Диссипативные процессы при синхронизации тепловых колебаний кристаллической решетки

Жицкий, Семен Григорьевич

Диссипативные процессы при синхронизации тепловых колебаний кристаллической решетки тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Жицкий, Семен Григорьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Диссипативные процессы при синхронизации тепловых колебаний кристаллической решетки»

Автореферат диссертации на тему "Диссипативные процессы при синхронизации тепловых колебаний кристаллической решетки"

На правах рукописи

ЖИЦКИЙ Семен Григорьевич

ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СИНХРОНИЗАЦИИ ТЕПЛОВЫХ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель:

кандидат химических наук, доцент Битюцкая Лариса Александровна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Юраков Юрий Алексеевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Смирнов Дмитрий Алексеевич

Ведущая организация: Воронежский государственный

технический университет

Защита состоится «28» декабря 2006 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.038.06 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан «27» ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета у доктор физико-математических наук,

профессор /¿//у*—7 Дрождин С.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Хаотическое движение в детерминированных нелинейных системах интенсивно изучается в последнее время. Интерес к этой проблеме вызван тем, что детерминированный хаос носит междисциплинарный характер и позволяет применить качественно иные подходы к решению проблем физики нелинейных явлений. Особое внимание вызывает концепция детерминированного хаоса в приложении к рассмотрению неравновесных фазовых переходов, наблюдаемых в конденсированных средах. При исследовании фазовых переходов в конденсированных системах, таких как плавление, разрушение, пластические деформации, наблюдаются переходные процессы, которые сопровождаются термодинамическими неустойчивостями и с позиций неравновесной термодинамики рассматриваются как неравновесные фазовые переходы.

Особую важность в трактовке этих явлений приобретает хаотическая синхронизация как возможный механизм возникновения коллективного коррелированного поведения кристаллической решетки, приводящего к диссипации тепловой, акустической и электромагнитной энергии и образованию нанострук-турированных диссипативных систем.

Решение фундаментальных задач механизмов образования диссипативных структур тесно связано с бурно развивающимся наукоемким направлением -индустрией наносистем. Фундаментальной проблемой нанотехнологий является изучение термодинамики и кинетики наносистем. Исследование этой проблемы позволит решить актуальные задачи нанометериаловедения - получение самоорганизаванных динамических систем, сформированные в неравновесных условиях, и осуществить переход от изолированных консервативных наносистем к открытым кооперативным.

Работа является частью комплексных исследований, проводимых в рамках гранта РФФИ № 03-03-96027-р2003цчр_а «Получение, идентификация и параметризация самоорганизованных нанокластеров».

Целью работы являлось исследование динамики тепловых колебаний кристаллической решетки в условиях сильного энгармонизма на основе модели пространственно-распределенных связанных нелинейных осцилляторов.

Задачи, решаемые в диссертационной работе:

1. Построение модели переходных процессов при плавлении на основе пространственно-распределенной системы связанных нелинейных осцилляторов.

2. Исследование условий возникновения эффекта хаотической синхронизации в изотропном и анизотропном случаях.

3. Исследование диссипативных процессов в условиях синхронизации тепловых колебаний.

Научная новизна:

1. Предложена модель синхронизации пространственно-распределенной системы связанных нелинейных осцилляторов Ресслера для описания динамических эффектов фаз предплавления кристаллических веществ.

2. Определены условия возникновения эффектов синхронизации и кластеро-образования в одномерных и двумерных моделях связанных осцилляторов для изотропных и анизотропных систем.

3. Обнаружен эффект диссипации энергии при синхронизации тепловых колебаний в модельной кристаллической решетке.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Описание коллективных эффектов в кристаллической решетке на этапе предплавления в рамках модели связанных нелинейных осцилляторов Ресслера.

2. Динамическое наноструктурирование в изотропных и анизотропных средах как результат синхронизации тепловых колебаний.

3. Дисскпация энергии за счет перераспределения кинетической и потенциальной энергии при возрастании энгармонизма тепловых колебаний

Практическая ценность работы

Предложен подход по исследованию динамики тепловых колебаний кристаллической решетки с помощью методов нелинейной динамики, который может бь|гть использован при моделировании возбужденных состояний с образованием1 наносистем. i Разработанные модели и программы могут быть использованы при планировании, постановке эксперимента и интерпретации экспериментальных данных по формированию динамических наноструктурированных систем.

Апробация работы и публикации.

Основные положения и результаты диссертации составили содержание докладов на конференциях международного уровня «16-th European frequency and time forum» (Санкт-Петербург, 2002 г.), «Physics and control» (Санкт-Петербург, 2003г.), «Chaotic oscillations and pattern formation» (Саратов, 2001г.), «Synchro-2002» (Саратов, 2002г.), «5-th international congress of mathematical modeling» (Дубна, 2002г.), «7th International Conference on Intermoleculax and Magnetic Interactions in Matter» (Польша, 2003г.), и на кокференциях внутрирос-сийского уровня «ФиПС-2003» (Москва, 2003), «Шумовые и деградационные процессы в полупроводниковых приборах» (Москва, 2004), «Полиматериалы-2003» (Москва, 2003).

По теме диссертации опубликовано и принято к печати 14 работ (2 статьи в журналах, 12 статей в сборниках трудов научных конференций).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти содержательных глав, заключения, и списка литературы. Общий объем диссертации - 177 страниц. В том числе, 136 страниц текста, 153 рисунков, 4 таблицы, библиография из 151 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель, основные задачи, научная новизна и практическая значимость результатов, сформулированы научные положения, выносимые на защиту.

В главе 1 проведен обзор литературных данных коллективных явлений вблизи фазового перехода и синхронизации в нелинейных хаотических системах.

Представления о кооперативных переходных процессах при плавлении рассматриваются начиная с классических теоретических и экспериментальных работ Я. И. Френкеля, А. Уббелоде и Н.Мотта. Особое внимание в обзоре уделено микроскопическим моделям Хайта (Khait Y.L.)., М.И. Кацнельсона. В работах Хайта переходные процессы при плавлении рассматривались как результат корреляций в фононной подсистеме. В работах М.И. Кацнельсона был впервые предложен нелинейный подход к динамике кристаллической решетки вблизи фазовых переходов и указано на механизм синхронизации как причину возникновения коллективных явлений. Однако все рассмотренные модели не дают удовлетворительного объяснения экспериментально наблюдаемой эмиссии тепла в области предплявления.

Условия возникновения синхронизации в хаотических системах показаны в работах В.С Аншценко, А. С. Пиковского и Н. Белых. Это фундаментальное нелинейное явление, которое является тем общим механизмом, который позволяет описывать поведение динамических систем различной природы (физических, биологических, химических). Показано, что в случае систем пространственно-распределенных связанных нелинейных осцилляторов возникает кластеризация. Вместе с тем, несмотря на широкое распространение, явление хаотической синхронизации до сих пор не находило применения в физике конденсированного состояния, хотя феноменологически принято, что синхронизация и стохастический резонанс являются основными механизмами образования дис-сипативных структур.

Во второй главе проводится построение модели тепловых колебаний кристаллической решетки в условиях сильного ангармонизма вблизи фазового перехода при высоких температурах для объяснения экспериментально наблюдаемой в данной области диссипации тепловой энергии.

Рассматриваемая модель основана на классических моделях кристаллической решетки как системы связанных гармонических осцилляторов (Эйнштейн,

Дебай), которые использовались для расчета термодинамических свойств и энергии кристаллической решетки при низких и средних температурах в условиях термодинамического равновесия. Для моделирования нелинейных динамических эффектов в решетке связанных осцилляторов был выбран нелинейный хаотический осциллятор Ресслера. Осциллятор Ресслера является хорошо изученной системой, применяющийся для описания диссипативных процессов.

Для моделирования динамического поведения идеализированной моноатомной кристаллической решетки рассматривалась одномерная и двумерная системы связанных осцилляторов Ресслера. В качестве исходной модели рассмотрим цепочку п связанных осцилляторов. Задавая в качестве взаимодействия между осцилляторами упругий потенциал и(г) = ^кг2, получим, что уравнение /-го единичного осциллятора в такой цепочке имеет вид:

х1=-а>,у(-г, у, = а ,х, +а у+к(ум -2у, +Уьл)

+ (х,-с) (1)

где аз — частота рассогласования, индивидуальная для каждого осциллятора, а-параметр, определяющий режим хаотичности осциллятора, Ъ, с— параметры осциллятора, к-коэффициент упругой силы (жесткости связи).

Изменение амплитуды колебаний хаотического осциллятора Ресслера, связанное с изменением параметра Ь, ведет одновременно к перестройке его хаотического аттрактора, нарушая соответствие приближению твердого тела. Поэтому усиление энгармонизма колебаний при возрастании температуры моделировалось увеличением параметра жесткости связи к при неизменной амплитуде колебаний модельных осцилляторов. Такая инверсия параметров является адекватной увеличению амплитуды (а следовательно и энгармонизма) тепловых колебаний.

Параметр а в модели позволяет управлять величиной энгармонизма при данной амплитуде колебаний (что в эксперименте соответствует температуре).

Адекватность выбранной модели динамике колебаний атомов твердого тела проверялась методом молекулярной динамики. При параметрах модели 0.15<а^0.33, 0<£<0.8э 6=0.4 и с=8.5 траектории движения осцилляторов обладают наилучшим соответствием с траекториями тепловых колебаний атомов.

В качестве параметра порядка (критерия наступления синхронизации в системе) выбрана средняя разность фаз колебаний между соседними осцилляторами модели Фср.

Условия возникновения эффекта синхронизации изучались в зависимости от режимов хаоса (слабый хаос при значениях параметра а <. 0.21 и сильный хаос при 0.21£а£0.3), параметра жесткости связи к и длины цепочки.

Получено численное решение системы уравнений модели (1) для цепочек из 5 и 50 осцилляторов с различными к.

На рис. 1 представлена зависимость средней разности фаз колебаний Фср цепочки осцилляторов от времени. При Фср—О колебания синхронны (моменты времени 1,2 для цепочки из 5 сильносвязанных осцилляторов). Таким образом, в связанных цепочках хаотических осцилляторов при значениях параметра жесткости связи 0.5 < к <> 0.8 возможна синхронизация как в условиях слабого, так и сильного хаоса (0.21^л^0.3).

50 сильносв язанных

— — — 50 несвгашпшж

5 сильносв яэанкшс

Рис. 1. Синхронизация в цепочках из 5 и 50 осцилляторов с различной жесткостью связи 1,2-моменты полной синхронизации (Фс{г^0).

При изменении размеров цепочки от 5 до 50 осцилляторов происходит увеличение Фср. Синхронизация имеет динамический характер и в зависимости от параметров системы может иметь 3 режима: полная синхронизация, локальная синхронизация и рассинхронизации.

В третьей главе проводится изучение коллективных эффектов при синхронизации в изотропной двумерной решетке связанных нелинейных осцилляторов (кх =ку) размером п х п (рис. 2).

о-о—о—о-о—о—о

||||| I I

о-о—о-о-о—о—о

О-О—¿-¿-¿—¿—с!)

О-О—о—¿1 -о—¿—¿> 11 I Т I I I о-о—о—О -о—о—о

о-о—¿—о-о—о—о 1111111 о-о—о—о-о—о—о

Рис. 2. Модель двумерной решетки связанных осцилляторов. Уравнения движения у-го осциллятора изотропной системы имеют вид:

У и = +аУи ~ 2Уи +Ум./)

= Ъ + (хи - с) (2)

При численном моделировании использовались периодические граничные условия.

Для двумерной модели исследовалась возможность возникновения синхронизации при различных режимах хаотичности осцилляторов решетки, параметра жесткости связи между осцилляторами, зависимость степени синхронности колебаний от размера матрицы осцилляторов (числа п). Был предложен критерий определения степени синхронности осцилляторов решетки с помощью трехмерного графика (рис 3), где каждый заданный интервал разности фаз между осцилляторами отображается соответствующим цветом.

Ose 30x30, к*0.в, а=0.15 Ose 30x30, k«0.6, a*=0.33

Рис. 3.1 Мгновенные значения разностей фаз колебаний осцилляторов в решетке 30x30 осцилляторов при к = 0.6, а=0.15 (слабый хаос, сильная связь) и | к = 0.6, а~0.33 (сильный хаос, сильная связь).

Такое представление диаграммы разностей фаз в решетке связанных осцилляторов позволяет визуально идентифицировать наступление синхронизации в системе по преобладанию того или иного цвета на диаграмме в данный момент времени.

При изучении динамики хаотических осцилляторов в двумерной решетке размером от 10x10 до 500x500 осцилляторов в интервале параметров 0.21<£г<0.33 5 0.5 <,к<, 0.8 также наблюдается динамическая синхронизация, которая, в отличии от одномерной модели, носит только локальный характер. Такие локальные области содержат не более нескольких десятков осцилляторов, поэтому применительно к кристаллической решетке можно считать их на-норазмерными. Увеличение параметра хаотичности а заметно снижает общую площадь локально синхронизированных областей — динамических синхронизированных нанокластеров.

Для количественного изучения процесса синхронизации в двумерной системе связанных осцилляторов Ресслера производилась идентификация моментов синхронизации и рассинхронизации для каждого осциллятора.

Было обнаружено, что характер зависимости доли синхронизированных кластеров от степени хаотичности и параметра связи носит пороговый характер (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость доли синхронизированных осцилляторов п от параметра хаотичности а при различных значениях жесткости связи к.

При этом доля синхронизированных осцилляторов даже в условиях сильной хаотичности достигает 5 % и более (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость доли синхронизированных осцилляторов п от жесткости связи к, параметр хаотичности а=0.25

Было найдено распределение нанокластеров по времени жизни, которое оценивалось в средних периодах колебаний осциллятора Ресслера (рис. 6). Достаточно долгоживущие нанокластеры включают в себя минимальное число осцилляторов, не превышающее 2-3, максимальное время жизни синхронизированного нанокластера составляет ~200-250 периодов колебаний.

Р, V.

50 100 150 200 250

Рис. 6. Плотность вероятности нахождения единичного осциллятора в синхронизированном состоянии в зависимости от времени (в средних периодах

колебаний).

Таким образом, в двумерной решетке связанных нелинейных осцилляторов в отличие от одномерной решетки наблюдаются 2 режима: локальная синхронизация и рассинхронизация. Локальная синхронизация в решетке имеет пороговый характер и определяется величиной жесткости связи к. Начиная с размера 50x50 осцилляторов качественных изменений в динамике исследуемой системы не происходит. Для кристаллической решетки образование локальных синхронизированных областей тепловых колебаний рассматриваются как процесс упорядочения, а области упорядочения - как динамические нанокластеры.

В четвертой главе проводится изучение коллективных эффектов при синхронизации в анизотропной (кх о ку} двумерной решетке связанных нелинейных осцилляторов Ресслера.

Для анизотропной решетки уравнения движения ^-го осциллятора системы имеют вид:

хи = ~2и +кх(?и}-1 -2*,.;

I .

| Уи" аихи + а У и + ку О/- и " 2Уи + У<+и)

| г/./ = Ь + ги] - с) (3)

При изучении динамики хаотических осцилляторов в двумерной анизотропной решетке размером от 10x10 до 500x500 осцилляторов в интервале параметров 0.21<а<0.33 , 0.5 < к < 0.8 методом визуализации синхронизированных областей наблюдалась локальная динамическая синхронизация, как и в изотропном случае. Влияние параметра хаотичности а так же аналогично изотропному случаю - понижение параметра порядка Фср с ростом а. Вместе с тем, наличие анизотропии приводит к принципиальным особенностям. Если в изотропных средах синхронизация имеет статистический неупорядоченный характер, то в анизотропных средах появляется направленный характер синхронизации. Степень упорядочения синхронизированных кластеров зависит от величины коэффициента анизотропии.

Направленный характер синхронизации в анизотропной решетке приводит к перераспределению количества синхронизированных осцилляторов по выбранным направлениям. С возрастанием жесткости связи к количество синхронизированных осцилляторов по данному направлению так же возрастает (рис. 7).

7001

Рис. 7. Влияние анизотропии решетки (кх=0.3, ку~0.5) на количество синхронизированных осцилляторов (1- ось у 2- ось х) в системе 50*50 связанных осцилляторов Ресслера при а=0.3.

Различие в количестве синхронизированных осцилляторов по осям х и у решетки соответствует анизотропии параметра порядка Фср.

Рис. 8. Влияние анизотропии решетки (кх=0.3, ку=0.5) на процесс нанокластеризации в системе 50*50 связанных осцилляторов Рёсслера при а=0.3.

Возникновение направленности синхронизации в анизотропной решетке приводит к образованию упорядоченных динамических структур вдоль выделенных направлений, степень упорядочения зависит от коэффициента анизотропии (рис. 8).

В пятой главе проводится расчет изменения кинетической и потенциальной энергии пространственно-распределенной модели с учетом различных типов взаимодействия связанных осцилляторов решетки.

Для изучения особенностей влияния вида потенциала взаимодействия между осцилляторами, расчет энергетических соотношений проводился с учетом гармонического потенциала взаимодействия и с потенциалом взаимодействия Леннарда-Джонса.

С учетом потенциала взаимодействия Леннарда-Джонса уравнение (2) имеет вид:

+ (3)

В результате моделирования было получено, что вид потенциала взаимодействия не оказывает заметного влияния на режимы локальной синхронизации

Рис. 9. Синхронизация в решетке связанных осцилляторов размером 100x100 осцилляторов с потенциалом взаимодействия Леннарда-Джонса. Режим сильного хаоса.

При оценке изменения потенциальной энергии системы в области синхронизации для различных режимов хаоса показано, что переход системы в синхронизированное состояние сопровождается уменьшением потенциальной энергии системы вне зависимости от вида потенциала взаимодействия. На рис. 10 приведен пример уменьшения потенциальной энергии системы при увеличении жесткости связи в пределах 0.15 2 к <, 0.75 в режиме сильного хаоса а=0.3 в решетке размером 100x100 связанных осцилляторов.

Оср,

5000 1 поста 15000 2ГХЮ0 25000 30000 Э5000 40000 45000 50000

Рис. 10. Изменение средней потенциальной энергии системы 100x100 в режиме сильного хаоса при возрастании жесткости связи между осцилляторами.

Уменьшение потенциальной энергии при синхронизации свидетельствует о наличии диссипации энергии в системе. В случае, если высвободившаяся потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию движения атомов, должна происходить эмиссия тепла. Для оценки кинетической энергии рассчитывался квадрат скорости движения осцилляторов модели.

В результате расчетов показано, что соотношение между потенциальной и кинетической энергией системы при росте энгармонизма системы, контролируемого параметром жесткости связи к, хэрактеризуется 3 областями (рис. 11).

г* 4

I п

1-11 I

• Ккнеткчесжая энергия ■ ПотавхфкссьнАяэквргкк

0.1

Рис. 11. Перераспределение энергии при фазовой синхронизации в системе 50x50 связанных осцилляторов Рёсслера-эффект перехода потенциальной энергию в кинетическую при увеличении жесткости связи к.

В классической теории с ростом температуры (что соответствует увеличению жесткости связи в модели) в твердом теле происходит рост как кинетической, так и потенциальной энергии. В области I модельной системы происходит уменьшение кинетической энергии и рост потенциальной энергии. Следовательно, область I является нерабочим интервалом жесткости связи к для модели. В области П возрастание с ростом температуры кинетической и потенциальной энергии соответствует классическому случаю. Область Ш (уменьшение потенциальной энергии, сопровождающееся ростом кинетической энергии) является неклассическим случаем, соответствующим представлениям о неравновесных диссипативных системах. Уменьшение потенциальной энергии за счет эффекта хаотической синхронизации приводит к дополнительной диссипации энергии в системе.

При описании динамики тепловых колебаний кристаллической решетки с помощью модели пространственно-распределенных связанных хаотических осцилляторов выявлено, что в условиях сильного энгармонизма в результате синхронизации наблюдаются признаки самоорганизации системы:

- пороговый характер нелинейных динамических эффектов

- коллективность микроскопических процессов с образованием динамических нанокластеров

- многозначность сценариев возникновения возбужденных состояний

- дополнительная диссипация энергии за счет уменьшения потенциальной энергии

Результаты моделирования позволяют классифицировать большое количество нелинейных динамических явлений в конденсированных средах (пред-плавление и другие фазовопереходные процессы в динамических условиях, пластическая деформация, разрушение) как эффекты самоорганизации и рассматривать эти системы как технологические среды для нанотехнологий.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для описания тепловых колебаний в кристаллической решетке в условиях энгармонизма, возникающего на этапе предплавления, использована модель решетки связанных нелинейных осциллятов Ресслера с параметром порядка средней разностью фаз Фср системы, параметром хаотичности а в пределах 0.15<а<0.33, параметром жесткости связи к в пределах 0<к<0.8 и периодическими граничивши условиями. Адекватность модели проверялась на примере одномерной цепочки связанных осцилляторов и методами молекулярной динамики.

2. Для двумерной изотропной модели решетки связанных нелинейных осцилляторов показано, что при пороговых значениях параметра жесткости связи возникает динамическая локальная синхронизация тепловых колебаний, приводящая к нанокластеризации системы.

3. Установлена зависимость времени жизни и размеров наноьсластеров от параметров модели.

4. При исследовании влияния параметров изотропной модели на условия формирования динамических нанокластерных систем показано определяющее влияние жесткости связи между осцилляторами модели при хаотичности единичного осциллятора в пределах 0.15<а<0.33.

5. При исследовании влияния параметров анизотропной модели на условия формирования динамических нанокластерных систем показана анизотропия параметра порядка, приводящая к анизотропии динамической наноструктуры.

6. Показано, что в условиях сильного энгармонизма в синхронизированной решетке происходит перераспределение между потенциальной и кинетической энергией тепловых колебаний, что приводит к диссипации тепловой энергии и рассматривается как механизм эмиссии тепла в области пред-плавления.

; По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с пози|дай теории детерминированного хаоса / Жидкий С.Г. И Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2004. — Т. 12, № 3. — С. 65-73.

2. Жицкий С.Г. Нелинейно-динамическая модель эффекта предплавления / Битюцкая JI.A., Жицкий СТ., Богатиков Е.В., Шебанов А.Н.// Конденсированные среды и межфазные границы. — 2006. - Т.8, № 2. — С.89-94.

3. Zhitskey S.G. Modelling of excited states of a crystal basing on the frequency-phase synchronization of vibrations of a crystal site lattice/ Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G.// 16-th European frequency and time forum: Proceedings of Int. Conference. - St. Petersburg. - 2002. - V.2. - P. 134.

4. Zhitskey S.G. Modeling of excited states of a crystal basing on the frequency-phase synchronization of vibrations of crystal site lattice / Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G. // Physics and control: Proceedings of Int. Conference. - St. Petersburg. - 2003. - V. 3. - P. 333-334.

5. Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с позиций теории детерминированного хаоса / Битюцкая JI.A., Жицкий С.Г. // Chaotic oscillations and pattern formation: Тезисы Междунар. конф. - Саратов. - 2001. - С. 54.

6. Zhitskey S.G. Synchronization and cluster formation during phase-transient processes based on model of lattice coupled oscillators / Bityutskaya L. A., Zhitskey S.G.// Synchro-2002: Abstr. of Int. Conference. - Saratov. - 2002. - P. 4748.

7. Zhitskey S.G. Synchronization effect at phase-transient processes / Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G. // 5-th international congress of mathematical modeling: Abstr. of Int. Conference. - Dubna. - 2002. - P.104.

8. Zhitskey S.G. Modeling of excited states of a crystal basing on the two-dimensional lattice coupled chaotic oscillators / Bityutskaya L.A., Zhitskey

S.G. // 7th International Conference on Intermolecular and Magnetic Interactions in Matter: Abstr of Int. Conference. - Poland. - 2003.

9. Жидкий С.Г. Реконструкция временных рядов переходных процессов при плавлении теллура / М.Ю. Хухрянский, С.Г. Жицкий, JI.A. Битюцкая, Е.С. Машкина // Фракталы и прикладная синергетика: Тр. Международ, меж-дисципл. симп. - Москва. - 2001.- С. 23-25.

10. Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с v позиций теории детерминированного хаоса / Л.А. Битюцкая, С.Г. Жицкий

// ФиПС-01: Материалы Междунар. междисциплинарного симп. — Москва. -2001.-С. 68-70.

11. Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с позиции теории детерминированного хаоса / JI.A. Битюцкая, С.Г. Жицкий // Нелинейные процессы в дизайне материалов: Тезисы Межд. школы-семинара. - Воронеж. - 2002. - С. 165-168.

12. Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных процессов при фазовых переходах / Л.А.Битюцкая, С.Г.Жицкий // Полиматериалы-2003: Материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Москва. - 2003. - С. 73-80.

13. Жицкий С.Г. Эффект синхронизации и наноструктурирование при фазовых переходах / Л.А.Битюцкая, С.Г.Жицкий // ФиПС-03: Тр. Международ, междисципл. симпозиума. — Москва. - 2003. — С.259-264.

14. Жицкий С.Г. Моделирование динамической неустойчивости фазово-переходных процессов / С.Г. Жицкий // Шумовые и деградационные процессы в полупроводниковых приборах: Материалы Международ, науч.-техн. семинара. - Москва. - 2004 г. - С. 104-108.

Публикация [1] размещена в рецензируемом журнале, входящем в список журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Подписано в печать 24.11.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 946 Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Жицкий, Семен Григорьевич

Введение.

Глава 1. Аналитический обзор.

1.1 Переходные процессы при фазовых переходах в конденсированных средах.

1.1.1 Равновесные и неравновесные фазовые переходы.

1.1.2 Диссипативные структуры.

1.1.3 Макроскопические флуктуации при фазовых переходах.

1.1.4 Эффекты пред- и постплавления как неравновесные фазовые переходы.

1.1.5 Основные подходы к вопросу теории плавления твердых тел.

1.2 Эффект синхронизации в динамических системах.

1.2.1 Понятие синхронизации в линейных и нелинейных системах.

1.2.2 Автоколебательная система и ее фаза.

1.2.3 Синхронизация двух и многих осцилляторов.

1.2.4 Синхронизация в хаотических системах.

Глава 2. Модель кристаллической решетки как системы связанных нелинейных осцилляторов.

2.1 Применимость осцилляторов Ресслера для моделирования тепловых колебаний в условиях сильного ангармонизма.

2.2 Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в цепочке связанных осцилляторов Ресслера.

2.3 Влияние параметра жесткости связи между осцилляторами на синхронизацию в цепочке связанных осцилляторов Ресслера.

2.4 Влияние размеров цепочки на синхронизацию в цепочке связанных осцилляторов Ресслера.

Глава 3. Синхронизация в двумерных изотропных решетках связанных нелинейных осцилляторов.

3.1 Двумерная модель тепловых колебаний на основе решетки связанных осцилляторов Ресслера.

3.2 Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в изотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера.

3.3 Влияние параметра жесткости связи на синхронизацию в изотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера.

3.4 Влияние размеров решетки на синхронизацию в изотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера.

3.5 Свойства динамических нанокластеров.

Глава 4. Синхронизация в двумерных анизотропных решетках связанных нелинейных осцилляторов.

4.1 Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в анизотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера.

4.2 Влияние параметра жесткости связи на синхронизацию в анизотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера.

4.3 Влияние анизотропии жесткости связи на структурные изменения в решетке связанных нелинейных осцилляторов.

Глава 5. Диссипация энергии при хаотической синхронизации нелинейных осцилляторов.

5.1 Учет ангармонических слагаемых в потенциале взаимодействия между осцилляторами решетки.

5.2 Перераспределение энергии решетки при хаотической синхронизации.

5.3 Динамические условия возникновения диссипации энергии.

Введение диссертация по физике, на тему "Диссипативные процессы при синхронизации тепловых колебаний кристаллической решетки"

Актуальность работы.

Особую важность в трактовке этих явлений приобретает хаотическая синхронизация как возможный механизм возникновения коллективного коррелированного поведения кристаллической решетки, приводящего к диссипации тепловой, акустической и электромагнитной энергии и образованию наноструктурированных диссипативных систем.

Решение фундаментальных задач механизмов образования диссипативных структур тесно связано с бурно развивающимся наукоемким направлением - индустрией наносистем. Фундаментальной проблемой нанотехноло-гий является изучение термодинамики и кинетики наносистем. Исследование этой проблемы позволит решить актуальные задачи нанометериаловедения -получение самоорганизаванных динамических систем, сформированные в неравновесных условиях, и осуществить переход от изолированных консервативных наносистем к открытым кооперативным.

Работа является частью комплексных исследований, проводимых в рамках гранта РФФИ № 03-03-96027-р2003цчра «Получение, идентификация и параметризация самоорганизованных нанокластеров».

Цель работы.

Исследование динамики тепловых колебаний кристаллической решетки в условиях сильного ангармонизма на основе модели пространственно-распределенных связанных нелинейных осцилляторов.

Задачи работы.

3. Исследование диссипативных процессов в условиях синхронизации тепловых колебаний.

Научная новизна

2. Определены условия возникновения эффектов синхронизации и класте-рообразования в одномерных и двумерных моделях связанных осцилляторов для изотропных и анизотропных систем.

Основные положения, выносимые на защиту

3. Диссипация энергии за счет перераспределения кинетической и потенциальной энергии при возрастании ангармонизма тепловых колебаний

Практическая значимость.

Предложен подход по исследованию динамики тепловых колебаний кристаллической решетки с помощью методов нелинейной динамики, который может быть использован при моделировании возбужденных состояний с образованием наносистем.

Разработанные модели и программы могут быть использованы при планировании, постановке эксперимента и интерпретации экспериментальных данных по формированию динамических наноструктурированных систем.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертации составили содержание докладов на конференциях международного уровня «16-th European frequency and time forum» (Санкт-Петербург, 2002 г.), «Physics and control» (Санкт-Петербург, 2003г.), «Chaotic oscillations and pattern formation» (Саратов, 2001г.), «Synchro-2002» (Саратов, 2002г.), «5-th international congress of mathematical modeling» (Дубна, 2002г.), «7th International Conference on Inter-molecular and Magnetic Interactions in Matter» (Польша, 2003г.), и на кокфе-ренциях внутрироссийского уровня «ФиПС-2003» (Москва, 2003), «Шумовые и деградационные процессы в полупроводниковых приборах» (Москва, 2004), «Полиматериалы-2003» (Москва, 2003).

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с позиций теории детерминированного хаоса / Жицкий С.Г. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2004. - Т. 12, № 3. - С. 65-73.

2. Жицкий С.Г. Нелинейно-динамическая модель эффекта предплавления / Битюцкая JT.A., Жицкий С.Г., Богатиков Е.В., Шебанов А.Н.// Конденсированные среды и межфазные границы. - 2006. - Т.8, № 2. - С.89-94.

3. Zhitskey S.G. Modelling of excited states of a crystal basing on the frequency-phase synchronization of vibrations of a crystal site lattice/ Bityut-skaya L.A., Zhitskey S.G.// 16-th European frequency and time forum: Proceedings of Int. Conference. - St. Petersburg. - 2002. - V.2. - P. 134.

6. Zhitskey S.G. Synchronization and cluster formation during phase-transient processes based on model of lattice coupled oscillators / Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G.// Synchro-2002: Abstr. of Int. Conference. - Saratov. - 2002. -P. 47-48.

8. Zhitskey S.G. Modeling of excited states of a crystal basing on the two-dimensional lattice coupled chaotic oscillators / Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G. // 7th International Conference on Intermolecular and Magnetic Interactions in Matter: Abstr of Int. Conference. - Poland. - 2003.

9. Жицкий С.Г. Реконструкция временных рядов переходных процессов при плавлении теллура / М.Ю. Хухрянский, С.Г. Жицкий, JI.A. Битюц-кая, Е.С. Машкина // Фракталы и прикладная синергетика: Тр. Международ. междисципл. симп. - Москва. - 2001.- С. 23-25.

10. Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с позиций теории детерминированного хаоса / JI.A. Битюцкая, С.Г. Жицкий // ФиПС-01: Материалы Междунар. междисциплинарного симп. -Москва.-2001.-С. 68-70.

13. Жицкий С.Г. Эффект синхронизации и наноструктурирование при фазовых переходах / ЛА.Битюцкая, С.Г.Жицкий // ФиПС-03: Тр. Международ. междисципл. симпозиума. - Москва. - 2003. - С.259-264.

15. Жицкий С.Г. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «Ressler 3» № 2006612783

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем диссертации 146 страниц, в том числе

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Заключение и выводы

1. Для описания тепловых колебаний в кристаллической решетке в условиях ангармонизма, возникающего на этапе предплавления, использована модель решетки связанных нелинейных осцилляторов Ресслера с параметром порядка средней разностью фаз Фср системы, параметром хаотичности а в пределах 0.15<а<0.33, параметром жесткости связи к в пределах 0<к<0.8 и периодическими граничными условиями. Адекватность модели проверялась на примере одномерной цепочки связанных осцилляторов и методами молекулярной динамики.

3. Установлена зависимость времени жизни и размеров нанокластеров от параметров модели.

6. Показано, что в условиях сильного ангармонизма в синхронизированной решетке происходит перераспределение между потенциальной и кинетической энергией тепловых колебаний, что приводит к диссипации тепловой энергии и рассматривается как механизм эмиссии тепла в области предплавления.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Жицкий, Семен Григорьевич, Воронеж

1. Анисимов М.А. Критические явления в жидкостях и жидких кристаллах / М.А. Анисимов. М.: Наука, 1987. - 272 с.

2. Браут Р. Фазовые переходы / Р. Браут. М.: Мир, 1967. - 288 с.

3. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления / Г. Стенли. М.: Мир, 1973.-419 с.

4. Фольмер М. Кинетика образования новой фазы / М. Фольмер. М.: Наука, 1986.-208с.

5. Фишер М. Природа критического состояния / М. Фишер. М.: Мир, 1968.-221 с.

6. Хакен Г. Лазерная светодинамика/ Г. Хакен. М.: Мир, 1988. - 350 с.

7. Малек-Мансур М. Неравновесные фазовые переходы в химических системах. / М. Малек-Мансур, Г. Николис, И. Пригожин. М.: Наука, 1980.- 59-83 с.

8. Хакен Г. Синергетика: неравновесные фазовые переходы и самоорганизация в биологических системах / Г. Хакен. М.: Наука, 1980. - 83-100 с.

9. Климонтович Ю.Л. Броуновское движение в автоколебательных системах при фазовых переходах / Ю.Л. Климонтович. М.: Наука, 1980. -100-118 с.

10. Фурукава X. Неравновесные флуктуации и необратимые процессы в системах, далеких от теплового равновесия / X. Фуракава. М.: Наука, 1980. - 119-131 с.

11. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем / Ю.Л. Климонтович. М.: Янус-К, 1999. - 440 с.

12. Базаров И.П. Термодинамика / И.П. Базаров. М.: Высшая школа, 1991.- 376 с.

13. Rulkov N.F. Generalized synchronization of chaos in unidirectionally coupled chaotic systems / N.F. Rulkov, M.M. Sushchik, L.S. Tsimring, H.D. Abarbanel // Phys. Rev. E. 1995. - V. 51. - P. 980-995.

14. Николис Г. Познание сложного / Г. Николис, И. Пригожин. М.: Мир, 1990. - 334 с.

15. Chua L.O. The double scroll family / L.O. Chua, M. Komuro, T. Matsumoto // IEEE Trans. Circuits and Syst. 1986. - V.2. - P. 1073-1118.

16. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах / В. Эбе-линг. М.: Мир, 1979. - 279 с.

17. Карери Дж. Порядок и беспорядок в структуре материи / Дж. Карери. — М.: Мир, 1985.-232 с.

18. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Ней-марк, П.С. Ланда. М.: Наука, 1987.

19. Ма Ш. Современная теория критических явлений / Ш. Ma. М.: Мир, 1980.

20. Хакен Г. Явления перехода и переходные процессы в нелинейных системах / Г. Хакен. М.: Мир, 1984. - 7-17 с.

21. Хакен Г. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Г. Хакен. М.: Мир, 1985. - 423 с.

22. Васильев В.А. Автоволновые процессы / В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно. М.: Наука, 1987. - 240 с.

23. Шустер Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер. М.: Мир, 1988.

24. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса / Ю.Л. Климонтович. -М.: Наука, 1990.

25. Бак П. Самоорганизованная критичность / П. Бак, К. Танг // В мире науки. -1991, №3.

26. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров / Б.М. Смирнов. М.: Наука, 1991.

27. Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Маар-сден, М. Мак-Кракен. М.: Мир, 1980. - 368 с.

28. Гроссман С. Динамика флуктуаций вблизи химических неустойчивостей /С. Гроссман. -М.: Мир, 1984. 126- 137 с.

29. Видаль К. Динамические неустойчивости, наблюдаемые в системе

30. Белоусова-Жаботинского / К. Видаль. М.: Мир, 1984. - 109- 124 с.

31. Иванова B.C. Синергетика: Прочность и разрушение металлических Материалов / B.C. Иванова. М.: Наука, 1992. - 160 с.

32. Битюцкая JI.A. Кооперативные эффекты пред- и постпереходных состояний при плавлении германия / JI.A. Битюцкая, Е.С. Машкина // Письма в ЖТФ. 1995. - Т. 21, №17. - С. 8-11.

33. Битюцкая JI.A. Влияние анизотропии кристаллической структуры на переходные процессы при плавлении сурьмы / JI.A. Битюцкая, Е.С. Машкина // Письма в ЖТФ. 1995. - Т. 21, №20. - С. 30-33.

34. Битюцкая JI.A. Особенности пред- и постпереходных состояний при плавлении меди / JI.A. Битюцкая, Е.С. Машкина // Письма в ЖТФ. -1995. Т. 21, №24.-С. 90- 93.

35. Bityutskaya L.A. System of kinetic parameters of the transition processes under melting of crystalline substances / L.A.Bityutskaya, E.S.Mashkina// Phase Transition. 2000. - V. 71. - P. 317-330.

36. Новиков И.И. Новые металлургические процессы и материалы / И.И. Новиков. М.: Наука, 1991. 121-128 с.

37. Аифантис И. Скачкообразное поведение модулей деформации и сдвига при неравновесных фазововых преходах / И. Аифантис, Д. Валграеф, В.Г. Барьяхтар, С.П. Ефименко // Укр. физ. журн. Т. 36, №7. - С. 10681070.

38. Lindeman G.A. / G.A. Lindeman // Phys. Zs. 1910. - V.l 1. - P. 609.

39. Братковский А. М.Теория плавления щелочных металтов / A.M. Браков-ский, В.Г. Вакс, Т.П. Трефилов // ЖЭТФ. 1984. - Т. 86, - С. 2141-2157.

40. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкости / Я.И. Френкель. -Ленинград, 1975. 59-92 с.

41. Уббелоде А. Плавление и кристаллическая структура / А. Уббелоде. -М., 1969.

42. Уббелоде А. Расплавленное состояние вещества / А. Уббелоде. — М., 1982.-376 с.

43. Khait Yu. L. Calculation of narrow temperature interval of premalting phenomena/ Yu.L. Khait // Phys. Stat. Sol (b). 1985. - V.131. - P. K19-K22.

44. Смирнов Б.М. Системы атомов с короткодействующим взаимодействием / Б.М. Смирнов. // УФН. 1992. - Т. 162, №12. - С. 97.

45. Смирнов Б.М. Кластеры с плотной упаковкой и заполненными оболочками / Б.М. Смирнов // УФН. 1993. - Т. 163, №10. - С. 29.

46. Смирнов Б.М. Плавление кластеров с парным взаимодействием атомов / Б.М. Смирнов//УФН,- 1994.-Т. 164, №11.-С. 1165.

47. Кацнельсон М.И. Коллективные явления в динамике решетки и механизмы развития структурных неустойчивостей / М.И. Кацнельсон, А.В. Трефилов // ФММ. 1987. - Т. 64, № 4. - С. 629-642.

48. Кацнельсон М.И. Синхронизация фононных частот и квазистатические смещения атомов в кристаллах / М.И. Кацнельсон, А.В. Трефилов // ЖЭТФ. 1990. - Т. 97 - С. 1892-1900.

49. Горностырев Ю.Н. Синхронизация фаз в термостате и особенности динамики решетки металлов в условиях резонанса Ферми / Ю.Н. Горностырев, М.И. Кацнельсон, А.П. Платонов, А.В. Трефилов // ЖЭТФ. -1994.-Т. 107.-С. 925-935.

50. Кацнельсон М.И. Акустический аналог резонанса Ферми / М.И. Кацнельсон, А.П. Платонов, А.В. Трефилов // ЖЭТФ. 1999. - Т. 69, № 6. -С. 417-422.

51. Кацнельсон М.И. Возможный сценарий плавления металлов / М.И. Кацнельсон, А.В. Трефилов // ФММ. 2001. - Т. 91, №2. - С. 5-8.

52. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986.

53. Hugenii С. Horoloqium Oscillatorium / С. Hugenii. -France: Parisiis, 1673.

54. Релей Д.В. Теория звука / Д.В. Релей. М.: Гостехиздат, 1955.

55. Eccless W.H. / W.H. Eccless, J.H.Vincent // British Patent Spec. 1920. - P. 462.

56. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator / E.V. Ap-pleton // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1922. - P. 231-248.

57. Van der Pol. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance (Reception with reactive triode) / Van der Pol // Phil. Mag. 1927.- V3. - P.64-80.

58. Van der Pol. Frequency demultiplication / Van der Pol, J. Van der Mark // Nature. 1927. - V.120. - P. 363-364.

59. Андронов А.А. К математической теории захватывания / А.А. Андронов, А.А. Витт // Журнал прикладной физики. 1930. - Т.7, №4.

60. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, М. Хай-кин. -М.: Наука, 1981.

61. Kaempfer Е. The History of Japan (With a Description of the Kingdom of Siam) / E. Kaempfer. London: Sloane, 1727.

62. Winfree A.T. Biological rhethms and the behavior of populations of coupled oscillators / A.T. Winfree // J. Theor. Biol. -1967. -V. 16. P.15-42,.

63. Winfree A.T. The Geometry of Biological Time / A.T. Winfree. New York: Springer, 1980.

64. Глас JI. От часов к хаосу: Ритмы жизни / Л. Глас, М. Мэки. М.: Мир, 1991.

65. Glass L. Synchronization and rhythmic process in physiology / L. Glass // Nature. 2001. - V. 410. - P.277-284.

66. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем / И.И. Блехман. -М.: Наука, 1971.

67. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике / И.И. Блехман. М.: Наука, 1981.

68. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах / Т. Хаяси. М.: Мир, 1968.

69. Анищенко B.C. Эффект захвата базовой частоты хаотических колебаний. Синхронизация странных аттракторов / B.C. Анищенко, Д.Э. Постнов // Письма в ЖТФ. -1988. Т. 14, №6. - С. 569.

70. Rosenblum M. Phase synchronization of chaotic oscillators / M. Rosenblum, A. Pikovsky, J. Kurths // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 76. - P. 1804-1807.

71. Anishchenko V.S. Synchronization of chaos / V.S. Anishchenlco, Т.Е. Vadi-vasova, D.E. Postnov, M.A. Safonova // Int. J. Of Bifurcation and Chaos. -1992.-V. 2, №3. P. 633-644.

72. Пиковский А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление /

73. A. Пиковский, М. Роземблюм, Ю. Курте. М.: Техносфера, 2003.

74. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы / П.С. Ланда. М.: Наука, 1980.

75. Мигулин В.В. Основы теории колебаний / В.В. Мигулин, Е.Р. Мустель,

76. B.И. Медведев, В.Н. Парыгин. М.: Наука, 1978.

77. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. М.: Наука, 1976.

78. Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. -М.: Наука, 1984.

79. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах / B.C. Анищен-ко.-М: Наука, 1990.

80. Анищенко B.C. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем / B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, В.В. Астахов. Саратов.: СГУ, 1999.-368 с.

81. Афраймович B.C. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипа-тивных системах / B.C. Афраймович, Н.Н. Веричев, М.И. Рабинович // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. -1989. Т. 29, № 9. - С. 1050-1060.

82. Pecora L. Synchronization in chaotic systems / L. Pecora, T. Carroll // Phys. Rev. Lett. 1990. - V.64. - P.821-823.

83. Волковский A.P. Экспериментальное исследование бифуркаций на пороге стохастической синхронизации / А.Р. Волковский, Н.Ф. Рульков // Письма в ЖТФ 1989. - Т. 15, №7. - С. 5-10.

84. Collins J.J. Coupled nonlinear oscillators and the symmetries of animal gaits / J.J. Collins, I.N. Stewart // J. Nonlinear Sci. 1993. - V.3. - P.349-392.

85. Strogatz S.H., Stewart I. Coupled oscillators and biological synchronization / S.H. Strogatz, I. Stewart // Sci. Am. 1993. - V.12. - P.68-75.

86. Арансон И.С. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур / И.С. Арансон, А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович // ЖЭТФ. 1985. - Т. 89.-С. 92-105.

87. Gaponov-Grekhov A.V. Dynamic chaos in ensembles of structures and spatial development of turbulence in unbounded systems / A.V. Gaponov-Grekhov, M.I. Rabinovich. -N.Y.: Ed.W. Ebeling., 1986.

88. Гапонов-Грехов А.В. Автоструктуры, хаотическая динамика ансамблей. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович. М.: Наука, 1978. - 7-44 с.

89. Анищенко B.C. Пространственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связанных генераторов / B.C. Анищенко, И.С. Арансон, Д.Э. Постнов, М.И. Рабинович // ДАН СССР. -1986. Т. 286, № 5. - С. 1120-1124.

90. Абарбанель Г.Д. Синхронизация в нейронных ансамблях / Г.Д. Абар-банель, М.И. Рабинович, А. Сильверстон, М.В. Баженов, Р. Хуэрта, М.М. Сущик, Л.Л. Рубчинский // УФН. 1996. - Т. 166, № 4. - С. 365390.

91. Belykh V.N. On chaotic synchronization in a linear array of Chua's circuits / V.N. Belykh, N.N. Verichev, L.J. Kocarev, L.O. Chua // J. of Circuits, Systems, and Computers. 1993. - V. 3, № 2. - P. 579-589.

92. Глова А.Ф. О когерентной генерации линейного набора волноводных С02-лазеров с пространственным фильтром / А.Ф. Глова, С.Ю. Курчатов, В.В. Лиханский, А.Ю. Лысиков, А.П. Напартович // Квантовая электроника. 1996. - Т. 23, №6. - С. 515-517.

93. Pikovsky A.S. Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillators / A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum, J. Kurths. // Europhys. Lett. -1996. V. 34, № 3. - P. 165-170.

94. Zenett D.M. Mutual synchronization in ensembles of globally coupled neuralnetworks / D.M. Zenett, A.S. Mikhailov // Phys. Rev. E. 1998. - V. 58, № l.-P. 872-875.

95. Kuramoto Y. Self-entrainment of a population of coupled nonlinear oscillators / Y. Kuramoto // Editor, International symposium on mathematical problems in theoretical physics. New York. - 1975. - V.39. - P. 420

96. Мун Ф. Хаотические колебания / Ф. Мун. М.: Мир,1990.

97. Шустер Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер. М.: Мир, 1988.

98. Рюэль Д. О природе турбулентности / Д. Рюэль, М. Такенс.-М.: Мир, 1981.-117-151 с.

99. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow / E.N. Lorenz // J. of the atmospheric sciences. 1963. - V.20. - P. 130-141.

100. Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое течение / Э.Н. Лоренц. М. Мир, 1981. - 88-116 с.

101. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. М.: Наука, 1976.

102. Неймарк Ю.Л. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.Л. Неймарк. М.: Наука, 1972.

103. ЮО.Гаушус Э. В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований / Э.В. Гаушус. М.: Наука, 1976.

104. Pikovsky A.S. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving / A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum, G.V. Osipov, J. Kurths // Physica D. 1997.-V. 104.-P. 219-238.

105. Pikovsky A.S. Effect of phase synchronization in driven chaotic oscillators / A.S. Pikovsky, N.G. Rosenblum // Kurths J IEEE Trans. 1997. - V. 1.

106. Shalfeev V.D. Chaotic phase synchronization of coupled PLLS / V.D. Shal-feev, G.V. Osipov // Proc. of 5-th Int. Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Moskow. - 1997. - P. 139-144.

107. Pikovsky A.S. Phase synchronization of chaotic oscillations in terms of periodic orbits / A.S. Pikovsky, M.A. Zaks, M.G. Rosenblum, G.V. Osipov // Kurths J Chaos. 1997. - V.7, №4. - P. 680-687.

108. Rossler O.E. An equation for continuous chaos / O.E. Rossler // Phys. Lett. A. -1976 V. 57, № 5. - P. 397-398.

109. Goryachev A. Spiral waves in chaotic systems / A. Goryachev, R. Kapral // Phys. Rev. Lett 1996. -V. 76, №10. - P. 1619-1622.

110. Pikovsky A.S. Synchronization and stochastization of nonlinear oscillations by external noise. In Sagdeev editor, Nonlinear and turbulent processes in physics / A.S. Pikovsky. Harwood, 1984. - P. 1601-1604

111. Park E.H. Phase synchronization in the forced Lorenz system / E.H. Park, M.A. Zaks, J. Kurths // Phys. Rev. 1999. - V. 60, №6. - P.6627-6638.

112. Zaks M.A. Alternating locking ratios in imperfect phase synchronizatio / M.A. Zaks, E.H. Park, M.G. Rosenblum, J. Kurths // Phys. Rev. Lett. -1999. V.82. -P.4228-4231.1.lO.Osipov G.V. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical

113. Ressler oscillators / G.V. Osipov, A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum, J. Kurths //Phys. Rev. E. 1997. -V.55, №3. - P.2353-2361.1. l.Garbor D. / D. Garbor II J. IEE London. 1946. - V.93. - P.429.

114. Panter P. Modulation, noise and spectral analysis / P. Panter. New York: McGraw-Hill, 1965.

115. Ванштейн JI.А. Разделение частот в теории колебаний и волн / Л.А. Ванштейн, Д.Е. Вакман. М.: Наука, 1983.

116. Middleton D. An introduction to statistical communication theory / D. Mid-dleton. New York: McGraw-Hill, 1960.

117. Левин Б.Р. Теоретические основы радиотехники / Б.Р. Левин. М.: Сов. Радио, 1974.

118. Tass P. Synchronization in networks of limit cycle oscillators / P. Tass, H. Haken // Z. Physik B. 1996.- V. 100. - P.303-320.

119. Tass P. Phase and frequency shifts in a population of phase oscillators / P. Tass II Phys. Rev. E. 1997. - V.56, №2. - P. 2043-2060.

120. Winfree A.T. Biological rhythms and the behavior of populations of coupled oscillators / A.T. Winfree // J. Theor. Biol. 1967 - V. 16. - P. 15-42.

121. Pavlidis Т. Populations of interacting oscillators and circadian rhythms / T. Pavlidis // J. Tkeor. Biol. 1969. - V.22. - P.418-436.

122. Strogatz S. H. Coupled oscillators and biological synchronization / S.H. Strogatz, I. Stewart // Sci. Am. 1993. - V.12 - P.68-75.

123. Strogatz S.H. / S.H. Strogatz // Nonlinear Dynamics and Chaos. 1994.

124. Strogatz S. H. From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators / S.H. Strogatz // Physica D. 2000. - V.143, №4. - P.l-20.

125. Watanabe S. Integrability of a globally coupled oscillator array. / S. Wata-nabe, S.H. Strogatz // Phys. Rev. Lett. 1993. - V.70, №16. - P. 23912394.

126. Watanabe S. Constants of motion for superconducting Josephson arrays / S. Watanabe, S.H. Strogatz // Physica D. 1994 - V.74. - P. 197-253.

127. Balmforth N. J. Synchronized family dynamics in globally coupled maps / N.J. Balmforth, A. Jacobson, A. Provenzale // Chaos. 1999. - V. 9, №3. -P.738-754.

128. Crawford J. D. Amplitude expansions for instabilities in populations of globally-coupled oscillators / J.D. Crawford // J. Stat. Phys. -1994. V.74, №5/6. - P. 1047-1084.

129. Crawford J.D. Scaling and singularities in the entrainment of globally coupled oscillators / J.D. Crawford // Phys. Rev. Lett. 1995. - V.74, №21. -P.4341-4344.

130. Crawford J.D. Synchronization of globally coupled phase oscillators: Singularities and scaling for general couplings / J.D. Crawford, K.T.R. Davies // Physica D. 1999. - V.125, №2. - P. 1-46.

131. Stange P. Mutual synchronization of molecular turnover cycles in allosteric enzymes / P. Stange, A.S. Mikhailov, B. Hess // J. Phys. Chem. B. 1998. -V.102, №32. - P.6273-6289.

132. Hong H. Synchronization and resonance in a driven system of coupled oscillators / H. Hong, M.Y. Choi, K. Park, B.G. Yoon, K.S. Soh // Phys. Rev. E. -1999. V.60, №4. - P.4014-4020.

133. Hong H. Noise effects on synchronization in systems of coupled oscillators / H. Hong, M.Y. Choi, B.G. Yoon, K. Park, K.S. Soh // J. Phys. 1999. - V. 32. -P.9-15.

134. Reimann P. Nonequilibrium noise in coupled phase oscillators / P. Re-imann, C. Van den Broeck, P. Kawai // Phys. Rev. E. -1999. V.60, №6. -P.6402-6406.

135. Sakaguchi H. Mutual entrainment in oscillator lattices with nonvariational type interaction / H. Sakaguchi, S. Shinomoto, Y. Kuramoto // Prog. Theor. Phys. 1988. - V.79, №5. - P.1069-1079.

136. Sakaguchi H. Phase transitions and their bifurcation analysis in a large population of active rotators with mean-field coupling/ H. Sakaguchi, S. Shinomoto, Y. Kuramoto // Prog. Theor. Phys. 1988. - V.79, №3.1. P.600-607.

137. Winful H. G. Synchronized chaos and spatiotemporal chaos in arrays of coupled lasers / H.G. Winful, L. Rahman // Phys. Rev. Lett. 1990. - V.65. -P.1575-1578.

138. Hoppensteadt F.C. Oscillatory neurocomputers with dynamic connectivity / F.C. Hoppensteadt, E.M. Izhikevich// Phys. Rev. Lett. 1999. -V.82,№14.- P.2983-2986.

139. Christiansen B. Collective dynamics of coupledmodulated oscillators with random pinning / B. Christiansen, P. Alstrom, M.T. Levinsen // Physica D.- 1992. -V.56. P.23-35.

140. МО.Короновский А.А. Динамика решетки отображений с пороговой связью / А.А. Короновский // Письма в ЖТФ. 1999. - Т. 25, №4.

141. Pecora L.M. Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts and applications / L.M. Pecora, T.L. Carroll, G.A. Johnson, D.J. Mar, J.F. Heagy // Chaos. 1997. - V7,№ 4.

142. Belykh V. Cluster synchronization in three-dimensional lattices of diffusively coupled oscillators / V. Belykh, I. Belykh, M. Hasler, K. Nevidin // International Journal of Bifurcation and chaos. 2003. - V.13, №.4. - P.755-779.

143. Кацнельсон М.И. Динамика и термодинамика кристаллической решетки / М.И. Кацнельсон, А.В. Трефилов. М.: ИздАТ, 2002. - 280 с.

144. Jin Z.H. Melting mechanisms at the limit of superheating / Z.H. Jin, P. Gumbsch, K. Lu, E. Ma // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.87, №5.

145. Miyano T. Dynamical instability of the motion of atoms in a silicon crystal / T. Miyano // Phys. Rev. E. 2001. - V.64. - P.6202.

146. Khait Yu. L. Large picosecond energy fluctuations of single atoms of a-Si observed in molecular-dynamics studies / Yu. L. Khait, A. Silverman, R. Weil, J. Adler // Phys. Rev. B. 1991. - V.44, №15.

147. Strunz T. Driven Frenkel-Kantorova model. I. Uniform sliding states and dynamical domains of different particle densities / T. Strunz, F.J. Elmer // Phys. Rev. E. 1998. - V.58, №2.

148. Strunz T. Driven Frenkel-Kantorova model. II. Chaotic sliding and nonequi-librium melting and freezing / T. Strunz, F.J. Elmer // Phys. Rev. E. 1998. -V.58, №2.

149. Мирзоев Ф. Роль нанокластеров кристаллизующегося компонента в процессах объемной кристаллизации / Ф. Мирзоев, JI.A. Шелепин // Письма в ЖТФ. 2002.- Т. 28, №1.