Эволюция квантовых локализованных состояний и транспорт в графене и тонких пленках топологических изоляторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Тележников Алексей Валентинович

ЭВОЛЮЦИЯ КВАНТОВЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ И ТРАНСПОРТ В ГРАФЕНЕ И ТОНКИХ ПЛЕНКАХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ИЗОЛЯТОРОВ

Специальность 01.04.07 — «физика конденсированного состояния»

3 ПАР 2015

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005559879

Нижний Новгород — 2015

005559879

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Нижегородский государственный университет им.Н. И. Лобачевского»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Демиховский Валерий Яковлевич Официальные оппоненты: Кудасов Юрий Бориславович,

доктор физико-математических наук, доцент, федеральное государственное унитарное предприятие «Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики», ведущий научный сотрудник

Протогенов Александр Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт прикладной физики Российской академии наук», ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

Защита состоится 01 апреля 2015 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.01 при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23, корп 3, Конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке и на сайте Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (diss.unn.ru/443).

Автореферат разослан « » февраля 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.166.01, к.ф.-м.н.

Марычев М. О.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы в физике конденсированного состояния как теоретически, так и экспериментально активно исследуются различные низкоразмерные структуры. В частности, устойчивый интерес проявляется к изучению свойств 20-электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием, графена и топологических изоляторов. Необычность свойств таких систем связана как с их квантовой, так и с релятивистской природой. В частности, последние два объекта прежде всего привлекательны благодаря линейному закону дисперсии - как у релятивистской безмассовой частицы. В этой связи целесообразно исследовать общие закономерности физических явлений, связанных с особенностями такого спектра. Так, несомненный интерес представляет изучение пространственно-временной эволюции волновых пакетов за долгосрочный период, которая в случае неэквидистантного спектра, как показали Авер-бух и Перельман [1], сопровождается явлениями коллапса и возрождения.

В течение последних десятилетий явления коллапса и возрождения были изучены теоретически и экспериментально в различных квантовых системах. В частности, пространственно-временная динамика атома водорода была рассмотрена в [2] путем построения волнового пакета с минимальной неопределенностью (то есть когерентного состояния квантового гармонического осциллятора), движущегося по кеплеровской орбите; полное и дробное восстановление волнового пакета было исследовано теоретически для ридберговского атома, молекул и низкоразмерных квантовых структур. Квазиклассическая эволюция, коллапс и возрождение волновых пакетов в графеновых квантовых точках в перпендикулярном магнитном поле были изучены в [3]. Также эти явления наблюдались экспериментально в различных нелинейных квантовых системах: двухуровневый атом, запертый в микроволновой полости [4]; ридберговские волновые пакеты в атоме [5] и т.д.

Наряду с явлениями коллапса и возрождения эволюция волновых пакетов, содержащих состояния двух энергетических зон, должна сопровождаться явлением Zitterbewegung (ZB), или trembling motion. Этот чисто квантовый эффект, установленный Шредингером для свободного дираков-ского электрона, был исследован, в частности, для релятивистских электронов, движущихся в вакууме в присутствии внешнего магнитного поля [6], а также для волновых пакетов, сформированных в 2D электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы, в монослойном гра-фене и т.д. [7-9]. Показано также, что особенности ZB-осцилляций зависят от спиновой (псевдоспиновой) поляризации начального пакета.

Управление потоками поляризованных по спину электронов - одна из фундаментальных задач спинтроники. В связи с этим рассматриваются такие устройства, как спиновые фильтры, спиновые транзисторы и т.д. В частности, в ряде работ (см., например, [10,11]) обсуждалась возможность управления баллистическим кондактансом квазиодномерного канала с помощью постоянного магнитного поля, ориентированного различным образом в плоскости 20-электронного газа со спин-орбитальным вза-

имодействием. В последние годы было установлено, что сильное спин-орбитальное взаимодействие в некоторых материалах - топологических изоляторах - приводит к формированию поверхностных (краевых) состояний, являющихся защищенными от рассеяния. Их прототипом может служить, в частности, контакт (гетеропереход) между двумя материалами (полупроводниками) с взаимно инвертированными зонами, предложенный в работе [12]. Интерфейсные состояния, кроме того, были недавно исследованы на границе между областями двумерного электронного газа с различным механизмом спин-орбитального взаимодействия (Рашбы и Дрес-сельхауза), между областями со спин-орбитальным взаимодействием и без него [13], а также в планарных гетеропереходах на основе графена [14].

Графен, обладая рядом уникальных свойств [15] (например, большой подвижностью электронов даже при комнатной температуре), является перспективным материалом для применения его в устройствах нано- или оптоэлектроники. Однако, отсутствие щели в энергетическом спектре графена (то есть безмассовость дираковских квазичастиц) является помехой при создании традиционных электронных устройств. Для создания диэлектрической щели в графене разработан ряд подходов: например, химическая модификация графена или вырезание из него отдельных нанолент (с шириной 10 - 100 нм.). В последнем случае щель возникает из-за квантовых размерных эффектов. Взаимодействие с подложкой может также приводить к возникновению щели. Так, для графена, эпитаксиально выращенного на подложке 5гС, величина щели составляет и 200 мэВ. Кроме того, в литературе обсуждаются возможности формирования графеновых структур с пространственно-неоднородной щелью, в которых, в частности, возможно существование локализованных состояний [16-18]. Использование сверхрешеточного периодического потенциала, внешнего или индуцированного подложкой, также сильно влияет на электронную структуру графена. В отличие от обычных материалов, в графеновых сверхрешетках возникает анизотропная перенормировка скорости дираковских квазичастиц, приводящая к эффекту коллимации.

Наряду со сверхрешетками из «новых» материалов типа графена, стабильный интерес проявляется к традиционным полупроводниковым сверхрешеткам, в том числе к изучению эффекта спин-орбитального взаимодействия в них [19]. Расчет квантовых состояний и изучение транспортных характеристик таких структур представляет собой актуальную проблему физики конденсированных систем в связи с серьезными перспективами их использования в задачах электро- и спинтроники. В частности, квантовые состояния и транспорт в латеральных сверхрешетках со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы были рассмотрены в [20].

Целью работы является теоретическое исследование особенностей пространственно-временной эволюции электронных волновых пакетов, в том числе явления Zitterbewegung, в различных квантовых системах, включая релятивистские электроны, описываемые уравнением Дирака, электроны в монослойном графене в магнитном поле, в квантовых проволоках со спин-орбитальным взаимодействием и в ЗБ топологических изоляторах, а

также исследование зонной структуры сверхрешетки на основе полупроводников без центра инверсии и интерфейсных состояний в сверхрешетке на основе графена.

Для достижения поставленных целей решались следующие задачи:

1. В упомянутых выше системах исследованы стационарные квантовые состояния: найден энергетический спектр и рассчитаны волновые функции.

2. Проведен анализ особенностей долгосрочной пространственно-временной эволюции волновых пакетов, связанных с явлениями их коллапса и возрождения; найдены соответствующие времена, а также изучены условия возникновения и характер Zitterbewegllng.

3. Для различных начальных состояний волновых пакетов проведен расчет пространственного распределения компонент спиновых плотностей, а также проанализированы особенности спиновой динамики носителей.

4. Рассчитан кондактанс квантового одномерного канала (квантовой проволоки), разделенного туннельно-прозрачным барьером. Установлена немонотонная зависимость кондактанса от энергии Ферми электронов.

5. Получено дисперсионное уравнение, определяющее энергию электрона в графеновой сверхрешетке; найдена область параметров сверхрешетки, при которых на границе раздела двух областей существуют приграничные (так называемые интерфейсные) состояния.

6. Проведен расчет изоэнергетических поверхностей в полупроводниковой сверхрешетке; найдено расщепление энергетических зон, связанное со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза.

Научная новизна диссертации определяется оригинальностью поставленных задач и полученными новыми результатами. Так, в работе проведено исследование эффектов коллапса и возрождения, а также явления Zitterbewegung релятивистских волновых пакетов, волновых пакетов в гра-фене в присутствии внешнего магнитного поля и на поверхности ЗБ топологических изоляторов. Установлено, что определенная пространственно-спиновая симметрия начального волнового пакета определяет его форму в последующие моменты времени. Изучена связь между параметрами неэквидистантного спектра стационарных состояний и характерными временами долгосрочной динамики волновых пакетов - временами коллапса и возрождения. Волновые пакеты визуализированы в различные моменты времени.

При анализе электронных состояний в графеновой сверхрешетке впервые установлена принципиальная возможность существования приграничных состояний на границе раздела двух областей, а также получены выражения для параметров сверхрешетки, при которых эти состояния

должны реализовываться. В полупроводниковой сверхрешетке со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза найдены изоэнергетические поверхности, а также вычислена величина спин-орбитального расщепления минизон.

Теоретическая и практическая значимость. Новые научные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть полезны при теоретическом исследовании спин-электронного транспорта в квантовых проволоках, графене, топологических изоляторах и полупроводниковых сверхрешетках, а также для интерпретации результатов, полученных в ходе различных экспериментов на низкоразмерных структурах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В процессе долгосрочной эволюции релятивистских волновых пакетов, а также волновых пакетов в графене в магнитном поле наблюдаются коллапс и возрождение электронной плотности вероятности, сопровождающиеся осцилляциями как средней скорости волнового пакета, так и среднего значения проекции спина (псевдоспина). Эволюция волновых пакетов, содержащих состояния с положительными и отрицательными энергиями, сопровождается также осцилляциями их центра — Zitterbewegung - с характерными частотами порядка ~ 1021 с."1 для релятивистского волнового пакета и ~ 1015 с."1 - для пакета в графене.

2. Управление кондактансом квазиодномерного канала со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы возможно с помощью внешнего управляющего электрода, модифицирующего энергетический спектр. При этом должны наблюдаться дополнительные пики проводимости канала.

3. Исследована когерентная динамика волновых пакетов, сформированных из поверхностных состояний в ЗБ топологических диэлектриках типа Бг'г&е3. Аналитически и численно рассчитаны электронная и спиновая плотности, а также осцилляции типа Zitterbewegung при различных значениях параметров гамильтониана. Рассмотрено влияние основных характеристик пакетов (размеров, спиновой поляризации) на расщепление, изменение формы и осцилляции их средней скорости.

4. В сверхрешетке на основе графена с периодически модулированной дираковской щелью в определенной области параметров сверхрешетки возможно существование интерфейсных (неосциллирующих) состояний.

5. В сверхрешетке на основе полупроводников со структурой цинковой обманки исследована роль спин-орбитального взаимодействия в формировании энергетического спектра. Изучено влияние потенциала сверхрешетки на геометрию изоэнергетических поверхностей с учетом спин-орбитального взаимодействия. Величина расщепления

минизон имеет порядок 1 мэВ, что соответствует терагерцевому диапазону.

Степень достоверности результатов проведенных исследований.

Результаты, полученные аналитическими и численными методами, согласуются друг с другом и не противоречат имеющимся в литературе данным. Правильность выводов и согласованность полученных результатов неоднократно подтверждались при апробации работы.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах и научных школах:

1. XIII-XVIII международные симпозиумы «Нанофизика и наноэлек-троника» (г. Н.Новгород, 2009-2014 г.г.).

2. XVIII-XIX Уральские международные зимние школы по физике полупроводников (г. Екатеринбург, 2010 г., 2012 г.).

3. 3-5-я всероссийские конференции молодых ученых «Микро-, нано-технологии и их применение» (г. Черноголовка, 2008, 2010, 2012 г.г.).

4. 2-4-й международные междисциплинарные симпозиумы «Среды со структурным и магнитным упорядочением» (г. Ростов-на-Дону, 2009, 2011,2013 г.г.).

5. 1-й, 3-й и 4-й международные междисциплинарные симпозиумы «Физика низкоразмерных систем и поверхностей» (г. Ростов-на-Дону, 2008, 2012, 2014 г.г.).

6. 13-я международная научная конференция-школа «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение» (г. Саранск, 2014 г.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в^^научных работах, 7 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, и 20 — в материалах международных и всероссийских конференций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Автор принимал непосредственное участие в постановке и решении теоретических задач, в обсуждении полученных результатов и их интерпретации, а также в подготовке работ к печати.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка публикаций автора по теме диссертации, библиографии (111 наименований) и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 123 страницы, включая 42 рисунка.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проведенных в рамках данной диссертационной работы, сделан обзор литературы по проблеме, сформулированы цель и основные задачи работы, ее научная новизна и практическая значимость, приведены основные положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов.

Первая глава посвящена исследованию особенностей пространственно-временной эволюции волновых пакетов в системах с неэквидистантными уровнями Ландау, сопровождающейся их коллапсом и последующим возрождением.

В §1.1 изучается долгосрочная циклотронная динамика двумерных релятивистских волновых пакетов с начальной волновой функцией, отвечающей когерентному состоянию нерелятивистского электрона в магнитном поле (при этом волновой пакет является суперпозицией стационарных состояний с близкими номерами уровней Ландау со средним значением по 1). Получено, что на начальной стадии эволюции квадрат модуля волновой функции (в безразмерных полярных координатах (р, в)) имеет вид

Здесь А - комптоновская длина волны, qa - безразмерный параметр, определяемый магнитной длиной а. Очевидно, что центр волнового пакета, положение которого задается углом вс = тг — 2irt/Tci, вращается с циклотронной частотой и>с = 2тт/ТС1 подобно движению классического электрона в магнитном поле. При этом форма волнового пакета практически не изменяется, и его движение по циклотронной орбите сопровождается осцилляциями средней скорости (рис.1(а)). Для параметров А/а = ОД, qa = 5 период обращения пакета по циклотронной орбите оказывается равным Tci ~ Ю-18 с.

С течением времени произойдет распад первоначально локализованного волнового пакета на множество частей, равномерно распределенных по циклотронной орбите, что объясняет «затухание» осцилляций средней скорости. Однако, в момент времени tx = TR/2 « Ю-16 с. (время возрождения - revival - определяется, согласно [1], квадратичным слагаемым в разложении энергетического спектра ipn = mc2y/l + 2п(\/а)2: TR = -ртгт)

произойдет восстановление формы волнового пакета (рис. 1(b)), сопряженное с возобновлением осцилляций средней скорости. Нами показано, что положение возрожденного пакета, в общем случае, не совпадает с его начальным положением при t = 0. В то же время, эволюция такого однозон-ного пакета сопровождается также дробными возрождениями: в моменты времени t и mTR/n (тип- взаимно простые числа) наблюдается N = п(3 - (-1)")/4 пакетов-фракций. В частности, в момент дробного

(1)

возрождения £2 = 7я/4 исходный волновой пакет распадется на два под-пакета с волновой функцией

„гтг/4 е-гтг/4

</>(г,£2 =ТН/4) = —=-^сг(г^2)+ —=-^(Г,«2 + ТЫ/2). (2)

При этом угловое расстояние между этими двумя подпакетами равно 7Г.

Рисунок 1. (а) Зависимость средней скорости волнового пакета ух{1) от времени; (Ь) Плотность вероятности в момент времени t яз Тд/2. Параметры А/а = ОД, да = 5 (что соответствует значению п = по » 13 и дисперсии Дп ~ у/по ~ 3,5).

Что касается спиновой динамики волнового пакета, представляющего собой суперпозицию стационарных состояний, отвечающих энергии одного знака, то можно показать, что для такого пакета среднее значение компоненты ¿^охраняется. Расчет среднего значения проекции спина на ось х дает, что ведет себя подобно компоненте средней скорости ух{Ь).

Таким образом, можно утверждать, что обычная прецессия спина наблюдается только в течение нескольких периодов Тс/. В дальнейшем вращение спина прекращается (что соответствует коллапсу волнового пакета) и возобновляется вновь при £ < Тд/2.

Динамика релятивистского волнового пакета, содержащего состояния как с положительными, так и с отрицательными энергиями, отличается от динамики однозонного волнового пакета: помимо явлений коллапса и возрождения наличие двух энергетических зон приводит к дополнительному эффекту — Zitterbewegung. Так, средняя скорость центра пакета зависит не только от разности энергий с/>п+1 -<рп, как в случае однозонного волнового пакета, но также от суммы </?п+1 + ц>п, что приводит к высокочастотным гВ-осцилляциям, происходящим в течение коротких промежутков вблизи моментов времени Ьк = кТс1/2 (к = 1,2,...), что связано с особенностью пространственно-временной эволюции распределения плотности вероятности волнового пакета. А именно: начальный волновой пакет расщепляется на два подпакета, которые вращаются с циклотронной частотой в противоположных направлениях, интерферируя друг с другом дважды за период. Естественно, что длительность гВ-осцилляций определяется отношением ширины подпакетов к их относительной скорости. Кроме того,

показано, что в момент времени £ = Тс//4 спиновые части этих подпакетов слабо отличаются друг от друга. Таким образом, пространственная часть полной волновой функции представляет собой суперпозицию мезоскопи-ческих состояний (рис.2). В дальнейшем эволюция каждого подпакета сопряжена с его коллапсом и последующим возрождением. Так, при £ = Тн каждый из двух подпакетов восстанавливается в различных точках циклотронной орбиты, что делает невозможным полное восстановление формы первоначального пакета.

Динамика средних значений проекций спина такого пакета имеет следующую особенность:

= Бу = 0, а среднее значение его ¿-компоненты осциллирует с гВ-частотой шгв ~ 2(^„0с/А и сопровождается явлениями коллапса и возрождения. В этом случае соответствующее время возрождения определяется через циклотронный период Тгеу = Тс(/2 [21,22]. В интервалах между 2В-осцилляциями среднее значение проекции спина 52(£) отлично от нуля. Так как гильбертово пространство решений уравнения Дирака в рассматриваемом случае может быть разделено на два инвариантных подпространства, то гамильтониан Дирака можно представить в виде суммы двух слагаемых. Одно из них идентично известной из квантовой оптики модели Джейнса-Каммингса, которая описывает взаимодействие двухуровневого атома с квантующим одномодовым полем (другое слагаемое эквивалентно взаимодействию анти-Джейнса-Каммингса). Нами получено, что зависимость аналогична хорошо

известному в этой модели выражению для заселенности нижнего уровня двухуровневого атома, который подвергается воздействию классического электромагнитного поля [1].

§1.2 посвящен исследованию явлений коллапса и возрождения волновых пакетов, локализованных в энергетическом пространстве с номерами уровней Ландау вблизи среднего значения п0 и дисперсией а [23], в мо-нослойном графене, помещенном в однородное магнитное поле. Установлено, что эволюция локализованного волнового пакета, составленного из квантовых состояний только верхней энергетической зоны, в нелегированном монослойном графене подобна динамике электронного релятивистского пакета, однако характерные времена циклотронного движения и возрождения существенно отличаются и для параметров п0 = 20, В = ЮТ, ст = 2, соответственно, равны Ты яз 0,3 пс., Тн « 2,5 пс. Нами также показано, что эволюция волновых пакетов, составленных из состояний, лежащих вблизи точек (долин) К и К', оказывается эквивалентной. Заметим, что динамика волнового пакета в графене в магнитном поле впервые об-

Рисунок 2. Распределение плотности вероятности волнового пакета с параметрами А/а = 0,5, да = 10 в момент времени £ « Тс;/4.

суждалась Русиным и Завадским [24]: на начальном этапе эволюции f(t) стремится в центр его циклотронной орбиты, не отражая реального распределения электронной плотности вероятности, которая всегда распределена по циклотронной орбите.

В §1.3 проведен анализ квантовых состояний в квазиодномерных каналах со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы, исследована эволюция волновых пакетов в них, а также рассчитан баллистический кондак-танс. Квазиодномерный канал моделируется потенциалом бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы, ограничивающей движение 2D-электронов. Для расчета волновой функции электронного волнового пакета в канале со спин-орбитальным взаимодействием в произвольный момент времени был использован метод функции Грина. В случае, когда учитываются только два низших уровня в спектре стационарных состояний, удаётся получить точные аналитические выражения для функции плотности вероятности волнового пакета. Установлено, что начальный волновой пакет ширины d расщепляется на два пакета, распространяющихся со скоростями koyh/m ± a/h (k0yh - начальный импульс). Таким образом, центры этих пакетов «разбегаются» друг относительно друга со скоростью 2а/h, пропорциональной константе спин-орбитального взаимодействия а. При этом х (f) испытывает затухающие колебания с частотой loZb = 2ak0y/h, связанные с отсутствием симметрии по отношению к замене х —» -х в функции плотности вероятности в произвольный момент времени. На временах порядка t = hd/a осцилляции затухают, что соответствует окончательному «разбеганию» пакетов друг относительно друга. При больших временах t 1 центр волнового пакета смещается относительно центра канала к его границе на постоянную величину, которая для параметров гетероструктуры GaAs/In0^Ga0j7As и величины k0yd = 2,5 примерно равна 0,1 ■ а. Для пакетов, распространяющихся в обратном направлении, эта величина имеет противоположный знак.

При исследовании проводимости квазиодномерного канала в него введен ¿-образный потенциал U0 ■ 6(х), симметрично разделяющий потенциальную яму ширины 2а. Такой барьер может быть создан методами электронной или зондовой литографии. При отсутствии спин-орбитального взаимодействия при достаточно большом значении U0 спектр, как известно, состоит из близких пар уровней. В каждой такой паре одному из уровней отвечает симметричная волновая функция, а другому — антисимметричная. При наличии спин-орбитального взаимодействия Рашбы электронный спектр и волновые функции искались в виде разложения по базису из этих функций. В двухуровневом приближении получено аналитическое выражение для энергетического спектра в канале. При ку = 0 (у - направление вдоль канала) спектр, как и в случае отсутствия спин-орбитального взаимодействия, остаётся двукратно вырожденным (по спину). При конечных ку ф 0 каждый уровень расщепляется на два, и вырождение по спину снимается. В частности, при малых значениях куа 1 это расщепление оказывается линейным по ку\ с ростом ку эта зависимость нарушается, что связано с наличием потенциала конфайнмента в плоскости

2Б-газа [10]. Это приводит к антикроссингу соседних ветвей спектра и к возможности появления участка с немонотонной зависимостью Е(ку) (рис.3(a)), что определяет нетривиальный закон квантования кондактан-са. Сформулировано условие, при котором зависимость Е(ку) становится немонотонной: так называемый «bump» появляется при U0 ^ 10~8эВ см. (здесь учтено, что характерная величина спин-орбитального взаимодействия Рашбы в низкоразмерных полупроводниковых структурах имеет порядок а ~ 10~1() -J- 10~9эВ-см.). Таким образом, изменяя тем или иным способом величину Uq, можно эффективно изменять структуру энергетического спектра и управлять баллистической проводимостью квантового канала G(EF) (рис.З(Ь)). Другим следствием наличия спин-орбитального взаимодействия в канале является смещение зависимости G{Ep) в область более низких энергий по сравнению со случаем, когда спин-орбитальное взаимодействие отсутствует (а = 0, пунктирная линия на рис.3(b)). Этот эффект связан со сдвигом вниз энергетических уровней для случая а ф 0 (при куа = 0), а также линейным характером расщепления ветвей спектра при куа 1.

1.03

(Г.97 0.98 0.99 I

ЕР (7г2й2/2та2)

(а) (Ь)

Рисунок 3. Канал со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы (а = 2,5 ■ 10~1ОэВ-см., а = 100 нм., т = 0,067 ■ т0, т0 - масса свободного электрона, Щ = 3,6 • 10~7 эВ-см.): (а) энергетический спектр электронного газа; (Ь) кондактанс как функция энергии Ферми.

Во второй главе изучена эволюция волновых пакетов на поверхности тонких пленок ЗЭ топологических изоляторов на примере селенида висмута Вг25е3, являющихся суперпозицией стационарных поверхностных состояний эффективного гамильтониана вывод которого приведен

в [25]. Спиновые плотности в поверхностных зонах могут иметь различный знак. Причем, при малых значениях к, то есть вблизи Г-точки зоны Бриллюэна, направление спина определяется знаком энергетической щели Д, а при больших значениях к оно зависит от знака величины спин-орбитального взаимодействия В к2.

Динамика одномерных пакетов, построенных из поверхностных состояний верхней и нижней зон, существенным образом зависит от начального

размера пакета Так, аналитические расчеты, проведенные с помощью метода стационарной фазы, показывают, что достаточно широкие волновые пакеты » ¿с = ^ + ва-ь,,^ |) практически не расщепляются на две части, а период осцилляций электронной плотности зависит от координаты: с ростом х он уменьшается. Узкие волновые пакеты (с£ с?с), наоборот, эффективно расщепляются на две части, так как скорость их разбегания оказывается много больше скорости их расплывания. Спиновая плотность пакета при этом оказывается знакопеременной функцией в связи с тем, что при А/В > 0 стационарная спиновая плотность в зоне Бриллюэна меняет знак. В результате каждая часть распавшегося начального волнового пакета с течением времени расщепляется еще на две части, которые имеют строго определенный знак спиновой плотности Зг. При толщинах пленки топологического изолятора, когда Д/В < 0, спиновая плотность в каждый момент времени имеет одинаковый знак.

Эволюция двумерных волновых пакетов с начальным квазиимпульсом к0х существенным образом зависит от их начальной пространственно-спиновой симметрии. Так, из-за коммутации эффективного гамильтониана с оператором полного спина следует, что в случае цилиндрически симметричного начального волнового пакета с ориентацией спина по оси 2 (ось 2 перпендикулярна поверхности пленки топологического изолятора) и к0х = 0 его электронная плотность вероятности, а также спиновая плотность ^ в произвольный момент времени сохраняют первоначальную аксиальную симметрию (рис.4(а)). В то же время, спиновые плотности Бх и имеют сложную структуру (рис.4(Ь)).

(а)

(Ь)

Рисунок 4. Двумерный волновой пакет с начальной шириной (I = 50 А, кох = 0 и поляризацией (1,0)т на поверхности пленки топологического изолятора толщины Ь = 32 А в момент времени Ь = 22,6 пс.: (а) электронная плотность; (Ь) спиновая плотность Яу.

Цилиндрически симметричные волновые пакеты с к0х = 0 и начальной ориентацией спина по х или у или же с к0х ф 0 при начальной поляризации спина по г в произвольный момент времени становятся асимметричными, что обусловливает ненулевой эффект

дрожания центра волнового пакета -Характер 2В-осцилляций зависит от начальной ориентации спина волнового пакета. Так, волновой пакет с начальной поляризацией спина вдоль оси х смещается с постоянной скоростью в направлении у (рис.5). При этом движение пакета на начальном этапе эволюции сопровождается осцилляциями даже при кох = 0. В случае начальной поляризации спина волнового пакета вдоль оси у наличие 2В-осцилляций является качественным отличием динамики пакетов в топологических изоляторах и в системе двумерного газа со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы, где в этом случае ZB-осцилляции отсутствуют.

Третья глава посвящена исследованию электронных (в том числе интерфейсных) состояний в полупроводниковой сверхрешетке со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза и в сверхрешетке на основе графена.

Сверхрешетка на основе графена с периодически модулированной щелью Д и относительным смещением зон, характеризуемым некоторым потенциалом V, в принципе, может быть получена нанесением моно-слойного графена на полосчатую подложку из чередующихся полос оксида кремния и, например, гексагонального нитрида бора /1-ВЫ (или же 5гС). Известно, что интерфейсные состояния могут существовать в одиночном гетеропереходе на основе графена [14]. Анализ дисперсионного уравнения сверхрешетки (в случае, когда доли щелевой и бесщелевой фракций графена одинаковы) показал, что при V > 0 интерфейсные состояния могут быть реализованы только в дырочной минизоне, в то время как электронная минизона состоит только из состояний, волновые функции которых осциллируют по крайней мере в бесщелевой области. В работе найдена область параметров сверхрешетки, при которых на границе раздела двух областей существуют интерфейсные (неосцил-лирующие) состояния. На рис.6 представлена дырочная минизона сверхрешетки, верхняя узкая часть которой, показанная сплошной (красной) линией, сформирована интерфейсными состояниями. Пунктирной (красной) линией на рисунке показан интерфейсный энергетический уровень одиночного гетероперехода [14].

I Ур/й

Рисунок 5. Среднее значение координаты у(Ь) для гауссовского волнового пакета с начальной поляризацией спина по оси х с <1 = 50 А; толщина пленки Ь = 32 А.

-10

|-15

сю

аЗ-20

с

ы

-25

ку1=1

У=11шеУ Л=22те\/

-3-2-10 I 2 3

к!

Рисунок 6. Дырочная минизона спектра графеновой сверхре-

В рамках модели Кронига-Пенни исследована электронная структура сверхрешетки, сформированной периодически повторяющимися слоями полупроводников с различными константами спин-орбитального взаимодействия Дрессельхауза. Изоэнергети-ческая поверхность электронов в объемном полупроводнике из-за наличия спин-орбитального взаимодействия с гамильтонианом

Но = 1 (охкх (к2у - Щ) + ауку (к2, - ¿2) + агкг ('к\ - к^ (7 - константа спин-орбитального взаимодействия) расщепляется на две части; в точках кх = ку — кг, где спин-орбитальное взаимодействие равно нулю, вырождение по спину не снимается. Периодический потенциал сверхрешетки полностью снимает вырождение по спину.

В случае когда |Л:^| = \ку\ зонный спектр представляет собой две серии минизон. При этом состояния каждой серии (соответствующие индексам «+» и «-») имеют следующие спиновые плотности: (г) = О, 5±(2) = -Бу(г) (г - ось сверхрешетки). Численный анализ дисперсионного уравнения показал, что ширина минизон, а также величина запрещенных зон существенно зависят от типа спиновой поляризации. Так, с ростом параметра \кх\ минизоны из серии с поляризацией «+» оказываются заметно уже аналогичных минизон из серии с поляризацией «-». При этом обе серии минизон смещаются вверх по энергии. Также установлены значения \кх\ = \ку\, при которых пара соседних минизон касается друг друга в центре зоны Бриллюэна. При этом щель между парой минизон с другой спиновой поляризацией оказывается, вообще говоря, отличной от нуля. В общем случае, когда \кх| ф |/с„|, энергия минизон сильно зависит от соотношения между волновыми векторами кх и ку. Величина спин-орбитального расщепления первой минизоны сверхрешётки на две подзоны соответствует частоте Аи и 0,2 ТГц.

Интерфейсные состояния при \кх\ — \ку\ в исследуемой сверхрешетке не обнаружены. Заметим, что в отличие от результатов работы [13], в которой такие состояния найдены на границе между областями двумерного газа с различным механизмом спин-орбитального взаимодействия (Рашбы и Дрессельхауза), а также между областями со спин-орбитальным взаимодействием и без него, на интерфейсе между двумя полупроводниками со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза приграничные состояния также отсутствуют.

В заключении приведены основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Проведено всестороннее исследование эффектов коллапса и возрождения, а также явления Zitterbewegung релятивистских волновых пакетов и волновых пакетов в графене в присутствии внешнего магнитного поля. Аналитически и численно рассчитаны плотности вероятности, а также спиновые плотности волновых пакетов. Показано, что пакеты, содержащие состояния с положительными и отрицательными энергиями, распадаются на два подпакета, которые вращаются по циклотронным орбитам в противоположных направлениях. След-

ствием их интерференции являются высокочастотные осцилляции с и ~ 1021 с."1 для релятивистского волнового пакета и со ~ 1015 с."1 -для пакета в графене.

2. Впервые теоретически исследованы особенности пространственно-временной эволюции волновых пакетов, сформированных на поверхности тонких пленок 3D топологических изоляторов (на примере Bi2Se3). Обнаружена зависимость характера дрожания центра волнового пакета от его начальной пространственно-спиновой симметрии.

3. Показано, что баллистическим кондактансом квантовой проволоки со спин-орбитальным взаимодействием можно управлять с помощью внешнего электрода: изменяя напряжение на нем, удается эффективно модифицировать электронный энергетический спектр, в результате чего должны наблюдаться дополнительные пики проводимости канала.

4. Впервые установлено, что в сверхрешетке на основе графена с периодически модулированной дираковской щелью возможно существование неосциллирующих (интерфейсных) состояний. Найдена область параметров сверхрешетки, при которых эти состояния должны реализовываться.

5. В сверхрешетках, созданных на основе полупроводников со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза, построены изоэнер-гетические поверхности, найдена величина расщепления минизон, равная ~ 1 мэВ, что соответствует терагерцевому диапазону излучения.

Список цитированной литературы

1. Авербух И. Ill, Перельман Н. Ф. Динамика волновых пакетов высоковозбужденных состояний атомов и молекул // Успехи физических наук. 1991. Т. 161. С. 41 - 81.

2. GaetaZ. D., Stroud С. R. Classical and quantum-mechanical dynamics of a quasiclassical state of the hydrogen atom // Phys. Rev. A. 1990. Vol. 42. P. 6308 - 6313.

3. Torres J. J., Romera E. Wave packet revivals in a graphene quantum dot in a perpendicular magnetic field // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 82. P. 155419-1 - 155419-4.

4. AuffevesA., MaioliP, Meunier T., et al. Entanglement of a mesoscopic field with an atom induced by photon graininess in a cavity // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 91. P. 230405-1 - 230405-4.

5. YeazellJ.A., MallalieuM., Stroud С. R. Observation of the collapse and revival of a Rydberg electronic wave packet // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. P. 2007-2010.

6. RusinT. M., ZawadzkiW. Zitterbewegung of relativistic electrons in a magnetic field and its simulation by trapped ions // Phys. Rev. D. 2010. Vol. 82. P. 125031-1 - 125031-20.

7. Demikhovskii V. Ya., MaksimovaG. M., FrolovaE. V. Wave packet dynamics in a two-dimensional electron gas with spin orbit coupling: splitting and zitterbewegung II Phys. Rev. B. 2008. Vol. 78. P. 115401-1 -115401-10.

8. DemikhovskiiV.Ya., MaksimovaG.M., FrolovaE.V. Wave packet dynamics in hole Luttinger systems // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 81. P. 115206-1 - 115206-10.

9. MaksimovaG.M., DemikhovskiiV.Ya., FrolovaE.V. Wave packet dynamics in a monolayer graphene // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 78. P. 235321-1 -235321-7.

10. MorozA. V., Barnes С. H. W. Spin-orbit interaction as a source of spectral and transport properties in quasi-one-dimensional systems // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 61. P. R2464 - R2467.

11. PershinYu. V., Nesteroff J. A., PrivmanV. Effect of spin-orbit interaction and in-plane magnetic field on the conductance of a quasi-one-dimensional system // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 121306-1 - 121306-4.

12. Волков Б. А., Панкратов О. А. Безмассовые двумерные электроны в инверсном контакте // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т. 42. С. 145 - 148.

13. SukhanovA. A., SablikovV.A. Interface states in two-dimensional electron systems with spin-orbital interaction // J. Phys.: Condens. Matter. 2011. Vol. 23. P. 395601-1 - 395601-8.

14. Ratnikov P. V., SilinA. P. Boundary states in graphene heterojunctions // Phys. Solid State. 2010. Vol. 52. P. 1763 - 1767.

15. GeimA.K., NovoselovK.S. The rise of graphene // Nature Materials. 2007. Vol. 6. P. 183 - 191.

16. Peres N. M. R. Scattering in one-dimensional heterostructures described by the Dirac equation // J. Phys.: Condens. Matter. 2009. Vol. 21. P. 095501-1 - 095501-8.

17. GiavarasG., NoriF. Graphene quantum dots formed by a spatial modulation of the Dirac gap // Appl. Phys. Lett. 2010. Vol. 97. P. 243106-1 -243106-3.

18. Ратников П. В. Сверхрешетка на основе графена на полосчатой подложке // Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 90. С. 515 - 520.

19. Zuticl., Fabian J., SarmaS.D. Spintronics: Fundamentals and applications // Rev. Mod. Phys. 2004. Vol. 76. P. 323 - 410.

20. Demikhovskii V. Ya., KhomitskyD. V. Spin-orbit lateral superlattices: Energy bands and spin polarization in 2DEG // JETP Lett. 2006. Vol. 83. P. 399 - 404.

21. BermudezA., Martin-Delgado M. A., Solano E. Coherence and decay of Rydberg wave Packets // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 123602-1 -123602-4.

22. Gea-Banacloche J. Atom- and field-state evolution in the Jaynes-Cummings model for large initial fields // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 44. P. 5913 -5931.

23. RomeraE., Santos F. Revivals, classical periodicity, and zitterbewegung of electron currents in monolayer graphene // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 80. P. 165416-1 - 165416-5.

24. Rusin Т. M., Zawadzki W. Zitterbewegung of electrons in graphene in a magnetic field // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 78. P. 125419-1 - 125419-9.

25. LuH.-Z., ShanW.-Y., YaoW., et al. Massive Dirac fermions and spin physics in an ultrathin film of topological insulator // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 81. P. 115407-1 - 115407-7.

Список работ по теме диссертации

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях:

Al. DemikhovskiiV.Ya., MaksimovaG.М., PerovA.A., TelezhnikovA.V. Long-term cyclotron dynamics of relativistic wave packets: spontaneous collapse and revival // Phys. Rev. A. 2012. Vol. 85. P. 022105-1 -022105-14.

A2. ДемиховскийВ.Я., Тележников А. В., Фролова E. В., КравецН.А. Мезоскопические состояния в графене, находящемся в магнитном поле: коллапс и возрождение волновых пакетов // Физика низких температур. 2013. № 1. Т. 39. С. 26 - 36.

A3. ДемиховскийВ.Я., Тележников А. В. Управление кондактансом квазиодномерного канала в присутствии спин-орбитального взаимодействия // Известия РАН. Серия физическая. 2009. № 7. Т. 73. С. 975 - 977.

A4. Демиховский В. Я., Тележников А. В. Zitterbewegung волновых пакетов и кондактанс квазиодномерного канала в присутствии спин-орбитального взаимодействия // Поверхность. Рентгеновские, син-хротронные и нейтронные исследования. 2010. № 5. С. 69 - 77.

А5. Демиховский В. Я., Тележников А. В. Динамика электронных волновых пакетов в топологических изоляторах // Письма в ЖЭТФ. 2014. Т. 99. С. 110- 114.

А6. MaksimovaG.M., AzarovaE.S., TelezhnikovA.V., BurdovV.A. Graphene superlattice with periodically modulated Dirac gap // Phys. Rev. В. 2012. Vol. 86. P. 205422-1 - 205422-7.

A7. Тележников А. В., Демиховский В. Я. Влияние спин-орбитального взаимодействия на зонную структуру полупроводниковых сверхрешеток // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. 2010. № 5(2). С. 32 - 35.

А8. Тележников A.B., Демиховский В. Я. Управление кондактансом квазиодномерного канала в присутствии спин-орбитального взаимодействия // Труды XIII международного симпозиума «Нанофизика и на-ноэлектроника». Н.Новгород. 2009. С. 513 - 514.

А9. Тележников А. В., Демиховский В. Я. Зонный спектр мультислойных гетероструктур (сверхрешеток) со спин-орбитальным взаимодействием Дрессельхауза // Труды XIV международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника». Н.Новгород. 2010. С. 515 - 516.

А10. Тележников А. В., Фролова Е. В., Демиховский В. Я. Динамика волновых пакетов в графене, находящемся в магнитном поле // Труды XV международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника». Н.Новгород. 2011. С. 397 - 398.

All. Тележников А. В., Демиховский В. Я. Мезоскопические состояния в графене, находящемся в магнитном поле: коллапс и возрождение волновых пакетов // Труды XVI международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника». Н.Новгород. 2012. С. 400 - 401.

А12. Фролова Е. В., Тележников A.B., КравецН.А. Пространственно-временная эволюция квантовых состояний в двухслойном графене // Труды XVI международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника». Н.Новгород. 2012. С. 413 - 414.

А13. Максимова Г. М., АзароваЕ.С., Тележников А. В., БурдовВ.А. Сверхрешетка на основе графена с периодически модулированной дираковской щелью // Труды XVII международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника». Н.Новгород. 2013. С. 604 - 605.

А14. Демиховский В. Я., Тележников А. В. Динамика электронных волновых пакетов в ЗБ топологических изоляторах // Труды XVIII международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника». Н.Новгород. 2014. С. 99 - 100.

А15. Демиховский В. Я., Тележников А. В. Управление кондактансом квазиодномерного канала в присутствии спин-орбитального взаимодействия // Труды первого международного междисциплинарного симпозиума «Физика низкоразмерных систем и поверхностей». Ростов-на-Дону. 2008. С. 300 - 303.

А16. Демиховский В. Я., Тележников А. В. Спиновая поляризация и Zгtterbewegung в каналах со спин-орбитальным взаимодействием // Труды второго международного симпозиума «Среды со структурным и магнитным упорядочением». Ростов-на-Дону. 2009. С. 145 - 148.

А17. Демиховский В. Я., Тележников А. В. Состояния типа «шредингеров-ский кот» в полупроводниках и низкоразмерных полупроводниковых структурах // Труды третьего международного симпозиума «Среды со структурным и магнитным упорядочением (Multiferroics-3)». Ростов-на-Дону. 2011. С. 44 - 47.

А18. Тележников А. В. Коллапс и возрождение локализованных волновых пакетов в монослойном графене во внешнем магнитном поле // Труды третьего международного междисциплинарного симпозиума «Физика низкоразмерных систем и поверхностей». Ростов-на-Дону. 2012. С. 107- 110.

А19. Максимова Г. М., БурдовВ.А., АзароваЕ.С., Тележников А. В. Гра-феновая сверхрешетка с периодически модулированной щелью // Труды четвертого международного междисциплинарного симпозиума «Среды со структурным и магнитным упорядочением (МиШГеггою8-4)». Ростов-на-Дону. 2013. С. 92 - 95.

А20. Демиховский В. Я., ПеровА.А., Тележников А. В. Эволюция квантовых локализованных состояний и ZШerbewegung в тонкой пленке ЗБ топологического изолятора Бг25ез // Труды четвертого международного междисциплинарного симпозиума «Физика низкоразмерных систем и поверхностей». Ростов-на-Дону. 2014. С. 31 - 33.

А21. Тележников А. В., Демиховский В. Я. Управление кондактансом квазиодномерного канала в присутствии спин-орбитального взаимодействия // Тезисы докладов 3-ей всероссийской школы молодых ученых «Микро-, нанотехнологии и их применение». Черноголовка. 2008. С. 43 - 44.

А22. Тележников А. В., Демиховский В. Я. Электронные квантовые состояния в сверхрешетках со спин-орбитальным взаимодействием Дрес-сельхауза // Тезисы докладов 4-ой всероссийской конференции мо-

лодых ученых «Микро-, нанотехнологии и их применение». Черноголовка. 2010. С. 76.

А23. Тележников А. В., Максимова Г. М., БурдовВ. А., Азарова Е. С. Электронная структура графеновой сверхрешетки с периодически модулированной дираковской щелью // Тезисы докладов 5-ой всероссийской конференции молодых ученых «Микро-, нанотехнологии и их применение» им. Ю. В. Дубровского. Черноголовка. 2012. С. 67.

А24. ДемиховскийВ.Я., Тележников А. В. Зонный спектр мультислойных сверхрешеток со спин-орбитальным взаимодействием // Тезисы докладов XVIII Уральской международной зимней школы по физике полупроводников. Екатеринбург. 2010. С. 106 - 107.

А25. Тележников, А. В. Динамика электронных волновых пакетов в моно-слойном графене, находящемся в магнитном поле // Тезисы докладов XIX Уральской международной зимней школы по физике полупроводников. Екатеринбург. 2012. С. 134 - 135.

А26. Фролова Е. В., Тележников А. В., КравецН. А. «Шредингеровский кот» в двухслойном графене, помещенном в перпендикулярное магнитное поле // Тезисы докладов XIX Уральской международной зимней школы по физике полупроводников. Екатеринбург. 2012. С. 132 - 133.

А27. ДемиховскийВ.Я., Тележников А. В. Эволюция квантовых состояний в тонких пленках топологических изоляторов // Тезисы докладов 13-й международной научной конференции-щколы «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение». Саранск. 2014. С. 165.

Оглавление диссертации

Введение

Глава 1. Волновые пакеты в системах с неэквидистантными уровнями

Ландау: коллапс и возрождение

1.1 Долгосрочная циклотронная динамика релятивистских волновых пакетов: коллапс и возрождение

1.1.1 Основные уравнения

1.1.2 Эволюция релятивистского волнового пакета, состоящего из стационарных состояний, отвечающих энергиям одного знака

1.1.3 Пространственно-временная динамика мезоскопических волновых пакетов, содержащих состояния, отвечающие как положительным, так и отрицательным энергиям

1.2 Мезоскопические состояния в графене, находящемся в магнитном поле: коллапс и возрождение волновых пакетов

1.2.1 Модель

1.2.2 Эволюция волновых пакетов, содержащих состояния одной энергетической зоны

1.2.3 Эволюция волновых пакетов, содержащих состояния с положительными и отрицательными энергиями

1.3 ZitterЪewegung волновых пакетов и кондактанс квазиодномерного канала в присутствии спин-орбитального взаимодействия

1.3.1 Электронные квантовые состояния в квазиодномерном канале со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы

1.3.2 Динамика волновых пакетов в квазиодномерном канале со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы. Zitterbewegung

1.3.3 Кондактанс квазиодномерного канала со спин-орбитальным взаимодействием

Глава 2. Динамика электронных волновых пакетов в ЗБ топологических изоляторах

2.1 Постановка задачи

2.2 Эволюция квазиодномерных электронных волновых пакетов в 30 топологическом изоляторе _Вг2>5ез

2.3 Эволюция двумерных электронных волновых пакетов в ЗО топологическом изоляторе В128ез

Глава 3. Электронные состояния в сверхрешетках со спин-орбитальным взаимодействием и в графене

3.1 Сверхрешетка на основе графена с периодически модулированной дираковской щелью

3.1.1 Дираковская частица в графеновой сверхрешетке

3.1.2 Интерфейсные состояния

3.2 Влияние спин-орбитального взаимодействия на зонную структуру полупроводниковых сверхрешеток

Заключение

Список публикаций автора по теме диссертации

Литература

Приложение А

Приложение В

Приложение С

Подписано в печать 22.01.2015 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ № 22. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в РИУ ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37