Динамика вибрационных устройств со сложным характером колебаний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи

Фирсова Алла Дмитриевна

ДИНАМИКА ВИБРАЦИОННЫХ УСТРОЙСТВ СО СЛОЖНЫМ ХАРАКТЕРОМ КОЛЕБАНИЙ

01.02.06 — Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург — 2004

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Блехман Илья Израилевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Мельников Борис Евгеньевич доктор технических наук, профессор Пановко Григорий Яковлевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

горный институт им. Г.В.Плеханова (технический университет)

Защита состоится "/У " КМ/ИЯ. 2004 года в ' ^часов С'С' минут на заседании диссертациошюго совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О.,61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических нау!с

В.В. Дубарснко

ОБЩАЯ.ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ-

Актуальность темы. Вибрационные машины с начала прошлого века все шире применяются в различных отраслях промышленности — при добыче и переработке полезных ископаемых, в строительстве, металлургии, пищевой промышленности и в других производствах. В настоящее время вибрационная техника продолжает существенно совершенствоваться, возникают все новые области се эффективного применения. Быстро развивается новый раздел прикладной теории колебаний — теория вибрационных процессов и устройств. Создание новых машин невозможно без исследования их динамики на основе современной теории нелинейных колебаний.

В диссертационной работе рассматриваются задачи динамики трех вибрационных устройств - центробежно-вибрациошюго концентратора (ЦБК), вибрационного грохота и вибрационного уплотнителя. Общей особенностью этих трех устройств различного назначения является сложный характер колебаний рабочего органа — в отличие от большинства эксплуатируемых в настоящее время вибрационных машин, траектории этих колебаний неодинаковы в различных точках рабочего органа, что создает дополнительные возможности для оптимизации рабочих процессов.

ЦВК используются при обогащении руд для разделения твердых частиц суспензии по плотности, например, для отделения частиц золота, платины. Устройство было создано на основе самых общих представлений о технологическом процессе и динамике движения основных узлов аппарата. Технологические исследования и испытания аппарата показали, что он является весьма эффективным и имеет ряд технологических преимуществ перед применяемыми аналогами. Поэтому исследование динамики устройства с целью оценки рациональности конструкций существующих аппаратов и оптимизации их механических параметров, а также выяснения возможности создания аппаратов большего размера, является весьма актуальным.

Вибрационные грохоты используются в горно-обогатительной, строительной, пищевой и других отраслях промыт^су ициидя^еления сыпучих материалов и твердых частиц

I ЯТЯЕЛ}

анализа и синтеза поля колебаний вибрационных грохотов являются актуальными в связи с проблемой создания современной компьютерной системы конструирования и динамического расчета вибрационных грохотов с разнообразными полями колебаний..

Вибрационные уплотнители применяются для уплотнения грунтов, песчано-гравийных смесей, щебня, тротуарной плитки в различных областях строительства. Особенно целесообразно использование виброуплот-нитслей для уплотнения в стесненных условиях: в траншеях, у оснований сооружений, при прокладке коммуникаций. Изучение динамики эксплуатируемых в настоящее время устройств с целью создания более совершенных конструкций является важной задачей. Цели работы:

• Исследовать динамику центробежно-вибрациониого концентратора и определить на основе этого исследования параметры стационарного рабочего режима движения ротора. Получить условия устойчивости рассматриваемого режима. Изучить влияние различных видов трения и момента, развиваемого двигателем, на исследуемый стационарный режим.

• Изучить движение вибрационного грохота с двумя дебалансными вибровозбудителями. Решить задачу анализа поля колебаний корпуса грохота при заданных механических параметрах вибровозбудителей и их расположении на рабочем органе, а также обратную задачу синтеза поля колебаний, т.е. определения параметров и расположения вибровозбудитслей по заданным характеристикам поля колебаний.

• Изучить движение вибрационного уплотнителя на вязко-упругом основании в зависимости от характеристик основания, а также от расположения оси вибровозбудителя и его механических параметров.

Методы исследования. При решении рассматриваемых в диссертации задач динамики используются методы динамики твердого тела, теории колебаний и-устойчивости движения, а также асимптотические подходы.

Положения, выносимые на защиту.

• Исследована динамика цситробежно-вибрациошюго концентратора и определены параметры стационарного режима движения ротора устройства. Получены условия устойчивости стационарного режима и показано, что наряду с довольно громоздкими условиями может быть сформулировано простое достаточное условие устойчивости. Показано, что исследуемый стационарный режим существует и при • учете различных видов трения, а также момента двигателя. Численно проиллюстрирован выход системы на стационарный режим движения.

• Построено поле колебаний корпуса вибрационного грохота с двумя дебалансными вибровозбудителями. Траектории всех точек корпуса представляют собой эллипсы, размеры и ориентация которых изменяются от точки к точке в зависимости от параметров и расположения вибровозбудителей. Предложен способ синтеза поля колебаний корпуса вибрационного грохота, т.е. способ определения расположения и параметров вибровозбудитслей по заданным характеристикам поля колебаний.

• Изучена динамика вибрационного уплотнителя на вязко-упругом основании. На основе численного решения уравнений движения определено влияние расположения оси вибровозбудителя и его механических параметров, а также жесткости и вязкости основания на движение устройства.

Научная новизна и теоретическая ценность. В диссертационной работе изучена задача о движении упруго опертого осссиммстричного твердого тела, обкатывающегося по неподвижной круговой направляющей. Определены параметры стационарного режима движения тела и получены условия его устойчивости.

Рассмотрена задача о синтезе плоского поля колебаний твердого тола, возбуждаемого двумя равномерно вращающимися неуравновешенными роторами.

Решена задача о движении вибрационного уплотнителя на вязко-упругом основании. Исследовано влияние расположения и параметров вибровозбудителя на установившееся движение устройства и определены параметры, позволяющие обеспечить эффективный режим вибрационного уплотнения.

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут использоваться при расчете и проектировании более совершенных образцов центробежно-вибрационных концентраторов и вибрационных уплотнителей, а также при создании современной компьютерной системы конструирования и динамического расчета вибрационных грохотов.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на XXVII, XXIX, XXX, XXXI Международных летних школах-семинарах ученых-механиков "Актуальные проблемы механики" ("Advanced Problems in Mechanics", Санкт-Петербург, 1999, 2001, 2002, 2003); на международных научных конференциях общества прикладной математики и механики GAMM'2000 (Германия, Гетинген, 2000) и GAMM'2002 (Германия, Аугсбург, 2002); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на 5-й Международной конференции "Проблемы колебаний" (ICOVP'2001, Москва, 2001); па XIV Симпозиуме "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем" (Звенигород, 2003).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 10 работ, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы ( 77 наименований). Текст работы изложен на 95 страницах. Диссертация содержит 30 рисунков.

Автору приятно выразить искреннюю признательность своему научному руководителю Илье Израилевичу Блехману за постановку задач и обсуждение результатов и проблем, возникавших при работе над диссертацией, а также Леониду Абрамовичу Вайсбергу за ценные советы при работе над третьей главой диссертации и обсуждение се результатов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность и практическая значимость темы диссертации, сформулированы основные задачи, методы и результаты исследования.

Первая глава представляет собой обзор литературы. Описанию теоретических основ вибрационной техники посвящено огромное количество изданий. Результаты фундаментальных исследований в этой области отражены, в частности, в трудах В.А. Баумана, И.И. Быховского;И.И. Блех-мана, Л.А. Вайсберга, Г.Ю. Джанелидзе, И.Ф. Гончарсвича, К.В. Фролова, Р.Ф. Нагаева, В.Н. Потураева. Вопросам теории и практического использования центрифуг посвящены работы А.В. Богдановича, A.M. Голь-дина, В.А. Карамзина, А.И. Поварова, В.И. Соколова, Д.Е. Шкоропа-да, О.П. Новикова. Этапы изучения, развития и совершенствования конструкций грохотов отражены, в частности, в работах И.И. Блехмана, Л.А. Вайсберга, И.Ф. Гончаревича. Результатам исследований воздействия вибрации на различные грунты, описанию областей применения и особенностей виброуплотнения посвящены работы А.А. Васильева, Ю.М. Васильева, М.К. Неклюдова, А.П. Харламова, Н.Я. Хархуты. Теоретическое исследование перемещения вибрационных плит дано в трудах А.Я. Баш-карева, А.И. Новожилова.

Из общих работ по динамике твердого тела отмечены монографии Р. Граммсля и К. Магнуса, труды Ю.А. Архангельского, В.В. Белецкого, Д.М. Климова, В.В. Козлова, В.Н. Кошлякова, А.П. Маркеева, А.П. Харламова и др. Из книг общего характера по теории колебаний, синхронизации и устойчивости движения отметим труды В.Л. Бидермана, И.И. Блех-мана, А.Ю. Ишлинского, A.M. Ляпунова, И.Г. Малкина, Д.Р. Мсркина, Я.Г. Пановко, Н.Г. Четаева.

Вторая глава работы посвящена исследованию динамики центробежно-вибрационного концентратора. Конструктивная схема аппарата представлена на рис. 1, на котором обозначено: 1 — рабочая воронка; 2 — углубления, в которых накапливается материал; 3 — втулка, по внутренней

поверхиости которой обкатывается вал 5; 4 — массивная плита; 5 — вал, жестко связанный с рабочей воронкой 1; 6 — виброизолятор; 7 — упругое соединение вала двигателя 9 с валом 5 рабочей воронки; 8 — маховик на валу двигателя; 9 — приводной электродвигатель; 10 — опорная рама.

Рис. 1: Конструктивная схема- центробежно-вибрациошюго концентратора.

Все составные части машины могут быть разбиты на три группы: рабочая воронка и жестко связанный с ней вал; плита и жестко связанные с ней детали; - рама и жестко связанные с ней детали.

В первую группу входят детали, которые в процессе работы машины вращаются вместе с валом двигателя, назовем их "ротор". Вторая группа состоит из деталей, вибрирующих в процессе работы, их будем называть "статор". Оставшиеся элементы, называемые в дальнейшем "рама", неподвижно покоятся на основании.

Дииамическая схема устройства приведена на рис. 2.

\

1

2

и <

Рис. 2: Динамическая схема ЦВК. Здесь 1 — ротор; С — центр тяжести ротора; 2 — втулка (деталь статора, по внутренней поверхности которой обкатывается ротор); В — точка контакта ротора и втулки; 3 — опорный упругий элемент; А - точка крепления опорного элемента.

Уравнения движения ротора записываются в предположении, что масса статора гораздо больше массы ротора, что позволяет пренебречь перемещениями статора. Кроме того, рассматривается движение ротора без отрыва от втулки. Угол нутации, т.е. отклонение оси ротора от вертикали, считается малым.

Уравнения движения ротора в векторной форме могут быть записаны в виде:

гдс М — масса ротора; гис — ускорение центра масс; Мд — сила тяжести; N — нормальная реакция, действующая в точке В; £е = —к\В.А — ¿2(2 — 20)к — сила упругости, действующая в точке А (через Вд обозначена составляющая смещения точки А в горизонтальной плоскости, г — вертикальное смещение точки А, к\ и кг — соответствующие этим смещениям жесткости опорного упругого элемента, го = Мд/кг — дефор-

Мшс - М9 + К + Ее + Еь, к = т[СЧЮ + ш {С)(Ее) + т(С){Еь).

(1)

мация опорной пружины вдоль вертикальной оси в положении статического равновесия, к — единичный вектор вертикальной оси); — сила, характеризующая трение (трение в точке контакта втулки и вала ротора, рассеяние энергии в опорной пружине, влияние материала, находящегося в чаше и т.п.); К — момент количества движения ротора; — мо-

мент силы относительно центра масс С.

Уравнения движения без учета трения допускают решение, соответствующее стационарному движению ротора, при котором он вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ось ротора, в свою очередь, совершает прецессионное движение с постоянной угловой скоростью и), а угол нутации в постоянен:

Здесь а — полярный угол, характеризующий положение точки Б, г — вертикальное смещение ротора из положения статического равновесия, ■ф, 0, 1р — углы прецессии, нутации и собственного вращения. Кроме того, рассматривается такое движение, при котором скорость точки касания втулки и вала ротора равна нулю, что соответствует движению без проскальзывания. В этом случае угловые скорости прецессии и собственного вращения связаны дополнительным кинематическим соотношением и, кроме того, разность угловых скоростей прецессии и собственного вращения является малой.

Исследована устойчивость стационарного движения. На основе анализа корней характеристического уравнения системы получены условия устойчивости, которые из-за громоздкости здесь не приводятся. В работе показано, что наряду с полученными условиями устойчивости существует довольно простое условие

к1Н7>{А + МЬ?)и2 + М91, (3)

при выполнении которого в случае, когда в отсчетном положении центр тяжести ротора находится выше втулки, условия устойчивости удовлетворяются. В формуле (3) обозначено: к1 — жесткость опорного упругого

элсмента; Я — расстояние между плоскостью втулки и плоскостью (ху); I — расстояние по оси ротора между центром тяжести С и точкой Л; к = I — Н; А — экваториальный момент инерции ротора; М — масса ротора; д — ускорение свободного падения. Как видно из (3), устойчивость стационарного движения носит не гироскопический характер, а обеспечивается жесткостью упругого элемента. Гироскопические слагаемые не входят в условие устойчивости, поскольку в рассматриваемом стационарном режиме разность угловых скоростей прецессии и собственного вращения является малой.

Далее в работе показано, что изучаемый стационарный режим движения, полученный в системе без учета трения,- существует и при учете различных видов трения. Рассмотрены случаи сухого и вязкого трения в точке контакта вала ротора и втулки, а также вязкого трения в опорном упругом элементе. Поскольку устойчивость исследуемого стационарного движения в системе без трения носит не гироскопический характер, то она не может быть разрушена введением в систему сил трения. Численное решение уравнений показывает, что при произвольных начальных условиях система выходит на рассматриваемый режим движения.

Показано, что изучаемое стационарное движение ротора существует в системе и при учете момента двигателя ограниченной мощности. В этом случае численное решение уравнений показывает, что система выходит на рассматриваемый стационарный режим из состояния с нулевыми угловыми скоростями.

Третья глава работы посвящена изучению плоско-параллельного движения вибрационного грохота с двумя дебалансными вибровозбудителями (неуравновешенными роторами).

Динамическая схема аппарата представлена на рис. 3, на котором I — короб вибрационного грохота на мягких упругих опорах; II, III - де-, балансные вибровозбудитсли, сообщающие колебания коробу. В работе рассматриваются установившиеся вынужденные колебания вибрационного грохота вблизи положения статического равновесия.

Рассмотрен случай, когда роторы вибровозбудителей вращаются сип-

Рис. 3: Динамическая схема вибрационного грохота с двумя вибровозбу-дитслями.

хрошю и равномерно. Решена задача о построении поля траекторий точек корпуса грохота, которые в общем случае представляют собой эллипсы, параметры которых определяются характеристиками корпуса вибрационного грохота, а также параметрами и расположением дебалансных виб-ровозбудитслей. Рассмотрены примеры построения поля колебаний для случая, когда для синхронизации вращения роторов вибровозбудителей используется тот или иной способ принудительной кинематической синхронизации — установление между роторами жестких связей в виде зубчатых зацеплений, цепных передач и т.п. В этом случае разность фаз вращения вибровозбудителей считается заданной.

Рассмотрен также случай самосинхронизации вращения вибровозбудителей. При самосинхронизации разность фаз в устойчивом синхронном движении зависит от параметров системы и может быть найдена с использованием так называемого интегрального критерия (экстремального свойства) устойчивости синхронных движений, который говорит о том, что устойчивые синхронные движения соответствуют точкам грубых минимумов потенциальной функции системы. Получено, что значения фазовых сдвигов, которые отвечают устойчивым синхронным движениям, определяются выражением

1 + С^ихЩ + Р1(1+ С1СТ2)'

где Л1—»2 — разность фаз вращения роторов вибровозбудителей; а^ 2 равны ±1 в зависимости от направления вращения вала; щ, щ, Л2 ~ координаты осей вибровозбудитслей в системе координат, связанной с корпусом и имеющей начало отсчета в его центре тяжести; рI = ЩМ.

Наряду с описанной выше задачей об анализе поля колебаний корпуса вибрационного грохота при заданных параметрах вибровозбудителей, значительный практический интерес представляет обратная задача — задача синтеза колебаний, т.е. определения расположения и параметров вибровозбудителей, необходимых для получения определенного поля колебаний. В работе предложен способ синтеза поля колебаний корпуса вибрационного грохота как твердого тела.

Анализ уравнений, описывающих колебания каждой точки корпуса, показывает, что при фиксированной массе и моменте инерции корпуса машины поле колебаний корпуса однозначно определяется заданием следующих семи параметров:

где М — масса корпуса; ТП1, £1, ТП2, £2 — массы и эксцентриситеты де-балансов; — координаты осей вибровозбудителей в системе

координат, связанной с корпусом и имеющей начало отсчета в его центре тяжести.

Таким образом, синтез поля колебаний возможно производить, задавая семь произвольных характеристик этого поля и определяя по ним семь указанных величин. Под характеристиками поля понимаются полуоси; углы наклона осей или отношения полуосей в заданных точках корпуса. В случае самосинхронизации разность фаз вращения вибровозбудителей связана с координатами осей вибровозбудителей соотношением (4), поэтому синтез поля колебаний в этом случае следует производить, задавая шесть его характеристик.

В работе рассмотрены примеры синтеза поля колебаний.

Четвертая глава работы посвящена исследованию динамики вибрационного уплотнителя. Устройство рассматривается как твердое тело, ко-

лсбания которому сообщаются от одного виецеитрсшю расположенного дсбалансного вибровозбудитсля.

Рис. 4: Динамическая схема вибрационного уплотнителя

Динамическая схема уплотнителя представлена на рис. 4, на котором обозначено: I — рабочий орган уплотнителя: твердое тело, основанием которого является плоская плита; II — вибрационный вибровозбудитсль; III — электродвигатель; IV — вязко-упругое основание, моделирующее уплотняемую поверхность.

Уравнения движения могут быть записаны в виде:

тр!

МВс = Мд + Е<хя + Е. ¿С = Мс(£оа|) + Д£с(£1р) тз'йс, = Ее,

(5)

где М - суммарная масса уплотнителя; Яс — радиус-вектор общего центра масс системы; Мg — сила тяжести; £<„.„ —реакция основания; — сила трения,1 возникающая при контакте рабочего органа с основанием; Кр — момент количества движения системы твердых тел относительно центра масс; — моменты силы реакции основания

и силы трения относительно центра масс; ш3 - масса двигателя; ЯСз — радиус-вектор центра масс двигателя; £е — сила, действующая на двигатель со стороны опорных элементов. Двигатель рассматривается как материальная точка, т.е. его повороты не учитываются.

Предпалагается, что в каждой точке контакта. плиты с уплотняемой поверхностью в вертикальном направлении действует упругая сила,"" пропорциональная вертикальному смещению этой точки, а также сила вязкого трения, пропорциональная проекции скорости рассматриваемой точки на вертикаль. Кроме того, рассматривается сила вязкого трения, действующая вдоль плиты.и пропорциональная проекции скорости данной точки на указанное направление.

Особенностью контакта плиты с уплотняемой поверхностью является то, что этот контакт может реализовываться по трем разным схемам: плита может лежать на грунте целиком, касаться его лишь частью своей поверхности, либо вообще отрываться от грунта. Сила реакции основания Еосв и сила трения £тр) входящие в уравнения (5), определяются для каждого варианта движения уплотнителя по-своему, т.е. для каждого случая может быть записана соответствующая система уравнений.

В работе приводятся нелинейные уравнения движения виброуплотнителя, а также приближенные уравнения, полученные в предположении о малости искомых функций и их производных относительно безразмерного времени т = иЛ, где о> — угловая скорость вращения вибровозбудителя. Для случаев, когда плита полностью касается поверхности или отрывается от нее, полученные в таких предположениях уравнения оказываются линейными. В случае, когда происходит частичное касание, линеаризовать уравнения не удается.

На основе численного решения нелинейных уравнений исследовано движение уплотнителя в зависимости от расположения оси вибровозбу-дитсля и его параметров, а также в зависимости от жесткости и вязкости основания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты и выводы.

1. Применительно к теории цситробежио-вибрационного концентратора исследовано движение упруго опертого осесимметричного твердого тела, обкатывающегося по неподвижной круговой направляющей. Получены уравнения движения тела, которые даже в предположении о малости угла нутации являются нелинейными. Показано, что в системе суще-

ствует стационарный режим движения — регулярная прецессия. Кроме того, рассмотрено движение без проскальзывания вала ротора по втулке. Получены условия устойчивости рассматриваемого режима для системы без учета сил терния. Показано, что, наряду с этими условиями, может быть сформулировано более простое условие, при выполнении которого оказываются выполненными все условия устойчивости. Установлено, что устойчивость движения носит негироскопический характер, вследствие чего учет диссипации не может разрушить устойчивость. Аналитически показано, что описанный режим движения существует в системе и при учете диссипации в опорном упругом элементе, а также различного трения в точке контакта вала ротора и втулки (рассмотрено вязкое и сухое трение) и момента двигателя. Численно построено решение уравнений движения ротора с учетом указанных сил трения и момента двигателя и показано, что при произвольных начальных условиях система выходит на рассматриваемый стационарный режим.

2. Изучено движение вибрационного грохота, рассматриваемого как твердое тело на мягких упругих опорах, колебания которому передаются от двух дебалаисных вибровозбудителей, вращающихся равномерно и синхронно. Рассмотрены случаи как принудительной кинематической синхронизации вращения роторов вибровозбудителей, так и самосинхронизации, когда разность фаз вращения роторов вибровозбудителей определяется из дополнительного соотношения. Траектория любой точки корпуса описывается уравнением эллипса с различными параметрами. В частных случаях эллипсы могут вырождаться в прямые или окружности. На основе полученных результатов составлена компьютерная программа, позволяющая строить поля траекторий точек корпуса вибрационного грохота при заданных параметрах вибровозбудителей и их расположении относительно центра тяжести корпуса. Предложен метод синтеза поля колебаний, основанный на определении инерционных параметров вибровозбудителей и расположения их осей по заданным характеристикам поля колебаний корпуса как твердого тела. Под характеристиками поля колебаний понимаются углы наклона осей эллипсов, величины их осей или отношения осей. Рассмотрены примеры синтеза поля колебаний корпуса вибрационного грохота.

3. Исследовано движение вибрационного уплотнителя (виброплиты) на вязко-упругом основании. Колебания уплотнителю сообщаются от одного внецентренно расположенного дебалансного вибровозбудителя. Особенностью задачи является наличие неудерживающей связи, что делает систему существенно нелинейной. В процессе движения плита уплотнителя может касаться грунта всей поверхностью или ее частью, может также происходить движение без контакта с грунтом. Уравнения движения уплотнителя в случае, когда касание происходит частью поверхности, не могут быть линеаризованы даже в предположении о малости искомых функций и их производных. На основе численного решения полученных нелинейных уравнений движения исследовано влияние расположения оси вибровозбудителя, его эксцентриситета и угловой скорости вращения на параметры установившегося движения устройства. Полученные результаты позволяют выбирать расположение и параметры вибровозбудитсля, с помощью которых может быть обеспечен эффективный режим вибрационного уплотнения. Исследовано также влияние жесткости и вязкости основания на длительность переходного процесса и характеристики установившегося движения.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

|1] Фирсова А.Д. Исследование динамики осесимметричного твердого тела, обкатывающегося по круговой направляющей // Труды XXVH Летней школы-семинара ученых-механиков "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (NOMS 99). Санкт-Петербург: ИПМаш РАН, 2000. С. 421-429.

[2] Блехман И.И., Вайсберг Л.А., Фирсова А.Д. Определение поля траекторий точек корпуса вибрационной машины с двумя дсбалансными вибровозбудитсля ми // Обогащение руд. 2001. N 2 С. 39-42.

[3| Фирсова А.Д. Устойчивость регулярного режима движения осесим-метричного твердого тела, обкатывающегося по круговой направляю-

щей // Аннотации докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 580.

|4] Фирсова А.Д. Вибрационные поля, генерируемые дсбалансными вибровозбудителями // Сборник докладов 5-ой Международной конференции "Проблемы колебаний" (IC0VP-2001). Москва: ИМаш, 2002. С. 487-491.

[5] Firsova A.D. The dynamics of elastically supported rigid body rolling along a circular guide rail // Book of Abstracts of the Annual Scientific Conference GAMM 2000. Goettingen, 2000. P. 40.

[6] Firsova A.D. Investigation of vibration field of a rigid body set in motion by two synchronously working vibration exciters // Proceedings of XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ 2001). St. Petersburg: IPME RAS, 2002. P. 231-235.

|7] Firsova A.D. Stationary oscillations of the operating part of vibration machine with two arbitrary located unbalance vibration exciters // Book of Abstracts of the Annual Scientific Conference GAMM 2002, Augsburg,

2002. P. И.

|8| Firsova A.D. Motion of a vibro-excited rigid body on a rough plane // Book of abstracts of XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ 2002). St. Petersburg: IPME RAS, 2002. P. 42.

[9] Фирсова А.Д. Динамика вибрационной плиты, движущейся по упруго-вязкому основанию // Сборник трудов XIV Симпозиума "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем", Москва-Звенигород,

2003. С. 140.

[10] Firsova A.D. Vibrational movement of a rigid plate on a rough elastic-viscous foundation // Book of abstracts of XXXI Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ 2003). St. Petersburg: IPME RAS, 2003. P. 40.

Подписано в печать 11.05.2004. Тираж 100 экз. 199178, СПб, Большой пр.В.О.,61, ИПМаш РАН

H 32.9 S

Введение

1 Библиографический обзор

2 Динамика центробежно-вибрационного концентратора

2.1 Введение.

2.2 Описание конструкции и расчетной динамической схемы.

2.3 Уравнения движения ротора.

2.4 Стационарное движение ротора в системе без трения . 25 2.4.1 Движение точек рабочей воронки в стационарном режиме

2.5 Устойчивость стационарного движения.

2.6 Достаточное условие устойчивости.

2.7 Учет влияния рассеяния энергии в опорных пружинах и трения в точке контакта втулки и вала ротора.

2.7.1 Диссипация в опорных пружинах

2.7.2 Вязкое трение в точке контакта вала ротора и втулки

2.7.3 Сухое трение в точке контакта вала ротора и втулки

2.8 Влияние момента двигателя.

3.2 Описание конструкции и расчетной динамической схемы.46

3.3 Уравнения движения корпуса.47

3.4 Поле траекторий точек корпуса.50

3.4.1 Примеры полей траекторий.52

3.5 Самосинхронизация вращения вибровозбудителей.54

3.6 Синтез поля колебаний .57

3.7 Заключение.61

4 Динамика вибрационного уплотнителя 63

4.1 Введение.63

4.2 Описание конструкции и расчетной динамической схемы.64

4.3 Уравнения движения.65

4.3.1 Силы, действующие на уплотнитель со стороны основания .67

4.3.2 Сила, действующая на двигатель со стороны опорных элементов.70

4.3.3 Уравнения движения вибрационного уплотнителя . . 70

4.4 Уравнения движения с учетом малого параметра .72

4.5 Численное исследование.74

4.5.1 Влияние расположения и параметров вибровозбудителя .76

4.5.2 Влияние параметров основания.79

4.6 Заключение.85 S

Основные результаты и выводы Литература

Введение

Актуальность темы. Вибрационные машины с начала прошлого века все шире применяются в различных отраслях промышленности — при добыче и переработке полезных ископаемых, в строительстве, металлургии, пищевой промышленности и в других производствах. В настоящее время вибрационная техника продолжает существенно совершенствоваться, возникают все новые области ее эффективного применения. Быстро развивается новый раздел прикладной теории колебаний — теория вибрационных процессов и устройств. Создание новых машин невозможно без, исследования их динамики на основе современной теории нелинейных колебаний. В работе рассматриваются задачи динамики трех вибрационных устройств — центробежно-вибрационного концентратора (ЦБК), вибрационного грохота и вибрационного уплотнителя. Общей особенностью этих трех устройств различного назначения является сложный характер колебаний рабочего органа — в отличие от большинства эксплуатируемых в настоящее время вибрационных машин, траектории этих колебаний неодинаковы в различных точках рабочего органа, что создает дополнительные возможности для оптимизации рабочих процессов.

ЦБК используются при обогащении руд для разделения твердых частиц суспензии по плотности, например, для отделения частиц золота, платины и т.п. Устройство было создано на основе самых общих представлений о технологическом процессе и динамике движения основных узлов аппарата. Технологические исследования и испытания аппарата показали, что он является весьма эффективным и имеет ряд технологических преимуществ перед применяемыми аналогами. Поэтому исследование динамики устройства с целью оценки рациональности конструкций существующих аппаратов; и оптимизации их механических параметров, а также выяснение возможности создания аппаратов большего размера, является весьма актуальным.

Вибрационные грохоты используются в горно-обогатительной, строительной, пищевой и других отраслях промышленности для разделения сыпучих материалов и твердых частиц суспензий по крупности. Задачи анализа и синтеза поля колебаний вибрационных грохотов являются актуальными в связи с проблемой создания современной компьютерной системы конструирования и динамического расчета вибрационных грохотов с разнообразными полями колебаний.

Вибрационные уплотнители применяются для уплотнения грунтов, песчано-гравийных смесей, щебня, тротуарной плитки и пр. в различных областях строительства. Особенно целесообразно использование виброуплотнителей для уплотнения в стесненных условиях: в траншеях, у оснований сооружений, при прокладке коммуникаций. Изучение динамики эксплуатируемых в настоящее время устройств с целью создания более совершенных конструкций является важной задачей.

Цели работы:

• Исследовать динамику центробежно-вибрационного концентратора и определить на основе этого исследования параметры стационарного рабочего режима движения ротора: Получить условия устойчивости рассматриваемого режима. Изучить влияние различных видов трения и момента, развиваемого двигателем, на исследуемый стационарный режим.

• Изучить движение вибрационного грохота с двумя дебалансными вибровозбудителями. Решить задачу анализа поля колебаний корпуса,грохота при заданных механических параметрах вибровозбудителей и их расположении на рабочем органе, а также обратную задачу синтеза поля колебаний, т.е. определения параметров и расположения вибровозбудителей по заданным характеристикам поля колебаний.

• Изучить движение вибрационного уплотнителя на вязко-упругом основании в зависимости от характеристик основания, а также от расположения оси вибровозбудителя и его механических параметров.

Методы исследования. При решении рассматриваемых в диссертации задач динамики используются методы динамики твердого тела, теории колебаний и устойчивости движения, а также асимптотические подходы.

Положения, выносимые на защиту.

• Исследована динамика центробежно-вибрационного концентратора и определены параметры стационарного режима движения ротора устройства. Получены условия устойчивости стационарного режима и показано, что наряду с довольно громоздкими условиями может быть сформулировано простое достаточное условие устойчивости. Показано, что исследуемый стационарный режим существует и при учете различных видов трения, а также момента двигателя. Численно проиллюстрирован выход системы на стационарный режим движения.

• Построено поле колебаний корпуса вибрационного грохота с двумя дебалансными вибровозбудителями. Траектории всех точек корпуса представляют собой эллипсы, размеры и ориентация которых изменяются от точки к точке в зависимости от параметров и расположения вибровозбудителей. Предложен способ синтеза поля колебаний корпуса вибрационного грохота, т.е. способ определения расположения и параметров вибровозбудителей по заданным характеристикам поля колебаний.

• Изучена динамика вибрационного уплотнителя на вязко-упругом основании. На основе численного решения уравнений движения определено влияние расположения оси вибровозбудителя и его механических параметров, а также жесткости и вязкости основания на движение устройства.

Научная новизна и теоретическая ценность. В диссертационной работе изучена задача о движении упруго опертого осесимметричного твердого тела, обкатывающегося по неподвижной круговой направляющей. Определены параметры стационарного режима движения тела и получены условия его устойчивости.

Рассмотрена задача о синтезе плоского поля колебаний твердого тела, возбуждаемого двумя равномерно вращающимися неуравновешенными роторами.

Решена задача о движении вибрационного уплотнителя на вязко-упругом основании. Исследовано влияние расположения и параметров вибровозбудителя на установившееся движение устройства и определены параметры, позволяющие обеспечить эффективный режим вибрационного уплотнения.

Практическая значимость. Результаты работы могут использоваться при расчете и проектировании более совершенных образцов центробежно-вибрационных концентраторов и вибрационных уплотнителей, а также при создании современной компьютерной системы конструирования и динамического расчета вибрационных грохотов.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на XXVII, XXIX, XXX, XXXI Международных летних школах-семинарах ученых-механиков "Актуальные проблемы механики" ("Advanced Problems in Mechanics", Санкт-Петербург, 1999, 2001, 2002, 2003); на международных научных конференциях общества прикладной математики и механики GAMM'2000 (Германия, Гетинген, 2000) и GAMM'2002 (Германия, Аугс-бург, 2002); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на 5-й Международной конференции "Проблемы колебаний" (ICOVP'2001, Москва, 2001); на XIV Симпозиуме "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем" (Звенигород, 2003).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 10 работ [62, 63, 64, 65, 66, 73, 74, 75, 76, 77].

Автору приятно выразить искреннюю признательность своему научному руководителю Илье Израилевичу Блехману за постановку задач и обсуждение результатов и проблем, возникавших при работе над диссертацией, а также Леониду Абрамовичу Вайсбергу за ценные советы при работе над третьей главой диссертации и обсуждение ее результатов.

Основные результаты и выводы

• Применительно к теории центробежно-вибрационного концентратора исследовано движение упруго опертого осесимметричного твердого тела, обкатывающегося по неподвижной круговой направляющей. Получены уравнения движения тела, которые даже в предположении о малости угла нутации являются нелинейными. Показано, что в системе существует стационарный режим движения — регулярная прецессия. Кроме того, рассмотрено движение без проскальзывания вала ротора по втулке. Получены условия устойчивости рассматриваемого режима для системы без учета сил трения. Показано, что, наряду с этими условиями, может быть сформулировано более простое условие, при выполнении которого оказываются выполненными все условия устойчивости. Установлено, что устойчивость движения носит негироскопический характер, вследствие чего учет диссипации не может разрушить устойчивость. Аналитически показано, что описанный режим движения существует в системе и при учете диссипации в опорном упругом элементе, а также различного трения в точке контакта вала ротора и втулки (рассмотрено вязкое и сухое трение) и момента двигателя. Численно построено решение уравнений движения ротора с учетом указанных сил трения и момента двигателя и показано, что при произвольных начальных условиях система выходит на рассматриваемый стационарный режим.

• Изучено движение вибрационного грохота, рассматриваемого как твердое тело на мягких упругих опорах, колебания которому передаются от двух дебалансных вибровозбудителей, вращающихся равномерно и синхронно. Рассмотрены случаи как принудительной кинематической синхронизации вращения роторов вибровозбудителей, так и самосинхронизации, когда разность фаз вращения роторов вибровозбудителей определяется из дополнительного соотношения. Траектория любой; точки корпуса описывается уравнением эллипса с различными параметрами. В частных случаях эллипсы могут вырождаться в прямые или окружности. На основе полученных результатов составлена компьютерная программа, позволяющая строить поля траекторий точек корпуса вибрационного грохота при заданных параметрах вибровозбудителей и их расположении относительно центра тяжести корпуса. Предложен метод синтеза поля колебаний, основанный на определении инерционных параметров^, вибровозбудителей и расположения их осей по заданным характеристикам поля колебаний корпуса как твердого тела. Под характеристиками поля колебаний понимаются углы наклона осей эллипсов, величины их осей или отношения осей. Рассмотрены примеры синтеза поля колебаний корпуса вибрационного грохота:

• Исследовано движение вибрационного уплотнителя (виброплиты) на вязко-упругом основании. Колебания уплотнителю сообщаются от одного внецентренно расположенного дебалансного вибровозбудителя. Особенностью задачи является наличие неудерживающей связи, что делает систему существенно нелинейной. В процессе движения, плита уплотнителя может касаться грунта всей поверхностью или ее частью, может также происходить движение без контакта с грунтом. Уравнения движения уплотнителя в случае, когда касание происходит частью поверхности, не могут быть линеаризованы даже в предположении о малости искомых функций и их производных. На основе численного решения полученных нелинейных уравнений движения исследовано влияние расположения оси вибровозбудителя, его эксцентриситета и угловой скорости вращения на параметры установившегося движения устройства. Полученные результаты позволяют выбирать расположение и параметры вибровозбудителя, с помощью которых может быть обеспечен эффективный режим вибрационного уплотнения. Исследовано также влияние жесткости и вязкости основания на длительность переходного процесса и характеристики установившегося движения.

4.6 Заключение

В данной главе диссертационной работы исследована динамика вибрационного уплотнителя на вязко-упругом основании. Особенностью задачи является наличие неудерживающей связи, заключающейся в том, что контакт плиты уплотнителя с поверхностью может реализовываться по трем различным схемам — плита может лежать на грунте, касаясь его все своей поверхностью или лишь частью, а может отрываться от поверхности. Таким образом, система является существенно нелинейной. Кроме того, уравнения движения для случая, когда плита касается грунта частью поверхности, не допускают линеаризации даже в предположении о малости искомых функций и их производных.

На основе численного решения уравнений определены параметры и расположение вибровозбудителя, которые позволяют обеспечить требуемый для вибрационного уплотнения режим движения уплотнителя. Исследовано влияние характеристик упруго-вязкого основания на длительность переходного процесса и параметры установившегося движения. Показано, что при изменении частоты вращения вибровозбудителя резонансных явлений в рассматриваемой системе не возникает.

1. Андреев С.Е., Зверевич В.В., Перов В.А. Дробление, измельчение и грохочение полезных ископаемых. М.: Недра, 1980. 415 с.

2. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

3. А.с. 112448 СССР. Инерционный грохот / Блехман И.И.; "Механобр". Опубл. в Б.И. 1985. N 4.

4. Баркан Д.Д. Виброметод в строительстве. М.: Госстройиздат, 1959. 315 с.

5. Бауман В.А., Быховский И.И. Вибрационные машины и процессы в строительстве. М.: Высшая школа, 1977. 255 с.

6. Башкарев А.Я. Исследование передвижения вибрационных плит с ненаправленными колебаниями: Автореф. дис. . к-та техн. наук. Ленинград, 1972. 18 с.

7. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд. МГУ, 1975. 308 с.

8. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

9. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

10. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 894 с.

11. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. 352 с.

12. Блехман И.И., Вайсберг Л.А., Фирсова А. Д. Определение поля траекторий точек корпуса вибрационной машины с двумя дебалансными вибровозбудителями // Обогащение руд. 2001. N 2. С. 39-42.

13. Блехман И.И;, Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М.: Наука, 1964. 410 с.

14. Блехман И.И., Жгу лев А. С. К расчету вибрационных машин с вне-центренно расположенным дебалансным вибровозбудителем // Обогащение руд. 1974. N 2. С. 36-39;

15. Богданович А.В. Разделение минеральных частиц в центробежных полях — боогатительная технология будущего // Горный журнал. 1997. N4. С. 24-26.

16. Быховский И.И. Основы теории вибрационной техники. Ми Машиностроение, 1969. 363 с.

17. Вайсберг Л.А. Проблемы динамики, прочности и теории рабочего процесса вибрационных грохотов для переработки минерального сырья: Дисд-ра техн. наук. СПб, 1999. 247 с.

18. Вайсберг Л.А. Проектирование и расчет вибрационных грохотов. Ml: Недра, 1986. 144 с.

19. Вайсберг Л.А., Гусаров Ю.Г., Пономарев А.П. Совершенствование предварительного грохочения и промывки руды в циклах обогащения в тяжелых суспензиях // Цв. металлы. 1984; N 4. С. 80-83.

20. Вайсберг Л.А., Рубисов Д.Г. Вибрационное грохочение сыпучих материалов. Моделирование процесса и технологический расчет грохотов / "Механобр", СПб. 1994. 45 с.

21. Васильев А.А., Пруссак Б.Н. Машины для уплотнения грунтов // Строительное и дорожное машиностроение. 1957. N 8. С. 13-18.

22. Вибрации в технике: Справочник в 6 тт. Т. 4. Вибрационные процессы и машины / Под ред. Э.Э. Лавендела, М.: Машиностроение. 1981. 509 с.

23. Вибрационные машины в строительстве и производстве строительныхматериалов: Справочник / под ред. В.А. Баумана, И.И. Быховского, Б.Г. Гольдштейна. М.: Машиностроение, 1970. 548 с.

24. Голъдин A.M., Карамзин В.А. Гидродинамические основы процессов тонкослойного сепарирования. М.: Агропромиздат, 1985. 264 с.

25. Гончаревич И. Ф., Земское В.Д., Корешков В.И. Вибрационные грохоты и конвейеры. М.: Госгортехиздат, 1950. 216 с.

26. Гончаревич И. Ф., Фролов К.В. Теория вибрационной техники и технологии. М.: Наука, 1981. 320 с.

27. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применение. Т. 1,2. М.: ИЛ. 1952. 352 с., 318 с.

28. Григоръян А. Т. История механики гироскопических систем. М.: Наука, 1975. 126 с.

29. Григоръян А. Т., Фрадлин В. Н. История механики твердого тела. М.: Наука. 1982. 296 с.

30. Гудушаури Э.Г., Пановко Г.Я. Теория вибрационных технологических процессов при некулоновском трении. М.: Наука, 1988. 144 с.

31. Жгулев А. С. Поле траекторий вибрационной машины, приводимой синхронно вращающимися неуравновешенными роторами // Вибротехника: Межвуз. тем. сб. науч. тр. Вильнюс, 1979, 4(28). С. 69-77.

32. Ишлинский А.Ю. Ориентация; гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 670 с.

33. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Исследование устойчивости сложных механических систем. М.: Наука, 2002. 299 с.

34. Климов Д.М., Харламов С.А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. М.: Наука, 1978. 208 с.

35. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд. МГУ, 1980. 230 с.

36. Коловский М.З. Теория устойчивости движения. JL: Изд. ЛПИ, 1968. 113 с.

37. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.

38. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. М.: Наука, 1985. 286 с.

39. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Госте-хиздат. 1950. 471 с.

40. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. Т.2. М.: Изд. АН СССР. 1958. С. 7-263.

41. Магнус К. Гироскоп: Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.

42. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

43. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твчрдой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.

44. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

45. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М: Наука, 1987. 304 с.

46. Нагаев Р. Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. М.: Наука, 1978. 160 с.

47. Неклюдов М.К. Механизация уплотнения грунтов. М.: Стройиздат, 1985. 168 с.

48. Новожилов А.И. Исследование движения вибрационной машины для уплотнения грунта: Дис— к-та техн. наук. ЛИСИ.

49. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.

50. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. JL: Политехника, 1990. 272 с.

51. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука. 1991. 256 с.

52. Поваров А.И., Малова Н.Н. О работе центрифуги с гидроциклонной разгрузкой // Тр. научн.-техн. конференции ин-та "Механобр", 1968.

53. Руководство по уплотнению грунтов в промышленном и гражданском строительстве. М.: Стройиздат, 1966. 81с.

54. Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. Киев: Наукова думка,. 1977. 160 с.

55. Соколов В.И. Центрифугирование. М.: Химия, 1976. 408 с.

56. Справочник по обогащению руд. Основные процессы / Под ред. О.С. Богданова. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Недра, 1983. 381 с.

57. Уплотнение и укладка. Теория и практика. Svedala Dynapac, 2000. 90 с.

58. Учитель А.Д., Севернюк В.В., Лелюк В.П., Большаков В.И. Сортировка минерального сырья и шихт на вибрационных грохотах. Днепропетровск: Пороги, 1998. 195, с.

59. Фирсова А.Д. Устойчивость регулярного режима движения осесимметричного твердого тела, обкатывающегося по круговой направляющей // Аннотации докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 580.

60. Фирсова А .Д. Вибрационные поля, генерируемые дебалансными вибровозбудителями // Сборник докладов 5-ой Международной конференции "Проблемы колебаний" (ICOVP-2001). Москва: ИМаш, 2002. С. 487-491.

61. Фирсова А.Д. Динамика вибрационной плиты, движущейся по упруго-вязкому основанию // Сборник трудов XIV Симпозиума "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем", Москва-Звенигород, 2003. С. 140.

62. Харламов А. П. Лекции по динамике твердого тела. Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та, 1965. 221 с.

63. Хархута Н.Я., Васильев Ю.М., Охрименко Р.К. Уплотнение грунтов дорожных насыпей. М.: Автотрансиздат, 1958. 144 с.

64. Хархута Н.Я., Васильев Ю.М. Устойчивость и уплотнение дорожных насыпей. М.: Автотрансиздат, 1964. 216 с.

65. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд. АН СССР, 1962. 535 с.

66. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1989. 176 с.

67. Firsova A.D. Stationary oscillations of the operating part of vibration machine with two arbitrary located unbalance vibration exciters // Book of Abstracts of the Annual Scientific Conference GAMM 2002, Augsburg,2002. p. 44.

68. Firsova A.D. Motion of a vibro-excited rigid body on a rough plane // Book of abstracts of XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics"(АРМ 2002). St. Petersburg: IPME RAS, 2002. P. 42.

69. Firsova A.D. Vibrational movement of a rigid plate on a rough elastic-viscous foundation // Book of abstracts of XXXI Summer School "Advanced Problems in Mechanics "(АРМ 2003). St. Petersburg: IPME RAS, 2003. P. 40.