Флуктуационные и интерференционные эффекты в мезоскопических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт Теоретической Физики им Л Д Ландау

На правах рукописи

СКВОРЦОВ Михаил Андреевич

ФЛУКТУАЦИОННЫЕ И ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01 04 02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

05

ооаI'1'

- - ил ¿608

Черноголовка - 2008

003171718

Работа выполнена в Институте теоретической физики им Л Д Ландау Российской Академии Наук

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

А А Варламов,

Защита состоится 27 июня 2008 года в 11 час 30 мин на заседании Диссертационного совета Д 002 207 01 при Институте теоретической физики им Л Д Ландау РАН по адресу 142432, Московская обл , Ногинский р-н, г Черноголовка, Институт теоретической физики им Л Д Ландау РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им Л Д Ландау РАН

доктор физико-математических наук В Я Демиховский,

доктор физико-математических наук А М Финкелынтейн

Ведущая организация Физико-технический институт

им А Ф Иоффе Российской академии наук

Автореферат разослан_мая 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук

П Г Гриневич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Известно, что при уменьшении размеров системы все большую роль в ней начинают играть флуктуации Зачастую низкоэнергетическая физика квантово-когерентных мезоскопических систем целиком определяется эффектами флуктуаций Несмотря на то, что интерференционные и флуктуационные эффекты в мезоскопических системах интенсивно исследуются с 1980-х годов, существуют классы задач, где богатая физика квантово-когерентных явлений до сих пор остается не до конца непонятой

В первую очередь к кругу таких задач следует отнести неравновесные явления в мезоскопических системах, возникающие под действием внешней накачки Имеется потребность довести теорию таких систем до той же степени общности и технологичности, какой обладает теория квантового транспорта в мезоскопических системах

В связи с повышением интереса к сверхпроводящим системам в окрестности перехода в диэлектрическое состояние, возникает необходимость в построении модели неоднородного сверхпроводящего состояния, которая ухватывает физику фазовых флуктуаций в гранулированных системах, но в то же время является достаточно простой и допускающей контролируемое решение Этим условиям удовлетворяет модель сверхпроводящих островков в матрице нормального металла — промежуточная между моделями однородно разупорядоченной и гранулированной среды. Кроме того, вполне вероятным представляется сценарий, когда в окрестности перехода изначально слабый беспорядок становится сильным за счет флуктуационных эффектов

Цель работы. Настоящая диссертационная работа преследует следующие цели 1) теоретическое описание квантово-когерентных эффектов в неравновесных электронных мезоскопических системах под действием зависящего от времени возмущения, 2) построение теории фазовых флуктуаций в системах сверхпроводящих гранул в матрице нормального металла, 3) исследование мезоскопических флуктуаций в сверхпроводящих системах, 4) исследование корреляций разных волновых функций в квазиодномерной андер-соновской локализации

При всем разнообразии рассмотренных в диссертации задач, их объединяет то, что для решения каждой из них необходимо учитывать бесконечную последовательность медленных диффузионных мод, что требует использования существенно непертурбативных методов, обычно основанных на анализе соответствующего типа нелинейной ст-модели

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, сводятся к следующему

1 Разработан функциональный подход к описанию квантово-когерентной динамики сложных электронных систем с неинтегрируемой динамикой, основанный на келдышевской ст-модели С его помощью удалось аналитически описать два разных интереференционных эффекта в динамике динамическую локализацию в пространстве энергий и переход от поглощения в непрерывном спектре (формула Кубо) к поглощению в дискретном спектре (переходы Ландау-Зенера)

2 Построена аналитическая теория динамической локализации в квантовых точках

3 Обнаружено зануление интерференционных поправок к омической скорости поглощения для случайных матриц унитарной симметрии

4 Исследовано поглощение энергии в коре вихря в умеренно чистом слоистом сверхпроводнике, которое возникает при движении вихревой решетки Показано, что сохраняющаяся на малых скоростях движения дискретность спектра не влияет на сопротивление течения потока

5 Для описания сверхпроводящего эффекта близости во взаимодействующей ферми-жидкости разработан метод келдышевского многозарядного действия, позволяющий учесть характерную для двумерной геометрии логарифмическую зависимость сопротивления растекания, взаимодействие в куперовском канале и флуктуации фазы на сверхпроводящей грануле С помощью данного метода предсказана обусловленная отталкиванием в куперовском канале немонотонная зависимость андреевского кондактанса от температуры, напряжения и магнитного поля

6 Построена теория квантового фазового перехода сверхпроводник - нормальный металл в сетке сверхпроводящих гранул на пленке неупорядоченного металла

7 Построена теория электронной дефазировки за счет андреевского отражения от сверхпроводящих гранул Показано, что скорость сбоя фазы, обусловленная андреевским отражением, является основным механизмом дефазировки в широкой области температур выше линии сверхпроводящего перехода

8 Построена теория флуктуационного образования зародышей сверхпроводящей фазы в однородно разупорядоченных тонких пленках с относительно большим безразмерным кондактансом Предсказаны гигантские мезоскопические флуктуации вблизи квантового фазового перехода сверхпроводник - нормальный металл, обусловленного кулоновским подавлением притяжения в куперовском канале

9 Разработан метод вычисления амплитуды мезоскопических флуктуации сверхтекучего тока в джозефсоновских переходах, учитывающий пространственно неоднородный эффект близости в нормальной области Мезоскопические флуктуации найдены при различных соотношениях между входящими в задачу параматрами В случае длинного контакта мезоскопические флуктуации в несколько раз превышают старый результат Альтшулера и Спивака, полученный в рамках полуфеноменологической модели, не учитывающей эффекта близости в нормальном металле

10 Найден явный вид нулевой моды трансфер-матричного гамильтониана одномерной ст-модели унитарной симметрии при произвольной частоте и) Показано, что в зависимости от расстояния между точками наблюдения возможно как отталкивание, так и притяжение энергетических уровней Впервые показано отличие в поведении корреляций различных волновых функций в строго одномерной и квазиодномерной задачах

Научная новизна и достоверность Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы как надежностью применявшихся теоретических методов, так и согласием с результатами, полученными другими авторами

Научная и практическая ценность. Развитые в работе методы могут быть использованы для описания широкого круга нестационарных явлений в мезоскопических системах под действием внешнего переменного сигнала Разработанный метод многозарядного действия является в настоящее время единственным способом учесть логарифмические перенормировки в двумерном металле одновременно с фазовыми флуктуациями в системах со сверхпроводящими гранулами

Обнаруженные в диссертации гигантские мезоскопические флуктуации вблизи сверхпроводящего перехода в двумерных разупорядоченных пленках существенно обогащают теорию фазовых переходов Данный результат

свидетельствует о том, что при определенных условиях макроскопически однородная среда при приближении к переходу начинает проявлять свойства гранулированной системы При этом следует ожидать усиления роли фазовых флуктуаций и переходу к бозонному механизму подавления сверхпроводимости

Найденное в диссертационной работе точное выражение для нулевой моды трансферматричного гамильтониана открывает возможность непертур-бативного исследования корреляций разных волновых функций и проводимости в квазиодномерной локализации

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях "Mesoscopic and strongly correlated electron systems" (Черноголовка, 2000, 2003, 2006), "Quantum Noise in Mesoscopic Physics" (Дельфт, 2002), "Progress m Condensed Matter Physics" (Дрезден, 2002), "Random matrix theory and related topics" (Киото, 2002), Российско-израильской конференции "Frontiers in Condensed Matter Physics" (Шореш, 2003), "Random Matrix Theory Condensed Matter, Statistical Physics and Combinatorics" (Триест, 2004), "Fundamentals of electronic nanosystems" (Санкт-Петербург, 2005), конференции памяти А И Ларкина "Frontiers in Condensed Matter Theory" (Миннеаполис, 2006), "Dynamics and Relaxation in Complex Quantum and Classical Systems and Nanostructures" (Дрезден, 2006), конференции памяти академика А И Ларкина (Черноголовка, 2007), на X Симпозиуме "На-нофизика и наноэлектроника" (Нижний Новгород, 2006), на конференциях "Landau Days" (2003, 2004, 2005), на семинарах в ИТФ РАН, ИФП РАН, ИФТТ РАН, ФИАН, в Федеральной политехнической школе в Цюрихе (ETHZ) и Лозанне (EPFL), в Технологическом университете Дельфта, в университетах Миннесоты, Чикаго и Стони Брук (Нью-Йорк), в Брукхе-венской национальной лаборатории (Нью-Йорк), в Международном центре теоретической физики (ICTP Trieste), в научном центре в Гренобле

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 20002008 годах в пятнадцати научных работах, список которых приводится в конце реферата

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, четырех приложений, заключения и списка литературы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, обоснованы новизна и практическая ценность полученных результатов Здесь же раскрыто содержание диссертации по главам

Первая глава посвящена описанию квантовых интерференционных эффектов в поглощении энергии мезоскопическими системами

В разделе 1.1 приводится качественное рассмотрение квантово-когерент-ной динамики комплексных электронных систем Известно, что на частотах меньших энергии Таулесса статистика электронных состояний в системах с хаотической электронной динамикой описывается теорией случайных матриц Под действием внешнего переменного поля </з(£) эффективный матричный гамильтониан системы эволюционирует вдоль некоторой траектории в пространстве случайных матриц

В квазиклассическом приближении скорость поглощения энергии IV может быть вычислена по формуле Кубо

где С(0) = {(дЕг/д(р)2)/А2 описывает чувствительность адиабатических уровней к внешнему параметру, Д — среднее расстояние между уровнями, а (3 = 1,2 — индекс отталкивания уровней, зависящий от симметрии системы Формула Кубо учитывает нескоррелированные переходы в непрерывном спектре Квантовые интерференционные эффекты приводят к поправкам, вид которых зависит от функции </?(£) Можно выделить два основных физических явления, приводящих к отклонениям от формулы Кубо

1 Дискретность спектра Приводит к тому, что при малых скоростях возмущения переходы между уровнями происходят за счет редких процессов туннелирования Ландау-Зенера В чистом виде проявляется для возмущения </з(£) = г>£

2 Динамическая локализация — локализация в энергетическом пространстве На больших временах система перестает поглощать энергию от внешнего источника Наиболее ярко проявляется для монохроматических возмущений </?(£) = Л б\nujt

Н(1) = Н0 + НМ^

(1)

ИЪ = (7Г/3/2) С(0) (с1<р/в£)2,

(2)

Раздел 1.2 посвящен выводу и анализу кедлышевской а-модели для зависящих от времен случайных матриц (1) Необходимость использования неравновесного функционального метода обусловлена тем, что стандартные методы, разработанные в теории случайных матриц, непригодны для описания кинетики системы с зависящим от времени гамильтонианом, поскольку задача сводится к вычислению Г-экспоненты от некоммутирующих в разные моменты матриц H(t)

Келдышевская <т-модель формулируется в терминах поля Qw с континуальными временными индексами t и t', которое является матрицей в пространстве Келдыша, а также, в случае ортогональной симметрии, в пространстве частица-дырка (матрицы Паули тг) Поле Q удовлетворяет нелинейному условию нормировки J QtutQt,t2dt = ö(ti — ¿2) Для случайных матриц ортогональной симметрии действие cr-модели (вес равен e~s) имеет вид

= (3)

Здесь операторы Е и <р имеют матричные элементы Ett> = г5а>д? и iptt> = <Sit'V(i')> а Г = (7г/?/2)С(0)Д Первый член в действии (3) содержит в себе, в принципе, всю информацию про спектральные корреляции на разных энергиях Второй — кинетический — член описывает переходы между уровнями под действием возмущения <p(t)

В келдышевской теории обычно функция распределения явным образом содержится в Q-матрице Однако, поскольку рассматривается задача без взаимодействия, можно избавиться от функции распределения в матрице Q и написать сразу уравнение эволюции на функцию распределения В такой формулировке седловая точка действия (3) есть просто Ли< = стзтз<5(£ — t'), а флуктуации вблизи седла описываются динамическими диффузонами и куперонами

V„(t, t') = 9(t - t') exp j-Г J*[p(T + ту/2) - ф - rj/2)}2 dr j , Ct(v,rf) = е{п - rf) exp j-i j\(t + ф) - ф - ф)}2

В пренебрежении флуктуациями теория дает омическую скорость диссипации (2), а учет флуктуаций позволяет строить пертурбативное разложение для скорости поглощения в режиме v vk

Как и в теории андерсоновской локализации, первая квантовая поправка к квазиклассической скорости поглощения Wo дается диаграммой с одной ку-

т

и.

о

г

Рис 1 Зависимость полной энергии замкнутой системы от времени действия гармонического возмущения

перонной петлей Предполагая, что возмущение включено в момент времени £ = 0, первая поправка к скорости поглощения имеет вид

Примечательно, что эта формула для первой поправки единым образом описывает как эффекты динамической локализации, так и эффекты в поглощении энергии, связанные с дискретностью спектра

В этом же разделе выводится общая формула для первой квантовой поправки к скорости поглощения в унитарном случае В отсутствие куперонов она дается двухпетлевыми диаграммами, составленными из динамических диффузонов, для наиболее компактной работы с которыми предложено использовать обобщение параметризации Дайсона-Малеева для спиновых операторов на нелинейные и-модели

В разделе 1.3 исследуется динамическая локализация, возникающая под действием периодического возмущения

Наиболее ярко динамическая локализация проявляется в случае гармонического возмущения Для наблюдения за развитием локализации в реальном времени удобно включить возмущение в момент времени £ = 0, а потом отслеживать временной ход поглощения энергии Таким образом, полагаем 1р(Ь) = в(Ь)А вто^

В ортогональном случае первая поправка дается формулой (4) Для вре-меннбй зависимости </?(£) общего положения куперон С\(г], г]') затухает с увеличением разности времен г) — г/', что есть следствие сбоя фазы во внешнем переменном поле Однако в случае гармонического возмущения зависимость куперона от времени устроена более сложным образом С«(т/, г/') и

exp [—ГА2(т] — r}') cos2 ut], где предполагается lj(t]—t]') 1 Таким образом, на фоне экспоненциального затухания с rj — г)' существуют моменты времени tk = (к + l/2)7r/w, когда куперон оказывается не мал Суммируя вблизи этих точек, получаем отрицательную поправку к квазиклассической скорости поглощения, растущую со временем действия возмущения

SW{t) _ /7 тг3ГА2

Wo " V t*' 2Д2

t* = (5)

Формула (5), справедливая при £ <С описывает режим слабой динамической локализации На временах порядка первая интерференционная поправка становится сравнимой с затравочной величиной \Уо, и система непрерывно переходит в режим сильной динамической локализации, где она практически перестает поглощать энергию (см Рис 1) Написав время установления локализации в виде ~ И^/(ш2Д) и вспомнив, что \¥о является классической величиной, можно еще раз убедиться в том, что динамическая локализация является квантовым эффектом она исчезает в пределе Д —» О

Система, находившаяся исходно при нулевой температуре, за время разогреется до температуры Т, ~ ГЛ2ы/Д Величину Т* можно рассматривать как длину локализации в энергетическом пространстве

В случае периодического, но не монохроматического возмущения, = в(Ь) ^пЛ„31п(пш1 — </?„), поведение квантовой поправки зависит от согласованности фаз (рп Для симметричных возмущений, таких что смещением отсчета времени можно сделать <р(Ь) = </?(—«), поправка имеет вид (5) со временем локализации ¿* = (7г3Г/2Д2) п2А^ Для несимметричных возмущений первая поправка остается ограниченной на больших временах, и система оказывается эквивалентна унитарной

Наконец, в случае, если возмущение содержит й несоизмеримых частот, то поправка ведет себя аналогично квантовой поправке к проводимости ¿-мерной андерсоновской модели для ортогонального класса симметрии

В унитарном случае слабая динамическая локализация возникает за счет двухпетлевой интерференции на диффузонах, что приводит к линейному закону

Щ) =

24«, 1 '

Далее в диссертации сформулирована гипотеза об эквивалентности динамической и квазиодномерпой андерсоновской локализации, согласно которой существует простая связь между скоростью поглощения ]¥(£) в динамической задаче и частотно-зависящим коэффициентом диффузии О (и) в

андерсоновской модели

W(t) _ f+0° duj e~wt D(üj) W0 ~ J-oo 2n —tu + 0 D0' U

Уже на пертурбативном уровне эта формула с учетом известных поправок слабой локализации в D(ui) оказываются согласованной с выражениями (5) и (6) В непертурбативном режиме можно, зная низкочастотную асимптотику проводимости, найти закон обращения скорости поглощения в нуль в глубоко локализованной фазе Предполагая, что закон Мотта-Березинского сг(и) ос w2ln2(l/w) справедлив не только в строгой одномерии, но и в ква-зиодномерии, находим, главным образом, степенное поведение

luí

W{t) ос -р, t > U

В конце этого раздела обсуждаются общие черты и отличия динамической локализации в случайных матрицах и квантовом ротаторе, возбуждаемом периодическими толчками, — модельной системе с одной степенью свободы для изучения квантового хаоса

В разделе 1.4 изучаются интерференционные эффекты для случая линейно растущего возмущения tp(t) = vt В этом случае физика поглощения определяется отношением скорости v к характерной скорости Vk = Г_1/2(Д/7г)3/2, разделяющей режимы медленного изменения, когда система адиабатически следует за возмущением, и быстрого изменения, когда дискретный спектр сильно размыт, и в главном приближении справедлива формула Кубо Разработанная техника позволяет регулярным образом находить пертурбативные поправки к омическому поглощению Wq, которые оказываются малы по степеням (Vk/v)2/3 Эти поправки учитывают остаточную память о дискретности спектра, которая остается в режиме быстрого возмущения и ответственна за кроссовер от формулы Кубо при v к

поглощению за счет редких переходов Ландау-Зенера при v <С г>к

В случае ортогональной симметрии первая поправка дается формулой (4) Входящий в это выражение куперон —£) = ехр(—Гг>2£3/3) за-

тухает на масштабе (Гм2)-1/3, что является характерным временем потери когерентности в системе Поправка к омической диссипации оказывается положительной

(ЯУО Г(1/3) (УК\2/3 Wo ~ З2/3 V v ) Тенденция роста W/Wq при уменьшении скорости согласуется с известным суперомическим поведением W/Wq ~ \JvkJv при v <С vk

В случае унитарной симметрии вычисление двухпетлевых диаграмм приводит к выражению

которое довольно нетривиальным образом обращается в нуль после взятия интегралов Здесь также имеется согласие с известным поведением W/Wo — 1 при v <С vk На этом основании естественно высказать предположение, что в унитарном случае скорость поглощения совпадает с Wo при любой скорости возмущения v Для проверки этой гипотезы нами была численно вычислена четырехпетлевая поправка SW^/Wq = d^Vx/v)8/3, и получена оценка |dj| < 3 х Ю-4, что является достаточно сильным подтверждением гипотезы oW = Wo

В принципе, отсутствие поправки к омической диссипации по скорости возмущения v в унитарном случае не представляется чем-то особенно удивительным, если вспомнить, что случайные матрицы унитарной симметрии имею ряд хорошо известных уникальным свойств В частности, их спектральная статистика может быть описана в терминах свободных фермионов, для определенного класса интегралов по унитарной группе седловое приближение оказывается точным Тем не менее, ни одно из известных нам свойств унитарной симметрии не позволят доказать сформулированное утверждение о независимости W/Wo от скорости возмущения v

В разделе 1.5 исследуется поглощение энергии в коре вихря в умеренно чистом слоистом сверхпроводнике, которое возникает при движении вихревой решетки Физически поглощение возникает за счет переходов между уровнями, локализованными в коре вихря, при изменении действующего на них случайного потенциала Задача концептуально похожа на поглощение энергии унитарными случайными матрицами под действием линейного растущего возмущения ip(t) = vt, рассмотренного в разделе 1 4 Отличие, однако, заключается в том, что в умеренно чистом случае (точнее, при выполнении условия и>о/ ln(l/$) <1/гС §2\/Alüq, где щ ~ А2/Ер — среднее расстояние между уровнями в коре, а $ — борновский параметр примесей), спектр оказывается сильно коррелированным Уровни распадаются на две "гребенки" = ±(Д) + 2wofc), где положение Eq определяется случайной унитарной матрицей М, равномерно распределенной по группе SU(2) cos(ttE/ljo) = — (г/2) tr ауМ Таким образом, в отличие от разобранного выше случая случайных матриц формально бесконечного размера, возникает

SW®

dxdydz (5ху — х2) ехр{—(х + у)(у + z)(z + ж)}

Wo

задача о поглощении энергии случайными матрицами из циркулярного унитарного ансамбля размерности 2

Для вихря в умеренно чистом пределе характерная скорость Ук, разделяющая режимы поглощения в непрерывном и дискретном спектре, имеет масштаб у к ~ (А/рр)\/кр1 При и ук, довольно естественно, воспроизводится известное выражение Бардина-Стивена ахх = есшот/В для проводимости в режиме течения потока Любопытно, что в обратном пределе, при V <С ук, скорость поглощения, а с ней и проводимость ахх оказываются в точности такими же Последний результат исправляет ошибку, допущенную в работе Кулакова и Ларкина, где предсказывалась аномально большое поглощение в режиме v <^ук

Таким образом, мы видим, что свойство омичности диссипации независимо от скорости возмущения является присущим не только унитарным случайным матрицам с размером N —> оо, но проявляется и в другом классе случайных матриц — унитарных циркулярных матриц размера 2

Втора? глава посвящена исследованию электронного транспорта в системах с ' сверхпроводящими гранулами, находящимися в контакте с нор-мальн! л металлом

Раздел 2.1 посвящен исследованию сверхпроводящего эффекта близости во взаимодействующей ферми-жидкости

В разделе 211 дано описание метода келдышевской нелинейной а-модели для сверхпроводящих и гибридных систем

В разделе 212 разработан метод многозарядного келдышевского действия, позволяющий проинтегрировать по коллективным степеням свободы электронной подсистемы (диффузоны и купероны) и свести задачу к характеристикам терминалов В низкоэнергетическом пределе медленными степенями свободы являются фазы (интегралы от напряжения по времени) в терминалах В общем случае, многозарядное действие

00

Я*} = (8)

* п=1

задается бесконечным числом параметров ("зарядов") 7П, которые определяются свойствами среды между первым и вторым терминалами Для невзаимодействующих систем знание {7П} эквивалентно знанию функции распределения Т(Т) коэффициентов прохождения В туннельном случае отличен от нуля только коэффициент 71 = /4?Г(/ (безразмерные кондактансы измеряются в единицах е2/27г/1, кондактанс пленки д = 27тЙ/е2Дп) Нелинейное

действие (8) можно рассматривать как обобщение диссипативного туннельного действия Амбегаокара-Эккерна-Шона на случай контакта с немалыми коэффициентами прохождения

Для работы с действием (8) удобно перейти от набора {7„} к 27Г-перио-дической функции и{х) = Xmli n7n sin пх Физические величины для NS систем выражаются через производные функции и(х) в точке х = тт/2 Андреевский кондактанс имеет вид

GA = Angux{l), (9)

а токовый шум, возникающий при приложении напряжения V,

(IJ-Л = ^ {(3 - Р8) ФИ + \PS [Ф(ы - 2eV) + Ф(и> + 2еУ)]}, (10)

где Ф(ы) = lú coth(cj/2T), а сверхпроводящая шумовая функция Ps

р _ 1 Uxxxif) (л 1 *

5 ~ ЪЩ) (11)

Свойства нормальных систем выражаются через производную функции и(х) в точке х = 0 кондактанс GV = 47гд их(0), токовый коррелятор дается формулой (10) с заменой Ga у Gn, 2eV —> eV, и Р3 PN = 1 — 2иххх(0)/их(0)

В двумерном случае (геометрия показана на Рис 2) коэффициенты в действии (8) могут быть получены с помощью ренормализационной группы В общем случае необходим учет трех эффектов, приводящих к логарифмическим перенормировкам

1 зависимость андреевского кондактанса Ga{w) от сопротивления нормальной области 1 /Gd(oj) = (47Гд)"1 In{щ/ш), где u>d = d/cp,

2 отталкивание в куперовском канале, которое стремится уменьшить Ga,

3 квантовые флуктуации фазы на грануле, которые разрушают фазовую когерентность между процессами андреевского отражения и подавляют Ga на больших временах

Функциональное уравнение ренормгруппы на и(х) имеет вид нелинейного уравнения эволюции в "логарифмическом времени" ( = In(w,¿/w)

U< = -иих - A«Mf .Osmz - 4^')0], (12)

Рис. 2. Сверхпроводящая гранула, соединенная с металлической пленкой через туннельный барьер.

где три члена в правой части соответствуют трем указанным выше источникам перенормировок. В уравнении (12) Т[и(х, £)] = [и(х, Q tana; — íí(|,С)secж]^, а бегущий подщелевой кондактанс Ga{С) = Константа взаимодействия в куперовском канале А(£), в свою очередь, удовлетворяет ренормгрупповому уравнению Финкелынтейна. Начальным условием для функции и(х,() является туннельный предел и(х, 0) = (Gr/^g) sin ж.

В раздые 2.1.3 исследуется подщелевой транспорт в системе, изображенной на Рис. 2. В двумерной геометрии влияние отталкивания в куперовском канале на Ga логарифмически растет с уменьшением энергии (ростом пространственного масштаба). Поэтому возникает необходимость отсуммиро-вать ведущие логарифмы (А£)п, что делается методом многозарядного действия. Поправки от взаимодействия найдены в пределах слабого (Gt л/д) и сильного (Gt "С ^~д) куперовского взаимодействия в нормальной области. Они приводят к немонотонной зависимости андреевского кондактанса и фактора Фано от температуры, напряжения и магнитного поля.

В разделе 2.2 исследуется сверхпроводящий переход в решетке сверхпроводящих островков, связанных эффектом близости через нормальный металл. Переход возникает из-за конкуренции двух эффектов: джозефсо-новского взаимодействия между островками, которое стремится установить одинаковую фазу на островках, и флуктуаций сверхпроводящих фаз на гранулах, что препятствует установлению макроскопической сверхпроводящей когерентности.

При высоких температурах определяющими являются тепловые флуктуации фазы, а при низких — квантовые. Температура Т„, при которой про-

Рис 3 Фазовая диаграмма металла со сверхпроводящими островками в координатах концентрация островков п, — температура Т В широкой области выше теплового сверхпроводящего перехода сбой фазы за счет андреевского отражения от гранул является доминирующим механизмом дефазировки

исходит смена режимов, существенно зависит от андреевского кондактанса между гранулой и нормальным металлом В случае < 1 (кулонов-ская блокада туннелирования куперовских пар) температура Т* оказывается порядка зарядовой энергии гранулы Ее В обратном случае хорошего контакта, > 1, который и рассматривается в диссертации, число частиц на грануле не фиксировано, и фаза, соответственно, флуктуирует слабо Тем не менее, на экспоненциально больших временах £* ос е00113'Сл флуктуации становятся сильными (так называемая, слабая кулоновская блокада) Соответствующий масштаб энергии Ее — Й/£*, который естественно назвать эффективной зарядовой энергией, определяет температуру Т* кроссовера от тепловых к квантовым флуктуациям фазы

В приближении среднего поля температура перехода Тс может быть найдена из условия

\лте)С(те) = 1, (13)

где

да = £4,. с(т)=/ йтС^т) (14)

Здесь Зг] — энергия джозефсоновского взаимодействия между гранулами г и ], а Со(т) = (соз[0(О) — в(т)}) — автокорреляционная функция фазы на одной грануле

В подразделе 2 21 рассматривается тепловой фазовый переход В этом случае Тс Ее, и можно считать Со(т) = 1 Таким образом, для определения Тс достаточно вычислить J{T) и решить уравнение J(Tc)/2 — Тс Природа перехода в размерности d определяется параметром S а

. _ 3 Gf- _

3 16 (kFl)(kFb)' 2 8irg'

который является оценкой джозефсоновского взаимодействия соседних островков при Т = KD/2-кЬ2, где b = — среднее расстояние между островками При 5d 1 джозефсоновская связь является дальнодействующей и среднеполевая температура перехода

5d<<l (15)

При 5d^> 1 джозефсоновская связь является короткодействующей, формула (13) применима только по порядку величины, и Тс может быть оценена как

Tc~|^ln25d, fc» 1 (16)

В подразделе 2 2 2 рассматривается квантовый фазовый переход в системе сверхпроводящих островков на пленке двумерного металла

В наиболее интересном случае хорошего контакта между гранулой и пленкой (Gr/g 1), джозефсоновское взаимодействие между островками радиуса d, находящимися на расстоянии г d, имеет вид J(r) = (w2/8)gD/r2\n2(r/d), и, следовательно, интегральная джозефсоновская энергия J(0) = (7r3/4)c/D/b2ln(b/(i)

Для определения величины С(0) используется функциональное уравнение ренормгруппы (12) Предполагается, что контакт между гранулой и металлом достаточно прозрачный, G^/g 1, а константа куперовского отталкивания Ап имеет порядок Аэ = 1 /\/2-кд В этих условиях характерные значения £ ~ s/g, и все три члена в правой части уравнения (12) оказываются одного порядка Численное решение уравнения (12) позволяет найти критическое значение = \/2îîgsc, при котором формально Ga((*) обращается в нуль Величина sc слабо зависит от взаимодействия в куперовском канале

Sr. =

'125, for Хп/Хд = 0,

1 17, for Хп/Хд = 1, (17)

.113, for Хп/Хд = 2

Зануление С?а(С*) означает, что на соответствующем масштабе флуктуации становятся сильными, и однопетлевое уравнение (12) становится неприменимым На больших временах т > ш^е^ автокоррелятор Со(т) быстро спадает, что позволяет оценить С(0) с экспоненциальной точностью как С(0) = (В/с неизвестным предэкспоненциальным фактором В (который, в принципе, может быть найден из двухпетлевых уравнений ре-нормгруппы)

Подставляя найденные ^7(0) и С(0) в среднеполевое уравнение (13), мы находим критическое расстояние между островками, Ьс(д), соответствующее точке квантового фазового перехода (с1 = с1 7Г

(Р

Отличительной чертой квантового перехода сверхпроводник-металл в рассматриваемой системе является тот факт, что он происходит при сопротивлении Вас много меньше квантового, когда пленка еще относительно хорошо проводит При этом критическое сопротивление является неуниверсальным и зависит как от отношения Ь/й, так и от константы Ап отталкивания в куперовском канале

Если расстояние между островками меньше критического, Ь < Ьс, то фазовый переход происходит при конечной температуре В области не очень далекой от перехода, при [21п(Ь/й)]^1^2 < Ь/Ьс < 1, основной является зависимость J{T) = У(0)1п(Ьт/Ь)/\п(Ьт/с1), и для температуры перехода получаем

1п (19)

ШГС Щ(д)/Ъ2-1' ^

где Т* = КО/Ь2 Уравнение (19) можно интерпретировать как стандартное выражение теории БКШ с макроскопической эффективной константой куперовского притяжения Аея = (Ь2/Ь2 — 1)/21п(Ь/с1), исчезающей в точке квантового перехода

Для еще более плотного расположения островков, при Ь/Ьс < [21п(Ь/с^)]-1^2, тепловой переход происходит при температуре (16).

В разделе 2.3 изучается дефазировка в металле со сверхпроводящими островками Здесь предполагается, что система в целом находится выше линии макроскопического фазового перехода, рассмотренного в разделе 2 2 В этом режиме сверхпроводящие фазы на разных островках флутуируют нескоррелированно Андреевское отражение электрона от островка перево-

дит его в дырку, разрушая тем самым фазовую когерентность такой электрон более не участвует в процессах квантовой интерференции

В этом разделе предполагается, что андреевский транспорт может быть описан в низшем туннельном приближении с андреевским кондактансом G(A) = (%/Gd М, гДе Gjj1 — (е2/2тг/г) (471776?) 1 для трехмерных островков радиуса d, и = (Aug)'1 ln(wd/w) для двумерных островков радиуса

d За счет процессов андреевского отражения в купероне, ответственном за слабую локализацию, появляется затухание, зависящее от энергии

, . пг<Зл(Т) m , е Г _ sin(et/h) , 7(е) = г > Tcoth— / C0(t)—, ; ' ' .dt, (20)

,w 4nfiv 2T J0 wsinh(7rTt/h) 1

где Co(t) = (cos[(^(£) — ^(0)]) — автокорреляционная функция фазы в реальном времени

В области Т Ее, далекой от квантового фазового перехода, Co(t) « 1, и мы находим, что затухание куперона 7(e) практически не зависит от энергии при е ~ Т Следовательно, оно может быть отождествлено со скоростью сбоя фазы за счет процессов андреевского отражения

GaEC

1

4(т)

щ

87ruh Пг

Ga — 8 In -

2тг 2Т

Ga(T), двумерный случай

трехмерный случай,

(21)

• 8л'ий

Чтобы получить температурную зависимость, в трехмерном случае мы учли однопетлевую поправку к коррелятору 6'о(£), в двумерном случае в виду ее исключительной слабости (1п1пТ) достаточно ограничиться логарифмической зависимостью С?л(Т) Сравнивая со стандартным ответом для скорости сбоя фазы за счет кулоновского взаимодействия, \/т^\Т) ~ (Т/Н)У2т1/2/{кР1)2 в трехмерном случае и 1 /т$>\т) ~ (Т/Пд) \п(д/2) в двумерном случае, мы видим, что в широкой области над линией сверхпроводящего перехода скорость сбоя фазы за счет андрееских процессов оказывается выше 1 /тр\Т), см Рис 3

В области совсем низких температур, Т <С Ее, андреевский вклад в де-фазировку следует линейной зависимости 1/т£(Т) ~ (пг/2пНи)(Т/Ес)

Стандартным способом нахождения т^, является исследование магнето-сопротивления В двумерной геометрии вклад процессов Маки-Томпсона в магнетосопротивление значительно превосходит стандартный слаболокали-зационный вклад В результате, андреевское отражение от гранул приводит к положительному магнетосопротивлению вне зависимости от силы спин-орбитального взаимодействия

В разделе 2.4 изучается слабая кулоновская блокада на сверхпроводящем островке, соединенном с нормальным резервуаром контактом с кондак-тансом больше квантового В этом случае число электронов на грануле не фиксировано, и пики кулоновской блокады практически полностью замыты Однако на достаточно больших временах, t ~ h/Ec, флуктуации сверхпроводящей фазы на грануле становятся большими, что приводит к ненулевой, но экспоненциально малой, амплитуде кулоновских осцилляций

Для решения задачи естественно использовать формализм многозарядного действия, разработанный в разделе 2 1. Многозарядное действие изучено с помощью двух комплиментарных подходов функциональная ренормгруппа, учитывающие нелинейность фазовых флуктуаций (уравнение (12) с последним членом в правой части) и инстантонный анализ во мнимом времени Оба подхода оказываются эквивалентными и дают следующее общее выражение для перенормированной зарядовой энергии

Ёс = Ес^е-5, е-* = Ц(1-ТаУ'2, (22)

а

где Ga = 4 — андреевский кондактанс, выраженный через андреев-

ские прозрачности каналов Та = Т%/(2 — Та)2, а Та — коэффициент прохождения в нормальном состоянии В случае, когда электрическая связь гранулы с резервуаром осуществляется с помощью последовательного соединения туннельного барьера и диффузного проводника с произвольным отношением их сопротивлений t = Rt/Rd, подавление кулоновских осцилляций определяется действием S = (GD/8) [в*2/2 -в2 +1(2 sin в + cos в' - 1)], где в и в' удовлетворяют уравнениям в = tcos0 и 9' = fsin0' В целом, S имеет порядок андреевского кондактанса Ga = G^i sin 0/(1 + isin#), см Рис 4 В предельных случаях S = Gj1/8 (при t 1) и S = it2Ga/32 (при t 1)

В области Ее < Г <С Ее зависимость свободной энергии островка от потенциала на затворе q (измеренного в равновесном числе электронов на грануле) дается формулой

F(q) = -Ёс

+ ((l-e-^))ln2(f)-^)§cos(2 *,)

+

(23)

где множитель е учитывает эффект четности на грануле При Т < Т* « Д/1п(Д/6) < Д на грануле нет одночастичных возбуждений и ~ 1.

8 5/СЛ

СтД7д

Рис 4 Отношение 85/См как функция (?г/<7о Пунктирная линия проведена при 7Г2/4

Выше температуры четности, при Т > Г», фактор епренебрежимо мал, и эффект четности пропадает в зависимости ,Р(<7) остается только нормальная гармоника соз(27г<7)

В третьей главе исследуются мезоскопические флуктуации в сверхпроводящих системах

В разделе 3.1 изучается влияние мезоскопических флуктуаций на свойства теплового сверхпроводящего перехода в тонких пленках с учетом ку-лоновского подавления Тс Согласно Финкельштейну, температура перехода дается формулой _

где дс = 1п2(/г/Тсог)/(27г) — критическое значение безразмерного кондактан-са пленки, при котором происходит полное подавление сверхпроводимости

Для описания непосредственной окрестности перехода можно воспользоваться разложением Гинзбурга-Ландау, в котором нам понадобится как стандартный усредненный по беспорядку вклад Т^х [А], так и флуктуирующий отвечающий за мезоскопические флуктуации Диаграммы для Лу[Д] показаны на Рис 5, где серым цветом обозначен куперон, усредненный по флуктуациям электрического поля Он удовлетворяет интегральному уравнению, графически изображенному на Рис 6 Для дальнейшего существенно, что параметр порядка всегда входит в комбинации

—£

2тп/ Бд2 + 2|е

юч(е) А,

(25)

(а)

Рис 5 Диаграммы для усредненной свободной энергии (а) член |Д|2, (Ь) член |Д|4, в центре — так называемая вершина Хиками

£к

Ет

£к

£к

I I I I , I I П I I = I I I I II + 111111 I I ы I I I I Ы I I

~Ек

еп

ет

~£п £гг

Рис 6 Уравнение на куперон во флуктуирующем электрическом поле Кулоновская вершина Секе„ = {2/д)в(екеп)1п{1/\ек + е„|т)

где и>ч(е) — "экранирующий фактор", который показывает, насколько куло-новские эффекты модифицируют свободный "металлический" куперон Взятый на нулевом импульсе, и>о(е) уменьшается от 1 при е ~ 1/т до значения ги(Сг) = 1/созЬ(А5Ст) при е ~ Т, где Ст = 1п(1/Тт), а А5 = 1/у/Щ -фиксированная точка Финкельштейна

При вычислении диаграмм, изображенных на Рис 5, которые определяют усредненную свободную энергию ^гау[Д], существенно, что суммирование по мацубаровским энергиям садится на тепловой масштаб, е ~ Т, где экранирующий фактор и>((т) = 1/собЦА^т) Поэтому естественно включить этот фактор в определение параметра порядка, введя Д = Аги((тс) Тогда усредненная свободная энергия запишется в виде

?Ю[А] = I (а0|Д|2 + фА|4 + 7о^Д|2) <Ь, (26)

где ао, Д), 7о — стандартные горьковские коэффициенты для грязного сверхпроводника, выраженные через фактическую Тс Таким образом, мы видим, что специфика кулоновского подавления сверхпроводимости не проявляется в усредненном функционале Гинзбурга-Ландау В частности, отсюда следует, что тепловое число Гинзбурга не зависит от степени подавления Тс/Тсо и определяется, как и в теории БКШ, только кондактансом пленки С1 ~ 1 /д Средний квадрат (^[Д]), определяющий величину мезоскопических флуктуаций, дается неприводимым средним от квадрата диаграммы, изображенной на Рис 5 (а) Вычисления упрощаются в силу того, что вблизи перехода имеется разделение масштабов сверхпроводящий параметр порядка Д(г) меняется на длине когерентности £(Т) = \jDj2iг(Т — Тс), в то время

Рис. 7. Среднеполевая температура сверхпроводящего перехода (черная линия) в зависимости от сопротивления пленки Да = 2тгН/е2д. Темно-серым показана область тепловых. а светло-серым — мезоскопических флуктуаций.

как в любой диаграмме пространственное расстояние между точками, в которых берется А, имеет порядок тепловой длины

Поэтому с точки зрения сверхпроводящей подсистемы мезоскопический беспорядок эквивалентен флуктуациям локальной температуры перехода:

^[Л] = /Мг)|Д(г)|2^ (27)

с ¿-коррелированным средним (¿о;(г)йа(г')) = Со<5(г — г')- При вычислении амплитуды флуктуаций Со суммирование по мацубаровским энергиям, которое в случае сходилось на е ~ Т, теперь определяется всеми энергиями от Т до 1/т. В результате,

коэффициент С0 = (7<(3)/8тг4£Т) созЬ2(А9Сг) оказывается аномально большим и растущим с уменьшением Тс/Тсо.

Флуктуирующий член (27) приводит к уширению перехода, связанного с флуктуационным образованием зародышей сверхпроводящей фазы выше среднеполевой Тс. Относительная ширина размытия может быть оценена как

Поведение флуктуационных ширин Gi и Sj б зависимости от сопротивления пленки построено на Рис 7 Вдали от точки квантового перехода, при д — дс > 1, уширение 5d оказывается больше теплового Gi и ненаблюдаемо При д — дс < 1 изменяется природа макроскопического сверхпроводящего перехода он происходит за счет образования сверхпроводящих островков с последующим перколяционным переходом в сетке таких островков В непосредственной близости квантового перехода, при д — дс< 1 /дс, система характеризуется сильно размытым переходом и большой неоднородностью сверхпроводящего состояния, которая сохраняется даже при Т Тс

В разделе 3.2 исследуются мезоскопические флуктуации сверхтекучего тока в джозефсоновских контактах через нормальный металл с диффузной электронной динамикой Рассмотрены два типа контактов, квантовая точка, соединенная со сверхпроводящими терминалами туннельными барьерами с кондактансами 2G Gq = е2/7гН, и диффузный провод с кондактансом Gn Gq, соединенный с терминалами идеально проводящими контактами В обоих случаях вычислена амплитуда мезоскопических флуктуаций сверхтока, 51(х), как функция сверхпроводящей разности фаз х на контакте, температуры и отношения сверхпроводящей щели в терминалах Д к обратному времени жизни электрона в нормальной области indwell (этот энергетический масштаб с точностью до числа определяет наведенную минищель в нормальной области Е* ~ пип(Д, i^weii) и критический ток Ic ~ GE*/e)

В нормальном металле эффекты мезоскопических флуктуаций описываются одной петлей из диффузонов или куперонов В SNS системах возникает существенное усложнение, связанное с наличием (1) наведенных сверхпроводящих корреляций в нормальной области, явным образом зависящих от энергии, (эффект близости) и (2) ненулевого сверхтекучего тока через нормальную область В результате диффузионные моды теряют естественное разделение на диффузоны и купероны, и, что наиболее существенно, мягкие моды должны находиться на фоне неоднородного сверхпроводящего эффекта близости в нормальной области Для решения этой задачи предложена схема, основанная на технике нелинейной ст-модели в представлении реплик Мезоскопические флуктуации сверхтока 61(х) выражаются через флуктуационный детерминант на фоне неоднородного седлового решения, описывающего сверхпроводящий эффект близости в нормальной области

Для контакта через квантовую точку с симметричными барьерами Gl = Gr = 2G (полный кондактанс в нормальном состоянии есть G) результаты для мезоскопических флуктуаций в различных режимах приведены в Табли-

Таблица 1 Результаты для симметричной квантовой точки критическая фаза Хс критический ток 1С, мезоскопические флуктуации критического тока 51с (С = In(2-уА/жТ) 7 = 1 781)

Хс/Ш eh/G пыс/с (G/GQ)5IC/IC

Д < £s> Г = 0 118 192Д 0 396Д 0 648

Ед < Д, Т = 0 1 Ед\п(2А1Ед) Ед/Ж 1/1п(2 А/Ед)

Т<Тс<Ед 1 тгД2(Г)/4Гс А2(Т)/8ТС 1/2

Ед^Т<Тс 1 0 213ЕдА2(Т)/Т£ 0 010Д2(Т)£2/ГС3 0 15 Ед/Тс

Ед<Т<&ТС 1 ЕдС 0 12 Щ/Т 0 ЪЩ/ТС.

Таблица 2 Результаты для одномерного провода с кондактансом С^ критическая ф за Хс критический ток 1С мезоскопические флуктуации критического тока 81с (£ у/2тТЕт ехр( фтТЩг))

Хс/Ьг/2) eIc/GN

М/с/е

(GN/GQ)5IJIC

А < Ет, Т = 0 1255 2 082Д О ЗОД 0 45

Ет < Д, Т = 0 1271 10 83£г 1 ШЕт 0 432

arb Ет/А, Г = 0 Рис 8(а) Рис 8(Ь)

Т<Тс<^Ет 1 жА2(Т)/4Тс Д!(Т)/УШТ уДЩ,

Ет<.Т<Тс 1 8А2(Т)/£ 23'2А2(Т)/к£ 1/(2<Д)

Рис 8 (а) Амплитуда мезоскопических флуктуаций критического тока в одномерном SNS переходе 51с, при нулевой температуре (сплошная линия в единицах еД/ft. штриховая линия в единицах пеЕт/h, пунктирная линия в единицах eE,/h) как функция А/Ет (Ь) Отношение 61с/1с (в единицах Gq/Gn) как функция А/Ет

це 1 Для квантовой точки роль indwell играет Ед = (G/Gq)5, где <5 — расстояние между уровнями в точке Мы видим, что в общем случае ÖIC ~ eEt/h и мезоскопические флуктуации, как обычно, малы по безразмерному кондак-тансу 6IC/IC ~ Gq/G Кроме того, в пределе Ед <С Тс флуктуации оказываются дополнительно подавлены

Для контакта через квазиодномерный диффузный проводник результаты представлены в Таблице 2 Здесь роль indwell играет энергия Таулесса Ет = hD/L2, где D — коэффициент диффузии, a L — длина контакта В этой геометрии для всех рассмотренных режимов амплитуда флуктуаций выражается через наведенную минищель Е„ как 5IC ~ eEt/h и оказывается в Gn/Gq раз меньше среднего тока /с Интересно отметить, что число в этом соотношении оказывается довольно слабо зависящим от отношения А/Ет, см Рис. 8

Найденная нами амплитуда мезоскопических флуктуаций сверхтока в SNS переходе оказывается в 2 5 раза больше предсказаний Альтшулера и Спива-ка 1987 года, полученных в рамках модели, не учитывающей эффекта близости в нормальном металле В результате, имеющееся несоответствие между теорией и экспериментом становится еще более вопиющим измеряемые на эксперименте флуктуации сверхтока примерно в четыре раза меньше наших предсказаний По-видимому, расхождение объясняется неидеальностью NS границы, приводящей к зарядовым эффектам, либо динамическими флук-туациями сверхпроводящей фазы х па контакте

Четвертая глава посвящена изучению парной корреляционной функции

R(üj,tut2) = v~2(pjri)pe+u){r2))

локальных плотностей состояний в модели квазиодномерной андерсоновской локализации Теоретический подход к точному решению задачи о квазиодномерной локализации, основанный на методе суперсимметричной сг-модели, разработан в работах Ефетова и Ларкина в начале 1980-х годов Однако возникающее при этом дифференциальное уравнение оказывается настолько сложным, что его решение при произвольной частоте ы до недавнего времени было неизвестно, даже в технически наименее сложном случае унитарной симметрии

Нами был сделан первый шаг в построении точного решения квазиодномерной локализации при произвольной частоте была точно найдена нулевая мода трансферматричного гамильтониана в унитарном случае Это открывает доступ к вычислению R(u>, г^гг) на расстояниях между точка-

1 2

08

= 1 + +

2 3

' Дс1о5е(ш) = 1 + А(ш)

4 А«

Рис 9 Зависимость парной корреляционной функции локальных плотностей состояний от отношения ш/А{ Д00"18^) — в строго совпадающих точках Дс1ож(ш) — в близких по сравнению с длиной локализации точках (кр1 |г! — г2| <С О

ми наблюдения меньше длины локализации, |г1 — <С £ В этом пределе парный коррелятор может быть записан как

гьг2) = 1 + ЛИ + к(тит3)В{и), (29)

где функция /с(г1, Гг) = (1тС?й(г1,Г2))2/(7П/)2 учитывает фриделевские осцилляции на масштабе порядка длины волны, а функции А(и) и В(и) выражаются посредством интегралов от нулевой моды Ф(А^, А в) по "собственным значениям" Хр, Xв суперматрицы Нулевая мода удовлетворяет уравнению #Ф = 0 с гамильтонианом

Н =

(Хв-ХРу

д

1

■А*

д д

хЪ-1

д

, - д - -—(\ -А ^

дХР(Хв-ХР)2дХР дХв(Хв-Хр)2дХв\ 4А/ В р>

и граничным условием Ф(1,1) = 1 Здесь Д^ = (4тг21)1/2)-1 — расстояние между уровнями на длине локализации С помощью отображения на трехмерную кулоновскую задачу и использования явного вида функции Грина последней в координатном представлении найдено точное выражение для Ф(А^,Ад) через модифицированные функции Бесселя

Ф(А^, А в) = К0(р) я11(д)+рК1(р) 10(д), (30)

где обозначено р = у/~2г(ш/А^)(Хв + 1) и д = ^/—2г(ш/А^)(Хр + 1) В результате, находим точное выражение для коэффициентов в (29)

А(и) = ^Ке{к2[/2(к) - 10(к)12(к)] Щ{к) - К0(к)К2(к)} - /?(«)*?(«)}, В(ш) = | Ие [/0(к)ВД + НкШк) + 12(п)К0(к)],

где к = у/—Аги/А^ Монотонная функция А(и) отрицательна с А(оо) = О и Л(0) = —1/3, монотонная функция В (и)) положительна с В(оо) = 0 и В{ 0) = 2/3

В совпадающих точках, коррелятор B?°ms(<j) = 1 + А(и) + В (и) больше единицы (верхняя кривая на Рис 9) Он начинается с ir!coins(0) = 4/3 в сильно локализованном режиме, имеет максимум при ш ~ Д^, и медленно (как \JA^/uj) выходит на некоррелированный предел R(oo) = 1 в металлическом режиме (и Д^) Такое поведение кардинальным образом отличается от строго одномерного случая, где R\^s(u}) = 1 не зависит от w

В близких точках, кр1 <С |rj — гг| -С коррелятор (29) не зависит от |ri — г2| и равен Rdose(uj) = 1 + А(и), что меньше единицы (нижняя кривая на Рис 9) Такое поведение можно характеризовать как отталкивание уровней, которое, однако, является довольно слабым, üclose(0) = 2/3, по сравнению с идеальным отталкиванием уровней, R(0) = 0, в теории случайных матриц Примечательно, что найденное значение 2/3 в точности совпадает с результатом для строгой одномерии при ш —» 0 в эквивалентной области кр1 Однако уже в следующих членах наблюдается расхождение

между квазиодномерной и строго одномерной геометриями

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы, выносимые на защиту

В приложения вынесен ряд громоздких вычислений и доказательств

ВЫВОДЫ

1 В сложных электронных системах с неинтегрируемой динамикой под действием гармонического возмущения возникает динамическая локализация — локализация в пространстве энергий При этом класс универсальности задачи отличается от модели квантового ротатора, возбуждаемого периодическими толчками

2 Поглощение энергии комплексными электронными системами в магнитном поле под действием возмущения, линейно растущего со временем, может быть описано формулой Кубо при произвольной скорости возмущения В этом режиме все квантовые поправки обращаются в нуль

3 Несмотря на специфические спектральные корреляции в коре вихря в умеренно чистом слоистом сверхпроводнике, сопротивление в режиме

течения потока описывается формулой Бардина-Стивена, вне зависимости от скорости течения потока

4 В двумерных N8 системах роль куперовского взаимодействия на подще-левой транспорт логарифмически растет с расстоянием, что приводит к немонотонной зависимости андреевского кондактанса от температуры

5 В системе из маленьких сверхпроводящих гранул размера <1 на пленке нормального металла квантовые флуктуации фазы подавляют макроскопическую сверхпроводимость при нулевой температуре, если расстояние между островками превышает величину йехр(а-^/д), где д — безразмерный кондактанс пленки, а а — число порядка единицы, зависящее от величины взаимодействия в металле

6 Андреевское отражение от сверхпроводящих гранул является эффективным каналом дефазировки нормальных электронов Соответствующая скорость сбоя фазы слабо зависит от температуры и в широкой области параметров превосходит скорость сбоя фазы за счет кулонов-ского взаимодействия

7 Мезоскопические флуктуации в тонких однородно разупорядоченных сверхпроводящих пленках существенно возрастают вблизи квантового фазового перехода сверхпроводник - нормальный металл, обусловленного кулоновским подавлением притяжения в куперовском канале Флуктуации проявляются в сильной пространственной неоднородности локальной критической температуры, что приводит к перколяционной природе сверхпроводящего перехода при конечных температурах

8 Для нахождения мезоскопических флуктуаций джозефсоновского тока крайне важно аккуратно учитывать пространственно неоднородный эффект близости в нормальной области Пренебрежение им приводит к недооценке амплитуды эффекта в несколько раз

9 В задаче о квазиодномерной андерсоновской локализации в зависимости от расстояния между точками наблюдения может наблюдаться как отталкивание, так и притяжение энергетических уровней Различные волновые функции скоррелированы по-разному в строго одномерной и квазиодномерной задачах

Публикации, вошедшие в диссертацию

[1] M V FeigeFman, A I Larkin, and M A Skvortsov, "Keldysh action for disordered superconductors", Phys Rev B 61, 12361 (2000)

[2] M A Skvortsov, A I Larkin, and M V Feigel'man, "Superconductive proximity effect in interacting disordered conductors", Phys Rev B 63, 134507 (2001)

[3] M A Skvortsov, A. I Larkin, and M V Feigel'man, "Proximity action theory of superconductive nanostructures", Usp Fiz Nauk (Suppl) 171, 76 (2001)

[4] M V Feigel'man, A I Larkin, and M A Skvortsov, "Quantum superconductor-metal transition in a proximity array", Phys Rev Lett 86, 1869 (2001)

[5] M V Feigel'man, A I Larkin, and M A Skvortsov, "Quantum superconductor-metal transition in a proximity array", Usp Fiz Nauk (Suppl) 171, 99 (2001)

[6] M V Feigel'man, A Kamenev, A I Larkin, and M A Skvortsov, "Weak charge quantization on a superconducting island", Phys Rev B 66, 054502 (2002)

[7] M A Skvortsov, "Quantum correction to the Kubo formula in closed mesoscopic systems", Phys Rev B 68, 041306(R) (2003)

[8] D M Basko, M A Skvortsov, and V E Kravtsov, "Dynamic localization in quantum dots analytical theory", Phys Rev Lett 90, 096801 (2003)

[9] M A Skvortsov, D A Ivanov, and G Blatter, "Vortex viscosity in the moderately clean limit of layered superconductors", Phys Rev B 67, 014521

(2003)

[10] M A Skvortsov, A I Larkin, and M V Feigel'man, "Dephasing in disordered metals with superconductive grains", Phys Rev Lett 92, 247003

(2004)

[11] M A Skvortsov, D M Basko, and V E Kravtsov, "Energy absorption in time-dependent unitary random matrix ensembles dynamic vs Anderson localization", Письма в ЖЭТФ 80, 60 (2004)

[12] M A Skvortsov and M V Feigel'man, "Superconductivity in disordered thin films giant mesoscopic fluctuations", Phys Rev Lett 95, 057002 (2005)

[13] D A Ivanov and M A Skvortsov, "Quantum mechanics with a time-dependent random unitary hamiltonian A perturbative study of the nonlinear Keldysh sigma-model", Nucl Phys В 737, 304 (2006)

[14] M A Skvortsov and P M Ostrovsky, "Local correlations of different eigenfunctions in a disordered wire", Письма в ЖЭТФ 85, 79 (2007)

[15] M Houzet and M A Skvortsov, "Mesoscopic fluctuations of the supercurrent m diffusive Josephson junctions", Phys Rev В 77, 057002 (2008)

Введение

1 Квантовые интерференционные эффекты в поглощении энергии мезоскопическими системами

1.1 Качественное рассмотрение.

1.1.1 Низкочастотное описание хаотических электронных систем

1.1.2 От теории случайных матриц к кинетике с зависящим от времени гамильтонианом.

1.1.3 Два основных квантовых явления в динамике.

1.2 Келдышевская сг-модель для зависящих от времени случайных матриц

1.2.1 Келдышевская сг-модель.

1.2.2 Эволюция функции распределения.

1.2.3 Динамические диффузоны и купероны.

1.2.4 Теория возмущений для скорости поглощения.

1.2.5 Квантовая поправка в ортогональном случае — одна петля

1.2.6 Квантовая поправка в унитарном случае — две петли

1.3 Динамическая локализация в квантовых точках

1.3.1 Ортогональный случай.

1.3.2 Унитарный случай.

1.3.3 Качественная картина.

1.3.4 Роль взаимодействия.

2.4.2 Описание модели.123

2.4.3 Инстантонный анализ многозарядного действия.127

2.4.4 Ренормгрупповой анализ многозарядного действия.131

2.4.5 Заключение.132

3 Мезоскопические флуктуации в сверхпроводящих системах 136

3.1 Гигантские мезоскопические флуктуации в сверхпроводящих пленках .136

3.1.1 Введение.136

3.1.2 Разложение Гинзбурга-Ландау.138

3.1.3 Мезоскопические флуктуации свободной энергии.143

3.1.4 От фермионного к бозонному механизму.146

3.2 Мезоскопические флуктуации джозефсоновского тока.150

3.2.1 Введение.150

3.2.2 Флуктуации в переходе через квантовую точку.152

3.2.3 Флуктуации в квазиодномерном SNS переходе.161

3.2.4 Флуктуации в двумерной и трехмерной геометрии.168

3.2.5 Заключение.169

4 Корреляции разных волновых функций в квазиодномерной локализации 171

Заключение 178

Приложения 180

А Нелинейные сг-модели.180

Al Суперсимметричный формализм .181

А2 Репличный формализм.182

A3 Келдышевский формализм.183

A4 Стандартные параметризации.183

А5 Представление Дайсона-Малеева.184

Б Приложения к главе 1.186

Б1 Вывод келдышевской а-модели для зависящего от времени гамильтониана.186

Б2 Вычисление трехкратного интеграла (1.91) .188

БЗ Явный вид матриц для четырехпетлевых диаграмм . . 189

В Приложения к главе 2.190

В1 Перенормировка за счет растущего Rd.190

В2 Перенормировка за счет взаимодействия в куперовском канале .190

ВЗ Перенормировка за счет фазовых флуктуаций .191

В4 Решение уравнения Узаделя в первом порядке по Л . 193

Г Приложения к главе 3.197

Г1 Вычисление вершины MS{(q, q').197

Г2 Эквивалентность уравнения (3.91) результатам метода матрицы рассеяния .199

Список публикаций 200

Литература 202

Введение

Мезоскопические системы

80-е годы XX пека отмечены рождением новой области физики — физики ме-зоскопических систем. Ключевым стало открытие и 1979 год}' явления слабой локализации [1, 2], которая возникает в результате интерференции электронных волн, испытывающих многократное рассеяние на случайном потенциале. Анализ этого явления выявил принципиальное значение длины Ь^, на которой сохраняется фаза волновой функции диффундирующего электрона, и он оказывается способен принимать участие в интерференции с другими электронами. Можно сказать, что длина сбоя фазы Ь^ выделяет внутри макроскопического образца квантово-когерентные — мезоскопические — области, интерференция внутри которых определяет поведение всего макрообъекта. Если же размер образца оказывается меньше длины сбоя фазы, то весь образец ведет себя как единая квантово-когерентная система. Такие системы, промежуточные между макроскопическими и микроскопическими, получили название мезоскопических1 систем.

Следующим важным шагом стало осознание того факта, что основные физические характеристики мезоскопических систем не являются самоусредняющимися [3, 4]. Концепция примесного ансамбля и усреднения по нему для вычисления физических свойств, оказавшаяся крайне продуктивной при описания макроскопических объектов, становится неадекватной для мезоскопических систем. Причина этого кроется в том, что малое изменение случайного потенциала сильно меняет нелокальную интерференционную картину, что может привести к заметным изменениям свойств системы как целого. При одинаковом «в среднем» распределении примесей кондактанс С? образца зависит от конкретного их расположения, причем возникающие за счет этого флуктуации от образца к образцу оказываются универсальными: (С2) —{С)2 ~ (е2//г)2, где конкретное число не зависит ни от степени беспорядка, ни от размеров системы [3, 4]. Для изменения эффективной реализации случайного потенциала не обязательно менять образец — достаточно изменить магнитное поле, что приведет к смене интерференционной картины. Как следствие, возникнут повторяемые нерегулярные осцилляции магнетосонротивления («отпечатки пальцев»), впервые обнаруженные в эксперименте на золотых кольцах [5].

Слаболокализационные поправки и универсальные флуктуации кондактанса в нормальных системах привлекли огромный интерес и интенсивно изучались

Термин «мезоскопика» введен в физический лексикон В. ван Кемпеном и М. Азбелем. как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения [6]. Величиной, характеризующей силу флуктуаций, является безразмерный кондактанс системы2 — отношение G к квантовому кондактансу е2/2л7г. Чем меньше кондактанс, тем более выражены флуктуационные эффекты.

Уменьшение доступных к эксперименте размеров мезоскопических систем привело к необходимости учитывать дискретную структуру уровней, связанную с конечностью объема системы V. В том случае, если характерная энергия или температура оказываются сравнимой со средним расстоянием между уровнями S = (fV)-1 (гДе и ~ плотность состояний на уровне Ферми), приходится учитывать корреляции в расположении отдельных уровней. Аналогичная задача возникала в середине XX века при описании статистики спектров возбуждения сложных ядер. Тогда же был развит феноменологический подход к решению этой задачи с помощью случайных матриц3 [7, 8]. В теории твердого тела метод случайных матриц для описания свойств маленьких неупорядоченных металлических гранул был применен в работе [9] 19С5 года. Утверждение о совпадении спектральных корреляций в мезоскопических системах и в теории случайных матриц долгое время оставалось на уровне гипотезы. В начале 1980-х оно было доказано с использованием техники суперсимметричной ст-модели [10]. Таким образом в мезоскопическую физику пришла концепция случайных матриц [11], оказавшаяся крайне плодотворной не только для описания спектров, но и для построения теории квантового транспорта в мезоскопических образцах [12]. Успех теории случайных матриц связан с тем, что она разбивает всевозможные мезо-скопические системы всего на три класса уиивсрсалъиостпа, определяемых симметрией гамильтониана. Случайное расположение уровней энергии доступно для экспериментального наблюдения, например, в квантовых точках [13] в режиме кулоновской блокады [14].

Еще одно ключевое положение, понятое на заре рождения мезоскопической физики, заключается в том, что беспорядок способен усиливать кулоновское взаимодействие между электронами [15]. Физически это связано с тем, что диффундирующие электроны большее время проводят рядом друг с другом, что эффективно увеличивает силу взаимодействия. В результате, возникает интерференционная поправка к проводимости, которая (в двумерии) имеет тот же порядок величины, что и поправка слабой локализации. Кроме того, в мезоскопических системах при низких температурах обычно именно кулоновское взаимодействие отвечает за сбой фазы электронной волновой функции. В работе [1G] было показано, что в пространстве размерности d < 2 время сбоя фазы rv оказывается короче времени электрон-электронных столкновений ге.е за счет

2В литературе встречаются различные, отличающиеся числом, способы определения безразмерного кондактанса. В данной диссертации безразмерный кондактанс мы будем определять по отношению к е2/2тгй = (2G ком)-1.

3При том, что п ядрах никакой случайности нет, теория случайных матриц в целом довольно хорошо описывает статистические свойства ядерных спектров. процессов рождения электрон-дырочных пар с малой передачей частоты. В двумерной системе скорость сбоя фазы за счет межэлектронного взаимодействия Ь/тр — (Т/д) 1п(<7/2), где д — безразмерный кондактапс пленки.

Мезоскопика и сверхпроводимость

Не менее богатая физика возникает при изучении сверхпроводимости в мезо-скопических образцах. Возникающая здесь в наиболее общей постановке задача о последовательном одновременном учете эффектов локализации, кулоновского взаимодействия и куперовского притяжения является чрезвычайно сложной и не имеющей решения по сей день. Все разнообразие задач мезоскоиической проводимости можно разделить на два класса: задачи с пространственно разделенными сверхпроводящими и нормальными областями (N8 системы) и пространственно-однородные задачи.

Основным физическим явлением, определяющим поведение КБ систем, является эффект близости (см. обзор [17]). Он заключается и том, что куперовские пары, проникая из сверхпроводника в нормальный металл, наводят в нем куперовские корреляции. При этом эффект близости в нормальном металле имеет непертурбативный характер: изменение металлического состояния зависит он энергии электронов и увеличивается при приближении к энергии Ферми. В результате, даже в отсутствие сверхпроводящего спаривания в нормальном металле открывается щель в спектре возбуждений [18]. Благодаря эффекту близости два сверхпроводника, взаимодействующих через нормальный металл, могут (при достаточно низких температурах) оказаться связанными джозефсоновским взаимодействием [19]. За счет квантовой интерференции, джозефсоновский ток, протекающий через нормальный мезоскопический проводник, также как, и обычный ток, оказывается чувствительным к реализации примесного потенциала. Следовательно в БХБ системах должны возникать мезоскоиические флуктуации джо-зефсоновского тока, теоретически предсказанные в работе [20] и экспериментально наблюдавшиеся в работах [21, 22].

Что касается (в среднем) однородных систем, то здесь в настоящее время наибольшее внимание привлекает класс задач о переходах сверхпроводник-металл и сверхпроводник-диэлектрик в неупорядоченных пленках, возникающих при увеличении беспорядка [23, 24, 25, 20]. Наблюдаемое подавление сверхпроводимости в однородно разупорядоченных пленках с увеличением степени беспорядка может быть объяснено ослаблением куперовского притяжения кулоновским отталкиванием, усиленным за счет диффузного движения электронов (фермионный сценарий подавления сверхпроводимости). Количественная теория подавления Тс в сверхпроводящих пленках построена в работах [27, 28]. При этом предполагается, что безразмерный кондактапс пленки д 1. В то же время, обычно переход наблюдается при д ~ 1, где нет малого параметра и невозможно построить последовательную микроскопическую теорию. В этой связи имеется альтернативный бозонный) сценарий подавления сверхпроводимости, в котором предполагается, что в системе исходно присутствуют сверхпроводящие гранулы [29]. Тогда макроскопический сверхпроводящий переход описывается как установление глобальной фазовой когерентности между гранулами. Качественные соображения, основанные на дуальности между вихрями и куперовскими парами [30], дают для критического кондактанса величину дс — 1/4. Хотя эта теория довольно хорошо описывает ряд экспериментальных работ, ее применимость для описания перехода в,однородно разупорядоченных пленках вызывает большие сомнения. Недавно для описания сверхпроводящего состояния в непосредственной близости к порогу локализации была предложена модель, существенно использующая фрактальные свойства одноэлектронных волновых функций в случайном потенциале [31].

Неравновесные эффекты в мезоскопических системах

Большинство описанных выше явлений проявляется в термодинамике или линейном отклике мезоскопических систем. Значительно менее изученной областью является квантово-когерентная кинетика неравновесных мезоскопических систем.

В ряд}' рассматривающихся здесь вопросов стоит перечислить влияние микроволнового излучения на транспорт через хаотические рассеиватели [32, 33], адиабатический квантовый перенос заряда (adiabatic charge pumping) через квантовые точки [34, 35]. В более широкой перспективе среди неравновесных явлений, изучавшихся к последнее время, следует упомянуть возникновение состояния с нулевым сопротивлением в системах типа квантового эффекта Холла под влиянием микроволнового излучения [3G, 37].

При этом до недавнего времени совершенно в стороне от внимания твердотельного сообщества оставалось такое фундаментальное явление, как динамическая локализация и, более широко, квантовые интерференционные явления в кинетике замкнутых мезоскопических систем. Динамическая локализация проявляется в том, что система, находящаяся во внешнем переменном поле, через какое-то время перестает поглощать энергию — локализуется в энергетическом пространстве. Явление динамической локализации было открыто при численном моделировании эволюции квантового ротатора, возбуждаемого ¿-периодическими толчками (quantum kicked rotor) [38, 39], — простейшей нелинейной системе с одной степенью свободы, описывающейся гамильтонианом

Динамическая локализация была обнаружена в эксперименте с ультрахолодными атомами в иоле модулированной стоячей лазерной волны [40] — системе, описывающейся моделью квантового ротатора с периодическими толчками. Однако, в силу того, что квантовый ротатор является квантовомеханической системой с одной степенью свободы, эта модель a priori не применима для описания кинетики

0.1) п комплексных твердотельных систем со многими степенями свободы. Тот факт, что квантовый ротатор с ¿-толчками не является универсальным описанием хаотических систем, следует хотя бы из отсутствия динамической локализации частицы в ящике под действием периодических ¿-толчков [41] — системе, отличающейся от квантового ротатора только граничными условиями. Следовательно, динамическая локализация оказывается чувствительной к деталям невозмущенного гамильтониана и внешнего возмущения. Поэтому результаты, основанные на стандартном отображении [38] не могут быть автоматически применены к описанию произвольной квантовомеханической системы под действием зависящего от времени возмущения. Задача о поведении случайных матриц под действием гармонического возмущения рассматривалась в работе [42] путем численного счета; обнаруженная динамическая локализация оказалась неустойчивой по отношению к введению шума во временную зависимость возмущения.

Теоретическое описание квантово-когерентных явлений в мезоскопичесих системах

Развитие новой области физики потребовало и разработки новых методов. Через год после построения микроскопической теории слабой локализации [1] было понято, то ключевыми объектами при описании мезоскопических систем являются взаимодействующие диффузионные моды (купероны и диффузоны) [43]. В работе [44] было предложено рассматривать диффузионные моды как медленные флуктуации поля <5 в нелинейной сг-модели. В дальнейшем этот подход был развит Ефетовым в рамках суперсимметричного формализма [10, 45]. Использование метода суперсимметричной сг-модели позволило доказать эквивалентность спектральных корреляций в мезоскопических системах и в случайных матрицах [10] и решить задачу о локализации в квазиодномерной геометрии [46]. В настоящее время метод суперсимметричной сг-модели является единственным полностью микроскопическим методом, позволяющим получать непертурбативные результаты в мезоскопических системах. К сожалению, метод суперсимметрии не обобщается на задачи со взаимодействием.

Для систем со взаимодействием были разработаны концептуально аналогичные методы, основанные на нелинейной сг-модели в представлении реплик [47, 48] (для изучения термодинамических свойств) и представлении Келдыша [49, 50] (для изучения неравновесной динамики). Метод нелинейной а-модели является наиболее мощным из всех, применяемых для описания мезоскопических явлений; в рамках такого подхода могут быть описаны слабая локализация, перенормировки за счет взаимодействия, квантовые флуктуации. Однако сг-модель является сложной теорией ноля, общего решения которой не найдено ни в одном случае4. В режиме слабой связи (при большом копдактансе) все варианты нелинейной сг-модели одинаково технологично могут быть изучены по теории

43а исключением суперсимметричной а-модели, как обсуждалось выше. возмущений (эквивалентной разложению по петлям диффузонов и куперонов), а также в рамках ренормгруппового подхода.

Несколько менее общий, но более прозрачный метод основан на использовании квазиклассических функций Грина [51]. Этот метод чаще всего применяется для описания эффекта близости, а также кинетики в системах со сверхпроводимостью. Возникающие при этом уравнения Узаделя [52] на квазиклассические фукнции Грина являются седловыми точками соответствющей нелинейной а-модели. Поэтому метод квазиклассических функций Грина ухватывает ту часть физики, которая определяется средними величинами, но не ухватывает флуктуации5.

Стоит упомянуть еще метод матрицы рассеяния6 [53, 54]. В этом подходе, применимым для описания невзаимодействующих частиц, любая среда между двумя терминалами рассматривается как рассеиватель, который характеризуется ¿'-матрицей, а наблюдаемые величины выражаются в виде комбинаций коэффициентов прохождения в различных каналах. Это самый простой и интуитивно понятный из всех применяемых методов. Простота достигается за счет того, что метод является феноменологическим: он, выражая физические величины через коэффициенты прохождения, ничего не говорит о том, как эти коэффициенты получить. В ряде случаев это можно сделать с помощью теории случайных матриц [12], но общего рецепта нет. * *

Настоящая диссертационная работа преследует следующие %1,ели:

1. разработка последовательного теоретического описания квантово-когерентных эффектов в неравновесных электронных мезоскопических системах под действием зависящего от времени возмущения;

2. построение теории эффекта близости в системах сверхпроводящих гранул в матрице нормального металла с учетом флуктуации фазы параметра порядка и межэлектронного взаимодействия в металле;

3. исследование мезоскопических флуктуации в сверхпроводящих системах;

4. исследование корреляций разных волновых функций в квазиодномерной андерсоновской локализации.

5В частности, в рамках метода квазиклассических функций Грина нельзя описать слабую локализацию и подавление Тс в сверхпроводящих пленках.

6Метод матрицы рассеяния, в основном, разрабатывался западными учеными.

При всем разнообразии рассмотренных в диссертации задач, они объединены тем, что для решения каждой из них обычно необходимо учитывать бесконечную последовательность медленных диффузионных мод, что требует использования существенно непертурбативных методов, как правило основанных на анализе соответствующего типа нелинейной ст-модели.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Разработан функциональный подход к описанию квантово-когерентной динамики сложных электронных систем с неинтегрируемой динамикой, основанный на кслдышевской ст-модели. С его помощью удалось аналитически описать два разных интереференционных эффекта в динамике: динамическую локализацию в пространстве энергий и переход от поглощения в непрерывном спектре (формула Кубо) к поглощению в дискретном спектре (переходы Ландау-Зенера).

2. Построена аналитическая теория динамической локализации в квантовых точках под действием периодического возмущения.

3. Обнаружено зануление интерференционных поправок к омической скорости поглощения для случайных матриц унитарной симметрии под действием линейно растущего возмущения.

4. Исследовано поглощение энергии в коре вихря в умеренно чистом слоистом сверхпроводнике, возникающее при движении вихревой решетки. Показано, что сохраняющаяся на малых скоростях движения дискретность спектра не влияет на сопротивление течения потока.

5. Для описания сверхпроводящего эффекта близости во взаимодействующей ферми-жидкости разработан метод многозарядного действия, позволяющий одновременно учесть непертурбативный характер сверхпроводящего эффекта близости, взаимодействие в куиеровском канале и флуктуации фазы на сверхпроводящей грануле. С помощью данного метода предсказана обусловленная отталкиванием в куиеровском канале немонотонная зависимость андреевского кондактанса сверхпроводящей гранулы на двумерном металле от температуры, напряжения и магнитного поля.

0. Построена теория квантового фазового перехода сверхпроводник - нормальный металл в сетке сверхпроводящих гранул на пленке неупорядоченного металла.

7. Построена теория электронной дефазировки за счет андреевского отражения от сверхпроводящих гранул. Показано, что скорость сбоя фазы, обусловленная андреевским отражением, является основным механизмом дефазировки в широкой области температур выше линии сверхпроводящего перехода.

8. Построена теория флуктуационного образования зародышей сверхпроводящей фазы в однородно разупорядочеииых тонких пленках с относительно большим безразмерным кондактансом. Предсказаны гигантские мезоскопи-ческие (флуктуации вблизи квантового фазового перехода сверхпроводник - нормальный металл, обусловленного кулоновским подавлением притяжения в куперовском канале.

9. Разработан метод вычисления мезоскоиических флуктуации сверхтекучего тока в джозефсоновских переходах, учитывающий пространственно неоднородный эффект близости в нормальной области. Амплитуда мезоскоиических флуктуаций найдена при различных соотношениях между входящими в задачу параметрами. В случае длинного ЭЖ контакта мезоскопические (флуктуации в несколько раз превышают старый результат Альтшулера и Спивака, полученный в рамках иолуфеноменологической модели, не учитывающей эффекта близости в нормальном металле.

10. Найден явный вид нулевой моды трансфер-матричного гамильтониана одномерной ег-модели унитарной симметрии при произвольной частоте и. Показано, что в зависимости от расстояния между точками наблюдения возможно как отталкивание, так и притяжение энергетических уровней. Впервые показано отличие в поведении корреляций различных волновых функций в задачах о строго одномерной и квазиодномерной локализации.

Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы как надежностью применявшихся теоретических методов, так и согласием с результатами, полученными другими авторами.

Развитые и работе методы могут быть использованы для описания широкого круга нестационарных явлений в мезоскоиических системах под действием внешнего переменного поля.

Разработанный метод многозарядного действия является в настоящее время единственным способом учесть эффекты взаимодействия в металле одновременно с (фазовыми флуктуациями в системах со сверхпроводящими гранулами.

Обнаруженные в диссертации гигантские мезоскопические флуктуации вблизи сверхпроводящего перехода в двумерных разупорядочеииых пленках существенно обогащают теорию (фазовых переходов. Данный результат свидетельствует о том, что при определенных условиях макроскопически однородная среда при приближении к переход}' начинает проявлять свойства гранулированной системы. При этом следует ожидать усиления роли (фазовых флуктуаций и переходу к бозонному механизму подавления сверхпроводимости.

Найденное в диссертационной работе точное выражение для нулевой моды трансферматричного гамильтониана открывает возможность непертурбативного исследования корреляций разных волновых функций и проводимости в квазиодномерной локализации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 2000-2008 годах в пятнадцати научных работах, список которых приводится в конце диссертации.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, четырех приложений, заключения и списка литературы.

Выводы

Путем анализа флуктуаций на фоне пространственно-неоднородного эффекта близости в нормальной области мы смогли построить полную теорию мезоско-пических флуктуаций джозефсоновского тока в переходах с диффузной электронной динамикой. Амплитуда мезоскопических флуктуаций 51(х) найдена как функция отношения £?ТЬ/Д, температуры и сверхпроводящей разности фаз х

Для квазиодномерного SNS перехода мы продемонстрировали, что мезоскопические флуктуации джозефсоновского тока оказываются «практически универсальными»: 5IC/IC ~ Gq/G, где точный коэффициент в этом выражении, по порядку равный единице, зависит от параметров перехода. В случае двух-барьерного S-QD-S перехода мезоскопические флуктуации оказываются «менее универсальными»: 5IC/IC ~ Gq/G для переходов с Тс < Ед, но дополнительно подавлены для переходов с Ед <С Тс.

Найденная нами амплитуда мезоскопических флуктуаций сверхтока в SNS переходе оказывается в 2.5-2.8 раза больше предсказаний Альтшулера и Спи-вака [20], полученных в рамках модели, не учитывающей эффекта близости в нормальном металле. В результате, имеющееся несоответствие между теорией и экспериментом становится еще более вопиющим: измеряемые на эксперименте флуктуации сверхтока примерно в четыре раза меньше наших предсказаний. По-видимому, расхождение объясняется неидеальностью NS границы, приводящей к зарядовым эффектам, либо динамическими флуктуациями сверхпроводящей фазы х на контакте.

4 Корреляции разных волновых функций в квазиодномерной локализации

Введение

Хорошо известно, что в задачах с одномерной геометрией любой, сколь угодно слабый случайный потенциал приводит к локализации всех электронных состояний [291, 292, 293, 294]. При этом длина локализации £ выражается формулой £ ~ N1, где N ~ крА — число поперечных каналов в проволоке сечением Л, а I — длина свободного пробега [295]. В зависимости от значения Лг различают два типа систем: строго одномерные (1D) системы с N — 1, которые более естественно возникают, если исходно рассматривать движение электрона на прямой или на одномерной решетки узлов, и квазиодномерные (Q1D) системы с числом каналов N 1.

В строго одномерной геометрии система локализуется на длине пробега: ~ I, раньше чем успевает установиться режим диффузии. Для описания таких систем Березинским была разработана довольно сложная в математическом отношении техника [296, 297]. С ее помощью были вычислены различные физические величины в наиболее интересном непертурбативном режиме малых частот ujt <С 1, соответствующих сильной локализации: низкочастотная проводимость, чья диссипативная часть описывается законом Мотта-Березинского: Recr(a>) а ш2\п2(1/ит) [298, 296], и корреляционная функция локальных плотностей состояний [299, 75].

В квазиодномерной геометрии длина локализации £qid оказывается параметрически больше длины свободного пробега. Это означает, что локализация развивается за счет взаимодействия диффузных мод и может быть описана с помощью одномерной диффузной ст-модели [10, 45].

За последние 30 лет стало ясно, что одномерная диффузная cr-модель является, в некотором смысле, «классом универсальности», описывающим многие задачи физики конденсированного состояния и квантового хаоса. Помимо очевидного примера о распространении частицы в неупорядоченном проводе (как в режиме слабого [10], так и сильного (гранулированного) [102] беспорядка), к этой модели сводится задача о случайных иолосковых матрицах (random banded matrices), с элементами убывающими при удалении от главной диагонали [106], и задача о динамике квантового ротатора, возбуждаемого периодическими толчками [38, 39], чей оператор эволюции оказывается квазислучайной полосковой матрицей [103, 104, 107]. Кроме того, представленные в разделе 1.3.3 аргументы дают основания считать, что динамическая локализация в квантовых точках также описывается моделью квазиодномерной локализации.

Несмотря на то, что локализация в квазиодномерных проводниках исследуется с начала 1980-х годов, ее полная теория до сих пор не построена. Одной из наиболее важных и, в то же время, сложных задач является вычисление корреляторов различных волновых функций ут(г) и в режиме сильной локализации, при разности энергий и — £гп — еп много меньше среднего расстояния между уровнями Д^ = £>/£2 на длине локализации. Соответственно, до сих пор неизвестны низкочастотные (ш Д^) асимптотики проводимости и корреляционной функции локальных плотностей состояний. В частности, отсутствует доказательство того, что в пределе ш —> 0 проводимость подчиняется закону Мотта: Пест(о;) ос ш2 Хотя такая зависимость следует из общефизических аргументов [298], было бы крайне актуальным вывести этот закон из последовательного микроскопического рассмотрения.

Техническое затруднение, возникающее при вычислении корреляций между различными волновыми функциями заключается в сложности дифференциальных уравнений (уравнений трансфер-матрицы), к которым сводится [46] функциональный интеграл одномерной суперсимметричной а-модели.

В данной главе мы находим точное решение для нулевой моды трансфермат-ричного гамильтониана в унитарном случае1, справедливое при произвольной частоте ш, и используем его для непертурбативного вычисления корреляционной функции

Я(и>; гь г2) = г/-2(/>£(г1)/?е+а;(г2)) (4.1) локальных плотностей состояний ре(г) = |^п(г)|2<5(£ — £п) при расстоянии между точками наблюдения |г1 — г2| <С Найденное выражение для г1} г2) сравнивается с известным аналогом [299] в строго одномерном случае.

Представление Т?(о;;г1,г2) с помощью суперсимметричной сг-модели

Выражая ре(г) через функции Грина и проводя обычное усреднение по беспорядку [45], можно представить парный коррелятор локальных плотностей состояний и виде функционального интеграла гь г2) = I - I Не у Р^е^ЭДх), (4.2) где действие суперсимметричной унитарной сг-модели имеет вид [45]:

ЗД = ^ 81г J [£(У£(г))2 + 2^лд(г)] с?г, (4.3)

1 Унитарный случай соответствует пределу большого магнитного поля, когда куперонные моды подавлены. Переход от ортогональной к унитарной сг-модели происходит тогда, когда поток магнитного поля через сечение провода на длине локализации ф ~ Н£\/Л становится порядка кванта потока фо — Лс/е, см. напр. [300] а предэкспонента выражается через компоненты суперматрицы С^:

РМ = ЖЫО*!) + *(гь Г2) (4.4)

Возникающий здесь множитель &(г1,г2) = (1т(?л(г1,г2))2/(7Г1/)2 учитывает фри-делевские осцилляции [301,112], неуниверсальным образом зависящие от геометрии образца. Функция &(г*1,г2) равна 1 в совпадающих точках и быстро затухает на длине волны 2тг/кр. При выводе Р[0\ мы пренебрегли отличием С2(х\) от ф(ж2), что справедливо в пределе2 |г*1 — г2|

В унитарном случае длина локализации £ = 27г0^1 [45, 112], где = Ли — «одномерная» плотность состояний, а А — поперечное сечение провода. Соответственно, расстояние между уровнями на длине локализации определено как (4тг 2Ви\)-\ (4.5)

В силу того, что предэкспонента (4.4) зависит только от ъ точке Х\, функциональный интеграл (4.2) может быть сведен к обычному интегралу но суперматрице <2 =

I Р[д}е-8МО<3(х) = У Р{0)Ъ2{й)(1й, (4.6) где

Ф(2) = [ е-3^Од(х>х1). (4.7)

Для вычисления функционального интеграла (4.7) используется идея трансфер-матрицы, позволяющая найти Ф(<2) как нулевую моду3 соответствующего суперматричного гамильтониана [46]. В силу того, что единственной матрицей, нарушающей симметрию в действии является Л, Ф((2) должна быть инвариантна по отношению к сопряжению матрицами, коммутирующими с Л. Поэтому удобно использовать Ефетовскую параметризацию (А6), в которой Ф(О) = Ф(Лр, Ав) зависит только от «радиальных» переменных Ар и Ав, параметризующих РР и ВВ сектора матрицы О,. Вычисляя интеграл по всем остальным — «угловым» — переменным, находим:

Я(а;; 1*1, г2) = 1 + А(и) + к( гь г 2)В(и), (4.8) где

А{ш) = ^ Яе у1 ¿Ар с/А в Ф2(АГ, Ав), (4.9)

ЛИ = |11е Г ¿Ар ГаАв Ф2(Ар, Ав). (4.10) J-l J1 Ав — Лр

2Строго говоря, это условие относится к наиболее интересному для нас случаю сильной локализации и < Д^. В обратном пределе, и > нужно требовать |г1 — г2| у/Б/и.

3Имее1Ся в виду бесконечный провод. Если расстояние от точки наблюдения до конца провода сопоставимо с необходимо учитывать возбужденные состояния трансферматричного гамильтониана.

У г / Г1

3 г' 2 х

Рис. 4.1: К построению координат вытянутого эллипсоида вращения. Показана плоскость ху, соответствующая <р = 0.

Нулевая мода трансферматричного гамильтониана и трехмерная кулоновская задача

Функция Ф(АР, Ав) является нулевой модой (ЯФ = 0) трансферматричного гамильтониана в «синглетном» секторе [45, 46]:

Н =

Ав - АР)5 д 1

А2р д д

А2В д дХ¥ (Ав - Ар)2 дХР дХв{Хв - Ар)2дАв. ги> 4Дс

Ав-Ар) (4.11) с граничным условием Ф(1,1) = 1, специфическим для суиерсимметрии.

Свойства гамильтониана (4.11) при и = 0, описывающего свободное движение на и( 1,1|2)/£/(1|1) х £/(1|1), подробно исследовались в работах [302, 303].

В режиме сильной локализации (конечная, но маленькая ш <С Д$) нулевая мода зависит только от некомпактной бозонной переменной [46]: Ф(Ар,Ав) ~ у/—2г(и>/А^)Хв х К\(2г(а;/Д^)Ав), где Кх — функция Макдональда.

Для того, чтобы найти точное решение уравнения ЯФ = 0 при произвольном отношении заметим, что кинетическая часть гамильтониана (4.11) отчасти напоминает трехмерный оператор Лапласа, записанный в координатах вытянутого эллипсоида вращения. Дополняя пару (Ар,Ав) угловой переменной <р € [0,2ж), параметризуем трехмерное пространство с помощью х = 1 + А]

Дв, Щ-^-АЙМ-чИ- (4.12)

В таком представлении Ар = (г — г\)/2 и Ав = (г + п)/2 выражаются через фокальные радиусы г и п, см. Рис. 4.1. Делая подстановку Ф = ГхФ, уравнение ЯФ = 0 вместе с граничным условием Ф(1,1) = 1 можно представить в виде единого уравнения4 на функцию Ф(г):

Ф(г) = -4тг6(3)(г - г'),

4.13) где г' — трехмерный вектор, соединяющий фокальные точки (0,0,0) и (2,0,0), так что |г — г'| = г\. Сопоставляя (4.13) с уравнением (V2 — 2а/г + г') =

5(3)(г —г'), задающим функцию Грина в кулоновском потенциале а/г на энергии силу аксиальной симметрии, функция Ф(г), очевидно, не зависит от угла <р. к2/2, мы приходим к выводу, что Ф = —47гСо(г, г') определяется функцией Грина на нулевой энергии в кулоновском поле5 (мнимого) заряда a = — iui/AA^.

Кулоновская функций Грина имеет очень простой вид в координатном представлении, обнаруженный в работе Хостлера и Пратта [304]: гГС 1 4- i^)

Gk{Г, г') = (du - dv)W-ia/ktl/2(-iku) M-ic/bwi-ikv), (4.14) где u — г + г' + |г — r'|, v = г + г' — |r — r'|, a W и М — функции Уиттекера. Беря предел Аг —^ 0, мы получаем точное выражение для нулевой моды Ф = —4тг|г — r'|Go(r, г'):

Ф(АР, Ав) = К0(р) qh(q) + рК\(р) I0(q), (4.15) где обозначено р = у/—2г(а;/Д^)(Ав + 1) и q= л/—2г(ш/A^)(XF + 1).

Построенное отображение на трехмерную кулоновскую задачу раскрывает высокую симметрию трансферматричного гамильтониана (4.11). Все орбиты классического движения в кулоновском потенциале являются замкнутыми, что связано с наличием дополнительного интеграла движения — так называемого вектора Рунге-Ленца [305]. В квантовой механике операторы, соответствующие различным компонентам вектора Рунге-Ленца, вместе с операторами углового момента образуют алгебру, изоморфную алгебре 0(4) вращений четырехмерного пространства [306, 307, 308]. Эта симметрия была использована Швингером [309] для построения кулоновской функции Грина в импульсном представлении. Отметим однако, что при выводе выражения (4.14) Хостлер и Пратт [304] не использовали явным образом 0(4) симметрию задачи.

Выражение для парного коррелятора

Знание нулевой моды Ф(Ар, Ав) позволяет в явном виде вычислить функции А(и>) and B(u>), входящие в уравнение (4.8)6:

ЛИ = 1 Re {к2 [/?(*) - 10(к)12(к)][К2(к) - К0{к)К3{к)] - 12(к)К2(к)}, (4.16) В(и) = | Щ10(к)К2(к) + /i(K)ffi(«) + 1г(к)К0(к)], (4.17) где к = \/—4гш/А^. А(и>) и B(ui) являются монотонными функциями своего аргумента, причем А(и) отрицательна с А(оо) = 0 и Л(0) = —1/3, а В (и) положительна с В(об) = 0 и В(0) = 2/3. Их асимптотические разложения имеют

5Сведение трансферматричного гамильтониана к трехмерной кулоновской задаче возможно только для нулевой моды. Для возбужденных мод уравнение //Ф = соответствует кван-товомеханическому движению в нецентральном поле —iuj/— Е/гг\.

6При выводе (4.16) и (4.17) существенно использовалась мнимость к2 (uj действительна).

R(u-, гьг2)

1.4 iícoins(a>) = 1 + А(ш) + В(ш)

1.2 3

0.8

Рис. 4.2: Поведение коррелятора локальных плотностей состояний в зависимости от отношения со/А^: ЯС01П!3(и;) — в совпадающих точках, Rdoaв(uJ) — при кр1 « |г!-г2| следующий вид:

Асимптотики в металлическом режиме (из Д^) могут быть получены но теории возмущений путем разложения по диффузным модам.

В совпадающих точках коррелятор RC01DS(u>) = 1+А(из)+В(ш) больше единицы (верхняя кривая на Рис. 4.2). Он начинается с ñcolns(0) = 4/3 в сильно локализованном режиме, имеет максимум при из ~ Д^, и медленно (как \JА^/и) выходит на неко1)релированный предел R(оо) = 1 в металлическом режиме (и Д^). Такое поведение кардинальным образом отличается от строго одномерного случая, где R\^as(u) = 1 не зависит от из.

В близких точках, при кр1 |ri — г2| коррелятор (4.8) не зависит от ri — г2| и равен Rclose(w) = 1 + А(ш), что меньше единицы (нижняя кривая на Рис. 4.2). Такое поведение можно характеризовать как отталкивание уровней, которое, однако, является довольно слабым, i2close(0) = 2/3, по сравнению с идеальным отталкиванием уровней в теории случайных матриц, где R(0) = 0. Примечательно, что найденное значение 2/3 в точности совпадает с результатом для строгой одномерии при из —> 0 в эквивалентной области кр1 <г< дополученные выражения позволяют сравнить корреляции волновых функций в с i poro одномерной и квазиодномерной геометриях. Известно, чго статистики одной волновой функции в обоих случаях тесно связаны [112]: статистики огибающих волновой функции совпадают, а их коротковолновые составляющие отличаются. Впервые полученные нами результаты для коррелятора локальных ш < из > из < Дс, из »

4.19)

4.18) плотностей состояний в квазиодномерии позволяют сравнить корреляции различных волновых функций в Ш и С}Ш задачах. Наиболее яркое расхождение между ними наблюдается в совпадающих точках: наш результат для Дсошз(и>) нетривиально зависит от частоты, оставаясь всегда больше единицы (верхняя кривая на Рис. 4.2), в то время как в строгой одномерии ¡^^(и) = 1 [299].

Однако, в силу того, что расстояния меньше длины волны вряд ли могут быть экспериментально разрешены, более наглядно сравнить №1ове(и;) на масштабах 1Г1 ~ 1*21 больших кр1 и меньших длины локализации (£ в С^Ш, и I в Ш геометриях). В строго одномерной задаче [297, 299]

1 - 5 Г = I ■* ■^ ^+ • • • • <4-20> что уже во втором члене степенью большого логарифма отличается от полученного нами выражения в области сильной локализации:

Я1**» = 1 + ЛИ = \ + ММ! 1п2(Дс/и;) + . (4.21) о о

Таким образом, мы приходим к выводу, что сходство между 1Э и С^Ш локализацией, наблюдаемое в корреляциях одной волновой функции, не обобщается на корреляции разных волновых функций.

Отметим, в заключение, что аналогичным образом может быть вычислен коррелятор плотность-плотность, который определяет кинетические характеристики провода. В пределе |г! — гэ| £

1тС£д(гь г2) 1тС?«+ш(г2, п)> = (то/)2 [В(и) + Цги г2)(1 + Л(и))]. (4.22)

К сожалению, уравнения (4.22) недостаточно для вычисления проводимости. Для этого необходимо знание коррелятора плотность-плотность на масштабах |п — г2| ~ что требует учета возбужденных состояний трансфер-матричного гамильтониана в «триплетном» секторе [46, 45].

Тем не менее, точное выражение (4.15) для нулевой моды является необходимым ингредиентом для вычисления как Щш;г1,г2) при |гх — г2| > так и низкочастотной проводимости в квазиодномерных системах.

Заключение

Из представленного цикла исследований могут быть сделаны следующие выводы:

1. В сложных электронных системах с неинтегрируемой динамикой под действием гармонического возмущения возникает динамическая локализация — локализация в пространстве энергий. При этом класс универсальности задачи отличается от модели квантового ротатора, возбуждаемого периодическими толчками.

2. Поглощение энергии комплексными электронными системами в магнитном иоле под действием возмущения, линейно растущего со временем, может быть описано формулой Кубо при произвольной скорости возмущения. В этом режиме все квантовые поправки обращаются в нуль.

3. Несмотря на специфические спектральные корреляции в коре вихря в умеренно чистом слоистом сверхпроводнике, сопротивление в режиме течения потока описывается формулой Бардина-Стивена, вне зависимости от скорости течения потока.

4. В двумерных N8 системах эффекты куперовского взаимодействия на под-щелевой транспорт логарифмически растут с расстоянием, что приводит к немонотонной зависимости андреевского кондактанса от температуры.

5. В системе из маленьких сверхпроводящих гранул размера (1 на пленке нормального металла квантовые флуктуации фазы подавляют макроскопическую сверхпроводимость при нулевой температуре, если расстояние между островками превышает величину ¿ехр(а^/д), где д — безразмерный кондак-танс пленки, а а — число порядка единицы, зависящее от величины взаимодействия в металле.

0. Андреевское отражение от сверхпроводящих гранул является эффективным каналом дефазировки нормальных электронов. Соответствующая скорость сбоя фазы слабо зависит от температуры и в широкой области параметров превосходит скорость сбоя фазы за счет кулоновского взаимодействия.

7. Мезоскопические флуктуации в тонких однородно разупорядоченных сверхпроводящих пленках существенно возрастают вблизи квантового фазового перехода сверхпроводник - нормальный металл, обусловленного ку-лоновским подавлением притяжения в куперовском канале. Флуктуации проявляются в сильной пространственной неоднородности локальной критической температуры, что приводит к перколяционной природе сверхпроводящего перехода при конечных температурах.

8. Для нахождения мезоскопических флуктуаций джозефсоновского тока крайне важно аккуратно учитывать пространственно неоднородный эффект близости в нормальной области. Пренебрежение им приводит к недооценке амплитуды эффекта в несколько раз.

9. В задаче о квазиодномерной андерсоновской локализации в зависимости от расстояния между точками наблюдения может наблюдаться как отталкивание, так и притяжение энергетических уровней. Различные волновые функции скоррелированы по-разному в строго одномерной и квазиодномерной задачах.

1. J1. П. Горьков, А. И. Ларкин и Д. Е. Хмельницкий, Проводимость частицы в двумерном случайном потенциале, Письма в ЖЭТФ 30, 248 (1979).

2. Е. Abrahams, P. W. Anderson, D. С. Licciardello, and Т. V. Ramakrishnan, Scaling Theory of Localization: Absence of Quantum Diffusion in Two Dimensions, Phys. Rev. Lett. 42, 673 (1979).

3. Б. Л. Альтшулер, Флуктуации остаточной проводимости неупорядоченных проводников, Письма в ЖЭТФ 41, 530 (1985).

4. P. A. Lee and A. D. Stone, Universal Conductance Fluctuations in Metals, Phys. Rev. Lett. 55, 1622 (1985).

5. S. Washburn and R. A. Webb, Aharonov-Bohm effect in normal metal quantum coherence and transport, Adv. Phys. 35, 375 (1986).

6. B. L. Altshuler, P. A. Lee, and R. A. Webb, editors, Mesoscopic Phenomena in Solids (Elsevier Science Publishers В. V., North-Holland, 1991).

7. E. P. Wigner, The mobility edge problem: Continuous symmetry and a conjecture, Ann. Math. 53, 36 (1951).

8. F. J. Dyson, The Threefold Way. Algebraic Structure of Symmetry Groups and Ensembles in Quantum Mechanics, J. Math. Phys. 102, 1199 (1962).

9. Л. П. Горьков и Г. M. Элиашберг, Мелкие металлические частицы в электромагнитном поле, ЖЭТФ 48, 1407 (1965).

10. К. В. Efetov, Supersymmetry and theory of disordered metals, Adv. Phys. 32, 53 (1983).

11. M. L. Mehta, Random Matrices (Academic Press, Boston, 1991).

12. C. W. J. Beenakker, Random-matrix theory of quantum transport, Rev. Mod. Phys. 69, 731 (1997).

13. L. Kouwenhoven and С. M. Marcus, Quantum Dots, Phys. World 11, 35 (1998).

14. I. L. Aleiner, P. W. Brouwer, and L. I. Glazman, Quantum effects in Coulomb blockade, Phys. Rep. 358, 309 (2002).

15. A. J. Efros and M. Pollack, editors, Electron-Electron Interactions in Disordered Conductors (Elsevier Science Publishers В. V., North-Holland, 1985).

16. B. L. Altshuler, A. G. Aronov, and D. E. Khmelnitsky, Effects of electron-electron collisions with small energy transfers on quantum localisation, J. Phys. С 15, 7367 (1982).

17. В. Pannetier and H. Courtois, Andreev Reflection and Proximity effect, J. Low Temp. Phys. 118, 599 (2000).

18. А. А. Голубов и M. Ю. Куприянов, Эффект Дэ/созсфсона в туннельных SNINS- u SNIS- структурах с конечной прозрачностью SN-границ, ЖЭТФ 96, 1420 (1989).

19. JI. Г. Асламазов, А. И. Ларкин и Ю. Н. Овчинников, Эффект Джозефсона в сверхпроводниках, разделенных нормальным металлом, ЖЭТФ 55, 323 (1968).

20. Б. Л. Альтшулер и Б. 3. Спивак, Мезоскопические флуктуации в контакте сверхпроводник-нормальный металл-сверхпроводник, ЖЭТФ 92, 607 (1987).

21. Н. Takayanagi, J. В. Hansen, and J. Nitta, Mesoscopic Fluctuations of the Critical Current in a Superconductor—Normal-Conductor—Superconductor, Phys. Rev. Lett. 74, 166 (1995).

22. Y.-J. Doh, J. A. van Dam, A. L. Roest, E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenhoven, and S. De Franceschi, Tunable Supercurrent Through Semiconductor Nanowires, Science 309, 272 (2005).

23. D. B. Haviland, Y. Liu, and A. M. Goldman, Onset of superconductivity in the two-dimensional limit, Phys. Rev. Lett. 62, 2180 (1989).

24. A. F. Hebard and M. A. Paalanen, Magnetic-field-tuned superconductor-insulator transition in two-dimensional films, Phys. Rev. Lett. 65, 927 (1990).

25. V. F. Gantinakher, M. V. Golubkov, V. T. Dolgopolov, G. E. Tsydynzhapov, and A. A. Shashkin, Scaling analysis of the magnetic-field-tuned quantum transition in superconducting amorphous In-0 films, Письма в ЖЭТФ 71, 231 (2000).

26. N. Mason and A. Kapitulnik, True superconductivity in a two-dimensional superconducting-insulating system, Phys. Rev. В 64, 060504 (2001).

27. A. M. Фиикелыптейн, О температуре сверхпроводящего перехода в аморфных пленках, Письма в ЖЭТФ 45, 37 (1987).

28. A. M. Finkelstein, Suppression of superconductivity in homogeneously disordered systems, Physica B 197, 636 (1994).

29. A. I. Larkin, Superconductor-Insulator Transitions in Films and Bulk Materials, Ann. Phys. (Leipzig) 8, 507 (1999).

30. M. P. A. Fisher,' Quantum phase transitions in disordered two-dimensional superconductors, Phys. Rev. Lett. 65, 923 (1990).

31. M. V. Feigel'man, L. B. Ioffe, V. E. Kravtsov, and E. A. Yuzbashyan, Eigenfunction Fractality and Pseudogap State near the Superconductor-Insulator Transition, Phys. Rev. Lett. 98, 027001 (2007).

32. M. G. Vavilov and I. L. Aleiner, Conductance fluctuations of open quantum dots under microwave radiation, Phys. Rev. B 64, 085115 (2001).

33. M. G. Vavilov, Quantum chaotic scattering in time-dependent external fields: random matrix approach, J. Phys. A: Math. Gen. 38, 10587 (2005).

34. P. W. Brouwer, Scattering approach to parametric pumping, Phys. Rev. B 58, R10135 (1998).

35. M. G. Vavilov, V. Ambegaokar, and I. L. Aleiner, Charge pumping and photovoltaic effect in open quantum dots, Phys. Rev. B 63, 195313 (2001).

36. R. G. Mani, J. H. Smet, K. von Klitzing, V. Narayanamurti, W. B. Johnson, and V. Umansky, Zero-resistance states induced by electromagnetic-wave excitation in GaAs/AlGaAs heterostructures, Nature 420, 646 (2002).

37. M. A. Zudov, R. R. Du, L. N. Pfeiffer, and K. W. West, Evidence for a New Dissipationless Effect in 2D Electronic Transport, Phys. Rev. Lett. 90, 046807 (2003).

38. G. Casati, B. V. Chirikov, J. Ford, and F. M. Izrailev, Stochastic behavior of a quantum pendulum under a periodic perturbation, Lect. Notes Phys. 93, 334 (1979).

39. F. M. Izrailev, Simple models of quantum chaos: Spectrum and eigenfunctions, Phys. Rep. 196, 299 (1990).

40. F. L. Moore, J. C. Robinson, C. Bharuclia, P. E. Williams, and M. G. Raizen, Observation of Dynamical Localization in Atomic Momentum Transfer: A New Testing Ground for Quantum Chaos, Phys. Rev. Lett. 73, 2974 (1994).

41. B. Hu, B. Li, J. Liu, and Y. Gu, Quantum Chaos of a Kicked Particle in an Infinite Potential Well, Phys. Rev. Lett. 82, 4224 (1999).

42. М. Wilkinson and E. J. Austin, Dynamics of a generic quantum system under a periodic perturbation, Phys. Rev. A 46, 64 (1992).

43. К. Б. Ефетов, А. И. Ларкин и Д. E. Хмельницкий, Взаимодействие диффузионных мод в теории локализации, ЖЭТФ 79, 1120 (1980).

44. F. J. Wegner, The mobility edge problem: Continuous symmetry and a conjecture, Z. Phys. В 35, 207 (1979).

45. К. В. Efetov, Supersymmetry in Disorder and Chaos (Cambridge University Press, New York, 1997).

46. К. Б. Ефетов и А. И. Ларкин, Кинетика квантовой частицы в длинных металлических проволоках, ЖЭТФ 85, 764 (1983).

47. А. М. Finkel'stein, Electron Liquid in Disordered Conductors, volume 14 of Soviet Scientific Reviews, edited by I. M. Khalatnikov (Harwood Academic, London, 1990).

48. D. Belitz and T. R. Kirkpatrick, The Anderson-Mott transition, Rev. Mod. Phys. 66, 261 (1994).

49. A. Kamenev and A. Andreev, Electron-electron interactions in disordered metals: Keldysh formalism, Phys. Rev. В 60, 2218 (1999).

50. C. Chamon, A. W. W. Ludwig, and C. Nayak, Schwinger-Keldysh approach to disordered and interacting electron systems: Derivation of Finkelstein's renormalization-group equations, Phys. Rev. В 60, 2239 (1999).

51. A. I. Larkin and Y. N. Ovchinnikov, Vortex motion in superconductors, in

52. D. N. Langenberg and A. I. Larkin, editors, Nonequilibrium Superconductivity (Elsevier, New York, 1986).

53. K. D. Usadel, Generalized Diffusion Equation for Superconducting Alloys, Phys. Rev. Lett. 25, 507 (1970).

54. R. Landauer, Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices, Philos. Mag. 21, 863 (1970).

55. C. W. J. Beenakker and M. Biittiker, Suppression of shot noise in metallic diffusive conductors, Phys. Rev. В 46, 1889 (1992).

56. B. A. Muzykantskii and D. E. Khmelnitskii, Effective action in theory of quasi-ballistic disordered conductors, Письма в ЖЭТФ 62, 68 (1995).

57. A. V. Andreev, О. Agam, В. D. Simons, and B. L. Altshuler, Quantum Chaos, Irreversible Classical Dynamics, and Random Matrix Theory, Phys. Rev. Lett. 76, 3947 (1996).

58. А. V. Andreev, В. D. Simons, О. Agam, and В. L. Altshuler, Semiclassical field theory approach to quantum chaos, Nucl. Phys. В 482, 536 (1996).

59. T. Guhr, A. Mueller-Groeling, and H. A. Weidenmueller, Random-matrix theories in quantum physics: common concepts, Phys. Rep. 299, 189 (1998).

60. B. D. Simons and B. L. Altshuler, Universal velocity correlations in disordered and chaotic systems, Phys. Rev. Lett. 70, 4063 (1993).

61. B. D. Simons and B. L. Altshuler, Universalities in the spectra of disordered and chaotic systems, Phys. Rev. В 48, 5422 (1993).

62. I. E. Smolyarenko, F. M. Marchetti, and B. D. Simons, Parametric Spectral Correlations in Disordered and Chaotic Structures, Phys. Rev. Lett. 88 (25), 256808 (2002).

63. C. Itzykson and J.-B. Zuber, The planar approximation. II, J. Math. Phys. 21, 411 (1980).

64. Y. Gefen and D. J. Thouless, Zener transitions and energy dissipation in small driven systems, Phys. Rev. Lett. 59, 1752 (1987).

65. V. I. Yudson, E. Kanzieper, and V. E. Kravtsov, Limits of the dynamical approach to the nonlinear response of mesoscopic systems, Phys. Rev. В 64, 045310 (2001).

66. A. G. Huibers, J. A. Folk, S. R. Patel, С. M. Marcus, С. I. Duruoz, and J. S. Harris, Low-Temperature Saturation of the Dephasing Time and Effects of Microwave Radiation on Open Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 83, 5090 (1999).

67. L. DiCarlo, С. M. Marcus, and J. S. Harris, Photocurrent, Rectification, and Magnetic Field Symmetry of Induced Current through Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 91, 246804 (2003).

68. R. Kubo, A general expression for the conductivity tensor, Can. J. Phys. 34, 1274 (1956).

69. G. D. Mahan, Many-particle physics (Kluwer, Boston, 2000).

70. М. Wilkinson, Statistical aspects of dissipation by Landau-Zener transitions, J. Phys. A: Math. Gen. 21, 4021 (1988).

71. B. L. Altshuler and A. G. Aronov, Electron-electron interactions in disordered conductors, in A. J. Efros and M. Pollack, editors, Electron-electron interactions in disordered systems (Elsevier Science Publishers В. V., North-Holland, 1985).

72. U. Sivan, Y. Imry, and A. G. Aronov, Quasi-Particle Lifetime in a Quantum Dot, Europhys. Lett. 28, 115 (1994).

73. Y. M. Blanter and A. D. Mirlin, Gor'kov and Eliashberg linear-response theory: Rigorous derivation and limits of applicability, Phys. Rev. В 53, 12601 (1996).

74. U. Sivan and Y. Imry, Energy-level correlation function and ac conductivity of a finite disordered system, Phys. Rev. В 35, 6074 (1987).

75. В. Reulet and H. Bouchiat, ac conductivity of mesoscopic rings: The discrete-spectrum limit, Phys. Rev. В 50, 2259 (1994).

76. M. V. Feigel'man and M. A. Skvortsov, Anomalous Flux-Flow Dynamics in Layered Type-II Superconductors at Low Temperatures, Phys. Rev. Lett. 78, 2640 (1997).

77. M. A. Skvortsov, D. A. Ivanov, and G. Blatter, Vortex viscosity in the moderately clean limit of layered superconductors, Phys. Rev. В 67, 014521 (2003).

78. A. I. Larkin and Y. N. Ovchinnikov, Resistance of layered superelean superconductors at low temperatures, Phys. Rev. В 57, 5457 (1998).

79. A. A. Koulakov and A. I. Larkin, Vortex density of states and absorption in clean layered superconductors, Phys. Rev. В 60, 14597 (1999).

80. L. D. Landau, Zur Theorie der Energieübertragung. II, Phys. Z. Sowjetunion 2, 46 (1932).

81. C. Zener, Non-Adiabatic Crossing of Energy Levels, Proc. R. Soc. London, Ser. A 137, 696 (1932).

82. Л. В. Келдыш, Диаграммная техника для неравновесных процессов, ЖЭТФ 47, 1515 (1964).

83. Е. М. Лифшиц и Л. П. Питаевский, Физическая кинетика (М.: Наука, 1979).

84. J. Rammer and Н. Smith, Quantum field-theoretical methods in transport theory of metals, Rev. Mod. Phys. 58, 323 (1986).

85. М. L. Horbach and G. Schon, Dynamic nonlinear sigrna model of electron localization, Ann. Phys. (Leipzig) 2, 51 (1993).

86. A. Altland and A. Kamenev, Wigner-Dyson Statistics from the Keldysh o-Model, Phys. Rev. Lett. 85, 5615 (2000).

87. A. V. Andreev and B. L. Altshuler, Spectral Statistics beyond Random Matrix Theory, Phys. Rev. Lett. 75, 902 (1995).

88. M. A. Skvortsov, Quantum correction to the Kubo formula in closed mesoscopic systems, Phys. Rev. В 68, 041306(R) (2003).

89. D. M. Basko, M. A. Skvortsov, and V. E. Kravtsov, Dynamic localization in quantum dots: analytical theory, Phys. Rev. Lett. 90, 096801 (2003).

90. M. A. Skvortsov, D. M. Basko, and V. E. Kravtsov, Energy absorption in time-dependent unitary random matrix ensembles: dynamic vs Anderson localization, Письма в ЖЭТФ 80, 60 (2004).

91. D. A. Ivanov and M. A. Skvortsov, Quantum mechanics with a time-dependent random unitary Hamiltonian: A perturbative study of the nonlinear Keldysh sigma-model, Nucl. Phys. В 737, 304 (2006).

92. M. G. Vavilov and I. L. Aleiner, Theory of dephasing by external perturbation in open quantum dots, Phys. Rev. В 60, R16311 (1999).

93. X.-B. Wang and V. E. Kravtsov, Conductance fluctuations in a quantum dot under almost periodic ac pumping, Phys. Rev. В 64, 033313 (2001).

94. F. J. Dyson, General Theory of Spin-Wave Interactions, Phys. Rev. 102, 1217 (1956).

95. F. J. Dyson, Thermodynamic Behavior of an Ideal Ferromagnet, Phys. Rev. 102, 1230 (1956).

96. С. В. Малеев, Рассеяние медленных нейтронов в ферромагнетиках, ЖЭТФ 33, 1010 (1957).

97. A. Gruzberg, N. Read, and S. Sachdev, Conductance and its universal fluctuations in the directed network model at the crossover to the quasi-one-dimensional regime, Phys. Rev. В 56, 13218 (1997).

98. V. E. Kravtsov, Dephasing and Dynamic Localization in Quantum Dots, e-print cond-mat/0312316 (2003).

99. G. Casati, I. Guarneri, and D. L. Shepelyansky, Anderson Transition in a One-Dimensional System with Three Incommensurate Frequencies, Phys. Rev. Lett. 62, 345 (1989).

100. Х.-Ю. Штокман, Квантовый хаос (М.: Физматлит, 2004).

101. S. Iida, Н. A. Weidenmiiller, and J. A. Zuk, Statistical scattering theory, the supersymmetry method and universal conductance fluctuations, Ann. Phys. (NY) 200, 219 (1990).

102. S. Fishman, D. R. Grempcl, and R. E. Prange, Chaos, Quantum Recurrences, and Anderson Localization, Phys. Rev. Lett. 49, 509 (1982).

103. D. R. Grempel, R. E. Prange, and S. Fishman, Quantum dynamics of a nonintegrable system, Phys. Rev. A 29, 1639 (1984).

104. G. Casati, L. Molinari, and F. Izrailev, Scaling properties of band random matrices, Phys. Rev. Lett. 64, 1851 (1990).

105. Y. V. Fyodorov and A. D. Mirlin, Scaling properties of localization in random band matrices: A a-model approach, Phys. Rev. Lett. 67, 2405 (1991).

106. A. Altland and M. R. Zirnbauer, Field Theory of the Quantum Kicked Rotor, Phys. Rev. Lett. 77, 4536 (1996).

107. G. Casati and I. Guarneri, Non-recurrent behaviour in quantum dynamics, Commun. Math. Phys. 95, 121 (1984).

108. G. Casati, F. M. Izrailev, and V. V. Sokolov, Comment on "Dynamical Theory of Quantum Chaos or a Hidden Random Matrix Ensemble?", Phys. Rev. Lett. 80, 640 (1998).

109. A. Altland, Diagrammatic approach to Anderson localization in the quantum kicked rotator, Phys. Rev. Lett. 71, 69 (1993).

110. C. Tian, A. Kamenev, and A. Larkin, Weak Dynamical Localization in Periodically Kicked Cold Atomic Gases, Phys. Rev. Lett. 93, 124101 (2004).

111. A. D. Mirlin, Statistics of energy levels and eigenfunctions in disordered systems, Phys. Rep. 326, 259 (2000).

112. D. M. Basko, Hopping between Localized Floquet States in Periodically Driven Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 91, 206801 (2003).

113. D. M. Basko and V. E. Kravtsov, Dynamic Localization and the Coulomb Blockade in Quantum Dots under ac Pumping, Phys. Rev. Lett. 93, 056804 (2004).

114. D. M. Basko and V. E. Kravtsov, Coulomb blockade in quantum dots under ac pumping, Phys. Rev. В 71, 085311 (2005).

115. А. В. Устинов, частное сообщение.

116. L. P. Levy, G. Dolan, J. Dunsmuir, and H. Bouchiat, Magnetization of mesoscopic copper rings: Evidence for persistent currents, Phys. Rev. Lett. 64, 2074 (1990).118 119120121122123124125126127128129130

117. Й. Имри, Введение в мезоскопичекую физику (М.: Физматлит, 2002).

118. B. L. Altshuler, Y. Gefen, A. Kamenev, and L. S. Levitov, Quasiparticle Lifetime in a Finite System: A Nonperturbative Approach, Phys. Rev. Lett. 78, 2803 (1997).

119. V. Gornyi, A. D. Mirlin, and D. G. Polyakov, Interacting Electrons in Disordered Wires: Anderson Localization and Low-T Transport, Phys. Rev. Lett. 95, 206603 (2005).

120. D. M. Basko, I. L. Aleiner, and B. L. Altshuler, Metal-insulator transition in a weakly interacting many-electron system with localized single-particle states, Phys. Rev. В 321, 1126 (2005).

121. A. V. Shytov, Dissipative Landau-Zener Tunneling at Marginal Coupling, e-print cond-mat/0001012 (2000).

122. J. J. Duistermaat and G. Heckman, On the variation in the cohomology of the symplectic form of the reduced phase space, Inv. Math. 69, 259 (1982).

123. J. J. Duistermaat and G. Heckman, Addendum to "on the variation in the cohomology of the symplectic form of the reduced phase space", Inv. Math. 72, 153 (1983).

124. M. R. Zirnbauer, Another critique of the replica trick, e-print cond-mat/9903338 (1999).

125. J. Bardeen and M. J. Stephen, Theory of the Motion of Vortices in Superconductors, Phys. Rev. 140, A1197 (1965).

126. C. Caroli, P. G. de Gennes, and J. Matricon, Bound Fermion states on a vortex line in a type II superconductor, Phys. Lett. 9, 307 (1964).

127. Л. П. Горьков и H. Б. Копнин, Вязкое течение вихрей в сверхпроводящих сплавах второго рода, ЖЭТФ 65, 396 (1973).

128. J. Bardeen and R. D. Sherman, Flux flow in nearly pure low-к superconductors, Phys. Rev. В 12, 2634 (1975).

129. А. И. Ларкин и Ю. H. Овчинников, Вязкость вихрей в чистых сверхпроводниках, Письма в ЖЭТФ 23, 210 (1976).

130. Н. Б. Копнин и В. Е. Кравцов, Проводимость и эффект Холла чистых сверхпроводников второго рода при низких температурах, Письма в ЖЭТФ 23, 631 (1976).

131. N. В. Kopnin, On the sign of the intrinsic Hall effect in clean superconductors, Письма в ЖЭТФ 60, 123 (1994).

132. N. В. Kopnin and A. V. Lopatin, Flux-flow Hall effect in clean type-II superconductors, Phys. Rev. В 51, 15291 (1995).

133. F. Guinea and Y. Pogorelov, Vortex Viscosity in Superconductors with Short Coherence Length, Phys. Rev. Lett. 74, 462 (1995).

134. M. A. Skvortsov, V. E. Kravtsov, and M. V. Feigel'man, Level statistics inside the core of a superconductive vortex, Письма в ЖЭТФ 68, 78 (1998).

135. R. Bundschuh, С. Cassanello, D. Serban, and M. R. Zirnbauer, Localization of quasiparticles in a disordered vortex, Nucl. Phys. В 532, 689 (1998).

136. A. Altland and M. R. Zirnbauer, Nonstandard symmetry classes in mesoscopic normal-superconducting hybrid structures, Phys. Rev. В 55, 1142 (1997).

137. E. Brezin, S. Hikami, and A. I. Larkin, Level statistics inside the vortex of a superconductor and symplectic random-matrix theory in an external source, Phys. Rev. В 60, 3589 (1999).

138. A. Fujita, Level statistics for the quasiparticle spectra inside a two-dimensional vortex core with impurities, Phys. Rev. В 62, 15190 (2000).

139. M. А. Скворцов, Статистика уровней и локализация в двумерных системах с киралъным электронным спектром, кандидатская диссертация (Черноголовка, 1998).

140. L. Kramer and W. Pesch, Core structure and low-energy spectrum of isolated vortex lines in clean superconductors atT Tc, Z. Phys. 269, 59 (1974).

141. M. A. Skvortsov and M. V. Feigel'man, Mesoscopics in vortex core: level statistics and transport properties, Physica С 332, 432 (2000).

142. G. Deutscher and P. G. de Gennes, in R. D. Parks, editor, Superconductivity, volume 2, p. 1005 (Marcel Dekker, New York, 1969).

143. А. Ф. Андреев, Теплопроводность промежуточного состояния сверхпроводников, ЖЭТФ 46, 1823 (1964).

144. Y. V. Nazarov, Limits of universality in disordered conductors, Phys. Rev. Lett. 73, 134 (1994).

145. Y. V. Nazarov, Circuit Theory of Andreev Conductance, Phys. Rev. Lett. 73, 1420 (1994).

146. S. Maekawa and H. Fukuyama, Localization Effects in Two-Dimensional Superconductors, J. Phys. Soc. Jpn. 51, 1380 (1982).

147. H. Takagi and Y. Kuroda, Anderson localization and superconducting transition temperature in two-dimensional systems, Solid State Comm. 41, 643 (1982).

148. B. L. Altshuler, A. G. Aronov, and P. A. Lee, Interaction Effects in Disordered Fermi Systems in Two Dimensions, Phys. Rev. Lett. 44, 1288 (1980).

149. M. V. Feigel'man, A. I. Larkin, and M. A. Skvortsov, Keldysh action for disordered superconductors, Phys. Rev. В 61, 12361 (2000).

150. А. И. Ларкин и Ю. H. Овчинников, Нелинейная проводимость сверхпроводников в смешанном состоянии, ЖЭТФ 68, 1915 (1975).

151. А. И. Ларкин и Ю. Н. Овчинников, Нелинейные эффекты при движении вихрей в сверхпроводниках, ЖЭТФ 73, 299 (1977).

152. С. J. Lambert and R. Raimondi, Phase-coherent transport in hybrid superconducting nanostructures, J. Phys. Cond. Mat. 10, 901 (1998).

153. M. A. Skvortsov, A. I. Larkin, and M. V. Feigel'man, Superconductive proximity effect in interacting disordered conductors, Phys. Rev. В 63, 134507 (2001).

154. M. A. Skvortsov, A. I. Larkin, and M. V. Feigel'man, Proximity Action theory of superconductive nanostructures, Usp. Fiz. Nauk (Suppl.) 171, 76 (2001).

155. А. А. Абрикосов и Л. П. Горьков, К теории сверхпроводящих сплавов. 1. Электродинамика сплавов при абсолютном нуле, ЖЭТФ 35, 1558 (1958).

156. А. А. Абрикосов и Л. П. Горьков, Сверхпроводящие сплавы при температурах выше абсолютного нуля, ЖЭТФ 36, 319 (1959).

157. P. W. Anderson, Theory of dirty superconductors, J. Phys. Chem. Solids 11, 26 (1959).

158. А. В. Зайцев, Квазиклассические уравнения теории сверхпроводимости для контактирующих металлов и свойства микроконтактов с сужением, ЖЭТФ 86, 1742 (1984).

159. W. Belzig and Y. V. Nazarov, Full Counting Statistics of Electron Transfer between Superconductors, Phys. Rev. Lett. 87, 197006 (2001).

160. Y. Oreg, P. W. Brouwer, B. D. Simons, and A. Altland, Competition between Zero Bias Anomaly and Proximity Effect in Disordered Systems, Phys. Rev. Lett. 82, 1269 (1999).

161. M. Ю. Куприянов, В. Ф. Лукичев, Влияние прозрачности границ на критический ток SS'S структур, ЖЭТФ 94, 139 (1988).

162. Л. С. Левитов и Г. Б. Лесовик, Распределение заряда в квантовом дробовом шуме, Письма в ЖЭТФ 58, 225 (1993).

163. Н. Lee, L. S. Levitov, and A. Y. Yakovets, Universal statistics of transport in disordered conductors, Phys. Rev. В 51, 4079 (1995).

164. Y. V. Nazarov and D. A. Bagrets, Circuit Theory for Full Counting Statistics in Multiterminal Circuits, Phys. Rev. Lett. 88, 196801 (2002).

165. S. Hikami, Anderson localization in a nonlinear-a-model representation, Phys. Rev. В 24, 2671 (1981).

166. M. V. Feigel'man, A. Kamenev, A. I. Larkin, and M. A. Skvortsov, Weak charge quantization on a superconducting island, Phys. Rev. В 66, 054502 (2002).

167. Т. H. Stoof and Y. V. Nazarov, Kinetic-equation approach to diffusive superconducting hybrid devices, Phys. Rev. В 53, 14496 (1996).

168. J. M. Kosterlitz, Phase Transitions in Long-Range Ferromagnetic Chains, Phys. Rev. Lett. 37, 1577 (1976).

169. V. Ambegaokar, U. Eckern, and G. Schon, Quantum Dynamics of Tunneling between Superconductors, Phys. Rev. Lett. 48, 1745 (1982).

170. С. E. Коршунов, Когерентное и некогерентное туннелирование в джозеф-соновском контакте с "периодической" диссипацией, Письма в ЖЭТФ 45, 342 (1987).

171. М. V. Feigel'man, А. I. Larkin, and М. A. Skvortsov, Quantum superconductor-metal transition in a proximity array, Phys. Rev. Lett. 86, 1869 (2001).

172. M. V. Feigel'man, A. I. Larkin, and M. A. Skvortsov, Quantum superconductor-metal transition in a proximity array, Usp. Fiz. Nauk (Suppl.) 171, 99 (2001).

173. С. W. J. Beenakker, В. Rejaei, and J. A. Melscn, Scaling theory of conduction through a normal-superconductor microbridge, Phys. Rev. Lett. 72, 2470 (1994).

174. S. Iida, H. A. Weidenmiiller, and J. A. Zuk, Wave propagation through disordered media and universal conductance fluctuations, Phys. Rev. Lett. 64, 583 (1990).

175. Y. V. Nazarov, Novel circuit theory of Andreev reflection, Superlattices and Microst. 25, 1221 (1999).

176. Y. M. Blanter and M. Biittiker, Shot noise in mesoscopic conductors, Phys. Rep. 336, 1 (2000).

177. В. А. Хлус, Флуктуации тока и напряжения в микроконтактах нормальных и сверхпроводящих металлов, ЖЭТФ 93, 2179 (1987).

178. В. A. Muzykantskii and D. Е. Khmelnitskii, Quantum shot noise in a normal-metal-superconductor point contact, Phys. Rev. В 50, 3982 (1994).

179. M. J. M. de Jong and C. W. J. Beenakker, Doubled shot noise in disordered normal-metal-superconductor junctions, Phys. Rev. В 49, 16070 (1994).

180. С. W. J. Beenakker, Quantum transport in semiconductor-superconductor microjunctions, Phys. Rev. В 46, 12841 (1992).

181. С. J. Lambert, Quantum interference from superconducting islands in a mesoscopic solid, J. Phys. Cond. Mat. 5, 707 (1993).

182. O. N. Dorokhov, On the coexistence of localized and extended electronic states in the metallic phase, Solid State Commun. 51, 381 (1984).

183. F. W. J. Hekking and Y. V. Nazarov, Interference of two electrons entering a superconductor, Phys. Rev. Lett. 71, 1625 (1993).

184. К. E. Nagaev, On the shot noise in dirty metal contacts, Phys. Lett. A 169, 103 (1992).

185. Ю. H. Овчинников, частное сообщение.

186. В. L. Altshuler, D. Khmel'nitzkii, A. I. Larkin, and P. A. Lee, Magnetoresistance and Hall effect in a disordered two-dimensional electron gas, Phys. Rev. В 22, 5142 (1980).

187. A. A. Kozhevnikov, R. J. Schoelkopf, and D. E. Prober, Observation of PhotonAssisted Noise in a Diffusive Normal Metal-Superconductor Junction, Phys. Rev. Lett. 84, 3398 (2000).

188. S. N. Artemenko, A. F. Volkov, and A. V. Zaitsev, On the excess current in microbridges S-c-S and S-c-N, Solid State Commun. 30, 771 (1995).

189. A. Yazdani and A. Kapitulnik, Superconducting-Insulating Transition in Two-Dimensional a-MoGe Thin Films, Phys. Rev. Lett. 74, 3037 (1995).

190. S. Okuma, T. Terashima, and N. Kokubo, Anomalous magnetoresistance near the superconductor-insulator transition in ultrathin films of a — MoxSi 1 — x, Phys. Rev. В 58, 2816 (1998).

191. К. Б. Ефетов, Фазовый переход в гранулированных сверхпроводниках, ЖЭТФ 78, 2017 (1979).

192. R. Fazio and G. Schon, Charge and vortex dynamics in arrays of tunnel junctions, Phys. Rev. В 43, 5307 (1991).

193. H. S. J. van der Zant, F. C. Fritschy, W. J. Elion, L. J. Geerligs, and J. E. Mooij, Field-induced superconductor-to-insulator transitions in Josephson-junction arrays, Phys. Rev. Lett. 69, 2971 (1992).

194. H. S. J. van der Zant, W. J. Elion, L. J. Geerligs, and J. E. Mooij, Quantum phase transitions in two dimensions: Experiments in Josephson-junction arrays, Phys. Rev. В 54, 10081 (1996).

195. P. Delsing, C. D. Chen, D. B. Haviland, Y. Harada, and T. Claeson, Charge solitons and quantum fluctuations in two-dimensional arrays of small Josephson junctions, Phys. Rev. В 50, 3959 (1994).

196. H. M. Jaeger, D. B. Haviland, B. G. Orr, and A. M. Goldman, Onset of superconductivity in ultrathin granular metal films, Phys. Rev. В 40, 182 (1989).

197. V. F. Gantmakher, V. N. Zverev, V. T. Dolgopolov, and A. A. Shashkin, Pair tunneling in the low temperature conductivity of the Cd-Sb alloy high-resistance state near the superconductor-insulator transition, Письма'в ЖЭТФ 64, 713 (1996).

198. M. V. Feigel'man and A. I. Larkin, Charge and vortex dynamics in arrays of tunnel junctions, Chem. Phys. 235, 107 (1998).

199. B. Spivak, A. Zyuzin, and M. Hruska, Quantum superconductor-metal transition, Phys. Rev. В 64, 132502 (2001).

200. G. Schon and A. D. Zaikin, Quantum coherent effects, phase transitions, and the dissipative dynamics of ultra small tunnel junctions, Phys. Rep. 198, 237 (1990).

201. H. Grabert and M. H. Devoret, editors, Single Charge Tunneling (Plenum, New York, 1992).

202. В. Г. Вакс, А. И. Ларкин и С. А. Пикин, Термодинамика идеального ферромагнетика, ЖЭТФ 53, 281 (1967).

203. А. В. Свидзинский, Пространственно-неоднородные задачи теории сверхпроводимости (Наука, Москва, 1982).

204. М. A. Skvortsov, A. I. Larkin, and М. V. Feigel'man, Dephasing in disordered metals with superconductive grains, Phys. Rev. Lett. 92, 247003 (2004).

205. В. Л. Березинский, Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии, ЖЭТФ 59, 907 (1970).

206. В. Л. Березинский, Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. II. Квантовые системы, ЖЭТФ 61, 1144 (1971).

207. J. М. Kosterlitz and D. J. Thouless, Long range order and metastability in two dimensional solids and superfluids. (Application of dislocation theory), J. Phys. С 5, L124 (1972).

208. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems, J. Phys. С 6, 1181 (1973).

209. P. Butera and M. Comi, High-temperature study of the Kosterlitz-Thouless phase transition in the XY model on the triangular lattice, Phys. Rev. В 50, 3052 (1994).

210. P. Olsson, Monte Carlo analysis of the two-dimensional XY model. II. Comparison with the Kosterlitz renormalization-group equations, Phys. Rev. В 52, 4526 (1995).

211. С. E. Коршунов, Фазовые переходы в двумерных и слоистых системах с непрерывным вырождением, докторская диссертация (Черноголовка, 2005).

212. К. S. Novoselov, А. К. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, and A. A. Firsov, Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene, Nature 438, 197 (2005).

213. Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer, and P. Kim, Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry's phase in graphene, Nature 438, 201 (2005).

214. A. K. Geim and K. S. Novoselov, The rise of graphene, Nature Materials 6, 183 (2007).

215. I. S. Beloborodov, A. V. Andreev, and A. I. Larkin, Two-loop approximation in the Coulomb blockade problem, Phys. Rev. В 68, 024204 (2003).

216. P. Mohanty, E. M. Q. Jariwala, and R. A. Webb, Intrinsic Decoherence in Mesoscopic Systems, Phys. Rev. Lett. 78, 3366 (1997).

217. P. Mohanty and R. A. Webb, Decoherence and quantum fluctuations, Phys. Rev. В 55, R13452 (1997).

218. Y. Imry, Elementary explanation of the inexistence of decoherence at zero temperature for systems with purely elastic scattering, e-print cond-mat/0202044 (2002).

219. F. Pierre, A. B. Gougam, A. Anthore, H. Pothier, D. Esteve, and N. O. Birge, Dephasing of electrons in mesoscopic metal wires, Phys. Rev. В 68, 085413 (2003).

220. D. S. Golubev and A. D. Zaikin, Quantum Decoherence in Disordered Mesoscopic Systems, Phys. Rev. Lett. 81, 1074 (1998).

221. I. L. Aleiner, B. L. Altshuler, and M. E. Gershenzon, Interaction effects and phase relaxation in disordered systems, Waves in Random Media 9, 201 (1999).

222. B. R. Patton, Fluctuation Theory of the Superconducting Transition in Restricted Dimensionality, Phys. Rev. Lett. 27, 1273 (1971).

223. J. Keller and V. Korenman, Fluctuation-Induced Conductivity of Superconductors above the Transition Temperature: Regularization of the Maki Diagram, Phys. Rev. В 5, 4367 (1972).

224. А. А. Варламов и А. И. Ларкин, Теория флуктуации, в сверхпроводниках (М.: Добросвет, 2007).

225. J. М. Gordon, С. J. Lobb, and М. Tinkham, Divergent phase-breaking rate in aluminum films from magnetoconductance measurements, Phys. Rev. В 29, 5232 (1984).

226. А. И. Ларкин, Магнетосопротивление двумерных систем, Письма в ЖЭТФ 31, 239 (1980).

227. A. Kamenev, Weak Charge Quantization as an Instanton of the Interacting a Model, Phys. Rev. Lett. 85, 4160 (2000).

228. K. A. Matveev, Coulomb blockade at almost perfect transmission, Phys. Rev. В 51, 1743 (1995).

229. A. Furusaki and K, A. Matveev, Coulomb Blockade Oscillations of Conductance in the Regime of Strong Tunneling, Phys. Rev. Lett. 75, 709 (1995).

230. G. Falci, G. Schon, and G. T. Zimanyi, Unified Scaling Theory of the Electron Box for Arbitrary Tunneling Strength, Phys. Rev. Lett. 74, 3257 (1995).

231. S. V. Panyukov and A. D. Zaikin, Coulomb blockade and nonperturbative ground-state properties of ultrasmall tunnel junctions, Phys. Rev. Lett. 67, 3168 (1991).

232. X. Wang and H. Grabert, Coulomb charging at large conduction, Phys. Rev. В 53, 12621 (1996).

233. Y. V. Nazarov, Coulomb Blockade without Tunnel Junctions, Phys. Rev. Lett. 82, 1245 (1999).

234. F. W. J. Hekking, L. I. Glazman, K. A. Matveev, and R. I. Shekhter, Coulomb blockade of two-electron tunneling, Phys. Rev. Lett. 70, 4138 (1993).

235. D. A. Averin and Y. V. Nazarov, Parity effect in a small superconducting island, Physica В 203, 310 (1994).

236. JI. И. Глазман и К. А. Матвеев, Снятие кулоиовской блокады одноэлек-тронного туннелирования квантовыми флуктуациями, ЖЭТФ 98, 1834 (1990).

237. К. А. Матввев, Квантовые флуктуации заряда металлической частицы в условиях кулоиовской блокады, ЖЭТФ 99, 1598 (1991).

238. К. A. Matveev and L. I. Glazman, Charge Quantization in a Normal Coulomb Island Strongly Coupled to a Superconductor, Phys. Rev. Lett. 81, 3739 (1998).

239. S. F. Edwards and P. W. Anderson, Theory of spin glasses, J. Phys. F 5, 965 (1975).

240. A. Kamenev and Y. Gefen, Zero-bias anomaly in finite-size systems, Phys. Rev. В 54, 5428 (1996).

241. S. Beloborodov and A. V. Andreev, Coulomb blockade in metallic grains at large conductance, Phys. Rev. В 65, 195311 (2002).

242. J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Clarendon Press, Oxford, 1993).

243. M. A. Skvortsov and M. V. Feigel'man, Superconductivity in disordered thin films: giant mesoscopic fluctuations, Phys. Rev. Lett. 95, 057002 (2005).

244. A. П. Леванюк, К теории рассеяния света вблизи точек фазового перехода второго рода, ЖЭТФ 36, 810 (1959).

245. B. Л. Гинзбург, Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и микроскопической теории сегнетоэлектриков, ФТТ 2, 2031 (1960).

246. Л. Г. Асламазов и А. И. Ларкин, Влияние флуктуаций на свойства сверхпроводника при температурах выше критической, Физика твердого тела 10, 1104 (1968).

247. Л. Н. Булаевский и М. В. Садовский, Рост пространственных флуктуации в сверхпроводниках вблизи перехода Андерсона, Письма в ЖЭТФ 43, 76 (1986).

248. В. Spivak and F. Zhou, Mesoscopic Effects in Disordered Superconductors near Hc2, Phys. Rev. Lett. 74, 2800 (1995).

249. V. M. Galitski and A. I. Larkin, Disorder and quantum fluctuations in superconducting films in strong magnetic fields, Phys. Rev. Lett. 87, 087001 (2001).

250. Л. П. Горьков, Микроскопический вывод уравнений Гинзбурга-Ландау в теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 36, 1918 (1959).

251. Y. Oreg and A. M. Finkel'stein, Suppression of Тс in Superconducting Amorphous Wires, Phys. Rev. Lett. 83, 191 (1999).

252. Л. Б. Иоффе и А. И. Ларкин, Свойства сверхпроводников с размытой температурой перехода, ЖЭТФ 81, 707 (1981).

253. И. М. Лифшиц, С. А. Гредескул и Л. А. Пастур, Введение в теорию неупорядоченных систем (М.: Наука, 1982).

254. Б. 3. Спивак и Д. Е. Хмельницкий, Влияние эффектов локализации в нормальном металле на свойства SNS-контакта, Письма в ЖЭТФ 35, 334 (1982).

255. W. L. McMillan, Tunneling Model of the Superconducting Proximity Effect, Phys. Rev. 175, 537 (1968).

256. J. A. Melsen, P. W. Brouwer, К. M. Frahm, and C. W. J. Beenakker, Induced superconductivity distinguishes chaotic from integrable billiards, Europhys. Lett. 35, 7 (1996).

257. J. A. Melsen, P. W. Brouwer, К. M. Frahm, and C. W. J. Beenakker, Superconductor-proximity effect in chaotic and integrable billiards, Physica Scripta T69, 223 (1997).

258. И. О. Кулик и A. M. Омельянчук, К микроскопической теории эффекта Джозефсона в сверхпроводящих мостиках, Письма в ЖЭТФ 21, 216 (1975).

259. А. Д. Заикин и Г. Ф. Жарков, О влиянии внешних полей и примесей на ток Джозефсона в SNINS контактах, ФНТ 7, 375 (1981).

260. P. Dubos, Н. Courtois, В. Pannetier, F. К. Wilhelm, A. D. Zaikin, and G. Schon, Josephson critical current in a long mesoscopic S-N-S junction, Phys. Rev. В 63, 064502 (2001).

261. A. A. Golubov, M. Y. Ktipriyanov, and E. Il'ichev, The current-phase relation in Josephson junctions, Rev. Mod. Phys. 76, 411 (2004).

262. C. W. J. Beenakker, Universal limit of critical-current fluctuations in mesoscopic Josephson junctions, Phys. Rev. Lett. 67, 3836 (1991).

263. C. W. J. Beenakker, Erratum: "Universal limit of critical-current fluctuations in mesoscopic Josephson junctions" Phys. Rev. Lett. 67, 3836 (1991)J, Phys. Rev. Lett. 68, 1442 (1992).

264. A. M. S. Macedo and J. T. Chalker, Exact results for the level density and two-point correlation function of the transmission-matrix eigenvalues in quasi-one-dimensional conductors, Phys. Rev. В 49, 4695 (1994).

265. С. W. J. Beenakker and B. Rajaei, Exact solution for the distribution of transmission eigenvalues in a disordered wire and comparison with random-matrix theory, Phys. Rev. В 49, 7499 (1994).

266. A. Altland, B. D. Simons, and D. Taras-Semchuk, Field Theory of mesoscopic fluctuations in superconductor/normal-metal systems, Письма в ЖЭТФ 67, 21 (1998).

267. A. Altland, В. D. Simons, and D. Taras-Semchuk, Field theory of mesoscopic fluctuations in superconductor-normal-metal systems, Adv. Phys. 49, 321 (2000).

268. P. W. Brouwer and C. W. J. Beenakker, Anomalous temperature dependence of the supercurrent through a chaotic Josephson junction, Chaos, Solitons & Fractals 8, 1249 (1997).

269. T. Micklitz, Interface dependence of the Josephson-current fluctuations in short mesoscopic superconductor/normal-conductor/superconductor junctions, Phys. Rev. В 75, 144509 (2007).

270. И. С. Градштейн и И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (М.: Физматлит, 1963).

271. Р. М. Ostrovsky and М. V. Feigel'man, Josephson Effect in a Coulomb-blockaded SINIS Junction, Письма в ЖЭТФ 82, 863 (2005).

272. M. Houzet and M. A. Skvortsov, Mesoscopic fluctuations of the supercurrent in diffusive Josephson junctions, Phys. Rev. В 77, 057002 (2008).

273. С. W. J. Beenakker, Random-matrix theory of mesoscopic fluctuations in conductors and superconductors, Phys. Rev. В 47, 15763 (1993).

274. M. Houzet and L. I. Glazman, неопубликовано.

275. С. Bruder, R. Fazio, and G. Schon, Mesoscopic normal metal-superconductor junction systems: The effective action approach, Physica В 203, 240 (1994).

276. Y. Shimizu, H. Horii, Y. Takane, and Y. Isawa, Multilevel Effect on the Josephson Current through a Quantum Dot, J. Phys. Soc. Jap. 67, 1525 (1998).

277. A. V. Rozhkov, D. P. Arovas, and F. Guinea, Josephson coupling through a quantum dot, Phys. Rev. В 64, 233301 (2001).

278. J. A. van Dam, Y. V. Nazarov, E. P. A. M. Bakkers, S. D. Franceschi, and L. P. Kouwenhoven, Supercurrent reversal in quantum dots, Nature 442, 667 (2006).

279. J. A. Melsen and C. W. J. Beenakker, Conductance fluctuations in a disordered double-barrier junction, Phys. Rev. В 51, 14483 (1995).

280. G. Campagnano and Y. V. Nazarov, Gq corrections in the circuit theory of quantum transport, Phys. Rev. В 74, 125307 (2006).

281. F. Zhou, P. Charlat, B. Spivak, and B. Pannetier, Density of States in Superconductor-Normal Metal-Superconductor Junctions, J. Low Temp. Phys. 110, 841 (1998).

282. P. М. Ostrovsky, М. A. Skvortsov, and М. V. Feigel'man, Density of States below the Thouless Gap in a Mesoscopic SNS Junction, Phys. Rev. Lett. 87, 027002 (2001).

283. C. W. J. Beenakker, Three "universal" mesoscopic Josephson effects, in H. Fukuyama and T. Ando, editors, Transport Phenomena in Mesoscopic Systems (Springer, Berlin, 1992).

284. N. F. Mott and W. D. Twose, The theory of impurity conduction, Adv. Phys. 10, 107 (1961).

285. M. E. Герценштейн и В. Б. Васильев, Волноводы со случайными неодно-родностями и броуновское движение на плоскости Лобачевского, Теория вероятностей и ее применения 4, 424 (1959).

286. М. Е. Герценштейн и В. Б. Васильев, Волноводы со случайными неоднород-ностями и броуновское движение на плоскости Лобачевского (поправка), Теория вероятностей и ее применения 5, 3(E) (1959).

287. D. J. Thouless, Maximum Metallic Resistance in Thin Wires, Phys. Rev. Lett. 39, 1167 (1977).

288. О. H. Дорохов, Коэффициент прохождения и длина локализации электрона в N связанных неупорядоченных цепочках, Письма в ЖЭТФ 36, 259 (1982).

289. В. JL Березинский, Кинетика квантовой частицы в одномерном случайном потенциале, ЖЭТФ 65, 1251 (1973).

290. В. J1. Березинский и JL П. Горьков, К теории электронов, локализованных в поле дефектов, ЖЭТФ 77, 2498 (1979).

291. N. F. Mott, Conduction in поп-crystalline systems, Phylos. Mag. 17, 1259 (1968).

292. JI. П. Горьков, О. H. Дорохов и Ф. В. Пригара, Корреляции энергетических уровней в одномерной г^епочке с беспорядком, ЖЭТФ 84, 1440 (1983).

293. А. V. Kolesnikov and К. В. Efetov, Two-Scale Localization in Disordered Wires in a Magnetic Field, Phys. Rev. Lett. 83, 3689 (1999).

294. Y. M. Blanter and A. D. Mirlin, Correlations of eigenfunctions in disordered systems, Phys. Rev. E 55, 6514 (1997).

295. A. D. Mirlin, A. Miiller-Groeling, and M. R. Zirnbauer, Conductance Fluctuations of Disordered Wires: Fourier Analysis on Super symmetric Spaces, Ann. Phys. (NY) 236, 325 (1994).

296. В. Rejaei, Equivalence of the transmission-eigenvalue density in supersymmetric and scaling theories of disordered wires without time-reversal symmetry, Phys. Rev. В 53, R13235 (1996).

297. L. Hostler and R. H. Pratt, Coulomb Green's Function in Closed Form, Phys. Rev. Lett. 10, 469 (1963).

298. Jl. Д. Ландау и E. M. Лифшиц, Механика (M.: Наука, 1973).

299. V. Fock, Zur Theorie des Wasserstojfatoms, Z. Physik 98, 145 (1935).

300. M. Bander and C. Itzykson, Group Theory and the Hydrogen Atom (I), Rev. Mod. Phys. 38, 330 (1966).

301. M. Bander and C. Itzykson, Group Theory and the Hydrogen Atom (II), Rev. Mod. Phys. 38, 346 (1966).

302. J. Schwinger, Coulomb Green's Function, J. Math. Phys. 5, 1606 (1964).

303. H. A. W. J. J. M. Verbaarschot and M. R. Zirnbauer, Grassmann integration in stochastic quantum physics: The case of compound-nucleus scattering, Phys. Rep. 129, 367 (1985).

304. А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков и И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике (М.: Физматгиз, 1962).

305. J. J. М. Verbaarschot and М. R. Zirnbauer, Critique of the replica trick, J. Phys. A: Math. Gen. 18, 1093 (1985).

306. I. V. Yurkevich and I. V. Lerner, Nonperturbative results for level correlations from the replica nonlinear a model, Phys. Rev. В 60, 3955 (1999).

307. Т. Holstein and H. Primakoff, Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet, Phys. Rev. 58, 1098 (1940).

308. A. B. Harris, D. Kumar, В. I. Halperin, and P. C. Hohenberg, Dynamics of an Antiferromagnet at Low Temperatures: Spin-Wave Damping and Hydrodynamics, Phys. Rev. В 3, 961 (1971).

309. С. M. Canali, S. M. Girvin, and M. Wallin, Spin-wave velocity renormalization in the two-dimensional Heisenberg antiferromagnet at zero temperature, Phys. Rev. В 45 (17), 10131 (1992).

310. С. J. Hamer, Z. Weihong, and P. Arndt, Third-order spin-wave theory for the Heisenberg antiferromagnet, Phys. Rev. В 46, 6276 (1992).

311. Z. Weihong and C. J. Hamer, Spin-wave theory and finite-size scaling for the Heisenberg antiferromagnet, Phys. Rev. В 47, 7961 (1993).

312. И. В. Колоколов, Промежуточные асимптотики высших спиновых корреляторов в двумерном классическом ферромагнетике, Письма в ЖЭТФ 72, 201 (2000).

313. D. A. Ivanov and М. A. Skvortsov, Dyson-Maleev representation of nonlinear sigma models, J. Phys. A: Math. Theor. 41, 215003 (2008).

314. A. Lamacraft, F. M. Marchetti, J. S. Meyer, R. S. Moir, and B. D. Simons, Critical states in disordered superconducting films, J. Phys. A: Math. Gen. 37, L447 (2004).