Фазовый захват в динамических системах на торе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

т 0 9 9 ъ

Российская академия наук Математический институт им. В.А.Стеклова

На правах рукописи УДК 517.925.52

ГАЛКИН Олег Геннадиевич Фазовый захват в динамических системах на торе 01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана.

Научный руководитель - академик РАН, профессор В.И.Арнольд.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук • А.И.Нейштадт

кандидат физико-математических наук Ю.С.Ильяшенко

Ведущая организация - Научно-исследовательский институт прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского.

Защита диссертации состоится " ^ " 199*2 г. в

час. ОО мин. на заседании Специализированного совета, Д 002.38.01 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу: Москва, 117966, ГСП-1, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться- в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан " " 199? г.

Учений секретарь Специализированного совета,

доктор физико-математических наук -^^¿¿¿аО А.К.Гущин

■■ - -1-

е"! Общая характеристика работы

Актуальность темы и цель работы. Большое число систем, т>;®лящи7ся в ф^ических, биологических, химических или I/- тематических задачах, демонстрирует поведение, которое "о^т Iгь' описано с помощью взаимодействующих осцилляторов. При л (¡таточно слабо? взав?*од:?;отвии в системе осцилляторов их фазовое н|мстранств<-> содержит прит гиваодий- тор, размер-ость которого Р'шна числу осцилляторов. Яолее того, потягивающие торы с потоками близкими к линейным могут возникать и в системах, которые внешне совсем и не напоминают осцилляторы. Это дает возможность моделировать динамику систем осцилляторов с' помощью потоков (векторных полей) на торе. При достаточно слабом взаимодействии осцилляторов поток не гг-мепюм торе имеет трансверсальное сзчеые, которое является (п-1)-мерным тором. ' Поток несет точки этого трянсверсального сечения по п-мерному тору, а за¿ем возвращает их' обратно на сечение. Полученное отображение первого возвращения (стобрпхение пос (едованич или Пуанкаре) потока к> "вчение сохраняет всю качественную информацию об исходном потоке.

В обще" случае, к^лечно, невозможно явно построить динамическую систему на торе, соответствующую конкретным уравнениям движения. Но качественное исследование динамики системы может быть сделано и с помощью простейших, канонических форм векторных полей или отображений. Например, для системы двух взаимодействующих осцилляторов в качестве "типичного отображения часто выступает стандартное синус-отображение окружности *

xi—i+n-esln?-iu:,

где параметры П и е отражают соизмеримость частот осцилляторов и амплитуду их взаимодействия, соответственно. _

Для орбиты отображения окружности можно определить число вращения, которое измеряет среднее отношение частот осцилляторов и не зашгеит от выбора орбиты отображения. Качественная динамика системы определяется типом втого числа вращения. Если оно рационально, что соответствует случаю фазового захвата или резонанса, то поток на притягивающем инвариантном двумерном торе в фазовом пространстве системы двух осцилляторов в типичной ситуации имеет периодические траектории, к которым остальные траектории асимптотически приближаются, В КЕазипериодическом случае, т.е. когда число вргацения иррационально, все траектории всюду плотно заполняют двумерный тор, и поток является вргодичесюш.

При описании бифуркаций в каноническом семействе синус-отображений окружности естественно рассматривать бифуркационную диаграмму с иомощыо областей резонанса, т.е. множеств значений параметров (П,е), для которых отображение имеет периодическую орбиту с заданным числом вращения. Расположение ьтих областей на плоскости параметров показывает, как изменяется динамика системы при вариации О и е. Структура областей резонанса изучалась Арнольдом1 и Эрманом,2 которне использовали каноническое семейство

' Лрнольц В.И. Малы? знаменать'лч, Т. Об отображениях окружности на себя,- Изв. АН, сор. ыатем., 19Ы„, т.25, 0,21-86.

2 Herman M.R. Sur la oonjtigaison <lifrirentiable dos

в качестве примера. Множество диффеоморфизмов с рациональным числом вращения p/q .(частоты осцилляторов соизмеримы) ограничено парой гладких кривых, образующих тем более узкий язык, чем больше ц, который своим острием угограотся в прямую е=0. Арнольд3 показал, что если в этом семейства синус-функцию заменить на произвольный тригономотрический многочлен' степени сЗ. то ширина области резонанса р/д не будет превосходить. С| е |г, где г--С-(?/«1].

Системы с тремя шш большим числом частот имеют гораздо более богатую динамику. Например, квазипериодаческоэ движение на трехмерном (соотв. п-мэрном, п>3) торе хотя и структурно неустойчиво, произвольно малое С2 (соотв. С°*) возмущение приводит к появлению (структурно устойчивого) странного 8Гтрактора (Ноэль' и Такенс? Ныохаус и др.5). Эта работы подтолкнули исследователей к изучена так называемого сценария Рюэля-Такенса возникновения хаоса через разрушение кваэилориодичэского трехчвстотного режима. При атом как численно, так и экспериментально было показано, что притягивающий тор размерности больше двух, сохраняющийся при малых возмущениях,

dlfWomorphisraes du oerole & dee rotations.- Publ; Math. IHES-, 1979., v.49., p.5-234.

3

Арнольд В.И. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье.- УМН., 1983., т.38., вып.4., о.189-20Э.

4 Ruelle D., Takene On the nature of turbulence.- Commtui. Math. Phys., 1971., v.20., p.167-192.

5

Nertioueo S.B., Ruelle D., Takene P. Ooourenoe of strange axiom A attraotors near quaelperiodio tIowa on ir>>3.- Cornmuri. Math. Phys., 1978., v.64., p.35-40.

. может наблюдаться в реальных физических задачах.

Среднее отношение частот.по' ока на прчтя~чвавдем многомерном торе зависит от выбора траектории потока. В ??висимости от числа рациональных соотношений между средами частотами траект^р^! м мтам говорить о фазовом захвате различного порядка. Предельный слуай - когда все частоты захвачены в резонанс, и ^оток имеет периодическую траектор; ю.

При изучении многочастотной модели нам на помощь приходят век.орные поля или отображения п-тора, причем в к.честве канонического опять жг удобно ьзять семейство динамических систем, заданных тригонометшчесим многочленом (семейство типа Иатъе >. Например, семейство отображений

где Р - тригонометрический многочлен, периодичный с периодом 1 по каждой компоненте.

Лри отсутствии взаимодействия между осцилляторами (е=0) моделируицее отображение превращается в сем>:-Ягтво сдвигов тора хн-х+п. Динамика этих сдвигов полностью определяется арифметическими сьойствами вектора П. Если П несоизлерил (из условия (Ь.пкг с целочисленным к следует £=0), то все орбита: ч отображения всюду плотно заполняют тор. Если ». условие соизмерим :ти выполняется для ' независимых целочисленных векторов й, то : в орбиты сдвига всюду п. гаы на торах размерности п-1. Наконец, если число соотношений _оизмеримости равно п размерности исходного тора, т все орбиты периодичны.

[.¿и ненулевом взаимодействии картина значительно усложняется. Однако, как и в двухчастотном случр^, в пространстве параметров (0,е) наделяются области розона!1са с периодическими орбитами. Эти области СЧ..ЗПИ1 между собгЧ полосами пар параметров, для которых Ишолнены соотношения фазового захват раз. 1чного порядка. Ьти полосы накладываются друг на друга, образуя многомерную Фрактальную паутину.

Ним и др." доказали ряд результатов о форме областей резонанса. Они также изучали некоторые из бифуркационных переходов, кгторце могут наблюдаться в двупараметрическсм семейств" отображений двумерного внутри облаете!, резонансь, огратмив свое внимание на локалььых бифуркациях. В случа системы трех взаимодействующих осцилляторов паутина фазового захвата исследовалась Линсеем и КеммингочТ которые поставили ряд экспериментов с взаимодействующими нелинейные1 электрическими осцилляторами для изучения трехчастотной квазип^риодичности. Бэзан и др.8 представили более детальный, как численный, ■ так и теорв'. леский, анализ пау.ины для семейства отображений двумерного

6 Kim S., MacKay R.S., Guckenheimer J. Resonance regions for families of torus maps.- Nonlinear!ty., 1989., v.?.., p.391-404.

Linsay P.S., Cumraing A.Vf. Three-frequency quasiperiodicity, phase locking, nncl the onset of ohaos.- Physica D., 1989-, v.40., p.196-217.

8 Baecens C., Guckenheimer J., Kim S., MacKay r.e. v.iree coupled oscillators: mode-locking, global bifurcations and toroidal chaos.- rhysica P., 1991.., v.49., p.337-475.

тора и ее бифуркационной структуры в окрестности облисти резонанса. Эшвин и др.9 изуч' та парам "'трг -еское пространство систеш трех электронных осцилляторов, чтобы проверить некоторые из бифуркационных переходов, предска-чшшх Бэзан и др.

Цель настоящей работы - определение асимптотического порчдения областей резонанса и фазового захвата д.»л семейств динамических систем на торе в окрестности сдвигов тора на постоянный вектор и исследование фе~чы "областей резо">шса для семейств типа Матье.

Научная новизна. Основные результаты диссертации:

1. Получена оценки сверху ширины областей резонанса д.»я семейств динамических систем на торе типа ...атье.

2. Установлена форма областей резонанса для типичных семейсш тлпр Матье.

3. Дано строгое математическое определение фазового захвата в динамических системах на торе, и на его основе получено оценка сверху ширины областей фазового захвата для семейств динамических систем типа Матье.

Ыетодм исследования. Используются методы теории динамических систем, Тиории дифференциальных уравнений и теории возмущений.

Приложения. Работа носит теоретический 'горехтер. Иэдуч'мишв результаты являю: -я продвижением в области исследования,

9 АаЬ«1п Г.В., СиааоМ «Т., К1п£ О.Р НсНаНоп. ве1в агк! уИаее-1оок1пб 1п а И1ге(-•ояо1Па»ог еув^т.- №здч».1о1с Ргерг1п'в,, 'у.^З.^ 19-31. "

бифург. 1ЦИ0ШЮЙ структуры семейств динамических систем но торе и могут найти дальнейшее применение в этой области и при г-'-следг-пании поведения реальных физических систе".

АпроОмдая работы. Результаты диссертации были доложены "(¡тором и обсуждались на Междун- родне* конференции .л.

Г.Петровс/ого "Дифференциальные уравь.чшя и (. дежнне вопросы" (МГУ, 1991 г.); на дгч ,адцатом ежегодном симпозиуме "Д}ш динамики" (Берлин, Германия, 1991 г.); на третьей Советско-американской конференции по хаосу (Вуд^ Хол, США, 1991 г.); на научно-исследовательском семинаре отдела аналитических и численшх методов математической Физики Вычис чтельного центра /Ч СССР (п д руководством Л.П.Прудникова, 1988 ¿ч); на научно-исследовательском семинаре "Особенности дифференцируемых отображений" (под руководством В.И.Арнольда, МГУ, 1991 ".).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 68 страницах и состот'т из введения, тре; глав и списка литератур, насчитывающего ! 52 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении , обосновывается актуальность ■ тематики, . сформулирована цель исследования, кратко излагается содержание диссертации и приводятся вспомогательные определения.

В первом параграфе глпвн 1 днштся формулировки основных . результатов об асимптотике областей резонанса для семейг.'

векторных гюлей но тор».

Стандартное семейство векторных псей на торе получается добавлением малого г"-ггариодическолэ возмущения еР (Р(хт)^Р(х) для всех т(2п) к постоянному векторному полю О: *

Пусть все траектории постоянного векторного поля и на торе замкнуты.

Определение 1.1.2. Областью рея онансс и тля семейства (1) назынчетсл множество пар (П,е). для которых векторное поле на торе v ' имеет замкнутую траекторию, гомотопную замкнутой траектории ноля ы.

Теорема 1.1.1. Пусть Р - тригонометрический лиюгочлен со спектрол Л,

Тогда ширина любого сечения области резонанса и дхя семейства ветореых полей т торе (1) гиперплоскость в простг~хтстве параметров (0,с), не щюходщей через О и трансверсаиыюй направлен-,м вектора (и.р), при доетт^то меиих |е| не превосходит С|е1г, где - некгторчя постоянная, а . • .

г=т1п Зй,....,*^: ^сапп ы\{0)|, (2)

я.е. |П -П*|«£|е|г дли люош• пар (П'.е). (0",е) из сечения Гапп и - множество "реасшнстг" показателей fctZn*, определяемых условием (к,ы)=о;.

Это сачиние области резонанса имеет вид языка. При фиксированном в оно является проекцией тора на гиперплоскости в плоскости параметра I). Теория возмущений позволяет установить порядок £, при котором появляются гармоники, отличающие эту проекцию от, простого схлонсжяния тора в точку. Этот порядок и определяет показатель степени роста ширины области резонанса. Для "типичной" области резонанса, т.е. когда минимум в (2) достигается лишь в одной паре m, -m; {, таких резонансных гармоник наименьшего по е порядка две: е2«{<т-х> и е-г%Ит.х)^ Если бы !]0 было членов более tJCOK^ro порядка, то при фиксированном е эти гармоники определяли бы форму сечен-я типичной области резонанса как эллипса с размерами порядка 0(ег). Члены более высокого порядка малости по е добавляют небольшое возмущение к этому эллипсу, размазывающее его в .сольцо.

Обозначим выпуклую оболочку спектра тригонометрического многочлена Р через л, а его границу - через ЗА. Пусть \=тах

Л^аД, rjeann uUOlJ.

Следствие 1.1.1. Показатель асилтотика г в теорема 1.1.1 ложно заленшь на р=-(-1/Х].

В следующих трех Лараграфах главы 1 доказываются теорема 1.1.1 и следстше 1.1.1.

Во второй главе док >таится аналогичные результаты дл семейств отображений гора

: x»-.r*C)+eP(i), (3)

U » I

где еР - малое гп-периояическоа возмущении сд!'.ига тора на вектор

t). В первом параграфе этой главы приведены основные определения и Формулировки теоремы 2. '. 1 об асимптотике областей резонанса для семейств отображений и следствия 2.1.1 из-этой теоремы.

Выберем рациональный вектор ы<;<Зп.

Определение 2.1.2. Областью резонанса ы для семейства отображений тора (3) называется множество пар (П,е), для которых /0 имеет периодическую орбиту с вектором чрпщения ы, т.е. для наименьшего натурального п, такого что pwiZ% р~ая итерация отображения сдвигает некоторую точку на вектор ¡м:

t (т)=х+ри.

Теорема 2.1'. 1. Пусть Р - тригочолещмчесш". лногсим со спеитрол А. Тогда Оля Сосжепочно домыт |к| ширина области резонанса ш для ct.-.ейапда (3) ограничена сверху величиной C|eir, где С - некоторая постгтиная. а

г-min jp: 3fc1,...,Ap€A:'^(fti,(i)JçZ, Jfe'^o]- (4)

Аналогично непрерывному случаю каждая область резонанса имеет вид языка, форт сечения e--conat которого зависит от числа показателей ке Л= ,Л+.. и Л,, попадающих в множество (fciZ^'XiG) :

Г 1--' I

г раз

(k,<o)fly Обычно в это множество попадает лишь одна пара .

и сечете лишь малыми высшего порядка, отличает.л от плоского эллипса с размерами порядка 0(ег).

Пусть опять А - выпуклая оболочка спектра возмущения. ЗА - -его граница, и Х=шах Х^дД-R*, 7}çann(t.>,i )\С0>|.

Следствие 2.1.1. Пот тель асилтитжи г 6 теоуеле ¿.1.1 ложно заленить m p=-t-1/\l.

Теорема 2.1.1 и следствие 2.1.1 доказываются в следующих трех параграфах лав и 2.

Глава 3 посвящена обсуждению более общих ьопросон об асимптотике областей фазового захвата для динамических систем типа Матье на торе. В первом параграфе этой главы дается определение областей фазового захвата для семейств векторных шлей на торе (I ) и приведена формулировка теоремы 3.1.1 об их ширине.

Обозначим отог.1)аже,.ие фазового потока поля иа через

Определение 3.1.1. Областью фазового захвата £cRn*\{0} для ceMeflci.j (1) называется множество пар (fi,s), для которых при любом 00, t0^0 1 ¡йдутся такие «Rn, teR, tztQ, что

Область фазового захвата представляет собой конус, вытянутый вдоль (fi-1 )-мерной плоскости n{--{m,OHRn": (ufi)^ûj. Чтобы

определить ширину этого конуса, понадобится еще одно опр.деление.

Определен и.е 3.1.2. Язъкох разового захвата для семейства (1 ; называется сечение области фазового захвата Ç двумерной пор^раюстью в пространстве параметров (fl,e), Н" проходящей через О и трансверсальной плоскости П^.

Каждый . язык с пределяется cenj ;ей поверхностью и точкой пересечения этой поверхности с плоскостью П{. Обозначим точку пересечения через (w.O). Toi да и называется осэтряел языка.

Теорема 3.1.1, Пусть Р - тригонометрический многочлен со спекпрол Л. Тогда дли достаточно лаже | ; трипа мобого языка фазового захват с остриел ы для селейства (1 ) не превосходил С|е|г, где G постлччно, а г дается фарлулой (2).

В втором параграфе главы 3 доказаны две леммн, на которых основано доказательство теоремы 3.1.1. Здесь же приведено доказательство теоремы 3.1.1. В . следующем параграф рассматривается случай отображений тора: чпп~';я необходимые определения и формулируется теорема 3.3.1 об асимптотике в дискретном случае.

Определение 3.3.1. Областью фазового захвата (Ê.ftkR'^'R'SMo.O)) для семейства отображений тора (3) называется множество пар (0,е), для к.тгорых при любых С>0, fc0>3 найдутся такие keH, kik0, что для fe-oC итерации отображения выполнено неравенство

Рассматриваете:; трансверсальные сечения областей фазового захвата.

Определение 3.3.2. Языка» фазового ьлви.л для семействе (3) называется сечение области фазового захвата (£,а) двумерной поверхностью в пространстве параметров Ш,е), трансвэрспльиой (п-1 )-мерной плоскости Г1({ oj-<(il,0): Ц,0)+а=0}.

Каждчй язык при е*0 вырезает из плоскости ïï(Ç а) некоторую точку (ы.О). Назовем ы остриел языка.

Теорема 3.3.1. Пусть Р - тригочолеярпеский лногочлен со сп чтрол Л. Тогда Оля достаточно лалых |е| иирина любого яянна

фазового saxbuma с остриел и для селейства (3) не превосходит С|е|г, где С постоянна, а г дается формулой (4).

Эта теорема доказывается в §3.4. В следующем параграфе показываете -, что наличие у динамической системы на торе инвариантных торов коразмерности к приводит к возникновению к не ависимых фазовых захватов. Таким образом, теоремы 1.1.1 и 2.1.1 об асимптотике областей резонанса являются следствиями теорем о ширина областей фазоь го захвата. Наконец, в §3.6 показывается, как согласуются введенное Мизюревичем и Зимиан10 определение множества вращения для отобральний тора и введенное автором понятие фазового захвата. Также сравнивается определение фазового яахг :та, предложенное для отображений двумерного тора Бэзан и др.1,1 с определением 3.3.1.

Автор глубоко призна-.'.лен своему научному руководителю В.И.Арнольду за постановку задачи л постоянное внимание к работе. Автор также благодарит Б.Я.Казарновского за многочисленные замечания, позволившие существенно улучшить первоначальное доказательство теоремы 1.1.1, К.Бэзан, С.Кима, П.Эивина и Дя.Гукенхвймера за полезные обсувдения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях авторя:

Hisiurewioz M., Zieioian K. Rotation seta for maps of tori.- J. London Hath. Soo., 1^89., v.40., p.49^-506.

11 Baesena C., Cuckenheimer J., Kim S., MacKay H.S. Three ooupled osoillators: mode-looking, global bifurcations and toroidal ohaoa.- Physic, D., 1991., v.49., p.387-47^.

1. Галкин О Л'. Резонансные области для динамических систем типа Матье.- УМН,, 1989., т.44., вып.З., с.153-154.

2. Galkin о.CÍ1 Resonance regions for Mathieu type dynanical systems on a torus.- Physlca D.< 1989., v.39., p.287;-298.

3. Галкин О.Г. Фазовый захват для векторных полай н&: торе типа Матье.- Фунта;, анализ и его прил., 1992., т.25., Hi;, с.1-е.

4. Галкин О.Г., Фазовый захват' для отображений тора типа Матье.-Функц. анализ и его прил., 1992., т.26., JfQ., в печати.

5. Galkin O.U. Phase-locking lor dynamical ayatema on a torua and the perturbation theory for» Mathieu type problems.- J. Nonlinear Scl.,. в печати.

Подписано к печати 22.06.92 г. Зак. 370. Объем 1,0 п.л. Тир 100 вкз.

Типография МГТУ им. Н.Э.Баумана