К теории электронного транспорта в приконтактных областях и наноструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ
|
Зюзин, Александр Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ АФ ИОФФЕ
На правах рукописи
ЗЮЗИН АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ
К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА В ПРИКОНТАКТНЫХ ОБЛАСТЯХ И НАНОСТРУКТУРАХ
специальность 01 04 07 - физика конденсированного состояния
АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук
Санкт- Петербург 2007
Работа выполнена в Физика- техническом институте им А Ф Иоффе Российской Академии наук
Научный руководитель доктор физико- математических наук,
профессор В И Козуб
Официальные оппоненты доктор физико- математических наук,
профессор Д А Паршин доктор физико- математических наук, ст н с В Ю Качоровский
Ведущая организация Петербургский институт ядерной физики
им В П Константинова (ПИЯФ)
/Гч
Защита состоится " ' " ^-ДуУ/М/- 2008г в ' ч на заседании Диссертационного совета Д 002 205 01 при Физико- техническом институте им А Ф Иоффе РАН по адресу 194021, Санкт- Петербург, Политехническая ул 26
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико- технического института им А Ф Иоффе РАН
Автореферат разослан " " ЛМ.ьМ'фЛ 200$г
Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических нау;
Петров А А
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации
Исследование электронного транспорта в структурах с низкой размерностью сверхпроводящих тонких проволоках, пленках, а также структурах, состоящих из комбинации сверхпроводников с материалами с различными тинами проводимости, является одним из актуальных направлений в физике твердого тела и электронике Современная технология позволяет изготавливать подобные объекты субмикронных размеров, так называемые мезоскопические структуры Интерес к исследованию электронно! о транспорта в подобных структурах объясняется как обилием нетривиальных физических явлений, происходящих в таких системах, так и практическим интересом, связанным с применениями в электронике
В сверхпроводниках с пониженной размерностью (тонких проволоках, пленках) существенное значение имеют флуктуации параметра порядка, которые при температурах несколько выше температуры сверхпроводящего перехода Тс приводят к увеличению проводимости [1], тогда как ниже Тс они подавляют дальний сверхпроводящий порядок и приводя 1 к появлению конечного сопротивления В связи с развитием технологий по созданию сверхпроводящих проволок диаметром все1 о несколько нанометров [2-4], несомненно, фундаментальным вопросом является определение предела размеров сверхпроводящей проволоки того, насколько тонкой она может быть, при этом сохраняя свои сверхпроводящие свойства Этот вопрос представляет практическую ценность - определение предела миниатюризации электронных цепей па основе сверхпроводников
В диссертации также затронут ряд вопросов, касающихся изучения свойств прыжковой проводимости Для получения информации о деталях электронного транспорта в металлах широко используются точечные контакты Соответствующий метод известен как микрокоптактпая спектроскопия [5] Как нам известно, до настоящего времени микрокошактная спектроскопия главным образом использовалась для изучения транспорта в условиях проводимости металлическою типа Для материалов, находящихся на диэлектрической стороне перехода металл- диэлектрик, мы можем упомянуть лишь несколько публикаций [6, 7| Тем не менее, в этих работах размеры контакта предполагались больше прыжковой длины электрона в материале В диссертации рассмотрены свойства контакта, размеры которо1 о меньше типичного прыжка электрона в обьеме образца, показано, что такой контакт является своего рода микроскопом, так как он позволяет выделить элементарный акт прыжкового переноса
Целью работы являются следующие конкретные задачи
1 Изучение подавления сверхпроводимости в краевом квазиодномерном сверхпроводящем слое тонкой пленки в перпендикулярном магнитном поле в режиме поверхностной сверхпроводимости за счет флуктуаций параметра порядка
2 Развитие теоретических основ микроконтактной спектроскопии прыжковой проводимости
3 Изучение свойств точечного контакта между двумя полупроводниками, находящимися в режиме прыжковой проводимости, в случае приложенною матит-ного поля
4 Изучение магнетосопротивления двумерных образцов вблизи перехода металл-диэлектрик в контакте со сверхпроводником
Научная новизна
Впервые разработана теория микроконтактной спектроскопии для исследования свойств полупроводников, находящихся в режиме прыжковой проводимости Показано, что особенности сопротивления и магнетосонротивления мезоскопической системы- точечный контакт- отражают свойства пространнственного и энергетического распределения отдельных локализованных состояний вблизи контакта
Впервые изучено влияние флуктуаций параметра порядка па подавление сверхпроводимости в краевом сверхпроводящем слое тонкой пленки в перпендикулярном магнитном поле Рассмотрены как случай термической активации параметра порядка, так и режим квантового туннелирования
Изучено магнетосопротивление образцов, находящихся по своим свойствам вблизи перехода металл- диэлектрик, в контакте со сверхпроводником Особенности прыжкового транспорта, включая, как большие значения эффективной энер1ети-ческой зоны, по сравнению с температурой так, и топологию перколяционного кластера, приводят к подавлению относительного магнетосопротивления по сравнению со случаем проводимости металлического типа Построена теория контактною сопротивления границы сверхпроводник- прыжковый диэлектрик
Научная и практическая ценность
Предлагаемое изучение зависимости проводимости ох температуры и машитного поля в режиме поверхностной сверхпроводимости тонких пленок может служить в качестве нового источника информации о свойствах одномерных сверхпроводящих проволок
Результаты теоретическет о исследования ма! петосопротивления сверхпроводящих контактов с двумерными образцами, находящимися по своим свойствам вблизи
перехода металл- диэлектрик, и в частности в режиме прыжковой проводимости, мо-1 ут быгь использованы при анализе свойств режимов слабой и сильной локализаций Статистические особенности сопротивления и магиетосопротивления мезоско-пической системы- точечный контакт между двумя полупроводниками в режиме прыжковой проводимости- отражают свойства прострапнственного и энерютнческо-1 о распределения отдельных локализованных состояний вблизи контакта Осцилляции Ааронова- Бома, связанные с точечным контактом, позволяют определить как числа заполнения соответствующих локализованных состояний, так и оцепить величину примесного потенциала Спин- зависимые эффекты выявляют свойства спиновой корреляции, и следовательно точечный контакт также является детектором локальной спиновой заселенности Мезоскопический эффект Холла чувствителен к значению величины корреляционной длины кластера, поскольку перколяциопиый кластер шунтирует эффективный "холловский 1еператор", находящийся вблизи контакта Таким образом, микроконтактиая спектроскопия является мощным методом для исследования параметров отдельных локализованных состояний Основные положения, выносимые на защиту
1 Изучено подавление сверхпроводимости в краевом сверхпроводящем слое топкой пленки в перпендикулярном магнитном поле при НС2(Т) < Н < Нс3{Т) как за счет термической активации, гак и за счет квантового туннелирования параметра порядка
(a) В рамках нелинейного уравнения Гипзбур1а- Ландау для параметра порядка найдено решение в виде центра проскальзывания фазы Вычислена зависимость сопротивления сверхпроводящего краевого слоя тонкой пленки от магнитною поля и температуры
(b) Вычислена поправка Асламазова- Ларкипа в кондактанс краевою слоя, зависящая от машигиого поля как в ос |1 — Н/Д"сз(Т)|~3/2
2 Изучено магиетосопротивлепие двумерных образцов вблизи перехода металл-диэлектрик в контакте со сверхпроводником Показано, что наблюдаемый для металлических образцов пик отрицательного магиетосопротивления при слабых магнитных нолях связан с подавлением одпочастичною транспорта при понижении температуры Дано теоретическое обоснование подавления относительного ма! нетосопротивления туннельною контакта сверхпроводника с полупроводником в режиме прыжковой проводимости Показано, что подавление мат нетосопротивления в этом случае связано с особенностями прыжкового
транспорта, включая, как большие значения эффективной энер! егической зоны, по сравнению с темнерагурой так, и топологию нерколяциопного кластера
3 Развиты теоретические основы микроконтактной спектроскопии прыжковой проводимости Зависимость сопротивления контакта от температуры, приложенного напряжения и эффекюв, возникающих в магнитном поле, позволяет количественно описывать свойства отдельных локализованных состояний, находящихся вблизи контакта Показано, что проводимость образца определяется единственным прыжком через контак1 и не подвернется процедуре усреднения Зависимость проводимости от температуры и напряжения имеет экспоненциально большие мезоскопические флуктуации Зависимость проводимости от напряжения, содержит участки с отрицательной дифференциальной проводимостью
Рассмотрены мезоскопические эффекты, связанные с матихным полем изменение профиля волновой функции, осцилляции Ааронова - Вома, свойства неравновесной спиновой заселенности, эффект Холла Показано, чю статистические особенности сопротивления и магнетосопротивления мезосконической системы- точечный контакт- отражают свойства пространнственно!о и энергетического распределения отдельных локализованных состояний вблизи контакта Вычислена функция распределения магнетосопротивления, которая при малых значениях имеет степенную зависимость, при больших значениях затухает экспоненциальным образом
Достоверность полученных результатов Справедливость полученных результатов подтверждается следующим прежде всего, результаты диссертационной работы получены с помощью современных методов теоретической физики твердого тела По мере возможности проводилось сравнение с экспериментом Основные результаты, относящиеся к описанию краевого сверхпроводящею слоя тонкой пленки в магнитном поле, проверялись также с помощью численного моделирования
Апробация работы и публикации Основное содержание диссертации о ( ражено в С печатных работах [1*-6*] Материалы настоящей диссертации докладывались на Школе по декогеренции и шуму в квантовых системах (Ацуги, Япония, 2005 г), летней научной школе фонда "Династия"(Москва, 2005 г), а также на научных семинарах ФТИ им Иоффе, Университета Осло (Норвегия)
Структура и объем Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 102 наименований Каждая из глав заканчивается разделом "Резюме", в котором кратко формулируются основные ре-
зульгагы, полученные в главе Объем работы составляв! 112 страниц Диссертация включав! 14 рисунков
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссергации Сформулированы основные цели работы, показаны ее новизна, научное и практическое значение, изложены в сжагом виде основные результаты Во введении перечислены основные положения, выдвигаемые на защиту
Первая глава посвящена изучению влияния флуктуаций параметра порядка на краевую сверхпроводимость тонких пленок в перпендикулярном плоскосхи пленки магнитом ноле Рассмотрение начато с решения нелинейною уравнения Гипзбур1а - Ландау для параметра порядка
(гУ + А)2Ф = Ф(1-|Ф|2) (1)
с учетом тою, что граничным условием является ^ |я=о= 0, при этом параметр порядка затухав! вглубь сверхпроводника Так как в расматриваемом режиме сверх-проводимосгь сконцентрирована в тонком краевом слое пленки, не ограничивая общности можно рассмотреть каждый край пленки независимо Пусть ось у направлена вдоль выбранного края, а ось х направлена вглубь пленки Векторный потенциал выбран в калибровке Ландау, А = (0, Нх, 0) Находим приближенное решение нелинейною уравнения Гинзбур1а- Ландау
Ъ0{х,у) = (еу/2)1/2е-*Ьх2егк°У (2)
Дсз(Т)- магнишое иоле, при котором происходит разрушение сверхпроводимости у границы образца, е = 1 — Н/На(Т) В работе рассмотрен случай отсутствия полного тока, чему соответствуег выбор ко(Н) ~ л/Я Нами также было проведено численное решение нелинейною уравнения Гинзбур1а- Ландау, рис (1)
Показано, чю параметр порядка дейсхвигельно локализован вблизи края пленки в области порядка магнитной длины, £ц = и е1° амплигуда затухает при увеличении машигного поля Отклонения от решения, полученного по теории возмущений, малы внло1ь до Н ш НС2
Хороню известно, что центры проскальзывания фазы в тонких проволоках при Т < Тс возникают за сче! термической активации параметра порядка [9], локально разрушая сверхпроводимость Происходит переход между метастабильны-ми состояниями сверхпроводника, в течении которого фаза меняется на 2п Вероятность образования такою процесса активационным образом зависит от температуры
Рис. 1: Амплитуда параметра порядка |Ф0| Для случая Н = 1, к = 0.73 (штрих); Н = 1.3, к = 0.85 (штрих- пунктир); Н = 1.6, к = 0.93 (сплошная линия), на вставке: профиль амплитуды параметра порядка |Ф\{х,у)\ для случая Н = 1.6, к = 0.93. Сплошной линии соответствует решение на границе х = 0, пунктирным- значения х = 1, х = 1.6, х = 2.3
ос ехр (—АР/Г), где ДГ есть величина энергетического барьера между этими состояниями. Седловой точке барьера соответствует решение для центра проскальзывании фазы.
С помощью численного анализа временного уравнения Гинзбурга- Ландау |10| с периодическими граничными условиями на параметр порядка найдено решение для центра проскальзывания фазы 1! краевом слое тонкой пленки (на вставке рис. (1)).
Найдено приближенное выражение для параметра порядка, отвечающее состоянию поверхностной сверхпроводимости с центром проскальзывания фазы
Таким образом, зная выражение (3) для параметра порядка, 1! режиме термической активации имеем согласно [9| выражение для сопротивления краевого слоя тонкой пленки
(3)
(4)
где выражение для энергетического барьера есть
= гАнит)Ы [ «Ы» (1фо14 - |Ф1|4)
/
где П есть часгота попыток, Ь ~ 0 6 , Ь- длина сверхпроводящего слоя вдоль края пленки, тоь = в(те(н)-т) _вРемя релаксации и к параметр Гинзбурга- Ландау Под-сгавляя в уравнение (5) значения функций, получим при Н < НС$(Т) для высоты барьера
= (6)
В диссертации также проанализирован случай квантовою туннелирования параметра порядка с образованием центров проскальзывания фазы [11,12| Рассмотрено влияние флуктуации параметра порядка в случае поверхностей сверхпроводимости при мапштных полях Н > Нсз(Т) Поправка к кондактансу, взятому на единицу длины слоя, за счет флуктуации параметра порядка при магнитных полях Н > Н^(Т) есть
Отметим, что функциональная зависимость поправки О ос |б|~3/2 анал01 ична случаю одномерной сверхпроводящей проволоки
Во второй 1лаве исследуется прыжковый транспорт через полупроводниковый
наноконтакт в случае, когда размер контакта меньше типичной длины прыжка электрона между локализованными состояниями в образце
Существенное различие между прыжком электрона в объеме образца и прыжком через отверстие точечного контакта состоит в том, что, как показано в диссертации, суммарная длина прыжка электрона между примесями, расположенными по разные стороны от контакта в среднем в два раза больше типичной длины прыжка в объеме Следовательно, сопротивление, связанное с этим оптимальным прыжком, экспоненциально больше сопротивления типичного прыжка электрона в объеме образца Такая особенность в результате приводит к появлению специфических свойств сопротивления и ма1 иетосопротивления точечною контакта Отметим, что каждой паре примесей сопоставляется сопротивление
Ди = ехр (2(г 1 + г2)/а + Ае12/Т) (8)
где гг расстояние между центром и отверстием, Дв12 разность энергий Следует иметь в виду, что прыжок через отверстие может происходить при посредстве различных пар узлов, то есть при посредстве различных резисторов, которые можно считать соединенными параллельно Из-за экспоненциального разброса прыжков сопротивление контакта определяется оптимальным прыжком, и изменение температуры приводит к смепе "1лавною"резистора, а, следовательно, и к гигантским флуктуациям сопротивления контакта
Показано, что для рассматриваемого контакта имеют место гигантские мезоско-пические флуктуации тока в зависимости от напряжения В самом деле, увеличение напряжения приводит к переключению между токовыми каналами Следовательно, ВАХ имеет вид лестницы, каждая ступенька, в которой соответствует вкладу от некоторою критического резистора Характерная шкала изменения напряжения для ступеньки при поятоянной д = const плотности состояний AV/V ос 2 Учет пред-экспоненциального фактора в уравнении (8), зависящего от напряжения, приводит к тому, что вклад от данной оптимальной пары имеет более сложный вид, нежели просто ступенька Каждая такая ступенька содержит участки с отрицательной дифференциальной проводимостью Что связано с тем, что при некоторых значениях напряжения пара центров, ответственных за "оптимальный11 прыжок становится резонансной Экспоненциальное увеличение проводимости на краю ступеньки соответствует некоторому эффективному резистору, для которого Д£12 = £2— — sV < О С увеличением \eV\ при Де 12 —> 0 происходит переход к резонансному 1упнелиро-ванию Основной механизм дефазировки резонансного состояния электрона на центрах 1 и 2- уход на ближайший центр Частота прыжков удовлетворяет уравнению т-1 ос 1 и проводимость
растет с увеличением \eV\ С ростом \eV\ частота прыжков становится максимальной
и происходит насыщение проводимости б? Дальнейший рост \еУ\ приводит к увеличению |Де12|, в соответствии с ур (9) происходит уменьшение С? В результате па этом участке кривой I — V дифференциальная проводимость отрицательна При дальнейшем увеличении \еУ\ восстанавливается режим последовательных прыжков, и их частота описывается уравнением
В этом случае из-за увеличения фазового объема участвующих фононов, частота прыжков растет с увеличением |еУ|, и дифференциальная проводимость опять положительна При более высоких напряжениях (превышающих некоторое 14-) становится важным эффект перераспределения напряжения между "нагретым"критическим сопротивлением и его окружением
В третьей главе проанализированы свойства точечно1 о контакта между двумя полупроводниками гз режиме прыжковой проводимости в магнитном поле в двумерном
(10)
г'1 ос |Де12|
(П)
случае Изучение Mai нетосоирогивления структуры позволяет исследовать свойства отдельных локализованных состояний, находящихся вблизи кошакга, в дополнении к расмоаренным во второй итве Пусхь перпендикулярно плоскости пленки приложено матитое поле такое, чю Л = (cft/eff)1'2 a Toi да магнетопроводимость дается выражением
G(H) _ G(0) _е
Полагаем, что одна и ia же пара с локализованными центрами, расположенными па расстояниях гi и oi 01верс1ия, определяе1 транспорт, как в отсутствии матинюго поля, iaK и при слабых машишых полях, а Для данной пары центров прыжку электрона между ними соответствуех сопротивление (8) Наблюдение такой температурной зависимости в эксперименте будет соответствовать тому, что проводимость контакта определяется отдельным прыжком, а не перколяционным кластером Из измерений температурной зависимости сопротивления можно оценить величину Дб и Goe~2(ri+r*Ma По резулыа1ам измерений проводимости этою же образца в отсутствии контакта определяем То и Go Полатая величину Go в уравнении (8) и уравнении для проводимости обьемпою образца
С?12 = Goe"^c = (То/Т)1^1' (13)
примерно одинаковой (результаты получены с экспоненциальной точностью), находим оценку для А = {гi/o) + По mai нетосонротивления объемною образца и уравнению (12) находим оценку для В = (г1/а)3 + (г2/а)3 и оконча!елыю получаем значение длины прыжка
а 2 V ЗА 12 { '
Выбор конкретной пары центров, определяющих проводимость контакта, зависит oi температуры При изменении температуры будет происходить смена активационных законов ур (8), поскольку в 01делыю взятом интервале температур определяющей становится своя пара центров По измерениям проводимости объемного материала можно определить среднюю длину прыжка Гд и величину log [G(ff)/G(0)] ос г\ Напротив, в случае К01да проводимость определяется контактом, вместо Гь имеем Ti2 = ri + Г2 Наиболее вероятной реализации примесных центров соответствует Г\ ~ r2 ~ г = (ятг)-1/2, где п- эффективная концентрация прыжковых центров Откуда получаем оценку log[G(if)/G(0)] а + r| ~ 2f3 ~ ?f2/4, что примерно в четыре раза меньше, чем ожидалось бы для магнегосонротивления в объеме образца при той же длине прыжка Таким образом, по величине магпетосопротивления можно определить конфш урацию локализованных состояний, определяющих свойства коптак1а
Рассмотрена функция распределения относительного магнетосонротивления контакта /5=1 — Щщ- В случае О <С таком, что проводимость образца определяется единственным прыжком через контакт, расстояния Г\ и г2 можно считать не зависящими друг от друга величинами, каждая из которых удовлетворяет распределению Пуассона. Выражению для функции распределения есть 'Р(р) = где характерное магпетосопротивление есть р(Н) = <С 1, асимптотика функции Т{г) при малых г есть Т(г] ос при больших г имеем ос .
Показано, что наличие третьего локализованного состояния па расстоянии гз от центра точечного контакта приводит к появлению эффекта Ааронова- Бома. За счет
«Г
*
1
Рис. 2: Треугольник из локализованных состоянии, определяющий интерференционные эффекты вблизи контакта
интерференции между различными туннельными траекториями возникают осцилляции магиетопроводимости
|У12|2(1 + -г2 + 2.7,4«^) Сос—— (1о)
Вероятность того, что найдется хотя бы одно локализованное состояние пропорциональна отношению эффективной интерференционной площади 5 ~ г3'2«1''2 к площади г2, в которой имеется хотя бы одно локализованное состояние, \fajf. Эта вероятность может бы ть не мала для случая образца со свойствами вблизи перехода металл-диэлектрик. При выполнении этого условия имеем 2> 1. Знак .] может быть любым в зависимости от того, находится ли энергия состояния 3 выше или ниже уровня Ферми. Типичное значение поля, выше которого эффект Ааронова- Бома подавляется Яс = фа/13 ~ <£0/(?~3/2а'/2) одного порядка с величиной критического магнитного поля для положительного магпетосонротивления, связанного с сжатием волновой функции локализованного центра. Для модели кулоновских центров с потенциалом У0 ~ е2/ка > А, следуя работе |8|, имеем .] ~ 1 (модель сильного рассеяния). В обратном случае слабого рассеяния V ~ е2/кг, где г- расстояние от рассеивающего центра, существенна зависимость матричного элемента от длины прыжка
Эффект Ааронова-Бома в точечном контакте может использоваться для обнаружения неравновесной спиновой заселенности локализованных центров прыжковой проводимости Аналогично [14] рассмотрим предел, в котором центр 2 свободен, а на центре 1 находится электрон Интерференция имеет место в случае, когда спины электронов на центрах 1 и 3 параллельны, го есть конечная конфигурация системы после туинелировапия по траекториям 2—> 1 и 2 ->3—>1 будет одинаковой только, если спины 1 — 3 параллельны Из уравнения (15) находим величину модуляции осцилляций проводимости
М- = г,-—г,— = ПГ7?(45153?г3 - + 2) (16)
*~*max г vjmííi Т г J
тде nto- числа заполнения спина с на центре г, пг з n,f суммарное заполнение
центра г (которое равно либо 0, либо 1 из-за сильною взаимодействия па центре), s = (ns| — n,j)/2- спиновая заселенность Слагаемое ос 4SXS3Í13 чувствительно к спиновым значениям центров В отсутствие спиновой поляризации, или спиновых корреляций, имеем в среднем {sisz) = {s\){s3) = О
Рассмотрим приложенное магнитное поле в равновесном случае Энергия Зее-мана есть —g¡j,BHs, где цв = eh¡2m,c- магнетон Бора, дв- гиромагнитный фактор Имеем <st) = 5 tank (Н/Нр), где Нр = 2кТ/(цвд) Если Н приложено параллельно плоскости пленки, cos<р = 1, и Maiнетосоиротивление дается выражением Щ = j^-рЩ tanh2 (Н/Нр) Если иоле перпендикулярно плоскости, то магнетосопро-тивление обладает как осцилляциями Ааронова- Бома, типичный масштаб которых Не, так и спиновым вкладом, который насыщается при Н Нр Отношение этих величин есть
(Т С")
Нр _ кТ ff\3/2
Нс -кд(Н2/та2)
Так как h2/ma2 одного порядка с энер1ией Бора, примерно 200К, и эксперименты проводятся при нескольких Кельвинах, эта величина окажется порядка единицы только в случае f/a ~ 30, по Т01да практически невозможно наблюдать какую- либо проводимость Обычно Нр -С Нс, и спиновое насыщение произойдет при машитпых полях меньших гех, при которых будут наблюдаться осцилляции
Поскольку Нр известно, исследования магнетосопрогивления при малых машитпых полях позволяют определить такие параметры как J и щ Если 713 = 1, будет наблюдаться положительное машетосопротивлепие, которое насыщается при Н > Нр и по величине насыщения машетосопротивления можно определить величину J
Эффект Ааронов- Бома чувствителен к ориентации магнитного поля относительно плоскости пленки, в отличие от выстраивания спинов в магнитном поле Поэтому,
даже в случае Нр ~ Нс спиновые эффекты можно выделить, прикладывая магнитное поле параллельно плоскости туннелирования. Эффект зависит от произведения в^з, п не зависит от знака спиновой поляризации.
Рассмотрен мезоскоиический эффект Холла. Полагая, что почти все напряжение V падает в области отверстия контакта и только малая часть г/У падает па электродах, используя выражение для объемного вклада в холловское напряжение |13]. находим по порядку величины
Ун
V,
(Ы к)
§сЬн 11 V/
(18)
Где И'я ширина холловских контактов, тогда как Ьи- корреляционная длина сетки холловских генераторов «объеме |13|. Это соотношение оказывается большим за счет экспоненциальной малости величины г/
В четвертой главе представлены экспериментальные результаты и теоретические исследования магнетосонротивления двумерных образцов р — СаАя/АЮаАк, проявляющих переход металл- диэлектрик. Использовались контакты с 1п, которые при низких температурах испытывают сверхпроводящий переход. Показано, что пик от-
(Ь)
0.00-
дГШ
.....^
-гоо о гоо н(ое)
■400
-200 0 200 н (ое)
400
Рис. 3: Магпетосоиротивление при различных температурах: (а) для образца (1) режим слабой локализации, (Ь) для образца (3)- предел сильной локализации
рицательного магнетосонротивления, который наблюдался для образца с металлическими свойствами, рис. (За), при слабых магнитных нолях связан с наличием контакта со сверхпроводником, и отсутствует при Т > Тс. Наблюдаемое отрицательное магнетосопротивлепне есть следствие подавления сверхпроводящей щели магнитным полем. Зависимость значения величины пика магнетосонротивления от температуры вблизи сверхпроводящего перехода Т —> Тс ведет себя как ос (Тс — Т), что находится в соответствие с уравнением для сопротивления ДД ос Д2 ос Тс — Т. При более низких
температурах из уравнения
I(V) с VG^e-W (19)
теория предсказывает экспоненциальный рост магнетосонротивления Это находится в соответствии с экспериментальными результатами, представленными в диссертации При дальнейшем понижении температуры происходит насыщение Mai нет о-сопротивления, что юворит о юм, что осуществляется переход от одпочастичного транспорта к андреевскому отражению По характерной температуре перехода между одночастичным туннелированием и андреевским отражением сделана оценка величины прозрачности туннельного барьера Г f« 0 05 В диссертации дано сравнение результатов теоретического анализа, где учтены вклады от одночастичного тугшели-рования и андреевскою отражения с экспериментальными данными по зависимости величины пика магнетосонротивления контакта от температуры
В режиме прыжковой проводимости при температуре Т = 1 4К пик отрицательного магнетосонротивления не наблюдался с точностью порядка ~ 0 01%, рис (ЗЬ) Отметим, что соответствующая относительная величина пика для металлического образца составляла порядка ~ 1% Такое подавление относительного магнетосонротивления не может обьяспятьсн простым увеличением сопротивления образца Действительно, сопротивление в этом случае гораздо больше, чем при контакте с металлическим образцом примерно в < 100 раз Тем не менее, такое поведение хорошо описывается уравнением £~3ехр(—£с) предсказывающим сильное подавление магнетосопротивления Это1 факт связан с особенностями прыжковою транспорта, включая, как большие значения эффективной энергетической полосы прыжковой проводимости, по сравнению с температурой так, и топологию перколяционного кластера Построена теория контактного сопротивления границы сверхпроводник-прыжковый диэлектрик Рассмотрены процессы андреевского отражения в контакте с полупроводником в режиме прыжковой проводимости В случае модели "глад-кого"гугшельного барьера, андреевский вклад существенно подавлен, тогда как в модели неидеального барьера имеем
1L ~ ga3edln(ZkF)e-2A (20)
tin
где Gn = gSae<ie~2ii- проводимость контакта в нормальном состоянии, д = const -плотность состояний в полупроводнике, id типичная энергия локализованного состояния, а длина локализации примесного центра, Л величина барьера, £ - длина когерентности в сверхпроводнике
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы
1 Показано, что в краевом сверхпроводящем слое юпкой пленки в перпендикулярном магнитном поле при Н < НС${Т) возникают центры проскальзывания фазы, разрушающие сверхпроводимость Вычислено соответствующее сопротивление краевого сверхпроводящею слоя в режиме термической активации центров в зависимости ог температуры и матигною ноля
Проанализирован случай аналогичный квантовому туннелировапию параметра порядка в одномерных сверхпроводящих проволока при низких температурах Показано, что при прочих одинаковых параметрах сверхпроводников, сопротивление поверхностною сверхпроводящею слоя тонкой пленки должно быть меньше, чем сопротивление проволоки
При Н > Нсз(Т) вычислен вклад поправки Асламазова- Ларкипа в кондактанс сверхпроводящего краево! о слоя Функциональная зависимость поправки в ос |е|~3/2 аналогична случаю одномерной сверхпроводящей проволоки
2 Изучено ма1 петосонротивление двумерных образцов р — ОаАв/АЮаАч вблизи перехода металл- диэлектрик в контакте со сверхпроводником 1п
Показано, что наблюдаемый для металлических образцов пик отрицательною магнеюсопротивления при слабых магнитных полях связан с подавлением од-ночастичиого транспорта при понижении температуры и преобладанием вклада от Андреевского отражения По характерной температуре перехода между одночастичным транспортом и андреевским отражением оценена туннельная прозрачность контакта Г яз 0 05
Для образцов с прыжковой проводимостью такой пик не наблюдался Дано теоретическое обоснование подавления магнетосопротивлепия в этом случае Относительное магнетосопротивление подавлено в этом режиме в меру ос £~3ехр( — £с) Показано, что этот факт связан с особенностями прыжковою транспорта, включая, как большие значения эффективной энергетической зоны, по сравнению с температурой так, и гополо1ИЮ иерколяционного кластера
3 Исследованы свойства точечного контакта между двумя полупроводниками в режиме прыжковой проводимости, в случае Показано, что по особенностям зависимости сопротивления образца от мал нитного поля можно сделать вывод о том, какой режим проводимости реализуется- отдельным прыжком электрона вблизи отверстия контакта или свойствами проводимости обьемпого материала Изучен случай, к01да проводимость образца определяется единственным прыжком через точечный контакт
Показано, что в этом случае зависимость проводимости от температуры и па-пряжения имеет экспоненциально большие мезоскопические флуктуации Рассмотрена зависимость проводимости контакта от напряжения, показано, что она содержит участки с отрицательной дифференциальной проводимостью Показано, что осцилляции Ааронова- Вома, связанные с точечным контактом, позволяют определить как числа заполнения соответствующих локализованных состояний, так и оценить величину нримесною потенциала Вычислена функция распределения магпегосопротивлеиия Вычислено мезоскопическое холловское напряжение, показано, что эффект чувствителен к значению величины корреляционной длины кластера, поскольку перколяционный кластер шунтирует эффективный "холловский генератор", находящийся вблизи контакта
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1* Kozub V I and Zuzm А А , Hopping transport through nanoconstnction controlled by a single hop, Phys Stat Solidi (с), 1, (2003), p 88 91
2* Kozub V I and Zuzin A A , Theoiy of hopping transport through a constriction dominated by a single hop, Phys Rev B, 69, (2004), 115306-1 - 115306-7
3* Agrinskaya N V , Kozub V I , Chernyaev A V , Shamshur D V and Zuzm A A , Magnetorebistance of two-dimensional p-GaAs/AlGaAs structures in the vicinity of metal-insulator transition Effect of superconducting leads, Phys Rev B, 72, (2005), 085337-1 - 085337-5
4* Kozub V I , Zyuzm A A , Galperin Y M and Vmokur V , Charge Transfer between a Superconductor and a Hopping Insulator, Phys Rev Lett , 96, (2006), 107004-1 - 107004-4
5* Kozub V I , Zyuzm A A , Entm-Wohlman О , Aharony A , Galperm Y M and Vmokur V , Point- contact spectroscopy of hopping transport Eeffect of a magnetic field, Phys Eev B, 75, (2007), 205311-1 - 205311-7
6* Зюзин A A , Зюзин А Ю , О сопротивлении тонких пленок с краевой сверхпроводимостью в сильных манштных полях, Письма в ЖЭТФ, 86, (2007), с 60 — 64
ЛИТЕРАТУРА, ЦИТИРУЕМАЯ В АВТОРЕФЕРАТЕ
1 Асламазов Л Г , Ларкип А И , Влияние флукгуаций на свойства сверхпроводника при температурах выше критической, ФНТ, 10, (1968), с 1104—1111
2 Rogachev A , Bollinger A T and Bezryadin A , Influence of high magnetic fields on the superconducting transition of one- dimensional Nb and MoGc nanowires, Phys Rev Lett, 94, (2005), p 017004-1 - 017004-4
3 Bezryadm A , Lau С N and Tmkham M , Quantum suppression of superconductivity in ultrathm nanowires, Nature, 404, (2000), p 971 -974
4 Rogachev A and Bezryadm A , Superconducting properties of polycrystalhne Nb nanowires templated by carbon nanotubes, Appl Phys Lett , 83, (2003), p 512 — 514
5 Янсон И К , Микроконтактпая спектроскопия электрон- фононпою взаимодействия в чистых металлах, ФНТ, 9, (1983), с 343 -360
6 Maes J W Н , Саго J , Kozub V I, Werner К and Radelaar S , Silicon point contacts Nanofabrication, molecular beam epitaxial growth and transport measurements, J Vac Sci Technol B, 12, (1994), p 3614-3618
7 Raikh M E and Ruzm I M , Transnnttancy fluctuations in randomly nonuniform barriers and incoherent mesoscopics, Mesoscopic phenomena m solids (eds Altshuller В L and Lee PA ), Elsevier, New York, (1991), p 315
8 Raikh M E, Wessels G F , Smgle-scattermg-path approach to the negative magnetoresistance in the variable range hopping regime for two-dimensional electron systems, Phys Rev В 47, (1993), p 15609 — 15621
9 Langer J S and Ambegoakar A , Intrinsic resistive transition m narrow superconducting channels, Phys Rev , 164, (1967), p 498 — 510
10 Tmkham M , Introduction to superconductivity, McGraw- Hill, New York, (1996)
11 Golubev D S and Zaikm A D , Quantum tunneling of the order parameter m superconducting nanowires, Phys Rev B, 64, (2001), p 014504-1 — 014504-14
12 Giordano N , Evidence for macroscopic quantum tunneling in one- dimensional superconductors, Phys Rev Lett , 61, (1988), p 2137 - 2140
13 Гальперин Ю M , Герман E П , Карпов В Г , Эффект Холла в режиме прыжковой проводимости, ЖЭТФ, 99, (1991), с 343 356
14 Zhao Н L , Spivak В Z , Gelfand М Р and Feng S , Phys Rev В, Negative magnetoresistance in variable range hopping conduction, 44, (1991), p 10760 — 10767
Лицензия ЛР №020593 от 07 08 97
Подписано в печать 27 12 2007 Формат 60x84/16 Печать цифровая Уел печ л 1,0 Тираж 100 Заказ 2444Ь
Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29 Тел 550-40-14 Тел/факс 297-57-76
Введение
1 Сопротивление тонких пленок с краевой сверхпроводимостью в сильных магнитных полях
1.1 Поверхностная сверхпроводимость и флуктуации параметра порядка
1.2 Уравнение Гинзбурга- Ландау
1.3 Тонкая пленка в перпендикулярном магнитном поле
1.4 Флуктуации параметра порядка в краевом сверхпроводящем слое тонкой пленки.
1.5 Сопротивление краевого слоя.
1.6 Парапроводимость краевого слоя.
1.7 Резюме.
2 Микроконтактная спектроскопия прыжковой проводимости
2.1 Прыжковая проводимость.
2.2 Сопротивление точечного контакта.
2.3 Мезоскопические флуктуации сопротивления точечного контакта.
2.4 Зависимость проводимости от напряжения
2.5 Сравнение с существующими экспериментальными работами
2.6 Резюме.
3 Микроконтактная спектроскопия прыжковой проводимости- эффект магнитного поля
3.1 Магнетосопротивление точечного контакта.
3.2 Эффект Ааронова- Бома
3.3 Неравновесная спиновая заселенность локализованных состояний
3.4 Мезоскопический эффект Холла.
3.5 Резюме.ТО
4 Магнетосопротивление образцов вблизи перехода металл- диэлектрик: эффект туннельного контакта со сверхпроводником
4.1 Обсуждение свойств туннельного контакта.
4.2 Экспериментальное исследование свойств сверхпроводящих In контактов с образцами GaAs/AlGaAs.
4.3 Туннельный контакт сверхпроводник - металл.
4.4 Туннельный контакт сверхпроводник - полупроводник в режиме прыжковой проводимости.
4.5 Андреевское отражение контакта сверхпроводник- полупроводник в режиме прыжковой проводимости.
4.6 Резюме.
Актуальность темы.
Исследование электронного транспорта в структурах с низкой размерностью: сверхпроводящих тонких проволоках, пленках, а также структурах, состоящих из комбинации сверхпроводников с материалами с различными типами проводимости, является одним из актуальных направлений в физике твердого тела и электронике.
Современная технология позволяет изготавливать подобные объекты субмикронных размеров, так называемые мезоскопические структуры. Интерес к исследованию электронного транспорта в подобных структурах объясняется как обилием нетривиальных физических явлений, происходящих в таких системах, так и практическим интересом, связанным с применениями в электронике.
В сверхпроводниках с пониженной размерностью (тонких проволоках, пленках) существенное значение имеют флуктуации параметра порядка, которые при температурах несколько выше температуры сверхпроводящего перехода Тс приводят к увеличению проводимости [6], тогда как ниже Тс они подавляют дальний сверхпроводящий порядок и приводят к появлению конечного сопротивления.
Так, например, в тонких сверхпроводящих проволоках, диаметр которых меньше длины когерентности, за счет термических флуктуа-ций вблизи Тс возникают центры проскальзывания фазы, разрушающие сверхпроводимость [55,60,61,64,70]. В связи с развитием технологий по созданию сверхпроводящих проволок диаметром всего несколько нанометров [28,78-80,98], несомненно, фундаментальным вопросом является определение предела размеров сверхпроводящей проволоки того, насколько тонкой она может быть, при этом сохраняя свои сверхпроводящие свойства. Этот вопрос представляет практическую ценность - определение предела миниатюризации электронных цепей на основе сверхпроводников.
Как будет показано в первой главе диссертации, подобные флуктуа-ционные эффекты проявляются также и в краевой сверхпроводимости тонких пленок в сильном магнитном поле перпендикулярном плоскости пленки. Стоит отметить, что начиная с первой работы Сен- Жама и де-Женна [82], в которой впервые было показано, что сверхпроводимость может задерживаться в поверхностном слое образца до полей, больших верхнего критического поля, Нс2 < Н < Нсз « 1.69ЯС2, не ослабевает интерес к проблеме поверхностной сверхпроводимости. Тем не менее, для случая краевой квазиодномерной сверхпроводимости в тонкой пленке вопрос о влиянии флуктуаций параметра порядка до сих пор оставался не изученным. Нам представляется, что исследование зависимости проводимости от температуры и магнитного поля в режиме поверхностной сверхпроводимости тонких пленок также может служить в качестве нового источника для изучения свойств одномерных сверхпроводящих проволок.
Вторая и третья главы диссертации посвящены разработке теоретических основ микроконтактной спектроскопии прыжковой проводимости, позволяющей, в частности, исследовать параметры отдельных локализованных состояний в полупроводниках. Мы рассмотрим прыжковый транспорт через полупроводниковый наноконтакт в случае, когда размер контакта меньше типичной длины прыжка электрона между локализованными состояниями в образце. Особо исследуются мезоскопические эффекты, связанные с магнитным полем: изменение профиля волновой функции, осцилляции Ааронова - Бома, свойства неравновесной спиновой заселенности, эффект Холла.
Следует отметить, что исследования по прыжковой проводимости ведутся уже довольно давно, но существующая картина до сих пор не может считаться завершенной. До сих пор детально не выяснен ход плотности состояний вблизи уровня Ферми, не вполне ясна роль корреляционных эффектов.
Для получения информации, касающейся деталей электронного транспорта в металлах, широко используются точечные контакты. Соответствующий метод известен как микроконтактная спектроскопия- для обзора см. [17]. Как нам известно, до настоящего времени микроконтактная спектроскопия главным образом использовалась для изучения транспорта в условиях проводимости металлического типа. Для материалов, находящихся на диэлектрической стороне перехода металл- диэлектрик, мы можем упомянуть лишь несколько публикаций. В работе [62] сообщалось о наблюдении сильной нелинейности прыжковой проводимости, полученного на основе планарной технологии, Si точечного контакта с размерами много большими типичной длины прыжка. В работах [45,59,81], обзор [74], изучались свойства мезоскопических одномерных каналов, полученным с помощью расщепленных затворов. Наблюдались гигантские мезоскопические флуктуации проводимости в зависимости от приложенного напряжения.
Тем не менее, в этих работах размеры контакта предполагались больше прыжковой длины электрона в материале. В тоже время, вполне возможно создать контакт, в котором проводимость определяется одним единственным прыжком электрона через сечение контакта. Такой контакт является своего рода микроскопом, так как он позволяет выделить элементарный акт прыжкового переноса. В связи с этим, можно ожидать, что соответствующие экспериментальные исследования позволят получить богатую дополнительную информацию о прыжковой проводимости в различных режимах.
Как известно, в экспериментах с прыжковыми диэлектриками очень часто используются металлические контакты из материалов, переходящих при низких температурах в сверхпроводящее состояние. Однако целенаправленного исследования свойств границы сверхпроводник- прыжковый диэлектрик к настоящему времени отсутствовали.
Большое внимание как теоретически [27,30,99,100], так и экспериментально [20,46,48,71,72,95] уделяется исследованию свойств приконтакт-ной области сверхпроводник- полупроводник, в которых полупроводниковая часть контакта обладает металлической проводимостью.
Можем отметить лишь работы [96], [2,3] по исследованию свойств образцов, находящихся вблизи перехода металл- диэлектрик, в частности в режиме прыжковой проводимости, с применением контактов со сверхпроводником.
В одной из них, [2], были представлены результаты исследования кроссовера между режимами сильной и слабой локализаций в двумерных образцах р — GaAs/AlGaAs. При слабых магнитных полях таких, что Н < 0.02Т, в режиме слабой локализации наблюдался пик отрицательного магнетосопротивления, в дополнении к стандартному антилокали-зационному поведению. Природа этого пика была не ясна. Такое поведение нельзя отнести к эффектам слабой локализации, поскольку только при более сильных магнитных полях в образцах четко наблюдалось положительное магнетосопротивление, связанное с проявлением антилокализации. Отметим также, что эффект не наблюдался в случае контакта сверхпроводника с полупроводником, находящимся в режиме прыжковой проводимости.
В четвертой главе диссертации будут изучены свойства магнетосопротивление сверхпроводящих контактов In с двумерными образцами р — GaAs/AlGaAs, находящимися по своим свойствам вблизи перехода металл- диэлектрик, и в частности в режиме прыжковой проводимости. Зависимость электронного транспорта от магнитного поля в образцах в контакте со сверхпроводником может служить источником для исследования свойств режимов слабой и сильной локализаций.
Целью работы являются следующие конкретные задачи:
1. Изучение подавления сверхпроводимости в краевом квазиодномерном сверхпроводящем слое тонкой пленки в перпендикулярном магнитном поле в режиме поверхностной сверхпроводимости за счет флуктуаций параметра порядка.
2. Развитие теоретических основ микроконтактной спектроскопии прыжковой проводимости.
3. Изучение свойств точечного контакта между двумя полупроводниками, находящимися в режиме прыжковой проводимости, в случае приложенного магнитного поля.
4. Изучение магнетосопротивления двумерных образцов вблизи перехода металл- диэлектрик в контакте со сверхпроводником.
Научная новизна.
Впервые разработана теория метода микроконтактной спектроскопии для исследования свойств полупроводников, находящихся в режиме прыжковой проводимости. Показано, что особенности сопротивления и магнетосопротивления мезоскопической системы- точечный контакт-отражают свойства пространственного и энергетического распределения отдельных локализованных состояний вблизи контакта.
Впервые изучено влияние флуктуаций параметра порядка на подавление сверхпроводимости в краевом сверхпроводящем слое тонкой пленки в перпендикулярном магнитном поле. Рассмотрены как случай термической активации параметра порядка, так и режим квантового туннелиро-вания.
Рассмотрено магнетосопротивление образцов, находящихся по своим свойствам вблизи перехода металл- диэлектрик, в контакте со сверхпроводником. Особенности прыжкового транспорта, включая, как большие значения эффективной энергетической зоны, по сравнению с температурой так, и топологию перколяционного кластера, приводят к подавлению относительного магнетосопротивления контакта по сравнению со случаем проводимости металлического типа. Построена теория контактного сопротивления границы сверхпроводник- прыжковый диэлектрик.
Научная и практическая ценность.
Предлагаемое изучение зависимости проводимости от температуры и магнитного поля в режиме поверхностной сверхпроводимости тонких пленок может служить в качестве нового источника информации о свойствах одномерных сверхпроводящих проволок.
Результаты теоретического исследования магнетосопротивления сверхпроводящих контактов с двумерными образцами, находящимися по своим свойствам вблизи перехода металл- диэлектрик, и в частности в режиме прыжковой проводимости могут быть использованы при анализе свойств режимов слабой и сильной локализаций.
Статистические особенности сопротивления и магнетосопротивления мезоскопической системы- точечный контакт между двумя полупроводниками в режиме прыжковой проводимости- отражают свойства про-страннственного и энергетического распределения отдельных локализованных состояний вблизи контакта. Осцилляции Ааронова- Бома, связанные с точечным контактом, позволяют определить как числа заполнения соответствующих локализованных состояний, так и оценить величину примесного потенциала. Спин- зависимые эффекты выявляют свойства спиновой корреляции, и следовательно точечный контакт также является детектором локальной спиновой заселенности. Мезоскопи-ческий эффект Холла чувствителен к значению величины корреляционной длины кластера, поскольку перколяционный кластер шунтирует эффективный "холловский генератор", находящийся вблизи контакта. Таким образом, микроконтактная спектроскопия является мощным методом для исследования параметров отдельных локализованных состояний.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Изучено подавление сверхпроводимости в краевом сверхпроводящем слое тонкой пленки в перпендикулярном магнитном поле при НС2(Т) < Н < Ясз(Т) как за счет термической активации, так и за счет квантового туннелирования параметра порядка. a) В рамках нелинейного уравнения Гинзбурга- Ландау для параметра порядка найдено решение в виде центра проскальзывания фазы. Вычислена зависимость сопротивления сверхпроводящего краевого слоя тонкой пленки от магнитного поля и температуры. b) Вычислена поправка Асламазова- Ларкина в кондактанс краевого слоя, зависящая от магнитного поля как G ос |1 — Я/Яс3(Т)|"3/2.
2. Изучено магнетосопротивление двумерных образцов вблизи перехода металл- диэлектрик в контакте со сверхпроводником. Показано, что наблюдаемый для металлических образцов пик отрицательного магнетосопротивления при слабых магнитных полях связан с подавлением одночастичного транспорта при понижении температуры. Дано теоретическое обоснование подавления относительного магнетосопротивления туннельного контакта сверхпроводника с полупроводником в режиме прыжковой проводимости. Показано, что подавление магнетосопротивления в этом случае связано с особенностями прыжкового транспорта, включая, как большие значения эффективной энергетической зоны, по сравнению с температурой так, и топологию перколяционного кластера. Построена теория контактного сопротивления границы сверхпроводник- прыжковый диэлектрик.
3. Развиты теоретические основы микроконтактной спектроскопии прыжковой проводимости. Зависимость сопротивления контакта от температуры, приложенного напряжения и эффектов, возникающих в магнитном поле, позволяет количественно описывать свойства отдельных локализованных состояний, находящихся вблизи контакта. Показано, что проводимость образца определяется единственным прыжком через контакт и не подвергается процедуре усреднения. Зависимость проводимости от температуры и напряжения имеет экспоненциально большие мезоскопические флуктуации. Зависимость проводимости от напряжения, содержит участки с отрицательной дифференциальной проводимостью. Это связано с тем, что при некоторых значениях напряжения пара центров, ответственных за "оптимальный"прыжок, становится резонансной. При более высоких напряжениях происходит насыщение сопротивления точечного контакта. В результате мезоскопическое поведение усредняется и устанавливается квадратичная зависимость тока от напряжения.
Рассмотрены мезоскопические эффекты, связанные с магнитным полем: изменение профиля волновой функции, осцилляции Ааро-нова - Бома, свойства неравновесной спиновой заселенности, эффект Холла. Показано, что статистические особенности сопротивления и магнетосопротивления мезоскопической системы- точечный контакт- отражают свойства пространнственного и энергетического распределения отдельных локализованных состояний вблизи контакта. Вычислена функция распределения магнетосопротивления, которая при малых значениях имеет степенную зависимость, при больших значениях затухает экспоненциальным образом.
Достоверность полученных результатов.
Справедливость полученных результатов подтверждается следующим: прежде всего, результаты диссертационной работы получены с помощью современных методов теоретической физики твердого тела. По мере возможности проводилось сравнение с экспериментом. Основные результаты, относящиеся к описанию краевого сверхпроводящего слоя тонкой пленки в магнитном поле, проверялись также с помощью численного моделирования.
Апробация работы.
Материалы настоящей диссертации докладывались на Школе по декоге-ренции и шуму в квантовых системах (Ацуги, Япония, 2005 г.), летней научной школе фонда "Династия"(Москва, 2005 г.), а также на научных семинарах ФТИ им. Иоффе, Университета Осло (Норвегия).
Публикации.
Основное содержание диссертации отражено в б печатных работах [13, 19,50-53].
Структура и объем.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 102 наименований. Каждая из глав заканчивается разделом "Резюме", в котором кратко формулируются основные результаты, полученные в главе. Объем работы составляет 112 страниц. Диссертация включает 14 рисунков.
Заключение
В заключении перечислим основные результаты диссертации.
1. Показано, что в краевом сверхпроводящем слое тонкой пленки в перпендикулярном магнитном поле при Н < НС^(Т) возникают центры проскальзывания фазы, разрушающие сверхпроводимость. a) Вычислено соответствующее сопротивление краевого сверхпроводящего слоя в режиме термической активации центров в зависимости от температуры и магнитного поля, которое дается выражением R = R0exр (-Щ, где AF ос [WhcA б3/2. b) Проанализирован случай аналогичный квантовому туннелиро-ванию параметра порядка в одномерных сверхпроводящих проволока при низких температурах. Показано, что при прочих одинаковых параметрах сверхпроводников, сопротивление поверхностного сверхпроводящего слоя тонкой пленки должно быть меньше, чем сопротивление проволоки. Этот факт связан с тем, что в отличии от изолированной сверхпроводящей проволоки, в режиме краевой сверхпроводимости кулоновское взаимодействие экранируется зарядом двумерной нормальной частью пленки. Звуковые плазмоны при этом не исчезают, однако, их скорость становится меньше. Связь с проводящей нормальной частью пленки обеспечивает эффективную релаксацию флуктуации фазы параметра порядка. с) При Н > Hcz(T) вычислен вклад поправки Асламазова- Лар-кина в кондактанс сверхпроводящего краевого слоя. Функциональная зависимость поправки G ос |е|-3/2 аналогична случаю одномерной сверхпроводящей проволоки.
2. Изучено магнетосопротивление двумерных образцов р — GaAs/AlGaAs вблизи перехода металл- диэлектрик в контакте со сверхпроводником In. a) Показано, что наблюдаемый для металлических образцов пик отрицательного магнетосопротивления при слабых магнитных полях связан с подавлением одночастичного транспорта при понижении температуры и преобладанием вклада от Андреевского отражения. По характерной температуре перехода между од-ночастичным транспортом и андреевским отражением оценена туннельная прозрачность контакта Г « 0.05. b) Для образцов с прыжковой проводимостью такой пик не наблюдался. Дано теоретическое обоснование подавления магнетосопротивления в этом случае. Относительное магнетосопротивление подавлено в этом режиме в меру ос ехр (—£с). Показано, что этот факт связан с особенностями прыжкового транспорта, включая, как большие значения эффективной энергетической зоны, по сравнению с температурой так, и топологию перколя-ционного кластера.
3. Исследованы свойства точечного контакта между двумя полупроводниками в режиме прыжковой проводимости, в случае. Показано, что по особенностям зависимости сопротивления образца от магнитного поля можно сделать вывод о том, какой режим проводимости реализуется- отдельным прыжком электрона вблизи отверстия контакта или свойствами проводимости объемного материала. Изучен случай, когда проводимость образца определяется единственным прыжком через точечный контакт. a) Показано, что в этом случае зависимость проводимости от температуры и напряжения имеет экспоненциально большие мезо-скопические флуктуации. b) Рассмотрена зависимость проводимости контакта от напряжения, показано, что она содержит участки с отрицательной дифференциальной проводимостью. c) Показано, что осцилляции Ааронова- Бома, связанные с точечным контактом, позволяют определить как числа заполнения соответствующих локализованных состояний, так и оценить величину примесного потенциала. d) Вычислена функция распределения магнетосопротивления, которая при малых значениях имеет степенную зависимость, при больших значениях затухает экспоненциальным образом. e) Вычислено мезоскопическое Холловское напряжение, показано, что эффект чувствителен к значению величины корреляционной длины кластера, поскольку перколяционный кластер шунтирует эффективный "Холловский генератор", находящийся вблизи контакта.
Мне хотелось бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю В.И. Козубу за предоставленную возможность работать над темой диссертации, поддержку и большую помощь в работе. Искренне признателен А.Ю. Зюзину, Н.В. Агринской, Ю.М. Гальперину за многочисленные плодотворные обсуждения и критические замечания.
1. Агринская Н.В., Козуб В.И., Иванов Л.Ю., Устинов В.М., Черняев А.В. и Шамшур Д.В., Низкотемпературная прыжковая проводимость по верхней зоне Хаббарда в многослойных структурах р - GaAs/AlGaAs, ЖЭТФ 120 (2001), 480 -485.
2. Агринская Н.В., Козуб В.И., Полоскин Д.В., Черняев А. В. и Шамшур Д.В., Переход от сильной к слабой локализации в отщепленной примесной зоне в двумерных структурах р — GaAs/AlGaAs, Письма в ЖЭТФ 80 (2004), 36-40.
3. Агринская Н.В., Козуб В.И. и Ренч Р., Орбитальные и спиновые эффекты в низкотемпературном поведении магнитосопростивле-ния легированных кристаллов cdte, ЖЭТФ 111 (1997), 1477-1494.
4. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз, М., 1962.
5. Гальперин Ю.М., Герман Е.П., Карпов В.Г., Эффект Холла в режиме прыжковой проводимости, ЖЭТФ 99 (1991), 343 356.
6. Асламазов Л.Г., Ларкин А.И., Влияние флуктуаций на свойства сверхпроводника при температурах выше критической, ФНТ 10 (1968), 1104-1111.
7. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л., Электронные свойства легированных полупроводников, Наука, Москва, 1979.
8. Лифшиц И.М., Кирпиченков В.Я., Туннельная прозрачность неупорядоченных систем, ЖЭТФ 77 (1979), 989-1016.
9. Асламазов Л.Г., Фистуль М.В., Резонансное туннелирование в контактах сверхпроводник-полупроводник-сверхпроводник, ЖЭТФ 83 (1982), 1170-1176.
10. Ларкин А.И., Матвеев К.А., Вольт-амперная характеристика ме-зоскопических полупроводниковых контактов, ЖЭТФ 93 (1987), 1030-1038.
11. Глазман Л.И., Матвеев К.А., Неупругое туннелирование через тонкие аморфные пленки, ЖЭТФ 94 (1988), 332-343.
12. Агринская Н.В., Алешин А.Н., Прыжковая проводимость с переменной длиной прыжка в компенсированных кристаллах CdTe : С1, ФТТ 31 (1989), 277 280.
13. Зюзин А.А., Зюзин А.Ю., О сопротивлении тонких пленок с краевой сверхпроводимостью в сильных магнитных полях, Письма в ЖЭТФ 86 (2007), 60 -64.
14. Андреев А., Теплопроводность промежуточного состояния сверхпроводников, ЖЭТФ 46 (1964), 1823 1828.
15. Иорданский С.В., Об образовании вихоей в сверхтекучей жидкости, ЖЭТФ 48 (1965), 708 -714.
16. Шкловский Б.И., Прыжковая проводимость сильно легированных полупроводников, ФТП 7 (1973), 112.
17. Янсон И.К., Микроконтактная спектроскопия электрон- фонон-ного взаимодействия в чистых металлах, ФНТ 9 (1983), 343-360.
18. Абрикосов А.А., Основы теории металлов, Наука, М., 1987.
19. Akazaki Т., Takayanagi H. and Nitta J., A josephson field effect transistor using an InAs inserted-channel InAlAs/InGaAs inverted modulation-doped structure, Appl. Phys. Lett. 68 (1996), no. 3, 418420.
20. Aranson I. and Vinokur V., Surface instabilities and vortex transport in current-carrying superconductors, Phys. Rev. В 57 (1998), no. 5, 3073 3083.
21. Artemenko S.N., Volkov A.F., Charge density waves in solids, Elsevier, Amsterdam, 1989.
22. Aslamazov L.G. and Volkov A.F., Nonequilibrium Superconductivity (Langenberg D. and Larkin A.I., ed.), Elsevier, North-Holland, 1986.
23. Baelus B.J. and Peeters F.M., Dependence of the vortex configuration on the geometry of mesoscopic flat samples, Phys. Rev. В 65 (2002), no. 10, 104515-1- 104515-12.
24. Bardeen J., Tunnelling from a many-particle point of view, Phys. Rev. Lett. 6 (1961), no. 2, 57 59.
25. Biichler H.P., Geshkenbein V.B. and Blatter G., Quantum fluctuations in thin superconducting wires of finite length, Phys. Rev. Lett. 92 (2004), no. 6, 067007-1 067007-4.
26. Beenakker C., Random- matrix theory of quantum transport, Rev. Mod. Phys. 69 (1997), no. 3, 731-808.
27. Bezryadin A., Lau C.N. and Tinkham M., Quantum suppression of superconductivity in ultrathin nanowires, Nature 404 (2000), 971-974.
28. Binning G. and Rohrer H., Scanning tunneling microscopy- from birth to adolescence, Rev. Mod. Phys. 59 (1987), no. 3, 615-625.
29. Blonder G.E., Tinkham M. and Klapwijk T.M., Transition from metallic to tunneling regimes in superconducting microconstrictions: Excess current, charge imbalance, and supercurrent conversion, Phys. Rev. В 25 (1982), no. 7, 4515-4532.
30. Burstein E. and Lundvist S. (ed.), Tunneling phenomena in solids, Plenum, New York, 1969.
31. Chibotaru L.F., Ceulemans A., Bruyndoncx V. and Moshchalkov V.V., Vortex entry and nucleation of antivortices in a mesoscopic superconducting triangle, Phys. Rev. Lett. 86 (2001), no. 7, 1323-1326.
32. Deutscher G. and Feinberg D., Coupling superconducting-ferromagnetic point contacts by andreev reflections, Appl. Phys. Lett. 76 (2000), no. 4, 487-489.
33. Dikin D.A., Chandrasekhar V., Misko V.R., Fomin V.M. and Devreese J.Т., Nucleation of superconductivity in mesoscopic star-shaped superconductors, Eur. Phys. J. В 34 (2003), 231 235.
34. Efros A.L. and Shklovskii B.I., Coulomb gap and low temperature conductivity of disordered systems, J. Phys. С 8 (1975), no. 4, L49-L51.
35. Entin-Wohlman O., Aharony A., Galperin Y.M., Kozub V.I. and Vinokur V., Orbital ac spin-hall effect in the hopping regime, Phys. Rev. Lett. 95 (2005), 086603-1 086603-4.
36. Falci G. and Feinberg D. and Hekking F., Correlated tunneling into a superconductor in a multiprobe hybrid structure, Europhys. Lett. 54 (2001), no. 2, 255-261.
37. Feinberg D., Andreev scattering and cotunneling between two superconductor-normal metal interfaces: the dirty limit, Eur. Phys. J. В 36 (2003), no. 3, 419-422.
38. Fisher 0., Kugler M., Maggio-Aprilel. and Berthod C., Scanning tunneling spectroscopy of high-temperature superconductors, Rev. Mod. Phys. 79 (2007), 353-419.
39. Frydman A. and Ovadyahu Z., Charge transport through superconductor/anderson-insulator interfaces, Phys. Rev. В 55 (1997), no. 14, 9047- 9057.
40. Giordano N., Evidence for macroscopic quantum tunneling in one-dimensional superconductors, Phys. Rev. Lett. 61 (1988), no. 18, 2137 2140.
41. Golubev D.S. and Zaikin A.D., Quantum tunneling of the order parameter in superconducting nanowires, Phys. Rev. В 64 (2001), no. 1, 014504-1 014504-14.
42. Hofer W.A., Foster A.S. and Shluger A.L., Theories of scanning probe microscopes at the atomic scale, Rev. Mod. Phys. 75 (2003), no. 4, 1287-1331.
43. Holstein Т., Hall effect in impurity conduction, Phys. Rev. 124 (1961), no. 3, 1329 1347.
44. Hughes R., Savchenko A.K., Frost J.E., Linfield E.H., Nicholls J.T., Pepper M., Kogan E. and Kaveh M., Distribution-function analysis ofmesoscopic hopping conductance fluctuations, Phys. Rev. В 54 (1996), no. 3, 2091 2100.
45. Kastalsky A., Kleinsasser A.W., Greene L.H., Bhat R., Milliken F.P. and Harbison J.P., Observation of pair currents in superconductor-semiconductor contacts, Phys. Rev. Lett. 67 (1991), no. 21, 3026 -3029.
46. Kirkengen M., Bergli J. and Galperin Y.M., Coherent charge transport through an interface between a superconductor and hopping insulator: Role of barrier properties, Phys. Rev. В 74 (2006), 195321-1 19532110.
47. Kleinsasser A.W., Jackson T.N., Mclnturff D., Rammo F., Pettit G.D. and Woodall J.M., Superconducting InGaAs junction field-effect transistors with Nb electrodes, Appl. Phys. Lett. 55 (1989), no. 18, 1909 -1911.
48. Kogan V.G., Clem J.R., Deang J.M. and Gunzburger M.D., Nucleation of superconductivity in finite anisotropic superconductors and the evolution of surface superconductivity toward the bulk mixed state, Phys. Rev. В 65 (2002), 094514-1 094514-8.
49. Kozub V.I. and Zuzin A.A., Theory of hopping transport through a constriction dominated by a single hop, Phys. Rev. В 69 (2004), 115306-1 115306-7.
50. Kozub V.I. and Zyuzin A.A., Hopping transport through nanoconstriction controlled by a single hop, Phys. Stat. Solidi (с) 1 (2003), no. 1, 88-91.
51. Kozub V.I., Zyuzin A.A., Entin-Wohlman O., Aharony A., Galperin Y.M. and Vinokur V., Point- contact spectroscopy of hopping transport:
52. Eeffect of a magnetic field, Phys. Rev. В 75 (2007), 205311-1- 2053117.
53. Kozub V.I., Zyuzin A.A., Galperin Y.M. and Vinokur V., Charge transfer between a superconductor and a hopping insulator, Phys. Rev. Lett. 96 (2006), 107004-1 107004-4.
54. Kubo R., Statistical-mechanical theory of irreversible processes, i. general theory and simple applications to magnetic and conduction problems, Journ. Phys. Soc. Japan 12 (1957), no. 6, 570-586.
55. Langer J.S and Ambegoakar A., Intrinsic resistive transition in narrow superconducting channels, Phys. Rev. 164 (1967), no. 2, 498 510.
56. Larkin A.I. and Shklovskii B.I., Tunneling between two semiconductors with localized electrons: Can it reveal the coulomb gap?, Phys. Status Solidi В 230 (2002), 189 192.
57. Lau C.N., Markovich M., Bockrath M., Bezryadin A. and Tinkham M., Quantum phase slips in superconducting nanowires, Phys. Rev. Lett. 87 (2001), no. 21, 217003-1 217003-4.
58. Lee M., Massey J.G., Ngyen V.L. and Shklovskii B.I., Coulomb gap in a doped semiconductor near the metal-insulator transition: Tunneling experiment and scaling ansatz, Phys. Rev. В 60 (1999), no. 3, 1582 -1591.
59. Lee P.A., Variable-range hopping in finite one-dimensional wires, Phys. Rev. Lett. 53 (1984), no. 21, 2042 2045.
60. Little W.A., Decay of persistent currents in small superconductors, Phys. Rev. 156 (1967), no. 2, 396-403.
61. Lukens J.E., Warburton R.J. and Webb W.W., Onset of quantized thermal fluctuations in "one-dimensional "superconductors, Phys. Rev. Lett. 25 (1970), no. 17, 1180 1184.
62. Maes J.W.H., Caro J., Kozub V.I., Werner K. and Radelaar S., Silicon point contacts: Nanofabrication, molecular beam epitaxial growth, and transport measurements, J.Vac.Sci.Technol.B 12 (1994), no. 6, 36143618.
63. Massey J.G. and Lee M., Direct observation of the coulomb correlation gap in a nonmetallic semiconductor, Si: B, Phys. Rev. Lett. 75 (1995), no. 23, 4266 4269.
64. McCumber D.E. and Halperin B.I., Time scale of intrinsic resistive fluctuations in thin superconducting wires, Phys. Rev. В 1 (1970), no. 3, 1054 1070.
65. Miller A. and Abrahams E., Impurity conduction at low concentrations, Phys. Rev. 120 (1960), no. 3, 745 755.
66. Mooij J.E. and Schon G., Propagating plasma mode in thin superconducting filaments, Phys. Rev. Lett. 55 (1985), no. 1, 114 -117.
67. Mott N.F., Conduction in glasses containing transition metal ions, J. Non- Cryst. Solids 1 (1968), 1.
68. Muller C.J., van Ruitenbeek J.M and de Jong L.J., Experimental observation of the transition from weak link to tunnel junction, Physica С 191 (1992), no. 3, 485-504.
69. Naidyuk Yu.G., Yanson I.K., Point-contact spectroscopy, vol. 145, Springer, New York, 2004.
70. Newbower R.S., Beasley M.R. and Tinkham M., Fluctuation effects on the superconducting transition of tin whisker crystals, Phys. Rev. В 5 (1972), no. 3, 864 868.
71. Nitta J., Akazaki T. and Takayanagi H., Magnetic-field dependence of andreev reflection in a clean Nb — InAs — Nb junction, Phys. Rev. В 49 (1994), no. 5, 3659-3662.
72. Nitta J., Akazaki Т., Takayanagi H. and Ara'i K., Transport properties in an Inks-inserted-channel InAlAs/InGaAs heterostructure coupled superconducting junction, Phys. Rev. В 46 (1992), no. 21,14286-14289.
73. Pesin D.A. and Andreev A.V., Suppression of superconductivity in disordered interacting wires, Phys. Rev. Lett. 97 (2006), 117001-1 -117001-4.
74. Raikh M.E. and Ruzin I.M., Transmittancy fluctuations in randomly non-uniform barriers and incoherent mesoscopics, Mesoscopic phenomena in solids (Altshuller B.L. and Lee P.A., eds.), Elsevier, New York, 1991, p. 315.
75. Raikh M.E., Wessels G.F., Single-scattering-path approach to the negative magnetoresistance in the variable-range-hopping regime for two-dimensional electron systems, Phys. Rev. В 47 (1993), no. 23, 15609 15621.
76. Ralls K.S. and Buhrman R.A., Defect interactions and noise in metallic nanoconstrictions, Phys. Rev. Lett. 60 (1988), no. 23, 2434 2437.
77. Recher P., Sukhorukov E.V. and Loss D., Andreev tunneling, coulomb blockade, and resonant transport of nonlocal spin-entangled electrons, Phys. Rev. В 63 (2001), no. 16, 165314-1 165314-11.
78. Rogachev A. and Bezryadin A., Superconducting properties of poly crystalline Nb nanowires templated by carbon nanotubes, Appl. Phys. Lett. 83 (2003), no. 3, 512 514.
79. Rogachev A., Bollinger A.T. and Bezryadin A., Influence of high magnetic fields on the superconducting transition of one-dimensional Nb and MoGe nanowires, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 017004-1 -017004-4.
80. Rogachev A., Wei Т., Pekker D., Bollinger A.T., Goldbart P.M. and Bezryadin A., Magnetic field enhancement of superconductivity in ultra-narrow wires, Phys. Rev. Lett. 97 (2006), 137001-1 137001-4.
81. Ruzin I.M., Fine structure of hopping conductance fluctuations in finite-size semiconductors, Phys. Rev. В 43 (1991), no. 14, 11864 -11872.
82. Saint-James D. and deGennes P., Oncet of superconductivity in decreasing fields, Phys. Lett. 7 (1963), no. 5, 306-308.
83. Sandow В., Gloos K., Rentzsch R. and Ionov A.N., Regimes of charge transport across semiconductor junctions, Physica В 284 (2000), 1852 1883.
84. Sandow В., Gloos K., Rentzsch R., Ionov A.N. and Schirmacher W., Electronic correlation effects and the coulomb gap at finite temperature, Phys. Rev. Lett. 86 (2001), no. 9, 1845 1848.
85. Sang Chu, Bollinger A.T. and Bezryadin A., Phase slips in superconducting films with constrictions, Phys. Rev. В 70 (2004), 214506-1 214506-6.
86. Sauret 0., Feinberg D. and Martin Т., Spin- current noise and bell inequalities in a realistic superconductor- quantum dot entangler, Phys. Rev. В 72 (2005), 024544-1 024544-7.
87. Sauret 0., Martin T. and Feinberg D., Quantum master equations for the superconductor- quantum dot entangler, Phys. Rev. В 70 (2004), 245313-1 245313-15.
88. Schmid A. and Schon G., Collective oscillations in a dirty superconductor, Phys. rev. Lett. 34 (1975), 941 943.
89. Schmidt H. and Mikeska H.J., The onset of surface superconductivity, J. Low Temp. Phys. 3 (1970), no. 2, 123-135.
90. Schweigert V.A. and Peeters F.M., Influence of the confinement geometry on surface superconductivity, Phys. Rev. В 60 (1999), no. 5, 3084-3087.
91. Scola J., Pautrat A., Goupil C., Mechin L., Hardy V. and Simon C., Voltage noise and surface current fluctuations in the superconducting surface sheath, Phys. Rev. В 72 (2005), 012507-1 012507-4.
92. Shklovskii B.I. and Spivak B.Z., Scattering and interference effects in variable- range hopping conduction, Hopping transport in solids (Pollak M. and Shklovskii В., ed.), Elsevier, New York, 1991, p. 271.
93. Skocpol W.J. and Tinkham M., Fluctuations near superconducting phase transition, Rep. Prog. Phys. 38 (1975), 1049 1097.
94. Stamopoulos D., Pissas M., Karanasos V., Niarchos D. and Panagiotopoulos I., Influence of randomly distributed magnetic nanoparticles on surface superconductivity in Nb films, Phys. Rev. В 70 (2004), 054512-1- 054512-8.
95. Takayanagi H. and Kawakami Т., Superconducting proximity effect in the native inversion layer on InAs, Phys. Rev. Lett. 54 (1985), no. 22, 2449 2452.
96. Takayanagi H., Hansen J.B. and Nitta J., Localization effects on the critical current of a superconductor- normal metal- superconductor junction, Phys. Rev. Lett. 74 (1995), no. 1, 162 -165.
97. Tinkham M., Introduction to superconductivity, McGraw- Hill, New York, 1996.
98. Volkov A.F., Theory of the current-voltage characteristics in superconductor- semiconductor junctions, Phys. Lett. A 174 (1993), no. 1, 144 -150.
99. Zhang Y., Dai P., Levy M. and Sarachik M.P., Probind the coulomb gap in insulating n-type CdSe, Phys. Rev. Lett. 64 (1990), no. 22, 26872690.
100. Zhao H.L., Spivak B.Z., Gelfand M.P. and Feng S., Negative magnetoresistance in variable-range-hopping conduction, Phys. Rev.В 44 (1991), no. 19, 10760 10767.
