Электронный транспорт в сверхпроводящих мезоскопических контактах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение б

I. Формализм матрицы рассеяния

1.1. Сверхпроводящий ток и матрицы рассеяния.

1.2. Сверхпроводящие точечные контакты.

1.2.1. ЗХЭ контакт.

1.2.2, Б^Гад контакт.

II. Электронный транспорт в сверхпроводящих точечных контактах

П.1. Электронный транспорт в сверхпроводящем точечном контакте типа

11.2. Критический ток контакта.

11.3. Андреевские уровни и сверхпроводящий ток в БШШ контакте.

11.4. Электронный транспорт в несимметричном Б^ШгЗ контакте.

II.5. "Изоморфизм" между свойствами 8Ш18 контакта и сверхпроводящего одноэлектронного транзистора.

III.7г — 0 переход в БРБ контактах

IV.Эффект Джозефсона в БрХБр контактах

V. Магнитные осцилляции кондактанса в N5 системах

VI.Критическая температура БР-бислоев

VI. 1. Постановка задачи.

VI. 2. Модель

VI.3. Многомодовый метод

Одномодовое приближение.

VI.3.2. Многомодовый метод

VI.4. Метод фундаментального решения.

VI.4.1. Результаты численных расчетов.

VI.4.2. Сравнение с экспериментом.

VI.4.3. Тс{^).

VI.4.4. Сравнение многомодового и одномодового метода

VI.4.5. Пространственная зависимость параметра порядка

VI.5. Обсуждение основных результатов.

VI.5.1. Интерпретация немонотонной зависимости Гс(с?/)

VI.5.2. ЭР сверхрешетки.

VI.5.3. Комплексный коэффициент диффузии.

VI.5.4. Выводы.

VII.Проверка неравенств Белла в мезоскопических системах

В последние 15-20 лет достигнут существенный прогресс в исследовании транспортных свойств мезоскопических контактов, связанных с квантовыми аспектами их поведения. Было найдено много новых эффектов. Появились задачи, которые ранее либо не привлекали особого внимания, либо для изучавшихся ранее систем представлялись нереалистичными.

Характерным масштабом длины, на котором становятся существенными квантовые корреляции, является длина сбоя фазы частицы Ьф. Можно сказать, что макроскопический образец состоит из мезоскопических областей порядка Ьф, интерференция внутри которых определяет свойства макрообъекта. С другой стороны, развитие экспериментальных методов позволило настолько уменьшить размер L, исследуемых систем, что стало возможным выполнение неравенства L < Ьф. Такие системы называют мезоскопи-ческими, соответствующая область науки называется мезоскопикой.1 При рассмотрении таких систем, возникает много новых эффектов, связанных с квантовой природой электрона.

Мезо" — ( ) промежуточный; "scope" — ( ) цель, "scopic" — ( ) смотреть на.

Перечислим только некоторые из них, имеющие непосредственное отношение к теме диссертации. Например, в конце 80ых годов было показано, что кондактанс баллистических точечных контактов между нормальными металлами квантуется [1,2]; этот эффект связан с квантованием импульса электрона в сужении контакта. В начале девяностых было показано, что критический ток в сверхпроводящих точечных контактах тоже может квантоваться [3,4]. Показано, что в результате размерного эффекта, кондактанс контактов двумерного электронного газа в режиме целого квантового эффекта Холла со сверхпроводниками может квантоваться [5]. В последние годы интенсивно исследуется влияние ферромагнетизма на сверхпроводимость в гибридных системах типа сверхпрводник-ферромагнетик (SF). Несколько лет назад экспериментально обнаружены джозефсоновкие 7г-контакты [6], в основном состоянии которых сверхпроводящая разность фаз равна 7г, а не нулю, как в "обычных" сверхпроводящих контактах. Предсказан эффект усиления критического тока обменным полем ферромагнетика в джозефсонов-ских контактах [7,8]. В науке появилось ряд новых направлений: квантовая криптография, квантовые вычисления, квантовая телепортация. Основным объектом этих наук служат так называемые "запутанные" состояния, не имеющие аналога в классической механике. Типичный пример запутанного состояния — ЭПР (Энштейна-Подольского-Розена [9]) пара фотонов в синглет-ном состоянии (со полным спином равным нулю). Волновая функция этого запутанного (entangled) состояния не может быть представлена в виде произведения волновых функция отдельных фотонов. В физике твердого тела пример запутанного состояния — куперовская пара; недавно было показано, что система сверхпроводник-нормальный металл может служить источником запутанных состояний [10,11]. С помощью неравенств Белла можно исследовать запутанные состояния в твердом теле [12].

Значительная часть представленных в диссертации результатов получена с использованием подхода, опирающегося на матрицу рассеяния, который, в последнее время, чрезвычайно широко и успешно применяется для описания электронного мезоскопического транспорта (хорошо известный пример - формула Ландауэра).

На первый взгляд, такой способ описания транспорта всего лишь переносит проблему с вычисления функций Грина на вычисление матриц рассеяния, а эта задача ничуть не менее сложна. Это однако не совсем так. Во-первых, для многих случаев с простой геометрией образца и с простым потенциалом рассеяния прозрачности можно вычислить аналитически, и эти вычисления проще и нагляднее, чем вычисления функции Грина. Во вторых, часто удается сделать разумное предположение о матрице рассеяния и получить удовлетворительное описание эксперимента. В-третьих, в настоящее время хорошо разработаны эффективные численные методы, позволяющие вычислять элементы матрицы рассеяния для мезоскопических контактов сложной формы. Наконец, для грязных проводников со сложным потенциалом рассеяния, вероятности прохождения удается описать статистически. В ряде задач "традиционный" метод решения, основанный на квазиклассических (проинтегрированных по £) функциях Грина неприменим (в отличие от метода матриц рассеяния) из-за отсутствия электрон-дырочной симметрии; например, в 8-2БЕС-8 контакте, когда в 2БЕС затвором открыт только один канал, отсутствие электрон-дырочной симметрии выражается в том, что бо-голюбовкие квазичастицы (в 2ЭЕС) - электроны и дырки - рассеиваются от потенциала затвора с разными амплитудами [13]. Методу матриц рассеяния посвящена первая глава диссертации.

Впервые, эффект квантования в квантовых точечных наблюдался в эксперименте [1]. В сужении компонента импульса электрона р±, перпендикулярная направлению тока, р± = тгп/с1, п = 1, А/", N = 7г, где с1 — ширина сужения. Сужение квантового точечного контакта можно рассматривать как электронный волновод [2], по аналогии с волноводами электромагнитных волн. Электрический ток переносится через контакт нескольким транвер-сальными модами (каналами) (аналогично ТЕю и ТЕц модам в электромагнитных волноводах); сопротивление контакта обратно пропорционально числу каналов, N. Кондактанс С контакта квантуется, т.е. изменяется с увеличением й ступеньками, равными 2е2/К [2]. Пусть берега контакта не нормальные металлы (2БЕС), а сверхпроводники. Было бы естественно предполагать, что критический ток тоже будет квантоваться, с квантом ~ е2/Н(А/е) — еА/Н, где Д — щель в сверхпроводниках; однако, как показано в диссертации, далеко не всегда критический ток квантуется. В главах 1,2 показано, что квантование критического тока возможно только в контактах, в которых расстояние между сверхпроводниками много меньше их длин когерентности; поверхность между нормальной частью контакта и сверхпроводниками должна быть идеальной, так чтобы электроны рассеивались на границе только от парного потенциала сверхпроводников. Оказывается (один из результатов этой диссертации), что только самый близкий к энергии Ферми андреевский уровень дает основной вклад в критический ток, причем при разности фаз стремящейся к 7г. В противоположном случае, как показано в главе 2, плохих границ со сверхпроводником, критический ток не квантуется, а имеет резонансную зависимость от с?; когда энергия Ферми пересекает электронный и дырочный уровень в потенциальном ящике, образованном стенками контакта, критический ток достигает максимума, и в максимуме, снова, самый близкий к энергии Ферми андреевский уровень дает основной вклад в критический ток при разности фаз стремящейся к 7г [14,15].

С момента появления первой работы [16], посвященной теории токовых состояний в сверхпроводящих системах со "слабыми" связями2 (Джозефсо-новскими контактами), прошло более 40 лет, но по ^ей день эта область науки богата интересными задачами. В большинстве джозефсоновских контактов, в основном состоянии, когда ток равен нулю, разность фаз между сверхпроводниками также равна нулю (по модулю 2тг). Однако, в существуют контакты, в которых даже при отсутствии тока свободная энергия имеет минимум при отличной от нуля разности фаз, например, в контактах типа сверхпроводник-ферромагнетик-сверхпроводник в 7г-состоянии, миниму

2"Слабыми связями в современной литературе обычно называют такие проводящие соединения между массивными сверхпроводящими образцами (электродами), критический ток которых значительно меньше критического тока электродов." К.К. Лихарев [19] му свободной энергии отвечает разность фаз равная 7г [6,17]. В главе 3 [18] исследуются транспортные свойства контактов типа сверхпроводник (S) -ферромагнетик (F) - сверхпроводник (SFS). Найдены андреевские уровни вычислен сверхпроводящий ток, получена фазовая диаграмма перехода SFS контакта в 7Г состояние. Показано, что в точке перехода основная гармоника джозефсоновского тока (по разности фаз ср) между сверхпроводниками, пропорциональная sin(</?), подавлена по сравнению с высшими гармониками, которые дают основной вклад в ток. В главе 4 [20] рассматривается эффект Джозефсоновсона в Sf-X-Sf контактах, где Sp — "ферромагнитный" сверхпроводник, X — несверхпроводящий материал (например, слой изолятора или нормального металла). Выведена общая формула выражающая сверхпроводящей ток через прозрачности Х-слоя. Показано, что критический ток /с возрастает при увеличении обменного поля только в том случае, когда наибольший вес в распределении вероятностей прохождения р(Т) соответствует Т <С 1. Если X — нормальный металл, то Джозефсоновский ток не усиливается обменным полем. В режиме низкий температур, Т <С Ах,2) существует тесная связь между критическим током в Sf-X-Sf контакте и амплитудой джозефсоновского тока io(V) в туннельном контакте типа SIS при конечном напряжении V между сверхпроводниками: Ic(h\ — h2) = Io(hi — /12) (предполагается, что обменные поля в двух сверхпроводниках коллинеарны). При \V\ = Ai + А2 амплитуда джозефсоновскогго тока /о имеет логарифмическую (риделевскую) особенность, такую же особенность имеет /с при \hi — /121 = ai + Д2; роль обменного поля в Sf-X-Sf аналогична роли напряжения в SIS контактах — сдвиг энергий Ферми сверхпроводников друг относительно друга на h\ — h2- Следует подчеркнуть, что обменные поля, в отличие от напряжения, не приводят к зависимости разности фаз <р между сверхпроводниками от времени.

В главе 5 [21] исследуется размерный эффект в контактах типа 2DEG-S в магнитном поле, перпендикулярном плоскости 2DEG. Когда циклотронный радиус в 2DEG порядка или меньше характерного размера границы контакта со сверхпроводником, то кондактанс системы осциллирует, как функция фактора заполнения v. Причина осцилляций — интерференция боголюбов-ских квазичастиц, пролетевших по разным траекториям в магнитном поле вдоль границы контакта.

В главе 6 [12] исследуются нелокальные корреляции электронов в ме-зоскопических системах. Вводится критерий запутанности электронов на основе неравенств Белла. Рассматривается источник электронных пар (S) общего вида. Показано, что измеряя корреляционные функции токов (шум) можно проверить неравенства Белла и выяснить, являются ли вылетающие из S электроны запутанными или нет. Если неравенства Белла нарушаются, значит электроны запутаны, между ними существуют нелокальные корреляции. Показано, как с помощью неравенств Белла можно доказать, что электроны, вылетающие из сверхпроводника в два нормальных проводника, снабженных соответствующими фильтрами, будут запутанными (предполагается, что характерное расстояние между соответствующими NS контактами не превосходит длины когерентности сверхпроводника).

В главе 7 [22] исследуется критическая температура SF-бислоев. Предложено два метода вычисления критической температуры SF бислоев, много-модовый метод — обобщение уже известного многомодового метода, использовавшегося для нахождения Тс в SN бислоях [23] и математически строгий метод фундаментального решения. При низких температурах (по сравнению с Tes), вычисления многомодовым методом используют больше ресурсов, чем вычисления методом фундаментального решения с той же точностью. Теоретические результаты имеют хорошее согласие с экспериментом. В общем случае, наблюдается три характерных типа Tc(df): 1) немонотонный спад Тс к конечному значению с минимумом при конечном df, 2) возвратное поведение: Тс обращается в ноль в конечном интервале df и отлично от нуля вне этого интервала, 3) монотонный спад Тс в ноль в конечном интервале df. Немонотонность Tc(df) можно интерпретировать, как результат интерференции квазичастиц в F-слое. Используя разработанные методы, удалось проверить точность так называемого одномодового приближения. В некотором диапазоне параметров результаты, полученные с помощью одномодового приближения, близки к точным результатам, в общем случае одномодо-вый метод плохо аппроксимирует Тс даже на качественном уровне. Таким образом, надежные результаты можно получить только с помощью точных методов, например многомодовым или методом фундаментального решения. Пространственное поведение параметра порядка (вблизи Тс) почти не чувствительно к значению Тс. Методы, предложенные в данной работе применимы к более сложным системам, таким как SFS, FSF, SFIFS, FSISF и т.д.

14 в 0 -состоянии; эти методы легко обобщаются на случай 7г-состояния (когда А и/или Ё/ех противоположного знака в соседних Е-слоях). Показано, что использование комплексного коэффициента диффузии в уравнении Узаде-ля — превышение точности. Во многих предельных случаях, Тс может быть найдена аналитически.

I. Формализм матрицы рассеяния

В диссертации рассматривается ряд задач, посвященных эффекту Джозеф-сона в сверхпроводящих контактах типа БРБ, БШШ, Бр-Х-Зр и т.д.

Исследование электронного транспорта в этих системах основано на методе матриц рассеяния. Эта глава посвящена изложению основ этого метода. Соотношения, выведенные в этой главе, многократно используются в других главах.

Заключение

Перечислим основные результаты работы:

1. В контактах типа сверхпроводник (Э) - нормальный металл (К) - сверхпроводник (Б^) изучался эффект квантования критического тока при изменении числа открытых каналов в сужении. Было впервые установлено, что при уменьшении эффективного химического потенциала андреевские уровни теряют зависимость от разности фаз между сверхпроводниками, переходя в электронные уровни. Зависимость критического тока от напряжения на затворе не универсальна, а зависит от параметров контакта. Каждый открытый канал дает вклад в критический ток, равный отношению заряда электрона ко времени его пролета через контакт. Оказывается, что только самый близкий к поверхности Ферми андреевский уровень дает вклад в критический ток, при разности фаз равной 7г.

2. Нормальное отражение от N8 границ приводит к резонансам критического тока как функции ширины сужения контакта. В максимуме критический ток по-прежнему равен отношению элементарного заряда ко времени движения электрона через контакт.

3. Было показано, что SNS контакт (с сильным нормальным рассеянием от границ) аналогичен сверхпроводящему одноэлектронному транзистору.

4. Рассматривался электронный транспорт в системе двумерный электронный газ (2DEG) - сверхпроводник в сильном магнитном поле, перпендикулярном плоскости 2DEG. Когда циклотронный радиус в 2DEG порядка или меньше характерного размера границы контакта со сверхпроводником, то кондактанс системы осциллирует, как функция фактора заполнения v. Причина осцилляций — интерференция боголюбовских квазичастиц, пролетевших по разным траекториям в магнитном поле вдоль границы контакта.

5. Исследовались транспортные свойства контактов типа сверхпроводник (S) - ферромагнетик (F) - сверхпроводник (SFS). Получена фазовая диаграмма перехода SFS контакта в 7г состояние. Показано, что в точке перехода основная гармоника джозефсоновского тока (по разности фаз (р) между сверхпроводниками), пропорциональная sin(</?), подавлена по сравнению с высшими гармониками, которые дают основной вклад в ток.

6. Разработан метод вычисления критической температуры грязных бис-лоев типа SF (или SN) на основе уравнений Узаделя. Показано, что осцилляции критической температуры при изменении толщины ферромагнитного слоя связаны с интерференцией куперовских пар. Теоретические расчеты критической температуры S F бислоев хорошо согласуются с экспериментальными данными.

7. Сформулированы неравенства Белла в терминах корреляторов ток-ток, спектральной плотности шума. На основе неравенств Белла предложен метод детектирования "запутанных"электронных пар в мезоскопиче-ских системах.

8. Показано, что в сверхпроводящем контакте типа Sp-X-Sp, где X - слабая связь, Sp - сверхпроводник с обменным полем, эффект усиления Джозефсоновкого тока обменным полем возникает, кода основной вес в функции распределения прозрачностей области N приходится на малые вероятности прохождения.

Результаты представленных в диссертации исследований были представлены и докладывались: на конференциях: 2000 Международная конференция по Мезоскопике, Черноголовка; 2001 Сильно коррелированные электронные системы (Rencontres de Moriond), Лез Арк, Франция; 2001 Системы коррелированных фермионов и бозонов (НАТО), Виндзор, Англия на научных семинарах в: ИТФ РАН, ЛФТИ РАН, ИРЭ РАН, Базель-ском Университете (Швейцария), Дельфтском Университете (Голландия), Институте Вейцмана (Израиль), Марсельском Университете (Франция).

123

Я глубоко благодарен своему научному руководителю Г.Б. Лесовику за постоянное внимание и поддержку в работе, а также сотрудникам института ИТФ Ландау, обсуждение с которыми помогло решить многие из вопросов работы.

1. Van Wees B.J. et al, Phys. Rev. Let., 1988, 60, 848; Wharam D.A. et al, J.Phys.C: Solid State Physics, 1988, 21, L209; Глазман J1.И. et al, Письма в ЖЕТФ, 1988, 48, 218.

2. L.I.Glazman, G.B.Lesovik, D.E.Khmelnitskii et al., Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 48, 218 (1998)JETP Lett. 48, 238 (1988)].

3. H. Takayanagi et al., Phys. Rev. Lett. 75, 3533 (1995).

4. Furusaki A. et al, Phys. Rev. Lett. 67, 132 (1991) and Phys. Rev. В 45, 10563 (1992).

5. H.Takayanagi, T.Akazaki, Physica (Amsterdam) 249-251B, 462 (1998).

6. V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. Yu. Rusanov, A. V. Veretennikov, A. A. Golubov, and J. Aarts, Phys. Rev. Lett. 86, 2427 (2001); V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. V. Veretennikov, and A. Yu. Rusanov, Phys. Rev. В 65, 020501(R) (2001).

7. F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and K. B. Efetov, Phys. Rev. Lett. 86, 3140 (2001).

8. N. M. Chtchelkatchev, W. Beizig, Yu. V. Nazarov, and C. Bruder, Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 74, 357 (2001) JETP Lett. 74, 323 (2001)].

9. A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. Lett. 47, 777 (1935).

10. G.B. Lesovik, T. Martin, and G. Blatter, Eur. Phys. J. B 24, 287 (2001).

11. P. Recher, E.V. Sukhorukov, and D. Loss, Phys. Rev. B 63, 165314 (2001).

12. N.M. Chtchelkatchev, G. Blatter, G.B. Lesovik, and Thierry Martin, "Bell inequalities and entanglement in solid state devices", cond-mat/0112094

13. N.M. Chtchelkatchev, G.B. Lesovik and G. Blatter, "Supercurrent Quantization in Narrow Channel SNS Junctions", Phys. Rev. B 62, 3559 (2000).

14. D. Kuhn, N.M. Chtchelkatchev, G.B. Lesovik and G. Blatter, "Supercurrents through gated superconductor normal-metal - superconductor contacts: the Josephson-transistor", Phys.Rev.B 63, 054520 (2001)

15. N.M. Chtchelkatchev, "Critical current in superconducting point contacts", JETP Letters, 71, 504 (2000)

16. B. D. Josephson Phys. Lett. 1, 251 (1962)

17. L. N. Bulaevskii, V. V. Kuzii, and A. A. Sobyanin, Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 25, 314 (1977) JETP Lett. 25, 290 (1977)].

18. N.M. Chtchelkatchev, W. Beizig, Yu.V. Nazarov, and C. Bruder, "тг 0 Transition in Superconductor - Ferromagnet - Superconductor Junctions", JETP Letters, 74, 323 (2001)

19. K. Jl. Лихарев, УФН, том 127, вып. 2, 1979.

20. N.M. Chtchelkatchev, W. Beizig, and C. Bruder, "Josephson effect in SF-X-SF junctions", JETP Lett. 75, 772 (2002); cond-mat/0205316

21. N.M. Chtchelkatchev, "Conductance of semiconductor (2DEG) -superconductor contacts in high magnetic field", JETP Letters, 73, 94 (2001)

22. Ya.V. Fominov, N.M. Chtchelkatchev, and A.A. Golubov, "Nonmonotonic behavior of critical temperature in superconductor/ferromagnet bilayers", cond-mat /0202280

23. A. A. Golubov, M. Yu. Kupriyanov, V. F. Lukichev, and A. A. Orlikovskii, Mikroelektronika 12, 355 (1983) Sov. J. Microelectronics 12, 191 (1984)].

24. Свидзииский А. В., "Пространственно-неоднородные задачи сверхпроводимости", М., Наука 1982.

25. П. де Жен, "Сверхпроводимость металлов и сплавов", "Мир", Москва 1968.

26. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Курс теоретической физики, том 3, "Квантовая Механика"27 282933 34 [3536 37

27. Beenakker C.W.J., Phys.Rev.Lett., 1991, 67, 3836.

28. J.M. Krans, C.J. Muller, I.K. Yanson , Th.C.M. Govaert, R. Hesper, and J.M. van Ruitenbeek, Phys. Rev. В 48, R14721 (1993).

29. C.J. Muller, J.M. van Ruitenbeek, and L.J. de Jongh, Phys. Rev. Lett. 69, 140 (1992).

30. E. Scheer, N. Agrait, J.C. Cuevas, A.L. Yeyati, B. Ludoph, A. Martin-Rodero, G.R. Bollinger, J.M. van Ruitenbeek, and C. Urbina, Nature 394, 154 (1998).

31. G. Wendin and V. S. Shumeiko, Phys. Rev. В 53, R6006 (1996).

32. O. Kulik and A. N. Omel'yanchuk, Fiz. Nizk. Temp. 4, 296(1978)Sov. J. Low Temp. Phys. 4,142(1978).

33. Кулик И.О., ЖЕТФ, 1969, 67, 1745.

34. Schltissler U. et al, Phys. Rev. B, 1993, 47, 2754.

35. P. Joyez, P. Lafarge, A. Filipe, D. Esteve, and M.H. Devoret, Phys. Rev. Lett. 72, 2458 (1994).

36. M. Tinkham, Introduction to Superconductivity (McGraw-Hill, 1996).

37. D.V. Averin and K.K. Likharev, in Mesoscopic Phenomena in Solids, edited by B.L. Altshuler, P.A. Lee, R.A. Webb (North-Holland, Amsterdam, 1991), p. 213.

38. V. Ambegaokar and A. Baratoff, Phys. Rev. Lett. 10, 486 (1963).

39. L.I. Glazman and A.V. Khaetskii, Europhys. Lett. 9, 263 (1989).

40. I.A. Larkin and J.H. Davies, Phys. Rev. B 52, R5535 (1995).

41. A. V. Andreev, A. I. Buzdin, and R.M.Osgood, Phys. Rev. B 43, 10124 (1991).

42. M. V. Feigelman, Usp. Fiz. Nauk. 169, 917 (1999).

43. L. V.Ioffe et al., Nature 398, 679 (1999).

44. T. Kontos, M. Aprili, J. Lesueur, and X. Grison, Phys. Rev. Lett. 86, 304 (2001); T. Kontos, M. Aprili, J. Lesueur, F. Genêt, B. Stephanidis, and R. Boursier, cond-mat/0201104.

45. M. Zareyan, W. Belzig, and Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 86, 308 (2001).

46. S. Guéron et al., Phys. Rev. Lett. 83, 4148 (1999).

47. M. Fogelström, Phys. Rev. B 62, 11812 (2000).

48. S. V. Kuplevakhskii and 1.1. Falko, Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 52, 957 (1990) JETP Lett. 52, 340 (1990)].

49. C.W.J. Beenakker and H. van Houten, Phys. Rev. Lett. 66, 3056 (1991).

50. C.W.J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 67, 3836 (1991).

51. K. K. Likharev, Dynamics of Josephson Junctions and Circuits (Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, 1991).

52. G. Sarma, J. Phys. Chem. Solids 24, 1029 (1963); see also D. Saint-James, G. Sarma, and E. J. Thomas, Type II Superconductivity (Pergamon, Oxford, 1969), p. 159.

53. Ya. V. Fominov, N. M. Chtchelkatchev, and A. A. Golubov, Pis'ma ZhETF 74, 101 (2001) JETP Lett 74, 96 (2001)].

54. E. A. Dernier, G. B. Arnold, and M. R. Beasley, Phys. Rev. B 55, 15174 (1997).

55. V. N. Krivoruchko and E. A. Koshina, cond-mat/0104251.

56. A. A. Golubov, M. Yu. Kupriyanov, and Ya. V. Fominov, Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 75, 223 (2002) JETP Lett. 75, 190 (2002)].

57. E. Riedel, Z. Naturforsch. 19a, 1634 (1964).

58. N. R. Werthammer, Phys.Rev. 147, 255 (1966)

59. A. I. Larkin and Yu. N. Ovchinnikov, Sov. Phys. JETP 24, 1035 (1967).

60. I. O. Kulik and I. K. Yanson, The Josephson Effect in Superconductive Tunneling Structures (Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1972) Nauka, Moscow, 1970].

61. D. H. Huertas-Hernando, Yu. V. Nazarov, and W. Belzig, Phys. Rev. Lett. 88, 047003 (2002).

62. Ya. V. Fominov, N. M. Chtchelkatchev, and A. A. Golubov, cond-mat/0202280.

63. A. V. Zaitsev, Sov. Phys. JETP 59, 1163 (1984).

64. Yu. V. Nazarov, Superlattices and Microst. 25, 1221 (1999).

65. M. Yu. Kupriyanov and V. F. Lukichev, Zh. Exp. Teor. Fiz. 94, 139 (1988) Sov. Phys. JETP 67, 1163 (1988)].

66. W. Belzig, F. K. Wilhelm, C. Bruder et al., Superlattices and Microst. 25, 1251 (1999).

67. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Tables of Integráis, Series, and Products (Academic Press, New York, 1980).

68. Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 73, 134 (1994).

69. O. N. Dorokhov, Solid State Commun.51, 381 (1984)

70. T. Akazaki, H. Takayanagi, J. Nitta, and T. Enoki, Appl. Phys. Lett. 68, 418 (1996).

71. Th. Schraepers, J. Malindretos, K. Neurohr, S. Lachenmann, A. van der Hart, G. Crecelius, H. Hardtdegen, and H. Lüth, Appl. Phys. Lett. 73, 2348 (1998).

72. C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 67, 3836 (1991).

73. T.D.Moore, D.A.Williams, Phys.Rev.B 59, 7308 (1999)

74. H.Hoppe, U.Zülike, and G.Schön, Phys.Rev.Lett. 84, 1804 (2000).

75. Y.Takagaki, Phys.Rev.B 57, 4009 (1998).

76. Y.Asano, Phys.Rev.B 61, 1732 (2000); Y.Asano, T.Yuito, Phys.Rev.B 62, 7477 (2000).

77. C.J.Lambert, J.Phys.:Condens.Matter 3, 6579(1991); Y.Takane and H.Ebisawa, J.Phys.Soc.Jpn. 61, 1685 (1992).

78. M.Born, E.Wolf, "Principles of optics", Pergamon Press, 1986, p. 341.

79. H.Baranger, D.DiVincentzo, R.Jalabert, et al, Phys.Rev.B 44, 10637 (1991).

80. K.Richter, "Semiclassical theory of mesoscopic quantum systems", SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2000, (Springer tracts in modern physics; Vol. 161), pp. 63-68.

81. G.E.Blonder, M.Tinkham, and T.M.Klapwijk, Phys.Rev.B 25, 4515 (1982).

82. E. Schrödinger, Naturwissenschaften 23, 807 (1935); ibid. 23, 823 (1935); ibid. 23, 844 (1935).

83. M.B. Menskii, Phys. Usp. 44, 438 (2001).

84. D. Bouwmeester, A. Ekert, and A. Zeilinger, The Physics of Quantum Information: Quantum Cryptography, Quantum Teleportation, Quantum Computations (Springer-Verlag, Berlin, 2000).

85. A. Zeilinger, Phys. World 11, 35 (1998).

86. A. Steane, Rep. Prog. Phys. 61, 117 (1998).

87. A.K. Ekert, Phys. Rev. Lett. 67, 661 (1991).

88. C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).

89. L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics, 1st ed. (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995).

90. J. Cirac, Nature 413, 375 (2001).

91. M. Rowe et al, Nature 409, 791 (2001).

92. R.A. Bertlmann and B.C. Hiesmayr, Phys. Rev. A 63, 062112 (2001).

93. D.P. DiVincenzo, G. Burkard, D. Loss, and E.V. Sukhorukov, in "Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics", Vol. 559, eds. I.O. Kulik and R. Ellialtioglu, (NATO ASI, Turkey, Kluwer, 2000).

94. J.S. Bell, Physics (Long Island City, N.Y.) 1, 195 (1965); J.S. Bell, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966); J.F. Clauser, M.A. Home, A. Shimony, and A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969).

95. R. Werner and M. Wolf, quant-ph/0107093.

96. N. Mermin, Rev. Mod. Phys. 65, 803 (1993); A. Grib, Phys. Usp. 27, 284 (1984).

97. J.M. Kikkawa and D.D. Awschalom, Phys. Rev. Lett. 80, 4313 (1998); and Nature 397, 139 (1999).100 101 102 103104105106107108109110 111

98. S. Kawabata, J. Phys. Soc. Jpn. 70, 1210 (2001).

99. R. Ionicioiu, P. Zanardi, and F. Rossi, Phys. Rev. A 63, 050101(R) (2001).

100. Ya. Blanter, M. Biittiker, Phys. Rep. 336, 1 (2000).

101. S. Popescu, Phys. Rev. Lett. 74, 2619 (1995); N. Gizin, Phys. Lett. A 210, 151 (1996).

102. Y. Imry, Introduction to Mesoscopic physics (Oxford University Press, Oxford, 1997).

103. P. Recher, E.V. Sukhorukov, and D. Loss, Phys. Rev. Lett. 85,1962 (2000). D. Huertas-Hernando, Yu.V. Nazarov, and W. Belzig, cond-mat/0107346. G.B. Lesovik, JETP Lett. 49, 592 (1989). M.P. Anantram and S. Datta, Phys. Rev. B 53, 16390 (1996).

104. This condition excludes processes where, for instance, an electron quasi-particle in lead 1 is not absorbed by the terminals 3,5, but is reflected back tothe superconductor and finally transformed into a hole propagating through lead 2.

105. J.F. Clauser and M.A. Home, Phys. Rev. D 10, 526 (1974).

106. G. Burkard, D. Loss, and E.V. Sukhorukov, Phys. Rev. B 61, R16303 (2000).

107. Z. Radovic, M. Ledvij, Lj. Dobrosavljevic-Grujic, A. I. Buzdin, and J. R. Clem, Phys. Rev. B 44, 759 (1991).

108. L. R. Tagirov, Phys. Rev. Lett. 83, 2058 (1999).

109. A. Buzdin, Phys. Rev. B 62, 11377 (2000).

110. M. Zareyan, W. Belzig, and Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 86, 308 (2001).

111. J. S. Jiang, D. Davidovic, D. H. Reich, and C. L. Chien, Phys. Rev. Lett. 74, 314 (1995).

112. Th. Miihge, N. N. Garif'yanov, Yu. V. Goryunov, G. G. Khaliullin, L. R. Tagirov, K. Westerholt, I. A. Garifullin, and H. Zabel, Phys. Rev. Lett. 77, 1857 (1996).

113. J. Aarts, J. M. E. Geers, E. Brück, A. A. Golubov, and R. Coehoorn, Phys. Rev. B 56, 2779 (1997).

114. L. Lazar, K. Westerholt, H. Zabel, L. R. Tagirov, Yu. V. Goryunov, N. N. Garif'yanov, and I. A. Garifullin, Phys. Rev. B 61, 3711 (2000).

115. V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. S. Prokof'ev et al, in preparation.

116. A. Rusanov, R. Boogaard, M. Hesselberth, H. Sellier, and J. Aarts, cond-mat/0111178.

117. L. R. Tagirov, Physica C 307, 145 (1998).

118. K. D. Usadel, Phys. Rev. Lett. 25, 507 (1970).

119. A. I. Larkin and Yu. N. Ovchinnikov, in Nonequilibrium Superconductivity, edited by D. N. Langenberg and A. I. Larkin (Elsevier, New York, 1986), p. 530, and references therein.

120. J. Rammer and H. Smith, Rev. Mod. Phys. 58, 323 (1986).

121. Ya. V. Fominov, N. M. Chtchelkatchev, and A. A. Golubov, Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 74, 101 (2001) JETP Lett. 74, 96 (2001)].

122. M. Yu. Kupriyanov and V. F. Lukichev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 94,139 (1988) Sov. Phys. JETP 67, 1163 (1988)].

123. M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1974).

124. P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics (McGraw-Hill, New York, 1953), Vol. 1.

125. V.V. Ryazanov, private communication.

126. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill, New York, 1965).

127. Ya. V. Fominov and M. V. Feigel'man, Phys. Rev. B 63, 094518 (2001). The quantities ts, tn, Rmt, a^d p^t used there are equivalent, respectively, to the quantities rs, Tf, and from the present paper.

128. I. Baladie and A. Buzdin, Phys. Rev. B 64, 224514 (2001).

129. G. Eilenberger, Z. Phys. 214, 195 (1968).

130. F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and К. В. Efetov, Phys. Rev. Lett. 86, 3140 (2001); Phys. Rev. В 64, 134506 (2001).

131. Т.Ю. By и Т. Томура, "Квантовая теория рассеяния", Наука, Москва 1969г.

132. M.G. Krein, Sov. Math. Dokl. 3, 1071 (1962)

133. А. Боум, "Квантовая Механика, основы и приложения", Мир, Москва 1990 Springer-Verlag, New York 1986]

134. N.M. Chtchelkatchev, Yu.V. Nazarov, in preparation146. "Туннельные явления в твердых телах"под ред. Э. Бурштейна и С. Лундквиста, Москва "Наука" 1973.

135. Samuelson P. et а/, cond-mat/9904276

136. Андреев А.Ф., ЖЕТФ, 1964, 49, 1823.

137. М. Biittiker, Y. Imry, R.H. Landauer, and S. Pinhas, Phys. Rev. В 31, 6207 (1985).

138. Glazman L.I., Khaetskii A.V., J. Phys.: Condens. Matter, 1989, 1, 5005.

139. Работы, представленные на защиту

140. N.M. Chtchelkatchev, G.B. Lesovik and G. Blatter,

141. Supercurrent Quantization in Narrow Channel SNS Junctions,

142. Phys. Rev. B 62, 3559 (2000).2. N.M. Chtchelkatchev,

143. Critical current in superconducting point contacts, JETP Letters, 71, 504 (2000)

144. D. Kuhn, N.M. Chtchelkatchev, G.B. Lesovik and G. Blatter,

145. Supercurrents through gated superconductor normal-metal -superconductor contacts: the Josephson-transistor, Phys.Rev.B 63, 054520 (2001)4. N.M. Chtchelkatchev,

146. Conductance of semiconductor (2DEG) superconductor contacts in high magnetic field, JETP Letters, 73, 94 (2001)

147. N.M. Chtchelkatchev, W. Belzig, Yu.V. Nazarov, and C. Bruder,164it—0 Transition in Superconductor Ferromagnet - Superconductor Junctions, JETP Letters, 74, 323 (2001)

148. Ya.V. Fominov, N.M. Chtchelkatchev, and A.A. Golubov,

149. Nonmonotonic behavior of critical temperature in S/F bilayers,cond-mat/0202280

150. N.M. Chtchelkatchev, G. Blatter, G.B. Lesovik, and Thierry Martin,

151. Bell inequalities and entanglement in solid state devices, cond-raai/0112094

152. N.M. Chtchelkatchev, W. Belzig, and C. Bruder, Josephson effect in Sp-X-Sp junctions, cond-mat/0205316