Эффекты взаимодействия лазерного излучения с разреженными ультрахолодными газами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Когерентное пленение населенностей

1.1 Введение.

1.2 Динамика трехуровневых систем в формализме векторов состояний

1.2.1 Общий формализм когерентного взаимодействия 1.2.2 Анализ решения в упрощенном виде.

1.2.3 Общее выражение для населенностей.

1.2.4 Равные расстройки.

1.2.5 Феноменологический учет спонтанной релаксации

1.3 "Уравнение распространения монохроматического излучения в среде.

1.4 Прозрачность.

1.4.1 Самоиндуцированная прозрачность.

1.4.2 Электромагнитно-индуцированная прозрачность

1.4.3 "Винтовая" прозрачность.

1.5 Когерентное пленение населенностей в формализме матрицы плотности

1.5.1 Уравнение для матрицы плотности для Л системы.

1.5.2 Критерий возникновения когерентного пленения населенностей в А-системе.

1.6 Самофокусировка лазерного излучения в подпороговом режиме КПН.

1.6.1 Постановка задачи.

1.6.2 Вычисление элементов матрицы плотности

1.6.3 Упрощенное уравнение.

1.6.4 Численные оценки.

1.6.5 Результаты численных расчетов.

1.7 Выводы.

2 Конденсат Бозе-Эйнштейна

2.1 Гамильтониан И-частичной системы.

2.2 Уравнение Шредингера в представлении первичного квантования.

2.3 Разложение И-частичного вектора состояний по векторам состояний невзаимодействующей системы

2.4 Представление чисел заполнения.

2.5 Уравнение Шредингера в представлении чисел заполнения

2.6 Операторы рождения и уничтожения бозонов.

2.7 Оператор Шредингера в представлении вторичного квантования.

2.8 Оператор числа частиц в представлении вторичного квантования.

2.9 Энергия межчастичного взаимодействия

2.10 Приближение Боголюбова.

2.11 Приближение среднего поля

2.12 Приближение Боголюбова в рамках приближения среднего поля.

2.13 Обобщенно-канонический оператор.

2.14 Уравнение Гейзенберга.

2.15 Диагонализация обобщенно-канонического гамильтониана в приближении Боголюбова.

2.16 Уравнение Гросса-Питаевского.

2.17 Гидродинамические уравнения и приближение Томаса-Ферми

2.18 Нестабильность конденсата Бозе-Эйнштейна при взаимодействии с бихроматическим лазерным излучением

2.19 Выводы.

3 Структурный фактор двухкомпонентного конденсата

Бозе-Эйнштейна

3.1 Постановка задачи.

3.2 Однокомпонентный конденсат

3.2.1 Приближение Боголюбова для однокомпонент-ного конденсата.

3.2.2 Приближение Томаса-Ферми для однокомпо-нентного конденсата.

3.2.3 Вычисление элементарного возмущения плотности однокомпонентного конденсата.

3.2.4 Связь коэффициентов Боголюбова с элемен-^ тарным возмущением плотности однокомпонентного конденсата.

3.2.5 Структурный фактор однокомпонентного конденсата

3.3 Двухкомпонентный конденсат

3.3.1 Приближение Боголюбова для двухкомпонент-ного конденсата.

3.3.2 Приближение Томаса-Ферми для двухкомпо-нентного конденсата.

3.3.3 Вычисление элементарного возмущения плотности двухкомпонентного конденсата.

3.3.4 Связь коэффициентов Боголюбова и элементарного возмущения плотности двухкомпонентного конденсата.

3.3.5 Парциальный структурный фактор двухкомпонентного конденсата.

3.4 Выводы.

Результатом развития экспериментальной техники в конце 20-го века явился качественный прорыв в охлаждении атомов щелочноземельных металлов [1]. Удалось получить ансамбли атомов с температурами в несколько нанокельвинов. Авторы этих работ были удостоены в 1997 году нобелевской премии.-Ансамбли ультрахолодных атомов обладают новыми свойствами, которые невозможно наблюдать при больших температурах.

Одним из наиболее значительных результатов сверхнизкого охлаждения явилось экспериментальное достижение "Бозе-Эйнштейновской конденсации" (БЭК) в парах щелочноземельных металлов [2, 3, 4, 5]. Это достижение также было отмечено нобелевской премией в 2001 году.

Кроме Бозе-Эйнштейновской конденсации, упомянутой выше, в газах при сверхнизких температурах более отчетливо проявляются когерентные эффекты. Например, такое явление как "когерентное пленение населенностей" (КПН), возникающее вследствие деструктивной интерференции каналов возбуждения при распространении многомодового резонансного лазерного излучения в многоуровневой среде, играет значительно большую роль. Это положение имеет экспериментальное подтверждение. В частности, в работе [6] экспериментально исследовалась температурная зависимость скорости распространения резонансного лазерного импульса в среде, находящейся в условиях КПН. В работе [6] наблюдалось, что с уменьшением температуры образца уменьшается скорость распространения импульса в нем. Распространение импульса в такой среде обусловлено переходом части атомов в состояние КПН и накоплением энергии импульса в нераспадающемся когерентном состоянии, созданным квантовой интерференцией. (В то время как при распространении импульса в нормальной резонансной среде, где нет КПН, энергия излучения не может запасаться атомами на необходимое время из-за диссипации вследствие спонтанного распада; что приводит к поглощению импульса.) По завершении прохождения импульса, энергия возвращается обратно в поле. Чем меньше температура атомного ансамбля, тем большая часть атомов находится в состоянии КПН; следовательно, тем большая энергия распространяющегося импульса запасается в нераспадающемся когерентном состоянии и тем меньше скорость импульса. Кроме того, при уменьшении температуры ниже критической температуры конденсации Бозе-Эйнштейна наблюдалось скачкообразное падение скорости распространения импульса (примерно в 4 раза). Это может объяснятся увеличением плотности ансамбля атомов при переходе в состояние БЭК. В работе [6] также отмечается исключительно высокая оптическая нелинейность ультрахолодного газа.

Для оценки масштабности проявления когерентных эффектов в газе ультрахолодных атомов по сравнению с проявлением аналогичных эффектов в газе при комнатной температуре, заметим, что при нормальной температуре, в условиях КПН, скорость света удалось уменьшить в 165 раза [7], тогда как при температурах чуть выше точки конденсации Бозе-Эйнштейна скорость света в аналогичных условиях уменьшается более чем в миллион раз, а ниже точки конденсации — еще в 4 раза [6].

Таким образом в газе ультрахолодных атомов возможно наблюдение таких когерентных эффектов, проявление которых при ббльших температурах сложно обнаружить. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию подобных эффектов. В частности, предсказывается наблюдение нового типа прозрачности, названного нами "винтовой". Эта прозрачность наблюдается только при соблюдение достаточно жестких условий на первоначально наведенную когерентность среды и согласованными с этой когерентностью параметрами падающего импульса. Только при соблюдении этих условий импульс пройдет в среде без потерь, определенным образом изменив при этом свою форму и спектральный состав. Далее рассматривается самофокусировка непрерывного лазерного излучения в когерентной среде. Из-за квантовой интерференции нелинейность среды наблюдается при гораздо меньших интенсивностях, чем в двухуровневой среде. А нелинейность может привести к самофокусировке. Рассматривается также среда в состоянии БЭК. А именно, взаимодействие лазерного излучения с БЭК, приводящее к экспоненциальному росту коллективных колебаний конденсата. Кроме этого исследуется структурный фактор как однокомпонентного, так и двухкомпонентного БЭК.

Рассмотрим подробнее явления КПН и БЭК, лежащие в основе перечисленных выше эффектов.

КПН возникает вследствие наведения в среде некой нетривиальной когерентности. Поясним этот момент более подробно. Когерентность в среде, как правило, возникает при распространении в ней резонансного лазерного излучения. Эта когерентность выражается в отличии от нуля недиагонального матричного элемента матрицы плотности: рпт - СпС*т = \СпСт\ ехр [¿(9п - вт)] (1) где Сп, Сщ — комплексные амплитуды вероятности нахождения атомов в стационарных состояниях \<рп) и |<£>т) (то есть вектор состояния атома |ф) = Сп \<рп) + Сщ |<рт) + .)> а 9п, вт — фазы Сп и с™; черта означает статистическое усреднение по всему ансамблю атомов. Очевидно, что (1) отлично от нуля только если Ав = 9п — 9т примерно одинаково для различных атомов среды. То есть когда между фазами волновых функций атомов существует определенная корреляция. Если попытаться найти классическую аналогию для понятия когерентности для среды, то можно сказать, что электроны каждого атома среды колеблются с частотой перехода |п) — |т) с одинаковой фазой.

Предположим теперь, что в среде наведена когерентность на двух смежных переходах. (Например, переход из сверхтонкого подуровня основного состояния в возбужденное состояние и смежный переход из другого сверхтонкого подуровня основного состояния в тоже возбужденное состояние.) Причем частоты переходов примерно одинаковы, а фазы противоположны. Тогда несмотря на приложенные резонансные поля колебания электронов не происходят, поскольку колебание с одной частотой происходит в противофазе с колебанием с другой, примерно равной, частотой. Этот эффект можно назвать деструктивной интерференцией каналов возбуждения. Вследствие такой интерференции резонансное излучение не переводит атомы среды в возбужденное состояние, происходит, так называемое, "когерентное пленение населенностей" (КПН).

Явление КПН было открыто в 1976 году [8]. В этих экспериментах среда состояла из трехуровневых А-атомов Иа (рис. 1.1 на стр. 30). Среда облучалась многомодовым лазерным излучением, в котором расстояние между модами лазера равнялось сверхтонкому расщеплению основного состояния (расстоянию между уровнями |1) и |2)). При этом флуоресценция с состояния |3) существенно редуцировалась.

Состояние КПН, при определенных условиях, возникает в трехуровневых (и вообще говоря, многоуровневых) квантовых системах [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Когерентное пленение населенностей заключается в возникновении в квантовой системе, взаимодействующей с электромагнитным излучением, особого суперпозиционного состояния {фис), не связанного взаимодействием с остальной системой: V • \фис) — 0> где V — оператор взаимодействия атома с полем. Состояние \фмс) ~~ одно из собственных состояний возмущенного гал л л мильтониана (гамильтониана системы атом плюс поле) Н = Яо +V. Состояние \ipNc) является суперпозицией собственных состояний |1) и |2) невозмущенного гамильтониана Щ.

Если спонтанная релаксация в атомах направлена таким образом, что заселяется, кроме прочих, и состояние \фнс)> которое само является стабильным, то через некоторое время практически вся населенность атомной системы будет аккумулирована, иными словами, пленена, захвачена в \фнс) ~ происходит когерентное пленение населенностей (здесь термин "когерентное" отражает образование когерентной суперпозиции состояний).

Состояние Бозе-Эйнштейновской конденсации (БЭК) это состояние трансляционного движения атомов. То есть здесь атом рассматривается как единое целое. БЭК наступает при охлаждении атомного ансамбля до такой степени, что длина волны де Бройля атома, определяемая соотношением А ¿в = h/p (h — постоянная Планка, р — модуль импульса атома), становиться больше или порядка межатомного расстояния. При этом атомы среды занимают наинизшее энергетическое состояние своего трансляционного движения, определяемое потенциалом ловушки в которой атомы удерживаются.

Конденсация Бозе-Эйнштейна была теоретически предсказана Эйнштейном [15, 16, 17] и Бозе [18] в 1924-1925 годах. БЭК является ключевым элементом в объяснении таких макроскопических явлений, как сверхпроводимость и сверхтекучесть. Однако БЭК в чистом виде так и не удавалось получить вплоть до 1995 года, когда несколько экспериментальных групп [2, 3, 4, 5], почти одновременно, получили БЭК в парах щелочных металлов.

Эйнштейн [15, 16, 17] обобщил работу Бозе [18] о квантовой статистике фотонов на случай идеального газа бозонов (атомов с целым спином, как у фотона) с заданным числом атомов. Оказалось, что функция распределения атомов по импульсам равна пр = ехр квТ

-1

Т > ТУ,

2) где /2 — химический потенциал газа, кв~ постоянная Больцмана и е(р) = р2/2тп. Ситуация меняется при температуре фазового перехода (мы полагаем фактор вырождения д = 1)

Тс° = 3.31Д-квгп п

2/3

3) где п — плотность газа. Ниже этой температуры число атомов N0 в состоянии с р = О макроскопически велико, то есть пропорционально полному числу атомов N1

3/2"

No = N т<т о

4)

Остальные атомы распределены согласно распределению (2), но с химическим потенциалом /2 = 0: пр =

Чйй-1 т < т„°.

5)

Явление становиться понятнее, если учесть, что при температуре, близкой к Т® де-бройлевская длина волны атомов газа, которая характеризует неопределенность в позиции атома, связанную с тепловым распределением импульсов, А ¿в = (2тгК2/тквТУ'2, становиться сравнима со средним межчастичным расстоянием п-1/3. То есть при выполнении условия п\1в > п\% |т=то= 2.612

6) наинизшее состояние трансляционного движения приобретает макроскопическую населенность.

Таким образом можно сказать, что среда находящаяся как в состоянии КПН, так и в состоянии БЭК обладает нетривиальными свойствами. Эти свойства проявляются, в частности, при распространении излучения в таких средах.

В первой главе1 настоящей диссертационной работы рассматривается трехуровневая Л-среда, находящаяся в состоянии "когерентного пленения населенностей" (КПН). Рассматриваются два нетривиальных явления в такой среде: 1) явление "винтовой" прозрачности, возникающая при распространении 27г-импульса в среде; и 2) явление самофокусировки, проявляющееся при непрерывном взаимодействии лазерного излучения со средой.

Следует подчеркнуть, что при рассмотрении этих явлений пре-небрегается тепловым движением атомов, то есть наблюдение "винтовой" прозрачности и самофокусировки в подпороговом режиме КПН будет более ярким именно в ультрахолодном разреженном газе, где тепловое движение минимально и эффекты квантовой интерференции проявляются максимально.

Прежде чем говорить о новом типе прозрачности, названной нами "винтовой", кратко остановимся на известных типах прозрачности — электромагнитно-индуцированной прозрачности (ЭИП) и самоиндуцированной прозрачности (СИП).

СИП [30, 31, 32] наблюдается как в двухуровневых системах, так и в многоуровневых. СИП возникает вследствие того, что составляющие среду частицы подвергаются действию поля не одновременно, а по мере прохождения импульса через занимаемую ими

1 Основные результаты этой главы опубликованы в работах [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29] область пространства. Под действием переднего фронта импульса частицы переходят из нижнего состояния в верхнее. Накрываемая импульсом часть объема среды поляризуется. В ней запасается энергия, почерпнутая из уже прошедшего излучения. Если импульс достаточно большой, то уже его передняя часть эффективно переводит частицы в верхнее состояние. Оставшаяся часть импульса распространяется уже в среде возбужденных частиц. Под действием этой "хвостовой" части импульса частицы когерентно излучают, отдавая энергию полю. После прохождения импульса частицы в той части объема среды, из которой излучение уже ушло, возвращаются в исходное состояние. Поглощение и переизлучение сбалансированы только тогда, когда площадь под импульсом (интеграл от частоты Раби по времени) составляет величину, кратную 2ж.

Кроме самоиндуцированной прозрачности (СИП) существует другой механизм, а именно, электромагнитно-индуцированная прозрачность (ЭИП). Если при СИП энергия излучения запасается в возбужденном состоянии, то при ЭИП — в суперпозиционном состоянии ^лгс)» образованном квантовой интерференцией. Таким образом ЭИП имеет место в многоуровневых системах, находящихся в состоянии КПН. Передний фронт падающего импульса создает в среде суперпозиционное состояние |Фдгс) и переводит атомы среды в это состояние. А задний фронт импульса вызывает передачу энергии обратно в излучение. При этом переход в возбужденное состояние практически не происходит и даже при наличии радиационного распада возбужденного уровня потерь энергии нет.

Следует также сказать, что ЭИП может проявляться и при непрерывном взаимодействии лазерного излучения с многоуровневой средой, но этот вопрос выходит за рамки настоящей работы.

Таким образом, в трехуровневой Л-среде может наблюдаться как СИП [33], так и ЭИП [34]. Кроме этого, предсказана возможность наблюдения в такой среде "винтовой" прозрачности, при которой часть населенности запасается в возбужденном состоянии |3), а часть — в суперпозиционном состоянии

Для наблюдения "винтовой" прозрачности необходимо создать определенную пространственную структуру когерентности между состояниями |1) и |2) (а это можно сделать, например, при облучении среды спаренным импульсом [34]). Если параметры падающего резонансного импульса соответствуют пространственной периодичности первоначально наведенной когерентности, то импульс пройдет среду без потерь, определенным образом изменив свой спектральный состав. Это явление мы называем "винтовой" прозрачностью. Доля населенности, которая пленяется в состоянии и доля, которая эволюционирует через состояние |3) зависит от параметров падающего импульса и соответствующей этим параметрам пространственной периодичности начальной когерентноости низкоэнергетических состояний среды (шага решетки когерентности).

Кроме прозрачности среды происходит еще и преобразование частоты падающего импульса. На выходе из среды возможна либо полная конвертация частоты (если падающий импульс имел частоту равную частоте перехода |1) —» |3), то на выходе из среды импульс будет иметь частоту равную частоте смежного оптического перехода |2) —> |3)), либо более сложное преобразование падающего импульса в два импульса с несущими частотами равными частотам смежных оптических переходов в Л-среде (рис. 1.1 на стр. 30).

Термин "винтовая" имеет следующий смысл: данной частоте, максимальной амплитуде и пространственной ширине падающего импульса заданной формы (резьба на винте) должна соответствовать определенная пространственная периодичность начальной когерентности и начальных населенностей низкоэнергетических уровней среды (резьба на гайке) для наблюдения прозрачности данного типа. Это свойство рассматриваемого явления интересно в связи с возможностью создания устройства аналогичного "оптическому ключу".

Кроме "винтовой" прозрачности в первой главе рассмотрено и другое интересное явление — самофокусировка лазерного излучения в среде находящейся в условиях КПН.

Кратко явление самофокусировки можно назвать эффектом наведения линзы. Речь идет об искажении волнового фронта, создаваемом самим световым пучком при его прохождении через нелинейную среду. Самофокусировка световых лучей в нелинейных средах была открыта достаточно давно [35, 36, 37]. Будучи весьма общим нелинейноволновым явлением, она присутствует не только в оптике, но и в акустике [38, 39, 40]. Результаты исследования в классической модели атома с нелинейной диэлектрической проницаемостью обобщены, например, в [41, 42].

Для наблюдения этого явления необходимо, чтобы самофокусировка компенсировала действие дифракции, то есть необходима достаточно большая интенсивность излучения, определяемая интенсивностью насыщения нелинейности резонансных переходов атомов среды. Однако в условиях КПН насыщение в системе наступает при гораздо меньших (на два-три порядка) интенсивностях, чем при возбуждении обычного оптического перехода (в двухуровневой системе). Таким образом, в режиме КПН возможно наблюдение самофокусировки излучения малой мощности. Точнее говоря самофокусировка может наблюдаться в системах находящихся в подпороговом режиме КПН, то есть когда интенсивность излучения меньше пороговой интенсивности КПН, определяемой скоростями релаксации в системе.

Кроме того, самофокусировка в подпороговом режиме КПН может быть использована для более глубокого понимания особенностей эффекта КПН при непрерывном режиме взаимодействия лазерного излучения с многоуровневыми средами. Вместе с тем, самофокусировка в подпороговом режиме КПН сильно зависит от разности отстроек двух спектральных составляющих поля. Эта зависимость была исследована в [43]. Там рассматривался случай, когда фокусируется лишь один луч, тогда как интенсивность другого луча предполагалась постоянной по длине кюветы. В настоящей главе исследуется случай одновременной фокусировки двух лучей, а также рассматривается процесс разрушения фокусировки двух лучей при увеличении разности отстроек.

Во второй главе2 рассматривается среда, находящаяся в состоянии конденсата Бозе-Эйнштейна. Достаточно детально представлен теоретический формализм, описывающий БЭК. Дело в том, что теория, развитая Эйншейном и предсказывающая БЭК, описы

2 Основные результаты этой главы опубликованы в работах [44, 45, 46, 47, 48] вает идеальный однородный невзаимодействующий газ бозонов, в то время как в современных экспериментах имеют дело с неоднородными системами, где межчастичное взаимодействие играет существенную роль. Поэтому для теоретического описания реально наблюдаемого БЭК требуется иной подход.

Например, в работе [44] рассматривается процесс одномерного распространения резонансного лазерного импульса в оптически плотном БЭК. На основе уравнения Гейзенберга для оператора бо-зонного поля, описывающего конденсат, получена аналитическая зависимость пространственного распределения плотности конденсата и зависимость этой плотности от площади импульса. Данный результат удалось получить пренебрегая межчастичным взаимодействием в процессе прохождения импульса, что отражается на точности полученных результатов.

Однако, в последнее время сложился теоретический подход к описанию БЭК, позволяющий учесть межчастичное взаимодействие. Этот подход основан на приближении Боголюбова [49], приближении среднего поля, уравнении Гросса-Питаевского [50, 51] и дает удовлетворительные результаты, согласуемые с экспериментальными. Он и представлен в настоящей главе.

Этот подход базируется на вторичном квантовании системы N тождественных бозонов — квантовании по числам заполнения одно-частичных состояний в эффективном потенциале, образованном из внешнего пленяющего потенциала и потенциальной энергии взаимодействия частицы с другими частицами находящимися в ловушке. Такой формализм пренебрегает межчастичными корреляциями, что можно сделать для разреженных систем. Данное приближение является приближением среднего поля (Хартри-Фока). Кроме приближения среднего поля используется приближение Боголюбова, заключающееся в замене операторов рождения и уничтожения бозона в основном состоянии эффективного потенциала на числа. Приближение Боголюбова справедливо для систем, где населенность основного состояния высока (N0 ^ 1)> что имеет место в состоянии бозе-эйнштейновской конденсации. Упомянутые выше приближения приводят нас к системе состоящей из двух частей: конденсатной части, описываемой волновой функцией удовлетворяющей уравнению Гросса-Питаевского, и надконденсатной части, описываемой оператором.

Данное рассмотрение является формализмом нулевой температуры. Однако оно обобщается [52] на случай системы с конечной температурой, находящейся в тепловом равновесии.

Для описания малых возмущений конденсата можно использовать волновую функцию, удовлетворяющую зависящему от времени уравнению Гросса-Питаевского. Такая волновая функция описывает как сам конденсат, так и коллективные возмущения конденсата. Этот подход позволяет получить "гидродинамические уравнения" для плотности и скорости конденсата. Эти уравнения существенно упрощаются пренебрежением кинетической энергией ассоциированной с флуктуацией плотности (энергией "квантового давления") по сравнению со энергией межчастичного взаимодействия и энергией взаимодействия с пленяющим потенциалом. Это приближение называют приближением Томаса-Ферми или гидродинамическим приближением [53]. Приближение Томаса-Ферми справедливо при достаточно большом числе частиц конденсата (./V аяо/а, где а — длина я-рассеяния атомов, ано ~ характерная длина ловушки) [54, 53].

На основе рассмотренного здесь теоретического формализма, описывающего БЭК, исследовано взаимодействие бихроматическо-го лазерного излучения с конденсатом. Показано [45, 55, 46, 47], что при определенных условиях взаимодействие излучения с БЭК может привести к экспоненциальному росту коллективных колебаний конденсата. Этот результат интересен в связи с возможностью получения когерентных материальных волн, распространяющихся в направлении распространения излучения, взаимодействующего с БЭК.

Третья глава3 посвящена исследованию структурного фактора как однокомпонентного, так и двухкомпонентного конденсата. Под двухкомпонентным конденсатом подразумевается атомная система в состоянии БЭК, состоящая либо из двух типов атомов, либо из атомов одного типа (например, 87ЯЬ), находящихся на различных сверхтонких подуровнях.

Динамический структурный фактор является важной характеристикой, определяющей отклик многочастичных систем при рассеянии на них частицы, например, фотона. В частности, структурный фактор дает информацию о спектре коллективных возбуждений при рассеянии с малым переданным импульсом, или характеризует импульсное распределение при передачи достаточно большого импульса, когда отклик системы определяется одночастичными

3 Основные результаты этой главы опубликованы в работе [56] эффектами. Для разреженных газов он может быть измерен экспериментально, например, с помощью неупругого рассеяния света на находящемся в магнитной ловушке бозонном газе [57, 58].

В настоящей главе в качестве многочастичной системы рас-сматриватся бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) разреженного газа в сферически-симметричной гармонической ловушке. Межчастичное взаимодействие предполагается достаточно слабым, чтобы обеспечить применимость теории приведенной в предыдущей главе.

Существует несколько работ посвященных вычислению структурного фактора БЭК слабо неидеального газа. Рассматривались как пространственно однородные [59, 60] так и неоднородные [61, 62, 63, 64] газы. Следует заметить, что для пространственно однородного БЭК вычисления достаточно просты, в то время как для БЭК в гармонической ловушке задача не имеет точного решения. В последнем случае необходимо использовать некоторое приближение. В частности, в работе [62] использовалось квазиклассическое приближение, а в [64] - приближение локальной плотности и импульсное приближение. Данные приближения применимы только для достаточно больших переданных импульсов. Например в [64] д 1/Д, где Я - размер конденсата, а Нц - переданный при рассеянии импульс. Для малых переданных импульсов отклик системы чувствителен к дискретным модам коллективных возбуждений этой системы. Теоретический анализ динамического структурного фактора однокомпонентного БЭК в режиме малых переданных импульсов выполнен в работе [63], где был использован формализм квантования гидродинамических уравнений, описывающих коллективные колебания БЭК и использовалось приближение Томаса-Ферми.

В настоящей главе найдено выражение для динамического структурного фактора в приближении Томаса-Ферми. Используемый формализм отличается от [63] большей наглядностью и простотой. В отличие от [63], где дан лишь общий подход, мы выводим формулы для структурного фактора в замкнутом аналитическом виде. Кроме того, результат полученный для однокомпонентного конденсата мы сравниваем с квазиклассическим, полученным в [62]. В пределах области своей применимости квазиклассический результат дает завышенную оценку; однако оба выражения для структурного фактора равны нулю при тех же значениях переданного импульса Тгс{. Таким образом, квазиклассическое выражение для структурного фактора, полученное в [62], и достаточно простое, может быть использовано, в рамках его применимости, для вычисления тех значений переданного импульса Нц, при которых структурный фактор равен нулю.

Далее рассмотрен двухкомпонентный конденсат. В работе [65] впервые продемонстрирована возможность одновременной конденсации двух различных атомных систем. В качестве одной атомной системы использовались атомы 87ЯЬ, находящиеся на сверхтонком подуровне тр) = |1,—1), а в качестве другой — атомы 87КЬ на |2,2) подуровне. При этом системы атомов с каждым из подуровней формировали два слегка перекрывающихся облака. В последующих работах [66, 67, 68] удалось воспроизвести двухкомпонентный БЭК в котором центры конденсатов каждой из компонент совпадали. Здесь использовались |1, — 1) и |2,1) сверхтонкие подуровни 87ЛЬ, которые имеют одинаковый магнитный дипольный момент.

Основное состояние двухкомпонентного БЭК теоретически исследовалось в [69], а коллективные возбуждения в [70, 71, 72]. В частности, в работе [70] показано, что для случая чистого бинарно-фазового конденсата (когда облака конденсатов компонент полностью перекрываются) в сферически-симметричной ловушке в приближении Томаса-Ферми зависимость частоты коллективных возбуждений от радиального и орбитального квантовых чисел возбуждения п и I такая же, как и для однокомпонентного конденсата л/2п2 + 2п1 + Зп + (7) но коэффициент имеет два значения, соответствующих двум ветвям скорости звука (двум ветвям дисперсионного соотношения). Этот коэффициент зависит от отношений амплитуд ¿-рассеяния: а\

- атомов первой компоненты, а2 - атомов второй компоненты и а\ч

- атома первой компоненты на атоме второй компоненты; и эффективных частот ловушки для первой компоненты и для второй компоненты 0,2.

В настоящей главе исследуется ситуация, когда центры конденсатов совпадают, а пленяющий потенциал для каждой из компонент имеет сферически-симметричный вид. Рассмотрено рассеяние фотона на таком двухкомпонентном конденсате. Причем считается, что фотон находится в резонансе с атомами первой компоненты и рассеивается только на них, в то время как с атомами второй компоненты не взаимодействует. Таким образом исследуется парциальный (рассеяние фотона только на атомах одной компоненты) структурный фактор.

Оказалось, что для двухкомпонентного конденсата зависи-^ мость парциального структурного фактора от # такая же как и для однокомпонентного конденсата. Однако для двухкомпонентного конденсата происходит расщепление передаваемой при рассеянии энергии на две ветви, причем для каждой из этих ветвей структурный фактор домножается на коэффициент и соответственно. Важно заметить, что при определенной комбинации амплитуд рассеяния компонент, ¡3+ или может быть больше единицы, выражая тем самым усиление рассеяния фотонов одной из компонент БЭК из-за наличия другой.

Каждая из глав завершается разделом "Выводы", в котором формулируются основные результаты главы. Диссертация в целом завершается заключением, в котором формулируются главные выводы, полученные в диссертации.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Новый тип прозрачности в Л-среде с первоначально наведенной низкочастотной когерентностью.

2. Одновременная самофокусировка двух спектральных составляющих бихроматического излучения в подпороговом режиме КПН.

3. Экспоненциальный рост коллективных колебаний БЭК при взаимодействии конденсата с резонансным двухкомпонентным лазерным излучением.

4. Аналитическое выражение для динамического структурного фактора однокомпонентного и двухкомпонентного конденсата

Бозе-Эйнштейна учитывающее дискретные моды возбуждения конденсата.

Апробация результатов диссертации. Результаты исследований, включенных в диссертацию, докладывались на

• Всероссийской научно-технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" в Санкт-Петербурге в 1997 и 1998 годах,

• 6-й международной конференции по атомной и молекулярной физике (ЕСАМР VI) в городе Сиена в Италии в 1999 году,

• международном семинаре по высоким технологиям "Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering" в Санкт-Петербурге в 1998 и в 1999 годах,

• евроконференции по квантовой электронике (EQEC'98) в Глазго в Шотландии в 1998 году,

• евроконференции по слабым столкновениям между манипули-руемыми лазером системами (ESCOLAR'99) на острове Крит в Греции в 1999 году,

• международной конференции по низким температурам (LT22) в Хельсинки в Финляндии в 1999 году.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в б статьях в научных журналах [27, 19, 25, 26, 44, 56] и в 11 тезисах конференций [20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 45, 46, 47, 48].

Благодарности. Автор искренне признателен профессору Александру Григорьевичу Чиркову за практическую помощь в работе над диссертацией и всему коллективу кафедры "Теоретическая физика" за благожелательное отношение.

Также автор сердечно благодарен профессору Борису Григорьевичу Матисову за помощь и поддержку в работе на всем ее протяжении.

Автор выражает глубокую признательность Игорю Евгеньевичу Мазецу за существенную помощь.

Также хочу выразить особую благодарность Татьяне Дмитриевне Ивановой, без моральной поддержки которой настоящая работа едва бы увидела свет. 1

Когерентное пленение населенностей

1.1 Введение

Для объяснения явления самофокусировки лазерного излучения в подпороговом режиме когерентного пленения населенности и явления винтовой прозрачности необходимо детальное рассмотрение когерентного пленения населенностей в трехуровневых системах.

Мы будем использовать полуклассический подход, при котором поле излучения считается классическим, а частицы вещества, с которыми происходит взаимодействие, — квантовыми. В частности, в этом подходе принимается, что классическое осциллирующее электромагнитное поле наводит в квантовой частице осциллирующий дипольный момент, который определяет затем многие стороны взаимодействия.

Наше рассмотрение начнем с анализа когерентных взаимодействий, не осложненных релаксационными процессами. В силу весьма большой длительности релаксационных процессов по сравнению с периодом собственных колебаний, то есть когда оптическая частота резонансного перехода существенно превышает скорость релаксации, всегда найдется такой отрезок времени, на протяжении которого релаксационные процессы можно считать несущественными. Взаимодействие резонансного излучения с квантовой системой и приводит на этих масштабах времени к когерентным эффектам.

Известно, что взаимодействие квантовой системы, обладающей дискретными уровнями энергии, с резонансным электромагнитным полем, рассматриваемое в резонансном приближении теории возмущений и в пренебрежении какими-либо релаксационными процессами, равно как и спонтанным распадом уровней, сводится к когерентным осцилляциям вероятности обнаружить частицу на уровне. Частота этих осцилляций (так называемая частота Раби) определяется энергией взаимодействия атома с полем, деленной на постоянную Планка.

Однако при взаимодействии многомодового резонансного лазерного излучения с многоуровневыми квантовыми системами возможна ситуация, при которой вероятность обнаружить частицу в возбужденном состоянии равна нулю. Это явление получило название "когерентного пленения населенностей" (КПН). Оказалось, что многоуровневую систему не всегда можно возбудить на верхние уровни, поскольку в ней существуют особые суперпозиционные состояния не взаимодействующие с оптическими полями. Эти состояния играют решающую роль только при наличии вполне определенных условий на частотные расстройки и интенсивности световых волн. При выполнении этих условий система находится в состоянии КПН и практически не взаимодействует с полем. Подчеркнем, что такое поведение присуще системам, в которых имеются условия для интерференции нескольких каналов возбуждения.

Основные закономерности явления КПН могут быть проанализированы для случая трехуровневых систем, например, для атома с Л-схемой уровней (рис. 1.1 на стр. 30). При КПН населенность Л-системы распределяется между нижними уровнями, именно так следует понимать термин "пленение" или "захват".

В целом здесь возникает ситуация, достаточно необычная для задач подобного рода, поскольку резонансное излучение действует на каждый из переходов в трехуровневой системе, однако система в целом не переходит в верхнее состояние. Напротив, в случае возбуждения, хорошо известной двухуровневой системы насыщающим резонансным полем вероятность обнаружить систему в верхнем состоянии максимальна и близка в 1/2.

Эффективная Л-система уровней характерна для многих атомов. Такая схема образуется, если, например, оптически возбуждать атомы щелочных металлов с подуровней сверхтонкой структуры основного состояния в первое возбужденное состояние (возбуждение £>1- или .Ог-линий) полем двухчастотного лазерного излучения. Так, в случае атома Ыа это могут быть переходы 325х/2 == 1) -> 32Р1/2 (У = 1, или = 2), 3251/2 (^ = 2) -> 32Р1/2 (Р = 1, или Г' = 2) или возбуждение состояния 32Рз/2 (Л5" = 2) с тех же нижних подуровней. При этом наличие одного общего возбужденного состояния для обоих переходов обеспечивается использованием лазеров с шириной спектра не более нескольких десятков МГц (что является стандартной величиной для обычных коммерческих пере

Рис. 1.1: Диаграмма энергетических уровней Л-атомов среды. страиваемых лазеров).

Но наиболее яркий пример для Л-схемы — это атом 4Не в метастабильном состоянии 2 35ь которое обладает очень большим временем жизни — 7900 с (все параметры атома АНе приводятся согласно данным [73]). Радиационная ширина возбужденного 2 3Р состояния (1,022 • 107с-1) много меньше величины тонкого расщепления, поэтому можно резонансным образом возбуждать с помощью лазерного поля атомы только на один из тонких подуровней состояния 2 3Р. Если мы выберем для этого подуровень 23Р1, то в точности реализуем А-схему: распад состояния |23Р1; тг = 0) в |2351; тг = 0) запрещен, и А-схему составляют подуровни |2351; т2 = -1), |2351; т2 = +1) и |23Рх; т2 = 0). Здесь т2 — проекция полного углового момента атома на ось квантования.

После обсуждения когерентных взаимодействий наше рассмотрение будет продолжено анализом трехуровневых систем с учетом релаксационных процессов. В частности, учетом времени жизни возбуждаемого уровня, которое определяется временем релаксации энергии, так называемым продольным временем релаксации. Во многих случаях это время существенно (на несколько порядков величины) превышает время релаксации фазы, так называемое поперечное время релаксации, или время релаксации когерентности.

Явление КПН проявляется только для определенной интенсивности световых волн, и, например, для А-системы необходимая интенсивность равна [14] иэ>ис = и* где ип — интенсивность насыщения оптического перехода, 7 — ско

V рость продольной релаксации верхнего уровня, Г — скорость поперечной релаксации между нижними уровнями. Считая Г < 7, имеем соответственно IIс ип (для атомов щелочных металлов ип ~ 0,1 Вт/см2).

В динамике трехуровневых атомов релаксация когерентности между крайними состояниями |1) и |2) играет очень важную роль, как будет показано ниже. В реальных экспериментах источниками релаксации когерентности или поперечной релаксации являются различные дефазирующие процессы, среди которых спонтанная релаксация состояний, времяпролетное уширение, столкновения, амплитудные и фазовые флуктуации (иначе говоря, ширина спектра) приложенных лазерных полей [74] и др. Спонтанная релаксации дает вклад порядка 18р =

7<и 7^)/2 [74], где 7^) и 7^ — скорости 1 продольной релаксации нижних уровней. В А-системе эти уровни, как правило, долгоживущие и спонтанная релаксация, практически, отсутствует. Времяпролетное уширение определяется временем т взаимодействия атомов с лазерным пучком: IV ~ 1/(7И") [75], а столкновительное — средним временем тсоц между последовательными столкновениями частиц: Г^г ~ 1/(2^7-^) [74, 75]. Значительный вклад в поперечную релаксацию дает конечная ширина спектра лазеров. Однако для трехуровневых систем скорость релаксации когерентности между состояниями |1) и |2) за счет конечного спектра равна [76, 77, 78]:

Г// = Ах + Д2 - 2Д12, где Дт (т = 1,2) — спектральная ширина лазеров, а Д12 — кроссспектральная ширина, |Д12| < (Д1 • Дг)1''2- Поэтому при взаимной корреляции полей Д12 Ф 0 величина Г// уменьшается и при критической кросс-корреляции (Д12 = (Д1 • Дг)1^2, Д1 = Д2) полностью исчезает. Эти выводы были продемонстрированы в эксперименте [79], где двухчастотное лазерное излучение было получено из одномодо-вого излучения методом акустооптической модуляции. Полученная в результате малая величина Г// определяется только шумами модулятора и механической стабильностью оптических элементов оборудования [80]. В заключении отметим, что экспериментально достижимой является величина Г = 2 Гц, полученная для медленного пучка Л-атомов (Иа), возбуждаемых хорошо скоррелированными лазерными лучами [81].

В настоящей главе дается детальное исследование когерентного пленения населенностей в А-системах и рассматриваются явления основанные на КПН: винтовая прозрачность и самофокусировка в подпороговом режиме КПН.

Основные результаты этой главы:

1. Найдено аналитическое выражение для динамического структурного фактора в приближении Томаса-Ферми для одно-компонентного и для двухкомпонентного конденсата Бозе-Эйнштейна;

2. Результат полученный для однокомпонентного конденсата сравнивается с выражением полученным в рамках квазиклассического приближения — в пределах области своей применимости квазиклассический результат дает завышенную оценку, 1 3 1

4.8 5

5.2

9-12

Рис. 3.3: Зависимость (штрихованная линия) и ¡3~ (сплошная линия) от амплитуды рассеяния а^ атомов первой компоненты на атомах второй компоненты для смеси атомов 87ЛЬ, находящихся на сверхтонких подуровнях |1, —1) и|2,1) однако оба выражения для структурного фактора равны нулю при тех же значениях переданного импульса;

3. Для двухкомпонентного конденсата, зависимость парциального (рассеяние фотона только на атомах одной компоненты) структурного фактора от переданного импульса не меняется, однако происходит расщепление передаваемой при рассеянии энергии на две ветви, причем для каждой из этих ветвей структурный фактор домножается на коэффициент ¡3+ и /3~, соответственно;

4. При определенной комбинации амплитуд рассеяния компонент возможно усиление рассеяния фотонов одной из компонент БЭК из-за наличия другой. 4

Заключение и краткие выводы

1. Предсказан новый тип прозрачности ("винтовой") для резонансного двухкомпонентного лазерного излучения в трехуровневой Л-среде, возникающий при согласовании параметров падающего импульса с пространственной структурой первоначально наведенной низкочастотной когерентности среды;

2. Показано, что при "винтовой" прозрачности, происходит преобразование частотной составляющей падающего импульса — на входе в среду имеется импульс с частотой резонансной переходу ¡1) —»• |3), а на выходе импульс либо с частотой перехода |2) —» |3), либо импульс с двумя частотными составляющими резонансными обоим оптическим переходам в Л-среде;

3. Приведены численные оценки для винтовой прозрачности;

4. Предсказана возможность одновременной самофокусировки двух спектральных составляющих резонансного лазерного излучения в подпороговом режиме КПН при снижении порога фокусировки в 102 — 104 раза по сравнению со случаем насыщения оптического перехода в двухуровневой системе;

5. Доказано, что при одновременной самофокусировке двух монохроматических лучей: a) фокусирующие свойства среды проявляются более ярко (в районе фокусов интенсивность в два и более раз выше, чем при фокусировки одного луча), b) имеется возможность изменять местоположение фокусов путем изменения интенсивностей и отстроек лучей, c) существует резкая зависимость пространственного распределения световой интенсивности от разности отстроек от резонанса двух лазерных полей

6. Даны численные оценки для одновременной самофокусировки двух спектральных составляющих излучения в подпороговом режиме когерентного пленения населенностей.

7. Приведен в развернутом виде формализм используемый для описания конденсата Бозе-Эйнштейна в разреженном газе;

8. Предсказано развитие неустойчивости колебаний конденсата Бозе-Эйнштейна, находящегося под действием бихроматическо-го лазерного излучения при определенных условиях;

9. Представлено аналитическое выражение для скорости конденсата в зависимости от переданного импульса, отстройки от резонанса, переданной энергии и массы атомов;

10. Приведены численные оценки инкремента колебаний конденсата Бозе-Эйнштейна при взаимодействии конденсата с резонансным бихроматическим лазерным излучением.

11. Найдено аналитическое выражение для динамического структурного фактора в приближении Томаса-Ферми для одно-компонентного и для двухкомпонентного конденсата Бозе-Эйнштейна;

12. Результат полученный для однокомпонентного конденсата сравнивается с выражением полученным в рамках квазиклассического приближения — в пределах области своей применимости квазиклассический результат дает завышенную оценку, однако оба выражения для структурного фактора равны нулю при тех же значениях переданного импульса;

13. Для двухкомпонентного конденсата, зависимость парциального (рассеяние фотона только на атомах одной компоненты) структурного фактора от переданного импульса не меняется, однако происходит расщепление передаваемой при рассеянии энергии на две ветви, причем для каждой из этих ветвей структурный фактор домножается на коэффициент ¡в+ и соответственно;

14. При определенной комбинации амплитуд рассеяния компонент возможно усиление рассеяния фотонов одной из компонент БЭК из-за наличия другой.

1. Филипс У.Д. Лазерное охлаждение и пленение нейтральных атомов. // УФЕ. - 1999. - V. 169. - № 3. - Р. 305-322.

2. Anderson М. Н., Ensher J. R., Matthews M. R., Wieman С. E., Cornell E. A. Observations of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor. // Science. 1995. - V. 269. - R 198-201.

3. Davis К. В., Mewes M. O., Andrews M. R., van Druten N. J., ^ Durfee D. S., Kurn D. M., Ketterle W. Bose-Einstein condensationin a gas of sodium atoms. // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 75. -P. 3969.

4. Bradley C.C., Sackett C. A., Tollett J. J., Hulet R. G. Evidence of Bose-Einstein condensation in an atomic gas with attractive interactions. // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 75. - № 9. - P. 1687-1990.

5. Bradley C.G., Sackett C.A., Hulet R.G. Bose-Einstein condensation of Lithium: Observation of limited condensatemnumber. // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78. - № 6. - P. 985989.

6. Lene Vestergaard Hau, S.E. Harris, Zachary Dutton, Cyrus H. Behroozi. Light speed reduction to 17 metres per second in an ultracold atomic gas. // Nature. 1999. - V. 397. - P. 594-598.

7. A. Kasapi, Jain Maneesh, G. Y. Yin, Harris S. E. Electromagnetically induced transparency: Propagation dynamics. // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 74. - P. 2447-2450.

8. Alzetta G., Gozzini A., Moi L., Orriols G. An experimental method for the observation of rf transitions and laser beat resonances in oriented Na vapour. // Nuovo Cimento B. 1976. - V. 36. - № 1. - P. 5-20.

9. Takagi K., Curl R.F., Su R.T.M. Spectroscopy with modulation sidebands. // Appl. Phys. 1975. - V. 7. - № 6. - P. 298-300.

10. Gray H.M., Whitly R.M., Stroud C.R.Jr. Coherent trapping of atomic populations. // Opt. Lett. 1978. - V. 3. - № 6. - P. 218-220.

11. Alzetta G., Moi L., Orriols G. Nonabsorbing hyperfine resonance in a sodium vapour irradiated by multimode dye-laser. // Nuovo Cimento B. 1979. - V. 52. - № 2. - P. 209-218.

12. Arimondo E., Orriols G. Nonabsorbing atomic coherences by two-photon transitions in a three-level optical pumping. // Nuovo Cimento Lett. 1976. - V. 17. - № 10. - P. 333-338.

13. Orriols G. Nonabsorbing resonances by nonlinear coherent effects in a three-level system. // Nuovo Cimento B. 1979. - V. 53. - № 1. - P. 1-24.

14. Агапьев Б.Д., Горный М.Б., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. Когерентное пленение населенностей в квантовых системах. // УФЕ. 1993. - V. 163. - № 9. - Р. 1-37.

15. Einstein А. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1924. - V. - P. 261-267.

16. Einstein A. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. Zweite Abhandlung. // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1925. - V. - P. 3-14.

17. Einstein A. Quantentheorie des idealen Gases. // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1925. - V. - P. 18-25.

18. Bose S.N. Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese. // Zeitschrift fuer Physik. 1924. - V. 26. - № 3. - P. 178-181.

19. Казинец И. В., Матисов Б. Г., Мазец И. Е. Прозрачность винтового типа в трехуровневой среде. // Письма в ЖЭТФ. -1998. V. 67. - № 11. - Р. 874-880.

20. Прозрачность винтового типа в когерентной среде. / Казинец И. В., Матисов Б. Г. // Всероссийская научнотехническая конференция "Фундаментальные исследования в ^ технических университетах". Санкт-Петербург. 1998. Р. 6970.

21. New type of transparency in three-level media. / Kazinets I. V., Mazets I. E., Matisov B. G. // 6th EPS Conference on Atomic and Molecular Physics (ECAMP VI). Siena, Italy. 1998. P. 1020.

22. Optical screw-type transparency. / Kazinets I. V., Mazets I. E., Matisov B. G. // XVI International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO'98). Moscow, Russia. 1998. P. 275.

23. A new kind of soliton-like waves in a three-level medium. / Mazets I. E., Matisov B. G., Kazinets I. V. // European Quantum Electronics Conference (EQEC'98). Glasgow. 1998. P. QThG53.

24. Kazinets I. V., Mazets I. E., Matisov B. G. Optical pulse probing of coherency gradient in A-medium. // Proc. SPIE. 1999. - V. 3687. - P. 59-63.

25. Kazinets I. V., Mazets I. E., Matisov B. G. Optical screw-type transparency. // Proc. SPIE. 1999. - V. 3736. - P. 265-271.

26. Казинец И. В., Матисов Б. Г., Снегирев А. Ю. Одновременная самофокусировка двух лазерных лучей в подпороговом режиме когерентного пленения населенностей. // ЖТФ. 1997. - V. 67. - № 7. - Р. 126-129.

27. Самофокусировка лазерного излучения при квантовой интерференции каналов возбуждения. / Казинец И. В., Матисов Б.

28. Г. // Всероссийская научно-техническая конференция "Фундаментальные исследования в технических университетах". Санкт-Петербург. 1997. Р. 253.

29. Self-focusing of laser radiation in the subthreshold regime of coherent population trapping. / Kazinets I. V., Matisov B. G. // 29th Conference European Group for Atomic Spectroscopy (29 EGAS). Berlin. 1997. P. 280-281.

30. McCall S. L., Hahn E. L. Coherent light propagation through an inhomogeneously broadened 2-level system. // Bulletin of the American Physical Society. 1965. - V. 10. - P. 1189.

31. McCall S. L., Hahn E. L. Self-induced transparency by pulsed coherent light. // Phys. Rev. Lett. 1967. - V. 18. - № 21. - P. 908-911.

32. McCall S. L., Hahn E. L. Self-induced transparency. // Phys. Rev. 1969. - V. 183. - № 2. - P. 457-485.

33. Stroud C.R., Cardimona D.A. Double resonance self-induced transparency. // Optics communications. 1981. - V. 37.3. P. 221-223.

34. Harris S. E. Electromagnetically induced transparency. // Physics Today. 1997. - V. 50. - P. 36-42.

35. Таланов В.И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах. // Письма в ЖЭТФ. 1965. - V. 2. - № 5. - Р. 218-219.

36. Луговой В.Н. Распространение волновых пучков в нелинейных средах. //Докл. АН СССР. 1967. - V. 176. - № 1. - Р. 58-61.

37. Kelley P.L. Self-focusing of optical beams. // Phys. Rev. Lett. -1965. V. 15. - № 26. - P. 1005-1008.

38. Аскарьян Г.А. Самофокусировка и фокусировка ультра- и гипер-звука. // Письма в ЖЭТФ. 1966. - V. 4. - № 4. - Р. 144-147.

39. Аскарьян Г.А., Пустовойт В.И. Самофокусировка и фокусировка ультра- и гипер-звука в металлах и полупроводниках. // ЖЭТФ. 1970. - V. 58. - № 2. - Р. 647-650.

40. Аскарьян Г.А. Самофокусировка мощного звука при рождении пузырьков. // Письма в ЖЭТФ. 1971. - V. 13. - № 7. - Р. 395396.

41. Ландау J1.Д., ЛифшицЕ.М. Электродинамика сплошных сред. Наука. Москва. 1992. -660.

42. Луговой В.Н., Прохоров A.M. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейгой среде. // УФН. 1973. - V. 111. - № 2. - Р. 203-247.

43. Мазец И. Е., Матисов Б. Г., Снегирев А. Ю. Самофокусировка лазерного излучения в подпороговом режиме когерентного пленения населенностей. // ЖТФ. 1996. - V. 66. - № 7. - Р. 124-133.

44. Мазец И. Е., Матисов Б. Г., Казинец И. В. Взаимодействие оптически плотного бозе-конденсата с резонансным лазерным импульсом. // Письма в ЖТФ. 2000. - V. 26. - № 6. - Р. 53-58.

45. Exponential growth of collective excitations of a Bose-Einstein condensate. / Kazinets I. V., Matisov B. G. // Euroconference on Slow Collisions between LAseR manipulated systems (ESCOLAR'99). Elounda, Crete, Greece. May 1999. P. 25.

46. Interaction bichromatic laser field with a Bose condensate. / Kazinets I. V., Mazets I. E., Matisov B. G. // 31th Conference European Group for Atomic Spectroscopy (31st EGAS). Marseille. July 1999. P. 144.

47. Instability of a Bose condensate. / Kazinets I. V., Matisov B. G., Mazets I. E. // XXII International Conference On Low Temperature Physics (LT22). Espoo and Helsinki, Finland. August 1999. P. 289.

48. Боголюбов H. H. К теории сверхтекучести. // Известия академии наук СССР. 1947. - V. И. - № 1. - Р. 77-90.

49. Gross E. P. Structure of a quantized vortex in boson systems. // Nuovo Cimento. 1961. - V. 20. - P. 454-477.

50. Alexander L. Fetter. Nonuniform states of an imperfect bose gas. // Annals of Physics. 1972. - V. 70. - P. 67-101.

51. Griffin A. Conserving and gapless approximations for an inhomogeneous Bose gas at finite temperatures. // Physical Review B. 1996. - V. 53. - № 14. - P. 9341-9347.

52. Stringari S. Collective excitations of a trapped bose-condensed gas. // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. - № 12. - P. 2360 - 2363.

53. Franco Dalfovo, Stefano Giorgini, Lev P. Pitaevskii, Sandro Stringari. Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases. // Reviews of Modern Physics. 1999. - V. 71. - № 3. - P. 463-512.

54. Мазец И.Е. Неустойчивость бозе-конденсата нейтральных атомов во внешнем световом поле с неоднородной интенсивностью. // Письма в ЖТФ. 1999. - V. 25. - № 9. - Р. 77-81.

55. Казинец И. В., Матисов Б. Г., Мазец И. Е. Структурный фактор двухкомпонентного конденсата Бозе-Эйнштейна. // ЖТФ.- 2002. V. 72. - № 2. - Р. 28-35.

56. Stenger J., Inouye S., Chikkatur A. P. et al. Bragg spectroscopy of a bose-einstein condensate. // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82.- № 23. P. 4569-4573.

57. Stamper-Kurn D. M., Chikkatur A. P., Görlitz A. et al. Excitation of phonons in a bose-einstein condensate by light scattering. // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 83. - № 15. - P. 2876-2879.

58. Robert Graham, Dan Walls. Spectrum of light scattered from a +) weakly interacting Bose-Einstein condensed gas. // Phys. Rev.1.tt. 1996. - V. 76. - № 11. - P. 1774.

59. Gorlitz A., Chikkatur A. P., Ketterle W. Enhancement and suppression of spontaneous emission and light scattering by quantum degeneracy. // arXiv: cond-mat/0008067. 2000. - V. 08. - № 67.

60. Andrâs Csordâs, Robert Graham, Péter Szépfalusy. Semiclassical wave function and energy levels of Bose-condensed gases in spherically symmetric traps. // Physical Review A. 1997. - V. 56. - № 6. - P. 5179-5182.

61. Andrâs Csordâs, Robert Graham, Péter Szépfalusy. Quasi-particle excitations and dynamical structure function of trapped Bose-condensates in the WKB approximation. // arXiv: cond-mat/9711140. 1997. - V. 11. - № 140.

62. Wen-Chin Wu, Griffin A. Quantized hydrodynamic model and the dynamic structure factor for a trapped Bose gas. // Physical Review A. 1996. - V. 54. - № 5. - P. 4204-4212.

63. Zambelli F., Pitaevskii L., Stamper-Kurn D. M., Stringari S. Dynamic structure factor and momentum distribution of a trapped Bose gas. // Physical Review A. 2000. - V. 61. - № 063608. - P. 1-13.m

64. C. J. Myatt, E. A. Burt, R. W. Ghrist, E. A. Cornell, C. E. Wieman. Production of two overlapping Bose-Einsteincondensates by sympathetic cooling. // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78. - № 4. - P. 586-589.

65. D. S. Holl, M. R. Matthews, J. R. Ensher, C.E. Wieman, E.A. Cornell. The dynamics of component separation in a binary mixture of Bose-Einstein condensates. // arXiv: cond-mat/9804138. 1998. - V. 04. - № 138.

66. D. S. Holl, M. R. Matthews, C. E. Wieman, E. A. Cornell. Measurements of relative phase in binary mixtures of Bose-Einstein condensates. // arXiv: cond-mat/9805327. 1998. - V. 05. - № 327.

67. Tin-Lun Ho, V. B. Shenoy. Binary mixtures of Bose condensates of alkali atoms. // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. - № 16. - P. 3276-3279.

68. Robert Graham, Dan Walls. Collective excitations of trapped binary mixtures of Bose-Einstein condensed gases. // Phys. Rev. A. 1998. - V. 57. - № 1. - P. 484-487.

69. B. D. Esry, Chris H. Greene. Low-lying excitations of double Bose-Einstein condensates. //Phys. Rev. A. 1998. - V. 57. - № 2. - P. 1265-1271.

70. D. Gordon, С. M. Savage. Excitation spectrum and instability of a two-species Bose-Einstein condensate. // Phys. Rev. A. 1998. - V. 58. - № 2. - P. 1440-1444.

71. Радциг А. А., Смирнов Б. M. Параметры атомов и атомных ионов: Справочник. Энергоатомиздат. Москва. 1986.

72. Стенхольм С. Основы лазерной спектроскопии. Наука. Москва. 1985.

73. Летохов В. С., Чеботаев В. П. Нелинейная лазерная спектроскопия сверхвысокого разрешения. Наука. Москва. 1990.

74. Dalton B.J., Knight P.L. Population trapping and ultranarrow raman lineshapes induced by phase-fluctuating fields. // Opt. Commun. 1982. - V. 42. - № 6. - P. 411-416.

75. Dalton B.J., Knight P.L. The effects of laser field fluctuations on coherent population trapping. // J. Phys. B. 1982. - V. 15. - № 21. - P. 3997-4016.

76. Dalton B.J., McDuff R., Knight P.L. Coherent population trapping: two unequal phase-fluctuated fields. // Opt. Acta. -1985. V. 32. - № 1. - P. 61-70.

77. Hemmer P.R., Ontai G.P., Ezekiel S. Precision studies of stimulated-resonance raman interactions in the atomic beam. // J. Opt. Soc. Am. B. 1986. - V. 1. - № 3. - P. 219-229.

78. Kasevich M., Chu S. Measurement of the gravitational acceleration of an atom with a light pulse atom interferometer. // Appl. Phys. B. 1992. - V. 54. - № 5. - P. 321-332.

79. Kasevich M., Chu S., Riis E., de Voe R. Rf spectroscopy in an atomic fountain. // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 63. - № 6. - P. 612-615.

80. Делоне Н.Б., Крайнов В.П. Атом в сильном световом поле. Энергоатомиздат. Москва. 1984. -224.

81. Акулин В.М., Карлов Н.В. Интенсивные резонансные взаимодействия в квантовой элекиронике. Наука. Москва. 1987. -311.

82. Grobe R., Hioe F. Т., Eberly J. H. Formation of shape-preserving pulses in a nonlinear adiabatically integrable system. // Phys. Rev. Lett. 1994. - V. 73. - № 24. - P. 3183-3186.

83. Kuklinski J. R., Gaubatz U., Hioe F. Т., Bergmann K. AdiabaticУpopulation transfer in a three-level system driven by delayed laser pulses. // Phys. Rev. A. 1989. - V. 40. - J№ 11. - P. 6741-6744.

84. Harris S. E. Electromagnetically induced transparency with matched pulses. // Phys. Rev. Lett. 1993. - V. 70. - № 5. -P. 552-555.

85. Harris S. E. Normal modes for electromagnetically induced transparency. // Phys. Rev. Lett. 1994. - V. 72. - Xo- 1. - P. 52-55.

86. Eberly J. H., Pons M. L., Haq H. R. Dressed-field pulses in an absorbing medium. // Phys. Rev. Lett. 1994. - V. 72. - № 1. -P. 56-59.

87. Cerboneschi Elena, Arimondo Ennio. Transparency and dressing for optical pulse pairs through a double-Lambda absorbing medium. //Phys. Rev. A. 1995. - V. 52. - № 3. - P. R1823-R1826.

88. Eberly J. H. Transmission of dressed fields in three-level media. // Quantum Semiclass. Opt. 1995. - V. 7. - P. 373-384.

89. Happer W. Optical pumping. //Rev. Mod. Phys. 1972. - V. 44.- № 2. P. 169-249.

90. Питаевский JI.П. Конденсация Бозе-Эйнштейна в магнитных ловушках. Введение в теорию. // УФН. 1998. - V. 168. - № 6.- Р. 641 653.

91. W. Ketterle, М. R. Andrews, К. В. Davis, D. S. Durfee, D. М. Kurn, М.-О. Mewes, N. J. van Druten. Bose-Einstein condensation of ultracold atomic gases. // Physica Scripta. 1996. - V. T66. -P. 31 - 37.

92. Andrews M. R., Durfee D. S., Inouye S., D. M. Kurn, H.-J. Miesner, W. Ketterle. Studies of Bose-Einstein condensates. // J. Low Temp. Phys. 1998. - V. 110. - P. 153 - 166.

93. Kagan Yu. M., Surkov E. L., Shlyapnikov G. V. Evolution of a Bose-condensed gas under variations of the confining potential. // Phys. Rev. A. 1996. - V. 54. - № 3. - P. R1753 - R1756.

94. Pines D., Nozieres P. The Theory of Quantum Liquids. Benjamin. New York. 1966. Vol. I.

95. Andrews M. R., Kurn D. M., Miesner H.-J., Durfee D. S., Townsend C. G., Inouye S., Ketterle W. Propagation of soundin a Bose-Einstein condensate. // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 79. - № 4. - P. 553-556.

96. Singh K. G., Rokshar D. S. Collective excitations of a confined Bose condensate. // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. - № 9. - P. 1667-1670.

97. Edwards Mark, Ruprecht P. A., Burnett K., Dodd R. J., Clark Charles W. Collective excitations of atomic Bose-Einstein condensates. // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. - № 9. - P. 1671-1674.

98. Franco Dalfovo, Stefano Giorgini, M. Guilleumas, Lev P. Pitaevskii, Sandro Stringari. Collective and single-particle excitations of a trapped Bose gas. // Phys. Rev. A. 1997. -V. 56. - № 5. - P. 3840-3845.

99. Gordon Baym, C. J. Pethick. Ground-state properties of magnetically trapped Bose-condensed rubidium gas. // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 76. - № 1. - P. 6-9.

100. Pines D., Nozieres P. The Theory of Quantum Liquids. Addison-Wesley. Redwood City, CA. 1990. Vol. II.

101. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая Механика (нерелятивистская теория). Теоретическая физика. Т. III. Наука. Москва. 1989. -768.

102. Abramowitz М., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. Nat. Bureau of Standards. 1964.

103. Ю. А. Непомнящий. К микроскопической теории раствора сверхтекучих жидкостей. // ЖЭТФ. 1976. - V. 70. - Ж0- 3. - Р. 1070-1080.