Двумерные задачи динамики и статики несимметрично-слоистых анизотропных пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

российская академия наук

институт проблем механики

На правах рукопис

Р Г 5 ОД

Р П'П

и ! ЗАХАРОВ Дмитрий Дмитриевич

ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ И СТАТИКИ НЕСИММЕТРИЧНО-СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

\

\

Специальность 01-02Я4 -- механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994 г.

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор И-ЕСимонов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор ЕМ-Александров;

Ведущая организация:

Московский государственный университет

ш заседании специализированного совета Д 002Я7Ш при Институте Проблем Механики РАН по адресу П7526, Москва, пр-т Вернадского, 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке йиститута проблем механики РАН

доктор Физико-математических наук, профессор А.Б.Ефимов.

Защита состоится

1994г. в

Д-Л7

Ученый секретарь

сявциализированного совета Д 002Я7Ш кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Актуальность работы. Технологические достижения последних десятилетий в области композиционных материалов существенно расширили сферу применения слоистых оболочек и пластин (авиация и космос, судостроение, автомобилестроение и т.д.). Используемые слои часто обладают существенной анизотропией свойств и по-разному пакетируются. Кроме того, высокопрочные несущие слои из однонаправленного композита (углерод-углеродного, бороуглеродного) обычно имеют очень малые толщины (порядка ИГ'мм). Типичным становится и появление несимметричных укладок- Последние представляют самостоятельный интерес для оптимального проектирования, а также встречаются в расслоенных элементах конструкций. Это стимулирует интерес к адекватному описанию поведения многослоен в статике и динамике, и в первом приближении - к обобщению теории типа Кирхгофа-Лява для тонких пластин и оболочек

Как известно, классическая теория рассматривает пластины с нейтральной (срединной) плоскостью, недеформируемой при изгибе. Основные гипотезы и результаты в этой области восходят к трудам Коши, Пуассона, Сен-Венана, Жермен, Кирхгофа, Лява. Более поздние достижения для анизотропных пластинок были получены СГЛехницким, С.ГМихлиным, Г.Н.Савиным, Д.И.Шерманом, АГрином, АСтивенсоном в 1930-50 гг. Этим авторам также принадлежат основные точные решения в краевых задачах статики анизотропных монопластинок, полученные с помощью метода комплексных потенциалов (типа Колосова-Мусхелишви-ли) и других методов.

В 60-е годы существенное продвижение связано с внедрением в теорию пластин и оболочек асимптотических методов, что позволило в ряде случаев обходиться без предварительных гипотез. Здесь следует назвать первые работы АЛГольденвейзера, ИИВоровича, А-ЕКолос, Л А.Агаловяна, С.А.Амбарцумяна и одновременные исследования К.Фри-дрихса, А.Грина, ЕРейса, Э.Рэйсснера и др. Математические основы методов осреднения и двухмасштабных асимптотических разложений были разработаны в трудах НСБахвалова и ДжЛионса, последующих работах ВЛ.Бердичевского, С.С.Григоряна. ОАОлейник, Г.А.Ио-сифьяна. Г.ППанасенко, А.С.Шамаева, Б.ЕПэбедри, ВИ.Горбачева. группы Французских ученых: Е.Санчес-Паленсия, Ф.Дестиндера, П. Сьярле, Л.Тартара и др. Аналогичные методы эффективно применялись к построению моделей слоистых (в том числе геофизических) сред с

линейным и нелинейный поведением НАЗволинским, КН.Шхинвком, И.СНикитиным, а также А-БЕФимовым, Б.И.Моргуиовым и др. В распространение асимптотического метода на класс динамических задач однослойных изотропных тонких тел в высокочастотном (и длинноволновом диапазоне) большой вклад внесен работами ЯЕТовстика, Дж.Ахенбаха, У.К.Нигула, МФМвхтиева, Л-Ю.Коссовича, ДГ.Василье-ва, ЮДКаплунова. В механкке неоднородных, электро- и магнитоуп-ругих тонких тел, а также пластин с неклассическими условиями на лицевых поверхностях следует упомянуть труды АЛ.Радовинского, ННРогачевой, С.О.Саркисяна, Р.С.Геворкяна.

Разнообразные применения асимптотические подходы нашли в широком классе задач об упругих телах с тонкими прослойками, вклх>~ чениями, накладками, трещинами в работах ВМ Александрова, ЕВКо-валенко, СМ Мхитаряна, Г.Я.Попова, БИСметанина, БВСоболя, МИЧебакова и др.

Ряд работ был посвящен тонким изотропно-слоистым пластинкам, причем особое внимание при моделировании уделялось пакетам с контрастными свойствами слоев. Подробные исследования содержатся в работах ЕВБолотина, БННовичкова (инженерные гипотезы, вариационные методы), М ИГуссейн-Заде (асимптотический метод); завершающая классификация таких моделей построена ИВСимоновым. Ряд асимптотических результатов (в том числе теоремы о сходимости решений) по теории не-контрастных изотропных слоистых пластинок получен ФДестиндером.

Попытки одновременного учета анизотропии слоев и несимметрии укладки в статика пластин делались как на основе гипотетического подхода, так и с помощью асимптотических методов. Пластины из ортотропных слоев с параллельными главными осями рассматривали С.А.Амбарцумян, А-Ф-Рябов, АО-Рассказов. Эти авторы отказались от гипотезы жесткой нормали и задали более сложный вид продольных перемещений с целью описать деформации сдвига для слоев с относительно небольшими модулями сдвига. Отметим, что для сопоставимых упругих констант главные компоненты решения совершенно иные. Удачная гипотеза о классической структуре перемещений сделана в работах Р.М.Кристенсена (1977) для ортотропных слоев с близкими свойствами, уложенных в пакет с поворотом главных осей; несколько ранее та же гипотеза была высказана С.А.Амбарцумяном для слоистых оболочек.

Осредненная модель перфорированной слоисто-анизотропной пластины.

ГД9 шаг перфорации сравним с толщиной пакета, построена асимптотическим методом Д.Кайри (1982, проект "Аркан"). В последующих работах РМКристенсена, КЛо, Е.Ву и ДжРедди на основании гипотез предложены теории статики многослоен более высокого порядка для более точного учета деформаций сдвига. Проведенные сравнения с результатами прямого численного счета, экспериментами и решениями задач трехмерной статической теории упругости для простых (в основном прямоугольных) областей (НПагано), эмпирически согласуются с предложенными гипотетическими подходами.

Вместе с опытом практиков идеи этих авторов широко использовались в западных технических расчетах, литература по данным вопросам очень обширна.

Подробные обзоры прикладных методов расчета и оптимизации конструкций из композиционных материалов можно найти в монографиях И.Ф. Образцова, НВБакичука, В.В.Васильвва, ВВУсюкина, Н.А.АлФутова, ПА.Зиновьева, Б.Г.Попова, а также ВЛБидермана и Э.ИГриголюка (гипотеза ломаных для продольных перемещений в слоистых оболочках) , А.Г.Горшкова; БЛ.Пелеха и ВАЛазько, В.В.Болотина, Г.ИЧе-ренанова, ДжУитни (концентраторы напряжений, прочность и устойчивость расслоенных композитных элементов конструкций), А.ЕКармиши-на, ВИ.Мяченкова, И.В.Григорьева, А.Н.Фролова и других авторов. В целом утвердилось понимание связанности процессов изгиба-растяжения-сжатия-сдвига, были изучены многие частные виды анизотропии. Однако отсутствовал Фундаментальный анализ моделей: исследование общих случаев в статике и, особенно, в динамике, асимптотические рассмотрения, аналитические методы решения краевых задач для областей сложной формы. Этим вопросам и некоторым их приложениям посвящена тема предлагаемой диссертации.

Цель работы. Развитие методов исследования напряженно-деформируемого состояния (НДС) тонких упругих асимметрично-слоистых анизотропных пластин, включая:

- построение обоснованных двумерных .математических моделей в статике и динамике;

- постановку, анализ и разработку методов решения основных краевых задач;

- применение полученных результатов к решению конкретных краевых задач статики и динамики, проведение параметрического анализа новых эффектов.

Научная новизна и значение результатов. Основные достижения работы сводятся к следующему: '

1. Исходя из трехмерных уравнений динамической теории упругости асимптотическим методом выведены двумерные уравнения динамики внутреннего НДС слоистых пластин для случая произвольной укладки и прямолинейной анизотропии общего вида в слоях.

2. Дана классификация различных моделей по их асимптотической точности, виду анизотропии слоев, возможности связанного или раздельного рассмотрения процессов изгиба и растяжения-сжатия-сдвига в продольной плоскости пластины.

3. Исследованы основные свойства полученных дифференциальных операторов и энергии, выведены естественные краевые условия и доказана единственность решения основных краевых задач и задачи Коши-

4. Предложен новый метод решения краевых задач статики при сильной связанности процессов изгиба и растяжения-сжатия-сдвига. Основные краевые задачи сведены к классической задаче теории Функций комплексного переменного, что позволило использовать мощный аппарат анализа и выписать точные решения задач для класса областей, конформно отображаемых на единичный круг.

5. Точно решен ряд конкретных краевых задач статики для областей с эллиптической границей (первая и вторая краевые задачи для конечного эллипса и бесконечной пластины с эллиптическим вырезом, предельная задача о пластине со сквозным разрезом, построены частные решения для конечного эллипса с полиномиальной лицевой нагрузкой).

6. На основании полученных двумерных моделей численно-аналитически исследованы колебания бесконечной двухслойной пластины из (транс-версально) изотропных материалов с большим расслоением канонической Формы (дисковидной или полосовой). Проведен параметрический анализ решений и обнаружены новые резонансные эффекты в низкочастотной области

- расщепление квазирезонансов на "нижний" и "верхний" при варьировании отношения толщин слоев;

- появление на "нижних" квазирезонансах новой синфазной формы и антифазных режимов колебаний;

(оба эффекта относятся только к задаче с цилиндрической геометрией и отсутствуют в задаче о расслоенной балке)

- локализация колебаний вблизи расслоения и появление вещественного спектра колебаний при попадании на определенную поверхность в пространстве параметров (уравнение поверхности выведено). Кроме того, с помощью инвариантного интеграла Райса-Черепанова

получена оценка возможного альтернативного разрушения - в центре пластины или в вершине расслоения.

Достоверность результатов подтверждается: выводом основных соотношений апробированным методом из трехмерной динамической теории упругости без каких-либо предварительных гипотез; непротиворечивостью полученных результатов для рассматриваемого класса объектов и их сравнением с известными работами других авторов; физическими соображениями; переходом к классическим соотношениям в предельных случаях.

Практическое значение работы состоит в расширении области действия асимптотических методов в динамике слоистых тонких тел; обобщении классической теории слоистых пластин типа Кирхгофа-Лява на случай связанного изгиба и растяжения-сжатия-сдвига; обобщении метода комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили-Лехницкого в задачах статики многое лов к; решении модельных задач статики и динамики, что может служить тестовой информацией при технических расчетах и оптимальном проектировании.

Аппробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всесоюэ-ноЯ конференции по волновым и вибрационным процессам в машиностроении (Горький, 1989); 15-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1990); международном симпозиуме ютам "Контактное нагружение и локальные эффекты в тонких протяженных пластинчатых и оболочечных структурах" (Прага, 1990); международной конференции по разрушению icf-6 (Киев, 1993); международной конференции по композитным материалам iccm-э (Мадрид, 1993); семинаре по динамике сплошной среды и семинаре по механике сплошной среды им. Л.АГалина Института проблем механики РАН (1990-19Э4г), семинаре кафедры композитных материалов механико-математического факультета Московского Государственного Университета (1994). Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах / 1-10 /.

Структура и объем работы- Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (Г74 наименования); содержит 144 листа текста, 22 рисунка и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор исследований по моделям пластин, постановкам и решению основных задач; сформулирована тема

и цель диссертации, обоснована ее актуальность, новизна и практическое значение; дано краткое описание работы по главам.

В главе I исследуется динамическое внутреннее НДС тонкого несимметричного пакета (пластины) из # упругих слоев, состоящих из материалов с прямолинейной анизотропией общего вида. В декартовой системе координат (г- поперечная координата, £ -

время) напряжения и деформации в/'-м слое связаны законом Гуна

¿Г^*/ > (I)

<т33, а-гз> <г„, <г,2 у = ( е„, е27, ¿е21, ,1е<2 ) * Слои полностью сцеплены и начальное состояние пластины - невозмущенное. Динамический процесс предполагается длинноволновым, т.е. характерные длины волн деформации много больше толщины пакета и масштаб времени много больше времени прохождения толщины пакета самой медленной из волн в слоях. Вводятся традиционные для теории пластин и оболочек априорные оценки параметров: £ - У/ , Т, где И, ¿, с, Т7 есть полутолщина пакета; характерные продольная длина волны, скорость и время соответственно; ¿2 . На лицевых поверхностях заданы напряжения )

= (2)

Последнее равенство формально выравнивает асимптотичекие порядки <т7 и момента касательных напряжений и не уменьшает общности. Отношения прочих параметров принимается порядка 0(1) , г -» ¿>; какие-либо гипотезы не ставятся. Методом АЛ .Го льде нве йз е ра выведены двумерные уравнения для главных компонент перемещений } Ус).

и3-IV в асимптотических разложениях

А/&*£*{ О)

непосредственно из трехмерных динамических уравнений теории упругости и контактных условий. В общэм случав (§1.1) порядки основных величин не отличаются от классической теории Кирхгофа-Лява и равны /?=-<?; однако в динамическом уравнении изгиба и квазистатическом уравнении плоской задачи появляются новые слагаемые

¿* IVе, иа,*) - ¿*(/° ^ЪрЦКк-цыЛг)

fy -[л £ + % ty TT*

(5)

£ = JVГ/- zj 5=Г, 5

°> А-Z // »j , Ъ-i / -*/) /}

Äf ](г) г лЦ о|, X« Л

/"= tt, ift Ггг ,

(б)

Перемещения не зависят от индекса слоя; обобщенные жесткости ^ выражаются через миноры ) к ££ ~ окаймляющий минор &0

снизу и справа Р-й строкой и ?-м столбцом в матрице ¿г (I). Также найдены напряжения , tf^ порядка и ¿^^/соответственно.

Матрицы задают изгибные <.¿-3 ), мембранно-изгибные < ^ ) и мембранные жесткости. В симметричном пакете = , в на-

шем случае изгиб-растяжение-сжатие-сдвиг связаны. Критерием связи может служить норма оператора (минимальная

по различному поперечному положению системы координат) • В сравнении с гипотетическим подходом нарушается лишь первая гипотеза Кирхгофа о существовании нейтральной (недеформируемой при изгибе) нейтральной плоскости, она существует только при £ = О . Уравнения в усилиях и моментах ¡й^» , Md/i, ¿Й^ совпадают с классическими. Результаты коррелируют с результатами Р.М.Кристенсена и ДКайри для более простых структур в статике. Если i-О к нагрузки не возбуждают изгиба, то для более коротких волн (7~- OftJ) продольные движения становятся динамическими. Порядки величин равны и в уравнениях (4) появляется инерционный член (§1.2). Асимптотическая погрешность найденных соотношений равна Ofe) . Она уменьшается до öfe2), если рассматривать анизотропию типа "моноклинный кристалл" (в каждой точке материала есть продольная плоскость локальной симметрии упругих свойств) в слоях. В случае полной анизотропии утверждение, вообще говоря, неверно, что показано на примере монопластинки. Изменение порядков лицевых нагрузок (2) не дает принципиального улучшения; наибольшее искажение вносится в уравнения для продольных смещений (§13. Классификация результатов по

точности. видам анизотропии, порядкам системы дифференциальных уравнений дана в §1-4 (таблица I)

вид анизотропии слоев порядок системы ¡структурный уравнений {параметр £ точность уравнений

симм. асимм.)симм. } асимм.

общая анизотропия 4.4 8 й -о | й "0 ( 1 0(£) .

анизотропия "моноклинный кристалл" ортотропия

трансверсальная и полная изотропия 4,4 £-0

Таблица I.

Разделение изгиба и плоской задачи (.£-&) всегда выполняется для: симметричных пакетов, ортотропной балки с параллельными главными осями и равномерным нагружением вдоль одной из осей, пакете из (трансверсально) изотропных слоев с продольной плоскостью изотропии. Доказано также, что для пакета общего вида минимальной эквивалентной структурой является пластина не менее чем из трех слоев.

В главе 2 исследованы свойства оператора системы (4) ,(5). Доказаны следующие теоремы (§2.1-2.3):

1. Матрицы жесткостей и полная матрица положительно определены.

2. Плотности упругой энергии в слоях и удельная упругая энергия пакета для данных асимптотических приближений положительно определены.

3. Символы оператора системы (4) ,(5) в статике, а также символы его мембранных и изгибных компонент являются эллиптическими.

4. В динамике и статике пластины 0. * С* > выполнены уравнения энергетического баланса

Л ЗИ

¿Тч-л, § = +фия& +Нг6>г + 1<гРл «/г (8)

л Ш

где % =-#$8-Ы'&ыг > ,

ТУ = и; ъ + гт3 , + гт3 ,

и вектора л",?означают единичную нормаль и касательную к <?Ж . 5. В любом пространстве, где определены интегралы (7) ,(8) НДС пластины в задаче с краевыми условиями одного из типов

1) , К . . V*-.

2) , /Рг . Нл . Я? ;

3) смешанные комбинации I) и 2)

на контуре <¿/2 или его сегментах единственно. В динамике единственность имеет место для задачи Кэши с начальными условиями

продольные перемещения начальные условия не ставятся). Мы ограничиваемся постановкой естественных краевых и начальных условий не проводя асимптотического анализа пограничного слоя. Отметим лишь совпадения результатов с работами АЛГольденвейзера. А.ВКолос, МИГуссейн-Заде, МААгаловяна, где такой анализ выполнен для монопластинок, а также с трудами Д.Кайри и П-Дестиндера.

, Глава 3 посвящена прикладному расчету резонансных режимов колебаний бесконечной двухслойной изотропно-слоистой пластины с межфазной трещиной. Рассмотрены дисковидная и полосовая трещины шириной , с нормальной нагрузкой вида на берегах (взаимодействие берегов не учитывается). Область пластины разделена на однородные области (над и под трещиной), и внешнюю область.12^. В полной постановке задача содержит 7 безразмерных параметров: отношение толщины пакета к размеру трещины . отно-

шение толщин слоев Ъ/Уг, отношение модулей Юнга и коэф-

фициенты Пуассона , ; отношение плотностей Л/Р^ и один из частотных параметров - ( ^ -изгибная жесткость

пластинки ). Примем, что величина £ « 1 ив каждой области внутреннее НДС описывается осредненными уравнениями (4),(5); по оставшимся 6 параметрам проведен анализ. В осесимметричных задачах раздельного динамического изгиба и квазистатического плоского движения в каждой области соответствующие уравнения аналогичны классическим и имеют простые общие решения. Требуем лишь отсутствия особенностей в центре пластины (области , выполнения условия излучения энергии от трещины-источника в области Л3 и отбрасываем растущие решения. На контуре трещины налагаем условия сращивания

-к-

Vf - VjL = *Гз , =

^ ^ " Mt3 , 4*/ y = , 4r * = ¿k

где ^ -радиальные перемещения, ^ и ¿Pzej- продольные и поперечные усилия. Му- изгибающие моменты, найденные относительно нейтральной оси во внешней зоне. Уравнения (9) задают линейную систему 9*9 относительно неопределенных коэффициентов в общих решениях с правой частью, отвечающей частному решению с нагрузкой Результаты соответствующим образом нормированы (§3.1-32). Полученные решения регулярны в каждой области и не содержат информации о величине свободной энергии и коэффициентах интенсивности напряжений (КИИ) на фронте трещины. Однако при некоторых предположениях можно оценить величину инвариантного Г-интеграла Райса-Че ре Панова, выбирая контур специального вида. Такая процедура проделана (§33) на основании работ ГЛЧерепанова. При больших радиусах # используется приближенная оценка на Фронте трещины ( - мембранные жесткости, и ~ деформация и кривизна нейтральной плоскости в области )

Z>, 7>z (вА)*- - 7>л (£>г\)г+ (Ю)

</, + (г?)* -J3 (г,*)1

JP = Pit Я, Ez

( & -известная функция).

По формуле (10) приближенно находим эффективное значение КИН (амплитуду среднего геометрического КИН нормального отрыва и поперечного сдвига Ю. В §3.4 определяется режим локализации колебаний: когда области движутся как защемленные по контуру диски, а внешняя область покоится. Излучения энергии нет, резонансы могут быть неограниченными. Доказано, что режим локализации реализуется на поверхности с уравнением

= ¿¿Я fr-W/ffA f'-J/J (Ш

Физический смысл уравнения (10) - в совпадении волновых чисел ¿1 к

для отслоенных тонких пластин. Данный результат согласуется с общим анализом возможной локализации колебаний в полу ограниченных

телах с неоднородностями, проведенным в работах И.Ф.Образцова, ВАБабешко,'ИИВоровича.

Итоги параметрического анализа колебаний следующие: чувствительность результатов наибольшая по отношению к параметрам </ и Л-При малых колеблется практически только тонкий диск над трещиной, его первые квазирезонансы напоминают колебания диска с защемленным контуром 3.2). При увеличении квазирезонанс постепенно теряет добротность и начиная с некоторого расщеп-

ляется на два: и (в движение вовлекается нижний диск).

"Верхний" квазирезонанс ведет себя стабильно ( ~32), его форма колебаний приближается к антифазным колебаниям дисков Л/, . "Нижний" квазирезонанс // с ростом смещается в область низких частот, его амплитуда падает; Форма колебаний напоминает синфазное движение впаянных в пластину жестких шайб. Существует также промежуточная точка , аналогичная антирезонансному ре-

жиму. Далее, при попадании параметра ^ на поверхность (10) "нижний" квазирезонанс исчезает, а "верхний" становится неограниченным {¿1 -32). При дальнейшем увеличении качественная картина повторяется с точностью до перемены мест слоев. Характерные графики: зависимости от волнового числа суммарной энергии изгиба дисков -0.1,1 и средней за период мощности излучения на бесконечность р показаны на Рис.1. Формы и Фазы колебаний изображены на Рис.2,3- Энергия, мощность и прогиб нормированы на величины ^/^(ЦЩ) ?й*/-{ё&(Н<+Нг)\ соответственно.

На графиках приняты значения А - Л -025, -055, -I.

Также анализируются эффективные значения КИН, напряжения, коэффициенты динамичности основных величин. Обсуждается возможность альтернативного разрушения - в центре пластины или в кончике трещины. Анализируется расщепление старших резонансов. В расчетах отношения параметров менялись в пределах от до №. Варьирование отношений и Д/Й вносит количественные изменения, но

качественная картина сохраняется; изменение коэффициента Пуассона слабо влияет на результаты.

Отметим также, что в аналогичной задаче для расслоенной балки эффект расщепления квазирезонансов численный счет не обнаруживает, что можно объяснить значительно большим излучением энергии на бесконечность.

В главе 4 предложен метод решения краевых задач статики с естественными граничными условиями для связанного изгиба-растяжения-

сжатия-сдвига в плане пакета. Вводятся Функции комплексного переменного, и, подобно случаю монопластинки (решения с помощью потенциалов Колосова-Мусхелишвили-Лехнхцкого), проблема сводится к определению Функций в некоторой области по заданным значениям их вещественных частей на границе области. Перемещения представлены в виде

(?«)], ^ £ (12) 5 = > £ = /т** >£) > = 0

Характеристический полином восьмого порядка Р (детерминант матрицы-символа дифференциальных уравнений (4) ,(5)) имеет четыре пары сопряженных комплексных корней, в частных случаях с учетом кратности. Для симметричного пакета /о Рц , где /зз, /о - характеристические полиномы изгибной и плоской задач. Линейная функция координат возникает при интегрировании системы (4) ,(5);^ также полином. Краевые задачи первого (в перемещениях) и второго рода (в усилиях/моментах) сводятся к следующим уравнениям С* -1,2; £ -1,2,3,4; по индексам не суммировать)

« аз)

21>е {2 }

2*е [2 = * + -О

£ * и о (14)

{ г [мп^ *^

О

<4 Ъ), Чр (Гг, с, ¿у, ..., ¿V - Ял**

^-[/>,: л, &й<=<2й

о

( дробно-рациональные функции).

К системе (13) или (14) добавляются 20 уравнений однозначности искомых Функций и их соответствия главному вектору и главному момен-

ту краевой нагрузки. В частности, в многосвязных областях уравнения однозначности определяют составляющие решения для несамоурав-новешенных нагрузок на отдельных контурах (§41-4.2). В качестве примеров построены точные решения (§4.3) первой и второй краевых задач для пластин с эллиптический контуром и полуосями <?<, I. Для конечного эллипса искомые Функции имеют вид

(15)

а< - ¿а^к.

Комплексные константы "т определяются из линейной системы 8-го порядка по коэффициентам разложения краевых условий в тригонометрический ряд Фурье. Если заданы также лицевые нагрузки в виде однородных полиномов типа = ^/^гУ, то точное решение задачи для эллипса с защемленных контуром (и частное решение в других задачах) имеет вид

где /^ ^также однородные полиномы степени ^, соот-

ветственно. Неопределенные коэффициенты находятся из линейной системы порядна Зл/+2 .

2. Для бесконечной пластины с эллиптическим вырезом получаем

2 Я*;" (16)

/77- О

В пределе ( ) находится решение для пластины с конечным

сквозным разрезом (жесткой вставкой); усилия и моменты , имеют в кончике разреза (вставки) сингулярность классического порядка -1/2.

В обеих краевых задачах из абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье краевых условий следует абсолютная к равномерная сходимость рядов (15) ,(16) в области -О. .

Для класса областей, конформно отображаемых на единичный круг, общий вид искомых Функций задается теоремой §4 4 (следствие леммы Шварца): пусть верны условия -

I. существует набор конформных отображений между областями ( • _/2) И единичным кругом

2. краавыэ нагрузки самоуравноветены (и Функции однозначны);

3. краевые условия бесконечно дифференцируемы на 5/2 ; тогда искомые функции имеют вид

где А// - обратная матрица коэффициентов при в левой

части уравнений (13) или (14), % - правые части уравнений и Се - ^ # -

В заключении подводится краткий итог работы, Формулируются основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построены асимптотически точные (длинноволновые) уравнения, обобщающие классическую модель Кирхгофа-Лява для внутреннего НДС тонкого пакета из слоев с анизотропией общего вида и произвольной укладкой. Проведен анализ и классификация Физических ситуаций.

2. Исследованы основные операторы, сформулированы постановки краевых задач и задачи Коши с естественными условиями, доказаны теоремы об энергии и единственность решения.

3. В статике предложен аналитический метод решения краевых задач для связанного изгиба-растяжения-сжатия-сдвига, обобщающий метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили-Лехницкого. Настроены точные решения задач для канонических областей.

4. Численно-аналитически проведен параметрический анализ колебаний бесконечной двухслойной изотропной пластины с большой дисковидной или полосовой межфазной трещиной. Обнаружены эффекты расщепления квазирезонансов, появления новых Форм и локализации колебаний.

со __ ' —3 \

К-) 1

---Д —--г ,, V

Рис Л. Зависимость нормированной энергии + изги-

ба областей -0-1 и мощности излучения энергии на бесконечность р от волнового числа при ^ -/4 = <9 2; £■, = ; /У,= О./, Р.4, О.? = )

Рис.2. форма прогиба при <9.2%*;

и , 1=1** (кривые 1,2,3 соответственно).

3 \ Г 00 У о' » 1 о> СП 1. .о з.ё'

РИс.4. Зависимость эффективного коэффициента интенсивности напряжений и его коэффициента динамичности от волнового числа ^ при данных рис.1. •

\

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ

\

л

1. Д.Д^ахаров. Двумерные динамические уравнения тонкой несиммвт-I рично-слоистой упругой пластины с анизотропией общага вида //

Докл. РАН, т.336. No I, с50-53, 1994.

2. Д-ДЗахаров. Асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений теории упругости тонной слоистой анизотропной пластины произвольной структуры // ПММ, т5б, вып5, с.742-749, 1992.

3. D. D. Zakharov. Asymptotic Integration of 3-D Dynamic Equations fop Thin Multllayered Anisotropic Plates // C. R. Acad. Scl. . Paris, t. 319, série 2. p. 913-920. 1993.

4. Д.ДЛахаров, И-ЕСимонов. Резонансные эффекты двухслойной упругой пластины с дисковидной трещиной отрыва на границе раздела сред // Изв. АН СССР. МТТ, Но б, с.160-169, 1991.

5. Д.Д.Захаров, И-ЕСимонов. Стационарные колебания двухслойной упругой пластины с нормально нагруженной дисковидной трещиной на границе раздела слоев / Препринт No 422 ИПМех АН СССР. 1989, 35с.

6. N. V. Zvollnskl. D. D. Zakharov, I.V. Slmonov. Local Effects and Limit Permissible Dimensions of Delamlnatlons In the Thin-Walled Compos 1 t'e Structures / Collection of Abstracts of the ICF-B- - Kiev, 1ООЗ. p. 138.

7. D. D. Zakharov. I. V. Simonov. The Refined 3-D Asymptotic Theory for the Dynamics of the Thin Asymmetric Laminates / Proceedings of ICCM-9. - Madrid: Woodhead Publishers.1QQ3. v. 3.. p. 212-218.

8. D. D. Zakharov, I.V. Slmonov. Vibrations of Composite Plate Containing Circle Delamination on Boundary of Layers / Proceedings of the IUTAM Symposium Prague*90 СContact Loading and Local Effects in Thin-Walled Plated and Shell Structures^.- Prague: Academla. 1992, P. 304-307.

9. Д.Д.Захаров. Стационарные динамические задачи для двухслойной пластины с отслоением на межфазной границе / Тр. 15-й Всес. конференции по теории оболочек и пластин- Казань: КГУ, 1990, т.1, C-I65-I68.

10. Д.Д-Захаров, И.ЕСимонов. Стационарные колебания двухслойного упругого волновода, содержащего нормально нагруженную круглую трещину на границе раздела упругиз сред / Всес. конференция "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении". Тезисы докладов.-Горькийг ГГУ, T.I, 1989, с.156.

ГЬдписано к печати 29.08.94. Заказ Ко 24-94 Тираж 60 экз.

Отпечатано на ротапринте Института проблем мэханикк Р/ 1Г7526, Москва, пр-т Вернадского 101