Эволюция фрактальных объектов при формировании регуляоных структур из хаоса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

На правах рукопису

Дульфан Ганна Яківна

УДК 539.22

ЕВОЛЮЦІЯ ФРАКТАЛЬНИХ ОБ’ЄКТІВ ПРИ ФОРМУВАННІ РЕГУЛЯРНИХ СТРУКТУР З ХАОСУ

01.04.02 - теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Харків -1998

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана в Харківському державному технічному університеті будівництва та архітектури

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Панченко Іван Петрович,

завідуючий кафедрою вищої математики ХДТУБА

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

Яновський Володимир Володимирович, завідуючий теоретичним відділом Інституту монокристалів НАН України;

кандидат фізико-математичних наук Новікоа Валерій Євгенович начальник теоретичного відділу Інституту електромагнітних досліджень

Провідна установа: Інститут теоретичної фізики

Національний науковий центр ХФТІ, (м. Харків).

Захист відбудеться « y,J/&7Ъ2c> 1998 р. о /4 год. 00 хв.

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.169.01 в

Інституті монокристалів НАН України (310001, Харків, проспект Леніна, 60)

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституті монокристапІЕ НАН України

Автореферат розісланий « /5 » _______^1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, кандидат технічних ,

наук Атрощенко Л.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Інтенсифікації досліджень еволюції складних систем в умовах динамічного хаосу заважає відсутність єдиних основ теорії дисипативних систем. В зв'язку з цим, першорядне значення при вивченні самоподібних структур, що виникають при високих темпах дисипації енергії в системах, яким притаманна хаотична поведінка, мають модельні дослідження. Особливістю таких самоподібних структур є те, що їх вимірність Хаусдорфа-Безиковича не співпадає з топологічною вимірністю, тобто ці структури виявляються фрактальними. Існуючі моделі фрактальних структур описують далеко не всі реальні об’єкти, які формуються в конденсованих середовищах на міжфазній межі вдалині від рівноваги. Тому потребує вдосконалення апарат моделювання таких систем.

Поява в останні роки експериментів, які були виконані, зокрема, в зв’язку з розвитком технології мініатюризації елементів пам’яті комп’ютерів, привела до необхідності аналізу зв'язку топологічних характеристик, що формуються в процесі еволюції фрактальних структур, з характеристиками самого процесу еволюції. Встановлення цього зв'язку необхідно для управління стадіями процесу еволюції, а отже і властивостями (зокрема міцності) агрегатів, що формуються в системах з динамічним хаосом.

Окрім того, надзвичайно обмежена також інформація щодо однієї із важливих характеристик процесу самоорганізації - характерному часі еволюції. Накопичення такої інформації дозволить встановити вимірність часових ієрархій еволюції фрактальних об’єктів, що необхідно для аналізу їх поведінки. -

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розробка методики опису еволюції фрактальних об’єктів при формуванні самоподібних структур в системах, яким притаманна хаотична поведінка. У зв’язку з цим у роботі ставились такі задачі:

- З'ясування особливості морфології об’єктів, які формуються в процесі еволюції й анізотропних конденсованих середовищах на міжфазних межах вдалині від рівноваги.

- Побудова моделі, яка генерує структури адекватні реальним об'єктам, що виникають в процесі еволюції на міжфазних межах в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги.

- Чисельні дослідження процесів еволюції в моделях, які описують стохастичну динаміку на міжфазних межах в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги.

- Вивчення поведінки еволюціонуючих об'єктів, яка приводить до формування структур із заданою морфологією, та розробка методики опису послідовності стадій еволюції в конденсованих середовищах.

- Дослідження характерних часів еволюційних процесів на міжфазних межах в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги, та формулювання опису еволюційних процесів в термінах часових Ієрархій, незалежно від деталей механізму їх формування.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше побудована модель випадкового процесу, що формує фрактальні структури, які зв'язані з кінетичними процесами на міжфазних межах в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги, незалежної від деталей механізму їх формування. Запропоновано теоретичний опис самого процесу формування самоподібних структур, які виникають в результаті стохастичної еволюції із змінною на протязі часу фрактальною вимірністю. Вперше розроблена методика розрахунку фрактапьної вимірності характерних часів еволюції для випадкових процесів, яка описує формування самоподібних структур на міжфазній межі вдалині від рівноваги. Вперше досліджені особливості процесу росту кристала із бінарного розплаву в умовах температурного градієнта, які пов’язані з дробовою вимірністю Хаусдорфа-Безиковича, і формуються на міжфазних межах структур.

з

На захист виносяться:

1. Математична модель формування випадкового фракталу, яка представляє собою немарківський процес на решітці і описує утворення фізичних структур в деяких анізотропних конденсованих середовищах.

2. Теоретичний підхід до вивчення формування самоподібних структур на міжфазних межах вдалині від рівноваги, в системах, які проявляють хаотичну поведінку в процесі еволюції.

3. Чисельні дослідження процесів еволюції в моделях, які описують стохзстичну динаміку на міжфазних межах вдалині від рівноваги, та методика опису послідовностей стадій еволюційного процесу, яка заснована на розрахунку степеня упорядкованості, а також визначення фрактапьної вимірності характерних часів еволюції.

Практичне значення одержаних результатів полягає у встановленні зв’язку між уявленнями про виникнення високоорганізованих упорядкованих структур в системах, які проявляють хаотичну поведінку, та уявленнями фраюгальної геометрії. Розвинені в роботі уявлення щодо процесів еволюції можуть бути використані для прогнозування поведінки не тільки фізичних, але також біологічних та соціальних систем. Суттєво доповнений опис еволюційних процесів в конденсованих середовищах, які супроводжуються топологічними перетвореннями, на основі методики виділення стадій, що характеризуються суттєво різним степенем упорядкованості, що дає можливість проаналізувати широкий спектр матеріалів, зокрема тих, які утворюються в процесі фазових переходів, і може дозволити управляти їх властивостями, в першу чергу міцності. З другого боку, самі масштабно-інваріантні структури, завдяки виявленим властивостям, можуть бути використані як носії інформації. Одержані дані відносно поведінки міжфазмої межі при кристалізації із бінарного розплаву в полі температурного градієнта, що відтворюють типову поведінку систем, в яких в процесі еволюції формуються фрактальні структури.

Особистий внесок здобувача полягає в тому, що нею безпосередньо виконана постановка задачі [1,2], розроблена математична модель [6], відлагоджені програми математичних експериментів [4,5], здійснена підготовка та проведення експериментальних досліджень [7]; проведено аналіз експериментальних данних [3], підготовлені матеріали до публікацій, сформульовані положення та висновки роботи.

Апробація результатів дисертації. Основні результати та положення дисертації доповідались на 7-ій Всесоюзній конференції по росту кристалів (м.Москва.1988), 12-ой Європейській кристалографічній конференції (м.Москва,1689), на Всесоюзній школі по росту кристалів (Харків, 1990), Міжнародних науково-технічних конференціях «Комп’ютер: наука, техніка, технологія, здоров’я» (Харків-Мішкольц,1993,1994,1995), представлялись на Міжнародній конференції «Materials Research Society» (Бостон,1995), Міжнародній конференції «Materials Research Society» (Сан-Францісько.1996).

Публікації, За темою дисертації опубліковано 7 робіт.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел - з 63 найменувань; вона викладена на 146 сторінках, вміщує 32 рисунка та 6 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ вміщує аналіз стану теми дослідження і обгрунтування її актуальності. У вступі сформульовані мета роботи і положення, які виносяться на захист, наукова новизна та практична цінність роботи.

В першому розділі «Опис еволюції реальних неупорядкованих систем в рамках фрактальної геометрії» приведено літературний огляд, в якому проаналізовано сучасний стан уявлень що до еволюції неупорядкованих систем, яким притаманна хаотична поведінка. Показано, що вивчення еволюци неупорядкованих систем - це дослідження «відгуку» рівноважного функціонування системи на зовнішній вплив. Проведення таких досліджень

з реальними системами в умовах різноманіття зовнішніх впливів досить утруднене в зв’язку з наявністю великої кількості релаксаційних процесів та управляючих параметрів, які визначають «відгук» системи та її поведінку в умовах впливів, тобто, в кінці кінців, і результат розвитку системи. Моделюючи математично динамічну поведінку еволюціонуючих систем в умовах різних комбінацій зовнішніх впливів, можна завбачати структуру стійких рівноважних функціональних станів нерівноважних систем в цілому з урахуванням ієрархії п складових. При опису еволюції неупорядкованих систем, яким притаманна хаотична поведінка, перспективним є використання уявлень про фрактальні об’єкти. Такий підхід дозволяє аналізувати їх глобальні властивості - одноманітність та самоподібність -які піддаються математичному моделюванню.

У другому розділі «Моделювання процесів росту при формуванні регулярних структур в системах з динамічним хаосом» викладається математична модель росту фрактальних структур в анізотропних конденсованих середовищах, яка представляє собою випадковий процес росту агрегатів, породжених несиметричним випадковим блуканням. Через асиметрію випадкового блукання реалізується однонаправлений ріст фрактального агрегату з широким спектром умов росту.

Модель, яка пропонується, представляє собою стохастичну систему, що еволюціонує на протязі часу. Ця еволюція полягає у випадковому нарощуванні об'єму, зайнятого структурою, шляхом послідовного «приклеювання» елементів нової структури (частинок) у випадкових точках її межі. Тобто, стохасгична система представляє собою межу нової фази, що випадковим способом рухається та змінюється .

Математична модель росту структур шляхом агрегації основана на уявленні про випадково блукаючі частинки в деякому об'ємі, які послідовно одна за одною осаджуються на кластери, що виростають із основ росту. Частинки представляють собою стохастичний ідеальний газ, тобто, рухаються без взаємодії одна з одною в області поза

кластерів, здійснюючи випадкове блукання. При цьому із-за відсутності взаємодії в кожному із дозволених для блукання вузлів може знаходитися більш однієї частинки для кожного моменту часу і.

Формально математичний опис моделі росту самоподібних структур нової фази полягає в слідуючому. Розглядається випадковий процес з дискретним часом 0,1,2,... траєкторія якого приймає значення на

множині конфігурацій О - випадкова цілочисельна послідовність

{хи} центрів росту. Розподіл Імовірностей для послідовностей О визначається на основі припущення такого, що числа заповнення и(х„) = 1, п(х) = 0, х * х„, представляють собою бернулієвську послідовність і імовірність того, що даний вузол є центром росту, дорівнює с, де 0 < с < 1 - концентрація основ росту.

Побудова математичної моделі представляє собою визначення випадкового поля на і}+ - {а: а - (*, у), х є X, у є 2+, у > 0} еволюціонуючого на протязі часу *, яке приймає тільки цілі значення. Реалізації випадкового поля и(а,ґ) представляють собою числа

заповнення вузла а в момент часу ґ, тобто п(а,0 = 0,1,2,.... В

початковий момент часу випадкове поле з реалізацією (я(а,0)} є

бернулієвським з густиною р, тобто 5і-часткові функції розподілу

5 — 1,2,... мають вигляд ^ • дичина р

описує густину частинок, які агрегуються. Далі при комп'ютерному дослідженні запропонованої моделі обмежимось випадком дуже малих густин р. Це дозволить вважати, що з переважною імовірністю в кожному

вузлі Ъ\ буде знаходитися або одна частинка, або ні одної.

Динаміка випадкового поля {«(а,/)} в моделі представляє собою стохастичний клітковий автомат, уявляючий собою стохастичний

решіточний ідеальний газ із частинок, які послідовно одна за одною

осаджуються на центри росту, утворюючи деяку випадкову множину X(0, що називається кластером. Частинки рухаються без взаємодії одна з одною В області Ъ\ \(Х(/)и<5Г(0). Де сК(г) - сукупність найближчих сусідів до граничних точок Л'(г). Якщо оєІ(0 в деякий момент ґ, то п(а,ґ)-п(а,і) при /’ > /, Якщо в момент і частинка попаде в точку, що належить сХ(/) або в точку (х,0),х єХ, то вона назавжди залишається в цій точці. Завдяки такому механізму кластер Х(0 постійно розширюється, тобто Х(І) с Х(ґ +1). Так як приєднання кожної нової точки а до кластера ХО) відбувається в деякий випадковий момент часу іа, то в подальшому еволюція зберігає пам’ять про цю подію, і, отже процес, що описується реалізаціями , на відміну від випадкового блукання, являється

немарківським. Тоді для 5-частковихфункцій розподілу

Р(/?„а,;.а;,І) = Р{л(а1,Г) = и1;...;и(«,,0-«Л неможливо сформулювати еволюційні рівняння, в які б входили 5 - часткові функції розподілу з відмінними на 1 моментами часу. Тому повною системою імовірнісних характеристик випадкового процесу моделі росту випадкових фракталів являються функції розподілу 5-го порядку:

де 5 пробігає всі можливі значення 5 = 1,2.

Формальне визначення динаміки процесу {п{а, 0}, Що дозволяє індуктивно по зростанню моментів часу / відновити для кожного набору вказані вище функції розподілу 5-го порядку, полягало в слідуючому. Розглядались реалізації з кінцевим числом частинок, = Ы <00 в кінцевому об’ємі, який уявляє собою набір точок

{(x,>0;|jc| < L,0<y< L}~ Ar . При цьому N121} - p. Для такої моделі з кінцевим набором станів вводилися імовірності

Р[и,(й); ..,; л,(а)] = Р {и(я,1) = и,(а);...;п(а,s) = л,(а);а є AL } ,

де и1(<я),...,«Да) - задані розподіли чисел заповнення. За цими імовірностями повністю визначається процес, якщо s - будь-яке число.

Імовірності Р[л,(а),...,и,(я)1 будуються індукцією по s для будь-якого кроку s та для будь-яких розподілів чисел заповнення nt(a),...,ns(a). Далі по побудованим розподілам імовірностей

розраховуються функції розподілу s - го порядку. Ці функції розподілу на відміну від імовірностей /*(Иі(а),...,иДа)] зберігають суть при переході до

термодинамічної межі N L -»ао, N121'f - р- const

Так як процес n(a,t) є суттєво немарківським, його аналітичне дослідження надзвичайно заутруднене. В зв'язку з чим було здійснене комп’ютерне дослідження побудованої моделі. При комп’ютерній реалізації моделі не було необхідності здійснювати термодинамічний межовий перехід. Комп’ютерна модель заснована безпосередньо на послідовному розрахунку імовірностей Р[й, , як це описано вище. В зв'язку з

тим, що комп’ютерний експеримент було реалізовано при дуже малих р ~ 101, достатньо було використати процедуру розрахунку цих

імовірностей тільки для випадку, коли «1. Це положення серйозно

а

спростило молекулярну динаміку і дозволило сформулювати комп’ютерний варіант моделі.

Комп’ютерна модель випадкового фракталу дозволяє одержувати достовірну структурозалежну інформацію про властивості фраістальних систем на міжфазних межах в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги. Модель синтезує агрегати з широким діапазоном структурних параметрів: типи руху частинок; типи взаємодії частинок із

зростаючим фрактальним агрегатом; кількість частинок, складаючих фрактальний агрегат; розміри області росту; конфігурації області росту; конфігурації джерела речовини; кількість основ, Різні способи руху та приклеювання частинок в моделі випадкового фракталу відображають диференціацію потужності джерела енергії. Диференціація потужності джерела речовини досягається за рахунок варіювання числа частинок, які генеруються, а також варіювання розмірами області генерації. Різна конфігурація області росту в моделі випадкового фракталу відповідає варіюванню граничних умов. Міграція речовини здійснюється як із довільної точки області росту, так і з нижньої основи області росту, що дозволяє моделювати принципово різні фізичні ситуації.

Розроблена модель випадкового фракталу, генерує моно- та мультиструктури, характеристики яких залежать від граничних і початкових умов. Широкий спектр умов росту (диференціація потужності джерела енергії та джерела речовини, диференціація параметрів області росту, конфігурація джерела речовини, кількість основ) дозволяють одержувати різний степінь структурування об'єктів, які генеруються даною моделлю, що дає можливість з допомогою моделі випадкового фракталу описувати ряд реальних еволюційних процесів з фрактальною вимірністю від 1 до 2: на межі розподілу фаз при рості кристала із бінарного розплаву салол-азобензол в умовах постійного температурного градієнта, при окисленні аморфних плівок заліза, окисленні аморфних плівок Оу-Со, окисленні аморфних плівок Обвег, при релаксації внутрішніх напружень в результаті стискання ІМізРе.

У третьому розділі «Еволюція фрактальних об'єктів при формуванні регулярних структур в системах з динамічним хаосом» розглядається еволюція міжфазної межі в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги. Характерне еволюційне дерево - ієрархічний багатостадійний процес - спостерігається при рості кристала із бінарного розплаву в полі температурного градієнта, при окисленні аморфних плівок

Оу-Со, аморфних плівках заліза, в аморфних плівках СаБег, в процесах релаксації внутрішніх напружень в монокристалі ІЧізРе. Аналіз структур, які генеруються комп’ютерною моделлю, з різними початковими та граничними умовами показує, що темп формування на приграничній області визначається потужністю джерела речовини та джерела енергії.

Для кількісної оцінки темпу формування скористуємося поняттям відносного степеня упорядкованості системи. Виділимо два стани лри значеннях управляючого параметра а-сі та а- сі + М. Степені упорядкованості виділених станів різні і, отже, один із них менш упорядкований, його прийнято називати станом «фізичного хаосу». Поняття «ефективної функції Гамільтона» по Клімонтовичу визначено через функцію розподілу стану «фізичного хаосу» 11^ - — 1п

Ефективна функція Гамільтона має таку властивість, що її середнє зберігається при зміні значення управляючого параметра

\ ІЇ.цРь (сі,г(і))(1г - | Д (сі+М,г{1))йг,

де рй- ефективна функція розподілу стану «фізичного хаосу». Тоді кількісною мірою відносного степеня упорядкованості є різниця ентропій:

5о-£, = (1л Ад^0))А V + Аа,К0)& > о.

Ро^ЛО)

Двома виділеними станами будемо вважати стан лінійного росту

(сі = 1) та фрактального фронту росту (1<сІ + Асі<2). Тоді §0 >51, що

пояснює перехід від комірчастої структури до фрактальної в ряді анізотропних конденсованих середовищ вдалині від рівноваги на міжфазних межах при формуванні самоподібних структур в системах з динамічним хаосом.

У четвертому розділі «Ієрархія характерних часів при формуванні регулярних структур в системах з динамічним хаосом» показано, що часовий простір являючись ультраметричним, згідно з теорією Гінзбурга,

описується в рамках фрактальної геометрії. Якщо при всіх попередніх розглядах фрактальна структура характерного часу еволюції припускалась a priori, то при викладеному підході, через уявлення про ультраметрику, дробова вимірність часу виступає природнім слідством еволюції систем з динамічним хаосом. Знаходження часової вимірності процесу еволюції дозволяє робити висновки що до глобальних властивостей розвитку систем з динамічним хаосом.

Для модельних ситуацій при комп’ютерній симуляції еволюційних процесів фрактальна вимірність характерного часу визначалась безпосередньо прямою обробкою одержаних об’єктів та тривалостей їх формування.

Ряд структур, що формуються на межах розподілу фаз в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги, які генеруються моделлю випадкового фракталу, адекватні реальним ситуаціям. Тоді фрактальна вимірність характерного часу еволюції а співпадає з часовою вимірністю згенерованих моделлю структур. Аналіз а для цих структур показав: якщо фрактальна вимірність характерного часу процесу

формування структури близька 1, то топологія сформованих в процесі еволюції структур близька лінійній (наприклад у процесі релаксації напружень в Ni3Fe). Якщо ж фрактальна вимірність характерного часу значно відрізняється від цілого числа (як у випадку росту кристала із бінарного розплаву) то і вимірність фрактальних структур наближається до 2.

В основі теоретичного розрахунку фрактальної вимірності характерного часу еволюції лежить припущення про автомодельність, що виражається в масштабній інваріантності процесу. Сталість відносної швидкості росту системи приводить до того, Що самоподібний ріст з необхідністю повинен описуватися степеневими законами виду N = С(7\ -Т)а, де С - характеристика матеріалу, яка розраховується для лінійної структури. При дослідженні ряду реальних структур,

сформованих в процесі еволюції на міжфазних межах в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги, підрахунок а здійснювався як на основі модельних досліджень, так і на основі експериментальної інформації (кількості формуючих його структурних елементів та параметрів, виникаючих при певній суперпозиції початкових та граничних умов лінійних структур) про еволюційні стадії. Результати розрахунків в обох випадках дали задовільну збіжність.

У висновках підсумовані основні результати, які отримані в роботі:

1.Побудована модель формування випадкового фракталу при еволюції стохастичної решіточної системи, яка дозволяє аналізувати слідуючі ситуації, що відтворюють реальні процеси еволюції на межах розподілу фаз в конденсованих середовищах вдалині від рівноваги: з диференціацією потужності джерела енергії; з диференціацією потужності джерела речовини; з диференціацією параметрів області росту; з диференціацією конфігурації джерела речовини; з диференціацією кількості основ росту.

2.Доказано, що реальні структури, що формуються в процесі еволюції на міжфазній межі при рості кристалу салолу з домішкою азобензолу в полі температурного градієнта, при різних степенях деформації монокристалів МзРе, в оксидних кластерах, які ростуть на аморфних плівках заліза, плівках Оу-Со та плівках (ЗаЗвг можуть бути описані розробленою моделлю випадкового фракталу, незалежно від деталей механізму їх формування, оскільки модель відображає топологічний фазовий перехід, що є свідоцтвом певної універсальності цієї моделі.

3.Теоретично передбачені особливості процесу росту кристала із бінарного розплаву в умовах температурного градієнта.

4. Виявлено, що виникнення фрактальних структур - об’єктів нецілої вимірності, які мають властивість самоподібності, може бути представлено як результат еволюційного процесу, кожний часовий відрізок якого подібний цілому, тобто фраюгапьна структура, що формується при фазових переходах в деяких конденсованих середовищах вдалині від рівноваги - це

результат існування самоподібно влаштованого в характерному часовому діапазоні еволюційного дерева (графу) процесу.

5.Запропоновано теоретичний опис послідовності стадій еволюції при формуванні фрактальних кластерів: на міжфазній межі при рості кристала салолу з домішкою азобензолу в полі температурного градієнта, при різних степенях деформації монокристалів NijFe, в оксидних кластерах, які ростуть на аморфних плівках заліза, плівках Dy-Co та плівках GaSe*

б.Встановлено, що можливість введення ультраметрики в часовому просторі дозволяє характеризувати час протікання еволюційного процесу фрактальною вимірністю характерного часу еволюції, яка може бути розрахована або одержана в рамках моделі випадкового фракталу. Показано, що результати розрахунку фрактальної вимірності характерних часів еволюції для ряду реальних процесів в анізотропних конденсованих середовищах вдалині від рівноваги співпадають з розрахунком відповідних величин в рамках моделі випадкового фракталу.

Публікації

1. Дульфан А.Я. Модель случайного фрактала с заданным преимущественным направлением роста // УФЖ.-1993.-38, Na7.-C.1112-1118.

2. Дульфан Г.Я. До питання про структури, що формуються у процесі фазових переходів//УФЖ.*1994-39, №8.-С.1017-1021.

3. Dui’fan A.Ya., Panchenko І.Р. Dynamics of the fractal phase interface geometry at phase transitions of 1st kind //Functional Materials.-l997-4, №3.-C.434-437.

4. Dul’fan A.Ya., Kasilov O.V. Modeling of microstructural evolution of fractal object //Spring Meeting Materials Research Society,-San Francisco (USA).-1996.-p.108

5. Дульфан А.Я., Касилов O.B. Объемные компьютерные копии фрактальных объектов //Т руды международной конференции

«Компьютер: Наука, техника, технология, здоровье.»-т.2.-Харьков-Мишкольц-1995-115.

6. Дульфан А.Я., Касилов О.В. Машинное моделирование макроструктур-новый подход //Труды международной конференции «Компьютер: наука, техника, технология, здоровье.»-т,3-Харьков-Мишкольц-1993-70.

7. Дзюба А.С., Дульфан А.Я., Солунский И.В. Отталкивание твердых частиц кристаллом, растущим послойно из расплава с примесями //расширенные тезисы 7 Всесоюзной конференции по росту кристаллов, -т.3.1989.-е. 120

Дульфан Г.Я.. Еволюція фрактальних об'єктів при формуванні регулярних структур з хаосу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук з спеціальності 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут монокристалів НАН України, Харків, 1998.

Дисертація присвячена питанням побудови моделі випадкового процесу, що формує фрактальні структури, які зв’язані з кінетичними процесами на міжфазних межах, незалежної від деталей механізму ІХ формування. Запропоновано теоретичний опис самого процесу формування самоподібних структур, які виникають в результаті стохастичної еволюції із змінною на протязі часу фрактальною вимірністю. Розроблена методика розрахунку фрактапьної вимірності характерних часів еволюції для випадкових процесів, яка описує формування самоподібних структур на міжфазних межах вдалині від рівноваги. Досліджені особливості росту кристала із бінарного розплаву в умовах температурного градієнта, які зв’язані з дробовою вимірністю Хаусдорфа-Безиковича, що формуються на міжфазній межі структур.

Ключові слова: математичне моделювання, фазові переходи,

конденсовані середовища, випадковий фрактал, динамічний хаос.

Дульфан А.Я. Эволюция фрактальных объектов при формировании регулярных структур из хаоса. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. -Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков, 1997.

Диссертация посвящена вопросам построения модели случайного процесса, формирующего фрактальные структуры, ' которые связаны с кинетическими процессами на межфазных границах, независимой от деталей механизма их формирования. Предложено теоретическое описания самого процесса формирования самоподобных структур, которые возникают в результате стохастической эволюции с изменяющейся во времени фрактальной размерностью. Разработана методика расчёта фрактальной размерности характерных времен эволюции для случайных процессов, описывающая формирование самоподобных структур на межфазных границах вдали от равновесия. Исследованы особенности процесса роста кристалла из бинарного расплава в условиях температурного градиента, которые связаны с дробной размерность Хаусдорфа-Безиковича, формирующихся на межфазной границе структур.

Ключевые слова: математическое моделирование, фазовые переходы, конденсированные среды, случайный фрактал, динамический хаос.

Dul’fan A.Ya. Evolution of the fractal object for the regular structures formation from chaos.

Thesis for the scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.04.02 - theoretical physics. Institute for Single Crystals, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 1998.

In the thesis model of random process forming fractal structures in considered. The fractal structures are connected with kinetic processes on the boundaries among the phases. The model is independent from the mechanism of the fractal structure formation. It is proposed the theoretical description of the formation of the self-similar structures resulting in the stochastic evolution with

time dependent fractal dimension. It is developed the procedure of calculation of the fractal dimension of the characteristic times of the random process evolution for the formation of the self-similar structures on the boundaries among the phases away from an equilibrium state. The crystal growth from a binary melt under temperatures gradient and the structures with fractal dimension forming on then boundaries among the phases are investigated.

Key words: mathematical simulation, phase transitions, condensed media, random fractal, dynamically chaos.