Теория возмущений для кинков и солитонов интенсивных внутренних волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗАЙЦЕВА Наталья Владимировна

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ДЛЯ кинков и солитонов ИНТЕНСИВНЫХ ВНУТРЕННИХ волн

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 НАР 2013 005050782

Нижний Новгород ~ 2013

005050782

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт прикладной физики Российской академии наук и на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева (г. Нижний Новгород).

Научные руководители: доктор физико-математических наук

Горшков Константин Александрович, доктор физико-математических наук Соустова Ирина Анатольевна

Официальные оппоненты: Громов Евгений Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор, Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики (Нижний Новгород), Рыбушкина Галина Викторовна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, ФГБУН Институт прикладной физики РАН.

Ведущая организация: Нижегородский национальный исследовательский

государственный университет им. Н.И. Лобачевского.

Защита состоится «21» марта 2013 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им.Р.Е. Алексеева по адресу:

603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24, корп. 1, ауд. 1313.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е.Алексеева.

Автореферат разослан «18» февраля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., доцент

Л.Ю. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Изучение гравитационных внутренних волн в океане представляет интерес как с прикладной, так и с теоретической точек зрения. К настоящему времени установлено, что внутренние волны оказывают существенное влияние на самые разнообразные процессы в океане. Так, течения, создаваемые внутренними волнами, охватывают значительную толщу верхнего слоя океана и играют заметную роль в процессах тепло- и массо- обмена между океаном и атмосферой, переноса примесей и загрязнений, а температурные и плотност-ные возмущения, сопровождающие внутренние волны, влияют на процессы прохождения звуковых сигналов [1,2]. Уже отсюда ясно, что описание генерации и распространения внутренних волн является актуальной задачей механики жидкости. Как показывают многочисленные экспериментальные данные, наблюдаемые внутренние волны часто оказываются нелинейными, а иногда и сильно нелинейными. Поэтому неудивительно, что одно из центральных мест в теории внутренних волн (как и вообще в теории нелинейных волн) занимают нелинейные уединенные волны — солитоны, интерес к которым в значительной мере обусловлен возможностью моделирования с их помощью различных волновых процессов [2-14]. Представление исследуемого волнового возмущения последовательностью взаимодействующих солитонов позволяет (в случае квазистационарной эволюции каждой из уединенных волн) свести исходную распределенную задачу к анализу и решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров солитонов [28, 10-14]. Такой подход весьма успешно использовался, например, при описании динамических и стохастических режимов трансформации периодических и квазипериодических волн, эволюции фронтов волновых возмущений различной волновой природы [3, 4, 6-8]. Однако, в приложении к внутренним волнам его использование оказывается, вообще говоря, не столь эффективным из за особенностей, присущих солитонам в стратифицированной жидкости конечной глубины. Наличие естественных границ в этой ситуации (дно и поверхность) обуславливает наличие предельной амплитуды солитонов, при приближении к которой их размеры неограниченно увеличиваются, что в свою очередь также неограниченно сужает область параметров задачи, при которых возможно квазистационарное описание эволюции солитонов. Такие солитоны известны сейчас для многих приближенных слабо и сильно нелинейных моделей внутренних волн [9-14].

Таким образом, решение проблемы описания неквазистационарной эволюции солитонов внутренних волн, близких к предельным, представляется актуальной и важной задачей механики жидкости как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертационной работы является развитие приближенного описания эволюции составных солитоиов интенсивных внутренних волн и последующее изучение их неквазистационарной динамики. В частности, предполагается:

1. Модернизировать приближенное описание эволюции солитонов, близких к предельным, используя представление таких уединенных волн, как составные образования, сформированные кинками (перепадами поля) разной полярности. На примере интегрируемого уравнения Гарднера провести сравнение полученных приближенных решений с точными.

2. Изучить особенности динамики составных солитонов неинтегри-руемой системы уравнений СЬоьСатазяа (СС-модель), описывающих распространение сильнонелинейных длинных внутренних волн в двухслойной жидкости.

3. Исследовать особенности динамики составного солитона в рамках уравнения Гарднера с переменными коэффициентами.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Развита теория возмущений для описания неквазистационарной эволюции солитонов близких к предельным, основанная на представлении уединенных волн в виде составных образований, сформированных кинками разных полярностей.

2. Построено приближенное Л'-солнгонпое решение для уравнения Гарднера, впервые описывающее взаимодействие Л^ солитонов как взаимодействие составляющих их кинков. Показано, что структура общего поля взаимодействующих уединенных волн с учетом поправок, полученных методом сращиваемых асимптотических разложений, имеет вид суперпозиции кинков, как и в точном решении. Установлено, что движение координат центров кинков в приближенном решении определяется из интегрируемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнение Каца -Мербека).

3. Проведено сравнение полученного приближенного решения с точным решением уравнения Гарднера. Показано, что приближенное решение в качественном отношении полностью соответствует точному, т. е. описывает упругое взаимодействие, оставляющее без изменения после столкновения как число солитонов, так и величины их скоростей (амплитуд), а появляющиеся сдвиги фаз для каждого солитона равны сумме сдвигов фаз при парных взаимодействиях. При этом приближенные выражения для сдвигов фаз при парных столкновениях оказываются главными членами разложений соответствующих точных соотношений.

4. Выяснены особенности двухсолитонных взаимодействий, обусловленные их составной структурой. Показано, что при сближении солитонов с большим различием их параметров происходит временное объединение кин-ков, принадлежащих разным уединенным волнам. Это приводит к трансформации узкого солнтона в такой же солитон противоположной полярности, движущийся по вершине широкого солитона от его фронта к спаду. Процесс взаимодействия заканчивается обратным превращением узкого солитона в солитон исходной полярности вблизи спада широкого солитона.

5. В рамках разработанного подхода проведено моделирование эволюции фронта приливной внутренней волны, имеющего вид группы солитонов большой амплитуды на 20-километровой трассе шельфовой зоны Тихого океана вблизи северо-западного побережья США. Сравнение результатов расчета па основе приближенного подхода с численным решением уравнения Гарднера и данными натурных исследований, полученных в ходе комплексного эксперимента СОРЕ-1995, демонстрируют хорошее соответствие как во времени движения группы солитонов в целом, так и в изменении интервалов между солитонами в группе на расстояниях, составляющих сотни характерных длин солитонов.

6. Впервые построено приближенное ЛГ-солитонное решение неинтегри-руемой нелинейной модели СЬоьСатаБза, описывающей сильно нелинейные внутренние волны в двухслойной жидкости. Показано, что в качественном отношении построенное решение соответствует аналогичному решению уравнения Гарднера: взаимодействие упругое, скорости и амплитуды солитонов после столкновения восстанавливаются, многочастичные эффекты отсутствуют. Вместе с тем в случае столкновения солитонов с большим различием их размеров обнаружены аномально большие сдвиги фаз относительно узких солитонов. Выяснено, что эта особенность связана с отличием скорости солитона обратной полярности, временно возникающего на стадии наибольшего сближения уединенных волн, по сравнению со скоростью первоначально узкого солитона. Этот эффект находит подтверждение при численном моделировании и оказывается важным при интерпретации экспериментальных данных эволюции интенсивных внутренних волн.

7. Впервые получено аналитическое решение модельной задачи о неква-зистационарной эволюции солитона уравнения Гарднера с переменными коэффициентами. Показана эффективность представления уединенной волны как составной структуры, позволившего детально описать трансформацию поля солитона (фронт, спад, вершина) и характерные параметры поля, возникающего за его спадом. Полученный результат может быть использован при описании эволюции интенсивных внутренних волн в шельфовой зоне океана.

Положении, пыносимме на защиту

1. Представление солитонов внутренних волн, близких к предельным, как составных структур, образованных кинками разных полярностей, является

основой для построения приближенного описания неквазистационарной эволюции таких уединенных волн.

2. Приближенные yV-солитонные решения уравнении Гарднера и Choi-Camassa, представляющие взаимодействие солитонов, близких к предельным, как взаимодействие составляющих их кинков, адекватно описывают столкновение уединенных волн.

3. Алгоритм построения приближенного решения задачи о неквазистационарной эволюции составных солитонов, близких к предельным, в рамках уравнения Гарднера с переменными коэффициентами дает детальную картину трансформации поля уединенной волны.

Практическая значимость результатов работы

Основные научные и практические приложения диссертации связаны с разработкой модернизированного приближенного подхода, результаты которого могут быть использованы при интерпретации наблюдаемых интенсивных внутренних волн. Результаты работы использовались при выполнении проектов РФФИ (06-05-64890а, 09-05-00487а, 11-02-97029а, 12-05-00822а), гранта Ведущей научной школы НШ-1244.2008.2, выполняемой под руководством академика РАН В.И. Таланова, гоконтракта №02.740.11.0566, выполняемого ИГТФ РАН в рамках ФЦП «Научно-педагогические кадры инновационной России», а также гранта Правительства Российской Федерации (договор №11G34.31.0048).

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на российских и международных конференциях «Нелинейные волны - 2008, 2012»; «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, 2008; Всероссийская конференция по прикладной океанографии, Москва, 2010; Международный симпозиум «Актуальные проблемы нелинейной физики» С.-Петербург -Н. Новгород, 2004, 2007; Международный симпозиум «Fluxe and structures in fluid», Москва, 2009; Генеральной ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2009-2012); XII всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва, 2010); X Всероссийский съезд по фундаментальной и прикладной механике (Н. Новгород, 2011).

Личный вклад автора. Автор принимала непосредственное участие как в постановке задач, так и в аналитических и численных расчетах по развиваемому в диссертации модернизированному приближенному подходу, в обсуждении и физической интерпретации результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации - 101 страница, включая 24 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность работы, сформулированы се цели, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 посвящена изложению основных идей модернизированного приближенного подхода на примере интегрируемого уравнения Гарднера, широко используемого в физической океанологии:

ф, + Л + «1фф, + «гф2фх + = 0. 0)

где Ф(х,0 - амплитуда волны; с0 - линейная скорость длинных волн; а,,а2 ~ коэффициенты нелинейности; Р — дисперсионный коэффициент. Для случая двухслойной жидкости, когда Ф(х,0 описывает границу между слоями, эти коэффициенты в (1) имеют вид [2]

^ 2 __ ё(Рг -ЛУ'А

РА+РА,

а, =■

3 с рг1\ - рА

а.

2А,А-, р2А, + рАг

р2ъ; - рА;

3 А, — А, : —с-2

3 с

т

р

\РЛ + РА

_ сА,А2 /?,А, + р2к2 сА,А2

а,а2

Рг^ + РАг РуА + РА г

(А, +А2)2 +4 А,/г.

(2)

6 /72А| + рАг 6 где А,, /7, и ¡12, р2 - толщины и плотности жидкости верхнего и нижнего слоев, g - ускорение силы тяжести, а приближенные значения приведены для случая «р12.

Во введении к данной главе (раздел 1.1) кратко обрисован крут проблем, связанных с описанием солитонов и их взаимодействий. Отмечены преимущества и ограничения приближенных подходов при описании взаимодействия солитонов. Подчеркнуто, что если точные решения дают описание взаимодействия солитонов при любых допустимых значениях параметров сталкивающихся уединенных волн, то приближенные решения справедливы только для солитонов с близкими скоростями, амплитудами, размерами и т. д. Поэтому усовершенствование приближенных подходов, позволяющее описывать взаимодействия солитонов в широком диапазоне их параметров, является актуальной задачей. Такая модернизация принципиальна, в частности, при решении задач о взаимодействии солитонов внутренних волн, близких к предельным. Несмотря на то что такие солитоны имеют близкие скорости и ам-

плитуды, их размеры могут отличаться сколь угодно сильно, так что традиционное приближенное описание взаимодействия для них оказывается непригодным.

В разделе 1.2 рассматриваются особенности уединенных решений уравнения Гарднера (в двухслойной аппроксимации) с постоянными коэффициентами. Отмечается, что возможные значения скоростей (амплитуд) солитонов этого уравнения лежат в интервалах (0, Уа), (0, ). При малых скоростях (амплитудах) солитонные решения стремятся к солитонам уравнения КдВ. В другом предельном случае, когда скорость и амплитуда солитона стремятся к максимальным значениям Ут, , уединенная волна принимает вид протяженного плато, ограниченного относительно узкими перепадами поля. При этом при приближении скорости к максимальному значению размер плато

А (У ) ~|1п(1 — VI ¥т | неограниченно растет.

В разделе 1.3 последовательно изложена суть традиционного приближенного подхода, известного своей аналогией с описанием столкновения классических частиц. Рассматривается достаточно разреженный ансамбль уединенных волн с близкими параметрами (скоростями, амплитудами и т. д.), в котором расстояния между солитонами существенно превосходят их характерные размеры, так что каждая из уединенных волн находится в слабом поле своих соседей. При этом относительные движения происходят достаточно медленно, что позволяет рассматривать процесс взаимодействия как квазистацио-карный и для его описания использовать медленные переменные г = р — ех , определяемые естественным малым параметром задачи

При этих предположениях задача сводится к отысканию решений в окрестности каждого солитона (внутренняя область) в виде разложения по малому параметру:

=Ф<0)(^-5,,К) + ^е',Ф/")(Х-5',,т,р), (3)

П-]

где X = Х- У(, .V - координаты центров солитонов, и последующему сращиванию полей в областях между взаимодействующими уединенными волнами (внешняя область). В нулевом приближении все солитоны ансамбля одинаковы и отличаются лишь медленноменяющимися координатами своих центров

Б,{х, г), такими, что _!_

шах 5.

« £ «1, У - средняя (по ансамблю) скорость

уединенных волн - постоянная величина. Наиболее существенным в обсуждаемом подходе оказывается второе приближение, в котором осуществляется сшивка решений — с экспоненциальными асимптотиками со-

седних уединенных волн ф^(Х - БМ,У)~ в±А°^Х Условия выполнения

указанной сшивки решений представляют собой уравнения движения для координат центров солитонов в виде уравнений движения классических частиц с парным взаимодействием (уравнение цепочки Тода):

пиРБ, /Ж2 =а[>л°('?' -5'-') (4)

Здесь масса эквивалентной солитону классической частицы т связана с полным волновым импульсом солитона Р соотношением т = дР / дУ, а градиент

парного потенциала взаимодействия ае , пропорциональный произ-

ведению асимптотик соседних уединенных волн, представляет собой поток волнового импульса, передаваемого от одного солитона к другому.

Интегрируемость уравнений цепочки Тода позволяет установить упругий характер взаимодействия солитонов с сохранением числа и параметров солитонов (амплитуд, скоростей) после взаимодействия и отсутствие многочастичных эффектов при их столкновениях.

Обсуждаемый подход может быть использован при изучении эволюции ансамблей солитонов с произвольным значением средней скорости V из интервала (0, Ут) . Однако эффективность такого описания существенно различна в зависимости от значения V в этом интервале. Менее эффективно применение выражений для описания взаимодействия солитонов уравнения Гарднера, когда их параметры близки к предельным. Причиной такого положения является появление особенностей как в структуре (форме) солитонов, так и в зависимостях их параметров от скорости при V близких к V. В этом случае

размеры солитонов ~Д(Р) неограниченно увеличиваются при V —> Ут . При этом пропорционально Д( У) растет и полный волновой импульс солитона и его производные. В результате при стремлении средней скорости V к Vт

сокращается диапазон отклонений скоростей солитонов (.V ), для которых полный волновой импульс солитона Р(У + &) можно приближенно считать равным Р(У) + ?>дР/дУ . Таким образом, по мере приближения средней скорости солитонов к критической, разброс любых параметров взаимодействующих уединенных волн, адекватно описываемых в рамках рассматриваемою подхода, сужается и стремится к нулю при У —> Ут .

В разделе (1.4) излагается модернизированный приближенный подход, дающий описание взаимодействия солитонов уравнения Гарднера, близких к предельным, с произвольным соотношением их размеров. Как уже отмечалось выше, при стремлении амплитуды и скорости солитона к максимальным значениям уединенная волна принимает вид протяженного плато, ограниченного относительно узкими перепадами поля. Важно, что по своей структуре эти перепады поля близки к кинкам - другому типу стационарных волн, существующих при единственном значении скорости. Это позволяет представить уединенное решение в нулевом приближении, когда взаимодействие еще

: = -+-,/ = 1,2...2ЛГ. (5)

1- -I Л ^ Лу-

не учитывается, в виде составного решения, получаемого методом сращиваемых асимптотических разложений: глобальное решение состоит из суммы решений во «внутренних» областях (области с быстрыми перепадами поля) за вычетом их общей асимптотики, являющейся, в свою очередь, решением во «внешней» области с медленным изменением поля (в данном случае это Фт — решение для вершины плато). Такое представление правильно описывает общую структуру поля, которая и закладывается в основу искомого более общего решения, описывающего взаимодействие N солитонов и имеющего вид суперпозиции 2N киков чередующейся полярности за вычетом их общих асимптотик. Алгоритм построения решений в следующих приближениях состоит в нахождении локальных решений в виде разложений вблизи каждого кинка и их последующего сращивания в областях между ними. В отличие от изложенного в разделе 1.3 подхода процедура сращивания уже первых поправок к кинкам — 8пт,р) с экспоненциальными асимптотиками соседних кинков в областях между ними приводит к искомым уравнениям для фаз /):

Л I- 1 Ж д1 дх'

Полученные решения для поправок первого приближения оказываются неравномерно пригодЕгыми; для устранения этой особенности накладываются дополнительные ограничения:

81 дх

В результате Л^солитонное решение приобретает вид суперпозиции квази-кинков:

В соответствии с этим решением вариации фаз кинков распространяются как стационарные волны 5, (л:,Г) = (// = х -30 со скоростью в три раза большей

скорости предельного солитона. Зависимость всех координат 5. от одной бегущей переменной т]-х-Ъ1 сводит систему уравнений к интегрируемой системе обыкновенных уравнений Каца - Мербека:

^ = -е,А ! = 1,2...,2ЛГ. (7)

(¡У\ х '

Решение последней системы обыкновенных дифференциальных уравнений вместе с предыдущим выражением дает полное описание распределения поля N взаимодействующих солитонов уравнения Гарднера в любой момент времени. Общее решение системы Каца -Мербека может быть написано в явном виде. Из его анализа следует, что полученное приближенное /У-солитонное решение (как и соответствующее точное решение исходного уравнения Гард-

нера) описывает упругое взаимодействие N солитопов, оставляющее без изменения после столкновения число солитонов и их параметры амплитуды и скорости, а появляющиеся сдвиги фаз для каждого солитона равны сумме сдвигов фаз при парных столкновениях, что свидетельствует об отсутствии многочастичных эффектов. Далее проанализировано общее решение последнего уравнения дм случая взаимодействия двух солитонов - четырех кинков. Проведено сравнение полученных двухсолнтонных приближенных решений уравнения Гарднера с точными. Совпадение общей структуры приближенного и точного решения позволяет свести аналитическую оценку построенного решения к сравнению фазовых переменных точных и приближенных решений.

Качественно картина столкновения отвечает столкновению классических частиц с отталкивающим потенциалом: по мере сближения первоначально более быстрый солитон постепенно тормозится, а более медленный ускоряется. После выравнивания скоростей солитоны начинают расходиться. В целом картина аналогична той, что имеет место при взаимодействии солитонов уравнения КдВ. Отличительной особенностью солитонов в модели Гарднера является наличие у них внутренней структуры. Качественно при столкновениях эта особенность проявляется в несинхронном движении фронтов и спадов каждой из уединенных волн на этапе их наибольшего сближения, когда происходит временное объединение кинков, принадлежащих разным солито-нам (рис. 1). Это приводит к трансформации относительно узкого солитона в такой же солитон противоположной полярности, движущийся по вершине относительно широкого солитона от его фронта к спаду. Процесс столкновения заканчивается обратным превращением узкого солитона в солитон исходной полярности вблизи спада широкой уединенной волны.

В качестве практического приложения полученных результатов в разделе 1.5 исследуется эволюция интенсивной внутренней волны, которая наблюдалась в ходе проведения комплексного эксперимента СОРЕ (Coastal

<ло —

Рис. 1. Траектории четырех кинков, соответствующие взаимодействию двух составных солитонов

о

too

Ocean Probing Experiment) на северо-западном шельфе тихоокеанского побережья Оригон. В рамках приближенной модели была рассчитана эволюция вдоль трассы протяженностью 20 км 9 импульсов, которые аппроксимировались совокупностью 18 кинков чередующейся полярности. Рассчитанное время пробега группы импульсов между рассматриваемыми точками 6,2 ч неплохо соответствует экспериментально измеренному значению 6,01 ч. Совпадает с экспериментально замеренной и рассчитанная очередность расположения импульсов по амплитудам, хотя соотношение интервалов между соли-тонами на 10-50 % отличается от соответствующих наблюдаемых величин. Для полноты сравнения необходимо указать, что модель Гарднера значительно хуже (с отличием в 1,5-2 раза) описывает пространственно-временные масштабы наблюдаемых импульсов. Отметим в связи с этим, что в самое последнее время появились полуфеноменологические модели с более сложной структурой нелинейных и дисперсионных членов, дающие очень хорошее описание наблюдаемых импульсов внутренних волн по всем параметрам [22]. Вопрос о взаимодействии уединенных волн в рамках усовершенствованных моделей обсуждается в следующей главе. Весьма неплохое соответствие теоретических расчетов экспериментальным данным позволяет использовать теоретическую модель для определения поля скорости на поверхности жидкости.

Глава 2 посвящена исследованию взаимодействия интенсивных внутренних волн в рамках неинтегрируемой системы уравнений Сhoi-Camassa (CC-модель).

Во введении (раздел 2.1) обсуждаются проблемы, возникающие при использовании слабо нелинейных моделей типа уравнений КДВ, Гарднера, Бус-синеска и др. для интерпретации экспериментальных данных, где наблюдаются сильно нелинейные процессы. Одним из наиболее ярких примеров таких процессов являются внутренние волны, часто наблюдаемые в шельфовой зоне, где их амплитуды могут существенно превосходить толщины слоев жидкости (при двухслойной аппроксимации стратификации), а их скорости в разы превосходят скорость линейных длинных волн. Наиболее адекватным описанием сильно нелинейных внутренних волн является, конечно, прямое численное моделирование этих процессов в рамках исходных уравнений гидродинамики. Однако большие затраты машинного времени при таком моделировании делают предпочтительным использование упрощенных уравнений, моделирующих сильно нелинейные волновые процессы. В настоящее время известно несколько вариантов таких моделей для двухслойной стратификации, предложенных Miyata, Choi-Camassa (СС-модель) [14] и Ostrovsky, Grue (а, Р, у-модели) [10].

Указанные сильнонелинейные модели хорошо работают в достаточно широком диапазоне отношений толщин слоев жидкости: от значений, близких к единице, когда справедливо слабонелинейное уравнение Гарднера, до значений около 10, когда слабонелинейные модели не применимы. Эти силь-

нонелинеиные модели допускают исследование стационарных решений, среди которых содержатся и семейства уединенных волн, имеющих в своем составе солитоны предельной амплитуды, а также кинки разных полярностей. Принципиально важно, что солитоны, близкие к предельным, во всех упомянутых моделях могут трактоваться как составные образования, сформированные кинками разных полярностей. Это обстоятельство позволяет использовать развитый в предыдущей главе модернизированный подход для исследования взаимодействия составных солитонов в рамках более реалистичных сильнонелинейных моделей внутренних волн.

В разделе 2.2 исследованы стационарные солитонные решения СС-модели:

7,А+(7,ЛИ|Л),=0; (8)

Ри 0и, +80 = -Р, +

1

Ч:.

д

— + и.

Ы

-V

дх)

у,

где 77,2 = /?,, + £, /г, 2 - возмущенные и невозмущенные толщины верхнего и нижнего слоев жидкости соответственно, <д(х, г) - вертикальное смещение границы раздела слоев жидкости, и, , - средние (по вертикальной координате) значения горизонтальных скоростей жидкости в слоях, р12- плотности жидкостей в каждом из слоев, g - ускорение силы тяжести, р(х, /) - давление в жидкости на границе раздела. В качественном отношении семейство стационарных решений СС-модели (солитонов и кинков) похоже на семейство уединенных волн уравнения Гарднера (рис. 2).

% / и,

Рис. 2. Стационарные солитонные решения СС-модели при /г, / И2 -

=10"', /?,/р2= 0,9996 с разными

амплитудами; пунктир - точное решение, сплошная кривая - приближенное

х/ь.

Однако асимптотики кинков СС-модели имеют разную, вообще говоря, скорость убывания поля при х —> ±оо, в то же время асимптотики кинков уравнения Гарднера одинаковы. Это обстоятельство приводит к несимметрии

перепадов поля кинков в СС-модели, что явным образом проявляется в процессах столкновения солитонов (см. ниже). Аналогичное отличие в структуре поля кинков и солитонов по сравнению с моделью Гарднера демонстрируют и другие приближенные сильнонелинейные модели.

Данные особенности, однако, несущественно усложняют применение развитого в Главе 1 модернизированного приближенного подхода для описания взаимодействия солитонов предельной амплитуды неинтегрируемой СС-модели. В разделе 2.3 приведен подробный вывод приближенного Ы-солитонного решения, полученный с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений, определены условия сшивки локальных решений, отыскиваемых вблизи каждого из 2М кинков, из которых следуют уравнения для координат кинков:

^ + , / - нечет.1

где коэффициенты Мт, М0, Ат, Л0 определяются величинами р) 2, И12 (гидрология среды). В разделе 2.4 показано, что полученная система уравнений для фаз кинков может быть сведена к интегрируемой системе уравнений, «ленгмюровской» цепочки, что позволяет записать общее решение исходных уравнений в явном виде. Анализ этого решения показывает, что взаимодействие солитонов СС-модели в данном приближении упругое и сохраняет как число, так и параметры уединенных волн (амплитуды, скорости) после взаимодействия. Как и в случае уравнения Гарднера, любые многочастотные столкновения солитонов разбиваются на парные, так что сдвиг фазы для каждого солитона равен сумме сдвигов фаз при парных столкновениях. Раздел 2.4 посвящен изучению взаимодействия двух солитонов, состоящих из четырех кинков с координатами 5,, , 53, 5\ .

Показано, что взаимодействие солитонов с близкими параметрами хорошо описывается в рамках приближенного подхода, известного своей аналогией со столкновением классических (точечных) частиц. На протяжении всего процесса столкновения размеры солитонов близки и мало меняются, расстояние между уединенными волнами значительно превышают их размеры. Другой предельный случай отвечает взаимодействию солитонов с сильно отличающимися параметрами. При этом сильно отличаются размеры солитонов, а скорость более быстрого и широкого из них приближенно можно считать равной предельной. Показано, что процесс столкновения при этом может быть разделен на три этапа (рис. 3). Первый из них начинается, когда солито-ны сближаются на расстояние порядка размеров первоначально более узкого солитона. Поскольку спад быстрого солитона находится далеко от области расположения кинков, во взаимодействии на этом этапе участвуют только три последних кинка , ,. После столкновения (I —> -но) фронт первоначального медленного солитона , ускорившись, приобретает предельную

скорость, формируя тем самым фронт вновь возникающего быстрого солито-на. Оставшиеся кинки , замедлившись, движутся синхронно и образуют

солитон противоположной (по отношению к исходным уединенным волнам) полярности. Следует подчеркнуть, что солитон противоположной полярности движется значительно медленнее исходного. На втором этапе, когда солитон противоположной полярности находится далеко от кинков , 54, движение всех кинков равномерно, а картина эволюции солитонов имеет вид равномерно движущейся по вершине широкой уединенной волны солитона противоположной полярности. Продолжительность этого этапа в обсуждаемом случае определяет по существу длительность всего процесса столкЕювения солитонов (Д7|га) и может быть оценена как время прохождения солитона противоположной полярности через первоначально широкий солитон, которое, очевидно, растет с увеличением размера широкого солитона.

И наконец, на третьем этапе, когда солитон противоположной полярности достигает спада первоначально широкой уединенной волны , 54, взаимодействие кинков 5,, , 53 завершает процесс формирования солитонов, возникающих после столкновения. Из этого решения следует, что кинки , составлявшие солитон противоположной полярности, становятся соответственно фронтом вновь возникающего медленного и узкого солитона и спадом быстрой и широкой уединенной волны, а замедлившийся кинк - спадом медленного солитона.

Г 1Г~ ГПлГ

СЛГ

:ГГЛГ

Рис. 3. Попутное взаимодействие двух солитонов (в рамках СС-модели), один из которых близок к предельному

Приведенное описание позволяет понять особенности зависимостей сдви-

ненных волн различаются сильно. Так, для быстрого и широкого солитона сдвиг фазы Д5, может быть найден уже после первого этапа столкновения, когда становится известным окончательное положение фронта этой уединенной волны. Примечательно, что величина Д^, равна сумме размеров исходного медленного солитона и солитона противоположной полярности, возникающего в процессе взаимодействия. Сдвиг фазы медленного и узкого солитона Д^2 накапливается на всех трех этапах столкновения. При этом вклады от первого и третьего этапа по порядку величины равны размерам медленного солитона и солитона обратной полярности. Вклад от второго этапа обусловлен отличием времени АТЫ от времени прохождения невозмущенным

медленным солитоном (со скоростью ~е2Л0') широкой уединенной волны

АТа =е^'Л01п(2 Л/Л0/£,)Лт' и может быть оценен как Л51, = е2Л~' (АТ0 - ДГ,) =

/ е,). Очевидно, что величина Д5,, пропорциональная

размеру быстрого солитона, является определяющей для сдвига фазы медленного солитона Д£2 в рассматриваемой области параметров е, 2. Полученные из качественного описания выражения Д5,2 объясняют появление расходимости в (Д5)2 при е] —> 0 задержкой солитона противоположной полярности, в который трансформируется медленная уединенная волна на этапе наибольшего сближения солитонов: при этом чем больше величина

Д52~(Л~'-Л^1), тем сильнее проявляется аномальность при е, —> 0 . Ясно,

что в случае, когда скорости солитона противоположной полярности и медленного солитона совпадают, такая особенность отсутствует. Этот случай реализуется для составных солитонов расширенного уравнения КдВ (уравнения Гарднера).

Глава 3 посвящена еще одному примеру использования модернизированного приближенного подхода — исследованию эволюции солитонов предельной амплитуды в средах с переменными параметрами. Во введении к данной главе (раздел 3.1.) описано состояние проблемы. Отмечено, что наиболее исследованы к настоящему времени задачи об эволюции солитонов в средах с медленно меняющимися по сравнению с масштабами уединенных волн параметрами. Квазистационарность волнового процесса позволяет в этом случае свести описание трансформации поля уединенной волны к существенно более простой задаче - описанию динамики конечного числа независимых параметров солитона. Насколько регулярна и универсальна ситуация в квазистационарном случае, настолько же разнообразны и специфичны сцена-

го в фаз солитонов

Л5, =54(-ко)-52(-ОО), Л5, =5г(н^о)-5Д-оо)

когда размеры уеди-

рии эволюции солитоиов в ситуациях, когда их масштабы сравнимы или превышают масштабы изменения параметров среды. Существенные различия в характере эволюции солитоиов требуют, очевидно, индивидуальных подходов при изучении конкретных случаев, учитывающих как особенности структуры солитонов, так и особенности характера изменения параметров среды. В данной главе предлагается приближенное описание неквазистационарной эволюции солитонов, которые могут трактоваться как составные структуры, образованные более «элементарными» стационарными волнами — кинками (перепадами поля). Наличие сильно различающихся масштабов у таких солитонов (относительно узкие фронты и спады и протяженные, почти плоские вершины) позволяет рассмотреть ситуации, когда для уединенной волны в целом условия квазистационарности не выполняются, но остаются справедливыми для перепадов поля. Исследование процесса неквазистационарной эволюции солитонов проводится в рамках уравнения Гарднера с переменными коэффициентами (ср.[11, 13]):

Ф, +Ф(а(х,0-ц(х,0Ф)Фд +Р(х,0Ф«1 = 0 . (10)

В разделе 3.2 обсуждается постановка задачи и приводится алгоритм решения. Рассматривается последовательность кииков чередующейся полярности, которые при постоянных параметрах среды а, ц, р = const формируют последовательность солитонов, близких к предельным. При наличии возмущений предполагается, что масштабы изменения коэффициентов а, ц, Р, так же как и пьедесталов (~ Л~'), существенно превосходят масштабы перепадов поля кииков (~ Хт'), но остаются малыми или сравнимыми с расстояниями и интервалами между ними.

Искомое решение строится методом сращиваемых асимптотических разложений, а малый параметр £ по порядку величины равен отношению масштабов А / Хт « 1. В каждом приближении решения, полученные в соседних областях, сшиваются между собой. Во внутренних областях для перепадов поля кинков выполняются условия квазистационарности, поэтому в качестве главных членов разложения в этих областях выступают кинковые решения, параметры которых, определяемые стационарными связями с величинами а,р,р,ф, медленно меняются во времени. Во внешних областях главные члены разложений не имеют фиксированной структуры. Однако, поскольку величины поля в этих областях меняются медленно и плавно по сравнению с изменениями полей в областях перепадов, их эволюция описывается исходным уравнением Гарднера в бездисперсионном приближении, т. е. уравнением простой волны:

Ф, +Ф(а(х,Г)-ц(лг,/)Ф)Ф, = 0. (11)

Процедура сращивания главных членов в разложении решений из внутренних и внешних областей приводит к связи величин медленноменяющихся полей

ф± (x,t) из областей, прилегающих к данному кинку с координатой центра хк (г) со стороны х > х;, и соответственно со стороны х <хк:

I , \

н-(-м)

Добавляя к этим соотношениям зависимость скорости кинка от параметров ц, a ,tj>(xk,t)

получаем вместе с уравнением простой волны замкнутую систему для описания медленно меняющихся полей во всех внешних областях между кинками. Поскольку скорость движения кинка оказывается всегда больше скорости возмущений как в окрестности перед кинком х > xt (t) , так и при х<хк, кривая xk(t) со значениями поля ф _(х^1) является линией начальных данных для уравнения простой волны и определяет поле ф(х,{) в области между двумя последовательными кинками х. (?) и х^ДО- В результате алгоритм построения общего решения состоит в последовательном определении полей ф{x,t) и траекторий кинков xk{t), начиная с области перед первым кинком

рассматриваемой последовательности.

В рамках предложенного подхода в разделе 3.3 рассмотрена неквазиста-ционарная эволюция солитона уравнения Гарднера, близкого к предельному, в случае линейного по времени изменения коэффициента кубичной нелинейности |i(i) = |i0(l + Ei), ц0 = const. В аналитическом виде получены зависимости от времени перепадов поля на фронте и спаде квазисолитона и координаты этих перепадов; в параметрической форме представлены пространственно-временные распределения поля на вершине квазисолитона и поля, появляющегося за его спадом (рис. 4).

Проведено сравнение приближенного описания с результатами прямого численного моделирования уравнения Гарднера, представленными в работе [11]. Отмечено, что как в качественном, так и в количественном отношении приближенное описание собственно квазисолитона (фронт, вершина, спад) находится в хорошем соответствии с численным расчетом, в то же время плавный и медленный ход эволюции поля, возникающего за спадом квазисолитона, нарушается появлением особенностей (неограниченно укручающиеся участки, физически недопустимые неоднородности ).

ф

ф

б

а

X

X

ф

ф

в

г

г

ГЛ

X

X

Рис. 4. Форма квазисолитона в разные моменты времени. Сплошные кривые - точное решение уравнения Гарднера, точки - приближенный асимптотический подход

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

1. Развита теория возмущений для описания неквазистационарной эволюции солитонов близких к предельным, основанная на представлении уединенных волн в виде составных образований, сформированных кинками разных полярностей.

2. Построено приближенное Л'-солитонное решение для уравнения Гарднера, описывающее взаимодействие N солитонов как взаимодействие составляющих их кинков. Показано, что структура общего поля взаимодействующих уединенных волн с учетом поправок, полученных методом сращиваемых асимптотических разложений, имеет вид суперпозиции кинков, как и в точном решении. Установлено, что движение координат центров кинков в приближенном решении определяется из интегрируемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнение Каца - Мербека).

3. Проведено сравнение полученного приближенного решения с точным решением уравнения Гарднера. Показано, что приближенное решение в качественном отношении полностью соответствует точному, т. е. описывает упругое взаимодействие, оставляющее без изменения после столкновения как число солитонов, так и величины их скоростей (амплитуд), а появляющиеся

Основные результаты диссертационной работы

сдвиги фаз для каждого солитона равны сумме сдвигов фаз при парных взаимодействиях. При этом приближенные выражения для сдвигов фаз при парных столкновениях оказываются главными членами разложений соответствующих точных соотношений.

4. Выяснены особенности двухсолитонных взаимодействий, обусловленные их составной структурой. Показано, что при сближении солитонов с большим различием их параметров происходит временное объединение кин-ков, принадлежащих разным уединенным волнам. Это приводит к трансформации узкого солитона в такой же солитон противоположной полярности, движущийся по вершине широкого солитона от его фронта к спаду. Процесс взаимодействия заканчивается обратным превращением узкого солитона в солитон исходной полярности вблизи спада широкого солитона.

5. В рамках разработанного подхода проведено моделирование эволюции фронта приливной внутренней волны, имеющего вид группы солитонов большой амплитуды на двадцатикилометровой трассе шельфовой зоны Тихого океана вблизи северо-западного побережья США. Сравнение результатов расчета на основе приближенного подхода с численным решением уравнения Гарднера и данными натурных исследований, полученных в ходе комплексного эксперимента СОРЕ 1995, демонстрируют хорошее соответствие как во времени движения группы солитонов в целом, так и в изменении интервалов между солитонами в группе на расстояниях, составляющих сотни характерных длин солитонов.

6. Построено приближенное Ы-солитонное решение неинтсгрируемой нелинейной модели СИоьСатаиа, описывающей сильно нелинейные внутренние волны в двухслойной жидкости. Показано, что в качественном отношении построенное решение соответствует аналогичному решению уравнения Гарднера: взаимодействие упругое, скорости и амплитуды солитонов после столкновения восстанавливаются, многочастотные эффекты отсутствуют. Вместе с тем, в случае столкновения солитонов с большим различием их размеров обнаружены аномально большие сдвиги фаз относительно узких солитонов. Выяснено, что эта особенность связана с отличием скорости солитона обратной полярности, временно возникающего на стадии наибольшего сближения уединенных волн, по сравнению со скоростью первоначально узкого солитона. Этот эффект находит подтверждение при численном моделировании и оказывается важным при интерпретации экспериментальных данных эволюции интенсивных внутренних волн.

7. Получено аналитическое решение модельной задачи о квазистационарной эволюции солитона уравнения Гарднера с переменными коэффициентами. Показана эффективность представления уединенной волны как составной структуры, позволившего детально описать трансформацию поля солитона (фронт, спад, вершина) и характерные параметры поля, возникающего за спадом. Полученный результат может быть использован при описании эволюции интенсивных внутренних волн в шельфовой зоне океана.

Список цитируемой литературы

1. Сабинин К.Д., Серебряный А.Н. "Горячие точки" в поле внутренних волн в океане // Акустический журнал, 2007, т. 53, №3, с. 410-436.

2. Apal J., Ostrovsky L.A., Stepanyants Y.A., Lynch J.F. Internal solitons in the ocean andthcir effect on underwater sound // J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 121. № 2. P. 695-722.

3. Ablowilz, M.J., and Clarkson P.A. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering. // London Maths. Society, Lecture Note Series, No. 149. Cambridge Univ. Press. 1991.516р.

4. ЛэмДж.Л. Введение в теорию солитонов. М: Мир, 1983, 295 с.

5. Серебряный А.Н. Проявление свойств солитонов во внутренних волнах на шельфе. // Известия АН. Физика атмосферы и океана, 1993, т. 29, №2, 244-252.

6. Grimshaw R. Solitary waves in density stratified fluids. In: Nonlinear Deformation Waves. (IUTAM Symp., Tallin, 1982), Springer, 1983, 432 - 447.

7. Grimshaw R. Solitary waves in slowly varying environments: long nonlinear waves. // Nonlinear Waves (Ed. L. Debnath). Cambridge Univ. Press. 1983, 44 -67.

8. Gorshkov K.A., Ostrovsky L.A. Interactions of solitons in nonintegrable systems: direct perturbation method and application. // Physica D, 1981, 3, 428 -438.

9. Kropfli R., Ostrovsky L, Smirnov A., Skirta E., Keane A., Irisav V. Relationships between strong internal waves in the coastal zone and their radar signatures // J. Geophys. Res. 1999. V. 104. №C2. P. 3133-3138.

10. Ostrovsky L.A., Gnie J. Evolution equations for strongly nonlinear internal waves. //Phys. Fluids, 2003, 15, 2934- 2948.

11. Nakoulima O., Zahybo N.. Pelynovsky E., Talipova Т., Slunyaev A., Kurkin A. Analytical and numerical studies of the variable-coefficient Gardner equation // Appl. Math. Comput. 152:2004. 449-471.

12. Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelirtovsky E„ Slunyaev A. The generation of large- amplitude solitons from an initial disturbance in the extended Korteweg - de Vries equation // Chaos, 2002b, 12, No. 4, 1070-1076.

13. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Modelling internal solitary waves in the coastal ocean. // Surv.Geophys., 2007, 28, p.273 - 298.

14. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system // J. Fluid Mech. 1999,396, 1-36.

Список публикаций автора по теме диссертации.

Статьи в рецензируемых журналах:

1. Горшков К.А, Островский JI.A., Соустова И.А., Зайцева Н.В., Шевц JI.M. Взаимодействие интенсивных солитонов внутренних волн в рамках уравнений Чой - Камасса(СС-модель) // Изв. РАН. ФАО, 2011, т. 47, №3, с. 339-347.

2. Горшков К.А, Соустова И.А., Ермошкин А.В., Зайцева Н.В. Эволюция составного солитона уравнения Гарднера с переменными коэффициентами // Изв. вузов. Радиофизика, 2012, №5, т.55, с. 324-337.

3. Горшков К.А, Соустова И.А., Ермошкин А.В., Зайцева Н.В., Троицкая Ю.И. О приближенном описании неквазистационарной эволюции соли-тонов внутренних волн, близких к предельным, в рамках уравнения Гарднера с переменными коэффициентами // Фундаментальная и прикладная гидрофизика (в печати).

Статьи в сборниках и тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

1. Gorshkov, К.; Soustov, I.;Shevz L.; Zaytseva N. Interaction of composite solitons in the CC-model // Proc. of III Int. Conf. "Frontiers in nonlinear physics". 2007. C.58-59. Print. IAP RAS. Nizhny Novgorod. 2007.

2. Gorshkov K., Soustova /., Shevz L., Zaytseva N. Composite solitons for the Choi-Camassa model (CC-model) and their importance for the description of the evolution of internal waves without amplitude and velocity constraint // Internationa! conference EGTJ, NP6.02-1 WE3P-0680EGU2007-A-029042007.

3. Горшков K.A., Соустова И.А., Зайцева Н.В. Построение приближенного N-солитонного решения уравнения Гарднера методом сращиваемых асимптотических разложений. //VIII Всероссийская научная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Сборник"Нелинейные колебания механических систем" 2008. Т. 2. С. 304-309, Н. Новгород,

4. Горшков К.А., Соустова И.А., Зайцева Н.В., Шеец Л.М. Составные соли-тоны интенсивных внутренних волн (СС-модель) // XIV научная школа «Нелинейные волны-2008» - Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики. Тезисы докладов конференции молодых ученых. Нижний Новгород : ИПФ РАН, 2008. С. 110-111.

5. Gorshkov К.А., Soustova I.A., Zaytseva N. V., Shevz L.M. Interaction of intense internal wave solitons within the framework of the Choi-Camassa equations // Abstracts of Internal conference «Fluxes and structures in fluid». Moscow, 2009. V.l, p.94-97.

6. Gorshkov K.A., Soustova LA., Zaytseva N. V., Shevz L.M. Compound Solitons of Intense Internal Waves on the Oceanic Shelf // International conference EGU 2009. Geophysical Research Abstracts (GRA). EGU2009-A-02904, 02-1WE3P-0680.

7. Ermoshkin A., Soustova I, Gorshkov K, Dubina V, Troitskaya Yu, and Zaytseva N. Analysis of intense internal wave evolution in the Seas of Japan and Okhotsk using satellite data from synthetic aperture radar and radiometers // PORSEC-2010. NTOU, Taiwan, Keelung, 18-23 October 2010.

8. K.A. Gorshkov, I.A. Soustova, N. V. Zaytseva, L.M. Shevz Compound Solitons of Gardner eguationswith variable coefficients // Proceeding of IV Internatio-

nalconference "Frontiers in nonlinear physics 2010". P. 136. Print. IAP RAS. Nizhny Novgorod, 2010.

9. Ermoshkin A., Soustoval, GorshkovK, Dubina V, Troitskaya Yu, andZaytseva N. Analysis of intense internal wave evolution in the Seas of Japan and Okhotsk using satellite data from synthetic aperture radar and radiometers // Geophysical Research Abstracts Vol. 13, EGU2011-11681, 2011. EGU General Assembly.

10. Горшков K.A., Соустова И.А., Зайцева H.B., Морозова Т.В. Составные солнтоны уравнения Гарднера с переменными параметрами. // Труды X всероссийского съезда по фундаментальной и прикладной механике. Избранные тезисы. Н. Новгород, 2011. С. 52-53.

Содержание диссертации

Введение

Глава 1. Взаимодействие солитонов как составных структур в модели Гарднера

§1.1. Введение

§ 1.2. Уравнение Гарднера. Особенности стационарного решения §1.3. Традиционный подход - взаимодействие солитонов как классических частиц

§ 1.4. Модернизированный приближенный подход для описания взаимодействия близких к предельным солитонов на примере уравнения Гарднера § 1.5. Уравнения движения цепочки кинков

§1.6 Сравнение с экспериментальными исследованиями уединенных волн

большой амплитуды в шельфовой зоне океанов и морей § 1.7. Заключение

Глава 2. Взаимодействие составных солитонов интенсивных внутренних

волн в рамках неинтегрируемой системы уравнений Choi-Camassa §2.1. Введение

§2.2. Уравнения СС-модели. Стационарные решения в виде солитонов и кинков §2.3. Построение приближенных N- солитонных решений СС-модели §2.4. Явные решения уравнения для фаз кинков §2.5. Попутное взаимодействие двух составных солитонов §2.6. Заключение

Глава 3. Эволюция предельных солитонов уравнения Гарднера в средах с

переменными параметрами §3.1. Введение

§3.2. Постановка задачи и алгоритм решения

§3.3. Пример использования приближенного описания

§3.4. Заключение

Заключение

Список литературы

ЗАЙЦЕВА Наталья Владимировна

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КИНКОВ И СОЛИТОНОВ ИНТЕНСИВНЫХ ВНУТРЕННИХ волн

Автореферат

Подписано в печать 12.02.2013. Формат 60 * 90 '/„ Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 13(2013)

Отпечатано на ризографе в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46