Фазовые переходы в низкоразмерных системах с бозонными степенями свободы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Красавин Андрей Валерьевич

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМАХ С БОЗОННЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

01.04.07. - Физика конденсированного состояния

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2003

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (Государственном университете)

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

Доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация:

Кашурников Владимир Анатольевич

Барабанов Александр Федорович Яковлев Валерий Петрович Институт спектроскопии РАН

Защита состоится 19 ноября 2003 в 16 часов на заседании Диссертационного совета Д212.130.06 в МИФИ по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, д.31, тел. 323-9167.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ. Автореферат разослан « /» ОКХЯГрЯ 2003.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь диссертационного совета: /Обч-^ух Кельнер С.Р.

15152.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

За последнее десятилетие в физике конденсированного состояния наблюдается резкий качественный скачок, связанный с возможностью исследования сложных систем методом численного моделирования. Это привело к тому, что компьютерное моделирование считается сейчас «третьим путем» развития науки, помимо традиционных теоретического и экспериментального, более близким, однако, к эксперименту: как и в эксперименте, результатом численного моделирования являются численные данные, а качество компьютерного эксперимента определяется погрешностью полученных результатов. Очень часто возникают ситуации, когда осуществление реального эксперимента не представляется возможным ввиду чрезвычайной сложности постановки, а аналитическое рассмотрение затруднено из-за отсутствия в задаче малых параметров (ситуация, типичная в физике конденсированных сред). В этих случаях компьютерное моделирование часто является единственным средством получения качественных и даже количественных результатов.

Квантовые методы Монте-Карло занимают особое место среди численных методов исследования сильно-коррелированных систем, так как во многих случаях являются единственно возможными при изучении больших (число частиц больше 100) систем, вычисляя квантовомеханические средние с асимптотической точностью при конечных температурах.

Квантовый траекторный алгоритм Монте-Карло является идеальным средством для изучения низкоразмерных бозонных моделей Хаббарда, позволяя вычислять такие характеристики систем, как одночастичная матрица плотности, многочастичные корреляции, критические значения параметров системы в точках фазовых переходов при нулевой температуре.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

Интерес к низкоразмерным системам взаимодействующих бозонов сильно возрос после экспериментального наблюдения в 1995 году бозе-конденсации в ультрахолодных газах. Сейчас с помощью траекторных алгоритмов Монте-Карло успешно исследуются явления бозе-конденсации в оптических решетках различной размерности, поведение жидкого гелия в пористых структурах, поведение атомов водорода на поверхности жидкого гелия, сверхтоковые состояния в низкоразмерных структурах.

Цель работы:

численное исследование различных фазовых переходов в низкоразмерных системах взаимодействующих бозонов (сверхтекучесть -моттовский изолятор, одночастичная жидкость - двухчастичная жидкость, квазиконденсация бозонов в двумерных системах).

Научная новизна результатов;

• Впервые проведен корректный расчет критической точки фазового перехода мотювский диэлектрик - сверхтекучесть в соизмеримой одномерной бозонной системе со стороны диэлектрической фазы. Полученное значение ОУ11)С=0.300±0.005 совпадает в пределах погрешности с известным результатом метода «ренорм-групповой анализ + точная диагонализация» (уи)с=0.304±0.002, рассчитанного со стороны сверхтекучей фазы.

• Впервые показано, что одномерная редуцированная бозонная модель Хаббарда не может быть использована в качестве хорошей аппроксимации для полной модели, так как критические значения (г/и)с фазового перехода моттовский диэлектрик - сверхтекучесть сильно различаются для этих моделей.

• Впервые обнаружен фазовый переход одночастичная сверхтекучая жидкость - двухчастичная сверхтекучая жидкость в рудецированной бозонной модели. Для одномерной спиновой цепочки со спином 1 и аксиальной симметрией, являющейся макроскопическим аналогом редуцированной бозонной модели, доказано существование фазы, характеризующейся (Б^ = О в основном и (52) = ±2 в первом

возбужденном состоянии.

• Показано, что в двумерном взаимодействующем бозе-газе образование квазиконденсата начинается при параметрах системы, далеких от критической точки фазового перехода; впервые показано, что амплитуда эффекта уменьшения скорости неупругих процессов в присутствии квазиконденсата очень чувствительна к силе межчасгичного взаимодействия.

• Показано, что введение разупорядочения в двумерный взаимодействующий бозе-газ оказывает влияние лишь на сверхтекучие свойства системы, оставляя локальные корреляционные свойства практически без изменения.

Практическая ценность работы:

Разработанные модифицированные алгоритмы Монте-Карло позволяют вычислять макроскопические и локальные характеристики низкоразмерных систем с бозонными степенями свободы.

Полученные в диссертации результаты обладают предсказательной силой: позволяют описывать фазовые переходы в низкоразмерных бозонных системах, квазиконденсатные корреляции в двумерных системах; позволяют прогнозировать изменения характеристик бозе-систем в реальных условиях оптических ловушек.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Определение квантовым траекторным методом Монте-Карло критической точки фазового перехода сверхтекучесть - моттовский изолятор для одномерной бозонной модели Хаббарда и демонстрация костерлиц-таулессовского поведения моттовской щели.

2. Расчет критической точки фазового перехода сверхтекучесть -моттовский изолятор для одномерной редуцированной бозонной модели Хаббарда в случае потенциала отталкивания. Доказательство реализации фазового перехода от одночастичной сверхтекучей жидкости к двухчастичной в случае потенциала притяжения для редуцированной модели. Демонстрация аналогии со спиновой анизотропной цепочкой.

3. Зависимость скорости трехчастичной рекомбинации от силы межчастичного взаимодействия в двумерном слабовзаимодействующем бозе-газе.

4. Демонстрация двухмасштабности в поведении одночастичной матрицы плотности в квазиконденсатном состоянии.

5. Зависимость сверхтекучих свойств двумерного слабовзаимодействующего бозе-газа от степени разупорядочения.

Апробация диссертационной работы:

Изложенные в диссертации результаты докладывались на Научной сессии МИФИ (1999, 2000, 2003), на симпозиуме Symposium on Quantum Fluids and Solids (США, 1998), на XXXIII Совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 2003), а также на семинарах теоретического

б

отдела Института сверхпроводимости и физики твердого тела (РНЦ «Курчатовский институт»).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 9 работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Общий объем - 32 страниц, включая Ш рисунка, ^таблицы и список цитируемой литературы из ^наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследований, сформулирована цель работы, рассмотрена практическая ценность работы, приведены основные результаты, полученные в диссертации, и положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается бозонная модель Хаббарда и ее модификации, описывающие низкоразмерные системы взаимодействующих бозонов, исследованные в диссертации. Обсуждаются качественные фазовые диаграммы модели, ренорм-групповые уравнения.

У целого ряда низкоразмерных сильнокоррелированных систем наблюдаются фазовые переходы сверхтекучесть - изолятор, сверхтекучесть - бозе-стекла например, сверхтекучий гелий, квантовые спиновые стекла, вихревая решетка в ВТСП. Для описания таких систем используется бозонная модель Хаббарда на решетке и ее модификации как в упорядоченной фазе, так и в присутствии андерсоновского беспорядка [Scalettar R.T. etat. Phys.Rev. В, 51,8467 (1995)].

7

В простейшем случае взаимодействия только на соседних узлах гамильтониан бозонной модели Хаббарда имеет следующий вид:

где ) - операторы рождения (уничтожения) бозона на узле i; (ik)

обозначает соседние узлы; t - матричный элемент перескока на соседние узлы, везде в диссертации расчеты проведены для t=l; U - энергия взаимодействия бозонов на узле; V - энергия взаимодействия бозонов на

соседних узлах; п( = а^а|( 0 < n, < Nb, Nb - число бозонов в системе; е, -

энергии разупорядочения на узлах.

Даже при отсутствии взаимодействия на соседних узлах (V=0) в низкоразмерной системе, описываемой моделью (1), реализуются фазовые переходы Костерлиц-Таулессовского типа [Kosterlitz IM. and Thouless DJ., IPhys.C, 6, 1181 (1973)] сверхтекучесть - изолятор и сверхтекучесть -бозе-сгекло при изменении параметра (t/U). При введении в систему (1) запрета на максимальное заполнение узлов П| < 2 получаем так

называемую редуцированную бозонную модель Хаббарда.

Во второй главе диссертации дается краткое описание дискретного и непрерывного квантовых алгоритмов Монте-Карло, с помощью которых проводится исследование бозонных систем. Обсуждаются характерные особенности алгоритмов, их применимость к различным задачам.

В последние несколько лет в современной физике появилось новое направление исследования физических объектов - численное моделирование различных систем при помощи разнообразных алгоритмов и методов. С одной стороны, на качественном уровне численное моделирование позволяет делать заключения о физических характеристиках конкретной модельной системы, проводить численные

8

эксперименты с различными значениями параметров модели, что часто бывает очень трудно осуществить в реальных экспериментах. С другой стороны, детальное моделирование позволяет получать количественные данные о свойствах сложных систем и сравнивать их с данными реальных экспериментов, точными решениями или приближенными аналитическими вычислениями.

Методы Монте-Карло занимают особое место в численном моделировании физических систем, позволяя получать результаты из первых принципов.

Для моделирования квантовых систем были разработаны квантовые методы Монте-Карло. Они основаны на фейнмановском представлении интеграла по траекториям. Как было показано Фейнманом, квантово-механические свойства частицы могут быть получены суммированием экспонент от действия по классическим траекториям [Feynman R.P. and Hibbs A.R., New York, 1965]. Моделирование таких классических траекторий для бозонных систем было реализовано в дискретном квантовом алгоритме Монте-Карло [Hirsch J.E., Sugar R.L., Scalapino DJ. and Blankenbecler R., Phys.Rev. B, 26, 5033 (1982)]).

Один из наиболее перспективных квантовых алгоритмов Монте-Карло, так называемый CTWL алгоритм (continuous time world line algorithm), был разработан в Курчатовском институте [Prokof'ev N.V., Svistunov B.V. and Tupitsyn I.S., Phys.Lett. A, 238, 253 (1998)]. Алгоритм позволяет рассчитывать практически любые характеристики системы, как диагональные, так и недиагональные в представлении чисел заполнения.

В диссертации расчеты были проведены как с помощью CTWL алгоритма, так и с помощью дискретного квантового алгоритма Монте-Карло.

В третьей главе рассматривается одномерная соизмеримая бозонная модель Хаббарда при помощи дискретного квантового алгоритма Монте-Карло, исследуется фазовый переход сверхтекучесть - мотговский изолятор Костерлиц-Таулессовского типа, вычисляется критическое значение точки фазового перехода.

Результаты расчета критического значения параметра (t/U)c для одномерной соизмеримой (число бозонов Nb равно числу узлов Na) модели (1) при £| = О, V = 0 сильно различаются [Singh K.G. and Rokshar D.S.,

Phys.Rev. В, 46, 3002 (1992); Batrouni G.G. and Scalettar R.T., Phys.Rev. B, 46, 9051 (1992); Freericks J.K. and Monien H., Phys.Rev. B, 53, 2691 (1996)]. Рассогласование результатов связано с особенностями одномерного случая: критические параметры в одномерии стремятся к своему термодинамическому значению логарифмически медленно (как степенные функции параметра l/ln(Na)). Для корректной экстраполяции к термодинамическому пределу необходимо брать очень большие размеры системы (часто недостижимые для численных методов), либо точно знать асимптотическую зависимость макроскопических характеристик от размера системы. Такую зависимость для одномерного случая дают ренорм-групповые уравнения [Giamarchi Т. and Schulz HJ., Phys.Rev. В, 37, 325 (1988)]. Используя это обстоятельство, с помощью метода «ренорм-групповой анализ + точная диагонализация» было получено критическое значение (t/U)c=0.304±0.002 [Kashurnikov V.A. and Svistunov B.V., Phys.Rev. B, 53,11776 (1996)] со стороны фазы сверхтекучести. Для полноты картины целесообразно убедиться, что метод Монте-Карло, позволяющий рассчитывать макроскопическте системы, приводит к тому же значению со стороны диэлектрической фазы. В данной главе диссертации проведен корректный расчет квантовым методом Монте-Карло критического значения

(1/1))с. Показано, что выбранная для исследования система является макроскопически большой.

\i/U

1.0

0.5

0.0

SF

Ml

SF

Рис.1. Фазовая диаграмма для бозонной цепочки с Nb=Na и N>=16 (открытые круги) и 50 (сплошные круги), T=0.0625t; MI -фаза моттовского диэлектрика; SF -фаза сверхтекучей жидкости. Показаны также данные из [Batrouni G.G. and Scalettar R.T., Phys.Rev. В, 46, 9051 (1992)] для N¿=16 и T=0.5t (кресты).

0.0 0.1

0.2 t/U

0.3 0.4

На полученной фазовой диаграмме (рис.1) область диэлектрической фазы ограничена кривыми ц+ и ц_, определяемых соотношениями

ц+ = E(Na +1)-E(Na), u_=E(Na)-E(Na-l), Na=Nb, E(Nb) - энергия

основного сорстояния системы из Nb бозонов. Продемонстрировано

косгерлиц-таулессовское поведение диэлектрической щели Д = -

вблизи точки фазового перехода: д ~ exp(-b(l-t/tc)"1/2), где b -

неуниверсальная константа. Полученная величина (t/U^. = 0.300 ±0.005

совпадает с результатами комбинированного метода в пределах погрешности.

В четвертой главе исследуется «редуцированная» бозонная модель Хаббарда. Как показано в данной главе, общепринятая точка зрения о том, что редуцированная модель является хорошим приближением при рассмотрении полной модели [Krauth W., Phys.Rev. В, 44, 9772 (1991); Singh

11

K.G. and Rokshar D.S., Phys.Rev. B, 46, 3002 (1992)], - неверна: обнаружено, что редуцированная модель не испытывает фазового перехода и находится в состоянии изолятора при любом сколь угодно малом параметре взаимодействия, хотя и обладает достаточно малой моттовской щелью. В случае притяжения, когда редуцированная модель является стабильной (в отличие от полной модели), был обнаружен фазовый переход от одночастичной сверхтекучей жидкости к двухчастичной. Также в этой главе проведена аналогия между редуцированной бозонной моделью и анизотропной спиновой цепочкой.

Редуцированная модель отличается от полной модели (1) тем, что в ней введено ограничение на заполнение узлов: на узлах может находиться только 0, 1 или 2 бозона. Ранее полагалось, что это ограничение не является слишком сильным, и редуцированная модель может быть использована как хорошая аппроксимация для полной модели в аналитических расчетах, для которых учет неограниченного заполнения узлов представляет определенную трудность. Однако результаты, полученные с помощью метода «ренорм-группа + точная диагонализация» свидетельствуют о том, что при (t/u)= 0.3 система, описываемая редуцированной моделью, находится далеко внутри фазы изолятора.

Для прояснения ситуации в данной главе проведено прецизионное исследование одномерной соизмеримой редуцированной бозонной модели Хаббарда методом Монте-Карло. Были использованы как стандартный дискретный, так и CTWL алгоритмы. На рис.2 представлена фазовая диаграмма редуцированной модели в сравнении с полной моделью из главы 3 в области отталкивания (U>0). При больших значениях U/t различия между моделями практически отсутствуют. Однако, при 0.5<U/t<3.3 в редуцированной модели все еще существует отличная от нуля

энергетическая щель, в то время как система, описываемая полной моделью, при этих параметрах находится в сверхтекучей фазе.

I-

0-

-2

0 2 4 6 8

2

О

Рис.2. Фазовая диаграмма для редуцированной модели (круги) при Nз=Nb=50, 7=0.0625?. Для сравнения показана фазовая диаграмма полной модели (кресты) из третьей главы.

Рис.3. Фазовая диаграмма при N¿=N0=50, полученная методом Монте-Карло в широком диапазоне значений Ш. Врезка: двухчастичная щель йт=11г*-уг- исчезает при Ш<-6.0 (N¿=N>¡=14, точная диагонализация).

4-4048

Ш

На рис.3 показана фазовая диаграмма редуцированной модели в широком диапазоне значений U/t. В области притяжения (U/t<0) редуцированная модель, в отличие от полной, является стабильной. В области -6.0<U/t<0.5 одночасгичная щель исчезает, и система переходит в фазу сверхтекучей жидкости. При U/t<-6.0 наблюдается еще один фазовый переход - от одночастичной жидкости к двухчастичной. На врезке рис.3 продемонстрировано отсутствие двухчастичной щели Д2 = иг+ - Р-2- в этой области.

Макроскопически редуцированная бозонная модель аналогична спиновой цепочке со спином 1 и аксиальной симметрией, если поставить в соответствие бозонные и спиновые операторы следующим образом [Fisher

М.Е., Rep.Prog.Phys., 30, 615 (1967)]: S,+ <=>а,+, Sf <s>a„ Sf «l-afaj. Соответствующий гамильтониан имеет вид:

Модель (2) изучалась ранее, ее фазовая диаграмма представлена на

рис.4.

U/t

1

v/t антиферромагнетик, 3 - щель

Хопдвйна, 4 - XY-спиновая жидкость, 5 -фаза, эквивалентная ХУ-спиновой фазе со спином Уг.

Рис.4. Фазовая диаграмма для спиновой цепочки со спином 1 и аксиальной анизотропией. 1 - ферромагнетик, 2 -

Согласно аналогии между спиновой и редуцированной бозонной моделями, фаза 3 эквивалентна моттовскому изолятору, а фаза 4 -одночасгичной сверхтекучей жидкости. Кроме того, в [Botet R., Jullien R. and Kolb M., Phys.Rev.B, 28, 3914 (1983)] наблюдалась еще одна фаза - фаза 5 на рис.4, однако позднее эта фаза не была обнаружена [Solyom J. and Ziman T.A.L., Phys.Rev.B, 30, 3980 (1984)], и с тех пор, насколько известно, не упоминалась в литературе. Как показывают наши данные, эта фаза соответствует фазе двухчастичной жидкости для редуцированной модели.

В данной главе диссертации проведен численный расчет модели (2) для значений Na=50 и V=-0.05t. Фазовая диаграмма, представленная на рис.5, демонстрирует существенное сходство с фазовой диаграммой редуцированной модели (рис.3) вблизи точки фазового перехода одночасгичная жидкость - двухчастичная жидкость: одночастичная щель уменьшается линейно в широком интервале изменения параметра U/t. Критическое значение (и / t)c«-2.0 также совпадает с величиной, полученной в [Botet R.„ Jullien R. and Kolb M„ Phys.Rev.B, 28, 3914 (1983)].

•2

Рис.5. Фазовая диаграмма n(U/t) для спиновой цепочки. V/t=-0.05, N¿=50, Т=Ш

-з

-2

-1

о

Пятая глава посвящена исследованию корреляционных свойств двумерного взаимодействующего бозе-газа.

В двумерных системах плотность конденсата равна нулю при любой конечной температуре. Однако, при температуре ниже температуры фазового перехода Костерлица-Таулесса Тс система становится сверхтекучей из-за фазовой когерентности на далеких расстояниях. В сверхтекучем состоянии корреляционные длины фазы и плотности, и г0 имеют различные масштабы (Яс>>гс), что позволяет ввести понятие квазиконденсата, характеризующегося плотностью п0 - величиной

одночасгичной матрицы плотности р(г) = (г,о)у(б,о| на промежуточных

расстояниях гс «г« ^. Локальные свойства квазиконденсата совпадают

с локальными свойствами истинного конденсата, что позволяет сделать предположение о наличии и в двумерном случае эффекта уменьшения скорости неупругих процессов в присутствии конденсата, предсказанного для трехмерных систем [Каган Ю.М., Свистунов Б.В., Шляпников Г.В., Письма в ЖЭТФ, 42, 169 (1985); Каган Ю.М., Свистунов Б.В., Шляпников Г.В., ЖЭТФ, 93, 552 (1987)]: при Т«ТС (Тс - температура конденсации) т-

раз по сравнению со значением при Т>ТС. В то же время ненулевая величина п0 в двумерии при Т * 0 является следствием только конечности межчастичного взаимодействия, которое, в свою очередь, сокращает скачок коррелятора Кт, который и описывает скорость неупругих процессов в системе. Эффект уменьшения Кт при фазовом переходе может быть использован для экспериментального обнаружения и исследования конденсации и квазиконденсации Бозе-Эйнштейна.

частичным коррелятор

уменьшается в т!

Для реальных потенциалов межмастичного взаимодействия и плотностей частиц флуктуационная область около фазового перехода слишком широка для корректного аналитического расчета корреляционных функций. Поэтому в данной главе было проведено моделирование двумерного бозе-газа с помощью СШЬалгоритма. Плотность системы менялась посредством изменения химического потенциала ц. Заметим, что эксперименты со спин-поляризованным водородом [БаКэпоу АЛ., е1.а1., Phys.Rev.Lett., 81, 4545 (1998)] были проведены в подобной же постановке, так как поверхностная плотность контролировалась потенциалом ц объемного газа.

Модельный гамильтониан задачи на квадратной решетке имеет вид:

Конкретный вид короткодействующего потенциала взаимодействия не играет особой роли в пределе малых плотностей, и в данной главе выбрано дельта-функционное отталкивание на узлах и. Для того, чтобы пространственная решетка, на которой определен гамильтониан, не влияла на поведение системы, параметры системы были выбраны такими, чтобы характерная одночасгичная энергия была много меньше ширины зоны = 81, т.е. Т,и « 81. Хотя переменная = ц - г} является дискретной, в

квазинепрерывном случае одночасгичная матрица плотности р(г) является

плавной функцией г = .

На рис.6 представлен типичный характер поведения одночастичной матрицы плотности при увеличении плотности системы. Кривые получены для системы 80X80 узлов. В нормальной фазе (рис.6а) есть только один характерный масштаб длины - длина волны де Бройля, и р(г) затухает

экспоненциально с г. На рис.бс! видно поведение р(г) в квазиконденсатном состоянии, которое характеризуется двумя различными масштабами длины - после быстрого спада на коротком расстоянии до определенной величины (плотности квазиконденсата п0), р(г) продолжает падать очень медленно. Случаи, показанные на рис.бЬ и рис.6с являются промежуточными. Хотя здесь нет ярко выраженной двухмасштабности в поведении одночастичной матрицы плотности, затухание р(г) на больших расстояниях и здесь аномально медленное.

Р 0.06

8

1 1

1 1

V

ь

20 40 Г

Р

0.3

0.2

0.1

0.0

4

Рис.6. Поведение

одночастичной матрицы плотности р(г) при увеличении плотности системы. а - ярко выраженная нормальная фаза, корреляционный радиус МО; Ь; с -промежуточное состояние; с[ - квазиконденсатное состояние.

20 40 г

Поведение локальных корреляторов К2 и К3 при изменении плотности системы и различной температуре показано на рис.7. В пределе очень слабого взаимодействия величина Кт должна изменять свое значение от т! до 1 при фазовом переходе. Данные, представленные на рис.7, демонстрируют два характерных плато при п«пс и п »пс,

18

отношение между которыми (при Т = 0.1) равно я» 4.6 для К3 и «1.85 для К2, т.е. меньше, чем т!. Данные, представленные на рис.8, свидетельствуют также о том, что зависимость К(1)) не является универсальной и сильно чувствительна к конкретной форме межчастичного взаимодействия. При увеличении взаимодействия наблюдается ослабление т!-эффекта.

0.01

0.10

1.00

Ий-

У\г=

Т=0.1 ^

0.01

0.10

1.00

Рис. 7. Зависимость локальных корреляционных свойств системы от температуры. На рисунке показана зависимость К2(п) - а и Кз(п) - Ь при значениях температуры Т=0.1( и 7=0.2?. Видно, что изменение температуры приводит лишь к параллельному сдвигу кривой, не меняя характера зависимости. Примечательным обстоятельством является большая ширина области кроссовера - области перестройки корреляционных свойств системы.

1.5 1.0 0.5 0.0

и=0.4

1/=10N

и=4.0

0.01

0.10 П

Рис.8. Влияние силы межчастичного взаимодействия на локальные корреляционные свойства системы, Т=0.Х. Сростом и происходит быстрое подавление т!-эффекта.

1.00

Шестая глава посвящена исследованию влияния разупорядочения на свойства системы, изученной в пятой главе. Гамильтониан модели, описывающей двумерный взаимодействующий разупорядоченный бозе-газ, имеет вид:

2 |

I I

где 5| - случайный примесный потенциал на узле ¡, выбранный в следующем виде:

5к=1и0 ¡=1

еМ'М)'

\2(п1-п|)+Гж + 1>

здесь к = 1,...,Ма, пр - число примесей, Я - эффективный радиус действия примеси, 1)0 - сила примесного потенциала.

1.4

1.2

1.0

0.8

I I I гтттт

т-т 1.0

7=0.2.1М.0,

О №0,К2

С иО-31. К2

О ио=&,К2

• ио*а, па/п. 10ОХ10в

• Ц0=с, ПЯЯ. 200X200 А и0=1г.1аМ. 100X100 X иОя&,тМ. 200X200

• №"61, тМ. 100X100 « ЧОП. пжМ. 200X200

0.01

Рис.9. Зависимость локальных з и глобальных корреляционных а свойств в зависимости от силы разупорядочения Ш.

Сравнение локальных и глобальных корреляционных свойств системы показано на рис.9. Как видно из графика, локальные свойства системы практически не зависят от степени разупорядочения - беспорядок влияет лишь на сверхтекучие свойства системы. При достаточно сильном беспорядке глобальные корреляции начинают возникать, когда перестройка локальных корреляционных свойств уже практически закончилась. При плотностях системы, меньших критической плотности пс, размеры системы начинают играть существенную роль при расчете сверхтекучих характеристик. На рисунке приведены зависимости сверхтекучей плотности системы для различных размеров - 100X100 и 200X200. В пределе бесконечно большой системы в точке пс сверхтекучая плотность скачком меняется от 0 до величины (пз/п)с, где п5 - сверхтекучая плотность из универсального соотношения Костерлица-Таулесса: Тс = яп5.

В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

• С помощью квантового траекторного алгоритма Монте-Карло проведен корректный расчет критического значения для фазового перехода сверхтекучесть - мотговский изолятор для соизмеримой одномерной бозонной системы. Рассчитанная критическая величина (1 /и)с =0.300 ±0.005 совпадает с результатом, полученным при помощи комбинированного метода «ренорм-группа + точная диагонализация» в пределах погрешности. Расчет проведен со стороны диэлектрической фазы. Вблизи критической точки продемонстрировано типичное костерлиц-таулессовское поведение величины мотговской щели.

С помощью квантового траекгорного алгоритма Монте-Карло проведено исследование редуцированной бозонной модели Хаббарда. В случае отталкивания и соизмеримого заполнения продемонстрировано, что точка фазового перехода моттовский изолятор - сверхтекучесть находится далеко от соответствующей точки для полной модели. В случае притяжения был обнаружен фазовый переход от одночастичной сверхтекучей жидкости к двухчастичной. Проведена аналогия редуцированной бозонной модели с анизотропной спиновой цепочкой.

Одномерный СТЖ алгоритм модифицирован в двумерный для расчета корреляционных свойств двумерных бозонных моделей; с помощью СШ1 алгоритма проведено детальное исследование корреляционных свойств двумерного бозе-газа. Проведены сравнения поведения одночастичной матрицы плотности системы и локальных характеристик, ответственных за скорость рекомбинации в реальных экспериментах. Найдено, что появление в системе квазиконденсатных флуктуаций изменяет локальные корреляции между частицами даже вдали от критической точки Костерлица-Таулесса. Амплитуда т!-эффекга оказалась очень чувствительной к силе межчасгичного взаимодействия.

Получено, что корреляционные свойства двумерного бозе-газа характеризуются двухмасштабностью: корреляционные длины фазы и плотности существенно различны - »гс.

С помощью СШ1_ алгоритма проведено исследование корреляционных свойств двумерного бозе-газа в присутствии разупорядочения. Показано, что беспорядок оказывает влияние лишь на сверхтекучие свойства, оставляя локальные корреляционные свойства системы практически без изменения.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. V.A. Kashurnikov, A.V. Krasavin, B.V. Svistunov. Phase Transitions in One-Dimensional Truncated Bosonic Hubbard Model and Its Spin-1 Analog. -Phys.Rev. B, 1998, v. 58, p. 1826.

2. Yu. Kagan, V.A. Kashurnikov, A.V. Krasavin, N.V. Prokofev, B.V. Svistunov. Quasicondensation in a two-dimensional interacting Bose gas. - Phys. Rev. A, 2000, Vol. 61, 043608.

3. V.A. Kashurnikov, A.V. Krasavin, B.V. Svistunov. One-Dimensional Reduced Bosonic Hubbard Model: from One-Particle to Two-Particle Liquid. - Phys.

v Low-Dim. Struct., 8/9 (1997), pp. 87-100.

4. Кашурников B.A., Красавин A.B., Свистунов Б.В. Переход моттовский изолятор - сверхтекучесть в одномерной бозонной модели Хаббарда: квантовый метод Монте-Карло. - Письма в ЖЭТФ, 1996, том 64, вып.2, стр.92-96; [JETP Lett., Vol. 64, №2, pp. 99-104].

5. Ю.М. Каган, В.А. Кашурников, А.В. Красавин, Н.В. Прокофьев, Б.В. Свистунов. Корреляционные свойства одномерных бозонных систем. Научная сессия МИФИ-1999, т. 5, стр. 222-223.

6. Ю.М. Каган, В.А. Кашурников, А.В. Красавин, Н.В. Прокофьев, Б.В. Свистунов. Корреляционные свойства двумерных бозонных систем. Научная сессия МИФИ-2000, т. 4, стр. 136-137.

7. Ю.М. Каган, В.А. Кашурников, А.В. Красавин, Н.В. Прокофьев, Б.В. 1 Свистунов. Сдвиг критической температуры и фазовые переходы во

взаимодействующем бозе-газе. Научная сессия МИФИ-2003, т. 4, стр. 166-167.

8. Yu. Kagan, V.A. Kashurnikov, A.V. Krasavin, N.V. Prokofev, B.V. Svistunov. Quasicondensation in a two-dimensional interacting Bose gas: Quantum Monte-Carlo Study - Symposium on Quantum Fluids and Solids, Univ. of Massachusetts Press, 1998, p. 20.

Ю.М. Каган, В.А. Кашурников, A.B. Красавин, Н.В. Прокофьев, Б.В. Свистунов. XXXIII Совещание по физике низких температур. Екатеринбург, 2003.

Подписано в печать 29.09.2003 г. Формат 60 х 90/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 29091

Оттиражировано в ООО «САТУРН мтк» 111020, Москва, Авиамоторная ул., 11

f f

f

(

""TjísF

Введение

Глава 1. Бозонная модель Хаббарда

Глава 2. Квантовые алгоритмы Монте-Карло

2.1. Дискретный алгоритм

2.2 Особенности дискретного алгоритма

2.3. CTWL-алгоритм

Глава 3. Переход моттовский изолятор - сверхтекучесть в одномерной бозонной модели Хаббарда

Глава 4. Одномерная редуцированная бозонная модель Хаббарда

4.1. Введение

4.2. Область отталкивания

4.3. Область притяжения 45 4.3.а. Основное состояние одночасгичной и двухчастичной сверхтекучей жидкости

4.3.Ь. Отклик на калибровочную фазу

4.4. Спиновая цепочка с аксиальной симметрией

За последнее десятилетие в физике конденсированного состояния наблюдается резкий качественный скачок, связанный с возможностью исследования сложных систем методом численного моделирования на компьютерах. Это привело к тому, что компьютерное моделирование считается сейчас «третьим путем» развития науки, помимо традиционных теоретического и экспериментального, более близким, однако, к эксперименту: как и в ' эксперименте, результатом численного моделирования являются численные данные, а качество компьютерного эксперимента определяется погрешностью полученных результатов. Очень часто возникают ситуации, когда осуществление реального эксперимента не представляется возможным ввиду чрезвычайной сложности постановки, а теоретическое рассмотрение затруднено из-за отсутствия в задаче малых параметров (ситуация, типичная в физике твердого тела). В этих случаях компьютерное моделирование является единственным средством получения качественных и даже количественных результатов.

Квантовые методы Монте-Карло занимают особое место среди численных методов исследования сильно-коррелированных систем, так как являются единственно возможными при изучении больших (число частиц больше 100) систем, вычисляя квантовомеханические средние с асимптотической точностью при конечных температурах.

Основываясь на фейнмановском представлении интегралов по траекториям [1], квантовую /7-мерную задачу сводят к /^./-мерной классической, а затем, используя представительные выборки, решают nNмерное уравнение Шредингера (/V-число частиц в системе) - задачу, слишком сложную для решения аналитическими методами.

Квантовый траекторный алгоритм Монте-Карло является идеальным средством для изучения низкоразмерных бозонных моделей Хаббарда, позволяя вычислять такие характеристики систем, как одночастичная матрица плотности, многочастичные корреляции, критические значения параметров системы в точках фазовых переходов при нулевой температуре. Интерес к низкоразмерным системам взаимодействующих бозонов сильно возрос после экспериментального открытия в 1995 году бозе-конденсации в ультрахолодных газах [см. обзор 43 и ссылки в нем]. Сейчас с помощью траекторных алгоритмов Монте-Карло успешно исследуется поведение жидкого гелия в пористых структурах [44], явления бозе-конденсации в оптических решетках различной размерности [45, 46], поведение атомов водорода на поверхности жидкого гелия [35,42], сверхтоковые состояния в низкоразмерных структурах [47].

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Общий объем - 92 страницы, включая 31 рисунок, 2 таблицы и список цитируемой литературы из 56 наименований.

Основные результаты, представленные в диссертации:

1. Квантовым методом Монте-Карло проведен корректный расчет критического значения для фазового перехода сверхтекучесть -моттовский изолятор для соизмеримой одномерной бозонной системы. Рассчитанная критическая величина (t/U)c =0.300±0.005 совпадаете полученным в [5] результатом комбинированного метода «ренорм-группа + точная диагонализация» в пределах погрешности. Расчет проведен со стороны диэлектрической фазы. Вблизи критической точки продемонстрировано типичное костерлиц-таулессовское поведение моттовской щели.

2. Квантовым методом Монте-Карло проведено исследование одномерной редуцированной бозонной модели Хаббарда. получены критические значения для фазовых переходов сверхтекучесть - моттовский изолятор и одночастичная жидкость - двухчастичная жидкость. Доказано существование "spin-lfr-like"XY-фазы в спиновой цепочке с аксиальной симметрией, которая является макроскопическим аналогом редуцированной бозонной модели Хаббарда.

3. Исследовано явление квазиконденсации в двумерном взаимодействующем бозе-газе. Продемонстрирована двухмасштабность в поведении корреляционных свойств двумерной системы, исследовано влияние взаимодействия на амплитуду эффекта уменьшения скорости неупругих процессов в присутствии квазиконденсата.

4. Исследовано влияние разупорядочения на корреляционные свойства двумерного взаимодействующего бозе-газа. Показано, что разупорядочение оказывает влияние лишь на сверхтекучие свойства системы, оставляя локальные корреляционные свойства практически без изменения.

Я признателен Юрию Моисеевичу Кагану, Борису Владимировичу Свистунову и Николаю Викторовичу Прокофьеву, в соавторстве с которыми были написаны работы, составившие предмет диссертации. Особенную благодарность хочу выразить Кашурникову Владимиру Анатольевичу за научное руководство, советы и обсуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В последнее время исследование низкоразмерных сильнокоррелированных систем стало одной из ключевых проблем в физике конденсированного состояния. Интерес к низкоразмерным системам стимулируется, главным образом, развитием современных технологий, позволяющих получать оптические решетки, квантовые ямы масштаба десятков ангстрем.

Сильное межчасгичное взаимодействие, отсутствие параметров разложения делают задачу описания таких систем аналитически чрезвычайно сложной. Часто модели, используемые для подобных задач, исследуются аналитическими подходами с неконтролируемой точностью. Поэтому в последнее время интенсивно развиваются разнообразные численные подходы, например, методы Монте-Карло и точной диагонализации, в применении к конечным кластерным системам, позволяющие решать задачи, принципиально недоступные для аналитических методов.

Настоящая диссертация посвящена исследованию фазовых переходов и корреляционных свойств в низкоразмерных бозонных системах при помощи конечнокластерных численных методов. Разработано несколько модификаций траекторного и CTWL-алгоритмов Монте-Карло применительно к конкретным задачам. Рассмотрены различные низкоразмерные бозонные системы: одномерная модель Хаббарда, редуцированная модель Хаббарда, двумерный бозонный газ с разупорядочением и без разупорядочения. Исследованы фазовые переходы, реализующиеся в этих системах: сверхтекучесть - моттовский изолятор, одночастичная жидкость - двухчастичная жидкость, квазиконденсация в двумерных системах. Полученные результаты убедительно свидетельствуют о применимости точных кластерных методов к задачам физики конденсированного состояния и часто приводят к физическим выводам, которые невозможно получить другими способами.

Все результаты, представленные в диссертации, получены точно, т.е. соответствующие квантовые задачи для конечных систем решены с контролируемой точностью и без использования каких-либо упрощений и приближений.

1. Feynman R.P. and Hibbs A.R. Quantum mechanics and path integrals - New York, 1965.

2. Krauth W. Bethe ansatz for the one-dimensiona! boson Hubbard model Phys. Rev. B, 1991, v.44, №17, pp.9772-9775.

3. Singh K.G. and Rokhsar D.S. Real-space renormalization study of disordered interacting bosons Phys. Rev. B, 1992, v.46, №5, pp.3002-3009.

4. Prokof'ev N.V., Svistunov B.V., Tupitsyn I.S. "Worm" algorithm in quantum Monte Carlo simulations - Phys. Lett. A, 1998, v.238, pp.253-257.

5. Kashurnikov V.A., Svistunov B.V. Exact diagonalization plus renormalization group accurate method for ID superfluid-insulator transition study Phys. Rev. B, 1996, v.53, №17, pp. 11776-11778.

6. Fisher M.P.A., Weichman P.B., Grinstein G., and Fisher D.S. Boson localization and the superfluid-insulator transition Phys. Rev. B, 1989, v.40, №1, pp.546570.

7. Cha M.C., Fisher M.P.A., Girvin S.M. eta/. Universal conductivity of two-dimensional films at the superconductor-insulator transition. Phys. Rev. B, 1991, №13, v.44, pp.6883-6902; Choy T.C. and Haldane F.D.M. Phys. Lett. A, 1982, v.90, pp.83.

8. Scalettar R.T., Batrouni G.G., Kampf A.P., Zimanyi G.T. Simultaneous diagonal and off-diagonal order in the Bose-Hubbard Hamiltonian Phys. Rev. B, 1995, v.51, №13, pp.8467-8480.

9. Tauber U.C. and Nelson D.R. Interactions and pinning energies in the Bose glass phase of vortices in superconductors Phys. Rev. B, 1995, v.52, №22,pp. 16106-16124.

10. Giamarchi T. and Schulz H J. Anderson localization and interactions in one-dimensional metals Phys. Rev. B, 1988, v.37, №7, pp.325-340.

11. Haldane F.D.M. Effective harmonic-fluid approach to low-energy properties of one-dimensional quantum fluid Phys. Rev. Lett., 1981, v.47, №25, pp. 18401843.

12. Kosterlitz J.M. and Thouless D.J. Ordering, Metastability and Phase Transition in two-dimensional system J. Phys. C, 1973, v.6, pp.1181-1203; Kosterlitz J.M. The critical properties of the two-dimensional XY-model - J. Phys. C, 1974, v.7, pp.1046-1060.

13. Freericks J.K., Monien H. Phase diagram of the Bose-Hubbard Model Europhys. Lett., 1994, v.26, №7, pp.545-550.

14. Freericks J.K., Monien H. Strong-coupling expansion for the pure and disordering Bose Hubbard model Phys. Rev. B, 1996, v.53, №7, pp.2691-2700.

15. Pai R.V., Pandit R., Krishmamurthy H.R., and Ramasesha S. One-dimensional Disordered Bosonic Hubbard Model: A Density-Matrix Renormalization Group Study Phys. Rev. Lett., 1996, v.76, №16, pp.2937-2940.

16. Hirsch J.E., Sugar R.L., Scalapino DJ. and Blankenbecler R. Monte Carlo simulations of one-dimensional fermion systems. Phys. Rev. B, 1982, v.26, №9, pp.5033-5055.

17. Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N. etal. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines J. Chem. Phys., 1953, v.21, №6, pp. 1087-1092.

18. Pollock E.L., Ceperley D.M. Path-Integral Computation of Superfluid Densities -Phys. Rev. B, 1987, v.36, p.2092.

19. Botet R., Jullien R. And Kolb M. Finite-size-scaling study of the spin-1 Heisenberg-Ising chain with uniaxial anisotropy. Phys. Rev. B, 1983, v.28, №7, pp.3914-3921.

20. Solyom J. and Ziman T.A.L. Ground-state properties of axially anisotropic quantum Heisenberg chains. Phys. Rev. B, 1984, v.30, №7, pp.3980-3992.

21. Кашурников B.A., Красавин A.B., Свистунов Б.В. Переход моттовский изолятор сверхтекучесть в одномерной бозонной модели Хаббарда: квантовый метод Монте-Карло. - Письма в ЖЭТФ, 1996, том 64, вып.2, сгр.92-96; JETP Lett., Vol. 64, №2, pp. 99-104.

22. М. Hennecke, U. Heyken. J. Stat. Phys., v.72, 1993, pp.829-844.

23. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Теоретическая физика. Том 3. Квантовая механика. М.: Физматлит, 2001.

24. Е.А. Burt, R.W. Christ, С J. Myatt, M.J. Holland, E.A. Cornell, and C.E. Wiemann. Coherence, Correlations, and Collisions: What One Learns about Bose-Einstein Condensates from Their Decay.- Phys. Rev. Lett., 1997, v.79, №3, pp.337-340.

25. Yu. Kagan, B.V. Svistunov, and G.V. Shlyapnikov. JETP Lett., 1985, v.42, p.209.

26. Yu. Kagan, B.V. Svistunov, and G.V. Shlyapnikov. Sov. Phys. JETP, 1987, v.66, p.314.

27. Yu.B. Ovchinnikov, I. Mlnek, and R Grimm. Surface Trap for Cs atoms based on Evanescent-Wave Cooling. Phys. Rev. Lett., 1997, v.79, №12, pp.2225-2228.

28. E.A. Hinds, M.G. Boshier, and I.G. Hughes. Magnetic Waveguide for Trapping Cold Atom Gases in Two Dimensions.- Phys. Rev. Lett., 1998, v.80, №4, pp.645649.

29. A.I. Safonov, S.A. Vasilyev, I.S. Yasnikov, I.I. Lukashevich, and S. Jaakkola. JETP Lett., 1995, v.61, p.1032.

30. A.P. Mosk, P.W.H. Pinkse, M.W. Reynolds, T.W. Hijmans, and J.T.M. Walraven. -J. Low Temp. Phys., 1998, v.110, p.199.

31. A.I. Safonov, S.A. Vasilyev, I.S. Yasnikov, I.I. Lukashevich, and S. Jaakkola. Observation of Quasicondensate in Two-Dimensional Atomic Hydrogen. Phys. Rev. Lett., 1998, v.81, pp. 4545-4548.

32. G. Agnolet, D.F.McQueeney, and J.D. Reppy. Phys. Rev. B, 1989, v.39, p.8034.

33. Н.Т.С. Stoof and M. Bijlsma. Kosterlitz-Thouless transition in a dilute Bose gas. -Phys. Rev. E, 1993, v.47, №2, pp.939-947; Physica B, 1994, v.194-196, pp.909.

34. D.R. Nelson and J.M. Kosterlitz. Universal Jump in the Superfluid Density of Two-Dimensional Superfluids Phys. Rev. Lett., 1977, v.39, №19, pp.1201-1205.

35. N.V. Prokof'ev and B.V. Svistunov. Two definitions of superfluid density. Phys. Rev. B, 2000, v.61, pp. 11282-11284.

36. V.N. Popov. Functional integrals in quantum field theory and statistical physics. Reidel, Dordrecht, 1993.

37. Yu. Kagan, I.A. Vartan'yants, and G.V. Shlyapnikov. Sov. Phys. - JETP, 1981, v.54, p.590.

38. Yu. Kagan, N.A. Guklov, B.V. Svistunov, and G.V. Shlyapnikov. Phys. Lett. A, 1989, v.135, p.219.

39. A J. Legett. Bose-Einstein condensation in the alkali gases: Some fundamental concepts. Rev. of Mod. Phys., v.73, 2001, pp. 307-356.

40. K.B. Davis etal. Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms. Phys. Rev. Lett., 1995, v.75, pp. 3969-3973.

41. Yu. Kagan, N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Supercurrent stability In a quasi-lD weakly interacting bose-gas. cond-mat/9908378.

42. M.E. Fisher. Rep. Prog. Phys., 30, 615 (1967).

43. V.A. Kashurnikov, A.V. Krasavin, B.V. Svistunov. Phase Transitions in One-Dimensional Truncated Bosonic Hubbard Model and Its Spin-1 Analog. Phys. Rev. B, 1998, v. 58, p. 1826.

44. Yu. Kagan, V.A. Kashurnikov, A.V. Krasavin, N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Quasicondensation in a two-dimensional interacting Bose gas. Phys. Rev. A, 2000, Vol. 61, 043608.

45. V.A. Kashurnikov, A.V. Krasavin, B.V. Svistunov. One-Dimensional Reduced Bosonic Hubbard Model: from One-Particle to Two-Particle Liquid. Phys. Low-Dim. Struct., 8/9 (1997), pp. 87-100.

46. Ю.М. Каган, B.A. Кашурников, A.B. Красавин, H.B. Прокофьев, Б.В. Свистунов, Научная сессия МИФИ-1999, т. 5, стр. 222.

47. Ю.М. Каган, В.А. Кашурников, А.В. Красавин, Н.В. Прокофьев, Б.В. Свистунов, Научная сессия МИФИ-2000, т. 4, стр. 136.

48. Yu. Kagan, V.A. Kashurnikov, A.V. Krasavin, N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Quasicondensation in a two-dimensional interacting Bose gas: Quantum Monte-Carlo Study Symposium on Quantum Fluids and Solids, Univ. of Massachusetts Press, 1998, p. 20.

49. Свистунов Б.В. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Москва, РНЦ «Курчатовский ин-т», 1990.

50. Ю.М. Каган, В.А. Кашурников, А.В. Красавин, Н.В. Прокофьев, Б.В. Свистунов, Научная сессия МИФИ-2003, т. 4, стр. 166.