Динамика заряженных частиц в токовых слоях бесстолкновительной плазмы магнитосферы Земли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ МВ ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Оводков Денис Александрович

Динамика заряженных частиц в токовых слоях бесстолкновительной плазмы магнитосферы Земли

Специальность 01 01 03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации ча соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Научный руководитель д ф -м н В Ю Попов

МОСКВА, 2007

□0307 176 1 С

003071761

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им М В Ломоносова

Научный руководитель

Доктор физико-математических наук Попов Виктор Юрьевич

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук Кропоткин Алексей Петрович

Кандидат физико-математических наук Васильев Алексей Алексеевич

Ведущая организация

Полярный геофизический институт, Кольский научный центр РАН, г Апатиты, Мурманская обл , Россия

Защита состоится 17 мая 2007 г в 16 часов на заседании диссертационного совета К 501 001 17 в Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, Физический факультет МГУ, С 9^/1 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им M В Ломоносова

Автореферат разослан 09 " 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

П А Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Исследование явлений, происходящих в хвосте магнитосферы Земли, занимает важное место в космической физике Спутниковые данные свидетельствуют о том, что в хвосте магнитосферы могут образовываться тонкие токовые слои (TTC) с характерным масштабом порядка ионного лар-моровского радиуса выполняющие роль резервуаров энергии солнечного ветра, которая может запасаться и взрывным образом высвобождаться во время геомагнитных возмущении - суббурь TTC могут иметь сложную внутреннюю структуру, например, два максимума плотности тока (так называемые расщепленные, или бифурцированные TTC), несимметричные профили плотности тока и магни гного поля По своим динамическим свойствам эти токовые слои являются метастабильными т е могут существовать в течение достаточно долгого промежутка времени, сопоставимого с фазой геомагнитного возмущения, а потом взрывным образом разрушаться Структура и динамика тонких токовых слоев (TTC) в бесстолкнови-телыгой плазме изучаются в рамках кинетической теории, где движение разных групп частиц определяет свойства токового слоя как целого Процессы хаотического рассеяния частиц в TTC, исследуемые в настоящей работе, могут играть ключевую роль как в формировании TTC так и в их разрушении во время геомагнитных возмущений поэтому их моделирование является актуальной задачей

Цель работы

Целью работы является получение аналитических и численных оценок динамики заряженных частиц в бифурцированных тонких токовых слоях (с масштабом неоднородности порядка ионного ларморовского радиуса) в бесстолкновительной магнитосферной плазме, а также исследование влияния геометрии токового слоя на коллективное движение плазмы

Задачи исследования

1 Построение модели взаимодействия заряженных частиц с токовым слоем, позволяющей с единых позиций рассматривать как классические

токовые слои (ТС) (с "кояоколообразным" профилем плотности тока), так и бифурцированные ТС, обнаруженные относительно недавно в магнитосфере Земли

2 Создание комплекса программ, позволяющего проводить эффективный численный анализ динамики как отдельных частиц, так и ансамблей частиц в бифурцированных" токовых слоях

3 Получение аналитических оценок основных характеристик движения заряженных частиц в широком диапазоне изменения основных параметров токового слоя и ансамбля частиц

Методы исследования

Основными методами математического моделирования, разработанными в данной диссертации, являются численные методы, реализованные в виде комплексов программ В работе также получены аналитические оценки важных характеристик взаимодействия заряженных частиц с TTC скачков магнитных моментов и адиабатического инварианта Iz — ^ j> zdz

Научная новизна

Разработаны новые эффективные алгоритмы и комплексы программ, которые позволяют проводить эффективный анализ динамики частиц в TTC Использованы современные вычислительные средства, позволяющие значительно экономить компьютерные ресурсы, реализован удобный интерфейс пользователя Проведено аналитическое исследование динамики частиц в бифурцированных токовых слоях Получены аналитические формулы для скачков магнитных моментов частиц, являющиеся обобщением полученной ранее формулы для классических "колоколообразных ' TTC Получено аналитическое выражение для адиабатического инварианта движения /2 Результаты были подтверждены численными экспериментами и находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными, а также результатами других исследователей Разработанные аналитические методы и численные алгоритмы позволяют с единых позиций проводить рассмотрение как ' колоколообразных" так и бифурцированных ТС

Теоретическая и практическая значимость

Впервые в рамках одной модели рассмотрена динамика заряженных частиц (ионов) в ТС сложной конфигурации "колоколообразных" и бифур-цированных

Впервые в численном эксперименте подробно изучена динамика заряженных частиц в широком диапазоне основных физических параметров Приведен сравнительный анализ методов сечений Пуанкаре

Впервые получены аналитические выражения для скачков магнитных моментов ионов и адиабатических инвариантов движения в бифурциро-ванных ТС

Предложен аналитический аппарат позволяющий получать качественную картину динамики частиц без ресурсоемких численных экспериментов на ЭВМ А именно получены формулы, определяющие положения центров рассеяния магнитных моментов в бифурцированных токовых слоях произвольной конфигурации, а также алгебраические формулы для расчета величин скачков магнитных моментов

Достоверность и обоснованность

полученных результатов подтверждаются

1 Тестированием алгоритмов и комплексов программ на изученных ранее тестовых задачах

2 Совпадением полученных аналитических оценок и результатов прямого компьютерного моделирования

3 Хорошим согласием теоретических и численных результатов с результатами других исследовательских групп и экспериментальными спутниковыми данными

Положения, выносимые на защиту

1 Созданы эффективные алгоритмы и комплексы программ для моделирования нелинейной динамики заряженных частиц в бифурцированных токовых слоях, характерных для хвоста магнитосферы Земли

2 В численных экспериментах методом сечений Пуанкаре впервые исследована динамика частиц в бифурцированных токовых слоях с масштабом неоднородности порядка ларморовского радиуса ионов Численно

и аналитически исследованы процессы рассеяния магнитных моментов заряженных частиц в бифурцированиых токовых слоях с областью неоднородности много больше ионного ларморовского радиуса

3 Получены аналитические выражения для адиабатического инварианта Iz и скачков магнитных моментов при движении частиц в токовых слоях с профилями плотности тока произвольной формы, а также аналитические оценки, позволяющие находить центры рассеяния магнитных моментов

Апробация работы

Диссертация выполнена в МГУ им М В Ломоносова Результаты работы доложены на съездах, симпозиумах, конференциях

• The Second Workshop on Thm Current Sheets,College Park, Maryland April 2004

• International conference on Problems of Geocosmos St Petersburg, Russia, May 2004

• Russian-Chinese Conference on Investigations of Space Plasma, Tsyndao China, October 2005

• Международный симпозиум EGO в Вене, Австрия, 2005г

• 7th International Symposium for Space Simulations (ISSS-7), Ed Kyoto University, Kyoto, Japan, March 2005

• Ломоносовские чтения Москва, апрель 2006г

• Выездной семинар ИКИ РАН, Таруса, 2006г

• Семинар НИИЯФ МГУ по космической электродинамике Москва, февраль 2006г

• Ломоносовские чтения Москва, апрель 2006г

• Конференция молодых ученых, ИКИ РАН, апрель 2006г

• 6-th international conference on Problems of Geocosmos, St Petersburg, Russia, May 2006r

• Семинар НИИЯФ МГУ по космической электродинамике Москва, март 2007г

Публикации

Основные результаты, полученные автором и изложенные в диссертации, опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата По материалам диссертации опубликованы 2 научные работы и сделано 12 докладов на научных конференциях Все результаты, полученные автором во время работы в составе научных коллективов, включены в диссертацию с согласия и одобрения соавторов

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав разбитых на параграфы заключения и списка литературы, содержащего 89 наименований Диссертация содержит 57 рисунков Нумерация формул и рисунков своя в каждой главе Обьем диссертации составляет 97 страниц, включая 8 страниц цитированной литературы

Работа выполнена в Московском государственном университете им M В Ломоносова

Содержание работы

СТРУКТУРА ТОКОВОГО СЛОЯ В ХВОСТЕ МАГНИТОСФЕРЫ ЗЕМЛИ

В этом разделе диссертации приводится обзор литературы по спутниковым измерениям в токовом слое хвоста магнитосферы Земли, его структуре, основным свойствам [1, 2] Сделан детальный обзор свойств недавно открытых в Mai нитосфере предельно тонких токовых слоев, как нерас-щепленных так и расщепленных (бифурцированных) Приведено описание классической модели Харриса [3] Подробно рассмотрена квазиадиабатическая теория движения заряженных часгиц в TTC Сделан обзор работ по изучению нелинейной динамики частиц в нерасщеиленных токовых слоях Рассмотрены общие свойства движения заряженных частиц в геомагнигосферном хвосте Земли, в рамках рассматриваемой модели

В = B0Bx{Z/L)ex+Bnez, (1)

где BX{Z) —> ±1 при Z —> ±оо, Вп, Во- соответственно перпендикулярная и продольная компоненты магнитного ноля, причем Вп Во, а -ширина области обращения магнитного поля Рассмотрены существующие на сегодняшний день подходы и методы для изучения динамики частиц в нерас-

щепленных ТС метод сечений Пуанкаре [4], квазиадиабатическая теория [5], адиабатическая теория [6] методы расчета скачков магнитного момента [7]

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В РАСЩЕПЛЕННЫХ ТОКОВЫХ СЛОЯХ

В данной главе рассматривается динамика в бифурцированных TTC различных конфигураций с плавными и резкими пиками тока, симметричными и несимметричными профилями плотности тока Для исследования соотвествующие профили магнитного поля были заданы как суперпозиция расположенных рядом двух токовых слоев Расстояние между максимумами плотности тока определяется параметром Zc, а ширины максимумов -параметрами 1цец и Lnght соответственно

ад-зМ^ + Чтг*)} <2)

1 1 \ Lnght J \ ЦеЦ } )

Было проведено численное моделирование движения заряженных частиц, характеризуемое гамильтонианом

I = Itâ+PÎ) + hay(z) ~ Koxf, (3)

где

1 2

av{z)

(4)

2, , ((г - zc)a Ï о i v. f (z + zc)a 1 alr ln ch < --f + of In ch ^ --тр^— >

Здесь использованы следующие безразмерные переменные

Px,y,z , л {У, Z, Zc} X ру . .

Pxy,z — — > {y,z,zc} =-/—г , х = -т=-тм-, (5)

где bn = cr = \ —, ро - ларморовский радиус иона

Во' у ро'

Подробно рассмотрен весь диапазон энергий частиц, начиная от <х = 1, что соответствует полностью размагниченным ионам, и заканчивая значениями а = 30, что соответствует полностью замагниченным ионам Подробно рассмотрены различные конфигурации магнитного поля гиперболическая модель 'колоколообразная", гиперболическая расщепленная и гиперболическая расщепленная модель с асимметричными максимумами

профиля тока Для проверки разработанного алгоритма расчета было использовано сравнение с результатами, полученными ранее в работах [8],[9] Получено хорошее совпадение результатов с изученной ранее гиперболической моделью токового слоя

ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТОСФЕРЕ ЗЕМЛИ С ОБЛАСТЬЮ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОРЯДКА ИОННОГО ЛАРМОРОВ-СКОГО РАДИУСА

В данной главе проводится исследование особенностей движения заряженных частиц при неоднородностях магнитного поля порядка ларморовского радиуса частицы Аналитическое описание тесным образом связано с теорией адиабатических инвариантов движения /2 [10,11] В рассматриваемой нами системе параметром адиабатичности, сохраняющимся при движении заряженной частицы, является величина

Впервые в работе [10] было получено аналитическое значение для адиабатического инварианта /г без учета скачков при пересечениях сепаратрисы частицей В данной работе приводится обобщение алгоритма вычисления адиабатического инварианта для двугорбого профиля магнитного тока Для аппроксимации векторного потенциала магнитного поля была предложена пятилинейная модель

где аиЬг, с, - постоянные коэффициенты Для даннной пятилинейной модели были получены аналитические формулы периода колебаний заряженных частиц и величины адиабатических инвариантов движения Получена формуаа для периода колебаний частицы в режиме с пересечением нейтрального слоя, для невырожденного случая а( ^ 0, которая записывается следующим образом

(6)

Ау(г) = агг2 + Ь^г + с,, г = 1,5

(7)

У" 2 ЬК Г'_^

/

(8)

Здесь использованы следующие обозначения

к= ,

(9)

О, - + W. ft = ф^-йЩ + 2—?, (10)

b, Ct + л/El - bnax , c, - \fE~z - bnax . .

P. = —, g. =-, ç, =-, (12)

a, a, a,

JS2 = z + (Ay(z) - bnax)\ (13)

(14)

_ -bt - \/62 - 4a,(с, - 6nax - -у/Д,)

Zmin —

2 a,

—bt + ^Jbf — 4a, (c, - 6„<x:e - \/Ж) *ma* = ^ (15)

Получено выражение для адиабатического инварианта

'mas 1 1

где

тг*Лв l3fc2'

J=îmtTl ' *

V(Î), = ^{i-m-kw, и = yi-^+f)2 (i7)

Здесь

jç<x, = Г dz = f"' z4z

A Л. A Л, va-*2)a-ад

- эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода, соответственно

Для периода колебаний в случае движения без пересечения плоскости Z = О получена следующая формула

Imax if

^ = Е (1Э)

Ci»

г-îmtn

Здесь

А. = (20)

V 4 - ^ V 4- - 9Î

Рис 1 Потенциальная яма движения частицы в пятилинейной модечи токового слоя

ГДе Zrnm И Zmax определяются следующим образом (рис 1) —b - л/Ь2 — 4а(с - Ьп<тх — \fE~z)

Zmml — %тах 1 —

%тгп2 ~

2 a

-ь-y/W - 4a(c - bnax + \/Ez)

2 a

-b+y/tf - 4a(c - bnax - -JWZ)

2 a

-ь + Vv — 4a (c — bnax + y/Wz)

2 а

(22)

(23)

(24)

(25)

Получена, формула для адиабатического инварианта h = ^ §Pzdz

*maz л -1

= £ ~^4 (26)

Для численного моделирования динамики заряженных частиц в бифур-цировапных TTC был реализован программный комплекс на базе пакета Matlab 7 0с возможностью графической визуализации полученных результатов Возможности комплекса позволяют в полностью автоматическом режиме по заданным параметрам модели Lieft, Lnght, Zc определять параметры аппроксимации а,,6,,Сг, находить граничные точки склеики сегментов, точки отражения частиц zmm, zmax, zmm\, zmaxi, zmln2, zmax2 Для

проведения расчетов были использованы два метода вычислений первый основан на численном интегрировании, второй - на основе полученных аналитических выражений Получено совпадение результатов, что свидетельствует о надежности полученных численных и аналитических алгоритмов

С помощью метода сечений Пуанкаре было продемонстрировано что расщепление слоя вызывает увеличение относительного объема рассеянной плазмы, что может играть кршическую роль в эволюции структуры тонкого токового слоя [12] Получена формула для определения эффективного параметра адиабатичности ке^у

Г Ьпаец, (7е// > 1, £// 1 &п(1+СГе//), СТе// < 1

Здесь <те// = определяет отношение области обращения

поля к гирорадиусу вращения ро в случае ''двугорбой" конфигурации ТС Было показано, что управляющими параметрами, определяющими размеры фазовых областей, могут служить параметр адиабатичности ке//> а также расстояние между максимумами плотности тока и отношение их ширины к ларморовскому радиусу ионов а Увеличение фазовой области захваченных частиц сопровождается общим увеличением времени жизни плазменных частиц в токовом слое

ДИНАМИКА ИОНОВ В МАГНИТОСФЕРЕ ЗЕМЛИ С ОБЛАСТЬЮ НЕОДНОРОДНОСТИ МНОГО БОЛЬШЕ ЛАРМОРОВСКИХ РАДИУСОВ ВРАЩЕНИЯ

В данной главе проводится аналитическое и численное исследование влияния структуры магнитного поля токовых слоев разных конфигураций (с одним и двумя максимумами профилей плотности тока) на характер динамики заряженных частиц - ионов (в частности, рассеяния их магнитных моментов) с масштабом неоднородности магнитного поля много больше ларморовского радиуса частиц

Построены аналитическая и численная модечи скачков магнитных моментов частиц при пересечении токовых слоев со сложными профилями тока Получена формула, определяющая положение центров рассеяния

п

магнитных момешов частиц для исследуемой задачи

Ьпдм Ьп .

Т~ ь + ( 7)

Получено аналитическое выражение для скачков магнитных моментов частиц

Л,/ = *

Лц*)К/ в„ в \-1СО8фг0 .

(28)

Здесь использовано обозначение

£(*>) = ^ (29)

Аналитические оценки скачков магнитных моментов сравнивались с численными расчетами трассирования частиц в заданных магнитных конфигурациях и численного интегрирования уравнений движения Проанализированы характеристики движения ионов в широкой области изменения параметров системы Показано, что процессы рассеяния частиц, которые в целом определяются соотношением между радиусом кривизны силовой линии и ларморовским радиусом существенным образом зависят от профилей плотности тока и магнитного поля Так, в бифурцированных токовых слоях в отличие от классических, могут существовать две рассеивающие области, вместо одной

В заключении перечислены полученные результаты и кратко сформулированы основные выводы диссертационной работы

Основные результаты и выводы

1 Предложена модель взаимодействия заряженных частиц (ионов) с ТС, позволяющая с единых позиций рассматривать динамику заряженных частиц в токовых слоях сложной конфигурации

2 Создан и реализован в виде комплекса программ алгоритм расчета траекторий частиц в магнитном поле, характерном для хвоста магнитосферы Земли

3 В численном эксперименте получены характеристики коллективной динамики частиц в широком диапазоне основных физических параметров Оценено среднее время жизни частиц в слое, коэффициент прохождения слоя, рассеяние магнитного момента Проведено численное моделирование динамики частиц с использованием сечений Пуанкаре

4 Разработан аналитический аппарат, позволяющий определять положения центров рассеяния магнитных моментов в бифурцированных токовых слоях произвольной конфигурации Впервые получены аналитические выражения для скачков магнитных моментов ионов и адиабатических инвариантов движения в бифурцированных ТС

5 Предложен эффективный способ определения параметра адиабатич-ности, в полях с областью неоднородности порядка ларморовского радиуса частиц

6 Представленные в диссертации аналитические оценки позволяют получать качественную картину динамики частиц, без ресурсоемких численных экспериментов на ЭВМ Полученные формулы могут быть использованы в теоретических исследованиях для построения более общих самосогласованных моделей магнитосферного хвоста Земли, а также для анализа данных, полученных со спутников

Список литературы

[1] Evolution of the thin current sheet in a substorm observed by geotail / Y Asano, T Mukai, M Hoshmo et al // J Geophys Res — 2003 — JA - Vol 108

[2] Cluster observation of a bifurkated current sheet / A Runov, R Nakamura W Baumjohann et al // Geophys Res Lett - 2003 - Vol 30 - Pp 8 1 -84

[3] Harris EG On a plasma sheath separating regions of oppositely directed magnetic fields // Nuovo Chirnento - 1962 -- Vol 23 - Pp 115-121

[4] Лихтерберг A , Либермап M Регулярная и стохастическая динамика — 1984

[5] Buchner J , Zelenyi L M Regular and chaotic charged particle motion m magnetotailhke field reversals 1 basic theory of trapped motion // J Geophys Res - 1989 - Vol 94 - Pp 11821-11842

[6] Боголюбов Н Н, Митропольский Ю А Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — М ФИЗМАТЛИТ

[7] Birmingham Т J Pitch angle diffusion m the jovian magnetodisc // J Geophys Res - 1984 - Vol 29 - P 2699

[8] Mapping and energization m the magnetotail 1 magnetosphenc boundaries / R Kaufmann, D Larson, P Beidl, Ch Lu // J Geophys Res - 1993 --Vol 98 - Pp 9307-9320

[9] Mapping and energization m the magnetotail 2 particle acceleration / R Kaufmann, D Larson, P Beidl, Gh Lu // J Geophys Res — 1993

[10] О S В U Adiabatic particle orbits m a magnetic null sheet //J Geophys Res -1971 - Vol 76 - Pp 8211-8222

[11] Нейштадт А И Об изменении адиабатического инварианта пр переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы // Прикладная Математика и Механика — 1987 — Т 51 — С 750-757

[12] Evolution of ion distribution function during the 'agmg' process of thin current sheets / L M Zelenyi, H V Malova, V Yu Popov et al // Advances m Space Research — 2003 — Vol 31 — Pp 1207-1214

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ

ДИССЕРТАЦИИ

Список работ, опубликованных диссертантом по теме защищаемой диссертации

1 Оводков Д А , Попов В Ю , Малова X В Динамика заряженных частиц в расщепленных тонких токовых слоях // Вестн МГУ 2006 серия 3, С 10-13

2 Delcourt D С, Ovodkov D А , Popov V Yu , Malova Н V, Zelenyi L M // Do phase poi traits resist current sheet bifurcation7 Advances in Space Research - 2006 - Vol 37 - Pp 547-551

3 The nonlinear particle dynamics m double-humped thin current sheets / Zelenyi L , Malova H , Delcourt D , Popov V , Ovodkov D , Sharma A // St Petersburg, Russia, Book of abstracts 2004 May 24-28 P 168

4 The nonlinear particle dynamics m double-humped thin current sheets/ Ovodkov D , Popov V, Delcourt D Malova H // Proceedings of the

7th International Symposium for Space Simulations (ISSS-7) /Ed Kyoto University, Japan 2005 March 26-31 PP 295-296

5 Influence of nonlinear dynamics of charged particles on fine structure and dynamics of thm current sheets m the Earth's magnetotail / Zelenyi L , Malova H , Popov V , Ovodkov D , Delcourt D , Sharma A // Geophysical Research Abstiacts/European Geoscicnces Union Vienne, Austria,SRef-ID 1607-7962/gra/EGU05-A-03G25 2005 April 24-29 P 03625

6 Malova H V, Ovodkova D A , Zelenyi L M On the quasi-adiabatic motion of charged particles in double-humped current sheets//Tsyndao, China, Book of Abstracts/ Russian-Chinese Conference on Investigations of Space Plasma 2005 October P 47

7 Ovodkov D A , Malova H V, Popov V Yu Charged particle dynamics in double-humped current sheets//Book of Abstracts/St Petersburg, Russia, Proc 6-th Int Conf "Problems of Geocosmos" 2005 May 23-27 P 162

8 Оводков ДА , Попов В Ю , Малова X В Динамика частиц в расщепленных тонких токовых слоях// Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005>>, секция «Физика», Физический Факультет МГУ 2005 С 95

Подписано в печать 07 04 2007 Формат 60x88 1/16 Объем 1 5 п л Тираж 100 экз Заказ № 627 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г Москва, Ленинские горы, д 1 Главное здание МГУ, к. А-102

1.1 Введение

1.2 Основные свойства тонких токовых слоев.

1.3 Математические модели магнитосферного хвоста

1.4 Двойные токовые слои

1.5 Динамика заряженных частиц в TTC. Общие сведения

1.G Основные тины траекторий заряженных частиц в TTC . 15 1.7 Выводы.

2 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В РАСЩЕПЛЕННЫХ ТОКОВЫХ СЛОЯХ

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи. Математическая модель

2.3 Общие свойства движения заряженных частиц в магнитном поле.

2.4 Скачок адиабатического инварианта.

2.5 Численное моделирование.

2.G Результаты численного моделирования

2.7 Выводы.

3 ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТОСФЕРЕ ЗЕМЛИ С ОБЛАСТЬЮ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОРЯДКА ИОННОГО ЛАРМОРОВСКОГО РАДИУСА

3.1 Введение.

3.2 Вычисление квазиадиабатического инварианта.

3.3 Скачки адиабатического инварианта.

3.4 Сечения Пуанкаре.G

3.5 Эффективное значение параметра адиабатичности .G

3.6 Выводы.

4 ДИНАМИКА ИОНОВ В МАГНИТОСФЕРЕ ЗЕМЛИ С ОБЛАСТЬЮ НЕОДНОРОДНОСТИ МНОГО БОЛЬШЕ

ЛАРМОРОВСКИХ РАДИУСОВ ВРАЩЕНИЯ

4.1 Введение

4.2 Вывод формулы скачка магнитного момента в двойных токовых слоях.

4.3 Механизм рассеивания магнитного момента в двойных токовых слоях.

4.4 Условия захвата заряженных частиц.

4.5 Выводы.

Интенсивное развитие спутниковых исследований [1-5] в последние десятилетия способствовало всестороннему изучению структуры и динамики земной магнитосферы, которая подвергается непрерывному воздействию со стороны обтекающего ее солнечного ветра. Ярким проявлением такого солнечно-земного взаимодействия являются магнитосферные суббури -глобальные возмущения магнитного поля Земли, в процессе которых вытянутая на ночной стороне часть магнитосферы, или магнитосферный хвост, вытягивается, а разделяющий доли токовый слой переходит из сравнительно толстой конфигурации в "топкую", масштаб которой сопоставим с размерами ионных ларморовских радиусов.

Чтобы понять роль тонких токовых слоев (TTC) в магнитосфере Земли, кратко изложим общепринятые представления [6-8] об основной цепочке плазменных процессов, приводящих к образованию и эволюции TTC в магнитосфере. Солнечный ветер как бы "обдувает" магнитосферу Земли потоками горячей плазмы с вмороженным межпланетным магнитным нолем (ММП), имеющим секторную структуру. По этой причине направление налетающего на магнитосферу магнитного поля может достаточно резко меняться [9,10]. Когда приходит ММП южного направления, создаются благоприятные условия для активного иересоедипепия магнитных силовых линий солнечного ветра и магнитосферы Земли в подсолнечной точке (рис. 1). Пересоединившиеся силовые линии уносятся течением солнечного ветра "вниз" по потоку в область магнитосферного хвоста. Увеличение магнитного потока приводит к дополнительному вытягиванию хвоста в антисолиечном направлении. При этом на ближнем к Земле крае токового слоя, благодаря индукционному электрическому полю Еу ~ ОЛцВ/тп, формируется очень тонкий токовый слой толщиной от 250 до 1500 км [1]. В спокойном состоянии толщина токового слоя в этой области примерно в 10 раз больше, т.е. порядка 10000 км. Образование TTC происходит, глав

Ударная 4 ^ волна

Рис. 1: Схема магнитосферы Земли. Обозначены основные связанные с ней плазменные области: солнечный ветер и головная ударная волна, магнитослой. высокоширотные области или 'доли'' хвоста , в центре плазменного слоя находится более тонкий нейтральный слой-область, внутри которой происходит смена направлений магнитного моля. ным образом, в фазе подготовки суббури, которая может продолжаться от 30 мин до 2 часов, при этом TTC играет роль "резервуара", в котором в виде свободной энергии запасается энергия солнечного ветра. Таким образом, TTC проявляет свойство метастабильности - он может достаточно длительное время (на масштабе подготовительной фазы суббури) сохранять устойчивость, но потом в нем могут развиться неустойчивости, и он разрушается. Дальнейшее развитие суббури достаточно хорошо изучено [11,12]- запасенная в TTC энергия высвобождается в виде кинетической энергии потоков плазмы и электромагнитного излучения; потоки плазмы по присоединившимся силовым линиям южной и северной долей "стекают" в ионосферу, перераспределяя ионосферную систему токов и полей; процессы торможения электронов в области авроральных овалов вызывают полярные сияния, в то же время в районе - линии в хвосте формируется гигантский плазмоид (протяженностью от 10 до нескольких десятков Я^), который удаляется от Земли в хвост магнитосферы |13 17|. Все вышеизложенное свидетельствует о том, что TTC играют очень важную, может быть, ключевую роль в подготовке суббури и протекании геомагнитного возмущения. Однако, экспериментальное изучение TTC началось гораздо позже других магнитосферных структур по причине малого масштаба и невозможности проводить спутниковые измерения с нужным разрешением. Сегодня существует много нерешенных вопросов, связанных с внутренней структурой TTC, их устойчивостью и эволюцией. Ниже будут изложены основные представления о том, как устроены TTC, как они эволюционируют, а также очерчен круг проблем на тему, что известно, а что пока неизвестно о тонких токовых структурах.

4.5 Выводы

Построена аналитическая модель скачков магнитных моментов заряженных частиц при прохождении ими токового слоя. С помощью аналитической модели изучены качественные характеристики рассеяния пзаряжен-ных частиц в диапазоне изменения параметра 0.5 < Ьпа < 3. Получено алгебраическое выражение, позволяющее определять положение центров рассеяния магнитных моментов в произвольной конфигурации магнитного поля. Получена аналитическая формула для скачка магнитного момента в произвольной конфигурации магнитного поля, отвечающей требованиям модели 97. Полученные результаты проверены с помощью численной модели, в которой заряженные частицы трассировались в заданных магнитных полях, и было получено удовлетворительное согласование между ними. Основными управляющими параметрами численной модели является расстояние между максимумами плотности тока Хс и параметры Ьп,о-[е^,(ТпдМ, характеризующие соотношение между масштабом неоднородности магнитного поля и ларморовским радиусом частиц. Полученные результаты могут быть полезными для объяснения свойств продольных потоков частиц - бимлетов, летящих от нейтрального слоя с бифурциро-ванным током.

5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы, полученные в работе.

1. Предложена модель взаимодействия заряженных частиц (ионов) с ТС, позволяющая с единых позиций рассматривать динамику заряженных частиц в токовых слоях сложной конфигурации.

2. Создан и реализован в виде комплекса программ алгоритм расчета траекторий частиц в магнитном поле, характерном для хвоста магнитосферы Земли.

3. В численном эксперименте получены характеристики коллективной динамики частиц в широком диапазоне основных физических параметров. Оценено среднее время жизни частиц в слое, коэффициент прохождения слоя, рассеяние магнитного момента. Проведено численное моделирование динамики частиц с использованием сечений Пуанкаре.

4. Разработан аналитический аппарат, позволяющий определять положения центров рассеяния магнитных моментов в бифурцированных токовых слоях произвольной конфигурации. Впервые получены аналитические выражения для скачков магнитных моментов ионов и адиабатических инвариантов движения в бифурцированных ТС.

5. Предложен эффективный способ определения параметра адиабатич-ности в полях с областью неоднородности порядка ларморовского радиуса частиц.

6. Представленные в диссертации аналитические оценки позволяют получать качественную картину динамики частиц без ресурсоёмких численных экспериментов на ЭВМ. Полученные формулы могут быть использованы в теоретических исследованиях для построения более общих самосогласованных моделей магнитосферного хвоста Земли, а также для анализа данных, полученных со спутников.

Автор выражает глубокую признательность д.ф.-м.н. Попову Виктору Юрьевичу за ценное научное руководство и к.ф.-м.н. Маловой Хельми Витальевне - за поддержку и внимание к работе. Автор приносит свою благодарность член-корреспонденту РАН, директору Института космических исследований РАН Зеленому Льву Матвеевичу за содействие в его научной деятельности. п

Рис. 55: Среднее "время жизни" частиц п слое.

Рис. 56: Отношение усредненного по всем начальным значениям фазы и питч угла зависимость отношения магнитного момента на выходе из слоя к моменту на входе.

Рис. 57: Процент прохождения/отражения частиц от плоскости токов слоя.

Слисок работ, опубликованных диссертантом по теме защищаемой диссертации.

1. Оводков Д.А., Попов В.Ю., Малова Х.В. Динамика заряженных частиц в расщепленных тонких токовых слоях // Вести. МГУ. 2006. серия 3, С. 10-13.

2. Delcourt D. C.,Ovodkov D. A., Popov V. Yu., Malova H. V., Zelenyi L. M.// Do phase portraits resist current sheet bifurcation? Advances in Space Research.- 2006,- Vol.37.- Pp. 547-551.

3. The nonlinear particle dynamics in double-humped thin current sheets / Zelenyi L., Malova H., Delcourt D., Popov V., Ovodkov D., Sharrna A.// St. Petersburg, Russia, Book of abstracts. 2004. May 24-28. P. 168.

4. The nonlinear particle dynamics in double-humped thin current sheets/ Ovodkov D., Popov V., Delcourt D., Malova H.// Proceedings of the 7th International Symposium for Space Simulations (ISSS-7) /Ed. Kyoto University, Japan. 2005. March 26-31. PP. 295-296.

5. Influence of nonlinear dynamics of charged particles on fine structure and dynamics of thin current sheets in the Earth's magnetotail / Zelenyi L., Malova H., Popov V., Ovodkov D.A. et al.// Geophysical Research Abstracts Vienne, Austria, April 24-29. P.03625.

6. Malova H. V., Ovodkov D. A., Zelenyi L. M. On the quasi-adiabatic motion of charged particles in double-humped current sheets//Tsyndao, China, Book of Abstracts/ Russian-Chinese Conference on Investigations of Space Plasma. 2005.0ctober. P.47.

7. Ovodkov D. A., Malova H. V., Popov V. Yu. Charged particle dynamics in double-humped current sheets//Book of Abstracts/St. Petersburg, Russia, Proc. 6-th Int. Conf. "Problems of Geocosmos". 2005. May 23-27. P. 162.

8. Оводков Д.А., Попов В.Ю., Малова Х.В. Динамика частиц в расщепленных тонких токовых слоях// Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным паукам «Ломоносов-2005», секция «Физика», Физический Факультет МГУ. 2005. С. 95.

1. Sergeev V. A., Pulkkinen Т. I., Pellinen R. J. Coupled mode scenario for the magnetospheric dynamics // J. Geophys. Res. — 1996.— Vol. 101. — Pp. 13047-13066.

2. Current carriers in the near-earth cross-tail current sheet during substorm growth phase / D. G. Mitchell, G. J. Williams, C. Y. Huang et al. // Geophys. Res. Lett. 1990. - Vol. 17. Pp. 583 -586.

3. Growth phase thinning of the near-earth current sheet during the cdaw-6 substorm / J. Sanny, R. L. McPherron, С. T. Russell et al. //J. Geophys. Res. 1994. - Vol. 99. - P. 5805.

4. Thin current sheets in the magnetotail during substorms: Cdaw 6 revisited / Т. I. Pulkkinen, D. N. Baker, D. G. Mitchell et al. // J. Geophys. Res.- 1994,-Vol. 99.- Pp. 5793-5803.

5. Coupling of inner and midtail processes, in: Substorms-4 / Т. I. Pulkkinen, D. N. Baker, L. L. Cogger et al. // Terra Scientific Publishing Company/Kluwer Academic Publishers. — 1998. — P. 749.

6. Лайопс Л., Уильяме Д. Физика магнитосферы. Количественный подход. 1987.7J Зеленый Л. Динамика плазмы и магнитных полей в хвосте магнитосферы Земли // Итоги науки и техники. — 1986. — Т. 24.

7. Алексеев И., Малова X. Структура плазменного слоя в хвосте магнитосферы // Геомагн. Аэрон. 1990. - Т. 30. С. 407 412.

8. Fairfield D., Ness N. Configuration of geomagnetic tail during substorms // J. Geophys. Res. 1970. - Vol. 75. - Pp. 7032-7047.

9. Lui A. T. Estimation of current changes in the geomagnetic tail assoiated with a substorm // Geophys. Res. lett.— 1978. — Vol. 5. — Pp. 853-856.

10. Fairfield D. H. Magnetotail energy storage and the variability of the magnetotail current sheet, in magnetic reconnection in space and laboratory plasmas // Geophys. Monogr. Ser. — 1984. — Vol. 30. — P. 168.

11. Kaufrnann R. L. Substorm currents: Growth phase and onset // J. Geophys. Res. 1987. - Vol. 92. - P. 7471.

12. McPherron R. L., Nishida A., Russell C. T. Is near-earth current sheet thinning the cause of auroral substorm onset in quantitative modeling of magnetosphere-ionosphere coupling processes // J. Geophys. Res. -1987.-Pp. 252-265.

13. Lui A. T. Y. Inferring global characteristics of current sheet from local measurements // J. Geophys. Res. 1993. - Vol. 98. - Pp. 13423-13427.

14. Growth phase thinning of the near-earth current sheet during the cdaw-6 substorm / R. L. McPherron, C. T. Russell, D. N. Baker et al. // J. Geophys. Res. 1994. - Vol. 99. - P. 5805.

15. Russel C. Correlated interplanetary and magnetospheric observations // D. Reidel Publ.Company. Dordrecht: Holland. — 1974. — Pp. 3-47.

16. Cowley S. W. H. Plazrna populations in a simple open model of magnetosphere // Space Sci. Rev. 1980. - Vol. 26. - Pp. 217-275.

17. Structure of the tail plasma/current sheet at 11 re and its changes in the course of a ubstorm / V. A. Sergeev, D. G. Mitchell, C. T. Russell, D. J. Williams // J. Geophys. Res. 1993. Vol. 98. Pp. 17345 17365.

18. Speiser T. IV. Particle trajectories in model current sheets; 1. analytical solutions I/ J. Geophys. Res. — 1965.

19. Current sheet measurements within a flapping plasma sheet / V. A. Sergeev, V. Angelopoulos, C. Carlson, P. Sutcliffe //J. Geophys. Res. 1998.

20. Structure of plasma sheet in magnetotail: double-peaked electric current sheet / M. Hoshino, A. Nishida, T. Mukai et al. // J. Geophys. Res. ~ 1996.- Vol. 101.- Pp. 24775-24786.

21. Evolution of the thin current sheet in a substorm observed by geotail / Y. Asano, T. Mukai, M. Hoshino et al. // J. Geophys. Res.- 2003. — JA. Vol. 108.

22. Harris E. G. On a plasma sheath separating regions of oppositely directed magnetic fields // Nuovo Chimento.— 1962. —Vol. 23.— Pp. 115-121.

23. Cluster observation of a bifurcated current sheet / A. Runov, R. Nakamura, W. Baumjohann et al. // Geophys. Res. Lett.- 2003.- Vol. 30. Pp. 8.1 -8.4.

24. Current sheet structure near magnetic x-line observed by cluster / A. Runov, R. Nakamura, W. Baumjohann et al. // Geophys. Res. Lett. — 2003.

25. Thin current sheet embedded within a thicker plasma sheet: Self-consistent kinetic theory / M. I. Sitnov, L. M. Zelenyi, H. V. Malova, A. S. Sharma // J. Geophys. Res. 2000. - Vol. 105. - Pp. 13029-13043.

26. Thin and superthin ion current sheets, quasiadiabatic and nonadiabatic models / L. M. Zelenyi, M. I. Sitnov, H. Malova, A. S. Sharma // Nonlinear processes in Geophysics. — 2000. — Vol. 7. — P. 127.

27. Sonnerup D. U. O. Adiabatic particle orbits in a magnetic null sheet // J. Geophys. Res.- 1971.- Vol. 76.- Pp. 8211 8222.

28. Chen J., Palmadesso P. J. Chaos and nonlinear dynamics of single-particle orbits in a inagnetotail-like magnetic field // J. Geophys. Res. — 1986.

29. Structure of non-adiabatic current sheets: Role of the trapped population and phase mixing / H. V. Malova, A. A. Bykov, V. Yu. Popov et al. // Proceedings of International Conference on Substorm-5, St.Petersburg, Russia. 2000. Vol. 101. - Pp. 16-20.

30. Malova H. V., Sitnov M. I. Nonlinear structures, stochasticity and intermittency in the dynamics of charged particles near a magnetic field reversal // Phys. Lett. A. 1989. - Vol. 140. - P. 136.

31. Alexeev I. I. Malova H. V. On the model of current sheet in the magnetosphere tail, taking into account the interaction of transit and traped particles // Advances in Space Research. — 1995.- Vol. 16.— Pp. 205-208.

32. Consequences of magnetotail ion dynamics / M. Ashour-Abdalla, L. M. Zelenyi, V. Peroomian, R. L. Richard //J. Geophys. Res. — 1994. — Vol. 99.-Pp. 14891-14916.

33. Whipple E. C., Northrop Т., Birmingham T. Adiabatic theory in region of strong field gradients // J. Geophys. Res. 1986. - Vol. 91. - Pp. 41494156.

34. Whipple E. C., Rosenberg M., Brittnacher M. Magnetotail acceleration using generalized drift theory: a kinetic merging scenarion // Geophys. Res. lett. — 1990. — Vol. 17,- Pp. 1045-1048.

35. Buchner J., Zelenyi L. M. Regular and chaotic charged particle motion in magnetotaillike field reversals: 1. basic theory of trapped motion // J. Geophys. Res. 1989. - Vol. 94. - Pp. 11821-11842.

36. Cary J., Escande D. F., Tennyson J. Adiabatic invariant change due to separatrix crossing // Phys. Rev. Lett. A. 1986. - Vol. 34. - P. 4256.

37. Тимофеев А. К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения // ЖЭТФ.— 1978.— Т. 75.— С. 1303 1308.

38. Нейшгпадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы // Прикладная Математика и Механика. — 1987. — Т. 51. — С. 750-757.

39. Delcourt D. С., Martin R. F. Application of the centrifugal impulse model to particle motion in the near-earth magnetotail //J. Geophys. Res. — 1994. Vol. 99. - P. 23583.

40. Delcourt D. C., Martin R. F. Pitch angle scattering near energy resonances in the geomagnetic taill //J. Geophys. Res. — 1999.

41. Delcourt D. C., Malova H. V., Zelenyi L. M. Dynamics of charged particles in bifurcated current sheets: the к 1 regime // J. Geophys.Res. — 2004.

42. Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: ФИЗМАТЛИТ.

43. Savenkov В. V., Zelenyi L. М. Application of separatrix crossing theory to nondiffusion model of current sheet resonance // Geophys. Res. Lett. -1996. Vol. 23. P. 3255.

44. Chen J., Mitchell H. G., Palmadesso P. J. Differential memory in the trilinear model magnetotail // J. Geophys. Res. — 1990. — Vol. 95. — Pp. 15141-15156.

45. Chen J., Rexford J., Lee Y. Fractal buondaries in magnettotail particle dynamics // J.Geophys. Res. Lett.- 1990.- Vol. 17. P. 1049.

46. Mapping and energization in the magnetotail. 1. magnetospheric boundaries / R. Kaufmann, D. Larson, P. BeidI, Ch. Lu //J. Geophys. Res. 1993. - Vol. 98. - Pp. 9307-9320.

47. Mapping and energization in the magnetotail. 2. particle acceleration / R. Kaufmann, D. Larson, P. Beidl, Ch. Lu //J. Geophys. Res. — 1993.

48. Chen J. Nonlinear dynamics of charged particles in the magnetotail // J. Geophys. Res. 1992. - Vol. 97.- Pp. 15011-15050.

49. Buchner J., Zelenyi L. M. Deterministic chaos in the dynamics of charged particles near a magnetic field reversal // Plvys. Lett. A. 1986. Vol. 118.-P. 395.

50. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. — М.: Наука, 1970.

51. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989.

52. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Наука, 1988.

53. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. 1984.

54. Чириков Б. Динамика частиц в магнитных ловушках // Успехи физики плазмы. — 1984. — Т. 13. — С. 13-37.

55. Чириков Б. В. Взаимодействия нелинейных резоиансов. — Новосибирск, учебное пособие, 1978.

56. Чириков Б. Нелинейный резонанс. — Новосибирск, учебное пособие, 1977.

57. Чириков Б. Резонансные процессы в магнитных ловушках. — Новосибирск, атомная энергия.

58. Стохастизация движения заряженных частиц вблизи токового слоя геомагнитного хвоста / И. Алексеев, X. Гевиксман, А. Кропоткин, М. Ситнов. М.: препринт НИИЯФ МГУ, 1989.

59. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики / Под ред. УРСС. — Москва, 2002.

60. Колмогоров А. Н. О сохранении условно- периодических движенийпри малом изменении функции Гамильтона // Докл. Ан СССР.1954. Т. 98. - С. 527-539.

61. Cowley S. W. Н. A note on the motion of charged particles in one-dimensional magnetic current sheets // Planet. Space. Sci. 1978a. Vol. 26. P. 539.

62. Eastwood J. W. Consistency of fields and particle motion in the 'speiser' model of the current sheet // Planet. Space Sci.— 1972.— Vol. 20.— Pp. 1555-1568.

63. Нейштадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису // Физика Плазмы. • 1986. Т. 12. С. 992 1001.

64. Сагу J., Skodje R. Phase change between separatrix crossings // Physica. 1989. - Vol. 36. - P. 287.

65. Neishtadt A. I., Vasiliev A. A. Phase change between separatrix crossings in slow-fast hamiltonian systems // Nonlinearity. — 2005. — Vol. 38. -• Pp. 1393-1406.

66. Заславский Г. M. Стохастичность динамических систем. -- М.: Мир, 1984.

67. Заславский Г., Сагдеев Р. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. — 1988.

68. Фихтепголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970.

69. Воднев В., Наумович А., Наумович Н. Основные математические формулы. — Минск, 1988.

70. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. ~ Минск, Высш. шк., 1979.

71. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1977.

72. Прудников А., Брычков Ю., Маричев О. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981.

73. Савенков Б. В., Зеленый Л. М., ЗогинД. В. Движение частиц в тонких токовых слоях // Физика Плазмы. 1997.

74. Evolution of ion distribution function during the "aging" process of thin current sheets / L. M. Zelenyi, H. V. Malova, V. Yu. Popov et al. // Advances in Space Research. 2003. - Vol. 31. - Pp. 1207-1214.

75. On the nonadiabatic precipitation of ions from the near-earth plasma sheet / D. C. Delcourt, J. A. Sauvaud, R. F. Martin, Т. E. Moore // J.Geophys.Res. 1996. - Vol. 101. Pp. 17409 17418.

76. Howard J. E. Noadiabatic particle motion in cusped magnetic fields // Phys. Fluids. 1971. - Vol. 14. - P. 2378.

77. Оводков Д., Попов В., Малова X. Динамика заряженных частиц в расщепленных тонких токовых слоях // Вести. МГУ. — 200G. — Т. 3. — С. 10-13.

78. Ovodkov D., Popov V., Malova Н. Particle pitch angle diffusion in double-humped thin current sheet 11 Proceedings of 6-th Int. Conf. "Problems of Geocosmos", St. Petersburg, Russia. — 2006.

79. Бородачев JI. В. Неявная аппроксимация уравнения движения дарвинской модели плазмы // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1991. Т. 31. — С. 934 -939.

80. Бородачев Л., Мингалев И., Мингалев О. Дрейфовый алгоритм движения частицы в дарвиской модели плазмы // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2003. — Т. 43. — С. 467-480.

81. Hastie R., Hobbs G., Taylor J. Nonadiabatic behavior of particles in inhomogeneous magnetic fields // Plazrna Phys. Controlled Nucl. Res. Proc. Int. Conf. 3d. 1968.

82. Birmingham T. J. Pitch angle diffusion in the jovian magnetodisc // J. Geophys. Res. 1984. - Vol. 29. - P. 2699.

83. Northrop T. The adiabatic motion of charged particle // Wiley Interscience, New York. — 1963.

84. Gray P., Lee L. Particle pitch angle diffusion due to nonadiabatic effects in the plasma sheet // J. Geophys. Res. 1982. - Vol. 87. - Pp. 7445 7452.