Фронты и солитонные пакеты в мультистабильных распределенных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГй

од

НИЖЕГОРОДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи

МАКСИМОВ Андрей Геннадьевич

ФРОНТЫ И СОЛИТОННЫЕ ПАКЕТЫ В МУЛЬТИСТАБИЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 1993

Работа выполнена на радиофизическом факультете Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научные руководители:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор М. И. Рабинович;

доктор физико-математических наук, доцент В. И. Некоркин.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Андронов;

кандидат физико-математических наук Л. М. Лерман.

Ведущая организация — НИИФП РАН (г. Зеленоград).

Защита состоится « 26 > Ао&Л-_ _ 1993 г.

в Но часов на заседании специализированного совета К 063.77.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского (603600, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского университета.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физико-математических наук, / доцент

В. В. Черепенников.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Динамика нелинейных волн в распределенных мультистабильных системах давно привлекает внимание исследователей. Свойство мультистабильности лежит в основе функционирования большого количества радиотехнических устройств - генераторов, приемников, различных систем обработки информации, вычислительных машин. В начале шестидесятых годов было показано, что бистабильность и мультистабильность может быть получена не только в системах с сосредоточенными параметрами, но и в распределенных системах. В частности, к таким системам относятся параметрический усилитель бегущей волны, нелинейный кольцевой резонатор, оптический параметрический усилитель бегущей волны, спиновые стекла, телевизионная система с оптической обратной связью - ту-аналог, сверхпроводники, нейроподобные среды - "природные" и их искусственные аналоги, модели ассоциативной памяти, сети синхронизации, айтокаталити-ческие химические реакции типа реакции Белоусова-Жаботинского ( С. А. Ахманов, С. И. Балкарей, А. А. Веденов, А. В. Гапонов-Грехов, X. Гиббс, Я. Б. Зельдович. М. И. Рабинович, С. М. Романовский, Д. А. Франк-Каменецкий, Дж. Хопфилд и др.).

Настоящая диссертация посвящена исследованию динамики нелинейных волн в мультистабильных распределенных системах на примере двух моделей - системы уравнений Фитц-Хыо - Нагумо (ФХН) и возмущенного уравнения я.£п-Гордона. Система ФХН описывает нелинейнуо двухкомпонентлуп среду с диффузией по одной из компонент, с одним или двумя (в зависимости от параметров) пространственно однородными стационарными состояниями. Она является одной из базовых моделей в теории активных сред и описывает процессы в системах различной физической природы, в. частности, широко используется для исследования динамики ней-роподобных сред. Необходимо отметить, что система уравнений Фитц-Хью - Нагумо является естественным обобщением моделей Хаксли, Колмогорова-Петровского-Пискунова на случай двухкомпо-нентной среды. ' "

Динамика неравновесной мультистабильной среды с бесконечным числом пространственно однородных стационарных состояний исследуется на примере возмущенного уравнения 51п-Гордона, описывающего, например, протяженный джозефсоновский контакт

(У. Джонсон, Э. Скотт, К. К. Лихарев). Открытие в 1961 г. Б. Джозеф-соном эффекта, впоследствии названного его именем, положило начало огромному числу теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследование динамики джозефсоновских контактов. Интерес к ним связан с возможностью и широкими перспективами использования контактов в различных областях науки и техники. На их основе разработаны сверхвысокочувствительные магнитометры, они могут быть использованы в генераторах и детекторах СВЧ-колебаний, причем в слабо освоенной части спектра. Очень перспективна идея использования устройств на базе джозефсоновского контакта в качестве логического элемента и ячейки памяти в супер-ЭВМ.

Динамика исследуемых в диссертации распределенных систем связана с проявлением свойства самоорганизации - переходом произвольного начального распределения ( пространственно однородного, периодического, случайного ),к образованию характерных структур в пространстве и времени, сохраняющих свои характеристики постоянными за счет распределенного в среде источника энергии (Г. Хакен, И. Пригожин). Эти характеристики - период во времени и (или) пространстве, скорость распространения, форма - в установившемся режиме зависят только от локальных свойств среды и не изменяются при изменении в некоторых пределах начального состояния самой среды. Такие структуры принято называть автоволновыми.

В настоящей работе рассматриваются уединенные автоволновые структуры в виде волновых фронтов (бегущих фронтов - БФ) и днссипативных солитонов !иногда их еще называют автосолитонами или "бегущими импульсами" - БИ) ( В. Д. Калафати, Б. С. Кернер, В.В.Осипов, В. Г. Яхно).

Ранее исследовались, в основном, автоволновые структуры достаточно простой формы. В фазовом пространстве соответствующих автомодельных систем уединенным структурам отвечают дво-якоасимптотическне траектории. Причем, если структуры имеют простую форму, то они могут быть "описаны" в рамках моделей с двумерным фазовом пространством. Более сложные модели, описывающие неравновесную среду, содержали, как правило, бесконечно малые (бесконечно большие) параметры. Это хотя и приводило к увеличению размерности фазового пространства соответствующих автомодельных систем до трех и несколько усложняло динамику

о

уединеных структур, однако не вносило принципиальных изменений (D.McLaughlin).

Вместе с этим, в реальных экспериментах ( нелинейные оптические резонаторы (Н.Н.Розанов), распространение потенциала возбуждения в гиганском аксоне кальмара, волны на стекающей пленке жидкости (A.Pamir) ), при численном моделировании динамики неравновесных сред (J.Rinzei,j.Keller, G.Lamb, Ю.А.Кузнецов), аналитически (В.И. Некоркин) были обнаружены уединенные волны со сложным профилем. Их можно трактовать как некоторое связанное состояние нескольких "простых" автоструктур. Исследованию уединенных волн в виде БФ и БИ со сложным профилем и посвящена диссертационная работа.

Автоволновые решения в виде фронтов. (авто)солитонов определяют в фазовом пространстве соответствующей автомодельной системы двоякоассимптотическую траекторию. Поэтому задачу о распространении БИ, БФ можно рассматривать как бифуркационную для автомодельной системы. Использование методов качественной теории дифференциальных уравнений ( систем сравнения, результаты работ о структуре фазового пространства, метод сопровождения траекторий в фазовом пространстве коническими поверхностями (В. Н. Белых, Л.А.Беляков, В. И. Некоркин. Л. П. Шильников) ) позволили продвинуться в аналитическом исследовании вышеназванных систем. Полученная при этом информация, в том числе и о свойствах фазового пространства изучаемых систем, позволили разработать и эффективно использовать методику численного построения бифуркационных множеств, отвечающих двоякоасимптоти-ческим траекториям.

Научная новизна диссертации заключается в аналитическом обосновании существования автоволновых решений сложного профиля в модели ФХН и возмущенном уравнении sin-Гордона, численном построении и объяснении характера зависимости скорости распространения и формы решений типа БИ, БФ в этих системах, обнаружении явления синхронизации многогорбых солитонов в протяженном джозефсоновском контакте.

Практическая значимость. Динамика фронтов (солитонных пакетов) в возмущенном уравнении Sin-Гордона описывает "поведение" флуксонов (квантов магнитного потока) в протяженном джозефсоновском контакте и определяет его основные свойства -ВАХ. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны

J

при создании устройств на базе элементов (сред), описываемых исследованными в диссертации моделями. Предложенный и опробованный метод численного нахождения основных характеристик нелинейных волн в виде фронтов и (авто)солитонов может быть успешно использован для исследования других моделей распределенных сред, а также для построения бифуркационных множеств, отвечающих двоякоасимптотическин кривым в фазовом пространстве сосредоточенных динамических систем. Полученные результаты внедрены в учебный процесс на радиофизическом факультете ННГУ.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, НИИ ПИК, Отчетной конференции ННГУ (1990г. ), Всесоюзной конференции "Математическое моделирование: нелинейные проблемы и вычислительная математика" (г. Звенигород, 1988г. ), II Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (г.Горький, 1990г. ), IV Международной, рабочей группе "Нелинейные и турбулентные процессы в физике" (г. Киев, 198эг. ).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [1-6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав и Заключения. Объем диссертации составляет 182 стр. Из них: 123 стр. основного текста, 43 стр. рисунков. Список литературы содержит 14 3 наименования и приведен на 15 страницах.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

г. Исследование динамики автоволновых структур в виде фронтов и солитонных пакетов в двухкомпонентной неравновесной среде с одним и двумя пространственно однородными стационарными состояниями.

II. Исследование динамики автоволновых структур в виде фронтов (диссипативных солитонов, автосолитонов) в среде бесконечным числом пространственно однородных стационарных состояний на примере протяженного джозефсоновского контакта.

III. Методика численного получения основных характеристик уединенных автоволновых структур (скорость распространения, форма, эволюционная устойчивость).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дана общая характеристика работы: обсуждена

актуальность темы диссертации, приведен кратки!! обзор литературы, формулируются цель и основные результаты.

Глава 1 посвящена исследованию решений типа БИ в неравновесной среде, описываемой системой ФХН (1):

и = f(u) + и - v

t «х {1)

- Ь(и - iv) ,

Здесь f(u)=-u(u-n)(u-i), Oín<|. Система (1) первоначально была получена как модификация уравнения Ходжкин-Хаксли для исследования распространения возмущения потенциала вдоль гигаПСкого аксона кальмара. В области параметров d: ( г < г ■ л(1-п) 2, bto, его } система (1) имеет одно устойчивое пространственно однородное состояние равновесия о);{ и=г=о }. Бегущему импульсу отвечает решение, удовлетворяющее граничным условиям:

"(К) ■* о, Kf^j о, при С -» ±» , (2)

где s=x+ct, с - скорость БИ. Задача о существовании автоволнового решения, удовлетворяющего граничным условиям (2), в диссертации сводится к доказательству существования гомоклиничес-кой траектории в фазовом пространстве в соответствующей автомодельной системы (3): а = у

у = Су + v -f(a) (з)

сг = Ь(ц - ГУ) ,

где точкой обозначено дифференцирование по координате Такая траектория, выходя из состояния равновесия седлового типа о (и=о, о, z=o) при t-» при t-и» возвращается в него же, образуя петлю сепаратрисы.

При помощи вспомогательных двумерных систем сравнения проводится аналитически-численное доказательство существования бифуркационных множеств, отвечающих гомоклиническим траекториям в с системы (3) и, следовательно, автоволнового решения типа БИ в (1). Причем, форма этого решения определяется формой гомоклиническим траектории в с. В процессе доказательства удается получить некоторые аналитические оценки на расположение этого множества. Однако, для более детального построения этого множества требуется моделирован»'? (3) на ЭВМ.

При помощи описанного в Гл. 4 алгоритма, установлено, что бифуркационное множество, отвечающее гомоклиническим траекториям в а системы (3) (диаграмма зависимости скорости распрост-

Í

ранения БИ от параметров (1) ) может быть двух типов. В первом случае его сечение плоскостями ч, n=•const представляет собой гладкую кривую, точкам которой отвечает распространение одногорбых БИ (для каждого набора значений г. л возможно существование двух БИ - быстрого и медленного). Во втором случае его сечение состоит из бесконечного числа элементов, точкам которых соответствует к-горбыа БИ. Такой импульс имеет к больших максимумов (их количество равно обходности соответствующей гомохлинической траектории), "участки" между которыми заполнены как монотонными линиями, так и малыми осцилляциями. Импульсы, имеющие такую форму, принято называть стохастическими или импульсами хаотического профиля.

При помощи моделирования (1) исследована эволюция начальных распределений. Установлено, что "медленные" БИ являются неустойчивыми, а "быстрые" - устойчивыми.

Глава 2 посвящена исследованию решений типа БФ в системе (1). Для г > г0* 4(1-п)~2 ФХН имеет три пространственно однородных стационарных решения: оо: ( и»о, у=о } и о(: { и=и°,

vm'lu° ), i=i, 2, где

1 +

-5-; г-

I 2

Причем, оо и о - устойчивы, а о - неустойчиво. Автоволновым решениям БФ первого или второго типа соответствует решения системы (1) вида ( u(x.t) - и(£), v(x,t) » } , удовлетво-

ряющие граничным условиям соответственно (4) или (5):

uiCJ-Vj . vfO-»*'1«" при е —> +» (4)

"(€)—<>о . у СО—>о при е —» -»

U(£)—iO, v(£)—iO при С —» +"

uro-»"". при е -♦ — (5)

Фактором, определяющим тип бегущего фронта в системе (1), является значение параметра т. Интервалу значений т > у "9(2п2-

-5П+2 соответствуют фронты первого типа. Если же 1о < г < иш, в системе (1.1) распространяется фронт второго типа. В случае т - 7ш возможно существование фронтов как первого, так и второго типов.

Решениям (1) типа БФ в фазовом пространстве (3) отвечают гетероклшшческие траектории, "соединяющие" различные состояния равновесия седлового типа, т. е. образующие сепаратрисную связку. В силу этого, задача о существовании БФ решается как бифуркационная для соответствующей автомодельной системы (3).

6

При помощи систем сравнения установлено существование в пространстве параметров системы (3) ( ь, с, г } поверхностей, соответствующих сепаратрисным связкам, получены аналитические оценки на расположение соответствующих бифуркационных множеств. При помощи моделирования на ЭВМ системы (3), построены эти множества - диаграммы зависимости скорости БФ от параметров системы. Профиль БФ определяется формой соответствующей гомоклинической траектории в а. БФ могут быть как монотонными, так и иметь бесконечное число осцилляций на "хвосте" и (или) конечное число осцилляций на "перепаде" фронта.

При г = при одинаковых значениях параметров среды скорости БФ обоих типов равны. Поэтому два БФ, расположенных на некотором расстоянии друг от друга, могут образовать "связку", по форме напоминающую импульс. Причем, поскольку "импульс" может быть образован БФ любого возможного профиля, его форма может быть достаточно сложной.

При помощи моделирования (1) установлено, что БФ обоих типов являются устойчивыми. Кроме того, при г « г устойчивой является и структура из двух БФ разных типов - "импульс".

Глава 3 поспщена исследованию нелинейных волн в виде сопитонных пакетов (БИ сложной формы) в протяженном джозефсо-новском контакте,' описываемом возмущенным уравнением я1л-Гор-дона:

К* ~ 9и " Р + " ' г (б)

Это уравнение при о * т < 1 имеет бесконечное число пространственно однородных состояний равновесия: о" ( »> = 2пп ; и

( V - я - р + 2пп ) , где р ■ эrcs^л г, л=0,и,±2,... Несложно получить, что пространственно однородные решения 1р(х,1)*р +2пп являются устойчивыми, а <р(х,1 - не-

устойчивыми. Поэтому основное внимание уделяется исследованию волн в виде бегущих фронтов, "соединяющих" состояния и о' (¡.,3 - целые числа). Если уравнение (6) имеет автоволновое решение у (£.), с = сс - х, в виде бегущего со скоростью с фронта - т.е. решение, удовлетворяющее условию:

V ( С —>+»;-(рС5—= ±2пп, п = 1,2,..., то величина р (О имеет форму п-горбого импульса (солитона). Поскольку измеряемое в реальном эксперименте напряжение на контакте связано не с функцией р (£), а с ее производной по времени, то часто будет говорится о распространении вдоль кон-

такта n-горбого солитона, подчеркивая профиль v>tfC.>, а не (PfíJ. Введем соответствующую (6) автомодельную систему:

<р " у. у = z

(3c¿ ■ - f 1 - с1 ) г * асу + sin <р - т Здесь точкой обозначено дифференцирование по бегущей координате С. Будем рассматривать систему (7) в циллиндрическом фазовом пространстве g = sx х r2. При |r| < i íз.4) имеет в а две группы состояний равновесия седлового типа o"(f=tpl+2nn, y=z~ О) и р=у>г+2тт, y=z-0 ), ( vt*a rcsinr, <p2mn-tpt, n=t 1,±2, ±3,...)- Двоякоасимптотическая траектория, "соединяющая" точки о° и о°, в силу цилиндричности фазового пространства G, выходя из о° , возвращается в нее же, сделав, предварительно, л оборотов по цилиндру (рис. 1б, п=2). Такая траектория системы (7) соответствует решению типа "бегущий фронт" в уравнении (6) с перепадом в 2пп ( ¡#>(£ —» - —> -»J| = |Л(Р| = 2пл), а í>t(-j имеет форму n-горбого солитона или связки (пачки) соли-тонов (рис. 1б, п«2). При этом, собственно форма фронта ( и, соответстственно, форма его производной ) определяется формой гомоклинической траектории в с.

При помощи систем сравнения установлено существование в пространстве параметров системы (6) поверхностей, соответствующих петлям сепаратрис (с nal), получены аналитические оценки на расположение соответствующих бифуркационных множеств. При помощи моделирования на ЭВМ системы (6), построены эти множества - диаграммы зависимости скорости n-горбых солитоиов от параметров системы. При малых ß эта диаграмма на плоскости ( с,г ) состоит из двух линий П1 и Р'. Линия П' (Р1) отвечает распространению в (6) фронтов с перепадом 2п, "соединяет" состояния о° и о| ( о° и о') и расположена при с<i (c>il. При дальнейшем увеличении параметра ß , помимо линий П1 и Р1 на плоскости ( с,г ) появляется счетное множество линий {П"> и {Р">, соответствующих петлям сепаратрис возрастающей обходнос-ти, которым в (6) отвечают 2пп фронты (n-горбые солитоны) с г» 1. (В частности, получены элементы диаграммы для п=24). При чем, эти линии расположены не последовательно с изменением п, как считалось ранее (W.Johnson, A.Scott), а "перемешаны".

При помощи численного моделирования (6) для безграничной среды, проанализирована устойчивость БФ (рис. ib).

Для протяженного джозефсоновского контакта длины L, опи-Í

(7)

сываемого уравнением (7) с граничными условиями (В):

(0,С) = ip^lL.t) - q Sin uit (В)

свободного (g=o) и возбуждаемого внешним магнитным полем (<1>о), построена ВАХ. Обнаружено явление синхронизации движения л-горбых солитонов внешним магннтным полем, приводящее к появлению "ступенек" на ветвях ВАХ.

Глава 4 посвящена описанию алгоритмов и методик, использовавшихся для численного исследования возмущенного уравнения sJn-Гордона, системы Фитц-Хыи - Нагумо и соответствующих ии автомодельных систем.

Действие алгоритма поиска бифуркационных множеств, соответствующих двоякоасимптотическим траекториям, основано на анализе взаимного расположения одномерной неустойчивой сепаратрисы и семейства поверхностей без контакта в фазовом пространстве исследуемой системы.

Пусть динамическая система (9):

Í - Ff¿U,CJ (9)

(¡t=íu . . ,u ) - переменные, a=(a,...,a ), с - параметры,

i

f(. ^-нелинейная функция) в пространстве параметров d:(а, с) имеет 2-а состояния равновесия седлового типа о (Úl J и o¿(З2

Пусть о t о з) имеет одномерное неустойчивое многообразие у" (и^) и двумерное устойчивое fw'j. Для поиска параметров из <í, отвечающих существованию а фазовом пространстве в гете-роклшшческой траектории o¡—> о2 поступим следующим образом.

Введем в фазовом пространстве а семейство поверхностей У(и,а,с) = С (c^consc), обладающих следующими свойствами: 1) И(.) определена во всем d; 2) Существует такое с=с", что у=с* состоит из двух частей к1 и V2 таких что: а) V1 и v2 = г, б) i'1 л v2 = З2, в) к1 и v' топологически эквивалентны параболоидам с вершиной в З2; 3) Производная от к, взятая в силу

системы (9): / з о , причем, v=o только в З2. Это означает, что все траектории динамической системы (9) пересекают поверхность v вовнутрь трансверсально всюду, кроме З2.

Пусть существует d'c d такая, что у"л{Г-с*}= м1, м'е v1,' и d2c d такая, что иг"п{И=с*}=«2, н2е Va. Если в о нет состояний

Пусть i=з. Все дальнейшие результаты могут быть обобп^чы на случай i > з

равновесия, предельных циклов, то на линии к'к2 (к'есЛЛ <г?, к'к2« <1) имеется хотя бы одна точка к*, которой отвечает существование в с гетероклинической траектории.

Аналогичным образом ищется значении параметра, соответствующее существованию в в гомоклинической траектории. (При этом "роль" состояния равновесия 02 "играет" о^.

Приведены функции »4•), использованные для построения бифуркгционных множеств, отвечающих двоякоасимптотическим траекториям систем (3),(7).

В ланной главе описаны также численные схемы, использованные для анализа динамики волн в уравнениях (1),(б).

В Заключении сформулированы основные результаты работы:

I. Для среды, описываемой системой Фитц-Хью - Нагумо:

1. Без предположения о малости каких-либо параметров аналитически доказано существование решений типа "бегущий импульс". Это позволило (при использовании известных ранее результатов качественной теории дифференциальных уравнений) аналитически доказать существование импульсов сложной и даже хаотической формы. Аналитически выделены параметры среды, где решений типа "бегущий импульс" нет. Численно получены диаграммы зависимости скорости распространения и формы этих решений от параметров среды. Подтверждены аналитически результаты о существовании д^^'х типов этих диаграмм и их свойствах.

При исследовании эволюции начальных распределений в (1) подтверждено, что стационарное пространственно однородное состояние является устойчивым. При превышении начальным распределением некоторого порога, формируется "быстрый" одногорбый импульс, который является устойчивым. В то же время, "медленные" (в том числе многогорбые) импульсы являются неустойчивыми.

2. В области параметров, когда среда имеет три пространственно однородных состояния равновесия, аналитически доказано, без предположения малости параметров, существование двух типов решений "бегущий фронт". Получены аналитические оценки на расположение диаграмм зависимостей скорости распространения бегущих фронтов от параметров среды и при помощи численного моделирования построены сами диаграммы. Объяснено существование фронтов -немонотонных, с колебаниями на перепаде и осцилляциями на "хвосте". Обнаружено и построено множество в пространстве параметров системы (1), точкам которого отвечает одновременное

распространение с одинаковой скоростью двух фронтов, переключающих среду из оо в oi И из о^ в oQ. Такое "связанное" решение представляет собой "импульс", форма которого может быть очень сложной, и, после прохождения которого, среда возвращается в свое начальное состояние. При исследовании эволюции начальных распределений в среде показано, что стационарные пространственно однородные состояния равновесия oq и о2 являются устойчивыми, a Oj - неустойчивым. Получено, что устойчивыми являются "бегущие фронты", имеющие не только монотонный (как в случае с Ь-0), но и немонотонный профиль.

II. В протяженных джоэефсоновских контактах, описываемых возмущенным уравнением sin-Гордона, исследована динамика соли-тонов. Аналитически доказано существование солитонов как простой, так и сложной формы. Численно построены диаграммы зависимости скорости распространения и формы солитонов от параметров системы. Показано, что имевшиеся ранее представления об этой диаграмме несколько неточны. Исследована эволюция начальных распределений. Получено, что стационарное пространственно-однородное состояние равновесия 9 » arcsin 1 + 2nk является устойчивым, а (р - п - arcsin г +2пк (к - целое) - неустойчивым. Уже упомянутые диаграммы зависимости скорости солитона от параметров системы разделены на участки, отвечающие устойчивым и неустойчивым решениям. Получена ВАХ контакта, которая хорошо согласуется с известными эксперементальными результатами. Показано, что ВАХ может быть двух типов. Исследован протягешшй джозефсоновский контакт с наложенным на него переменным магнитным полем. В этом случае наблюдался эффект синхронизации n-горбого солитона, а на ВАХ контакта появлялись "ступеньки". Ширина "ступенек" уменьшается с ростом п. В результате исследования эволюции "произвольных" начальных распределений установлено, что если распределение достаточно плавное и близко к перепаду 2лл (п-1. 2, ...), то оно эволюционирует к n-горбому соли-тону. В этом смысле набор солитонов с л=1, 2,... можно считать элементарными модами протяженного джозефсоновского контакта длины L, причем как свободного, так и при воздействии на вего переменного магнитного поля.

ill. Разработана методика численного построения гомо- и гетероклинических траекторий в фазовом пространстве нелинейных динамических систем 3-го порядка, которая может быть обобщена

на некоторые системы более высокого порядка. Предложенная методика основана на анализе взаимного расположения двоякоасимпто-тической траектории и некоторого семейства поверхностей в фазовом пространстве динамической системы. Применение данной методики для построения бифуркационных множеств, отвечающих гомо- и гетероклнническим траекториям при исследовании конкретных динамических систем подтверждает ее высокую эффективность. При помощи нее удалось построить бифуркационные множества, отвечающие п-обходным гомоклиническим траекториям, "уточнить" известную диаграмму зависимости скорости распространения и формы п-горбых солнтонов в возмущенном уравнении ^п-Гордона. Точность получения формы многообходных гомоклинических траекторий предоставила возможность достаточно качественного анализа устойчивости уединенных авторолновых решений при помощи численного моделирования систем >'г) и (6).

ч

I?

6)

Рис. 1

СПИСОК РАБОТ. ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Максимов А. Г., Некоркин В. И. Гетероклннические траектории и фронты сложной формы модели Фитц-Хью - Нагумо // Математическое моделирование. -1990. -т. 2. -No.2. -С. 129-142

2. Максимов А. Г., Некоркин В. И. Фронты в распределенных джозефсоновских контактах // Изв. ВУЗов Радиофизика.-

1991.-No. 8.-С. 956-966

3. Maksimov A.G., Nekorkin V.l. Excitation Waves of Chaotic Profile in Two-component Active Medium with Diffusion // Proc. of the IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Proceses in Physics.-Kiev: Naukova Dumka.-1989,-P.391-394

4. Максимов А. Г., Некоркин В. И. Бегущие фронты сложной формы в двухкомпонентной активной среде с диффузией // Препринт ИПФ АН СССР. -Горький. -1989. -23с.

5. Максимов А. Г., Некоркин В. И., Рабинович М. И. Солито'нные "пакеты" и вольт-амперная характеристика протяженных джозефсоновских контактов // Препринт ИПФ РАН. - i!. Новгород. -

1992. -28с.

6. Максимов А. Г. 0 построении бифуркационных множеств, отвечающих гомо- и гетероклиническим траекториям // II Всесоюзная конф. "Нелинейные колебания механических систем": Тез. докл. -Горький. -1990. -ч. 1. -С. 105

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ. ГЛАВА 1. БЕГУЩИЕ МШУЛЬСЫ В СИСТЕМЕ ФИТЦ-ХЬЮ - НАГУМО. i. 1. Введение. 1.2. Математическая модель. 1. з.Аналитическое исследование автомодельной системы (1.4). Доказательство существования в. ней гомоклнническнх траекторий, i.4.Бифуркационное множество П, отвечающее гомоклнннческим траекториям системы (1.4). 1.5.Эволюция начальных возмущений в системе ФХН. i.e.Выводы. ГЛАВА 2. БЕГУЩИЕ ФРОНТЫ В СИСТЕМЕ ФИТЦ-ХЬЮ - НАГУМО. 2.1.Введение. 2. 2.Математическая модель. 2.з.Существование решений типа "бегущий фронт" в системе ФХН. 2.4.Бифуркационное множество, соответствующее гетероклиническим траекториям системы (2.3). 2.5.Устойчивость решений типа "бегущий фронт" в системе (1.1). 2.б.Выводы. ГЛАВА 3. ДИНАМИКА С0ЛИТ0Н0В В ВОЗМУЩЕННОМ УРАВНЕНИИ siw-ГОРДОНА. ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОТЯЖЕННОГО ДЖ03ЕФС0Н0ВСК0Г0 КОНТАКТА, з..1,Введение. 3.2.Математическая модель протяженного джозефсоновского контакта, з.з.Существование автоволновых решений типа "бегущий фронт" в уравнении (3.1). з. 4.Бифуркационное множество, отвечающее связке сепаратрис вращательного типа в системе (3.4) . 3.5.ВАХ протяженного джозефсоновского контакта, з.б.Выводы. ГЛАВА 4. АЛГОРИТМЫ И МЕТОДИКИ. ИСПОЛЬЗОВАВШИЕСЯ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ sin-ГОРДОНА, СИСТЕМЫ ФИТЦ-ХЬЮ -НАГУМО И СООТВЕТСТВУЮЩИХ ИМ АВТОМОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. 4.1.Введение 4.2.Построение гомо- и гетероклинических траекторий в 3-х мерных нелинейных динамических системах. 4.3. Нахождение двояко-асимптотических траекторий в автомодельной системе, соответствующей системе ФхН. 4.4. Нахождение гомо- (гетеро-) клинической траектории в автомодельной системе, соответствующей возмущенному уравнению sin-Гордона. 4.5.Алгоритм численного исследования устойчивости автоволновых решений в системе Фитц-Хью -Нагумо и возмущенном уравнении sin-Гордона. 4.б.Выводы. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ПРИЛОЖЕНИЕ (Рисунки). ЛИТЕРАТУРА.

ib