderson, В. I. Halperin, С. M. Varna, "Anomalous Low-temperature Thermal Properties of Glasses and Spin Glasses,"Phil.Mag. 2, 1 (1972).

51. A. Hikata and C. Elbaum, "Tunneling of Dislocation Kinks and the Effect of Dissipation,"Phys. Rev. Lett. 54, 2418 (1985).

52. J. D. Eshelby, "Dislocation as a cause of mechanical damping in metals,"Proc. R. Soc. London A 197, 396 (1949).

53. R. W. Davidge and P. L. Pratt, "Plastic Deformation and Work-Hardening in NaCl,"Phys. Status. Solidi. 6, 759 (1964).

54. J. Washburn and T. Cass, "Dislocation dipoles in MgO,"J. Phys. (Paris) 27 Suppl. C3, 168 (1966).

55. J. Hesse and L. W. Hobbs, "Dislocation Density in Highly Deformed NaCl Single Crystals,"Phys. Status. Solidi A 14, 599 (1972).

56. M. E. Kassner and M. A. Wall, "Microstructure and Mechanisms of Cyclic Deformation in Aluminum Single Crystals at 77 K: Part II. Edge Dislocation Dipole Heighs,"Metall. Mat. Trans. A 30, 777 (1999).

57. A. Aslanides and V. Pontikis, "Numerical study of the athermal annihilation of edge-dislocation dipoles,"Phil. Mag. A 80, 2337 (2000).

58. I. Groma and B. Bako, "Probability distribution of internal stresses in parallel straight dislocation systems,"Phys. Rev. В 58, 2969 (1998).

59. G. Gremaud and S. Kustov, "Theory of dislocation-solute atom interactions in solid solutions and related nonlinear anelasticity,"Phys. Rev. В 60, 9353 (1999).

60. G. Gremaud, "Overview on dislocation-point defect interaction; the brownian picture of dislocation motion,"Mat. Sci. Eng. A 370, 191 (2004).

61. P. Carruthers, "Theory of Thermal Conductivity of Solids at Low Temperatures,"Rev. Mod. Phys. 33, 92 (1961).