Динамика заряженной частицы в поле вращающегося намагниченного небесного тела тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Мастерова Мария Александровна

ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ НАМАГНИЧЕННОГО НЕБЕСНОГО ТЕЛА

01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 МАЙ 2015

005569015

Томск - 2015

005569015

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Томский государственный педагогический университет», на кафедре теоретической физики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Эпп Владимир Яковлевич

Официальные оппонепты:

Баранов Александр Михайлович, доктор фнзнко-математических наук,профессор. федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева», кафедра физики, заведующий кафедрой

Сарычев Валерий Тимофеевич, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», кафедра космической физики и экологии, профессор

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет»

Защита диссертации состоится 18 июня 2015 года в 1430 часов на заседании диссертационного совета Д 212.2G7.07, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на официальном сайте федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: www.tsu.ru/content/news/announcement of the dissertations in the tsu.php

Автореферат разослан "/У " апреля 2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Киреева Ирина Васильевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Поле магнитного дипольного момента и движение заряженных частиц в этом поле имеют большое практическое значение в астрофизике. Магнитные поля планет и звезд в хорошем приближении можно считать дипольными [1]. Случай, называемый стационарным, когда направление магнитного момента небесного тела совпадает с направлением оси вращения этого тела, является наиболее изученным. В частности, поле Земли хорошо аппроксимируется полем стационарного магнитного дипольного момента. Данная модель предсказывает существование замкнутых областей движения заряженных частиц в поле Земли, что согласуется с наблюдением, так называемых, радиационных поясов Ван Аллена [2].

В 1907 году Карл Штермер, исследуя движение заряженных частиц в ди-польном магнитном поле, численно нашел различные виды их траекторий. Штермером было показано, что помимо полной энергии частицы, азимутальная компонента обобщенного импульса движущейся частицы, также является интегралом движения [3]. Сохранение этих двух физических величин обусловлено независимостью от времени магнитного поля и цилиндрической симметрией относительно оси магнитного диполя.

Также в природе встречаются такие небесные тела как нейтронные звезды, пульсары, у которых направление магнитного момента отличается от направления оси вращения. В этом случае, во-нервых, магнитное поле становится переменным, вследствие чего индуцируется электрическое поле. Во-вторых, система теряет азимутальную симметрию и, следовательно, момент импульса частицы, движущейся в таком поле, уже не сохраняется, что существенно осложняет анализ и решение уравнений ее движения. Между тем, накоплен огромный наблюдательный материал, связанный с излучением заряженных частиц в электромагнитном поле пульсаров. Для построения теории этого излучения необходимо знать характер движения заряженных частиц в магнитосфере пульсара. Поэтому любые новые методы исследования динамики частиц в поле прецессирующего магнитного диполя являются чрезвычайно актуальными.

В настоящей работе предложен новый метод исследования динамики заряженных частиц в поле вращающегося небесного тела, магнитная ось которого не совпадает с осью вращения. Метод основан на использовании эффективной потенциальной энергии во вращающейся системе отсчета. Такой подход, в частности, позволяет определить условия, при которых в окрестности намагниченного небесного тела с наклонной магнитной осью существуют замкнутые области для движения заряженных частиц, а также позволяет исследовать геометрию этих областей.

Степень разработанности

Электродинамика магнитосферы пульсара и динамика заряженных частиц в поле наклонного ротатора изучались многими авторами [4-9]. Значительная часть этих и других работ посвящена динамике заряженных частиц разреженной либо плотной плазмы в сильном магнитном поле нейтронных звезд. Задача Штермера для параллельного ротатора была рассмотрена в работе [10]. Однако, вопрос о наличии радиационных поясов для частиц в магнитном поле небесного тела, ось вращения которого не совпадает с магнитной осью, до сих пор оставался открытым. Решению этой проблемы и посвящена данная работа. Найдены разрешенные и запрещенные зоны для движения заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного диполыюго момента и в поле однородно намагниченного вращающегося шара. Построены сечения эквипотенциальных поверхностей эффективной потенциальной энергии частиц в электромагнитном поле таких систем. Найдены частные решения уравнений движения такой частицы, соответствующие круговым орбитам.

Цели и задачи работы

Цели диссертационной работы:

1. Выяснить, возможно ли существование замкнутых областей пространства, в которые захватываются заряженные частицы (радиационных поясов) в окрестности намагниченного небесного тела, если его ось вращения не совпадает с магнитной осью.

2. Если такие области существуют, то определить условия их существования и исследовать геометрию этих областей.

3. Рассмотреть случай сильных магнитных и электрических полей, характерных для нейтронных звезд, когда на динамику заряженных частиц оказывает существенное влияние сила радиационного торможения.

Для достижения поставленных целей сформулированы следующие задачи:

1. Исследовать полную энергию заряженной частицы в поле прецессирующего диполыюго момента. Найти эффективную потенциальную энергию и исследовать ее на наличие экстремумов и стационарных точек.

2. Исследовать эффективную потенциальную энергию с учетом квадру-полыюго электрического поля в окрестности проводящего намагниченного небесного тела.

3. Решить задачи 1-3 для релятивистских заряженных частиц и исследовать нерелятивистское приближение.

4. Исследовать геометрию поверхности, определяемой условием, что вектор напряженности электрического поля намагниченного небесного тела ортогонален вектору напряженности магнитного поля (бессиловой поверхности).

Научная новизна

1. Впервые использован метод эффективной потенциальной энергии для исследования динамики заряженных частиц в системе, не обладающей сферической или аксиальной симметрией.

2. Найдены разрешенные и запрещенные зоны для движения нерелятивистской частицы в поле прецсссирующсго магнитного диполыюго момента. Найдены частные решения уравнений движения такой частицы, соответствующие перемещению вдоль окружности. Показано, что круговые орбиты заряженных частиц отвечают линиям или точкам касания двух разрешенных для движения областей.

3. Исследована динамика релятивистской заряженной частицы в поле прецсссирующсго диполыюго магнитного момента и в поле проводящей сферы. Построены сечения эквипотенциальных поверхностей для таких полей.

4. Впервые исследованы уравнение и геометрия бессиловой поверхности для поля вращающейся намагниченной проводящей сферы на расстояниях вплоть до светового цилиндра.

Теоретическая и практическая значимость

1. Метод эффективной потенциальной энергии для систем, не обладающих аксиальной симметрией может быть использован для исследования динамики заряженных частиц в окрестности различных асимметричных космических объектов, например, черных дыр.

2. Результаты исследования динамики заряженных частиц в поле прецсссирующсго магнитного диполыюго момента могут быть использованы для исследования радиационных поясов вокруг небесных тел, магнитная ось которых не совпадает с осью вращения.

3. Результаты исследования структуры бессиловой поверхности могут быть использованы при объяснении распределения релятивистской плазмы в магнитосфере нейтронных звезд и генерации космических лучей в окрестности этих звезд.

Методология и методы исследования

В диссертационной работе были использованы стандартные методы классической электродинамики, классической механики, общей теории относительности и математического анализа.

Положения, выносимые на защиту

1. Получена нерелятивистская функция Лагранжа во вращающейся системе отсчета и найден интеграл движения для нерелятивистской заряженной частицы в поле наклонного магнитного диполыюго момента. Найдена эффективная потенциальная энергия в поле наклонного вращающегося магнитного диполыюго момента. Показано, что существуют замкнутые эквипотенциальные поверхности, которые совместно вращаются с полем диполя. В этих поверхностях заключены частицы с определенной начальной энергией. Найдены стационарные точки эффективной потенциальной энергии. Проведено исследование на устойчивость движения частиц в непосредственной близости от стационарных точек.

2. Представлен вид эквипотенциальных поверхностей для различных значений интеграла движения. Исследованы области разрешенные и запрещенные для движения заряженных частиц. Показано, что круговые орбиты заряженных частиц соответствуют точкам, в которых касаются две разрешенные для движения области.

3. Найдена релятивистская функция Лагранжа для заряженной частицы в произвольном, равномерно вращающемся электромагнитном поле. Получен интеграл движения для такой системы Лагранжа. Определена эффективная потенциальная энергия на основе первого интеграла движения. Найдены стационарные точки потенциальной энергии и рассмотрено нерелятивистское приближение найденных решений. Представлены сечения эквипотенциальных поверхностей для положительно и отрицательно заряженных частиц в электромагнитном поле прецесссирующего диполя.

4. Проведен анализ поля вращающейся с нерелятивистской скоростью, однородно намагниченной сферы. Вычислена и исследована потенциальная энергия заряженных частиц вблизи поверхности однородно намагниченной сферы, магнитная ось которой не совпадает с осью вращения.

5. Исследована геометрия бессиловой поверхности ЕН = 0 в поле однородно намагниченной сферы на расстояниях вплоть до светового цилиндра.

Степень достоверности

Для решения поставленных задач использовались стандартные методы математического анализы и теоретической физики. Результаты кандидатской диссертации опубликованы в реферируемых журналах. Следствия из полученных результатов для различных частных случаев совпадают с результатами, полученными ранее другими авторами.

Личный вклад автора

Совместно с руководителем осуществлена постановка задачи, обсуждение результатов работы, формулировка выводов и положений, выносимых па защиту, написание научных статей по теме диссертации. Лично диссертантом произведены теоретические расчеты диссертационной работы и построены все графики.

Апробация работы

Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на следующих конференциях: Всероссийская с международным участием конференция «Наука и образование», Томск (2009, 2011, 2014); Международная школа-конференция «Современные проблемы физики», Минск, Беларусь (2012); Международная конференция «Quantum field theory and gravity», Томск (2012, 2014).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, из них 6 в журналах, входящих в перечень ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 106 страниц, включая 37 рисунков. Список литературы содержит 103 наименований.

Содержание работы

Во введении представлен обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность исследуемой работы, приведены полученные в диссертации новые результаты, указана их практическая ценность, и дано описание структуры диссертации.

Первая глава диссертации посвящена изучению динамики нерелятивистской заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного диполь-ного момента. В разделе 1.1 получены компоненты напряженности электрического (ErjEgjE^) и магнитного (Нт,Нв,Нполя в сферической системе

координат (г, 9, <р):

2 рк3

Ет = О, Нг = ——[cos a cos 0 + sin а sin 0С],

Ев = —-jp-C sin а, Нв = [cos c¿ sin 0 - sinacos0(C - р2 cosA)](l)

nfc3

Ep = -^-S sin а eos <9, Hv = sina(S - p2sinA),

где 0 < a < 7г - угол между вектором магнитного момента // и осью прецессии, с - скорость света, /х>0иш>0 - модуль и угловая скорость прецессии диполыюго момента, соответственно;

р = гш/с, А = p+ip-wt, к = ш/с, S = sin А—р cos А, С = cos A+psin А.

Показано, что вектор Е описывает эллипс в плоскости, ортогональной радиус-вектору. В направлении оси прецессии магнитного момента эллипс вырождается в окружность, а в экваториальной плоскости вектор Е колеблется в меридиональной плоскости.

С другой стороны, для компонент электрического поля в декартовой системе координат получено следующее тождество

+ = (2)

согласно которому, проекция на плоскость ху эллипса, описываемого вектором Е, представляет собой окружность.

В разделе 1.2 найдена функция Лагранжа для нерелятивистской заряженной частицы в поле прецессирующего диполыюго момента во вращающейся системе отсчета:

L = ^ [p2 + p2¿2 + p2(^ + w)2sin20] +^cosa(ip + üj)sin2e- (3)

—Жр sinа + ^sin^cos^(cos£ + Рsin£)+ í - Pcosо] >

где £ = -ф + р, тр = tp — ujt. Полная энергия для этой механической системы £ = ^í(p2 + p262 + p2sin2^2)-AmCVsin20-^cosasin20 +

¿Ш 1 с р

ери2 sin 2в

Н--2¿Tp-sm a(cos £ + Р sin Q (4)

является интегралом движения.

me

Первое слагаемое в (4), равное К = + р2в2 + р2 sin2 вф2) всегда

положительно и может играть роль кинетической энергии. Оставшуюся часть обычно называют эффективной потенциальной энергией. Ее можно записать в форме:

тс2 Г 2 . - N± sin 20 Л . 2iV|| sin2 в 1

Vef = -—{-p2sm2e + —-(cos^ + psinO--ü->, (5

2 [ P P J

где

еиш2 sin а ,T ени2 cosa

= —-4-• ^11 = —-i-•

me4 me4

В разделе 1.3 найдены релятивистские уравнения движения для частицы в поле прецессирующего магнитного диполя. Получены решения этих уравнений для круговых орбит. Показано, что существует 7 таких орбит.

В разделе 1.4 исследуется эффективная потенциальная энергия. Получены ее стационарные точки. Изучается устойчивость движения частиц в непосредственной близости от стационарных точек.

В стационарных точках эффективной потенциальной энергии частица может находиться в устойчивом, неустойчивом или безразличном состоянии равновесия. Для нахождения стационарных точек функции Vej решена система уравнений:

dVef dqi

= 0, (6)

где q¿ = р,в,ф. Получены координаты критических точек для функции Ve¡, которые для положительно заряженной частицы имеют следующий вид

р\ = ^ [eos а + ч/9-sin2 aj , ipi = 0, (7)

tan0j = — —— Гзсоза-Ь у/9 — sin2 al , 2 sin a L J

3 - — [cosa + \/9 - sin2aj , t/)2 = тг, (8)

P'i =

4

tan 02 = —г— [з eos a + \/9 — 2sma L

sin2 a

Для отрицательно заряженной частицы получены следующие стационарные точки:

№ 4

Рз = [cosa - \Л) — sin2aj , = 0, (9)

tan 6¿ = —— Í—3 eos а + л/9 - sin2 al , 2sma L J

= —— | cos a - л/9 — sin2 a] , ip4

(10)

tan = —-Гз cos a - \/9~

2 sin a L

где

тс4

(П)

В случае в = — имеется две стационарные

ж

точки:

Р5=М}, в, = ^ =

I ЛП7 Л Т , 37Г

Ро = l-^ljf! ^0=2' = у-

(12)

(13)

Прямыми вычислениями показано, что полученные стационарные точки в лабораторной системе отсчета соответствуют движению частицы по окружности с постоянной скоростью. Устойчивость полученных решений (7) - (13) проверяется с помощью критерия Сильвестра. Исследовано также решение для кругового движения частиц в экваториальной плоскости

где П = (1/2и (р0 - произвольная постоянная. Это решение справедливо для положительного заряда, если а < тг/2 и для отрицательного, если а >

Устойчивость этих решений определяется с помощью разложения уравнений движения в ряд по приращению координат в окрестности круговой орбиты и использовании теоремы Ляпунова.

В разделе 1.5 представлен вид поверхностей Vef = const, которые ограничивают разрешенные для движения частиц области.

Стационарные точки находятся на расстоянии р порядка I./VI1/3 от начала координат, поэтому для удобства введена переменная р = p|_/V|-1/3 для того, чтобы р ~ 1, и переобозначена потенциальная энергия V = 2Vef/(mc2N2^). Области, разрешенные для движения частиц, определяются неравенством:

где постоянная С соответствует полной энергии частицы. Показано, что стационарные точки с координатами (7), (9) располагаются в точках касания соседних разрешенных областей. Для стационарных точек (7) С « -2.314 и эквипотенциальная поверхность для этого значения С показана на рисунке 1. Стационарные точки являются точками примыкания областей А и С. Для решений (9) С « —0.816. Этот случай изображен на рисунке 2.

е=2> Р = 2Щ> v = nt + vо,

7Г

(14)

тг/2.

V < С,

(15)

Рис. 1. Эквипотенциальные поверхности для С = —2.314, д = 1. А и С - разрешенные области, В запрещенная область.

-1.0

Рис. 2. Эквипотенциальные поверхности для С = -0.816, д = — 1. А и С - разрешенные области, В - запрещенная область.

В разделе 1.6 подведены итоги первой главы.

Вторая глава посвящена изучению динамики релятивистской заряженной частицы в поле вращающейся проводящей сферы с наклонной магнитной осью.

В разделе 2.1 проводится анализ поля вращающейся намагниченной сферы, полученного в работе [4]. Разложением выражения для этого поля в ряд до первого порядка по малой а = шг0/с, где и; - угловая скорость вращения, го - радиус сферы, получены компоненты напряженности магнитного поля, совпадающие с соответствующими выражениями из (1), а также компоненты напряженности электрического поля

цк3

2

Ег = —;—¡—[соза(3соз20 + 1) + эт а вт 20(3(7 — р2созА)], Ар

(16)

Ев = - ^ Р2

цкл Г / а2 \ а2

С эт а ( 1--- сое 26 ) + — сое а эт 20

V Р2 ) Р

Е<р = эт а сое 0 (1 — —

Р \ Р2

которые являются суперпозицией дипольного и квадруполыюго полей. Квад-рупольная часть состоит из членов, убывающих с расстоянием как которые на больших расстояниях р » а обращаются в ноль. В результате, электромагнитное поле на достаточно больших расстояниях близко к полю вращающегося магнитного диполя.

В разделе 2.2 найден интеграл движения для частицы в произвольном электромагнитном поле, вращающимся с постоянной угловой скоростью

ш. Четырехмерный потенциал такого поля в инерциалыюй системе отсчета имеет вид:

А" = А"(г, d,Lp — eut + р).

Во вращающейся системе отсчета х"' = (et, г, где ip = ip — wt, поле не зависит от времени. Таким образом, соответствующий обобщенный импульс сохраняется. Лагранжиан заряженной частицы с массой m и зарядом е, движущейся в электромагнитном поле с потенциалом А" , во вращающейся системе отсчета имеет вид [11]:

т и' е ли'

L = —и uv> + -uV'A , 2 с

(17)

где и - четырехмерная скорость частицы.

Временная компонента Р(у обобщенного 4-импульса

дЬ е л

Ро' = = тщ> + -Ао<

(18)

является интегралом движения. Для поля прецессирующего дипольпого момента имеем:

pQ, = m(ct — — r2í/jsin2 9) — sin0(cosasin 9 — С sin a eos 0). (19) с сгг

С использованием интеграла движения (19), в разделе 2.3 найдена эффективная потенциальная энергия релятивистской заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного диполя. Полная энергия частицы в искривленном пространстве определяется следующим образом

Я» = у^Гдг + еАс,

(20)

где /3 = и/с, V - скорость частицы, д^^ - метрический тензор во вращающейся системе отсчета

/1 - р2 sin2

V"' =

0 0 —rp sin2

0 -10 0

0 0 -г2 0

2 о П Л „2 -„2,

(21)

у —rp sin 0 0 0 -г sin 0у Используя выражение для кинетической энергии

( 1

Т = тс v'píw

' 7Г

(22)

получаем потенциальную энергию заряженной частицы в поле магнитного

диполя U = сро' — Т:

U = тс2 ( л/ 1 - р2 sin2 в + ~ sin 20 (cos f + р sin Л - ^-sin2^ . V '¿Р р J

В разделе 2.4 исследована потенциальная энергия (23) на наличие стационарных точек. Показано, что в нерелятивистском пределе р <С 1 полученные точки совпадают с точками (7)-(13). Рассмотрена асимптотика больших N. характерных для нейтронных звезд. Положения стационарных точек в экваториальной плоскости найдены аналитически

(24)

Координата р в уравнении (24) монотонно растет с ростом Ы, и при N -> оо асимптотически приближается к единице. Вне экваториальной плоскости стационарные точки при больших N найдены численно как точки касания разрешенных для движения областей. Как видно из рисунков (3)-(4) стационарные точки вне экваториальной плоскости также приближаются к световому цилиндру при N ^ оо.

0.9990 0.9993 0 9994 0.9996

/ (

/

) / - л

/у/^

0.80 0.8? 0 90 0,95

Рис. 3. Сечения эквипотенциальных поверхностей для N = 100,77 = тг,а = 60.

Рис. 4. Сечения эквипотенциальных поверхностей для N = -100,77 = 0, а = 60.

В разделе 2.5 представлены сечения эквипотенциальных поверхностей для положительно и отрицательно заряженных частиц, определенные уравнением U = const. Потенциальная энергия (23) представлена в виде

U

У = —» = у 1 - р2 sin

тс

NI /--Nn

~ VI + р2 Sin 29 cos 77--- sin2 9, (25)

2р р

где r¡ = ip + p — o", sin a = — . eos a = —, .

y/l+p2 V1+P2

Обнаружены значительные отличия между структурой эквипотенциальных поверхностей для положительных и отрицательных частиц. Если изменить знак заряда в выражении для потенциальной энергии (согласно определению (11) знак N совпадает со знаком заряда частицы), то «потенциальные холмы» сменяются «потенциальными ямами» и наоборот. На рисунке 5 изображены профили для N = 0.1. В этом случае энергетические уровни

Рис. 5. Сечения эквипотенциальных поверхностей для N — 0.1, г) = 0.

Рис. 6. Сечения эквипотенциальных поверхностей для N = -0.1,7? = 0.

образуют эквипотенциальную долину в виде тора вокруг центра поля. Существует две разрешенные области для движения частиц с энергией меньше чем ~ 0.8: одна из них это замкнутая область внутри тора и другая область вне цилиндрической поверхности. Сечения эквипотенциальных поверхностей для N = —0.1 показаны па рис. 6. Замкнутые области в этом случае имеют форму двух симметричных гантелеобразных фигур, вытянутых примерно по магнитной оси.

В разделе 2.6 исследуется потенциальная энергия заряженной частицы в поле абсолютно проводящей вращающейся сферы.

В этом случае потенциальная энергия заряженных частиц с учетом квад-рупольного электрического ноля имеет вид:

V = \J\ - р1 sin2 в +

N«

2 р

--L sin"

sin20(cos£ + psin£) —

1

>2 / 3p p2'

(26)

Величина а для реальных небесных объектов значительно меньше единицы.

-006 -0.04 -002 ООО 002 0.04 0.06

Рис. 7. Сечения эквипотенциальных поверхностей для N = 0.1 ,г) = 0.

-0 (16 -0 04 - 0 02 0 00 0 02 0 04 0 06

Рис. 8. Сечения эквипотенциальных поверхностей для N =-0.1,77 = 0.

Например, для Земли, Юпитера и пульсара в Крабовидной туманности константа а равна 1.5 ■ 10"°, 4 ■ 10~5 и 7.6 • Ю-3, соответственно. На рис. 7 и 8 построены сечения эквипотенциальных поверхностей для а = 0, 01.

Отличительным свойством потенциальной энергии в этом случае является то, что минимум потенциальной энергии для отрицательных частиц и области захвата отделены от поверхности сферы как видно из рис.(8). Области захвата для положительных частиц так же имеют форму тора окружающего звезду и поверхность звезды вдоль магнитного экватора (рис. 7). Форма сечений в пределах области р ~ а не меняется с ростом N. Причина в том, что первый член в уравнении (26) близок к единице в случае малых р и им можно пренебречь.

Последний раздел 2.7 посвящен обсуждению основных результатов второй главы.

Третья глава посвящена исследованию геометрии бессиловой поверхности во вращающейся системе отсчета для разных значений приведенного радиуса а намагниченной вращающейся сферы с наклонной магнитной осью. Найден векторный потенциал электромагнитного поля такой сферы. Получено уравнение бессиловой поверхности для всего пространства внутри светового цилиндра. Построены сечения бессиловой поверхности для разных значений угла наклона магнитной оси.

В разделе 3.1 дается понятие бессиловой поверхности и приведен обзор литературы по этой теме.

В разделе 3.2 найдено уравнение бессиловой поверхности во вращаю-

щейся системе отсчета па расстояниях до светового цилиндра:

2 2 Л 4 eos 0(cos 0 eos а + sin 0 sin a(cos(^ + p) + + P))> \

^ \ sina((cos(?/> + p) + psin(ip + p)) cosa sin в — sin a cos0)/

Показано, что уравнение бсссиловой поверхности в пнерциалыюй системе отсчета совпадает с уравнением (27).

Если заряженная частица находится на бссснловой поверхности, то электрическое поле не ускоряет эту частицу вдоль магнитного поля. В сильных полях, когда радиационное трение существенно влияет на движение заряженных частиц, они могут накапливаться на бессиловой поверхности, вращаясь вместе с этой поверхностью вокруг оси Z [6]. В случае сильных полей и небольших расстояний от оси вращения можно, очевидно, пренебречь центробежной силой, действующей на частицу. Но на больших расстояниях центробежная сила становится существенной, и ее следует учитывать при анализе движения частиц.

Найдено расстояние от оси вращения, на котором центробежная сила (Fc) сравнима с силой электромагнитного взаимодействия (Fe):

Fe ~ (28)

где R = р sin в - цилиндрическая координата, равная расстоянию от оси вращения в единицах радиуса светового цилиндра.

Из формулы (28) видно, что в случае малых N центробежной силой можно пренебречь в области R -С VÑ, а в случае больших N - во всем пространстве, кроме малой окрестности светового цилиндра.

В разделе 3.3 представлены сечения бессиловой поверхности плоскостью тр = 0, я-, проходящей через ось вращения и магнитную ось, и плоско-7Г 37Г

стью щ) = —, ~2~j Для разных углов наклона магнитной оси к оси вращения намагниченного тела. Рассмотрены случаи для разных значений а.

Последний раздел 3.4 посвящен обсуждению основных результатов третьей главы.

В заключении приведены основные результаты работы.

Заключение

Итоги настоящей диссертационной работы состоят в следующем.

1. С целью выяснения возможности существования «радиационных поясов» в окрестности намагниченного небесного тела, магнитная ось которого не совпадает с осью вращения, введена эффективная потенциальная энергия. Доказано, что в поле прецессирующего диполя существуют замкнутые эквипотенциальные поверхности, вращающиеся совместно с полем диполя. В пределах этих эквипотенциальных поверхностей

движутся частицы, начальная энергия которых ниже соответствующего уровня. Найдены круговые орбиты заряженных частиц соответствующие точкам, в которых соприкасаются две разрешенные для движения области. Показано, что эти орбиты неустойчивы. Построены эквипотенциальные поверхности для различных значений интеграла движения, для положительно и отрицательно заряженных частиц.

2. Изучена динамика движения релятивистской заряженной в поле вращающейся проводящей сферы, магнитная ось которой наклонена относительно оси вращения. Проведен анализ. Найден четырехмерный потенциал поля вращающейся намагниченной сферы. На основе сохраняющейся временной компоненты четырехмерного обобщенного импульса введена эффективная потенциальная энергия. Найдены стационарные точки этой потенциальной энергии. В приближении р<< 1 полученные решения совпадают с решениями для нерелятивистского случая. Представлены сечения эквипотенциальных поверхностей для положительно и отрицательно заряженных частиц. Показано, что с ростом магнитного поля все стационарные точки эффективной потенциальной энергии асимптотически приближаются к поверхности светового цилиндра.

3. Получено уравнение для бессиловой поверхности, которое может быть использовано для описания динамики частиц на расстояниях до светового цилиндра а не только в области р <С 1. В этом случае, необходимо принимать во внимание, что бессиловая поверхность будет накручиваться па ось вращения если учитывать расстояние р ~ 1. Единственным исключением является тонкий пояс на внутренней стороне светового цилиндра, где центробежная сила становится сравнима с силой электромагнитного взаимодействия.

Результаты, полученные в диссертации могут быть использованы для исследования радиационных поясов в окрестности намагниченных небесных тел, с магнитной осью наклоненной относительно оси вращения. Разработанный метод эффективной потенциальной энергии может быть применен для анализа движения частиц в системах, не имеющих аксиальной симметрии.

Цитированная литература

[1] Stormer С. The Polar Aurura / С. Stormer. - Oxford : Oxford at the Clarendon Press, 1955. - 403 p.

[2] Van Allen J. A. Radiation Around the Earth to a Radial Distance of 107,400 Kilomètre. / J. A. Van Allen, L. A. Frank. - London : Nature, 1959. - P 430-434.

[3] Lemaire J. F. The cffect of a southward interplanetary magnetic field on stormcr's allowed régions // Advances in Space Research. - 2003. - Vol. 31, No 5. - P. 1131-1153.

[4] Deutsch A. J. The electromagnetic field of an idealized star in rigid rotation in vacuo / A. J. Deutsch // Ann. d'Astrophys. - 1955. Vol. 18. P. 1-10.

[5] Cohen J. M. Pulsar magnetosphere / J. M. Cohen, A. Rosenblum // Astrophysics and Space Sciens. - 1972. - Vol. 16. - P. 130-328.

[6] Истомин Я. H. Заполнение плазмой магнитосферы нейтронных звезд: динамика движения электронов и позитронов / Я. Н. Истомин, Д. Н. Собьянин // ЖЭТФ. - 2009. - Т. 136, № 3(9). - С. 458-475.

[7] Kaburaki О. Determination of the electromagnetic field produced by a magnetic oblique rotator / O. Kaburaki // Astrophysics and Space Sciens. - 1981. - Vol. 74. - C. 333-356.

[8] Cohen J. M. Neutron star electrodynamics in curved space / J. M. Cohen, M. W. Kearney // Astrophys.Space Sei. - 1980. - Vol. 70. - P. 295-328.

[9] Beskin V. S. Electrodynamics of pulsar magnetospheres / V. S. Beskin, A. V. Gurcvich, Ya. N. Istomin // Soviet Physics - JETP. - 1983. - Vol. 58. -P. 235-253.

[10] Thielheim К. О. Particle trapping near a parallel rotator / К. O. Thielheim, H. Wolfsteller // Journal of Physics A. - 1990. - Vol. 23, № 4. - P. 583-593.

[11] Ландау Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - Москва : Физматлит, - 2003. - 536 с.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, включенных в Перечень российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата паук, и в Web of Science:

1. Epp V. Effective potential energy for relativistic particles in the field of inclined rotating magnetized sphere / V. Epp, M. A. Masterova // Astro-physics and Space Sciens. - 2014. - Vol. 353. - P. 473-483. - 0,68 / 0,34 п.л.

2. Epp V. Effective potential energy in Stormer's problem for an inclined rotating magnetic dipole / V. Epp, M. A. Masterova // Astrophysics and Space Science. - 2013. - Vol. 345. - P. 315-324. - 0,63 / 0,31 п.л.

3. Masterova M. A. Dynamics of relativistic particles in the field of highly magnetized rotating sphere / M. A. Masterova // Tomsk State Pedagogical University Bulletin. - 2014. - Vol. 12. - P. 172-176. - 0.31 п.л.

4. Epp V. Y. The Poynting vector of an oblique magnetic rotator / V. Y. Epp, M. A. Masterova // Tomsk State Pedagogical University Bulletin. - 2011. - Vol. 8. - P. 44-48. - 0,31 / 0,15 п.л.

5. Epp V. The field of precessing magnetic dipole / V. Epp, M. A. Masterova // Tomsk State Pedagogical University Bulletin. - 2012. - Vol. 13. - P. 51-54. - 0,31 / 0,15 п.л.

6. Мастерова M.A. Вектор Умова-Пойтинга диполыюго электрического и дипольиого магнитного моментов / М. А. Мастерова, Ю. Г. Янц // Вестник Адыгейского государственного университета. - 2011. - No 4. С. 33-42. - 0,62 / 0,31 п.л.

Публикации в других научных изданиях-.

1. Колесникова (Мастерова) М. А. Поле прецессирующего магнитного дипольного момента / М. А. Колесникова // Наука и образование: материалы XIII Всероссийской с международным участием конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 20-24 апреля 2009 г. -Томск, 2009. - Т. 1. - С. 146-150. - 0,31 п.л.

2. Мастерова М.А. Вектор Умова - Поинтннга наклонного магнитного ротатора / М. А. Мастерова // Наука и образование: материалы Всероссийской с международным участием конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 25-29 апреля 2011 г. - Томск, 2011. - Т. 1. -С. 15-20. - 0,31 п.л.

3. Мастерова М.А. Исследование уравнений движения заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного момента / М. А. Мастерова // Наука и образование: материалы Всероссийской с международным участием конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 25-29 апреля 2011 г. - Томск, 2011. - Т. 1. - С. 20-25. -0,31 п.л.

4. Мастерова М.А. Движения заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного /' М. А. Мастерова // Современные проблемы физики: международная школа-конферснцня молодых ученых и специалистов. Минск, 13-15 июня 2012 г. - Минск, 2012. - С. 79-84. -0.37 п.л.

5. Эпп В. Я. Метод эффективной потенциальной энергии для исследования поля прецессирующего магнитного дипольного момента / В. Я. Эпп, М. A. Masterova // Уральский научный вестник. - 2014. - No. 24. - С. 48-54. - 0,4 / 0,2 п.л.

Издательство Томского государственного педагогического университета

ff/¿¿mmУсл.печ. л.: 1,8 Уч.изд. л.: 1,25

////// ' "• Заказ т S71/H

Гарнитура: Times New Roman

Отпечатано в Типографии ФГБОУ ВПО «ТГПУ» г. Томск, ул. Герцена, 49. Тел.: (382-2)52-12-93. E-mail: tipograf@tspu.edu.ru