Динамика трубопровода после разрыва тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

О»

я № №

На правах рукописи

РОГОВ Анатолий Алексеевич

ДИНАМИКА ТРУБОПРОВОДА ПОСЛЕ РАЗРЫВА (О». 02.04. -Механика деформируемого твердого тела )

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-1996г.

Работа выполнена на кафедре "Математического моделирования" Московского государственного института электроники и математики (Технического Университета)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Майборода В.П.

Официальные оппонентыi д.ф.-м.н., проф. Кравчук A.C., д.т.н., проф. Мяченков В.И.

Ведущая . организация» Институт механики сплошных сред Российской АН (г. Пермь)

00

Защита состоится " 4 " декабря 1996г. в 16 — час. на заседании Диссертационного Совета Д 063.68.01 Московского института електроншш и математики по адресу » 109028, Москва, Б. Вузовский пер. 3/12.

О диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

Автореферат разослан "у^" 1996 Г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета к.ф.-м.н. В.М.Яганов

-з-

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы! Современные нормативные требования, предъявляемые к атомный энергоустановкам на стадия проектирования в в процессе аксплуатации вюяяают в себя расчет движения магистрального трубопровода, содержащего жидкость под высотам давлением, после аварийного разриеа в поперечном сечении . Практшса показывает, что в результата подобной аварии могут происходить существенные разрушения окружаэдих конструкций в вторичные разрыва трубопровода. В результате расчетов дянамшсн трубопровода прз разрывах в наиболее вероятных местах становятся возмогшим оценить силу ударного воздействия движущегося участка трубя на находящиеся радом преграда.

Кекдународаые нормативные требования к расчетам участков трубопроводов и оболочечннх конструкция АЭС предполагают исследованиа изгиба труб и тороидальных оболочек с учетом эффекта Кармана, которй заклпчаатся в существенном свидании изгибяой гесткости криволинейных труб.

В данной работе не только осуществлено притешете классической аналитической фор*улн Кармана пра расчете динамика трубопроводов, но а осутэеотвлепо численное реаение Евдача Карзана в точкой постановке для труб произвольного сечения как кзшжх тороидальных облочек с дальне&шм дпншачесгаэ» ЕсаяодовЕнжам дшосэкяя груба как крзэоязтйвого стераня. Поотоыу тема доссэртацет, посэягдапная рвгзенлю задача авэрнЗжго разрцйэ трубопровода, представляется актуальной.

Цели работы!

1. Разработать методику в пакет прикладных программ, поэволягщях производить расчет дкнамвш трубопровода с, учетом аффекта Кармана.

2. Провести численное исследование для всшкретшх сечевШ тора а

участков магистрального трубопровода.

3. Проанализировать подучешшс- результата в сравнить их с классическими результатами • и проводаваимися $изЕчесгами ахсперемент шли.

Ыатод исследования состоит в численном юоделкроваши на ЭШ динамика криволинейного стержня.

Научная новизна: Классическая задача Кармана решена

численно в точной постановке» обобщена на случей произвольного сеченая тора н применена для нзучения дннагассн трубопроводов.

Достоверность результатов работы обоснована пришившим

классических, уравнений теории упругости, шользовашем апробированных математических методов, а такте сравнением результатов с решанкжж, подученными ранее другими авторами я результатами физических эксперенентов.

Апробация работы: Основные результаты диссертации

докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры Математического моделирования Московского Государственного института электроники и математики ( Москва 1992-1996 гг.), на семинаре кафедры Газовой в волновой динамики ЦГУ.

Публикации: По материалам- выполненных исследований опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения к каждой главе, двух глав, аакличания и списка литературы из 128 наименований, изложенных на 97 страницах машинописного текста, в том числе 24 рисунка. .

СОДКРЯМКЗ РАБОТЫ

Во введениях к главам дана общая характерястакв задач чистого изгиба тороидальной оболочки я дияашшя криволинейного стертая под действием распределенной натруска. Дан обзор публикаций , связанных с темой исследования и различными обобщэншаш рассматриваемых задач. Указано место приведенных в работа исследований а теориях тонких оболочек и криволинейных стержней. Приведено краткое содержание глав, показана актуальность теш.

В парвоЗ главе исследуется эффэкт Кармана. Рассматривается замкнутая недефорнировашая тороидальная оболочка толщиной Ь «имещая кусочно-гладкое, необязательно замкнутое поперечное сечение.

Вводятся цилиндрическая система координат П(Х,Т,0) ,гдеэ Т совпадает с осью тора» X показывает расстояние от точки на поверхности тора в плоскости до оси 1,0- угловая координата точка в плоскости , перпендикулярной оси X , смотря рас.1.

На поверхности тора вводится лагранжева система координат Ь (<р ,а ) , где ф совпадает с 9 . в определяет расстояние вдоль линпии сечения тора плоскостью И . значения в'увелкчивается при обхода против часовой стрелки , и изменяется от о* до а*.

1 а

Черзз ф обозначается угол маяду осы» Т а шеане* воркальв к линии в*.отсчитанный против часовой стрелка. В угловых точках ф доопределяется по непрерывности справа ели слева.

Для создавая напряжепно-дофзриированного состояния аз тора внрезэется сектор раствора 2Лф, края разреза соединялся я оболочка нагружается внутренним давлением Р. Возникнет новая тороидальная оболочка с сомоурзвноэевонннм ососюыетрачным напряженным состоянием.

с® / »»1

V ) \ 1 ' V J

Put. i

Используются следующие гипотезы i t. Нормаль к срединной поверхности остается нормаль» и после деформации.

2. Отсутствуют напряжения и деформации вдоль толщины оболочки.

3. Связь между напряжениями и деформациями линейна.

На поверхности деформированной оболочки вводится новая лагранхева система кооринат 1>(<р,в) точно так *а, как вводилась I." (<р* .в*) для иедефорадрованной поверхности , в изменяется от в

ДО в . *

Вследствие осевой симметрии отсутствуют перерезывающие усилия Q^, сдаигапцие силы X и крутящие моменты И . Не равны нулю деформации еад ,е , изменения кривизн aega .ае^ , цепные усилия Т ,Т ж изгибаивдэ моменты Ы , М

se фф 8В <р

Ови связаны следующими соотношениями

* -В(е we ) ев ее щ

I «В(е *ve ) <рр фф вв

fi-

sh

(1-V1)

Н -D(ae +кае ) ев вв <рр

li »D(ae +vae ) (рф фф вв

Eh'

В"

(1-v*)

Где v - коаф{ицивнт Пуассона, E-модулъ tera.

de-de°

Поскольку -— ,<tt—сов(ф)с1а,<1уя-в1л<<{))с18

de

-J'

X=-C00(<}>Ml4Ssa> . т—81Л(ф)<Пбвз)

Jjf+r1 - X

е - 1 . где (...) означает -

во *

да

%

е - Ф°Х-1 , © = - ,

где I соответствует координате % до деформации» • *

А ♦ ф а1п(ф) з1п(ф )

¡1 , Ж к - - +

*аа 1+6 ва <пр

sa г

где •в=ф-ф*, К -начальная кривизна липни в*. Используются принцип возмолшх перемещения и штод шсяэтолей

Лаграиаа. *

8

И'

И ва +М ааг ■»■? бе Ое +Рв1п(ф)йХ-

ез оа (pip <рф se он <рф qxp т

м

-рсов(ф)зтг| ^♦s(BeJiaae,-o

¡йтегрированиам по частям и приравнивания нуля коэффициентов при вариациях вХ,М,С4, получается смэианная краевая задача, состоящая из вести дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных ХД.Т ,1 и трех алгебраически

* у *

уравнений, определягадо. ■ »

Х=-сов(ф)(1+е )

ВО

I—вт(4>нп£ >

В8

V

Ы а1п(ф)

<рф

+1 4> ♦Ра1п(ф)

W

(U<VX

-ъ-

Рсов((|))(Пев0)Х

- -«—- - -|<1+е88)

1-х Х- )

к »[-И сов(ф)+Т в1п(ф)-1 ооа(ф)^ (1+е >

* I <рф * У J ВВ „ „--- + )—-

[[м/Вм>в1п(ф)] ув1п(ф") о ] * сое(ф)+Г в1п(ф)-4£х __1 -_ +

ж у } ВО|

IX X )

' Г • 1

+В е +гфХ-у;(1+б )Х=0 С вб ) ее

Неизвестные 1 Д связаны с введением множителей Лагранжа,ЬЬ»Х15 .

» * ее

& случае симметричного относительно оси X сечения

рассматривается верхняя часть сечения и краевые условия имеют вид

при 8*=аГ : ¥ «0,1 «0,6»0 .

т ■».'.■

Система ливеаризуется с помсхдью метода Ньютона-Канторовича , как показано в параграфе 2 и далее численно решается методом ортогональной прогонки Годунова .

После численного решения краевой задачи значение изгиОавдего

монанта для участка оболочки находится по формуле

| КЗ?ва(иБаа)аа°

гда г*-радаус кривизны средней линии оболочки после деформации, определяемый как координата г точки в которой

значение г »0.

60

Таким образом находится численно заданная функциональная зависимость изгибающего момента И от начальной к* и конечной к кривизн средней линии оболочки 14=Х(к,к°).

Это является уточнением и обобщением классического эффекта Кармана на случай произвольной форда сечения

Результата численных экспериментов для кругового и квадратного сечений приведены в зд 3,4 . При сравнении с аналитической зависимостью Кармана в точной зависимости Ы=К(к,1с'>) смеется точка максимума , которая интерпретируется как точка потери устойчивости оболочки при чистом изгибе.

Результаты экспврементов на ЭВМ для случая плоско-овальной формы сечения ( трубка Бурдона ) при изменяющемся давлении показаны в $5.

Полученные результаты согласуются с данными проводиваихся физических аксперементов с точность 10 % .

Во второй главе полученная зависимость Ц»К(к,к°) используется для исследования в рамках теории криволинейных стершей движения трубопровода с криволинейной осью в неподвижной декартовой системе координат (Х> ,Х>). Перемещение происходит в плоскости ХгХ» и соизмеримо с длиной стержня. Предполагаются выполнение гипотезы плоских сечений и нерастяжимость средней линия трубы.

Вновь применяется принцип возможных перемещений Лагранха.

-ло

г[ а , , Г^Ь с?1а 1]

| МОк+{р к вШаОХ. -соваЛХ» -р|-ОХ» +-8Х» | ]<П-С

V V I

ах'

л*. Л

Здесь Ц-изгибапдий момент» к-кривизна средней .наш, 1-время, р-погонная плотность трубопровода, р -плотность жидкости, Б -площадь сечения трубопровода, и- скорость течения

V

жидкости, 1-расстояние вдоль среднее линии, а-угол между касательной к средней линии и осью X . Уравнения связи имеют следуюций вид

ах*

~ » соа<а), — = е1п(а) >

Обозначим через 0»Х-Х -перемещение.

С помощью метода множителей Лагранха получается краевая задача шестого порядка по координате в второго но времени с краевыми условиями по координате и начальными по времени.

81п(а)-*лСоа(а)

5*0«

ах'

О,» соа(а)-со8(а°) Хл -Оксова+р-

а*4

»

■Ц.«81п(а)~е1п(а*> г-о I М , _ .О

дХ

9

8-0 ! 1М> . а=0

в-Ь : Х»0 , М=0

где X» множители Лагранжз. Производные по времеш заменяются разностными аналогами и затем задача решается методами Ньютона-Канторовича и ортогональной прогонки , как показвно в §2.

Временная ось разбивается на интервалы с постоянным нагом

и на 1-м вага производные * (»=1,2) аппроксимируются

аг*

разностным соотношением второго порядка, а*«"' аи"' -ги"' га^^/ах

* » ш И

--- = - _--+ 0(м)

ах* лга /и

а » ■ а И

- = - - - + о (¿и*)

ах* п* дг

Л1"

■ ее ям

- = - + О(Д^)

ах' Atа

)»«• 0 у 2

В 43 в качестве примера приведен численный расчет динамики трубопровода Г- образной формы . Показано, что учет уточненной зависимости Кармана дает поправку в перемещении до 40% по отношению к результатам для аналитической зависимости . Показано также , что в процессе движения трубопровода возникает потеря устойчивости при изгибе и место потери устойчивости может находиться в шшкрошганвом участке трубопровода.

В заключении сформулировашш основные результаты

диссертации:

1. Осуществлена строгая постановка задачи осесиммвтрячного деформирования тороидальной оболочки с учетом внутреннего давления . Поперечное сечение оболочки при атом может иметь форму произвольной гладкой кривой , а также содержать угловые точки , не обязательно обладать симметрией, быть не только замкнутым и кмэть различные краевые условия на своих разомкнутых краях. Радиус сечения тора необязательно должен быть мал по сравнении с радиусом кривизны средней линии , допускается существенное изменение формы поперечного сечения тора вплоть до смыкания его стенок.

2. При численном моделировании задачи Кармана о чистом изгибе тороидальной оболочки выявлен новый механический эффект, не имещий места при решении линейной задачи , а именно наличие точки максимума в зависимости изгибавдего момента от кривизны средней линии тора , что позволяет получить границы реального процесса потери устойчивости рассматриваемых конструкций.

Численная зависимость, описывающая вффект Кармана . а также полученные точки потери устойчивости оболочечных и трубчатых конструкций при изгибе использованы автором при решении ряда прикладных задач в частности при. расчете движения трубопровода после аварийного разрыва в поперечном сечении. Исследовались большие перемещения трубы, сопоставимые с ее длиной.

3. Исследования выявили существенное влияние аффекта Кармана на расчетные характеристики динамики рассматриваемых в работе конструкций. Для учета данного эффекта при расчете динамики труб показана принципиальная возможность использования численно заданной , существенно нелинейной зависимости изгибающего момента от изменения кривизны, расчитанной для малого сектора трубы как тороидальной оболочки.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах!

1. Пеяков И.А., Рогов A.A., Трояновский U.E. 'Влияние оффакга Кармана яа движение трубопровода при разрыве в поперечном сэченш деп. в ВИНИТИ 13.05.1991, Н 1932-В91.

2. Пашков М.А., Рогов A.A., Трояновский И.Е.» Влияние эффекта Кориолиса я переносных сил на движение трубопровода при разрыве в поперечном сечешш, МИЭМ» деп. в ВИНИТИ 29.11.1993г.» И 2941 В-93

3. Пашков И.Л.» Рогов A.A., Трояновский И.Е., Влияние нелинейного эффекта Кармана на динамику трубопровода после аварийного разрыва, Доклады академии наук, 1S95, том 342, Н 3, С.342-344.

4. Кульчихина Л.Л., Майборода В.П., Рогов A.A., Титкова Е.А., Трояновский И.Е., Сильный изгиб тороидальной оболочки некругового сечения о учетом пластичности, МГИЭМ, деп. в ВИНИТИ 30.01.199бг. Н 330 - ВЗб.

5. Кульчихина Л.Л., Майборода В.П., Рогов A.A., Титкова Е.А., Трояновский И.Е., Плоскоэ движение пластического криволинейного стержня под действием распределенной нагруекк, МГИЭМ, доп. в ВИНИТИ 30.01.1996г. N 329 - B9S .

6. Ейхорн X.D., Майборода В.П.. Рогов A.A., Эффект Кармана в случае изгиба неоднородной ортотрошой торидальной оболочки,

МГИЭМ, ДЭП. В ВИНИТИ 30.04.1995Г, И 1349-B9S .

7. Ейхорн X.D., Майборода В.П., Рогов A.A., Влияние пластического аффэкта Кармана на динамику трубопровода после разрыва, МГИЭМ, деп. в ВИНИТИ N 1Э50-В96, 30.04.1996г.

Подписано к печати 21.10.96г. Зак.79 Объём I п.л. Тир.100

МГИ2М, Москва, Ы. Пионерская ул.,12

Глава 1. Чистый изгиб тороидальной оболочки. (Обобщение задачи Кармана).

ВВЕДЕНИЕ

§1 .Постановка задачи об осесимметричном деформировании тороидальной оболочки произвольного сечения с учетом внутреннего давления.

§2.Разработка метода решения задачи чистого изгиба тороидальной оболочки.

§3.Решение задачи о чистом изгибе цилиндрической оболочки кругового сечения.

§4.Решение задачи о чистом изгибе цилиндрической оболочки некругового сечения , содержащей угловые точки.

§5. Изменение кривизны трубки Бурдона под действием изгибающего момента и внутреннего давления.

Глава 2.Движение трубопровода после разрыва в поперечном сечении.

ВВЕДЕНИЕ

§1 .Постановка задачи динамики трубопровода цри истечении жидкости (газа) из свободного торца с учетом обобщенного эффекта Кармана.

§2.Разработка алгоритма решения задачи динамики трубопровода.

§3.Решение задачи о движении трубопровода после разрыва в поперечном сечении до момента потери устойчивости при изгибе.

ВЫВОДЫ.

Из опыта еще в начале века было известно, что кривая труба имеет значительно меньшую жесткость при изгибе, чем следует из формул сопротивления материалов. Первое исследование этого вопроса принадлежит К.М.Дубяге 1223. При изгибе криволинейной трубы (рис. 1) возникают нормальные к линии продольного волокна напряжения, направленные к средней линии. Это принуждает растянутые волокна трубы смещаться к центру кривизны, сжатые - от центра. Геометрически за счет такого перемещения уменьшается удлинение продольных волокон и в них существенно (по сравнению с брусом) снижаются касательные напряжения. Что, в свою очередь, ведет к значительному уменьшению изгибающего момента. В данном случае существенно, что даже при незначительной деформации поперечного сечения за счет перераспределения напряжений в волокнах изгибная жескость может уменьшиться в несколько раз.

Данная задача, как указал Дубяга [223, была поставлена Л.Прандтлем в 1906 г. Ее решение получено при помощи рядов Фурье / 1 и метода Ритца в 1911 г. Т.Карманом [883.

Изучая чистый изгиб, Т. Карман предположил, что все поперечные сечения деформируются одинаково (условия на краях выполнены по Сен-Венану) и что радиус сечения мал сравнительно с радиусом кривизны оси трубы. Формулы, полученные в работе 188), применяются и в настоящее время. Благодаря этому влияние деформации поперечного сечения на жесткость тонкостенного криволинейного стертая не только круговой формы и не только при изгибе (6) называют в последние годы эффектом Кармана.

Подробное исследование задачи Кармана для всевозможных размеров труб кругового сечения, представляющих практический интерес, провел Л. Бе скин (69) (1945). Решение было получено энергетическим методом с помощью тригонометрических полиномов, так же как в работе 1883. Удерживая достаточное число членов полиномаг Л.Бескин подтвердил точность результаатов Т.Кармана [88] (вопреки некоторым предыдущим работам).

Иной подход был предложен в работе Р.Кларка и Э.Рейснера С333. Здесь путем решения обобщенного уравнения Мейсснера в тригонометрических рядах были вновь получены результата работ [88,693 по чистому изгибу труб. Асимптотическое решение названных уравнений дало простые формулы напряжений и перемещений. Эти формулы точны именно тогда, когда решение в рядах громоздко.

Задача Кардана изучалась и для некруговых труб.

Прямоугольное коробчатое сечение рассмотрено в 1923 г. С.П.Тимошенко [533. Изгиб труб эллиптической и плоскоовальной формы - в книге В.И.Федосьева (553 и в статьях Кларка и др. [763, Д.Л.Костовецкого [323. Линзообразное сечение рассмотрено в статье Олесяка [983.

При помощи ЭВМ задача Кармана решена путем численного интегрирования уравнений Мейсснера и для труб большой кривизны [21,633.

Пространственный изгиб трубы расчитал для широкого диапазона геометрических параметров Л. Бе скин [693. Применялся энергетический метод и тригонометрические ряда. Несколько раньше для ограниченных случаев это решение получил Виньес [1163.

В работе К.Ф.Черных 1623 задача Сен-Венана о пространственном изгибе трубы решена методами теории оболочек при помощи комплексного уравнения типа Мейсснера. Решением уравнений [61,118] эта задача изучалась в [1061.

Упомянутые работы касались линейного приближения.

При больших перемещениях может возникать существенная нелинейность зависимости изгибающего момента от изменения кривизны. Это изменение кривизны влияет на распределение напряжений. Кроме того „ волокна смещаются к нейтральной линии сечения. В результате при изгибе, увеличивающем кривизну трубы, ее жесткость уменьшается. Если в зависимости изгибающего момента от изменения кривизны оси достигается экстремум, то при максимальном моменте кривизна скачком изменяется. Возникает потеря устойчивости, описанная впервые Л.Бразье [70J в 1927 г. В работе [70 J изгиб цилиндрической трубы кругового сечения изучается энергетическим способом всего с одним параметром (форма деформированного сечения считается эллиптической).

В 1958 г. й.Вуд (119) рассмотрел задачу Бразье с учетом равномерного нормального давления. Вскоре Э.Рейсснер [100,993, решив специально составленные им нелинейные дифференциальные уравнения изгиба цилиндрической оболочки кругового сечения , уточнил результаты Л.Бразье и И.Вуда. В работе [993 получено также приближенное решение задачи Бразье для трубы с малой начальной кривизной.

В статьях Э.Л.Аксельрада 14,53 задача об изгибе трубы цри больших упругих перемещениях решалась для труб с неограниченной начальной кривизной и произвольной формой сечения цри помощи уравнений работы [23.

Точное решение Задачи Бразье получено для цилиндрической круговой трубы в работе 11003 путем численного интегрирования уравнения Э.Рейсснера из [993. Результаты расчета [993 подтвердили достоверность величины критического момента р установленной Л.Бразье 1701 в 1927 г.

В области расчета оболочек вращения значительные успехи были достигнуты уже в первый период создания теории тонких оболочек. Это связано с работой Г.Рейсснера [1051.

Решение осесимметричной задачи, основанное на использовании интегралов уравнений равновесия и совместности v было впервые получено Г.Рейсснером в 1912 г. (106) для сферической оболочки. Г.Рейсснер вывел систем двух уравнений второго порядка. Там же был предложен асимптотический методинтегрирования разрешающего уравнения.

Э.Мейсснер (931 вскоре обобщил упомянутые разрешающие уравнения на оболочки вращения произвольной формы и с переменной толщиной стенки.

Решение уравнений Мейсснера и их вариантов (отличающихся выбором переменных) , предложенных А.И.Лурье 140), Э.Рейсснером 1101,1023 и др., дало возможность детально изучить многие осесимметричные задачи.

При осесимметричной деформации оболочка сохраняет форму тела вращения. Изменяется лишь форма меридионального сечения.

Это позволило обобщить уравнения Мейсснера на большие перемещения упругой оболочки. Для пологой оболочки такие уравнения были получены В.И.Феодосьевым С561 1945 г. Данные уравнения и их модификации для слоистой оболочки С17,7J были использованы при решении ряда задач о больших перемещениях и устойчивости.

Э.Рейсснер [103] вывел уравнения Мейсснера для больших осе сикаю тричных перемещений непологой оболочки, а в [1043 развил эти уравнения на большие деформации.

В 1951 г. Р.Кларк и Э.Рейсснер , а ранее М.Туеда (1934) f обобщили уравнения Мейсснера на случай осесимметрического изгиба стержня-оболочки.

Рассмотрению оболочек открытого профиля посвящены работы

108,59,80,493.

В работе 133 Аксельрадом Э.Л. для случая осесимметрического изгиба оболочки замкнутого сечения были выведены в окончательной постановке два разрешающих дифференциальных уравнения второго порядка , одно из которых включало интегралы с переменным верхним пределом по независимой переменной. При решении линиаризованного варианта уравнений для круговой оболочки методом Фурье была получена аналитическая формула, уточняющая формулу Кармана. Для решения билинейного варианта уравнений предлагался метод Фурье с решением на ЗВМ путем последовательных приближений. При этом возможно было задать произвольную форду сечения, разлагая задающую ее функцию в ряд Фурье.

Среди публикаций последних лет достаточно подробно теория тонких оболочек освещается в работах 124,121,47,3. Сильному изгибу тороидальной оболочки посвящены работы 130,1273, где используются асимптотические и численные методы, и отношение внутреннего радиуса трубы к ее радиусу кривизны является малым параметром. В работе 1313 изгиб оболочек вращения расчитывается численно методом ортогонализации.

Данная работа проведена под руководством д.т.н., профессора Трояновского И.Е., осуществившего постановку краевых задач изгиба оболочки вращения и динамики трубопровода, а также предоставившего пакет прикладных программ, необходимых для их численного решения. Большой вклад в теоретические и программные разработки был внесен к.ф.-м.н. Пашковым И.А., также осуществлявшим научное руководство по исследуемым задачам.

Автор выражает глубочайшую признательность своим учителям, талантливым ученым и прекрасным людям, Трояновскому И.Е. и Пашкову И.А., ныне покойным , за их участие в своей судьбе.

В настоящей работе задача осесишетричного деформирования тороидальной оболочки решена с учетом равномерного нормального давления в существенно геометрически нелинейной постановке и имеет следующие особенности:

1 .Используются только гипотеза Кирхгофа-Лява и предположение о линейной зависимости между деформацией и напряжением.

2.Радиус сечения необязательно должен быть мал по сравнению с радиусом кривизны средней линии тора.

3. Допускается существенное изменение форды поперечного сечения тора вплоть до смыкания его стенок.

4.Рассматривается большое перемещение краев участка тора цри изгибе, сопоставимое с его размерами.

5.Поперечное сечение тора может быть не только замкнутым, но и разомкнутым, и иметь различные краевые условия на своих разомкнутых краях соответствующие жесткой заделке, шарниру, свободному краю, скользящему шарниру.

6.Поперечное сечение может иметь форму произвольной гладкой кривой, а также содержать угловые точки.

Именно в смысле вышеуказанных особенностей нише применяется термин "обобщенный эффект Кармана".

Данную работу отличает от предыдущих то, что система дифференциальных уравнений выведена без каких бы то ни было упрощений на основе двух вышеуказанных гипотез. При численном решении краевой задачи неЕЯзка правых частей уравнений не -4 превышает 10 % .

Результаты работы опубликованы в статьях 1122-1281.

8 4 выводы

1. В работе осуществлена строгая постановка задачи осесимметричного деформирования тороидальной оболочки с учетом внутреннего давления . Поперечное сечение оболочки при этом может иметь форму произвольной гладкой кривой , а также содержать угловые точки , не обязательно обладать симметрией, быть не только замкнутым и иметь различные краевые условия на своих разомкнутых краях. Радиус сечения тора необязательно должен быть мал по сравнению с радиусом кривизны средней линии • допускается существенное изменение формы поперечного сечения тора вплоть до смыкания его стенок.

В качестве обобщений приводится по существу осесимметричное деформирование произвольной оболочки вращения в сильно геометрически-нелинейной форме с возможностью больших перемещений границ оболочки при выполнении гипотезы Кирхгофа-Лява и предположении о линейной зависимости между напряжениями и деформациями . Численная реализация задачи методом Ньютона и ортогональной прогонки позволила получить при контрольной замене производных по координате их разностными аналогами невязки правых частей уравнений краевой задачи не более ю"4 % .

2. При численном моделировании задачи Кармана о чистом изгибе тороидальной оболочки выявлен новый механический эффект, не имеющий места при решении линейной задачи , а именно наличие точки максимума в зависимости изгибающего момента от кривизны средней линии тора , что позволяет получить границы реального процесса потери устойчивости рассматриваемых конструкций.

Численная зависимость, описывающая эффект Кармана , а также полученные точки потери устойчивости оболочечных и трубчатых конструкций при изгибе использованы автором при решении ряда прикладных задач в частности при расчете движения трубопровода после аварийного разрыва в поперечном сечении. Исследовались большие перемещения трубы, сопоставимые с ее длиной.

3. Исследования выявили существенное влияние эффекта Кармана на расчетные характеристики динамики рассматриваемых в работе конструкций. Для учета данного эффекта при расчете динамики труб показана принципиальная возможность использования численно

IS заданной , существенно нелинейной зависимости изгибающего момента от изменения кривизны» расчитанной для малого сектора трубы как тороидальной оболочки. Для численной реализации применялись методы Ньютона и ортогональной прогонки. Исследование сходимости решения путем увеличения числа точек ортогонализации дает

-2 погрешность в пределах 10 % . При этом расчет движения трубы проводился до момента времени , пока в одной из точек трубы не достигалась кривизна, соответствующая потере устойчивости.

1.В., Шнееров А-Л., Определение усилий и перемещенийпространственного трубопровода , Оценка надежности магистральных трубопроводов, М., 1987, сЗ-17.

2. Аксельрад Э.Л., Уравнения деформации оболочек вращения и изгиба тонкостенных стержней при больших упругих перемещениях, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и Машиностроение, N4, 1960.

3. Аксельрад Э.Л. "Гибкие оболочки",Москва, 1976,376с.

4. Аксельрад Э.Л., Изгиб тонкостенных стержней при больших упругих перемещениях. Изв. АН СССР , ОТН, Механика и машиностроение, N3 ,1961.

5. Аксельрад Э.Л., Изгиб и потеря устойчивости тонкостенных трубпри гидростатическом давлении, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение ,N1,1962.

6. Аксельрад Э.Л. "Тонкостенные криволинейные стержни и трубы",сборник трудов ЛИИЖТ, 249, 1966.

7. Аксельрад Э.Л., Большие осе симметричные прогибы пологой оболочки вращения при нагреве и нагрузке. Сб. "Расчет пространственных конструкций". в. 6, Госстройиздат, 1961.

8. Андреев Л.В., Рузин В.И., Об уравненияхдеформирования плоскихкриволинейных стержней, Межвуз. сб. науч. тр.-Днепропетровск,1990,с62-65.

9. Белостоцкий А., Воронова Г., Духовный И., Школьникова Ф.,

10. Расчетное обоснование прочности трубопроводных систем атомных электростанций на стадии их проектирования , Энергетика, 1991,N3 С82-91.

11. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. "Введение в механику сплошныхсред". Наука, 1982.

12. Бурдин П. Г-Экспериментальное исследование устойчивости круговых цилиндрических оболочек при совместном действии изгиба и внешнего давления / Исследование прочностиъ tустойчивости и выносливости элементов летательных аппаратов-М-1959

13. Be дута Т.Н., Бондарин Э.А., Шунько Н.И., Исследование напряженного и деформированного состояния пространственного стержня при помощи ЭВМ, Матер 47й Науч.-техн. конф., Минск, 1992, C92.

14. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И., Совершенствование метода прогонки С.К.Годунова для задач строительной механики. Изв. АН Мех. тверд, тела,1994,Н4, С187-191.

15. Гайдайчук В.В. Метод построения решения нелинейных уравненийтеории гибких стержней, Сопр. матер, и теор. сооруж., с 19-23.

16. Газизов Х.Ш., 0 конечных элементах оболочек в строительной механике, Изв.вузов в авиац. техн.,1994, N2, С74-76.

17. Герштейн М.С., Динамика пространственного трубопровода составленного из плоских кривых при действии подвижной нагрузки, ВНИИСТ, М, 1990,с. 102-109.

18. Григолюк Э.И., Тонкие биметаллические оболочки и пластины,1. Инж. сб. 17, 1953.

19. Гуляев В.И.,Гайдайчук В.В.,Кошкин В.Л., Упругое деформированиегибких стержней,Пробл.мех.оболочек-Камензш 1988,с40-52.

20. Гунин В.В., Нелинейное поведение оболочек вращения при сильном осесиммеетричном изгибе, Деп в ВИНИТИ 28.2.95. 545В95.

21. Динасылов А.Д.,Ким Е.И., Алгоритмы и программа для решения на

22. ЭВМ статических и динамических задач изгиба стержней методом начальных параметров, Алма-Ат. энерг.ин-т, 1990, Деп. в КазНИИНТИ 13.11.90, Н3205-Ка90.

23. Джонс, "Плоский изгиб кривой трубы большой кривизны1*,Конструирование и технология машиностроения, ИЛ, М2, 1967.

24. Дубяга К.М. "Изгиб тонкостенных кривых трубок",Известия

25. С.-Петербургского политехнического ин-та, т.2,1909.04

26. Елисеев В.В., Упругая деформация плоского криволинейногостержня, Тр. Ленингр. политехи. ин-та-1988 , Н425, с46-51.

27. Исследования по теории оболочек: Тр. семин. Вып. 21.4.1/ АН

28. СССР, Казан. Физ.-техн. ин-т, Казань, 1988,161с.

29. Канторович Л.В., Акилов Г.Р. "Функциональный анализ" ,1. М,1984,684с

30. Каплунов С., Статников И., О выборе параметров многопролетныхтрубных пучков с учетом их вибронадежности. Энергетика, 1991, N3, С. 171-179.

31. Карпенко Ю.В., Исследование нестационарных гидромеханическихпроцессов в трубопроводних системах и разработка методов снижения вибрации АЭС, Автореф. дис. (к.т.н.), М. ,1974, 31с.

32. КарчеБский М.М., Смешанные схемы МКЭ для нелинейных задач теории оболочек, Междунар. совещ. прогр. и мат. мет. Дубна, 1994, с. 62-64.

33. Каик Я.Ф., Твердохлеб Е.В. Определение характеристик напряженного состояния цилиндрических оболочек с криволинейной осью на основе соотношений цространственной теории упругости, Ивано-Франковск, 1992г. ,Деп. в УкрИНТЭИ 24.09.92.,N1472-УК92.

34. Коровайцев А. В., Евкин А.Ю., Осе симметричное деформированиетороидальной оболочки при сильном изгибе, Прикл.мех., К&ев,1992,Ы4, с 16-23.

35. Коровайцев А.В., Петроковскийй С. А., Расчет напряженно-деформированного состояния гибких тонких оболочек методом ортогонализации, Моск. авиац. технол. ин-т, М.,1991, с 68-72.

36. Костовецкий Д. Л. "Об устойчивости равновесия кривойтонкостенной трубы кругового сечения, нагруженной наружным давлением". Изв. АН СССР,ОТН, Механика и машиностроение, N1, 1961.

37. Кларк Р., Рейсснер Э., "Изгиб труб с криволинейной осью", сб.проблемны механики",ИЛ,М., 1955.

38. Кондрашков А.В., Французов С.Б., Плоская задача о сильномизгибе нелинейного упругого криволинейного стержня, Ред. Ж. Изв. вузов , Казань,1991,92с.

39. Кондрашков А.В., Маляров А.Ф., Методика расчета трубопроводовпри сейсмических воздействиях, Обеспечение сейсмостойкости AC, if, 1987,с 101-103.

40. Кругленко И.В., К единой теории тонкостенных стержнейпроизвольного поперечного сечения, Исслед. по мех. строит, конструкций и мат.,Л. 1988,с 5-9.

41. Кузеванов B.C., Нестационарные процессы в системе реактор-петля-перемещение , связанные с разрывом трубопровода петли, Автореф. дис. к.т.н. ,М,1974,31с.

42. Куликов Ю.А., Расчет параметров свободных и вынужденныхколебаний трубопроводов с пульсирующим потоком жидкости методом конечных элементов, Расчеты на прочность, М., 1990,N32, р.177-192.

43. Лещинский Г.А., Нестационарное движение пароводяных сред втрубопроводах и их вибрационное состояние, Автореф. дисс.(к.т.н,),Харьков, 1983,24с.

44. Лурье А.И., Об уравнениях общей теории упругих оболочек,1. ШМ,14, И5, 1950.

45. Лутовинов С.З., Исследование истечения горячей воды при разрыве трубопровода применительно к аварийной ситуации на АЭС, Автореф. дис. к.т.н., 11,1985, 20с.

46. Мяченков В. И.,Мальцев В.П. "Методы и алгоритмы расчетапространственных конструкций на ЭВМ",Машиностроение, 1984.

47. Никобадзе М.У., Плоские криволинейные стержни, МГУ-М., 1990,дел. в ВИНИТИ 07.08.90 N4509-1390.

48. Никольский М.Д.,Клещев Н.Е., Вариационная постановка и численный метод расчета гибких упругих стержней, Пробл. прочн. матер, и сооруж. ,С-Пб,1995, C99-101.

49. Новожилов В.В. "Теория тонких оболочек",М 1962,431с.

50. Пашков И.А., Трояновский И.Е. , Белоусова О.А., Собственные плоские колебания упругого цилиндра с внешним трением. МИЭМ,1988,11о,деп. в ВИНИТИ,N324-688.

51. Пикуль В.В., К проблеме построения физически корректной теорииоболочек, Изв. РАН Мех. тверд, тела, 1992, Н3,с 18-25.

52. Ржезников Ю.В., Кан Л.И., Светличный А.П. "Нестационарнаяреактивная сила при истечении вскипающей воды", "локализация аварий на АЭС**, сборник научных трудов , ре д. БукринскогоА. М, I987.

53. Романчук Н.Н., Жеварина Ю.А., 0 рациональной форме сечениятонкостенных стержней открытого профиля при изгибе с кручением, Ленингр.зонал. н.-и. и проект, ин-т проектир. общест. зданий. Л,1989,с 46-53.

54. Светлицкий В. А. .Статика устойчивость и малые колебаниястержней, заполненных движущейся идеальной несжимаемой жидкостью, Расчеты на прочность,еыл.14, 1969, с.332-351.

55. Светлицкий В.А.,Нарайкин О.С. "Упругие элементы машин", M,1989.

56. Стасенко И.В., Толмачева Е.А., Основные соотношения изгибатонкостенных криволинейных труб, Моск. ин-т приборостр.,М,1991, 153с.

57. Стефенс, Старнес, Олмрот, "Разрушение длинных цилиндрическихоболочек", Ракетн. техн. и космонавтика, 13, N1, 1975.

58. Трояновский И.Е., Пашков И.А., Ястребова И.Е., Устойчивость иколебания трубопровода при поперечном разрыве, МИЭМ,М,Деп. в ВИНИТИ 23.I.91.,372-В91.

59. Феодосьев В.И., "Упругие элементы точного приборостроения", Оборонгиз, 1949,344с.

60. Феодосьев В.И., О больших прогибах и устойчивости круглой мембраны с меакой гофрировкой, ПММ, 9,1945,N5.

61. Феодтовский B.C., Динамика трубопроводов и стержневых пучков сдвухфазным потоком при вибрационных воздействиях, Обнинск, 1985, 13с.

62. Халтурина Н.В., Саркисова М.Ф., Эксперементально-теоретическиеисследования напорного трубопровода Загорской ГАЭС, Гпдротехн.стр-во,1992,Ш,с. 27-30.

63. Хмыров А.Ф., Развитие теории кривых тонкостенных стержней -оболочек открытого профиля с учетом деформаций сдвига срединной поверхности. Матер, н-т. конф., поев. 60-летию Воронеж. Инж.-строит, ин-та: Воронеж, 1991,с 4-5.

64. Хохметов Г.Х., Хромова Г.А., Эксперементальное исследование н-д-с трубопроводов при одновременном действии динамической нагрузки и гидравлического удара, Сейсмодинамика зданий и сооружений, Ташкент,1988,58-62.

65. Чернина B.C., "О системе дифференциальных уравнений равновесияоболочки вращения, подверженной изгибающей нагрузке", БММ 23, N2, 1959.

66. Черных К.Ф. "Задача Сен-Венана для тонкостенных труб с круговой осью", Прикладная математика и механика, 24, N3 ,1960.

67. Almrotli В.О., Starnes J.H., "The computer In shell stability

68. Analisys, ASCE Nat. Struct. Engng. Meeting, San Francisco, 1973.

69. Anderson J.C. .Analytical experimental correlation of a noninear system subtest to a dynamic load, US Nucl. regulat. commiss , 1979,52р.

70. Arguelles P.A., Modelacion materaatica para el diagnostico detuberias mediante la medicion de sus vibraciones, Constr. nag.,1991,16, N2, p84-89.

71. Asley A., Haviland G. Bending vibrations of a pipe-linecontaining flowing fluid, J.Appl. tiech- 17, N3,1950,p229-232.

72. Bakry И. A. M., Fujitani 7., Finite element analysis for thegeometrical section properties of thin-walled beam, Hem. Fac. Eng. Hiresima UniY., 1992,11N2, p41-50.

73. Banan M.R., Non-linear theory for elastic spatial rods, Int.п

74. J. Solids and struct, 1991,27, N6,p713-724.

75. Beskin L., Bending of curved thin-walled tubes, J. Appl.liech. 12, 1945.

76. Brazier L.G. Bending ol thin cylindrical shells and other thinsections; Proc.Soc. Sept 1 , 1927.

77. Charalambus B., Bestlmming der von Rohrleitugen maximal Ubertraqgbaren Biegemomente, Jahrestag. Kerntechr, Bonn, 1987, p. 351-354.

78. Chen S.S., Plow-inducted inplane instabilities of curvedpipes, Nucl .Bag., N23,dec.1972,p 29-38.

79. Chen S.S., Out of plane vibration and stability ol curvedtubes conveying fluid, J.Appl. liech., vol. 40,N2, 1973, p975-979.

80. Chen S.S., Vibration and stability ol a uniformly curved tubeconveying fluid, J. Acoust. Soc. Araer., vol.51, 1972,p223-232.

81. Chlba T. ,Koyanagl R., An experimental etady ol the multiplesiippont piping systems, Stract. liech. React. Technol. Trans. 9th Int. Conl., Lausanne, Aug. 1987, Vol. B- Rotterdam; Boston, 1987, 975-980.

82. Clark R.r Gilroy Т., Reissner E., "Stresses and delormationsol toroidal shells ol elliptical cross sections", J. Appl. liech. 19, 1952.

83. Coulter В.А.»Ы111ег R.B., Numerical analusis ol a generalizedplane elastlca with nonlinear material behaviour. Int. J. Кшоег. Ifeth. Eng. J988 , 26, N3, p617-630.

84. Farchad M.,Karami G., Banan M.R., A Theoretical and numericalfinite element analusis of spatial rod sisteros, Comput. Meth. Appl. Mech. ending., 1989,73,N2, p.111-132.

85. Hara P., Seto K., Basic concepts about application of dual vibration absorbers to seismic design of nuclear piping systems, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Conf,, Lausanne, Aug. 1987, Vol. B- Rotterdam; Boston,1987, p 29-34.

86. Housner G.Wc Bending vibrations of a pipe line containingflowing fluid, Frans. ASME,vol.74,1952,p 205-208.

87. Iyengar R.N.,Dynamic analysis of the coolant channel assemblyunder seismic excitation, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Conf., Lausanne, Aug. 1987, Vol. B-Rotterdam: Boston, 1987, p 1055-1060.

88. Karman Th. von, Uber die Formanderung dunnwandiger Rohreinsbesondere federnder Ausgleichrohre, Zeitsehr.YDI 55 (1911 ),n.45.

89. Kohoutek R., Dunamics of beam with semi-rigid joints, Nat.

90. Conf.Publ.,Austal. 1990,N9 ,p 339-343.

91. Kokubo K., Buck ling behaviors of short cylindrical shells under dynamic loads, Stract. Mech. React. Technol. Trans.9th Int. Conf., Lausanne, Aug. 1987, p 167-172.

92. Lazzeri L., Effects of plastisity on dynamic response of piping Structures, Trans. ASMS J. Pres. ves. Technol , 1988, 110, N3, p. 263-269.

93. Lazzeri L., On the design of piping in non linear conditionsunder dynamic loads, Stract. Hech. React. Technol* Trans. 9th Int. Conf., Lausanne, Aug. 1987, p 875-879.

94. Heissner E., Das Elasticiyatsproblem fur dtnne Schalen von

95. Ringflachen, Kugel-oder Kegel form, Phyikallsche Zeitschr., 14,1913,41-52.

96. Mohammad! J., Amin M., stochastic nonlinear dynamic analysisof piping system on yielding supports, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Conf., Lausanne, Aug. 1987, 137-143.

97. Nakagiri S., A note on shape finding of elastic bending rod,1. Mech.,1991, 3B792.

98. Niordson P.J. Vibrations of a cylindrical tube containingflowing fluid, Kungliga tekniska Hogskolans Handlingar, Stockholm,1953,n73.

99. Ohtsuki A., An analysis of large deffections in a nonsymmetrical Three-point bending of beanes, Trans.Jap. soc. Mech. Eng. A.-1988,54, N507, p 2014-2018.

100. Olesiak Z„, "The Bending of thin-walled pipes with lenticularcross section", Bull, de l'acad. Polon des Sci., CL. 4, 5, 1957.

101. Relssner E., On the finite bending of pressurised tubes, J. of1. Appl .Mech. ,1959, sept.

102. Relssner E., Welnitschke H.J., Finite pure bending of circularcylindrical tubes, Quart. Appl.Math. 21 ,1963,n2 , 305-319.

103. Reissner E.,Stress-strain relations in the theory of thin elastic shells, J. Math. andPhus., 31,1952,n.2.

104. Reissner E., Wan F.Y.M. ,Rotationally synmetric stress and strain in shells of revolution, Studies in Appl. Math.,3S48,1969, п. 1

105. Relssner E., On axisynroetrical deformations of thin shells ofrevolution, Proc. Sumpos. Appl. Math. 3, 1950. 104 Relssner Е.» On Finite Simmetrical Strain In thin Shells of

106. Revolution, J. Appl. Hech. 39,1972,1137. >05 Relssner H., Spunnungen in Kugelschalen, Festschrift H.Muller-Breslau, Leipzig, 1912,181-193.

107. Seaman V.J., Wan P.Y., Lateral beading and twisting of thin-walled curved tubes, Stud. In Appl. Hath. ,8,n.1,1974.

108. Shalk if., Henkee P.O., Rohrleitungs berechnungen fur dunamische lastfalle, 3R Int, 1990, 29, N9, p. 470-477.

109. Schanz Karl-Heinz, Zur Berechnung von kreisforming gekrummten

110. Tragern rait dunnwandigem offehen Querschnitt unter Querlasten, Wiss.Z.Techn.Univ. Magdeburg, 1991,n5,с 49-54.

111. Schmidt Robert,Pure flexure of a curved bar mith a narrow traperaidel cress section. Ind, Math,1990, N1,c.19-29.

112. Skaloud M., General report on Theme 6: Plate and box girders, Int. Collog.East-Eur .Sess., Apr .25-27,1990, p111-116.

113. Slagis G.G., Basis of current dynamic stress criteria for piping, Weld. Res. Counc. Bull., 1991 ,N367, p1-46.

114. Sutjahjo fiidhi, Morris G. Robert, Indegrated bending field finite element for curved beans, J.Eng.Mech., 1988,N9, p 1497-1511.

115. Svetlitsky V.A., vibration of tubes conveying fluids, J. Acoust. Soc. of Araer.,vol62, 1977,p595-600.

116. Unny Т.Е., Martin E.L., Dubey R.N., Hydrostatic Instability ofuniformly curved pipe-fluid system, J. Appl. Hech., vol 37, N3, 1970, p. 617-622«

117. Takenaka M.,0saki Т., Buckling Strenght of square ducts usubjected to bending, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Conf., Lausanne, Aug. 1987, Vol. B- Rotterdam; Boston,1987, p 29-34.

118. Vigness I., "Elastic properties of curved circular thin-walledtubes",Trwans. ASHE, 65, 1943.

119. Wood I., The flexure of a uniformly pressurised circular cylindrical shell, J. of Appl. Uech. 25,1958,453.

120. Пашков И.А., Рогов А.А., Трояновский И.Е. "Влияние эффекта

121. Кармана на движение трубопровода при разрыве в поперечном сечешш дет в ВИНИТИ 13.05.1991, N 1932-В91.

122. Пашков И.А., Рогов А.А., Трояновский И.Е., Влияние эффекта Кориолиса и переносных сил на движение трубопровода при разрыве в поперечном сечении, МИЭМ, деп. в ВИНИТИ 29.11.1993г., N 2941 В-93

123. Пашков И.А., Рогов А.А., Трояновский И.Е., Влияние нелинейного эффекта Кармана на динамику трубопровода после аварийного разрыва, Доклады Академии Наук, 1995, том 342, N 3, с.342-344.

124. Кульчихина Л.Л., Майборода В.П., Рогов А.А., Титкова Е.А., Трояновский И.Е., Сильный изгиб тороидальной оболочки некругового сечения с учетом пластичности, МГИЭМ, деп. в ВИНИТИ 30.01.1996г. Н 330 В96.

125. Кульчихина Л.Л., Майборода В.П., Рогов А.А., Титкова Е.А., Трояновский И.Е., Плоское движение пластическогокриволинейного стержня под действием распределенной нагрузки, МГИЭМ, деп. в ВИНИТИ 30.01.1996г. N 329 В96 .

126. Майборода В.П., Рогов А.А., Эйхорн Х.Ю., Эффект Кармана в случае изгиба неоднородной ортотропной торидальной оболочки, МГИЭМ, деп. в ВИНИТИ 30.04.1996Г, К 1349-В96 .

127. Майборода В.П., Рогов А.А., Эйхорн Х.Ю., Влияние пластического эффекта Кармана на динамику трубопровода после разрыва» МИШ, деп. в ВИНИТИ К 1350-В96,30.04.1996г.