Электронный транспорт в искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками

Пятаев, Михаил Анатольевич

Электронный транспорт в искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Пятаев, Михаил Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саранск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Электронный транспорт в искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками»

Автореферат диссертации на тему "Электронный транспорт в искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками"

На правах рукописи

Пятаев Михаил Анатольевич

ЭЛЕКТРОННЫЙ ТРАНСПОРТ В ИСКРИВЛЕННЫХ НАНОСТРУКТУРАХ С ПРИСОЕДИНЕННЫМИ ПРОВОДНИКАМИ

Специальность 01.04.07 - физика конденсированного

состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Маргулис

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. Я. Демиховский

доктор физико-математических наук, профессор В. Д. Кревчик

Ведущая организация:

Институт радиотехники и электроники РАН

Защита диссертации состоится «7» декабря 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.166.01 в конференц-зале Нижегородского государственного университета имени Н. И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан ■» октября 2005 г.

Ученый секретарь ¿у /

диссертационного совета Д 212.166.01 ' У

доктор физ.-мат.наук, профессор \ • А. И. Машин

200&-Ч !9Ш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы физические свойства квантовых наноструктур привлекают к себе все большее внимание, что обусловлено следующими двумя основными причинами. Во-первых, в данной области физики конденсированного состояния был открыт целый ряд необычных физических эффектов, во-вторых, исследование наноструктур способствовали не только открытиям фундаментального характера, но и стимулировали прогресс электронной инженерии. Успехи в области нанотехнологий позволяют надеяться применить различные виды наноструктур для создания новых типов электронных устройств.

В последнее время возрос интерес исследователей к искривленным проводящим двумерным наноструктурам. Привлекательность таких систем обусловлена наличием дискретного энергетического спектра электронов, который позволяет осуществлять резонансный транспортный режим в содержащих их устройствах. Кроме того, прогресс в области нанотехнологий сделал возможным создание таких структур в форме сферы [1], тора [2], цилиндра [3] и других поверхностей. Среди разнообразных модельных устройств, используемых для изучения электронного транспорта в искривленных двумерных наноструктурах, следует отметить устройства с точечными контактами. Во-первых, этот случай может быть реализован на практике, например, когда один из проводников представляет собой зонд атомного силового микроскопа [4]. Во-вторых, устройство с точечными контактами интересно с теоретической точки зрения, поскольку в этом случае удается получить явные формулы для матрицы рассеяния устройства, которые могут служить основой для понимания и описания результатов, полученных в более сложных моделях.

Целью работы является теоретическое исследование электронного транспорта в ряде искривленных двумерных наноструктур, таких как сфера, тор и цилиндр, с присоединенными одномерными проводниками. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. разработать математический аппарат, позволяющий описать контакт между двумерной поверхностью и одномерным проводником;

2. построить модель для описания электронного транспорта в двумерных искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками;

3. исследовать электронный транспорт на поверхности сферы, цилиндра и тора с присоединенными проводниками; получить удобные для дальнейшего анализа формулы для коэффициентов прохождения и отражения электрона во всех рассматриваемых системах;

4. провести аналитическое и численное исследование зависимости кондактанса и термоэде рассматриваемых наноструктур от химического потенциала электронов;

5. исследовать влияние расположения контактов на полученные зависимости; изучить влияние температуры и параметров контактов на электронный транспорт.

Методы исследования. Для исследования транспортных свойств наноструктур в диссертации используется формализм Ландауэра-Вьюттикера [5], позволяющий связать кондактанс системы с одноэлектронными коэффициентами прохождения. Для построения электронного гамильтониана наноструктуры и определения коэффициентов прохождения электрона в работе используется метод, основанный на теории самосопряженных расширений симметрических операторов [6]. Эта теория позволяет определить вид граничных условий, которые должны быть наложены на волновую функцию в точках контактов. Для исследования термоэдс рассматриваемых наноструктур используется метод, основанный на формуле Катлера-Мотта [7] для коэффициента термоэдс. Также разработан новый подход, основанный на разложении интегралов в ряд Тейлора, для анализа термоэдс в окрестности узких резонансов. Научная новизна.

1. Разработан общий подход, позволяющий исследовать электронный транспорт в наноустройстве, состоящем из произвольной двумерной наноструктуры с присоединенными к ней в произвольных точках одномерными проводниками.

2. Исследован электронный транспорт через квантовую сферу и тор с двумя присоединенными проводниками. Получены аналитические формулы для коэффициентов прохождения и отражения электронов в наноустройстве.

3. Показано, что зависимость коэффициента прохождения электрона от энергии носит резонансный характер, причем наряду с симметричными резонансами Врейта-Вигнера имеются и асимметричные резонансы Фано. Найдены положения резонансов, а также выражения, связывающие ширины резонансов с параметрами контактов. Показано, что при определенных положениях контактов наблюдается коллапс резонансов Фано. Найдено легко проверяемое условие коллапса.

4. Проведено исследование электронного транспорта в наноустройстве, состоящем из квантовой сферы с тремя присоединенными одномерными проводниками, в том числе и при наличии разрыва в одном из проводников. Установлено условие коллапса резонансов Фано в этой системе.

5. Изучен электронный транспорт в квантовом цилиндре с присоединенными проводниками. Получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения электрона. Исследовано поведение этих коэффициентов в окрестности особенностей Ван Хова в плотности состояний.

6. Исследована зависимость термоэдс наноструктур от химического потенциала в окрестности резонансов Фано и Врейта-Вигнера. Получены явные формулы для коэффициента термоэдс в случаях низких температур и узких резонансов.

Практическая значимость работы.

1. Результаты работы могут быть использованы при исследовании особенностей электронного транспорта в таких наноструктурах как фуллерены, металлические сферические нанооболочки, углеродные нанотрубки различной геометрии, а также цилиндры и другие поверхности, получаемые сворачиванием напряженных слоев СаАвДпСаАз.

2. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными может дать

«к > —»

ценную информацию о геометрических характеристиках наноструктур, параметрах электронного энергетического спектра в данных системах, эффективной электронной массе и свойствах контактов между поверхностью и проводниками.

3. Анализ резонансной структуры коэффициента прохождения может быть использован при разработке резонансных наноэлектронных приборов на базе рассматриваемых структур.

4. Исследования формы зависимости термоэдс от химического потенциала могут служить основой для описания и интерпретации экспериментальных данных по термоэлектрическому транспорту в различных наноструктурах.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Зависимость коэффициента прохождения электрона от химического потенциала содержит нули двух различных типов. Нули первого типа возникают при совпадении энергии электрона с собственными значениями гамильтониана двумерной наноструктуры. Их положение не зависит от взаимного расположения точек контактов в отличие от нулей второго типа.

2. В окрестности нулей первого типа коэффициент прохождения имеет вид резонанса Фано Ширина и асимметричность резонансов зависят от взаимного расположения проводников и от параметров контактов.

3 При определенных положениях контактов возможен коллапс резонансов Фано. Геометрические особенности поверхности приводят к различию в поведении резонансов и нулей коэффициента прохождения. Симметрия сферы приводит к коллапсу всех резонансов Фано и исчезновению всех нулей при диаметрально противоположном расположении проводников, причем в остальных случаях коллапс не наблюдается. На торе коллапс пройсходит при многих положениях контактов, но при этом часть нулей коэффициента прохождения сохраняется.

4. В случае квантовой сферы с тремя проводниками коллапс резонансов в коэффициенте прохождения электрона из первого проводника во второй происходит при диаметрально противоположном расположении этих двух проводников, независимо от положения третьего контакта.

5. Коэффициент прохождения электрона через квантовый цилиндр с двумя присоединенными одномерными проводниками обращается в нуль при совпадении энергии электрона с дискретной составляющей энергетического спектра на цилиндре. Зависимость коэффициента прохождения от энергии электрона имеет излом в этих точках. В окрестности каждого нуля прозрачности присутствует асимметричный пик. При определенных положениях контактов нуль и пик на графике исчезают. В магнитном поле пики коэффициента прохождения расщепляются в дублеты. Зависимость коэффициентов прохождения от спина приводит дополнительному расщеплению пиков кондактанса, а также к частичной спиновой поляризации прошедших электронов.

ляции зависит от температуры немонотонно, возрастая линейно при низких температурах и убывая пропорционально 1 /Т при высоких по сравнению с шириной резонанса температурах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [А1-А20], а так же докладывались на международных конференциях "Nano-structures: Physics and Technology" (Санкт-Петербург, 2001 г.), "Fullerenes and Atomic Cluster^' (Санкт-Петербург, 2003 г. и 2005 г.), на IV, V и VI всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2002 г., 2003 г., 2004 г.), на I, II и III межрегиональной научной школе для студентов и аспирантов "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение" (Саранск, 2002 г., 2003 г., 2004 г.), на IV республиканской научно-практической конференции "Наука и инновации в республике Мордовия" (Саранск, 2004 г.), на IIV Российской конференции по физике полупроводников (Москва, 2005 г.), а так же на семинар« кафедры теоретической физики Нижегородского государственного университета (2005 г.).

Личный вклад автора в работу заключается в участии в разработке методов исследования и решении поставленных задач, а так же в интерпретации полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты работы отражены в 20 публикациях, из них 5 журнальных статей [А1-А5] и 15 работ в сборниках трудов и тезисах конференций [А6-А20].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 165 наименований. Объем диссертации составляет 133 страницы. В диссертации приведено 35 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, содержится постановка задач исследования, приводятся методы исследования, содержание работы по главам, формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В Главе 1 приводится литературный обзор наиболее важных работ, сделанных в области диссертационного исследования. В этой главе описаны основные методы теоретического и экспериментального исследования кондактанса и тер-моэдс наноструктур.

Согласно формуле Ландауэра-Бьюттикера баллистический кондактанс на-ноустройства при нулевой температуре выражается через коэффициенты прохождения электрона. В диссертации рассматриваются одномерные проводники, в которых существует всего одна электронная мода, и основная задача состоит в

нахождении коэффициента прохождения устройства. Для решения поставленной задачи требуется построить электронный гамильтониан системы, а затем найти решение уравнения Шрёдингера, которое в первом проводнике является суперпозицией падающей и отраженной волн, а в остальных проводниках, представляет собой прошедшую волну.

В случае, когда к поверхности П присоединено N проводников, волновая функция электрона в системе состоит из N + 1 частей: фп - волновая функция на поверхности Ля^ (j = 1N) - волновые функции в одномерных проводниках. Если проводники и наноструктура изолированы друг от друга, то гамильтониан такой системы представляет собой прямую сумму гамильтонианов частей

Но = Яп ® Я1.Ф ... ф Hn, (1)

где Нп - гамильтониан электрона на поверхности Л, Н3 = р2/(2т*) - гамильтониан электрона в j-м проводнике, р - оператор импульса, am* - масса.

Присоединение проводников к поверхности в работе моделируются с помощью граничных условий, накладываемых на волновую функцию в точках контакта. Роль граничных параметров в проводниках играет значение волновой функции и ее производной в точке контакта, а для решения вопроса о граничных значениях для волновой функции на поверхности П используется теория расширения симметрических операторов. Согласно этой теории, чтобы получить нетривиальные граничные условия для волновой функции в точке контакта q^ на поверхности Q, необходимо рассматривать волновые функции имеющие логарифмическую сингулярность (2) в окрестности этой точки:

771

фа (х) = -и, In р(х, qj-) + V, + R(х), (2)

где р - геодезическое расстояние между точками х и су, Я(х) —> 0 при х —> q^, а щ и V] комплексные коэффициенты, которые и играют роль граничных значений для волновой функции в точке q^.

Ясно, что в общем случае граничные условия представляют собой линейные соотношения между ф(0), ф'(0) и коэффициентами'и, и v3. С учетом того, что результирующий гамильтониан должен быть самосопряженным оператором, в работе эти условия выбраны в виде

ь3(фп) = В33и3(фп) - £?А33ф'3(0) -

(3)

Фэ(0) = Л;}и3{гРи) - ^С}1ф'3(0).

Входящие в формулу (3) параметры граничных условий А33, Вп и С33, выражаются через длины рассеяния \f, к \f по формулам

In(Af), C„ = -£\f, = (4)

где ф} - аргумент комплексного числа А33.

В работе показано, что решение уравнения Шрёдингера, нормированное на падающую волну единичной амплитуды в первом проводнике, имеет вид

(5)

,1>,{х) = 6}1е'1кх + З3егкх,

где к = л/Ъп*Ё/Н - волновой вектор электрона, Сп(х, у; Е) - функция Грина гамильтрниана Нп, ^ - комплексные коэффициенты, .Ух = гц - амплитудный коэффициент отражения, а = {] ф 1) - прохождения.

С использованием волновой функции (5) и граничных условий (3) в диссертации получена система 2N уравнений для коэффициентов и и найдена матрица рассеяния устройства. При этом коэффициенты прохождения оказываются выраженными через (^-функцию Крейна оператора Нп, которая представляет собой матрицу размерности N у. N, определяемую формулой

<?п(ч.,<Ъ;Е), гфу,

<Э,/(£9 = { г т , . .1 . . (6)

В работе получены формулы для коэффициентов прохождения и отражения устройства для Произвольного числа проводников и для произвольных соотношений между параметрами контактов. В случае двух проводников и одинаковых контактов амплитудный коэффициент прохождения 1г\(Е) имеет вид

* =-=-~ „-, (7)

(к\с + 4г)2 - 2к\А(к\с + 4г)(<Э22 + С?п) + 4{кХА)2

где С}г} = (т*/Й2)(дч — Вг]) - перенормированная (^-функция.

Как видно из формулы (7), коэффициент прохождения в общем случая имеет нули двух типов. Нули первого типа обусловлены полюсами С}-функции и совпадают с собственными значениями гамильтониана IIп- Их положение не зависит от взаимного расположения точек контактов. Нули второго типа совпадают с нулями функции д21 (Е) и сдвигаются при изменении взаимного расположения контактов.

Наличие нулей коэффициента прохождения в некоторых точках, а также присутствие в спектре гамильтониана На дискретной составляющей, говорит о резонансном характере рассеяния. Как показывает дальнейший анализ, наряду с обычными резонансами Брейта-Вигнера в системе также наблюдаются асимметричные резонансы Фано, которые состоят из близко расположенных нуля и пика коэффициента прохождения. В изучаемой системе нули коэффициента прохождения, связанные с резонансами Фано, располагаются с точках спектра невозмущенного гамильтониана На- Как следует из формулы (б), в окрестности собственных значений гамильтониана Нп (^-функция, так же как и функция

Грина, имеет простой полюс

ос.

Вычеты Q-фyнкции выражаются через собственные функции ^„¡(х), отвечающие данному ¡/-кратно вырожденному уровню Еп

=-53^(40^(4,). (9)

1=1

С использованием разложения (8) для (^-функции в работе получено следующее выражение для коэффициента прохождения в окрестности собственных значений гамильтониана Нц:

^^Ё^ЬГ' (10)

где Г ~ det а^ - полуширина резонансной кривой, а Ел - энергия, определяющая положение асимметричного пика, г) - нормировочная константа. Как видно из формулы (10), в окрестности точек Еп коэффициент прохождения имеет вид резонанса Фано.

Как показывает проведенный в работе анализ, расстояние между нулем и полюсом амплитуды рассеяния пропорционально а'"', и если при каком-либо положении контактов deta^ обращается в нуль, то происходит коллапс резонанса Фано в окрестности данного собственного значения. При этом полюс и нуль амплитуды рассеяния совпадают и сокращаются.

Для формулировки условия коллапса в диссертации введены векторы V,, составленные из собственных функций гамильтониана На, отвечающих одному V - кратно вырожденному уровню Е„

(<Рп 1(чь)

<Рп а(чь) I (11)

4>т/(<1з)

Число векторов равно числу контактов ЛГ, а их размерность равна кратности вырождения и. Как показано в работе, = — то есть матрица а1-"*

пропорциональна матрице Грама векторов Л/^. Таким образом коллапс резонан-сов происходит тогда и только тогда, когда векторы V, линейно зависимы.

Необходимо отметить, что положение всех нулей коэффициента прохождения не зависит длин рассеяния, описывающих свойства контактов. При этом длины рассеяния оказывают значительное влияние на ширину и амплитуду пиков коэффициента прохождения. Так, если контакты неодинаковы, то высота пиков не достигает единицы. Если значения длин рассеяния таковы, что связь между проводниками и наноструктурой слаба, то зависимость коэффициента прохождения

кг кг

Рис. 1: Коэффициент прохождения Т21 через квантовую сферу в зависимости от безразмерного параметра кг. (а): Р12 = 0.97тгг; (Ь): р\2 = тгг.

от энергии представляет собой серию узких и высоких пиков, ширина которых уменьшается с ослаблением связи.

В Главе 3 изучается транспорт в квантовой сфере и квантовом торе. В разделе 3.1 рассматривается квантовая сфера с двумя присоединенными проводниками. Электронный гамильтониан сферы имеет вид Не = Ь2/(2т*г2), где Ь -оператор момента импульса, г - радиус. В диссертации показано, что коллапс резонансов Фано на сфере наблюдается только при диаметрально противоположном расположении проводников. При этом происходит коллапс сразу всех резонансов. Нули второго типа в этом случае также исчезают, и режим транспорта качественно изменяется (Рис. 1).

В разделе 3.2 исследован электронный транспорт через квантовую сферу с тремя присоединенными проводниками. Здесь также имеются нули двух типов и резонансы Фано в окрестности нулей первого типа. Как обнаружено в работе, коллапс резонансов Фано в коэффициенте прохождения из первого проводника во второй наблюдается также при диаметрально противоположном положении этих проводников. При этом положение третьего проводника может быть любым. В отличие от сферы с двумя проводниками нули второго типа в этом случае сохраняются на графике.

В разделе 3.3 исследованы коэффициенты прохождения устройства при наличии разрыва в одном из проводников. Показано, что наличие третьего проводника приводит к появлению дополнительных резонансов и нулей в коэффициенте прохождения, связанных с интерференцией электронных волн в третьем проводнике.

Раздел 3.4 посвящен изучению электронного транспорта через квантовый тор. Движение электронов на поверхности тора в работе моделируется гамильтонианом двумерного свободного движения с периодическими граничными условиями по двум направлениям

(12)

где Л — {mai + П2&2 : п, € Z} - двумерная решетка. Спектр гамильтониана Нт имеет вид Еъ = h2b2/2m*, где Ъ 6 Ad, a Ad представляет собой обратную решетку для Л. В отличие от сферы на торе коллапс резонансов Фано происходит при многих положениях контактов, определяемых следующим условием

е<Ьх(Ч2-Ч1) _ е«Ь2 (42-qi) _____ e>b„(42-qi) ^

где bi,b2,...b„ - векторы, отвечающие одному ¡/-кратно вырожденному собственному значению Еъ- При этом возможен коллапс только части резонансов, а нули второго типа сохраняются на графике.

В Главе 4 диссертации рассмотрен электронный транспорт на поверхности квантового цилиндра. В цилиндрической системе координат гамильтониан электрона на цилиндре может быть записан в виде

тг р1 , п2 (. д ф\2

где pz - 2-проекция импульса, Ф = -кг2В - магнитный поток, а Фо - квант потока.

Спектр гамильтониана состоит из суммы спектров свободного движения вдоль оси цилиндра и дискретной составляющей Ет, определяемой формулой

П2 ( ф \2 Ет=2^\т+То) ■

Как показано в работе, Q-функция имеет корневую сингулярность в точках Ет. Раскладывая Q-функцию в окрестности точки Ет, можно получить следующую формулу для амплитудного коэффициента прохождения в окрестности этой точки:

til (к) ~ Cm " , (15)

/то Т Кщ

где кт = у/2т*{Е - Ет)/П2, Яект > 0 при Е > Ет и 1т кт > 0 при Е < Ет, Ст - нормировочная константа, а /т - комплексное число, пропорциональное определителю матрицы а, элементы которой задаются формулами

а'| = 1Ее"",('г")' (16)

тп'

Здесь индекс т' пробегает все значения, при которых Ет> = Ет. Из формулы

1.0

г2, 0.5

0.0

(а)

J_i_L

r2i 0.5 -

О 5

10 15 Elz

Рис. 2: Коэффициент прохождения Т21 через квантовый цилиндр при г\ — г2 ■ 0.2г, (а) <р1 — <¿>2 = 0.087т, (Ь) = ¥>2.

(15) видно, что при /т, не равном нулю, коэффициент прохождения обращается в нуль в точках Ет (Рис. 2а). В отличие от случая замкнутых поверхностей коэффициент прохождения через квантовый цилиндр имеет излом в точке Е = Ет. Если при каком-либо положении контактов fm обращается в нуль, то происходит коллапс нулей в окрестности данной точки (Рис. За). При этом, как и в рассмотренных выше случаях, расстояние между нулем и пиком уменьшается, а само значение пика изменяется незначительно. Условие исчезновения нулей определяется обращением в нуль детерминанта матрицы а, который имеет вид

Г -(ят)~2 sin2 f(m -I- Ф/Фо)(¥>2 - <¿>i)] , при целом 2Ф/Ф0; det а = < (17)

1 0, при нецелом 2Ф/Фо.

Видно, что нули наблюдаются только при целых или полуцелых значениях магнитного потока, когда уровни Ет двукратно вырождены. Исчезновение нулей наблюдается при многих положениях контактов. Если точки qi и q2 расположены на одной образующей цилиндра или на диаметрально противоположных образующих, то происходит исчезновение всех нулей (Рис. 2Ь).

Магнитное поле расщепляет двукратно вырожденные уровни Ет В результате нули коэффициента прохождения исчезают, а пики расщепляются в дублеты (Рис. ЗЬ). Зависимость коэффициентов прохождения от спина приводит к дополнительному расщеплению пиков кондактанса, а также к частичной спиновой поляризации прошедших электронов. При полуцелых и целых значениях магнитного потока возможна полная поляризация.

Рис. 3: Коэффициент прохождения Т21 через квантовый цилиндр (а) Ф = О, 21—22 = 0.05г, сплошная линия: — 1р2 = 0.057т, точечная линия: <¿>1 = <^2; (Ь) 21 — 22 = 0.05г, у>\ — = 0.05я-, сплошная линия: Ф = 0, точечная линия: Ф = 0.1Фо.

Если расстояние Ь между точками контактов значительно больше, чем радиус цилиндра, то кондактанс системы осциллирует с периодом ДЕ ~ -кН2кт/(тп*Ь). Эти осцилляции обусловлены интерференцией электронных волн между точками контактов. Следует отметить, что подобные осцилляции наблюдались на эксперименте с углеродными нанотрубками [8].

В Главе 5 исследуется термоэдс наноструктур в окрестности резонансов Брейта-Вигнера и Фано. В пределе, когда тепловая энергия квТ много меньше ширины резонанса Г получены следующие формулы для коэффициента термоэдс Я как функции химического потенциала ц в окрестности резонансов Брейта-Вигнера

. 2Л2Г дх .,„.

ЗеГ д^ + в'+^ + В' (18)

где х = (ц — Ек)/Г, д - амплитуда резонанса, до - нерезонансная составляющая кондактанса. В окрестности резонанса Фано термоэдс имеет вид

5Ы ~ 27г2^Т <?(* + <?)(*<?-В

ЗеГ р0(х2 + 1)2 + р(х2 + 1)(х + 9)2' К >

где д = (Ея — Ео)/Т - параметр асимметрии резонанса Фано.

Как видно из формулы (18), термоэдс меняет знак в окрестности резонанса Брейта-Вигнера. В окрестности резонанса Фано смена знака происходит дважды, причем порядок чередования знаков зависит от взаимного расположения

-10 -5 0 5 (Д-Яй)/Г

0.5

^ 0.0 со*

-0.5

. 1 . 1

-10 -5

(Ц-ЕЛУГ

Рис. 4: Поведение термоэдс в окрестности резонансов Врейта-Вигнера (а) и Фано (Ь) при д = 2до, кТ — 0.1Г. Сплошная линия q = —1.2, точечная линия д = 1.2.

нуля и пика в резонансе Фано. Эффективная ширина кривых пропорциональна собственной ширине резонанса Г, а амплитуда осцилляции пропорциональна температуре.

В случае узких резонансов, когда ширина резонанса Г много меньше тепловой энергии квТ, с помощью разложения интегралов в ряд Тейлора по малому параметру Т/квТ получено следующее выражение термоэдс в окрестности резонанса Брейта-Вигнера

- ~Т 4СОА»(*/2)' (20)

где г = (¡1 - Еп)/(кТ). Аналогичным методом найдена формула для термоэдс в окрестности резонанса Фано

Я(и) - ] "(Ч2-1)*

4еТ(д + д0) ) со1Ъ2(г/2)

24 / (х + г) соГь2(ж/2) ( ' (21)

-оо )

где интеграл понимается в смысле главного значения.

Как видно из формулы (20), при Г С квТ коэффициент термоэдс в окрестности резонанса Брейта-Вигнера описывается нечетной функцией от безразмерной энергии, как и в случае низких температур, но теперь эта функция убывает экспоненциально при удалении от резонанса. В окрестности резонанса Фано термоэдс описывается суммой четной и нечетной функций.

Случай промежуточных температур в работе исследован численно. Температурная зависимость термоэдс в окрестности резонанса Брейта-Вигнера показана

I !

Рис. 5: Температурная зависимость термоэдс в окрестности резонанса Брейта-Вигнера при д/до = 2.

на Рис. 5. Из рисунка видно, что амплитуда осцилляции изменяется немонотонно с температурой. Как видно из формул (18) и (20), при малых температурах амплитуда линейно возрастает, а при больших по сравнению с шириной резонанса температурах амплитуда убывает пропорционально 1 /Т. Амплитуда достигает максимума, когда тепловая энергия квТ и полуширина резонанса Г имеют одинаковый порядок величины.

В Заключении сформулированы основные выводы по результатам диссертационной работы:

1. Показано, что зависимость коэффициента прохождения от энергии электрона содержит нули двух различных типов. Нули первого типа возникают при совпадении энергии электрона с собственными значениями гамильтониана двумерной наноструктуры, а нули второго типа - с нулями функции <521 (£0- Установлено, что положение всех нулей коэффициента прохождения не зависит от параметров контактов.

2. Показано, что в окрестности нулей первого типа коэффициент прохождения имеет форму резонанса Фано. Получены выражения для полуширины резонансной кривой и положения резонансного пика. Установлено, что при определенных положениях контактов возможен коллапс резонансов Фано. В случае двух проводников, резонансы Фано возникают только в окрестности вырожденных энергетических уровней.

3. Установлены условия коллапса резонансов Фано в случае квантовой сферы и квантового тора. В случае сферы коллапс наблюдается только при диаметрально противоположном присоединении проводников. При наличии третьего

проводника, его положение не влияет на условие коллапса.

4. Показано, что в случае слабой связи между проводниками и двумерной наноструктурой зависимость коэффициента прохождения от энергии представляет собой серию узких и высоких резонансов.

5. Исследован электронный транспорт на поверхности проводящего цилиндра, помещенного в продольное магнитное поле, с одномерными проводниками, присоединенными к его боковой поверхности. В случае одного проводника показано, что коэффициент отражения имеет пики, доходящие до единицы, при совпадении энергии электрона с дискретной составляющей энергетического спектра на цилиндре. В случае двух проводников, показано, что коэффициент прохождения обращается в нуль в этих же точках. В окрестности каждого нуля коэффициента прохождения присутствует асимметричный пик. Найдены положения контактов, при которых нули на графике исчезают. Показано, что магнитное поле приводит к расщеплению пиков и к исчезновению нулей коэффициента прохождения.

6. Проведен анализ термоэдс в окрестности резонансов Фано и Брейта-Вигнера. В случае низких температур и в случае узких резонансов получены явные формулы для коэффициента термоэдс как функции химического потенциала. Показано, что амплитуда осцилляции зависит от температуры немонотонно. При малых температурах амплитуда линейно возрастает, а при больших по сравнению с шириной резонанса температурах амплитуда убывает пропорционально 1 /Т. Амплитуда достигает максимума, когда тепловая энергия и ширина резонанса имеют одинаковый порядок величины.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

AI. Brüning J., Geyler V. A., Margulis V. A., Pyataev M. A. Ballistic conductance of a quantum sphere // J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - V. 35. - P. 4239-4247.

A2. Гейлер В. A., Маргулис В. A., Пятаев M. A. Резонансное туннелирование через двумерную наноструктуру // ЖЭТФ. - 2003. - Т. 124. - JV» 4. -С. 851-861.

A3. Margulis V. A., Pyataev M. A. Fano résonances in a three-terminal nanodevice // J. Phys.: Condes. Matter. - 2004. - V. 16. - P. 4315-4323.

A4. Маргулис В. А., Панкратов А. С., Пятаев М. А. Резонансы Брейта-Вигнера и Фано в термоэдс наноструктур // Известия вузов. Поволжский регион. Естественные науки. - 2004. - X« 5(14). - С. 66-73.

А5. Margulis V. A., Pyataev M. A. Electron transport on a cylindrical surface with one-dimensional leads // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 72. - P. 075312-1-8.

A6. Brüning J., Geyler V. A., Margulis V. A., Pyataev M. A. Ballistic conductance of a quantum sphere / / 9th Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology": Proceedings. June 18-22, 2001. - St. Petersburg, 2001. - P. 367-371.

A7. Пятаев M. A., Маргулис В.A. Электронный транспорт через квантовый тор с присоединенными одномерными проводниками // Четвертая всероссий-

екая молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике: Тезисы докладов. 3-6 декабря 2002 г. -Санкт-Петербург, 2002. - С. 59.

А8. Пятаев М. А. Резонансы Брейта-Вигнера и Фано в квантовом торе с присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектро-ники: физические свойства и применение": Сборник трудов второй межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 11-13 ноября 2002 г. - Саранск, 2002. - С. 39.

А9. Geyler V. A., Margulis V. A., Pyataev М. A. Resonance tunneling through а quantum torus // The 6-th International Workshop in Russia "Pullerenes and Atomic Clusters". IWFAC'03: Abstracts of invited lectures and contributed papers. June 30 - July 4, 2003. - St.Petersburg, 2003. - P. 241.

A10. Пятаев M. А., Маргулис В. А. Электронный транспорт через трехтерми-нальное наноустройство // Пятая всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике: Тезисы докладов. 2-5 декабря 2003 г. - Санкт-Петербург, 2003. - С. 61.

All. Пятаев М. А. Термоэдс квантовой сферы с присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение": Сборник трудов второй межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 13-15 октября 2003 г. - Саранск, 2003. - С. 49.

А12. Маргулис В. А., Пятаев М. А. Электронный транспорт в трехтерминаль-ном наноустройстве // Физическое и химическое материаловедение. Сборник научных трудов, посвященный десятилетию ИФХ. - Саранск: Изд-во Мордовского ГУ, 2004. - С. 13-23.

А13. Пятаев М. А., Маргулис В. А. Электронный транспорт в квантовом цилиндре с присоединенными проводниками // Шестая всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике: Тезисы докладов. 6-10 декабря 2004 г. - Санкт-Петербург, 2004. - С. 71.

А14. Пятаев М. А., Маргулис В. А. Электронный транспорт в кольце Аароно-ва-Бома с присоединенными проводниками // Шестая всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике: Тезисы докладов. 6-10 декабря 2004 г. - Санкт-Петербург, 2004. - С. 76.

А15. Пятаев М. А. Электронный транспорт на цилиндрической поверхности с присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение": Сборник трудов межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 6-8 октября 2004 г. -Саранск, 2004. - С. 41.

А16. Панкратов А. С., Пятаев М. А. Термоэдс квантового кольца с присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение": Сборник трудов межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 6-8 октября 2004 г. - Саранск, 2004. - С. 32.

А17. Криворотое Е. К., Пятаев М. А. Электронный транспорт через квантовое кольцо с тремя присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение": Сборник трудов межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 6-8 октября 2004 г. - Саранск, 2004. - С. 35.

А18. Панкратов А. С., Пятаев М. А. Резонансы Фано в термоэдс наноструктур // Наука и инновации в республике Мордовия: Материалы IV республиканской научно-практической конференции. 22-24 декабря 2004 г. - Саранск, 2005. - С. 419-420.

А19. Margulis V. A., Pyataev М. A. Electron transport in a nanotube connected to one-dimensional wires // The 7-th International Workshop in Russia "Fullerenes and Atomic Clusters". IWFAC'05: Abstracts of invited lectures and contributed papers. June 27 - July 1, 2005. - St.Petersburg, 2005. - P. 77.

A20. Маргулис В. А., Пятаев M. А. Резонансы Фано в термоэдс наноструктур // VII Российская конференция по физике полупроводников: Тезисы докладов. 18-23 сентября 2005. - Москва, 2005. - С. 251.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Jackson J. В., Halas N. J. // J. Phys. Chem. B. - 2001. - V. 105. - P. 2743.

[2] Liu J., et al.// Nature. - 1997. - V. 385. - P. 780.

[3] Prinz V. Ya., et al.// Physica E. - 2000. - V. 6. - P. 828

[4] Yaish Y., et al.// Phys. Rev. Lett. - 2004. - V. 92. - P. 046401.

[5] Laundauer R. // IBM J. Res. Dev. - 1957. - V. 1. - P. 223.

[6] Brüning J., Geyler V. A. // J. Math. Phys. - 2003. - V. 44. - P. 371.

[7] Cutler M., Mott N. F. // Phys. Rev. - 1969. - V. 181. - P. 1336.

[8] Kong J., et al.// Phys. Rev. Lett. - 2001. - V. 87. - P. 106801.

Подписано в печать 17.10.05. Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 2042. Типография Издательства Мордовского университета 430000, г. Саранск, ул. Советская, 24

№21 021

РНБ Русский фонд

2006-4 19658

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Пятаев, Михаил Анатольевич

Введение

Обозначения

Глава 1 Литературный обзор

1.1 Баллистический электронный транспорт в наноструктурах

1.2 Термоэлектрические свойства наноструктур

Глава 2 Моделирование контактов между двумерной наноструктурой и одномерными проводниками

2.1 Гамильтониан системы.

2.1.1 Граничные операторы на полупрямых.

2.1.2 Граничные операторы на двумерной поверхности

2.1.3 Граничные условия.

2.2 Решение задачи рассеяния.

2.3 Случай двух проводников.

2.3.1 Резонансы в коэффициенте прохождения.

2.3.2 Влияние параметров контактов.

2.4 Основные результаты главы.

Глава 3 Электронный транспорт в ограниченных искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками

3.1 Квантовая сфера с двумя проводниками.

3.2 Квантовая сфера с тремя проводниками.

3.3 Двухтерминальное устройство с затвором в виде одномерного проводника.

3.4 Электронный транспорт на поверхности квантового тора

3.5 Основные результаты главы.

Глава 4 Электронный транспорт в квантовом цилиндре с присоединенными проводниками

4.1 Электронный гамильтониан и Q-функция.

4.2 Квантовый цилиндр с одним присоединенным проводником

4.3 Квантовый цилиндр с двумя присоединенными проводниками

4.4 Влияние спина на электронный транспорт

4.5 Основные результаты главы.

Глава 5 Резонансы Брейта—Вигнера и Фано в термоэдс

5.1 Предел низких температур.

5.2 Случай малой ширины резонансов.

5.3 Случай промежуточных температур.

5.4 Основные результаты главы.

Введение диссертация по физике, на тему "Электронный транспорт в искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками"

В последние годы физические свойства квантовых наноструктур привлекают к себе все большее внимание, что обусловлено следующими двумя основными причинами. Во-первых, в данной области физики конденсированного ^ состояния был открыт целый ряд необычных физических эффектов, таких, например, как квантование кондактанса [1-5] в баллистических проводниках, кулоновская блокада туннелирования, резонансы Брейта-Вигнера и Фано в электронном транспорте [6,7], целый [8] и дробный [9,10] квантовые эффекты Холла, универсальные флуктуации кондактанса, эффект Ааронова-Бома [11]. Это дает надежду обнаружить в наноструктурах и другие важные с точки зрения фундаментальной физики эффекты. Во-вторых, исследование наноструктур способствовали не только открытиям фундаментального характера, но и стимулировали прогресс электронной инженерии. Успехи в области нанотехнологий позволяют надеяться применить различные типы наноструктур для создания новых типов электронных устройств. Некоторые наноструктуры, такие как сверхрешетки, квантовые ямы и проволоки уже применяются в современных полупроводниковых технологиях. Другие пока используются для создания прототипов устройств, изготовление которых планируется в будущем.

Одной из наиболее интересных областей возможного применения наноструктур являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры. ^ Сейчас интенсивно ведутся разработки альтернативных концепций проектирования вычислительных устройств. Быстрые логические устройства, работающие на основе квантования потока магнитного поля, могут использоваться в технологии цифровых сверхпроводящих электронных схем. Одноэлектронный транзистор может применяться как запоминающий элемент в устройствах нано-флэш памяти. Диоды, основанные на резонансном туннелировании, находят различные применения, такие как аналого-цифровые преобразователи с частотой 10-100 ГГц, генераторы квантовых импульсов (для часовых устройств), сдвиговые регистры и элементы памяти со сверхнизким потреблением энергии. Таким образом, наноустрой-ства могут найти свое применение в области вычислительной электроники, где обычные кремниевые элементы (из-за ограниченности литографической технологии) не дают сравнимых частот, и где применение криогенной техники, возможно, будет оправдано. Ожидается, что основу компьютера будущего будут составлять массивы наноструктур, обладающих квантовыми когерентными свойствами. Это должно существенно ускорить работу вычислительных устройств, а также сильно их миниатюризировать, что вызовет переворот в компьютерной индустрии. Очевидно, что электронные свойства наноструктур должны быть исследованы до появления технологии их массового изготовления. В связи с этим исследование электронного транспорта в различных наноструктурах является весьма актуальной задачей.

Современная технология производства позволяет создать структуры субмикронных размеров, содержащих 102 — 109 электронов и проявляющие металлические, полупроводниковые или диэлектрические свойства. Такие системы нельзя описывать обычными средствами квантовой механики нескольких частиц: хотя уравнение Шредингера для полной многочастичной волновой функции и может быть написано, из него сложно получить информацию, поскольку его трудно решить даже численно. С другой стороны, мощные методы статистической механики также мало полезны для таких систем, поскольку флуктуации макроскопических величин могут быть сравнимы с их средними значениями.

Наноструктуры представляют собой как бы мост между микрообъектами, такими как атомы и молекулы, и макроскопическими твердыми телами - традиционным объектом изучения физики конденсированного состояния. Эти системы очень интересны для теоретического изучения, так как с одной стороны к ним уже не всегда можно применить методы исследования, характерные для макроскопических твердых тел, а с другой стороны, наноструктуры все еще слишком сложны, чтобы начинать их исследование с микроскопической модели. Другими словами, для изучения таких систем нужно комбинировать статистические методы с методами квантовой механики.

В последнее время возрос интерес исследователей к искривленным проводящим двумерным наноструктурам. Это связано с несколькими причинами. Во-первых, наличие дискретного энергетического спектра электронов на этих поверхностях позволяет осуществлять резонансный транспортный режим в содержащих их устройствах. Во-вторых, характер электронного транспорта на искривленных поверхностях сильно зависит от положения контактов, что делает возможным получение систем с заданными свойствами путем выбора точек присоединения проводников. В-третьих, прогресс в области наноэлектронной инженерии сделал возможным создание искривленных наноструктур в форме сферы [12,13], тора [14,15], цилиндра [16-18] и других поверхностей. Сферические проводящие нанообо-лочки из золота [12] и серебра [13] с диэлектрическим ядром диаметрами от 10 до 250 пт получают методом осаждения металла из раствора в результате химической реакции, цилиндрические и спиральные структуры диаметрами от 4 пт до 4 /¿т и длиной до нескольких миллиметров изготавливают с помощью оригинальной методики сворачивания напряженных слоев СаАвДпАв [17] или Се81/81 [18]. Необходимо также упомянуть и о другом важном типе наноструктур с необычными физическими свойствами - однослойных и многослойных фуллеренах [22], обладающих сферической симметрией, и углеродных нанотрубках, имеющих форму цилиндра, в которых также может осуществляться двумерная проводимость. В зависимости от диаметра и хиральности гексагональной решетки нанотрубки могут проявлять как полупроводниковые, так и металлические свойства [23]. Однослойные углеродные нанотрубки диаметром порядка нанометра являются в настоящий момент одними из самых тонких электрических проводников.

Теоретическое исследование электронного транспорта в этих структурах является практически важной задачей и на сегодняшний день многие аспекты этой проблемы остаются не изученными. Использование искривленных поверхностей в качестве элементов наноэлектронных устройств предполагает присоединение к ним подводящих проводников, без которых невозможна реализация электронного транспорта. При этом возникает проблема теоретического описания контактов между наноструктурой и проводниками. В различных теоретических и экспериментальных работах существует множество походов к решению данной задачи. Так во многих теоретических исследованиях электронного транспорта на поверхности цилиндра токовые контакты считаются подсоединенными к основаниям цилиндра [24-26]. Однако, в работах посвященных кондактансу нанотрубок, рассматривается и другая геометрия эксперимента, когда проводники присоединяются к боковой поверхности [27]. Эта ситуация может быть реализована и в эксперименте [28,29]. В случае квантовой сферы в литературе рассматривается устройство [30], в котором контакты представляют собой сферические сегменты, расположенные на полюсах сферы.

Среди разнообразных модельных устройств, используемых для описания электронного транспорта в искривленных двумерных наноструктурах, следует отметить устройства с точечными контактами. Во-первых, этот случай может быть реализован на практике, например, когда один из проводников представляет собой зонд атомного силового микроскопа [28,29]. Кроме того, контакт между и сферой и плоской поверхностью, а также между двумя скрещенными нанотрубками тоже представляет собой точку. Во-вторых, устройство с точечными контактами интересно с теоретической точки зрения, поскольку в этом случае удается получить явные формулы для матрицы рассеяния устройства, которые могут служить основой для понимания и описания результатов, полученных в других, более сложных и реалистичных моделях.

Необходимо отметить, что теоретическое исследование транспортных свойств электронов в искривленных наноструктурах является довольно сложной проблемой. Поэтому многие теоретические исследования, как правило, ограничиваются лишь слегка модифицированными стартовыми выражениями для известных формул, а далее применяется численное моделирование. Численное исследование, как правило, требует априорного задания достаточно большого числа параметров, которые могут существенно влиять на картину электронного транспорта. Оценить чувствительность результата к вариации всех параметров при численном исследовании практически невозможно. Кроме того, такой подход не всегда позволяет выявить физическую природу различных явлений, а также проанализировать их особенности. Отметим, что аналитическое исследование электронного транспорта в двумерных неплоских наноструктурах в присоединенными проводниками не проводилось до настоящего времени, что связано, по всей видимости, с трудностями, возникающими при моделировании контактов между поверхностью и проводником. В связи с этим возникает проблема диссертационного исследования:

2. построить модель для описания электронного транспорта в двумерных искривленных наноструктурах с присоединенными проводниками; исследовать электронный транспорт на поверхности сферы, цилиндра и тора с присоединенными проводниками;

3. получить удобные для дальнейшего анализа формулы для коэффициентов прохождения и отражения электрона во всех рассматриваемых системах;

4. провести аналитическое и численное исследование зависимости кондак-танса и термоэдс рассматриваемых наноструктур от химического потенциала электронов;

5. исследовать влияние расположения контактов на полученные зависимости;

6. изучить влияние температуры и параметров контактов на электронный транспорт.

Преимуществом рассматриваемой в работе модели является возможность явного учета геометрии наноструктуры, а также влияния положения контактов на электронный транспорт. Как показано ниже, асимметрия в положении контактов оказывает существенное влияние на электронный транспорт, и может приводить к возникновению новых эффектов, таких, как резонансы Фано.

Перечислим основные используемые в диссертации методы и подходы. Для исследования транспортных свойств наноструктур используется формализм Ландауэра-Бьюттикера [1-5], позволяющий связать кондак-танс проводника с одноэлектронными коэффициентами прохождения. Для построения электронного гамильтониана наноструктуры и определения коэффициентов прохождения электрона в работе используется метод, основанный на теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Эта теория позволяет определить вид граничных условий, которые должны быть наложены на волновую функцию в точках контактов. Аналогичный метод использовался в работах [31-33]. Общий подход к моделированию таких контактов разработан в [34]. В диссертации данный метод применен для исследования электронного транспорта на сфере, торе и цилиндре. Для исследования термоэдс рассматриваемых наноструктур используется метод, основанный на формуле Катлера-Мотта [35-37] для коэффициента термоэдс. Также разработан новый подход, основанный на разложении интегралов в ряд Тейлора, для анализа термоэдс в окрестности узких резонансов.

Научная новизна и значимость работы определяется следующими основными результатами теоретического исследования.

3. Показано, что зависимость коэффициента прохождения электрона от энергии носит резонансный характер, причем наряду с симметричными резонансами Брейта-Вигнера имеются и асимметричные резонансы Фано. Найдены положения резонансов, а также выражения, связывающие ширины резонансов с параметрами контактов. Показано, что при определенных положениях контактов наблюдается коллапс резонансов Фано. Найдено легко проверяемое условие коллапса.

6. Исследована зависимость термоэдс наноструктур от химического потенциала в окрестности резонансов Фано и Брейта-Вигнера. Получены явные формулы для коэффициента термоэдс в случаях низких температур и узких резонансов.

Характеризуя практическую значимость работы нужно отметить следующие моменты.

1. Результаты работы могут быть использованы при исследовании особенностей электронного транспорта в таких наноструктурах как фул-лерены, металлические сферические нанооболочки, углеродные нано-трубки различной геометрии, а также цилиндры и другие поверхности, получаемые сворачиванием напряженных слоев СаАз/ЫСаАз.

2. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными может дать ценную информацию о геометрических характеристиках наноструктур, параметрах электронного энергетического спектра в данных системах, эффективной электронной массе и параметрах контактов между поверхностью и проводниками.

3. Анализ резонансной структуры коэффициента прохождения может быть использован при разработке новых резонансных наноэлектрон-ных приборов на базе рассматриваемых систем.

4. Исследования формы резонансных кривых в термоэдс могут служить основой для описания и адекватной интерпретации экспериментальных данных по термоэлектрическому транспорту в наноструктурах.

Разработанные методы могут быть применены также для исследования электронного транспорта в других наноструктурах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [А1-А20], а так же докладывались на международных конференциях "Nanostructures: Physics and Technology" (Санкт-Петербург, 2001 г.), "Fullerenes and Atomic Clusters" (Санкт-Петербург, 2003 г. и 2005 г.), на IV, V и VI всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2002 г., 2003 г., 2004 г.), на I, II и III межрегиональной научной школе для студентов и аспиран-4$ тов "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение" (Саранск, 2002 г., 2003 г., 2004 г.), на IV республиканской научно-практической конференции "Наука и инновации в республике Мордовия" (Саранск, 2004 г.), на VII Российской конференции по физике полупроводников (Москва, 2005), а так же на семинаре кафедры теоретической физики Нижегородского государственного университета (2005 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Зависимость коэффициента прохождения электрона от химического ^ потенциала содержит нули двух различных типов. Нули первого типа возникают при совпадении энергии электрона с собственными значениями гамильтониана двумерной наноструктуры. Их положение не зависит от взаимного расположения точек контактов в отличие от нулей второго типа.

2. В окрестности нулей первого типа коэффициент прохождения имеет вид резонанса Фано. Ширина и асимметричность резонансов зависят от взаимного расположения проводников и от параметров контактов.

3. При определенных положениях контактов возможен коллапс резонансов Фано. Геометрические особенности поверхности приводят к различию в поведении резонансов и нулей коэффициента прохождения.

Симметрия сферы приводит к коллапсу всех резонансов Фано и исчезновению всех нулей при диаметрально противоположном расположении проводников, причем в остальных случаях коллапс не наблюдается. На торе коллапс происходит при многих положениях контактов, но при этом часть нулей коэффициента прохождения сохраняется.

5. Коэффициент прохождения электрона через квантовый цилиндр с двумя присоединенными одномерными проводниками обращается в нуль при совпадении энергии электрона с дискретной составляющей энергетического спектра на цилиндре. Зависимость коэффициента прохождения от энергии электрона имеет излом в этих точках. В окрестности каждого нуля прозрачности присутствует асимметричный пик. При определенных положениях контактов нуль и пик на графике исчезают. В магнитном поле пики коэффициента прохождения расщепляются в дублеты. Зависимость коэффициентов прохождения от спина приводит к дополнительному расщеплению пиков кондактанса, а также к частичной спиновой поляризации прошедших электронов.

6. В окрестности резонансов Брейта-Вигнера термоэдс меняет знак. В окрестности резонансов Фано смена знака происходит дважды, причем порядок чередования знаков зависит от параметра асимметрии для резонансов Фано. В пределе узких резонансов эффективная ширина осцилляции определяется температурой, а амплитуда пропорциональна собственной ширине резонанса. Амплитуда осцилляции зависит от температуры немонотонно, возрастая линейно при низких температурах и убывая пропорционально 1 /Т при высоких по сравнению с шириной резонанса температурах.

Изложение диссертационных исследований построено следующим образом.

В Главе 1 приводится литературный обзор наиболее важных работ, сделанных в области диссертационного исследования.

Глава 2 посвящена построению общей теории присоединения одномерных проводников к двумерной поверхности и решению задачи рассеяния электронов в рассматриваемом устройстве. Получен общий вид граничных условий в точках контактов и электронный гамильтониан системы. В этой же главе проводится анализ общих эффектов, возникающих в электронном транспорте. Изучены условия существования нулей и резонансов коэффициента прохождения. Исследованы форма и параметры резонансов. Получены условия коллапса резонансов Фано. Рассмотрено влияния параметров контактов на электронный транспорт.

В Главе 3 изучается транспорт в квантовой сфере с двумя и с тремя присоединенными проводниками. Исследовано влияние положения контактов на коллапс резонансов Фано. Рассмотрен случай, когда в одном из трех проводников имеется разрыв. Изучен кондактанс квантового тора с двумя присоединенными проводниками.

Глава 4 посвящена изучению электронного транспорта на поверхности цилиндра. Получены коэффициенты отражения и прохождения электрона в случае одного и двух проводников, присоединенных к цилиндру, а также парциальные коэффициенты прохождения электрона в различные состояние рассеяния на цилиндре. Исследована форма коэффициентов отражения и прохождения в окрестности особенностей Ван Хова в плотности состояний. Изучено влияние положения контактов на существование нулей коэффициента прохождения.

В Главе 5 исследуется термоэдс наноструктур в окрестности резонан-сов Брейта-Вигнера и Фано. Рассмотрены случаи различных соотношений между тепловой энергией квТ и полушириной резонансов Г. Получены явные формулы для коэффициента термоэдс в двух предельных случаях. Исследована температурная зависимость амплитуды осцилляции термоэдс. В Заключении приводится краткая сводка основных результатов диссертационной работы.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю В. А. Маргулису за неоценимую помощь при подготовке диссертации, а также соавторам работ: В. А. Гейлеру, Й. Брюнингу, А. С. Панкратову и Е. К. Криворотову.

Обозначения с - скорость света в вакууме е - заряд электрона те - масса свободного электрона т* - эффективная электронная масса

Т - температура кв - постоянная Больцмана

Тг - постоянная Планка

В - вектор индукции магнитного поля

1в = еТь/2тес - магнетон Бора

Ф = В Б - поток магнитного поля через площадь Б

Фо = 27ГсК/е - квант магнитного потока

1 - химический потенциал к = у/2т*Е/Н - волновое число электрона - амплитудный коэффициент прохождения г - амплитудный коэффициент отражения о - электронная функция распределения

С0 = 2е2//г - квант кондактанса

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Основные результаты исследований:

1. Показано, что зависимость коэффициента прохождения от энергии электрона содержит нули двух различных типов. Нули первого типа возникают при совпадении энергии электрона с собственными значениями гамильтониана двумерной наноструктуры, а нули второго типа - с нулями функции С^21(Е). Установлено, что положение всех нулей коэффициента прохождения не зависит от параметров контактов.

5. Исследован электронный транспорт на поверхности проводящего цилиндра, помещенного в продольное магнитное поле, с одномерными проводниками, присоединенными к его боковой поверхности. В случае одного проводника показано, что коэффициент отражения имеет пики, доходящие до единицы, при совпадении энергии электрона с дискретной составляющей энергетического спектра на цилиндре. В случае двух проводников показано, что коэффициент прохождения обращается в нуль в этих же точках. В окрестности каждого нуля коэффициента прохождения присутствует асимметричный пик. Найдены положения контактов, при которых нули на графике исчезают. Показано, что магнитное поле приводит к расщеплению пиков и к исчезновению нулей коэффициента прохождения.

Список публикаций автора

Al. Briining J., Geyler V. A., Margulis V. A., Pyataev M. A. Ballistic conductance of a quantum sphere // J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - V. 35. - P. 42394247.

A2. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Пятаев M. A. Резонансное туннелиро-вание через двумерную наноструктуру // ЖЭТФ. - 2003. - Т. 124. -№ 4. - С. 851-861.

A3. Margulis V. A., Pyataev M. A. Fano resonances in a three-terminal nanodevice // J. Phys.: Condens. Matter. - 2004. - V. 16. - P. 4315-4323.

A4. Маргулис В. А., Панкратов А. С., Пятаев M. A. Резонансы Брейта-Вигнера и Фано в термоэдс наноструктур // Известия вузов. Поволжский регион. Естественные науки. - 2004. - № 5(14). - С. 66-73.

А5. Margulis V. A., Pyataev M. A. Electron transport on a cylindrical surface with one-dimensional leads // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 72. - P. 0753121-8.

A6. Briining J., Geyler V. A., Margulis V. A., Pyataev M. A. Ballistic conductance of a quantum sphere // 9th Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology": Proceedings. June 18-22 2001. - St. Petersburg, 2001. -P. 367-371.

A7. Пятаев M. А., Маргулис B.A. Электронный транспорт через квантовый тор с присоединенными одномерными проводниками // Четвертая всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике: Тезисы докладов.

3-6 декабря 2002 г. - Санкт-Петербург, 2002. - С. 59.

А8. Пятаев М. А. Резонансы Брейта-Вигнера и Фано в квантовом торе с присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение": Сборник трудов межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 11-13 ноября 2002 г. - Саранск, 2002. - С. 39.

А9. Geyler V. А. , Margulis V. А., Pyataev М. А. Resonance tunneling through а quantum torus // The 6-th International Workshop in Russia "Fullerenes and Atomic Clusters". IWFAC'03: Abstracts of invited lectures and contributed papers. June 30 - July 4, 2003. - St.Petersburg, 2003. - P. 241.

A10. Пятаев M. А., Маргулис В. А. Электронный транспорт через трех-терминальное наноустройство // Пятая всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто-и наноэлектронике: Тезисы докладов. 1-5 декабря 2003 г. - Санкт-Петербург, 2003. - С. 61.

All. Пятаев М. А. Термоэдс квантовой сферы с присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические ■ свойства и применение": Сборник трудов второй межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 13-15 октября 2003 г. - Саранск, 2003. - С. 49.

А12. Маргулис В. А., Пятаев М. А. Электронный транспорт в трехтерми-нальном наноустройстве // Физическое и химическое материаловедение. Сборник научных трудов, посвященный десятилетию Института физики и химии. - Саранск: Изд-во Мордовского ГУ, 2004. - С. 13-23.

А13. Пятаев М. А., Маргулис В. А. Электронный транспорт в квантовом цилиндре с присоединенными проводниками // Шестая всероссий-екая молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике: Тезисы докладов. 6-10 декабря 2004 г. - Санкт-Петербург, 2004. - С. 71.

А14. Пятаев М. А., Маргулис В. А. Электронный транспорт в кольце Ааро-нова-Бома с присоединенными проводниками // Шестая всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике: Тезисы докладов. 6-10 декабря 2004 г. - Санкт-Петербург, 2004. - С. 76.

А15. Пятаев М. А. Электронный транспорт на цилиндрической поверхности с присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение": Сборник тру-Ч*- дов межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 6-8 октября 2004 г. - Саранск, 2004. - С. 41.

А17. Криворотов Е. К., Пятаев М. А. Электронный транспорт через квантовое кольцо с тремя присоединенными проводниками // "Материалы нано-, микро-, и оптоэлектроники: физические свойства и применение": Сборник трудов межрегиональной научной школы для студентов и аспирантов. 6-8 октября 2004 г. - Саранск, 2004. - С. 35.

A20. Маргулис В. А., Пятаев M. А. Резонансы Брейта-Вигнера и Фано в термоэдс наноструктур //VII Российская конференция по физике полупроводников: Тезисы докладов. 18-23 сентября 2005. - Москва, 2005. - С. 251.

Заключение

В диссертации проведено теоретическое исследование электронного транспорта в искривленных двумерных наноструктурах таких как сфера, тор и цилиндр с присоединенными одномерными проводниками. Получены явные формулы для матрицы рассеяния системы. Исследовано положение и форма резонансов в кондактансе и термоэдс этих структур.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Пятаев, Михаил Анатольевич, Саранск

1. Laundauer R. // IBM J. Res. Dev. 1957. - V. 1. - R 223.

2. Шарвин Ю. В. // ЖЭТФ. 1965. - Т. 48. - С. 984.

3. Landauer R. // Philos. Mag. 1970. - V. 21. - P. 863.

4. Laundauer R. // IBM J. Res. Dev. 1988. - V. 32. - P. 306.

5. Büttiker M. // Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 57. - P. 1761.

6. Göres J., Goldhaber-Gordon D., Heemeyer S., Kastner M. A., Shtrik-man H., Mahalu D., Meirav U. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 62. -P. 2188.

7. Zacharia I. G., Goldhaber-Gordon D., Granger G., Kastner M.A., Khavin Yu.B., Shtrikman H., Mahalu D., Meirav U. // Phys. Rev. B. -2001. -V. 64. P. 155311.8. von Klitzing K., Dorda G., Pepper. M. // Phys. Rev. Lett. 1980. - V. 45. - P. 494.

8. Tsui D. C., Störmer H. L., Gossard A.C. // Phys. Rev. Lett. 1982. -V. 48. - P. 1559.

9. Laughlin R. B. // Phys. Rev. Lett. 1983. - V. 50. - P. 1395.

10. Aharonov Y., Böhm D. // Phys. Rev. 1959. - V. 115. - P. 485; // Phys. Rev. - 1961. - V. 123. - P. 1511.

11. Zhou H. S., Honma I., Komiyama H., Haus J. W. // Phys. Rev. B. -1994. V. 50. - P. 12052.

12. Jackson J. В., Halas N. J. // J. Phys. Chem. B. 2001. - V. 105. -P. 2743.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.1.u J., Dai H., Hafner J.H., Colbert D.T., Smalley R.E., Tans S.J., Dekker C. // Nature. 1997. - V. 385. - R 780.

13. Shea H. R., Martel R., Avouris Ph. // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84.- 4441.

14. Golod S.V., Prinz V.Ya., Mashanov V.l., Gutacovsky A.K. // Semicond.

15. Sei. Technol. 2001. - V. 16. - P. 181.

16. Prinz V. Ya. // Physica E. 2004. - V. 24. - P. 54.

17. Prinz V. Ya. // Physica E. 2004. - V. 23. - P. 260.

18. Vorob'ev A.B., Prinz V.Ya., Yukecheva Yu.S., Toropov A.I. // Physica

19. E. 2004. -V. 23. - P. 171.

20. Pichler Т., Knupfer M., Golden M. S., Fink J., Cabioch T. // Phys. Rev.

21. B. 2001. -V. 63. - P. 155415.

22. Dekker C. // Phys. Today. 1999. - V. 52. - P. 22.

23. Chaplik A. V., Magarill L. I., Romanov D. A. // Physica B. 1998.1. V. 249. P. 377.

24. Магарилл JI. И., Романов Д. А., Чаплик А. В. // ЖЭТФ. 1998. -Т. 113. - С. 1411.

25. Margulis V. A., Shorokhov А. V., Trushin М. Р. // Physics Letters А. -2000. V. 276. - Р. 180.

26. Chibotaru L. F., Compernolle S., Ceulemans A. // Phys. Rev. В. 2003.- V. 68. P. 125412.

27. Bachtold A., Fuhrer M. S., Plyasunov S., Forero M., Anderson E. H., Zettl A., McEuen P. L. // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84. - P. 6082.

28. Yaish Y., Park J.-Y., Rosenblatt S., Sazonova V., Brink M., McEuen P. L. 11 Phys. Rev. Lett. 2004. - V. 92. - P. 046401.

29. Foden C. L., Leadbeater M. L., Pepper M. // Phys. Rev. B. 1995. -V. 52. - P. 8648.

30. Exner P., Seba P. // J. Math. Phys. 1987. - V. 28. - P. 386.

31. Kiselev A. // J. Math. Anal. Appl. 1997. - V. 212. - P. 263.

32. Pavlov B. S., Popov I. Yu., Geyler V. A., Pershenko O. S. // Europhys. Lett. 2000. - V. 52. - P. 196.

33. Brüning J., Geyler V. A. // J. Math. Phys. 2003. - V. 44. - P. 371.

34. Cutler M., Mott N. F. // Phys. Rev. 1969. - V. 181. - P. 1336.

35. Sivan U., Imry Y. // Phys. Rev. B. 1986. - V. 33. - P. 551.

36. Streda P. //J. Phys.: Condens. Matter. 1989. - V. 1. - P. 1025.

37. Anderson P. W. // Phys. Rev. B. 1981. - V. 23. - P. 4828.

38. Lee P. A., Fisher D. S. // Phys. Rev. Lett. 1981. - V. 47. - P. 882.

39. Langreth D. C., Abrahams E. // Phys. Rev. B. 1981. - V. 24. - P. 2978.

40. Azbel M. Ya. // J. Phys. C. 1981. - V. 14. - P. L225.

41. Büttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. // Phys. Rev. B. 1985. - V. 31. - P. 6207.

42. Демиховский В. Я., Вугалтер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных структур. М.: Логос. 2000. - 248 с.

43. Datta S. Electronic transport in mesoscopic systems. Cambridge Univ. Press. 2002.45. van Wees B. J., van Houten H., Beenaker C. W. J. Williamson J. G., Kouwenhoven L. P., van der Marel D., Foxon C.T. // Phys. Rev. Lett. -1988. V. 60. - P. 848.

44. Wharam D.A., Thornton T.J., Newbury R. et al. //J. Phys. 1988. -V. 21. - P. L209.

45. Гейлер В.А., Маргулис В.А., Филина Л.И. // ЖЭТФ. 1998. - Т. 113. - С. 1376.

46. Geyler V. A., Margulis V. А. // Physica Е. 1999. - V. 4. - № 2. -Р. 128.

47. Geyler V. A., Margulis V. А. // Phys. Rev. В. 2000. - V. 61. - Р. 1716.

48. Fertig Н. A., Halperin В. I. // Phys. Rev. В. 1987. - V. 36. - Р. 7969.

49. Buttiker М. // Phys. Rev. В. 1990. - V. 41. - Р. 7906.

50. Bogachek Е. N., Scherbakov A. G., Landman U. // Phys. Rev. В. 2000.- V. 62. P. 10467.

51. Leng M., Lent С. S. // Phys. Rev. Lett. 1993. - V. 71. - P. 137.

52. Leng M., Lent C. S. // Phys. Rev. B. 1994. - V. 50. - P. 10823.

53. Nikolic K., Sordan R. // Phys. Rev. B. 1998. - V. 58. - P. 9631.

54. Nikolic K., MacKinnon A. // Phys. Rev. B. 1994. - V. 50. - P. 11008.

55. Tan W.-C., Inkson J. C. // Phys. Rev. B. 1999. - V. 60. - P. 5626.

56. Okamoto M., Uda Т., Takayanagi K. // Phys. Rev. B. 2001. - V. 64.- P. 33303.

57. Imamura H., Kobayashi N., Takahashi S., Maekawa S. // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84. - P. 1003.

58. Tamura H., Ando T. // Phys. Rev. B. 1991. - V. 44. - P. 1792.

59. Kim C. S., Satanin A. M. // Phys. Rev. B. 1999. - V. 60. - P. 10962.

60. Ким Ч. С., Сатанин A. M. // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - С. 211.

61. Ким Ч. С., Сатанин А. М., Джо Ю. С., Косби Р. М. // ЖЭТФ. -1999. V. 116. - Р. 263.

62. Kim С. S., Satanin А. М. // Physica Е. 1999. - V. 4. - Р. 211.

63. Ким Ч. С., Рознова О. Н., Сатанин А. М., Штенберг В. Б. // ЖЭТФ.- 2002. V. 121. - Р. 1157.

64. Kim С. S., Satanin A. M. // J. Phys.: Condens. Matter. 1998. - V. 10. - P. 10587.67 6869 70 [71 [727374 757677 78 [7980

65. Ким Ч. С., Сатанин А. М., Штенберг В. Б., // ЖЭТФ. 2000. - Т. 118. - С. 413.

66. Breit G., Wigner Е. // Phys. Rev. 1936. - V. 49. - P. 519.

67. Fano U. // Phys. Rev. B. 1961. - V. 104. - P. 1866.

68. Nöckel J. U., Stone A. D. // Phys. Rev. B. 1994. - V. 50. - P. 17415.

69. Kobayashi K., Aikawa H., Katsumoto S., Iye Y. // Phys. Rev. Lett. -2002. V. 88. - P. 256806.

70. Kim J., Kim J.-R., Lee Jeong-O., Park J. W., So H. M., Kim N., Kang K., Yoo K.-H., Kim J.-J. // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 90. - P. 166403.

71. Babic В., Schönenberger С. // Phys. Rev. В. 2004. - V. 70. - P. 195408.

72. Chang L. L., Esaki L., Tsu R. // Appl. Phys. Lett. 1974. - V. 24. -P. 593.

73. Zaslavsky A., Li Y.P., Tsui D.C., Santos M., Shayegan M. // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 1374.

74. Ryu C.-M., Cho S. Y. // Phys. Rev. B. 1998. - V. 58. - P. 3572.

75. Sun Q., Wang J., Lin T. // Phys. Rev. B. 1999. - V. 60. - P. R13981.

76. Баграев H. Т., Буравлев А. Д., Иванов В. К. и др. // ФТП. 2000. -Т. 34. - вып. 7. - С. 846.

77. Гейлер В. А., Демидов В. В., Маргулис В. А. // ЖТФ. 2003. - Т. 73. - вып. 6. - С. 1.

78. Ткаченко О. А., Ткаченко В. А., Бакшеев Д. Г. и др. // Письма в ЖЭТФ. 2000. - Т. 71. - вып. 6. - С. 366.

79. Быков А. А., Бакшеев Д. Г., Литвин Л. В. и др. // Письма в ЖЭТФ. 2000. - Т. 71. - вып. 10. - С. 631.

80. Быков А. А., Бакаров Д. Г., Литвин Л. В. и др. // Письма в ЖЭТФ.- 2000. Т. 72. - вып. 4. - С. 300.

81. Murray С. В., Norris D. J., Bawendi М. G. // J. Am. Chem. Soc. 1993.- V. 11. P. 8706.

82. Salvarezza R. C., Vázquez L., Miguez H., Mayoral R., López С., Meseguer F. // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. - P. 4572.

83. Romanov S. G., Johnson N. P., Fokin A. V., Butko V. Y., Yates H. M., Pemble M. E., Sotomayor Torres С. M. // Appl. Phys. Lett. 1997. -V. 70. - P. 2091.

84. Averitt R. D., Sarkar D., Halas N. J. // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78. - P. 4217.

85. Averitt R. D., Westcott S. L., Halas N. J. // Phys. Rev. B. 1998. - V. 58. - P. R10203.

86. Diao J. J., Chen G. D. // J. Phys. D. 2001. - V. 34. - P. L79.

87. Xia J. -В., Li J. // Phys. Rev. B. 1999. - V. 60. - P. 11540.

88. Martinos S. S. // Phys. Rev. B. 1989. - V. 39. - P. 1363.

89. Ruppin R. // Phys. Rev. B. 1992. - V. 45. - P. 11209.

90. Miguez H., Blanco A., Meseguer F., López С., Yates H. M., Pemble M.

91. E., Fornés V., Mifsud A. // Phys. Rev. B. 1999. - V. 59. - P. 1563.

92. Ohtaka K., Suda Y., Nagano S., Ueta Т., Imada A., Koda Т., Bae J. S., Mizuno K., Yano S., Segawa Y. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61. -P. 5267.

93. Аристов Д. H. // Письма в ЖЭТФ. 1999. - Т. 70. - С. 405.

94. Malits P., Vagner I. D. // J. Phys. А. 1999. - V. 32. - P. 1507.

95. Aoki H., Suezawa H. // Phys. Rev. A. 1992. - V. 46. - P. R1163. ^ 98] Aristov D. N. // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 60. - P. 2851.

96. Bulaev D. V., Geyler V. A., Margulis V. A. // Phys. Rev. B. 2000. -V. 62. - P. 11517.

97. Wojs A., Quinn J. J. 11 Physica E. 1998. - V. 3. - P. 181.

98. Entin M. V., Magarill L. I. // Phys. Rev. B. 2001. - V. 64. - P. 085330.

99. Sasaki K. // Phys. Rev. B. 2001. - V. 65. - P. 155429.

100. Liu L., Guo G.Y., Jayanthi C. S., Wu S.Y. // Phys. Rev. Lett. 2002.- V. 88. P. 217206.

101. Магарилл JI. И., Романов Д. А., Чаплик А. В. // Письма в ЖЭТФ.- 1996. V. 64. - С. 421.

102. Магарилл Л. И., Чаплик А. В. // ЖЭТФ. 1999. - V. 115. - С. 1478.

103. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Шорохов А. В. // ЖЭТФ. 1999. - V. 115. - С. 1450.

104. Prank S., Poncharal P., Wang Z. L., de Heer W. A. // Science. 1998.- V. 280. P. 1744.

105. Kasumov A., Kociak M., Ferrier M., Deblock R., Gueron S., Reulet В., Khodos I., Stephan O., Bouchiat H. // Phys. Rev. B. 2003. - V. 68. -214521.

106. Javey A., Guo J., Paulsson M., Wang Q., Mann D., Lundstrom M., Dai H. // Phys. Rev. Lett. 2004. - V. 92. - P. 106804.

107. Yao Z., Kane C. L., Dekker C. // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84. -P. 2941.

108. Wind S. J., Appenzeller J., Avouris Ph. // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 91. - P. 058301.

109. Nardelli M. B. // Phys. Rev. B. 1999. - V. 60. - P. 7828.

110. Choi H. J., Ihm J. // Solid State Commun. 1999. - V. 111. - P. 385.

111. M. P. Anantram, T. R. Govindan, // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61. -P. 5020.

112. Sanvito S., Kwon Y.-K., Tomanek D., Lambert C. J. // Phys. Rev. Lett.- 2000. V. 84. - P. 1974.116.117.118.119.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.

113. Uryu S. // Phys. Rev. B. 2004. - V. 69. - P. 075402.

114. Dag S., Senger R. T., Ciraci S. // Phys. Rev. B. 2004. - V. 70. -P. 205407.

115. Ando T. // Semicond. Sci. Technol. 2000. - V. 15. - P. R13. Fagas G., Cuniberti G., Richter K. // Phys. Rev. B. - 2001. - V. 63. -P. 045416.

116. Gutierrez R., Fagas G., Cuniberti G., Grossmann F., Schmidt R., Richter K. // Phys. Rev. B. 2002. - V. 65. - P. 113410.

117. Kong J., Yenilmez E., Tombler T. W., Kim W., Dai H., Laughlin R. B., Liu L., Jayanthi C. S., Wu S. Y. // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 87. -P. 106801.

118. Gao B., Komnik A., Egger R., Glattli D. C., Bachtold A. // Phys. Rev. Lett. 2004. - V. 92. - P. 216804.

119. Appleyard N. J., Nickolls J. T., Simmons M. Y., Tribe W. R., Pepper M. // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 3491.

120. Butcher P. N. // J. Phys.: Condens. Matter. 1990. - V. 2. - P. 4869. Anderson P. W., Abrams E., Ramakrishnan T. V. // Phys. Rev. Lett. -1979. - V. 43. - P. 718.

121. Proetto C. R. // Phys. Rev. B. 1991. - V. 44. - P. 9096. Bogachek E. N., Jonson M., Shekhter R. I., Swahn T. // Phys. Rev. B.- 1994. V. 50. - P. 18341.

122. Bogachek E. N., Scherbakov A. G., Landman U. // Phys. Rev. B. 1996.- V. 54. P. R11094.

123. Rejec T., Ramsak A., Jefferson J. H. // Phys. Rev. B. 2002. - V. 65.- P. 23301.

124. Margulis V. A., Shorokhov A. V. //J. Phys.: Condens. Matter. 2003.- V. 15. P. 4181.

125. Kokurin I. A., Margulis V. A., Shorokhov A. V. // J. Phys.: Condens. Matter. 2004. - V. 16. - P. 8015.

126. Yamada S., Yamatoto M. // Semicond. Sci. Technol. 1992. - V. 7. -P. 8289.

127. Dzurak A. S., Smith C. G., Martin-Moreno L., Pepper M., Ritchie D. A., Jones G. A. C., Hasko D. G. // J. Phys.: Condens. Matter. 1993. - V. 5. - P. 8055

128. Ludoph B., van Ruitenbeek J. M. // Phys. Rev. B. 1999. - V. 59. -P. 12290.

129. Heremans J. P., Thrush C. M., Morelli D. T., Wu M.-C. // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 91. - P. 076804.

130. Strunk C., Henny M., Schonenberger C. // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 2982.

131. Beenakker C. W. J., Staring A. A. M. // Phys. Rev. B. 1992. - V. 46.- P. 9667.

132. Dzurak A. S., Smith C. G., Barnes C. H. W., Pepper M., Martin-Moreno L., Liang C. T., Ritchie D. A., Jones G. A. C. // Phys. Rev. B.- 1997. V. 55. - P. 10197.

133. Moiler S., Buhmann H., Godijn S. F., Molenkamp L. W. // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 5197.

134. Godijn S. F., Moller S., Buhmann H., Molenkamp L. W., Van Langen S. A. // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82. - P. 2927.

135. Pogosov A. G., Budantsev M. V., Uzur D., et al. // Phys. Rev. B. 2002.- V. 66. P. 201303.

136. Smith T., Tsaousidou M., Fletcher R., Coleridge P. T., Wasilewski Z. R., Feng Y. // Phys. Rev. B. 2003. - V. 67. - P. 155328.

137. Galkin N. G., Margulis V. A., Shorokhov A. V. // Fullerenes, nanotubes and carbon nanostructures. 2004. - V. 12. - P. 129.144.145.146.147.148.149.150.151.152.153.154.155.156.157.158.159.160.

138. Chu C.S., Chou M.-H. // Phys. Rev. B. 1994. - V. 19. - P. 14212. Clerk A. A., Waintal X., Brouwer P. W. // Phys. Rev. Lett. - 2001. -V. 86. - P. 4636.

139. Bulka B. R., Stefanski P. // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 86. - P. 5128. Torio M. E., Hallberg K., Ceccatto A. H. et al. // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 65. - P. 085302.

140. Павлов Б. С. // Успехи мат. наук. 1987. - Т. 42. - Вып. 6, С. 99. Альбеверио С., Гестези Ф., Хоэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. - М.: Мир, 1991. 568 с.

141. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука. -1973. -296 с.

142. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физ.-мат. ГИЗ. -1962.

143. Карпешина Ю. Е. // ТМФ. 1983. - V. 57. - Р. 304.

144. Ехпег Р., Gavlista R., Seba Р., Tater М. // Ann. Phys. 1996. - V. 252. - Р. 133.

145. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Чучаев И. И. // ФТТ. 1995. - Т. 37. - С. 837.

146. Koch J., Oppen F., Oreg Y., Sela E. // Phys. Rev. B. 2004. - V. 70. -P. 195107.