Энергетические затраты при ходьбе антропоморфных роботов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Энергетические затраты при перемещении звена шагающего аппарата с помощью электропривода

1.1. Постановка задачи. Уравнения движения маятника, управляемого двигателем постоянного тока.

1.2. Алгоритм расчета энергетических затрат при перемещении маятника.

1.3. Результаты численного исследования энергетических затрат при движении электромеханической системы

1.4. Оптимальные по энергии законы управления маятником в линеаризованной задаче.

1.5. Влияние возмущений на движение электромеханической системы.

1.6. Интерполяционный полином Лагранжа четвертого порядка.

Глава 2. Исследование энергетических затрат многозвенного шагающего аппарата.

2.1. Постановка задачи. Вывод уравнения движения пятизвенного шагающего аппарата при помощи общих теорем.

2.2. Вывод уравнения движения шагающего аппарата с электроприводом при помощи уравнений Лагранжа-Максвелла.

2.3. Метод наискорейшего градиентного спуска.

2.4. Результаты расчета энергетических затрат при движении многозвенного шагающего аппарата.

2.5. Сравнение оптимальных траекторий со свободным движением шагающего аппарата.

2.6. О решении краевых задач для линейных систем.

2.7. Метод Ньютона-Рафсона.

2.8. Результаты численных решений со свободным движением шагающего аппарата.

2.8.1. Линеаризованная задача.

2.8.2. Нелинейная система.

Глава 3. Задача о колебаниях корпуса двуногого шагающего аппарата на равномерно вращающейся ноге.

3.1. Постановка задачи. Уравнения движения корпуса шагающего аппарата.

3.2. Решение краевой задачи в линейном случае.

3.3. Метод малого параметра.

3.4. Алгоритм решения задачи о колебаниях корпуса двуногого шагающего аппарата.

А. Общая характеристика проблемы Проблемы разработки шагающих роботов в настоящее время являются весьма актуальными, их решение требует использования многих достижений научно-технического прогресса. Возможные области применения антропоморфных роботов весьма широки и постоянно увеличиваются. Это и роботы для выполнения операций в опасных для человека ситуациях (борьба с терроризмом, разминирование, пожаротушение и т.д.), и роботы для ведения домашнего хозяйства (уборка помещений, роботы-няни). Появляются многочисленные запросы индустрии развлечений (информационные роботы, различные игрушки, роботы-экскурсоводы в музеях, спарринг - партнеры для спортсменов). Медицинские приложения привели к появлению роботов-экзоскелетонов, которые предназначены для восстановления двигательных функций ног больного человека (медицинские роботы-экзоскелетоны) или для технического усиления мощности нижних конечностей здорового человека (роботы-усилители). Очень важными считаются военные применения антропоморфных роботов. Интенсивно решается задача создания гуманоидных роботов-футболистов, в ходе выполнения которой к 2050 году планируется создание команды роботов, способной обыграть лучшую футбольную команду планеты.

Создание шагающего аппарата - сложная задача механики и теории управления. Она требует решения многих взаимосвязанных проблем, таких как создание автономных источников питания, двигателей, разлгчк £>1х датчиков, включая системы технического зрения и т.д.

К числу весьма сложных проблем в создании шагающих аппаратов следует отнести алгоритмические проблемы, так как антропоморфны« шагающие аппараты представляют собой мехатронные объекты с болши**" числом степеней свободы, которые описываются исключительно громоздкими математическими моделями.

Проблемы управления шагающими объектами являются сравнительно новыми с точки зрения, как теории управления, так и теоретической механики. С появлением новых объектов исследования часто возникают и новые методы управления. Поэтому можно надеяться, что бурное развитие техники в настоящее время будет способствовать решению возникающих проблем [56].

Достаточно важной задачей, требующей своего решения при создании мобильных робототехнических систем, в том числе и антропоморфных шагающих роботов, является минимизация энергетических затрат при их движении.

Несмотря на то, что расчёт энергетических затрат робототехнических систем производился многими авторами, исследование их оптимизации, несмотря на всю его важность, до сих пор нельзя считать завершённым. Дело в том, что в отличие от традиционного расчёта механических затрат, когда, согласно правилам теоретической механики, для консервативных систем, работа потенциальных сил по замкнутому контуру равняется нулю, для реальных робототехнических устройств, а также для биомеханических объектов, работа при движении по замкнутому контуру отлична от нуля. Например, при спуске с лестницы и поднятии вверх работа, совершаемая с точки зрения механики, нулевая. Тем не менее, процесс спуска и шагающего аппарата, и человека сопровождается необратимыми затратами энергии. Поэтому в задачах оптимизации энергетических затрат требуется использовать другие функционалы и их выбор, вообще говоря, не является тривиальной задачей.

Цель данной работы состоит в развитии и углублении методов расчёта энергетических затрат при ходьбе двуногого шагающего аппарата. Проводится разработка аналитических и компьютерных методов для исследования математических моделей двуногого шагающего аппарата при заданной синергии на интервале времени в начале и конце одноопорной фазы, определяемой интерполяционными полиномами Лагранжа третьего и четвертого порядков. Значительное внимание в работе уделяется визуализации исследуемого процесса ходьбы с помощью систем компьютерной алгебры МаШетайса 4.2

Б. Обзор предшествующих исследований.

Проблемы, рассматриваемые в диссертации, привлекали и привлекают внимание многих специалистов, они неоднократно обсуждались и продолжают обсуждаться на большом числе конференций и симпозиумов. Библиография, посвященная исследованиям антропоморфных роботов, содержит огромное число работ. Поэтому ограничимся только кратким описанием различных подходов к обсуждаемому кругу проблем, связанных с вопросами расчёта энергетических затрат антропоморфных шагающих аппаратов.

Идея создания «робота» - антропоморфного устройства, имитирующего физические, двигательные и умственные функции человека, возникла достаточно давно. Впервые слово «робот» (производное от чешского «робота» - барщина, подневольный труд) употребил в своей пьесе «Р. У. Р.» («Россумские универсальные роботы»), поставленной 21 января 1921 г. в Пражском национальном театре, чешский писатель Карел Чапек. В настоящее время робототехника стала одной из ключевых областей научно-технического прогресса, которая аккумулирует усилия огромного числа ученых и инженеров во многих странах мира.

В монографиях [38,39,45] фактически можно найти изложение большинства основных проблем робототехники, проанализированы технико-экономические и социальные аспекты роботизации производства, при этом понятие робот используется для обозначения принципиально нового класса машин. В [38,39,45] подробно описан состав этого класса, его структура и дана общая классификация.

Шагающие, в том числе двуногие, роботы представляют собой многозвенные системы с относительно большим числом степеней свободы. Составление дифференциальных уравнений, описывающих движение таких систем, вызывает значительные технические трудности. В связи с этим возник цикл работ, касающихся техники составления уравнений движения, а также использования для их составления систем аналитических вычислений (см., например, [16,25,42,52]).

Обобщение и систематизация ряда работ по исследованию шагающих роботов и антропоморфных механизмов содержатся в монографии М. Вукобратовича [17]. В этой монографии предлагаются оригинальные методы решения указанных проблем и приводятся данные результатов разработки и испытания первого действующего макета шагающего антропоморфного робота типа «экзоскелетона».

В монографии [56] рассматриваются задачи управления ходьбой плоских пяти - семизвенных антропоморфных механизмов, перемещающихся на двух ногах. Основное внимание в [56] уделяется построению управления двуногим шагающим аппаратом путём приложения импульсных воздействий. Нахождение такого импульсного управления позволяет синтезировать походки шагающего аппарата с помощью движений, происходящих по инерции (баллистических).

Изучение процесса ходьбы требует исследования динамических задач, оценки энергетических затрат при ходьбе и построения алгоритмов управления ходьбой. В монографии В. В. Белецкого [2] предлагается модельное описание процесса ходьбы двуногих устройств. Построенная модельная теория применима к техническим системам (роботы, экзосклето-ны, скафандры) и к биологическим двуногим объектам (человек, птицы, динозавры).

Задачи посвященные исследованию энергетических затрат, рассматриваются также в монографиях [17,31,56]. Энергетические затраты зависят от конструкции аппарата, режима работы, программного движения, типа двигателей и самого определения понятия «энергетические затраты». В [2] приводятся решения модельных задач энергетики ходьбы и бега для простейших моделей шагающих аппаратов с невесомыми ногами, а также обсуждаются вопросы кинематики и динамики переноса весомых конечностей. В [56] проведено численное исследование одноопорной и двухопор-ной фаз движения и даны оценки энергии, затрачиваемой на импульсное управление ходьбой механизма. В этой монографии также решена задача оптимизации, в смысле энергетических затрат, импульсного управления однозвенным маятником. Проведенные численные исследования показывают, что при импульсном управлении двуногой ходьбой расход энергии оказывается меньше, чем при других видах управления звеньями шагающего аппарата.

В работах [29,30] даны модельные оценки энергозатрат на передвижение статически устойчивых шагающих аппаратов и проведено их сравнение с результатами исследований энергозатрат различных транспортных средств. Обсуждается проблема рекуперации энергии при движении шагающего аппарата.

В работе [48] рассматривается задача влияния удара на движение и энергетику двуногого шагающего аппарата. Приведен пример численных расчётов задачи параметрической оптимизации удельных энергозатрат.

В работах [53,54] рассматриваются задачи минимизации энергозатрат при выполнении роботами транспортных операций. В [53] обсуждаются особенности приводов различных типов с энергетической точки зрения. Методами теории оптимального управления решается задача о переводе двухзвенного манипулятора из данной начальной конфигурации в конечную с минимальными энергозатратами. В [54] приведен пример численного решения задачи о перемещении груза из начальной точки в конечную при помощи трехзвенного манипулятора с минимальными затратами энергии.

В работе [12] приводится теоретическое исследование задачи минимизации функционала биомеханических энергозатрат. Приводятся примеры применения результатов этих исследований к задачам управления роботом-манипулятором и задачам синтеза управления статически неустойчивыми походками шагающих механизмов.

В работах [4-9, 17, 28] используется подход, связанный с полуобратным или обратным методами решения задачи динамики шагающих аппаратов. Полуобратный метод состоит в том, что движения некоторых звеньев аппарата (обычно звеньев ног) задаются, а движения других звеньев -компенсирующие - находятся с помощью условий периодичности. При этом удаётся найти необходимые управляющие воздействия в суставах. Обратный метод, используемый в работе [5], состоит в том, что движение всех звеньев модели задаётся в виде функций времени, содержащих неизвестные параметры. При этом среди задаваемых находятся также функции, которые описывают движения, не похожие на ходьбу человека. Затем параметры определяются из условий минимизации функционала, характеризующего затраты энергии на управление, или какого-либо другого функционала. Таким образом, осуществляется параметрическая оптимизация. Предположение об отсутствии веса ног, которое вводится в работах [4,8,28], упрощает решение задачи.

В работах [1,10,11,24,26,40,41] предлагаются и анализируются методы управления ходьбой шагающих аппаратов при помощи систем автоматического управления с «большими» коэффициентами усиления, которые используются в режиме отслеживания программных траекторий. Эти траектории могут задаваться законами изменения межзвенных углов аппарата либо каких-нибудь других характеристик движения аппарата. Математические вопросы, возникающие при использовании этого подхода, решаются методами теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной [14,15].

Для перемещения звеньев роботов и управления ими необходимы приводные системы. Они могут быть электромеханическими, гидравлическими, пневматическими или представлять собой комбинацию этих трёх типов. Для мощностей двигателей менее 1 кВт обычно используется электрические двигатели, характеризующиеся малым запаздыванием, питающиеся легкодоступной электроэнергией и обладающие приемлемыми для практики массогабаритными показателями [22]. Одним из перспективных типов приводов роботов является шаговый электрический привод, в особенности со встроенным компьютерным управлением. Шаговый электропривод может содержать шаговый управляющий двигатель, соединенный с промежуточным усилителем момента и с силовым шаговым двигателем, соединенным непосредственно с исполнительным механизмом через редуктор. Управление шаговым приводом может осуществляться по разомкнутой (без обратной связи) и по замкнутой схеме (с обратной связью). При управлении шаговым двигателем без обратной связи количество управляющих импульсов пропорционально угловому или линейному перемещению, а частота их следования определяет скорость движения выходного вала. Результаты теоретических и практических исследований электромеханических приводов роботов можно найти в монографиях [22,27,36,58,64,66].

В книге [34] изложены основы теории и соответствующий математический аппарат, используемый при исследовании электромеханических систем. Динамические режимы таких систем осуществляются как следствие электромеханического преобразования энергии. При этом в состав электромеханических систем должны входить механические и электромагнитные системы, способные накапливать механическую энергию и энергию электромагнитного поля, а также элементы, посредством которых между упомянутыми составными частями осуществляется взаимодействие. Изучение электромеханических систем включает в себя описание и исследование их составных частей. Если рассматриваются системы с сосредоточенными параметрами (системы с конечным числом степеней свободы), то для анализа электромеханических систем можно использовать приемы и методы теоретической механики [18,33,35]. Электромагнитным системам в этом случае соответствуют электрические цепи, которые изучаются в теоретической электротехнике [46].

При наличии возмущений в движении двуногого аппарата возникает задача стабилизации ходьбы или в более широком плане - задача управления ходьбой, обеспечивающего передвижение аппарата в условиях существования возмущений. Для решения проблем стабилизации ходьбы и управления ходьбой шагающих аппаратов используются разные подходы и методы (см., например, [2,13,31,56,61]).

В монографии [19] изучается проблема управления манипуляцион-ными системами, оснащенными датчиками информации об усилиях. Рассмотрены различные типы датчиков усилий, предлагаются методы анализа их свойств и расчета. Составлены математические модели манипуляцион-ных систем с датчиками об усилиях. Приведены алгоритмы решения ряда прикладных задач и результаты экспериментальных исследований.

Управление на основе информации об усилиях необходимо, чтобы повысить адаптивность шагающих аппаратов к нерегулярным поверхностям и различным типам почвы. В работах [68,78,84] управление на основе информации об усилиях применяется в задачах о передвижении шагающих аппаратов по твердым и мягким поверхностям. В работах [47,85] информация об усилиях используется для создания системы управления с помощью джойстика шестиногим шагающим аппаратом «Катарина».

В монографии [52] предложены методы построения «естественных» режимов управления движением звеньев робота, основанные на использовании динамических свойств их свободных и вынужденных движений. При этом в [52] затрагиваются вопросы экспериментального изучения рабочих характеристик роботов.

Общие вопросы моделирования систем абсолютно твердых тел рассматриваются, например, в монографиях [16,32]. Одновременно достаточно интенсивно развиваются методы, учитывающие специфику конкретных механических систем, связанные с робототехникой [44] или шагающими аппаратами [42].

Развитие вычислительной техники привело к созданию достаточно мощных систем аналитических вычислений типа МАТНЕМАТ1СА [20], МАРЬЕ [21], позволяющих в значительной степени сократить рутинную, работу по проведению стандартных математических выкладок при разработке математических моделей робототехнических систем.

В. Краткое содержание работы.

Первая глава диссертации посвящена исследованию энергетических затрат при ходьбе шагающего аппарата. В главе анализируется движение звена шагающего аппарата. В качестве модели звена используется плоский перевернутый однозвенный физический маятник, управляемый двигателем постоянного тока. Программное движение звена на интервале времени [1:0, 1к] задаётся интерполяционным полиномом Лагранжа. Предлагается алгоритм управления напряжением на электродвигателе, обеспечивающий минимизацию затрат энергии при перемещении звена из заданного начального положения в заданное конечное положение на заданном интервале времени. Указанный алгоритм основан на выборе узловых точек в интерполяционном полиноме Лагранжа. Из анализа линеаризованной задачи с помощью классического метода Эйлера-Лагранжа определяются оптимальные по расходу энергии режимы управления напряжением, подаваемым на электродвигатель. Проводится сравнение выбранных обеими методами оптимальных законов управления и траекторий движения рассматриваемой электромеханической системы. Найденные в главе законы управления достаточно просты и могут быть использованы при выборе программных движений многозвенных шагающих аппаратов.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию энергетических затрат многозвенного шагающего аппарата. В этой части диссертации рассматривается модель плоского антропоморфного пятизвенного шагающего аппарата, состоящего из корпуса и пары одинаковых двузвенных ног. Предполагается, что в ступне, в тазобедренном и коленном суставах расположены двигатели постоянного тока. Процесс ходьбы анализируется с учетом процессов, протекающих в цепях электродвигателей. Аппарат находится в одноопорной фазе, когда положение механической системы определяется пятью обобщёнными координатами, в качестве которых выбраны углы, определяющие положение звеньев аппарата. Синергия на интервале времени шага [и, для каждого звена задаётся интерполяционным полиномом Лагранжа. Найдено выражение для функционала, определяющего затраты энергии на одном шаге при перемещении из заданного начального положения в заданное конечное положение. С помощью метода наискорейшего спуска проводится оптимизация затрат энергии и находится движение, для которого затраты энергии минимальны. Проводится сравнение построенного движения со свободным баллистическим движением пятизвенного шагающего аппарата, построенным в монографии [56]. Краевая задача для отыскания баллистических движений решается модифицированным методом Ньютона с помощью системы компьютерной математики « МаШе тай с а4.2 ».

Третья глава диссертации посвящена задаче о колебаниях корпуса двуногого шагающего аппарата на равномерно вращающейся ноге. В этой части рассматривается задача о плоских колебаниях корпуса двуногого шагающего аппарата. Предполагается, что угол между звеньями опорной ноги является постоянным, и эта нога вращается вокруг точки опоры как одно твердое тело с постоянной угловой скоростью. При малых углах отклонения корпуса от вертикали найдено решение соответствующей линейной краевой задачи, описывающей периодические колебания корпуса. С помощью метода малого параметра (метода возмущений) построено асимптотическое решение нелинейных уравнений колебаний корпуса аппарата. Приводится алгоритм оценки затрат энергии на одном шаге аппарата при найденном периодическом движении корпуса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [49, 50,51,77] и доложены на:

• Восьмой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 28 февраля - 1 марта 2002 г.).

• Международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, 15-17 октября 2002 г.).

• Third International Workshop «Robot Motion and Control (Ro-MoCo'02)». Bukowy Dworek, Poland, November 9 -11, 2002.

• Девятой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 4-5 марта 2003 г.).

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Московского энергетического института (технического университета) под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю. Г. Мартыненко.

Основные результаты, полученные в данной работе, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Предложена методика оптимизации энергетических затрат при перемещении звена шагающего аппарата с помощью электропривода, основанная на выборе узлов интерполяционного полинома Лагранжа и позволяющая определить оптимальные по расходу энергии режимы управления напряжением, подаваемым на электродвигатель.

2. Проведено сравнение предложенной методики с классическим методом Эйлера-Лагранжа для линеаризованной задачи управления звеном шагающего аппарата.

3. Разработана и отлажена методика численной оптимизации энергетических затрат с помощью метода наискорейшего спуска при плоском движении пятизвенного шагающего аппарата с учётом переходных процессов в цепях электродвигателей.

4. Проведено сравнение построенного движения со свободным баллистическим движением пятизвенного шагающего аппарата, для которого решеца соответствующая краевая задача с помощью модифицированного метода Ньютона.

5. Найдено решение краевой задачи, описывающей плоские периодические колебания корпуса двуногого шагающего аппарата на равномерно вращающейся ноге и проведены оценки затрат энергии на одном шаге аппарата при найденном с помощью асимптотического метода периодическом движении корпуса.

Заключение

1. Александров A.M., Зацепин М.Ф., Тубеев 1П.Х. Управление корпусом двуногого шагающего аппарата в фазе опоры на одну ногу. - В кн.: Труды Московского энергетического института, вып.331 .М.:МЭИ, 1977, с. 93-96.

2. Белецкий В. В. Двуногая ходьба: модельные задачи динамики и управления. М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1984. -288 с.

3. Белецкий В.В., Кирсанова Т.С., Лавровский Э.К. Множество комфортабельных походок двуногого шагающего аппарата // Ордена Ленина, институт прикладной математики имени М.В. Келдыша, Академии наук СССР, Москва, 1979, Препринт № 25. -73 с.

4. Белецкий В.В. Динамика двуногой ходьбы. Изв. АН СССР. МТТ, 1975, №3, с. 3-14.

5. Белецкий В.В., Бербюк В.Е. Нелинейная модель двуногого шагающего аппарата, снабженного управляемыми стопами. М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1978, Препринт № 5467 с.

6. Белецкий В.В., Кирсанова Т.С. Плоские линейные модели двуногой ходьбы. Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 4, с. 51- 62.

7. Белецкий В.В., Кирсанова Т.С. Некомфортабельная ходьба двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 3, с. 41-51.

8. Белецкий В В., Кирсанова Т.С., Чудинов П.С. Управление ходьбой и динамика двуногих систем. В кн. :Биомеханика. Рига, 1975, с. 627631.

9. Белецкий В.В., Коникова Н.С. Имитация ходьбы в невесомости. -Изв. АН СССР. МТТ, 1979, № 5, с. 48-53.

10. Болотин Ю.В. О разделении движений в задаче стабилизации двуногой ходьбы. Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 4, с. 48 -53.

11. Болотин Ю.В., Новожилов И.В. Управление походкой двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР, МТТ, 1977, № 3, с. 47-52.

12. Болотин Ю. В. Вырожденные задачи оптимального управления и оценивания в робототехнике, навигации и аэрогравиметрии. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. МГУ имени М. В. Ломоносова. Москва, 2002. 287 с.

13. Бордюг Б. А., Ларин В. Б., Тимошенко А. Г. Задачи управления шагающими аппаратами: Киев.: Наук. Думка, 1985. - 264 с.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений .- М.: Наука, 1973. 272 с.

15. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. Шк., 1990. - 208 с.

16. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. (Пер. с англ.уПод редакцией В. В. Румянцева. М., Мир, 1980.-292 с.

17. Вукобратович М. Шагающие роботы и антропоморфные механизмы: Пер. с англ. -М.: Мир, 1976.-541 с.

18. Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики: Учебник. 2-е изд., перераб. И дополн. М.: Изд-во МГУ, 2000. - 719 с.

19. Гориневский Д. М., Формальский A.M., Шнейдер. Управление манипуляционными системами на основе информации об усилиях. -М.: Физматлит, 1994. 368 с.

20. Дьяконов В. П. Mathematica 4 с пакетами расширений.-М.: «Нолижд», 2000.-608 с.

21. Дьяконов В. П. Maple 6. СПБ.: Питер, 2001. - 608 с. Попов Е. П., Письменный Г. В. Основы робототехники. - М.: Высш. Шк., 1990 — 224 с.

22. Егоров Ю. Н. Системы привода роботов / под ред. Проф. С. А. Ковчина. JI.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1982. -336 с.

23. Завгородний Юрий, Конструирование и моделирование антропоморфного робота. Доклад аспиранта института электрических энергосистем, университет им. Отто-Фон-Герике,

24. Магдебург, Германия на кафедре теоретической механики, Московский Энергетический Институт, Москва, Декабрь 2002.

25. Зацепин М.Ф., Новожилов И.В. Управление аллюрами четырехногой ходьбы. Изв. АН СССР. МТТ, 1986, № 5, с. 60-66.

26. Зенкевич С. Л., Ющенко А. С. Уравнение роботами. Основы манипуляционными роботами. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. -400 с.

27. Калинин В.В. Управление ходьбой четырехногого шагающего аппарата. В кн.: Труды Московского энергетического института, вып.ЗЗ 1 .М.:МЭИ, 1977, с. 85-92.

28. Ковчин С. А., Сабинин Ю. А. Теория электропривода. СПБ.: Энергоатомиздат. Санк-Питербургское отд-ние, 2000.-496 с.

29. Лавровский Э.К. Динамика двуногой ходьбы при больших скоростях движения. Изв. АН СССР. МТТ, 1980, № 4, с. 50-58.

30. Лапшин В.В. Модельные оценки энергозатрат шагающего аппарата. Препринт № 27 за 1990 г., Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша, 30с.

31. Лапшин В.В., Оходцимский Д.Е., Платонов А.К. Об одном способе рекуперации энергии при движении шагающего аппарата. -Изд. АН СССР, 1986, №5.

32. Ларин В. Б. Управление шагающими аппаратами. Киев: Наук. Думка, 1980.-168 с.

33. Лилов Л. К. Моделирование систем связанных тел. М.: Наука, 1993. 272 с.

34. Лидов М. Л. Курс лекций по теоретической механике. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. 478 с.

35. Львович А.Ю. Электромеханические системы. Изд-во Ленингр. Унта. 1989. 296 с.

36. Маркеев А. П. Теоретическая механика. Москва: ЧеРо, 1999, 572 с.

37. Мачульский И.И, Запятой Ю.П., Майоров и др., Робототехнические системы и комплексы. Под. ред. И.И. Мачульского М.: Транспорт, 1999. 44б с.

38. Моисеев H.H., Иванов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации-М.: Наука, 1978.

39. Накано Э. Введение в робототехнику: Пер. с Япон. М.: Мир, 1988334 с.

40. Никитин К. Д., Пономарев В. П., Смолин А. Ю., Василенко Н. В. Основы робототехники. Изд-во Краснояр. Ун-та, 1986. -206 с.

41. Новожилов И.В. Управление ногой шагающего аппарата в фазе опоры. В кн.: Биомеханика, вып. 13. Тр. Рижск. Н.-и. ин-та травматологии и ортопедии, 1975, вып. 3, с. 634-639.

42. Новожилов И.В. Управление пространственным движением двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР. МТТ, 1984, № 4, с. 47-53.

43. Охоцимский Д. Е., Голубев Ю. Ф. Механика и управление движением автоматического аппарата. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 312 с.

44. Пантелеев A.B., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах М.: Высш. Шк., 2002-544с.

45. Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы: Динамика и алгоритмы. М.: Машиностроение, 1989. - 472 с.

46. Попов Е. П., Письменный Г. В. Основы робототехники. М.: Высш. Шк., 1990. -224 с.

47. Прянишников В.А. Теоретические основы электротехники. СПБ.: КОРОНА принт, 2000. -368 с.

48. Рутковский С. В. Влияние удара на движение и энергетику двуногого шагающего аппарата. Изв. АН СССР. МТТ, 1984, № 4, с. 54-62.

49. Сирегар X. П., Мартыненко Ю. Г. Энергетические Затраты Шагающих аппаратов с Электроприводом // Радиоэлектроника,

50. Электротехника, и Энергетика. Восьмая Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тез. Докл. Том 1. Москва, 2002. - с. 370-371.

51. Сирегар X. П. Колебания корпуса двуного шагающего аппарата // Информационные средства и технологии. Международный форум информатизации МФИ-2002: Доклады Том 3. Москва, 2002.-е. 117120.

52. Смольников Б. А. Проблемы механики и оптимизации роботов. — М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1991.-232 с.

53. Степаненко Ю.А. Некоторые вопросы оптимального управления манипуляторов // Механика машин, Вып. 22. 1969.

54. Степаненко Ю.А. Задача оптимального управления манипулятором // Теория машин автоматического действия. М.: Наука, 1970.

55. Формальский A.M. Управление маятником с минимальными затратами механической энергии. Изв. АН СССР, МТТ, 1977, № 2. с. 24-32.

56. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. -362 с.

57. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Гредецкий В.Г., Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. -М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит.Д989.-395с.

58. Шахинпур М. Курс робототехники: Пер. с англ.-М.: Мир, 1990. -527 е., ил.

59. Avezedo С. and the BIP team. Control architecture and algorithms of the Antropomorphic Biped BIP2000. In proceedings of the international Symposium on Mobile, Climbing and Walking Robots, 2000.

60. Bruneau O., Ben Ouezdou F., Wieber P.B. Dynamic transition simulation of a walking anthropomorphic robot. In proceedings IEEE Conf. on Robotics and Automation, pp 1392-1397, 1998.

61. Bryson A. E., Ho Yu Chi, Applied optimal control. Blaisdell publishing company, 1969.

62. Canudas-de-Wit C., Espiau В., Urrea C. Orbital Stabilization of Underactuated Mechanical Systems. IF AC, Barcelona, Spain, 2002.

63. Chew С. M., Pratt G. A. A General Control Architecture for Dynamic Bipedal Walking, IEEE Proc. of Int. Conf. on Robotics and Automation, 2000.

64. Dimarogonas Andrew. Vibration for Engineers. Prentice-hall international, inc., 1996. -825 c.

65. Foret Jérôme., Bruneau Olivier., Fontaine Jean-Guy. Theoretical and Unified Characterization of Dynamic Walking Robots Stability. (International symposium on measurement and control in robotics (ISMCR)) Bourges, France 2002.

66. Fu K.S., Gonzalez R.C., Lee CSG. Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence. McGraw-hill International Editions., 1987. -580 c.

67. Gienger M., Lôffler K., Pfeiffer F. A biped that jogs. In proceedings IEEE Conf. on Robotics and Automation, pp 3334-3339, 2000.

68. Gorinevsky D. M., Shneider A. Yu. Force Control in Locomotion of Legged Vehicles over Rigid and Soft Surfaces. The International Journal of Robotics Research, Vol. 9, no. 2, April 1990. p. 4-23.

69. Goswami A. Postural Stability of biped robots and the footrotationlndicator (FRI) point, The international Journal of Robotics Research, vol 1, No 6, June 1999,pp 523-533.

70. Habumuremyi J. C., Doroftei I., Baudoin Y. Mechanical design and MANFIS control of a prototype leg for walking robot. ISMCR Bourges, France 2002.

71. Hirai K., Hirose M., Haikawa Y., T. Takensa T. The development of Honda Humanoid Robot. In proceedings IEEE Conf. on Robotics and Automation, pp 1321-1326, 1998.

72. Kajita S., Tani K. Adaptive Gait Control of a biped Robot based on Realtime Sensing of the Ground Profile, IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, 1996.

73. Kajita S„ Kanehiro F., Kaneko K., Yok K, Hirukawa H. The 3D linear Inverted Pendulum mode : a simple modeling for a biped walking pattern generation, IEEE, Proc. of Int. Conf. on Robotics and Automation 2001.

74. Katayama O., Kurematsu Y., Kitamura S. Theoretical studies on neuro oscillator for application of biped locomotion. In proceedings IEEE International Conf on Robotics and Automation, pp.2871-2876, 1995.

75. Lim H., Takanishi A. Walking pattern generation for biped locomotion. In proceedings IEEE of the International Symposium on Robotics, pp 15511556, 2001.

76. Palis F., Rusin V., Shneider A. Adaptive Impedance/Force Control of Legged Robot. 4th International Conference on Climbing and Walking Robots, "CLAWAR'01"

77. Pratt J., Dilworth P., Pratt G. Virtual Model Control of a Bipedal Walking Robot, IEEE Proc. of Int. Conf. on Robotics and Automation, 1997.

78. Rostami Mostafa., Bessonned Guy. Sagittal gait of a biped robot during the single support phase. Cambridge University Press, Robotica, vol.19, pp.163-176, 2001.

79. Rostami M., Bessonnet G. Impactless sagittal gait of a biped robot during the single support phase. In proceedings IEEE Confon Robotics and Automation, pp 1385-1391, 1998.

80. Rousel L., Canudas-de-wit C., Goswami A. Generation of energy optimal complete gait for biped. In proceedings IEEE Conf. on Robotics and Automation, pp 2036-2042, 1998.

81. Sabourin Christophe., Bruneau Olivier., Fontaine Jean-Guy. Control strategy for the dynamic walking of a bipedal robot based on passive and active stages. ISMCR Bourges, France 2002.

82. Shneider A. Control algorithms of interaction between walking robot legs and soft soil. International Conference on Climbing and Walking Robots, "CLAWAR'99".

83. Shneider A., Schumucker U. Force Legged Platform "Katharina" for Service operations. 4th International Conference on Climbing and Walking Robots, "CLAWAR'01".

84. Shneider A., Zeidis I., Zimmermann K. Comparison of body shapes of walking machines in regards to static stability margins. 3rd International Conference on Climbing and Walking Robots, Madrid, Spain, pp 1-7, 24 October 2000.

85. Urrea C., Canudas-de-Wit C., Mahla I. Orbital Stabilization of an Underactuated Three-Link Planar Robot. ISMCR Bourges, France 2002.

86. Vukobratovic M., Borovac B., Surla D., Stokic D. Biped Locomotion, Vol. 7 of Scientific fundamentals of robotics, Springer-Yerlag, 1990.

87. Yamagushi J., Soga E., Inoue S., Takanishi A.,"Development of a Bipedal Humanoid Robot-Control Method of Whole Body Cooperative Dynamic Biped Walking", IEEE Proc. of Int. Conf. On Robotics and Automation, 1999.

88. Yamakita M., Asano F., Furuta K. Passive Velocity Field Control of Biped Walking Robot, IEEE Proc. of Int. Conf. On Robotics and Automation, 2000.

89. Zhou C., Jagannathan K., Myint T. Prescribed Synergy Method-Based Hybrid Intelligent Gait Synthesis For Biped Robot, IEEE Proc. Of Int. Conf. on Robotics and Automation, 1999.