Физика легких мезонов в квантовой хромодинамике со спонтанным возникновением взаимодействия Намбу - Иона-Лазинио тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.23 ВАК РФ

Зайцев, Иван Владимирович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
2009 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.04.23 КОД ВАК РФ
Диссертация по физике на тему «Физика легких мезонов в квантовой хромодинамике со спонтанным возникновением взаимодействия Намбу - Иона-Лазинио»
 
Автореферат диссертации на тему "Физика легких мезонов в квантовой хромодинамике со спонтанным возникновением взаимодействия Намбу - Иона-Лазинио"

МОСКОВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНТСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ имени Д.В. Скобельцына

На правах рукописи

00348032 1

ЗАЙЦЕВ Иван Владимирович

ФИЗИКА ЛЕГКИХ МЕЗОНОВ В КВАНТОВОЙ ХРОМОДИНАМИКЕ СО СПОНТАННЫМ ВОЗНИКНОВЕНИЕМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НАМБУ - ИОНА-ЛАЗИНИО

01.04.23 - физика высоких энергий

2 2 О ИТ г"с]

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003480321

Работа выполнена в Отделе теоретической физики высоких энергий НИИ ядерной физики имени Д.В. Скобельцына МГУ имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Официальные оппоненты: доктор физико-математических

Арбузов Борис Андреевич

наук, профессор

Дорохов Александр Евгеньевич (ЛТФ ОИЯИ)

доктор физико-математических наук, профессор

Фаустов Рудольф Николаевич (ВЦ РАН)

Ведущая организация - Институт ядерных исследований РАН

Защита состоится 13 ноября 2009 г. в 15 часов

на заседании совета по защите докторских и кандидатских

диссертаций Д.501.001.77

при МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу:

119992, Москва,

Ленинские горы, д.1 стр.5 («19 корпус НИИЯФ»), ауд. 2-15. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НИИЯФ МГУ.

Автореферат разослан « » октября 2009 года.

Учёный секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д.501.001.77

профессор

Страхова С.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Как известно, признание квантовой хромодинамики (КХД) фундаментальной теорией сильного взаимодействия основывается прежде всего на се достижениях в адекватном описании высокоэнергетических адронных процессов. Это определено тем, что последовательное решение уравнений КХД достижимо только в указанной области благодаря малости при больших импульсах (энергиях) бегущей константы сильного взаимодействия, что оправдывает применение здесь теории возмущений. Между тем особый интерес представляют процессы взаимодействия кварков именно в области низких энергий, поскольку важнейшей проблемой теории остается прежде всего описание связанных адронных состоянии. И здесь оказываются актуальны различные альтернативные по отношению к использованию теории возмущений (иепертур-бативные) подходы, в том числе феноменологические. Среди последних собое место в силу се принципиальной простоты и прозрачности занимает модель Намбу - Иона-Лазинио (НИЛ), основанная на существовании приближенной киральпой симметрии лагранжиана КХД и интерпретирующая связанные кварковые состояния как голдстоуновские поля, возникающие в результате спонтанного нарушения этой симметрии. В рамках этой модели были получены хорошие результаты как в смысле качественного описания, так и соответствия экспсрементальпым данным. Между тем поскольку в изначальной локальной формулировке теории НИЛ вводится неперенормируемое четырехфермионное взаимодействие, здесь возникают ультрафиолетовые расходимости, а вводимое для их устранения обрезание, задающее также область спонтанного нарушения симметрии, оказывается произвольным и зависящим от приближения. Это побуждает перейти к построению нелокальной теории, в которой ненсрсиормируемые вершины снабжаются обрезающими формфакторами. Однако до енх пор остается по существу открытым вопрос о принципе построения функций формфактора: их вид в развиваемых в настоящее время нелокальных вариантах модели НИЛ оказывается также во многом произвольным, а попытки обосновать их введение приводят к привлечению слишком большого количества предположений и введению параметров, которые по могут быть определены в рамках исходного квантовохромодинамического рассмотрения. Это и определило направление наших исследований.

Цель диссертационной работы заключается в обнаружении и применении к исследованию физики легких мезонов естественного принципа построения нелокальной модели НИЛ, базирующегося только на фундаментальных основах самой квантовой хромодинамики, позволяющего избежать недостаточно обоснованных теоретических допущений и сводящего к необходимому минимуму набор вводимых в теорию параметров. Это определило обращение здесь к методу уравнений

компенсации H.H. Боголюбова, который необходимо было применить к рассмотрению указанной проблематики.

Основные результаты, полученные в диссертации

1. На основе стандартного лагранжиана КХД построены уравнения компенсации Боголюбова для скалярной и векторной четырехфермионных вершин. В качестве приближенных решений данных уравнений получены аналитические представления для функций формфактора, реализующих в развиваемой теории нелокальную модель Намбу - Иоиа-Лазинно, в которой ультрафиолетовые расходимости устраняются без введения произвольных теоретических допущений и внешних параметров.

2.Построено и решено уравнение для волновой функции Бете - Солпитера для связанных скалярных (псевдоскалярных) состояний с нулевой массой в синглет-ном по цвету и изоспину канале. Вычислением массовых поправок для соответствующего скалярного поля, связаппых с хромодинамическим и эффективным мезон-кварковым взаимодействием, продемонстрирована тахионная природа последнего.

3.Построен и проанализирован эффективный потенциал для данного поля, а также уравнение, определяющее массовый оператор кваркового поля, определены параметры спонтанного нарушения киральнон симметрии. Исходя из численных значений всего двух параметров - среднего по низкоэнергетической области значения бегущей константы связи КХД ая и токовой массы кварка - получены оценки для величины кваркового конденсата (вклад легких кварков), а также масс и ширин распада ж- и а-мезонов, удовлетворительно согласующиеся с имеющимися экспериментальными данными.

4.Построено уравнение Бете - Солпитера для волновой функции связанных век-торых мезопных состояний, в котором учтены глюонный и мезонный обмен. Найденное решение уравнения использовано для получения оценки массы />-мезона в древесном приближении, а также однопетлевых и двухпетлевых поправок к соответствующему значению. Вычислены также ширина распада р-мезона и масса и ширины распадов ai-мсзопа для различных значений параметра , здесь также, вместе с определенной ранее токовой массой кварка, исчерпывающего набор детерминирующих результаты исходных численных величин. Выявлено оптимальное (в смысле соответствия экспериментальным данным) значение as, оказавшееся равным полученному в результате применения аналогичного метода к исследованию глюонной структуры вакуума .

Научная новизна работы заключается в том, что впервые исследование физики легких мезонов в рамках нелокальной модели НИЛ было осуществлено без введения каких бы то ни было произвольных предположений о виде функций формфактора, который здесь определяется лишь самим лагранжианом рассматриваемой теории и предстает как отражение внутренней структуры последней, а набор вводимых параметров ограничивается величиной замороженной в низко-

энергетической области бегущей константы сильного взаимодействия и значением токовой массы легких кварков. При этом удалось па основе разумных допущений, задающих выстраиваемое здесь приближение, получить ничем априори не предопределяемые аналитические представления для упомянутых функций, а также описывающих сами связанные мезопные состояния волновых функций Бете-Солпнтера.

Практическая ценность работы состоит как в получении в ней в достаточно высокой степени соответствующего экспериментальным данным описания физики легких мезонов, так и в обосновании тем самым применяемого в ней метода компенсации Боголюбова, который вследствие наличия указанного результата предстает как чрезвычайно перспективный в области описания не только различных адронных связанных состояний сплыювзаимодействующнх кварков, но и в гораздо более широкой области исследования различных эффективных взаимодействий и связанных состояний также и за пределами области применимости КХД, в частности, в элсктрослабой теории, где соответствующие вопросы также стоят достаточно остро.

Апробация работы и публикации Результаты работ, вошедших в диссертацию, докладывались на семинарах в НИИЯФ МГУ, ЛТФ ОИЯИ, ИЯИ РАН. Основные результаты опубликованы статьях:

1. В.А. Arbuzov, M.K. Volkov, I.V. Zaitsev. NJL interaction derived from QCD. International Journal of Modern Physics. A, 21, 5721 (2006).

2. B.A. Arbuzov, M.K. Volkov, I.V. Zaitsev. NJL interaction derived from QCD: vector and axial-vector mesons. International Journal of Modern Physics.

Личный вклад Исследования выполнялись автором самостоятельно или при его непосредственном участии. В частности, он построил определяющие свойства модели соотношения, получил их решения, а также осуществил переход к вычислению наблюдаемых физических величии.

Структура и объем диссертации. Работа изложена на 83 страницах печатного текста, состоит из трех глав (включая Введение), заключения и приложения, содержит список литературы, включающий 78 наименований.

Содержание работы.

Во Введении, во первых, дана общая характеристика модели НИЛ, обрисована ее структура и дай краткий обзор вариантов ее развития. Во-вторых, на примере модельной теории скалярного поля в шестимерном пространстве здесь рассмотрены также основные особенности метода компенсации H.H. Боголюбова и обоснованы упрощающие допущения, которые позволяют при построении уравнений компенсации прийти к математически обозримым соотношениям и, в частности, к получению аналитических решений данных уравнений.

В Главе 2 рассматривается физика скалярных и псевдоскалярных мезонов, а также вопрос о стандартном нарушении киральной симметрии. Процедура построения уравнения компенсации исходит из стандартного лагранжиана КХД с двумя легкими кварками и числом цветов N=3, в который вводятся нарушающие киральную симметрию нелокальные члены вида

G / Р(Х,Х1,Х2,ХЬ,ХА)Ф(Х,)Ф(Х2)Ф(Х3)Ф(Х4)(1Х,<1Х211Х3(1Х4} (1)

(здесь i/>- изотопический дублет кварковых полей с суммированием по цвету в билинейных комбинациях), которые после перехода в импульсное пространство дают вершины

i (2тг)4 G F(pl,p2,рЗ,р4) S(pl + р2 + рЗ -f р4), (2)

причем вводятся указанные члены дважды с противоположным знаком, что и итоге оставляет исходный лагранжиан неизменным. Отнесением затем вклада с одним знаком к свободному лагранжиану, а с противоположным - к лагранжиану взаимодействия, получается (после введения для нелокальной вершины обозначения G ■ фффф) следующее:

L = L0 + Lint ;

U = ^{ФЧАФ - д„фу„ф) - ~ тоФФ + У' (ФтьГоФфтьГэф -

-фффф^ + ^ • (фт^^ф фть-у„ф + фтьъъффтьъъ'ф) ;

Linl = даФъ?А1Ф - 1 [f;^ - FoViiV) - Y ' (^ъф^ъф- фффф) -

- у • (фт\ф фт\ф + фтъчЬ1»ФФтЬ1ЫцФ>) . (3)

(здесь G1 и (?2 - вершины скалярного и векторного типа, существенные в дан-пом рассмотрении). Разделение лагранжиана становится осмысленным в резуль-

тате введения требования обращения в нуль (взаимной компенсации) всех сильно связанных четырехфермиопных вершинных вкладов, следующих из лагранжиана Ьо (что вместе с тем но приводит, вследствие различия в знаке, к исчезновению соответствующих вкладов в лагранжиане взаимодействия). Это и означает, при сохранении вида свободных функций Грпиа, введение нелокального эффективного четырехфермионного взаимодействия. Условие компенсации вкладов в Ьо оказывается уравнением, определяющим формфактор Г. Для получения его решения вводятся упрощения, основными из которых являются следующие: ^специальная кинематика, делающая формфактор зависящим лишь от одного квадрата импульсной псрс.мсппой(входящсго импульса кварка), Р = Р(р2) 2)ограшпе1шс рассмотрения однопетлевыми и двухпетлевыми диаграммами Фсйнмапа 3)л1шеа-ризация, состоящая в ограничении числа нелокальных вершин (которые обозначены жирными точками па представленном па рис.1 графическом изображении уравнения компенсации) в каждой диаграмме единицей, причем остальные вершины рассматриваются как точечные (обоснование данной процедуры обрисовано во Введении) 4)псрспссепис содержащейся в кварковых пропагаторах токовой массы кварка в нижний предел интегрирования в петлевых интегралах 5)сохраисние вкладов лишь первого и второго порядков разложения но обратному числу цветов 1/ЛГС) что соответствует точности порядка ~ 8%.

+

+

+

О

Рис 1.

Здесь также совершается переход к евклпдовскому импульсному пространству, в однопетлевых членах учтены члены, пропорциональные N и 1, а в двухпетлевых И2 и N.

После проведения интегрирования по углопым импульсным переменным, полученное уравнение приобретает следующий вид (здесь х = р2):

, .,.„ » II2} (с' + бО^;х

32 тг4

+

»(±1 (у2-з/х2)^(у)¿г/ + !Ц ур1 (г/)¿у + >°5*{ ьЪ(у)¿у

+х X J р!(у)(1у + У у 1ой уРг(у)(1у+ х У ^ г/ + ^^1(2/) Лу ¿У + (гл2 -1х) ^(г/)¿У-и™уЪ(у)йу

(4)

- 1ов Л2((»)«/!/ +а;^ Л(г/)А/));

. / 1 / 1 \ /*со \

Л = + + 2Л?)/.

/I = то; х = р2; у = </2.

Опо соответствует одновременно скалярной и псевдоскалярной вершинам, а константа б] сокращена, поскольку целыо является поиск нетривиального решения. Л - временно вводимое ультрафиолетовое обрезание, зависимость решения от которого устраняется затем граничными условиями.

Последовательным дифференцированием данное интегральное уравнение преобразуется к дифференциальному

х

(5)

Р 167Г4

которое в свою очередь после проведения замены переменной оказывается каноническим уравнением Менера С порядка:

0х2 1 - VI - б4ио , 1 + ч/1 - 64и0 ртЪ ,„.

г = =--4-;6 =--4-;и° = -бГ' №

6

решение которого получается в виде комбинации трех убывающих па бесконечности функций Мейера, для которых рассмотрение их асимптотического поведения приводит к условиям

3 в2 8тг2

П Г 00 роо п оо

■£/ Р,(у)ёу = 0; / у^Л/= 0; / у2 Ъ (у) ¿у = 0; (7)

^ 7п{ -I т?, тл3,

Данные условия вместе с нормировкой на нижнем пределе интегрирования (на массовой поверхности)

ЪЫ- 1, «о -"25-- ---(8)

и условием /1 = 0 определяют коэффициенты разложения, упомянутый нижний предел, а также отношение констант скалярной и векторной вершин:

щ = 1.92 • 10"8 ~ 2 • Ю-8; вг = ^ в2., (9)

так что и С2 выражаются через тпа и оказываются положительными. Полученная как единственное решение уравнения компенсации функция формафактора убывает от единицы при г = щ по закону

Л(г) -> ^ схр(- 3(1 - г-Л) г*) + ¡¡„с.,

гч

что является обнаружением спонтанного возникновения эффективного четырех-фермионного взаимодействия и позволяет перейти к рассмотрению проблем связанных состояний кварков и нарушения киральной симметрии.

Исследование связанного состояния производится при помощи уравнения Бете - Солпитера

(?! N Г Ф(д2) ¿д ((?? + вв^^

т, 2^ ^АГ Г

32тг6

/(гл' + О,-,)1^^-^-,)" - С)

которое отличается в случае нулевой массы от уравнения для формфактора изменением знака при вершине нулевого порядка и. соответственно, изменением знака ядра, а также отсутствием неоднородных членов. Это приводит к тому, что здесь существуют четыре убывающих на бесконечности функции Мейера, на которые накладываются условия на бесконечности и нормировочное условие

/ 1 1Г- - 0; / Ф(г) </г = 0; / = Щи) = 1. (11)

¿и V^ ¿и ¿и

Здесь т - кварковая масса, не совпадающая, вообще говоря, с та- При заданном и эти условия однозначно определяют волновую функцию Ф(-г), что соответствует существованию безмассового состояния. Дабы ввести массу, необходимо учесть хромодинамичсское взаимодействие, а также возникающее тут эффективное кварк-мезонное взаимодействие

ф); (12) где д определяется нормировочным условием для бессшиювых состояний

= /2= ГЩ1£.= аз)

4тг2 ' ]т2 р2 Ju 2г

Поправка к массе, определяемая соответствующими вкладами, вычисляется учетом первого порядка по импульсу скалярного (псевдоскалярного) состояния Р2. В уравнении, изображенном на рис.2, задаются импульсы р + Р/2 и —р + Р/2.

Рис.2

В результате Р2 выражается через интегралы от найденной прежде функции Ф 2д2 + д2 [' Ф(*)Л (2д2 + д2)Ь

■Ь =

Г» Г т£ (2д2 + д2)1,

к г к уГг 2

(£ = .) и квадрат массы скалярного поля оценивается как

Данная величина оказывается отрицательно определенной, а поле - тахионным, что соответствует нестабильности вакуума. Поэтому оказывается необходимым построить эффективный потенциал, зависящий от скалярного поля ф. Необходимый для этого масоовый оператор Е(р2) кваркового поля находится из уравнения

С?! N [ Е(д2И(/ , (С' + бО^М

2 С^ [ Е(д ) (¡д

32 7Г6

/7 .2 , N2, (Р-Я)2 3. ш4 \£{(12)<1п

} (2Л + <" - 108 ^ТГ- - 2 -- цГчу) ? +

\4тг4 8тг4П Ч2(я-р)'2

полностью совпадющего с уравнением для волновой функции Бете-Солпнтера, причем

Е(ж) = та + (т-то)Ф(х); Е(-т2) = т. (17)

В выражении для эффективного потенциала входят слагаемые, пропорциональные ф" для п = 1, 2, 3, 4 (оценка высших порядков указывает на незначительность их вклада).

Условие минимума эффективного потенциала разрешается при помощи опрсдслення параметров щ , и:

Подстановка его приводит к выражению, задающему функцию аа(и):

Положение же минимума задает составляющую массу кварка:

т = т0 + дт]\ ?) = < ф > . (22)

Рассмотрение однопетлевой квартовой диаграммы для амплитуды распада процесса 7г+ —»/1+ Рц приводит для константы распада пиона к выражению

fn =

gN 4тг2

J ^ ((m - гло) Ф(г/)2 + ш0 Ф(г/)) ^

= g ((m - ™0) /2 + ш0 /,) ; = jf° ^^ ., (23)

переходящему при та = 0 (или /2 = Л) в соотношение Гольдбергера - Треймена т = д¡ж. Введя в рассмотрение функции

ф(р2) = £(р2) — m0 ^ = ф(р2) _ ф(р2) ^ (24)

Til — TTJo

удается построить с помощью имеющихся уравнений для Ф(р2) и Е(р2) следующие соотношения: во-первых, аналогичное соотношению Гелл-Манна - Окса - Реннера выражение, задающее массу пиона:

, т2 т0 / Ч2 \ т т f°° log г ,„ ,

= ^Г"?-П—г К + -fbg = - / —7=~ 25

27Г (т - т0)/2 v« V 8я-/ ь К \[z

Во вторых же - выражение для величины кваркового конденсата:

J q + тпг

4 N Г S(g) — шо N (m — т0)

(2 7г)4 ./ 52 + rn2 J TT2V^

Скалярное поле <¡4 соответствует ст-мезопу. Для вычисления массы ст-мезопа используется соотношение для разности квадратов масс <т и 7Г мезонов, следующее из однопетлевой диаграммы

' я"1 ./ (</2 + т2)2 ^ 0

Отсюда получается для массы с-мезопа

то2 = то2 + ^f- /2 + 2 т0(т - т0) h + (т - то0)2 ; (28) Ширина ст-мезона оказывается следующей

За;

где

д3 N ( \

Пажк = -~2 - \1Па /з + (т - т0) /4 J ; (30)

Переход к численным результатам осуществляется следующим образом: ^Вычисляется функция а,, зависящею от параметра и, и интересующий нас интервал значения оказывается соответствующим значениям и, меняющимся в следующих пределах:

0.0005 < и < 0.0015. (31)

Для этого используется параметр «ц = 2 х 10~8 в соответствии с соотношением ( 21). Постоянные С,*, г = 1,2,3,4 вычисляются из граничных условий, что определяет Ф(г). Исходя из Ф(г), вычисляются интегралы , ] = 1,2,3,4,5.

2) Фиксируется значение = 93 МеУ.

3) Далее для данных и из интервала (31) получается составляющая масса кварка т.

4) Исходя из значений т и а,,вычисляется гпж из (25).

Для и из указанного интервала тж меняется незначительно между 131 \tc.V и 135 Л 1еУ с максимальным значением 134.8 МеУ для и = 0.0009, что соответствует аа = 0.673 и то = 20.27 МеУ.Для данного, представляющегося наиболее удовлетворительным, значения т, предоставляется набор вычисленных параметров для выбранных условий, включая кварковый конденсат (26) и параметры ст-мезопа (28), (29)

а» = 0.673; т0 = 20.3 МеУ; тж = 135 МеУ; = 93 МеУ: т„ = 492 МеУ; Г„ = 574 МеУ т = 295 МеУ; < Цц > = - (222 МеУ)3:

С' = (244* = ЗЛ6- <32>

Исходные данные - аа и то, а все остальные величины получены из этих двух фундаментальных параметров. Здесь представлены также значение констант че-тырехфермионной вершины С] и мезон-кварковой связи д. Точность вычислений оценивается примерно в 10%, причем главный вклад в эту оценку задается следующими порядками разложения но 1 /А'.

Полученные результаты находятся во вполне удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными. Что касается значения то, значительно превышающей обычные значения то(2 веУ) ~ 4 — 8 МеУ, то следует отметить, что низкие значения данной величины относятся к пертурбативпой области, где пе учитывается взаимодействие НИЛ, а в непертурбативной. в частности, решеточные вычисления дают, как правило, более высокие значения.

Рассмотрение вопроса о стабильности решения, зависящей от величины постоянного вклада в эффективном потенциале, приводит, при использовании феноменологических оценок кваркового конденсата, к выводу о том, что решение при рассматримаемых исходных значениях параметров оказывается устойчивым (вследствии отрицательности значения потенциала). При определенном малом а„ потенциал может сделаться положительным, и это соответствует фазовому переходу к тривиальному решению рассматриваемых уравнений (которое всегда присутствует).

В Главе 3 рассматривается физика векторных и аксиально-векторных мезонов. Исходным пунктом является стандартный лагранжиан квантовой хромоди-намики, записываемый на этот раз в виде

Здесь по сравнению с использовавшейся прежде формой добавлены вершины изоска-лярного векторного типа (с константой Сз), которые оказываются существенны в данном рассмотрении. Однако принцип разбиения па свободный лагранжиан (первые две строки) и лагранжиан взаимодействия остается прежним. Уравнение компенсации исследуется последовательно для изовекторной вершины, пропорциональной 62. Основные принципы построения приближения остаютя здесь теми же, что и при рассмотрении скалярной (псевдоскалярной) вершины, однако в случае векторной вершины лоренц-инвариантность допускает возможность присутствия двух различных структур, дающих вклад в вершину, соответственно чему мы, вообще говоря, имеется уже не один, а два формфактора. Однако решение получающейся при учете этого системы уравнений не может быть получено аналитически, и возникающая при избранной кинематике структура р х р, относительно которой делается предположение о малости ее вклада, исключается при помощи действия на уравнения проектором

(33)

— (-у -УЬ)

12 т? '

В процессе исследования были рассмотрены также уравнения, получающиеся при использовании (псевдо)проекторов более общего типа, а именно

(35)

(приведенному выше проектору соответствует <1 = 1). Прн этом, в частности, выяснилось, что для значений /I в пределах от 1 до 2 получаемые в результате решения уравнений значения физических величин отличаются друг от друга не более чем на 5-7 процентов, что соответствует в целом принятой точности итоговых вычислений н тем самым служит косвенным подтверждением обоснованности проведения обсуждаемой процедуры проектирования.

Диаграммное представление уравнения компенсации здесь также соответствует рис.1.

Г(_1_ ({кр)2 - к2р2) то4 _ Тор4 (7к2р2+8(кр)2)\ Р{к2)ё'к\

+ 1„1 48 (р-к)4 96 (р-к)2р2 ) (к2)'2 ) +

^ а: (ё¥-> ¿и <-• - +

[°°( 1 ((кр)2 — к2р2) т04 1 т04(7к2р2 + 8(кр)2)\Р(к2)ё4к\ ^ 1 то \288 (р-к)4 + 384 (р-£)2р2 ) (к2)2 ) +

2?гв V 288 Л,Д у V2 ) \ Л2

1 / Л Л Р (к2)<1Ак

^ I / 1 //¿п ил У — л л"

/■»/ 1 то4 (5 А:У - 2 ¿р2) ш04 (¿У - \ ^ (£2)

В качестве величины нижнего предела интегрирования в этом уравнении выбрано значение токовой массы кварка то соответствующее значению щ = 1.92510~8, вычисленному при рассмотрении уравнении для скалярных формфакторов. Кроме того, далее повсюду используется также выведенное там соотношение скалярной и векторной констант:

= (37)

После проведения углового интегрирования и осуществления действия на дан-нос уравнение дифференциальным оператором

<Р_ <Р_ 2

ёх2 (1х2 ёх3 '

получается дифференциальное уравнение, которое после проведения замены г-вх2 3 ^Се(12С2-7С3)

может быть приведено к виду

<{ , \ / Л / <1 , \ ( И , \ ( в,

= '2 (* £-+ О (2 £~ 02 + 1) (39)

то есть записано как уравнение Мейсра 8 порядка. Решениями такового являются функции Мейера с параметрами Ь,. Параметры вычисляются после исключения константы (7з посредством введения предположения о равенстве констант

G3 — G-¿, которое используется и большинстве подходов. Граничные условия для вычисления коэффициентов разложения по имеющимся тут убывающим четырем функциям Мейера строятся по аналогии со скалярной теорией.

3 (S'+ Жа'+ зй'- wа-а>) ^ /„>м'-

роо лоо

/ y2F(y)dy = 0 / у3 F (у) dy = 0 (40)

J J mjj

В данно.м случае, в отличие от теории скалярного фор.мфактора, значение формфактора на нижнем пределе интегрирования уже не полагается принудительно равным единице, в качестве одного из граничных условий, при помощи которого можно было бы определить взаимное отношение констант G¡ и G¡. Исполнение данного условия с достаточной TO4iiocTbio(F(ií0) = 0.9G094) оказывается подтверждением как гипотезы о равенстве констант, так и самосогласовапности теории в целом. О том же свидетельствует и предварительное рассмотрение уравнения компенсации для формфактора изоскалярпой векторной вершины, значение которого на нижнем пределе также оказывается достаточно близким к единице.

При рассмотрении связанных векторных состояний, в отличие от скалярных, в уравнение Бете - Солпитера сразу же вводятся члены, отвечающие глюонному обмену, а также обмену векторными мезонами (вклады, связанные со склярными и псевдоскалярными мезонами взаимно компенсируются). В остальном исследование уравнения остается аналогичным. Интегральное уравнение сводится к дифференциальному, которое после проведения замены

«-*■ е-У'а'и71;:''а'] <«>

принимает вид

* (2 Тг ~ (* íz -b°)*{z]=-z(zíz- a> + l){Zíz-a* + О*«' 1 59£2 + 0- у/8281 +708 g2+30 ~ 80 £2

1 59 Í2 + б + у/8281 Í* + 708 Е? + 30 , G, ,<п,

Я2 = 80-р- (42)

Общин вид убывающего на бесконечности решения уравнения - следующий:

+ Сз Сг8 ^¡¿^бб,66,63,64,67,68 ) + 8°1 (г |м\к!м,М,Ь5,Ь7,66,&8 +

+ Съ С°8 (г 1б1,''¡а,Ь\65,60,68,67,61 )) (43)

Коэффициенты С; определяются из граничных условий

/»оо

Ф(?п2) = 1 / ?/ Ф ()/) ¿у = 0, ¿ = 0,1,2,3 (44)

Ут2

а значение д„ дается итерационной процедурой, определяясь условием равенства единице одноиеглевого вклада в мезонный пропагатор:

f2 Г^^Ь = 1« = = (45)

4тг27й 2 00 1G 7Г

Присутствие в интеграле функции формфактора позволяет учесть спадание взаимодействия на соответствующем масштабе импульсной переменной.

Для получения численных значений здесь, как и в случае скалярных мезонов, постулируется значение и — /3 т'1 так, чтобы а., лежало в нужной области, и затем уточняется значение последнего. Рассчеты проводились для значений и, равных 0.00015, 0.00030, и 0.00045, полученные значения а„ приведены ниже в таблице. Кроме того, там присутствует (вместе с соответствующим значением и) значение а, = 0.415, поскольку эта величина среднего значения а., получена при помощи аналогичного метода в работе В.A. Arbuzov. Infrared non-perturbative QCD running coupling from Bogolubov approach. Phys.Lctt. B656, 67 (2007). Замечательно, что именно здесь получаются результаты для большинства наблюдаемых величин, в наибольшей степени соответствующие экспериментальным данным. Первоначальная оценка массы /ъмезона дается формулой

м°=тк' (4G)

где Gz определяется из соотношения Gs = Ц-Gi, a Gt рассчитывается, как и выше, исходя из значения и. Далее же вводится однопетлевая поправка к квадрату массы, которая дается выражением

М„ = ^ А/р + А(Мд) (48)

Были также вычислены двухнетлевыс поправки к массе, в которых в уравнении щели учитывается глюопный и мезошхый обмен. Однако оказалось, что их величина не превосходит 1-2 % исходной оценки массы.

Масса Лт-мезона оценивается при помощи соотношения

М2м = Л// + 6гд2 (49)

Константа распада р-мезопа па два 7г-мсзоиа находится из треугольной диаграммы по формуле

г,, «

т2 Л г

где Ф< (г) - волновая функция скалярных состояний, д„ - константа связи скалярной теории. Ширина распада дастся формулой

2

<7р-> 2 ж — да Qv ^

3/2

TTiZ ^^

1 g^2,2(42~4mT2) 24 Л/2 ж

Для ширины ai-мезона рассматриваются два канала: —> рж и a¡ —» аж. Вершина для первого распада имеет следующую форму (здесь опущен изотопической фактов еаьс)

рзг) = А0др, + А2р„даи

Ngv2g,m ГФЩ2 Ф„ (у)

. " uv ys"í f \у 1 в / .

Ао =--5- / -иу ,

* Jm2 У

, Ng2g3m f° Ф (yf Ф .{у) л2 — — -

2рг2

•■-Г^-Щ^ау (52)

Л»* У

где р,ц и </, V соответственно импульс и лоренцевский индекс для с^-мезона и р-мезона, т - составляющая кварковая масса. Второй распад описывается следующей вершиной (изотопический фактор &иЬ)

^(«1 -> <"0 = да1—*(тп{ч ~ к),,

Nд2 <7. т. Г°Ф(г/)2ФЛг/)

Qcix-tait —

ГЩЪШъ f (53)

Vm2 у

где k. и q соответственно импульсы ж и ст-мезонов, и ¡i - лорснцев индекс а,. Соответствующие частичные ширины

М2 - М2 Í м2 + м2 Па, - /иг) = Ul +

24тгЛ/,?, V ° 4жЛЦМ/

(M2a¡+M2)(Ml-M2) (Д/2-М2)

-)

Г(а, -к аж) = М°)3; Г., = Г (о, рж) + Г(а, -> аж) (54)

Здесь предполагается, что т2 -С МаиР,„-

Наблюдаемые величины для векторных и аксиально-векторных мезонов вычисляются прп помощи данных выражений. Следует отметить, что при вычислении ширин распадов подставлялись вычисленные массы соответствующих мезонов. Результаты представлены в таблице. Набор вычисленных параметров представлен в зависимости от среднего значения ненертурбаивной бегущей константы связи а, в диапазоне 0.29 — 0.48. Вычисления нормированы наиболее точно определенным параметром /„. Все остальные значения в таблице вычислены. В каждой колонке таблицы содержится набор соответствующих параметров, полученных исходя из представленных тут же значений а, и т0.

и 0.00015 0.00030 0.00045 0.00032 ехр/рЬеп

а, 0.2872 0.4038 0.4826 0.415 -

!* МеУ 93 93 93 93 шри!

Я, 2.6602 2.8432 2.9256 2.8643 -

та МеУ 21.9 21.6 21.2 21.5 5-10

т М еУ 247 264 271 265 270 - 350

Схт Меи 320 287 267 283 -

<7и 4.30 5.00 5.52 5.11 -

М„ МеУ 713 785 830 791 771.1±0.9

9 р 7Г 7Г 4.29 4.41 4.36 4.44 4.26

Г „МеУ 136 166 175 170 149.2±0.7

Л/„,, МеУ 935 1017 1043 1018 1230±40

Г0, МеУ 268 330 312 334 250 - 600

Г(а, -»■ £Г7г)/Го1 0.168 0.188 0.201 0.189 0.188±0.043

Что касается параметров скалярных мезонов, обсуждавшихся в Главе 2, то они при а, = 0.415 таковы:

га, = 134 МеУ\ < Щ >= -(230МеУ)3; т„ = 480МеУ; Г„ = 560МеК (55)

В Заключении дан обзор результатов и подведены итоги диссертационной работы.

Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии КДУ Тел./факс: (495) 939-57-32. Е-таП: prcss@kdu.ru

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Зайцев, Иван Владимирович

Глава 1. Введение.

Глава 2. Физика скалярных и псевдоскалярных мезонов.

§ 1. Уравнение компенсации для эффективного формфактора.

§2. Скалярные и псевдоскалярные состояния.

§3. Спонтанное нарушение киральной симметрии

§4. Пионная масса и кварковый конденсат.

§5. Численные результаты и обсуждение.

Глава 3. Физика векторных и аксиально-векторных мезонов

§ 1. Уравнение компенсации для эффективного формфактора.

§2. Волновая функция векторных состояний.

§3. Вычисляемые физические параметры и итоговые замечания.

 
Введение диссертация по физике, на тему "Физика легких мезонов в квантовой хромодинамике со спонтанным возникновением взаимодействия Намбу - Иона-Лазинио"

Как известно, квантовая хромодинамика успешно применяется для теоретического исследования сильных взаимодействий элементарных частиц при достаточно высоких энергиях ( [1, 2, 3] ). Методы теории возмущений здесь позволяют достичь самосогласованного описания, в рамках которого асимптотическая свобода в кварковом взаимодействии оказывается связана с последовательным учетом элементарных процессов, задаваемых исходным локальным лагранжианом теории. Однако соответствующее поведение бегущей костанты связи, то есть ее убывание при стремлении энергии взаимодействия к бесконечности, сменяется, напротив, ее ростом при движении энергетической переменной к нулю. В результате этого в определенный момент теория возмущений оказывается неприменима, и описание как конкретных взаимодействий, так и дальнейшего поведения указанной константы оказывается невозможным в рамках данного подхода. Между тем одной из важнейших задач теории остается, во всяком случае, описание связанных состояний сильно взаимодействующих частиц, то есть прежде всего самих кварков, а тут энергия взаимодействия оказывается заведомо ниже упомянутого порога применимости теории возмущений.

Одним из вариантов решения данной проблемы является попытка построения точных решений квантовополевых уравнений, заданных не во всем пространстве, а на решетке (в конечном числе точек) (см, например, [4, 5, 6]). Соответствующие методы достаточно успешно развиваются, однако этот процесс ограничен, во-первых, возможностями вычислительных систем, необходимых для выполнения "решеточной"программы. Во-вторых же, ясно, что подобный метод не может быть признан универсальным и что границы области его применимости не могут быть выявлены априори. В особенности же задача достижения понимания физической сути процессов, происходящих в ходе низкоэнергетических взаимодействий кварков и глюонов, обусловливает актуальность развития и иных непертурбатив-ных методов исследований в этой области, прежде всего феноменологических, то есть позволяющих в известной мере отвлечься от фундаментальных затруднений в рассмотрении квантовохромодинамической теории как таковой и вместе с тем проливающих и некоторый свет на новые пути и песпективы преодоления указанных затруднений. При этом в теории сильных взаимодействий наиболее естественным принципом построения соответствующих моделей оказывается приближенная ки-ральная симметрия лагранжиана КХД [7].

Одним из подобных методов, развиваемых исследователями в течении многих десятилетий, является подход, связанный с введением взаимодействия Намбу -Иона-Лазинио (НИЛ). Суть его заключается в получении связанных многочастичных состояний посредством введения в лагранжиан теории членов, нарушающих киральпую симметрию: возникающие при этом голдстоуновскпе частицы и могут в итоге интерпретироваться как мезонные или бариоиные системы. Характерно, что сам подход возник еще до появления квантовой хромодипамики (из аналогии с теорией сверхпроводимости, [8]) в 1961 году в работе упомянутых исследователей [9], и был реализован на нуклонных системах, которые в то время рассматривались как связанные состояния пи- и сигма-мезонов. В 60-е годы достаточно интенсивно развивались и иные феноменологические подходы, основанные непосредственно на киральной симметрии ( [10, 11, 12]), но в дальнейшем наибольшее развитие получил метод НИЛ. Для кварковых систем его впервые переформулировали в 1976 году японские теоретики Егучи и Кикава [13, 14]. Именно в их работах было продемонстрировано, каким образом легкие токовые кварки могут переходить в массивные составляющие в результате спонтанного нарушения киральной симметрии. Однако в целом модель здесь рассматривалась лишь в простейшем случае кирального предела, то есть при нулевой токовой массе кварков, что в итоге приводило и к безмассовости возникающих связанных (мезонных) состояний.

Этот недостаток был в принципе преодолен в публиковавшихся начиная с 1982 года работах М.К.Волкова и Д.Эберта [15, 16, 17, 18], которые предложили вариант модели НИЛ с ненулевой токовой массой кварков, что позволило описать основные свойства скалярных, псевдоскалярных, а также векторных и псевдовекторных мезонов. В дальнейшем подход был применен также к физике других ад-ронов, и в различных интерпретациях он развивался во многих научных центрах различных стран. Было опубликовано более 600 работ, посвященных уточнению и развитию метода( [20, 21, 22, 23, 24, 25]) и др.). При этом необходимо сразу отметить, что важнейшей проблемой оставался вопрос о возможности получения исходного эффективного лагранжиана теории НИЛ на основе известных принципов квантовой теории поля и допускаемых этими принципами явлений, без привлечения искусственных приемов. В нашей работе, в частности, также рассматривается радикальный подход к решению указанной задачи, а именно, один из вариантов нелокальной модели НИЛ.

Простейший вид имеет локальная кварковая модель НИЛ, описывающая скалярный и псевдоскалярные мезоны. Здесь постулируется четырехкварковый лагранжиан следующего вида: G

L = q(x)(idx - m0)q{x) + — ((q(x)q(x))2 + (;q{x)iTal5q{x))2) (1.1) где q{x) — {u(x), rf(a;)} и аналогично для q(x) - кварковые и антикварковые поля, - токовая масса кварка, G - константа взаимодействия т0 - матрицы Паули и 75 матрица Дирака. При помощи тождественных преобразований ( в частности, преобразований производящего функционала связных функций Грина) можно произвести бозонизацию данного лагранжиана, перейдя к мезонным полям а и 7га:

S~l(x, у) = [idx -m + a'(x)+ i^5Tana(x)]S^(x - у) (1.2)

Здесь фигурирует поле сг'(х), где штрих обозначает, что вследствие спонтанного нарушения киральной симметрии соответствующее ноле приобрело ненулевое вакуумное ожидание а0 = (<т)о, то есть а (х) = о 4- сг0 - так получается физическое скалярное поле. Тогда, потребовав исключения из лагранжиана линейных по а (х) членов, мы получим уравнение щели sJl

5а' 0, =>• m0 = m + o0 = m(l-8GI1A(m)) (1.3) sigma =0 где I\K(m) - характерный для данной теории расходящийся и, соответственно, обрезанный на некотором уровне А интеграл. Таким образом, в результате спонтанного нарушения симметрии кварки приобретают массу ш, включающую в себя вакуумное ожидание скалярного мезонного поля. Здесь интеграл Д, в частности, таков: гЛ/ . Nc Г dV(A2-к2) Nc га2 2l /А2 „ ,,

Л (m) = ^J (m» + f) = ",1аЬ+ О]' (L4) где Nc = 3 - число цветов кварков, а Л - параметр ультрафиолетового обрезания, задающий область применимости данной теории. Введя аналогичным образом интеграл 12 г Л/ n Nc f с14еО{А2 — к2) Nr г /Л2 л / m2\-ii ,, мы можем записать мезонный лагранжиан тт и ег-полей: i + 4/lA(m) + ^V)) х К(рК(-Р) + аа(р)*а(-р)) --8m2l2A(m)cj' а(р)а' а(-р) = \{р2 - Мп2)1га"(Р)1та«(-Р) + \{р2 - Мв2)о*{р)о*{-р) (1.6)

В последней строке введены массы 7Г и а-мезонов, которые оказываются связаны соотношением

М/ = М, 4 тп2

1.7) а также перенормированные поля

ТТа (р) = Onqq^aip); СГа (р) = OaqqCaip)

1.8) причем

М,2 = ~ 8/Дт)) , 9пяя = 9«чя = (4/2А(т))~1/2 (1.9)

Рассмотрев на кварковом уровне слабый распад пиона 7г —> ць>, можно получить здесь соотношение Гольдбергера-Треймена:

F* = Qivqqm 412A{m) =

777.

9nqq

1.10) где Fn-93 Мэв - константа слабого распада пиона. При этом из записанных выше формул получается соотношение Гелл-Мана - Окса - Реннера = + (1.11)

Здесь (qq) = — 4mIiA(m) - кварковый конденсат. Таким образом, квадрат массы пиона оказывается пропорционален токовой массе кварка, и в случае т,0 = 0 (киральный предел) пион становится безмассовой голдстоуновской частицей.

Для векторных и аксиально-векторных мезонов кварковый лагранжиан записывается следующим образом:

L = ^-(ШътаЯ(х))2 + (Ц(х)ЪЪ raq{x)f) (1.12)

Используя преобразования, аналогичные применявшимся в случае скалярных мезонов, можно прийти к лагранжиану, в котором векторные и аксиально-векторные мезрнные поля объединяются со скалярными и псевдоскалярными:

L = а'(.х))2 + (тга(-*))2 , (р(хГаУ + (а1а»(х)?

2 G 2 G

S~l(x, у) = [%дх - т + а (х) + г^5та7га(х) +

-iTr[\nS~l(x,y)}

X—yi

Ъ,тар(х)а'1 + ЪЪТааи»} 6W(x - у) (1.13)

Отсюда для лагранжиана свободных р и ох мезонов с использованием калибровочно-ивариантной регуляризации получается выражение гкФ1^*"-*?)*

ApStiWi-p) + Я'1/ЬКЛ-Р)) + л/б/2Л(ш)а1а"(р)а1в"(-р) (1.14)

Здесь также из кварковой петли с двумя векторными вершинами определяется константа перенормировки векторного поля gpqq и кинетический член векторного мезона, в результате чего получается важное соотношение

9pqq = y/bgaqq С1-15)

Для массы р-мезона получается выражение

М„2 == ^ (1.16)

Перенормировочная константа для oi-мезона совпадает с таковой для р-мезона, а для массы выполняется соотношение

Mai2 = Mp2 + 6m2 (1.17)

Указанные соотношения сохраняются и для нелокальной модели, к которой побуждает перейти прежде всего наличие в описанной теории ультрафиолетовых расходимостей. В нелокальном лагранжиане нарушающие симметрию слагаемые, выраженные непосредственно через кварковые поля, заменяются токами:

S(q,q) = J d*x{ q(x)(idx-m0)q(x) + ^[ja(x)ja(x) + j:(x)jaux)

Gv Y

J^(x)pT(x) + J£{x)J£{x)], } (1.18) причем общий вид данных токов следующий:

Ш = J J d4x1dix2f(x1)f(x2)q(x-xl)rIq{x + x2), (1.19) где предполагается нормировка /(0) = 1, а матрицы Г/ таковы:

Го- = 1 Гл = гЪта Гу = т„та Т^ = ЪЪта (1.20)

Конкретный выбор функций f(x) задает специфику модели. При этом, разумеется, их введение имеет целью преодоление прежде всего основного затруднения локальной теории, а именно, наличия ультрафиолетовых расходимостей. И для определения вида указанных формфакторов мы должны стремиться найти наиболее простой принцип, не имеющий под собой произвольных оснований и действующий здесь естественным образом. Известен целый ряд подходов к построению нелокальной теории. В работах [26, 27, 28] используется идея "конфайнмирован-ных кварков", которые перестают быть свободными вследствие взаимодействия с фоновым глюопиым полем, и адроппые поля вводятся как коллективные переменные кварк-глюонного взаимодействия. В работах [29, 30] на основе введения непертурбативно модифицированного глюопного пропагатора получались решения для адронных состояний с использованием оборванных рядов в уравнениях Бете-Солпитера для мезонов и Швингера-Дайсона для кварковых пропагаторов.

Проблема конфайнмента кварков решалась в работах [31, 32] на основе попыток построения четырехмерного обобщения растущего трехмерного потенциала в нелокальной модели НИЛ. Далее, введение нелокальности может обосновываться учетом инстантонов, то есть нелокальных решений полевых уравнений Янга-Миллса, соответствующих тунельному переходу между вакуумами с различными топологическими зарядами [33]. Большое количество работ было выполнено на основе рассмотрения вакуума КХД как жидкости инстантонов [34, 35, 36, 37, 38, 39], а также в рамках интегрированного подхода, дополняющего данный принцип элементами других упомянутых моделей [40, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48]. Несмотря на то, что в рамках указанных подходов были получены определенные результаты, значимые как чисто теоретически, так и в смысле соответствия эксперементаль-ным данным, все же применяемые допущения, по нашему мнению, не во всем обнаруживали достаточную универсальность и последовательность, которых мы вправе ожидать при разрешении рассматриваемых фундаментальных вопросов, а вводимые в теорию параметры в ряде случаев принимали произвольные значения, обосновываемые лишь телеологически. Стремление радикальным образом преодолеть необходимость появления в теории такого рода моментов и определило наше обращение в модели НИЛ к методу "квазисредних", введенному Н.Н. Боголюбовым в квантовой статистике [50, 49] и в дальнейшем обнаружившему свою эффективность в теории поля [51]. По существу он представляет собой наиболее простой и универсальный способ осуществления спонтанного нарушения симметрии, присущей лагранжиану исходной теории. А именно, нарушающие симметрию члены вводятся в него с некоторым множителем, который устремляется к нулю уже после проведения вычислений интересующих нас физических величин. При этом полученные значения, "квазисредние", могут, вообще говоря, отличаться от простых "средних", задаваемых исходной теорией. То есть если у нас имеется симметричная теория, задаваемая лагранжианом

L = L0 + Lint, (1.21) то мы можем ввести сюда слагаемое еЬьг, нарушающее симметрию. Конкретный же способ определения модифицированных значений оказывается связан с процедурой "добавить - вычесть": после того, как первоначальная симметрия теории уже нарушена, мы можем ввести в лагранжиан аналогичные члены уже без малого параметра таким образом, чтобы они, будучи противоположными по знаку, непосредственно компенсировали друг друга, не меняя в целом действие, но один из них отнести к свободном}' лагранжиану, а другой - к лагранжиану взаимодействия. Тогда остается потребовать, чтобы функции Грина, задаваемые свободным лагранжианом теории, не содержали в себе вкладов, порожденных указанными дополнительными членами, то есть чтобы соответствующие вклады различных порядков взаимно компенсировали друг друга. Возникающие при этом уравнения компенсации как раз и могут, в частности, определять формфакторы, которыми мы должны обсуждаемые члены снабдить при введении их в теорию. Однако аналогичные слагаемые, отнесенные к лагранжиану взаимодействия, могут при этом все же давать нетривиальные вклады в интересующие нас физические величины. Например, если рассмотреть теорию с киралъной симметрией, в которой фермионы остается безмассовыми, то для появления у них массы нужно ввести нарушающие симметрию члены. Возьмем следующую малую добавку: еЬьг = -ефф. (1-22)

Тогда измененный лагранжиан можно записать в виде

L = Lq — тфф + Lznt + тфф — ефф, (1.23) то есть с явно записанными массовыми членами противоположных знаков. Объявив первые два слагаемых свободным лагранжианом, а оставшиеся три - лагранжианом взаимодействия, мы в данном случае должны будем потребовать, чтобы новое взаимодействие не давало вклада в массовый член, т.е. чтобы двухчастичная функция Грина, полученная с помощью модифицированного лагранжиана взаимодействия на массовой поверхности обращалась в нуль. Это, в частности, приводит к уравнению

-т + г + £(т) = 0; (1.24) где Е(т) есть массовый оператор на массовой поверхности модифицированного свободного лагранжиана. В этом уравнении уже можно выполнить предельный переход е —> 0. Как правило массовый оператор Е(ш) пропорционален т, так что всегда существует тривиальное решение уравнения компенсации т = 0. Однако, может существовать и нетривиальное решение т Ф 0.

Особенности применения метода "квазисредпих,,в интересующем нас случае полевого взаимодействия и принципы построения соответствующих уравнений компенсации проанализированы в работе [53]. Здесь вводится в рассмотрение модельная теория скалярного поля в шестимерном пространстве с одним временным измерением и пятью пространственными с исходным масштабно-инвариантным лагранжианом 1 дфдф дл 2 J дх* дх» 3! г

1.25)

Нетрудно убедиться, что данная теория является асимптотически свободной, однако в случае введения массы здесь появляются квадратичные расходимости, так что вопрос о массе требует отдельного рассмотрения. Введя в лагранжиан малое слагаемое фа мы осуществляем нарушение масштабной инвариантности, так что делается возможным появление также нелокальных, вообще говоря, вкладов вида

G I F(x, xi, х2, Жз, х^) ф(х1)ф(х2)ф(х3)ф(х4) dxi dx2 dxs dx±\ (1.26) где G - размерная константа связи, a F(x, xi,x2,x^,x4) есть функция четырех разностей координат х — ж,, Фурье-образ которой F(pi,p2,p3,p4), где pi - импульсы концов, имеет смысл форм-фактора, определяющего область действия взаимодействия (1.26). Введя теперь для соответствующего выражения сокращенное обозначение GF • ф4, можно записать модифицированный лагранжиан

2 У дх» dxv 2 G

1.27) в который также введены аналогичным образом ("добавить - вычесть") массовые члены, которые также сделались допустимы из-за явного нарушения калибровочной инвариантности. Здесь можно ввести следующее разбиение на свободный лагранжиан и лагранжиан взаимодействия:

Ln =

2 у дхf дх" г л? G rr лА 1 т2 jfi

Lint j Ф + F -ф + —ф ;

1.28)

Теперь, в соответствии с принципами метода, мы должны потребовать, чтобы новый свободный лагранжиан приводил к нулевым четырехчастичным связным функциям Грина и содержал в итоге, как и исходный, только квадратичные но полям члены. Для получения уравнения компенсации необходимо взять содержащийся в этом новом свободном лагранжиане член со знаком "минус"-- G ф4 и, рассматривая его в качестве элементарного взаимодействия, построить также од-нопетлевые, двухпетлевые и так далее слагаемые: сумма их всех вместе с исходным членом первого порядка должна обращаться в пуль, что и определяет формфак-тор F(pi, j>2, рз, p.i). Получив, таким образом, уравнение компенсации, мы можем устремить малый параметр е к нулю.

Очень важно заметить, что выполнение условия компенсации приводило бы также к эффективному выпадению четырехчастичных членов и в лагранжиане взаимодействия

Lint =

1.29) если бы, помимо отличия в знаке ( "плюс"вместо "минус") мы рассматривали нолевые комбинации не четвертой, а любой нечетной степени, например, трилинейные поп полям: тогда оба разложения отличались бы именно лишь общим знаком.

Для получения обозримых результатов в данной модели оказывается необходимым ввести ряд условий, которые также вообще характерны для описываемого подхода. А именно, во-первых, определяются ограничения на кинематику следующего вида: в уравнениях для формфактора четвертого порядка оба правых конца имеют нулевые импульсы, а левые концы имеют импульсы р и —р. Что касается построения самого уравнения, то в нем удается учесть члены лишь до двухпетлевых включительно, а именно, член первого порядка - точку; три члена второго порядка - простые петли, одну горизонтальную и две вертикальных с перестановкой импульсов у левых концов; в третьем порядке - горизонтальную и две вертикальных двухзвенных цепочки, и шесть членов : "рюмки" горизонтальные, ножкой вправо и влево, и вертикальные, ножкой вверх и вниз (здесь также учитывается возможность перестановки импульсов). Возможность же получения аналитических решений, необходимых для извлечения конкретных характеристик теории, оказывается связана с проведением дополнительной процедуры линеаризации: обоснованию такой процедуры в значительной мере и служит рассмотрение вводимой здесь модельной теории.

Линеаризация заключается в том, что формфактор F(p, —р, 0, 0) = F(p2) выставляется не во всех вершинах, как это, вообще говоря, должно быть, а лишь в одной из вершин каждой диаграммы, в частности, в данном случае, в члене первого порядка и в правых вершинах горизонтальной петли второго порядка, горизонтальной двухзвенной цепочки и горизонтальной рюмки третьего порядка (ножкой вправо). Остальные вершины в этих диаграммах рассматриваются как точечные вершины взаимодействия, в которых формфактор заменен его значением в нуле (F(0) = 1). В вертикальных же петлях выставляются лишь соответствующие точечные вершины вида

Диаграммное представление для получающегося в результате уравнения компенсации представлено на Рис.1. В отношении расходящихся интегралов выбирается следующая стратегия: на верхнем пределе вводится обрезание А, которое в случае существования достаточно быстро убывающего решения может быть, в частности, определено как

Произвол в таком определении может привести к появлению дополнительных постоянных множителей, но одним из важных результатов работы, иллюстрирующих свойство теории в целом, оказывается независимость результата от выбора обрезания.

Указанные условия позволяют перейти от диаграммного соотношения к интегральному уравнению, в котором, в частности, явным образом обнаруживается существование тривиального решения G = 0. Последовательным дифференцированием интегральное уравнение сводится к дифференциальному, которое в результате достаточно простых преобразований может быть записано как каноническое уравнение Мейера, вид которого определяет порядок асимптотических членов в нуле. Устраняя сингулярные асимптотики, а также восстанавливая коэффициенты остающихся в соответствии с видом исходного интегрального уравнени и вводя нормировку формфактора на единицу в нуле, удается получить выраенное через убывающие на бесконечности функции Мейера аналитическое решение уравнения компенсации.

1.30)

1.31)

Но существование данного решения, обеспечивающего обращающение в нуль связной функции Грина с черыремя концами, означает и существование решения общего уравнения компенсации, точнее говоря, цепочки зацепляющихся уравнений для функций Грина с шестью, восемью и так далее концами, которые, вообще говоря, также необходимо здесь строить. Дело в том, что для всех этих уравнений самой их структурой гарантировано существование тривиального решения в случае обращения в ноль неоднородной части, содержащей вклады низшего порядка. А это именно и достигается подстановкой в лагранжиан найденного нетривиального решения, задействующего механизм последовательной элиминации разрушающих тривиальное решение вкладов во всей цепочке уравнений компенсации начиная с нижнего уровня. Теоретически можно предположить существование дополнительных нетривиальных решений, дающих соответствующие формфакторы и вклады в лагранжиан, но важно прежде всего, что удается предъявить хотя бы одно решение, соответствующее всем требованиям.

Поскольку же имеется решение уравнения компенсации, можно, в частности, использовать свободные функции Грина обычного вида для построения теории, учитывающей влияние отнесенного в лагранжиан взаимодействия нарушающего симметрию члена, который остался иескомпенсированным. И прежде всего сам факт нарушения симметрии должен приводить к появлению в спектре возбуждения с нулевой массой, для описания которого строится уравнение Бете-Солпитера для связанного состояния двух скалярных нолей. Очевидно, что ядро уравнения должно совпадать с таковым для уравнения компенсации, но оно естественным образом будет тут иметь противоположный знак (поскольку здесь предполагается уже не компенсация вершинного члена, а наоборот). При этом аналогичным образом знак меняется и в дифференциальном уравнении, что приводит к перестройке теории. В частности, граничные условия меняются таким образом, что неоднородная часть уравнения выпадает (также важное характерное свойство всего метода). В описываемой работе получено обладающее всеми необходимыми свойствами аналитическое решение - волновая функция - для случая безмассового поля (учет массы и для уравнения компенсации здесь проводился также лишь в виде поправок). Таким образом, нулевое возбуждение здесь действительно существует, так что в этом смысле теория оказывается самосогласованной.

По поводу же введения массы следует отметить, что в работе построено также уравнение компенсации для массового члена, и оно приводит к выражению массы через исходные параметры теории. X

GF(p) G x X X 0

Рис. 1.

Наконец, учет влияния нелинейности производится следующим образом. Поскольку наличие убывающего формфактора в рассмотренной теории естественно задает область ее применимости, возможное влияние нелинейных членов следует рассматривать за пределами данной области, то есть при больших значениях импульсной переменной х = р1. Изначально дифференциальное уравнение для функции формфактора (в безмассовом пределе) выглядит следующим образом:

Полагая его справедливым ( вместе с граничными условиями) при малых значениях х, можно предположить, что при больших значениях оказывается справедливым, в частности, уже нелинейное уравнение следующего вида:

1хЛ

1.33)

Поскольку теперь убывание на бесконечности обеспечивается последним уравнением, которое по предположению справедливо при очень больших импульсах, к решению исходного линейного уравнения, справедливого вблизи нуля, добавляются вклады, содержащие растущие асимптотики и правильно определенные лишь в нуле.

Оказывается, что последовательный учет новых, растущих вкладов, добавляемых к имевшемуся прежде решению, позволяет найти точку, в которой оба решения сшиваются с производными до пятого порядка включительно. А влияние нелинейности при этом можно проследить по изменению значения формфакто-ра в нуле. Выясняется, что указанная величина оказывается весьма устойчивой в отношении проводимой процедуры: отклонение от исходного значения не превышает 1-2 процента. Таким образом, по крайней мере такая грубая оценка влияния нелинейности демонстрирует оправданность введения линеаризации достаточно наглядно.

Итак, рассмотрение данной модельной теории показывает, что применение метода компенсации Боголюбова при введении ряда обоснованных допущений позволяет прийти к получению самосогласованных аналитически выражаемых решений, реализующих нелокальную модель Намбу - Иона-Лазинио без введения дополнительных исходных параметров и произвольных физических допущений. Это позволило перейти к построению реалистической теории, допускающей экспериментальную проверку. Во второй главе мы рассмотрим скалярные и псевдоскалярные мезоны, а также вопрос о спонтанном нарушении киральной симметрии (основные результаты опубликованы в работе [77]). В третьей главе будут получены необходимые соотношения и вычислены параметры также для векторных и аксиально-векторных мезонов (результаты опубликованы в работе [78]).

Глава 2

Физика скалярных и псевдоскалярных мезонов

 
Заключение диссертации по теме "Физика высоких энергий"

Заключение

В данной работе мы поставили перед собой цель построить описание легких мезонов при помощи феноменологической модели, в которой необходимые для ее построения конструкции вводятся последовательным, чуждым произвола образом на основе общих принципов квантовополевой теории. В частности, мы развивали нелокальную модель Намбу - Иона-Лазинио, в которой устраняющие ультрафиолетовые расходимости обрезающие формфакторы не просто вводятся в лагранжиан теории, определяясь теми или иными априорными представлениями о том, каковы они должны быть, а получаются естественным образом как решение задаваемых структурой самой исходной теории уравнений компенсации Боголюбова. Характерной чертой таких уравнений является именно отсутствие каких-либо предварительных представлений о виде искомого решения, а также и соответствующих параметров, которые могли бы определять поведение решений и которые обычно привносятся извне. Вместе с тем, в частности, из уравнения компенсации для функции формфактора скалярных мезонов, которое мы построили в первую очередь и для которого в результате обоснованных упрощений мы смогли получить нетривиальное аналитическое решение, - из этого уравнения мы смогли получить оценку параметра щ, задающего связь токовой массы кварка с наблюдаемыми массами мезонов, в свою очередь связанными с составляющей массой кварков. При этом величина обрезания, вводившаяся в процессе решения в содержащиеся в уравнении интегралы, оказалась для получаемых в результате функций несущественной.

Упомянутую связь между безразмерным параметром, извлеченным из рассмотрения формфактора скалярных мезонов, и наблюдаемыми величинами удалось проследить благодара рассмотрению мезонных состояний, которые в модели НИЛ получаются как естественное следствие введения в лагранжиан нарушающих киральную симметрию четырехфермионных вкладов. Связанные двухквар-ковые состояния исследовались при помощи построения уравнения для волновой функции Бете-Солпитера. В случае скалярных и псевдоскалярных мезонов такое уравнение вводилось сначала для безмассовых состояний, а получение его решения позволило перейти к построению на его основе уравнения, определяющего массу, причем здесь уже определяющую роль играет квантовохромо-динамическое взаимодействие (глюонный обмен), а также эффективное кварк-мезонное взаимодействие. Поскольку же квадрат массы скалярного состояния оказывается отрицательным, то есть соответствующее полее оказывается тахионным, мы приходим к необходимости исследования структуры вакуума посредством построения эффективного потенциала, зависящего от данного поля, для чего, в свою очередь, требуется рассмотреть получающееся путем преобразования уравнения Бете-Солпитера уравнение Швингера-Дайсона для массового оператора кваркового поля. Условие минимума эффективного потенциала связысвязывает токовую и составляющую массы кварка с усредненным по низкоэнергетической области значением константы сильного взаимодействия, однако переход к численным значениям этих параметров делается возможен благодаря получению из рассмотрения слабого распада пиона соотношения, аналогичного соотношению Гольдбергера-Треймена: в итоге все величины нормируются константой f-x — 93MeV. В частности, путем уточнения вида массового оператора мы оцениваем массу пи-мезона и величину кваркового конденсата для легких кварков, а также массу сигма-мезона и ширину его распада на два пи-мезона. Таким образом, здесь вполне реализуется стандартная схема нарушения киральной симметрии, причем как сам факт существования мезонных состояний, так и численные значения рассмотренных параметров вполне удовлетворительным образом согласуются с экспериментальными данными. Перейдя, далее, к рассмотрению векторных мезонов, мы строим уравнение компенсации для изовекторно-го формфактора. Здесь мы получаем дополнительный критерий оценки самосогласованности теории, рассматривая значение формфактора на нижнем пределе интегрирования, равенство которого единице (с достаточной точностью) в данном случае подтверждает обоснованность нашего подхода. Здесь также, как и в случае скалярной вершины, удается избежать введения каких-либо дополнительных величин, обеспечивающих сходимость интегралов. В уравнении Бете-Солпитера здесь глюонный и мезонный обмен вводятся сразу, так что полученная волновая функция может быть непосредственно использована для оценки параметров, во-первых, ро-мезона (в частности, его массы и ширины распада на два пи-мезона), а также, аналогичным образом, и ai-мезона. Вычисленные значения в целом удовлетворительно соответствуют экспериментальным данным, в большинстве случаев укладываясь также и в пределы заявленной точности рассчетов (10%). Подводя итог, мы должны еще раз подчеркнуть, что все результаты получены без введения в теорию каких бы то ни было внешних параметров, помимо извлеченной из рассмотрения слабого распада токовой массы кварка и величины среднего значения замороженной в низкоэнергетической области константы сильного взаимодействия as. Для последней используются различные значения, но важно отметить, что оптимальным оказывается величина as — 0.416, которая получена в работе [75] при помощи метода, аналогичного используемому нами здесь. Все это демонстрирует, что цель работы достигнута и, соответственно, наш подход, во-первых, обозначил свою адекватность в области исследования физики легких мезонов, и тут он может получить дальнейшее развитие в построении следующих приближений и углублении его теоретического обоснования. Во-вторых же, полученные здесь результаты (наряду с уже упоминавшимися результатами других исследований) указывают на перспективность применения метода компенсации Боголюбова к исследованию эффективных взаимодействий и построению связанных фермионных и иных состояний в области как хромодинамической, так и, в частности, возможно, и электрослабой теории.

Благодарности

В заключение выражаю искреннюю и глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Борису Андреевичу Арбузову за исключительно внимательное и чуткое отношение, всестороннюю поддержку и помощь в работе.

Я благодарен профессору Михаилу Константиновичу Волкову за плодотворное сотрудничество.

Я признателен также руководителю Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ профессору Виктору Ивановичу Саврину за поддержку, благодаря которой мне удалось завершить работу над диссертацией, и благодарю коллег - сотрудников отдела за благожелательное отношение ко мне и к моей работе.

 
Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Зайцев, Иван Владимирович, Москва

1. H. D. Politzer, "Reliable perturbative results for strong interactions."Phys. Rev. Lett.30, 1346 (1973).

2. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, "Введение в теорию квантованных полей М., "Наука", 1984, 600 с.

3. S.R. Sharpe. Progress in lattice gauge theory. Talk given at 29th International Conference on High-Energy Physics (ICHEP 98), Vancouver, Canada, 23-29 Jul 1998. In Vancouver 1998, High energy physics, vol.1 171-190. e-Print: hep-lat/9811006

4. S. Muroya, A. Nakamura, Ch. Nonaka, T. Takaishi. Lattice QCD at Finite Density An introductory review. Prog.Theor.Phys. 110 (2003) 615.

5. N.Ishii S.Aoki T.Hatsuda. Lattice QCD approach to nuclear force. Talk given at the XXV International Symposium on Lattice Field Theory (LATTICE 2007), Regensburg, Germany, July 30-August 4, 2007. PoSLAT2007,146,2007. ( arXiv:0710.4422)

6. В. Де Альфаро, С. Фубини, Г. Фурлан и К. Росети, Токи в физике адронов -М., "Мир", 1976, 670 с.

7. Y.Nambu Quasiparticles and Gauge Invariance in the Theory of Superconductivity. Phys.Rev.: 117, 648 (1960).

8. S. Weinberg, "Dynamical approach to current algebra", Phys. Rev. Lett. 18, 188 (1967).

9. J. Wess and B. Zumino, "Lagrangian method for chiral symmetries", Phys. Rev. 163, 1727 (1967).

10. S. Gasiorowicz and D. A. Geffen, "Effective lagrangians and field algebras with chiral symmetry", Rev. Mod. Phys. 41, 531 (1969).

11. T. Eguchi. New approach to collective phenomena in superconductivity models. Phys. Rev. , D14, 2755 (1976).

12. K. Kikkawa, "Quantum corrections in superconductor models", Prog. Theor. Phys. 56, 947 (1976).

13. M. К. Волков и Д. Эберт, "Чстырсхкварковос взаимодействие как общий динамический источник модели векторной доминантности и а-модели", ЯФ 36, 1265 (1982).

14. D. Ebert and М. К. Volkov, "Composite meson model with vector dominance based on U(2) invariant four quark interactions", Z. Phys. С 16, 205 (1983).

15. M. K. Volkov, "Meson lagrangians in a superconductor quark model", Annals Phys. 157, 282 (1984).

16. M. К. Волков, "Низкоэнергетическая физика мезонов в кварковой модели сверхпроводящего типа", ЭЧАЯ 17, 433 (1986).

17. D. Ebert, Н. Reinhardt and М. К. Volkov, "Effective Hadron Theory Of QCD", Prog. Part. Nucl. Phys.33, 1 (1994).

18. U. G. Meissner, "Low-energy hadron physics from effective chiral lagrangians with vector mesons", Phys. Rept. 161, 213 (1988).

19. T. Kunihiro and T. Hatsuda, "A selfconsistent mean field approach to the dynamical symmetry breaking: the effective potential of the Nambu-Jona-Lasinio model", Prog. Theor. Phys. 71, 1332 (1984).

20. D. Ebert and H. Reinhardt, "Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavor dynamics", Nucl. Phys. В 271, 188 (1986).

21. S. P. Klevansky, "The Nambu-Jona-Lasinio model of quantum chromodynamics", Rev. Mod. Phys. 64, 649 (1992).

22. Г. В. Ефимов и М. А. Иванов, "Физика легких мезонов в кварковой модели с конфайнментом", ЭЧАЯ 20, 1129 (1989).

23. G. V. Efimov and М. A. Ivanov, The quark confinement model of hadrons (IOP, Bristol, 1993).

24. G. V. Efimov and S. N. Nedelko, "Nambu-Jona-Lasinio model with the homogeneous background gluon field", Phys. Rev. D 51, 176 (1995).

25. P. C. Tandy, "Hadron physics from the global color model of QCD", Prog. Part. Nucl. Phys. 39, 117 (1997).

26. C. D. Roberts, "Nonperturbative effects in QCD at finite temperature and density", ЭЧАЯ 30, 537 (1999).

27. F. Gross and J. Milana, "Decoupling confinement and chiral symmetry breaking: an explicit model", Phys. Rev. D45, 969 (1992).

28. C. M. Shakin and W. D. Sun, "Gauge invariance and confinement in a generalized NIL model", Phys. Rev. С 54, 1414 (1996).

29. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts and Y. S. Tyupkin, "Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations", Phys. Lett. В 59, 85 (1975).

30. E. V. Shuryak, "The role of instantons in quantum chromodynamics. 1. Physical vacuum", Nucl. Phys. B203, 93 (1982).

31. D. Diakonov and V. Y. Petrov",A theory of light quarks in the instanton vacuum", Nucl. Phys. В 272, (1986) 457.

32. A. E. Дорохов и H. И. Кочелев, "Кварковая модель с учетом взаимодействия через вакуум КХД", ЯФ 52, 214 (1990).

33. А. Е. Дорохов, Ю. А. Зубов, Н. И. Кочелев, "Проявление структуры вакуума КХД в составных кварковых моделях", ЭЧАЯ 23,1192 (1992).

34. Т. Schafer and Е. V. Shuryak, "Instantons in QCD", Rev. Mod. Phys. 70, 323 (1998).

35. И. В. Аникин, A. E. Дорохов и JI. Томио, "Структура пиона в модели инстан-тонной жидкости", ЭЧАЯ 31, 1023 (2000).

36. А. Е. Калошин и А. Е. Раджабов, "Унитарное смешивание скаляр-вектор в Щ калибровке", ЯФ 66, 1416 (2003).

37. M.K. Volkov, А.Е. Radzhabov, V.L. Yudichev, "Process 77* — a at large virtually of 7*", ЯФ 66, 2193 (2003).

38. A. E. Dorokhov, A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "SU2) x SU(2) chiral quark model with nonlocal interaction", ЯФ 67, 1042 (2004).

39. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, "Nonlocal chiral quark model with confinement", Письма в ЭЧАЯ 118, 5 (2004).

40. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, "Nonlocal chiral quark model with confinement", Eur. Phys. J. A19, 139 (2004).

41. A. E. Dorokhov, A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Pion radii in nonlocal chiral quark model", Eur. Phys. J. A21, 155 (2004).

42. A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Meson model with nonlocal four-quark interaction", Proceedings of XII International Conference on Selected Problems of Modern Physics, Dl,2-2003-219, Dubna, p.291.

43. A. E. Radzhabov, M. K. Volkov, "Meson model with nonlocal four-quark interaction", Proceedings of XII International Conference on Selected Problems of Modern Physics, Dl,2-2003-219, Dubna, p.291.

44. A. E. Radzhabov and M. K. Volkov, "SU(2) x SU2) model with confinement and pion radius", Proceedings of Miniworkshop Modern Methods in Relativistic Nuclear Physics.

45. H.H. Боголюбов, О принципе компенсации и методе самосогласованного поля, УФН, 1959, LXVII, вып.4.

46. Н.Н. Боголюбов. Квазисредние в задачах статистической механики. Препринт ОИЯИ. Д-781. Дубна, 1961.

47. Б.А. Арбузов, А.Н. Тавхелидзе и Р.Н. Фаустов. К вопросу о массе фермиона в 75-инвариантной модели теории поля. ДАН СССР. 1961. Т. 139. С. 345.

48. Yu.A. Simonov. Effective quark Lagrangian in the instanton gas model. Phys. Lett. B412, 371 (1997).

49. Б.А. Арбузов. Спонтанное возникновение эффективного взаимодействия в ре-нормирусмой модели квантовой теории поля. Теоретическая и математическая физика. 140, 1205 (2004).

50. М.К. Volkov, V.L. Yudichev. Chiral SU(2) x SU(2) model with infrared quark confinement. Phys. Atom. Nucl. 63, 464 (2000); Yad. Fiz. 63, 536 (2000).

51. H. Bateman and A. Erdelyi, (New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1953).

52. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды элементарные функции. М.: Наука, 1981. С. 545.

53. Yu.A. Simonov and A.M. Badalian. Freezing of as(Q2) in e+ e- annihilation. Phys. Atom. Nucl. 60, 630 (1997).

54. D.V. Shirkov, Analytic perturbation theory in analyzing some QCD observables. Eur.Phys.J.C22:331,2001. . C22, 331 (2001).

55. Yu.L. Dokshitzer and D.E. Kharzeev, The Gribov conception of quantum chromodynamics. Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 54, 487 (2004).

56. A.M. Badalian, A.I. Veselov and B.L.G. Bakker, Restriction on the strong coupling constant in the IR region from the 1D-1P splitting in bottomonium. Phys. Rev. D70, 016007 (2004).

57. D. Ebert, R. N. Faustov and V.O. Galkin, Masses of light mesons in the relativistic quark model. Mod. Phys. Lett. A20, 1887 (2005).

58. J. Goldstone. Field Theories with Superconductor Solutions. Nuovo Cimento 19, 154 (1961).

59. D. Ebert, M.Nagy and M.K. Volkov, To the problem of 1/N(c) approximation in the Nambu-Jona-Lasinio model. Phys. Atom. Nucl. 59, 140 (1996).

60. V. Dmitrasinovic, H.J. Schulze, R. Tegen and R.H. Lemmer. Chirally symmetric О (1 /Nc) corrections to the Nambu-Jona-Lasinio model. Annals Phys. 238, 332 (1995).

61. A.A. Andrianov and V.A. Andrianov. Status of four fermion interactions in low-energy QCD. Z. Phys. C55, 435 (1992);

62. A.A. Andrianov, D. Ebert, T. Feldmann and V.A. Andrianov. Dimensional structural constants from chiral and conformal bosonization of QCD. Int. J. Mod. Phys. A12, 5589 (1997).

63. A.A. Osipov, A.E. Radzhabov and M.K. Volkov. 7r — 7r scattering in a nonlocal Nambu Jona-Lasinio model arXiv: hep-ph/0603130.

64. M. M. Gell-Mann, R. J. Oakes and B. Renner, "Behavior of current divergences under SU(2) x SU(3)", Phys. Rev. B175, 2195 (1968).

65. Particle Data Group, Phys. Lett. B592, 495 (2004).

66. G. Colangelo, J. Gasser and H. Leutwyler, Nucl. Phys. B603, 125 (2001).

67. D.V. Bugg. Sigma, Kappa and fo(980) in E791 and BES II data, AIP Conf. Proc. 814, 78 (2006); hep-ex/0510021.

68. V.V. Anisovich. Scalar mesons and low-mass sigma: Does the a reveal the confinement singularity? arXiv: hep-ph/0510409.

69. Y. Namekawa, S. Aoki, M. Fukugita . Light hadron spectroscopy in two-flavor QCD with small sea quark masses. Phys. Rev. D70, 074503 (2004).

70. B.A. Arbuzov, in: , Ed. by D.I. Kazakov and A.V. Gladyshev (Singapore: World Scientific, 2002), 273.

71. B.A. Arbuzov. Infrared non-perturbative QCD running coupling from Bogolubov approach. Phys.Lett. B656, 67 (2007).

72. Б.А. Арбузов. Спонтанное возникновения взаимодействия Намбу -Иона-Лазинио в квантовой хромодинамике с двумя легкими кварками. ЯФ 69 (2006) 1621-1633.

73. B.A. Arbuzov, М.К. Volkov, I.V. Zaitsev. NJL interaction derived from QCD. International Journal of Modern Physics. A, 21, 5721 (2006).

74. B.A. Arbuzov, M.K. Volkov, I.V. Zaitsev. NJL interaction derived from QCD: vector and axial-vector mesons. International Journal of Modern Physics. A, 24, 2415 (2009).