Резонансная динамика солитонов в модели синус-Гордона с притягивающими примесями

Гумеров, Азамат Маратович

Резонансная динамика солитонов в модели синус-Гордона с притягивающими примесями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Гумеров, Азамат Маратович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Уфа МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Резонансная динамика солитонов в модели синус-Гордона с притягивающими примесями»

Автореферат диссертации на тему "Резонансная динамика солитонов в модели синус-Гордона с притягивающими примесями"

На правах рукописи

Гумеров Азамат Маратович

Резонансная динамика солитонов в модели синус-Гордона с притягивающими примесями

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

У ЯНВ 2314

Челябинск — 2014

005544879

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор, Екомасов Евгений Григорьевич - ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Официальные оппоненты:

Белим Сергей Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информационной безопасности Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

Овчинников Александр Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина».

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Ордена Трудового Красного Знамени Институт физики металлов Уральского отделения Российской академии наук

Защита состоится «31» января 2014 года в 14ч.00м. на заседании диссертационного совета Д212.296.03 при Челябинском государственном университете по адресу: 454001, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан «_Щ_» декабря 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Е.А. Беленков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. За последние десятилетия в разделах теоретической физики, связанных с исследованиями нелинейных волновых процессов наблюдается большой интерес к изучению динамики солитонов — уединенных части-цеподобных устойчивых волн, способных распространяться с постоянной скоростью и упруго взаимодействовать с себе подобными волнами. Специальные решения, способные описывать поведение подобных волн, известны для ряда нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в том числе уравнения синус-Гордона (УСГ), которое часто используется при построении моделей в самых разнообразных областях естествознания [1-3]: геологии, молекулярной биологии, физике, космологии и т. д. В теоретической физике подобное уравнение применяется, например, для описания нелинейной динамики доменных границ в ферромагнетиках (ФМ) и слабых ферромагнетиках (СФМ), и протекания сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах.

Однако создание различных теоретических моделей, наиболее адекватно описывающих физические системы, приводит к необходимости модифицировать УСГ, вводя, например, переменные коэффициенты, внешнюю силу и затухание. И поскольку, в общем случае, не удается найти точные решения модифицированного уравнения синус-Гордона (МУСГ), для его исследования активно разрабатывается и применяется ряд аналитических методов (например, теория возмущений или метод коллективных координат) [2,4-7]. С помощью данных методов было исследовано достаточно много различных задач, среди которых временная эволюция кинков и солитонов под действием внешней силы различного вида (в том числе, и силы, зависящей от времени и пространственных переменных) [4]. В последнее время подробно изучаются вопросы рассеяния кинков (или топологических солитонов) на областях пространственной модуляции периодического потенциала (или примеси) и возбуждение локализованных нелинейных волн в области таких примесей. Важность этой задачи связана с тем, что, как правило, наличие примеси в модели учитывает наличие дефектов в реальных физических материалах [1, 2]. Было показано также, что влияние примесей на динамику рассеяния солитонов может приводить к качественно новым эффектам [2].

Тем не менее, во многих случаях область применения подобных аналитических методов в теоретической физике существенно ограничена необходимостью наличия малого параметра и они позволяют получить лишь качественную картину эволюции системы. Например, пространственная модуляция периодического потенциала (ПМПП) часто моделируется в виде ¿-функции или в другом специальном виде [2, 8]. В более общем случае возникает необходимость применения методов численного моделирования, которые не только позволяют открывать новые явления, но и значительно продвигают исследователей к построению полной картины уже известных эффектов. Так, например, интересный эффект резонансного обмена энергией между солитонами МУСГ был открыт численно [8], а аналитическое объяснение ему удалось дать, используя метод коллективных переменных.

Надо отметить, что в настоящее время остаются малоисследованными достаточно многие подобные задачи. Например, слабо изучено влияние вида функций, моделирующих пространственную модуляцию периодического потенциа-

ла, на динамику солитонов. Коллективное влияние ПМПП изучалось лишь в частных случаях [2, 9], и практически не рассматривался вопрос их влияния на динамику рассеяния кинка и характер эволюции связанных локализованных нелинейных волн. Поскольку многие работы посвящены исследованиям в рамках бездиссипативных моделей, возникает еще много интересных (с физической точки зрения) вопросов, сохраняются ли открытые эффекты и как изменится поведение системы, при учете затухания и внешней силы. Рассмотрение таких задач могло бы существенно помочь при планировании и проведении экспериментов в реальных физических системах по наблюдению теоретически открытых эффектов (например, резонансного отражения кинков от притягивающих примесей).

Целью данной работы является теоретическое исследование динамики солитонов в одномерной модели синус-Гордона с притягивающими примесями, с учетом генерации локализованных нелинейных волн, описывающей нелинейную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами. Основные задачи, решение которых необходимо для достижения поставленной цели:

1. Изучение резонансной динамики кинков модифицированного уравнения синус-Гордона, при наличии одной и двух локализованных пространственных модуляций периодического потенциала, с учетом возможности генерации высокоамплитудных нелинейных локализованных волн.

2. Исследование связанных колебаний двух высокоамплитудных нелинейных волн, локализованных на примесях.

3. Изучение влияния затухания и внешней силы на резонансную динамику кинков и высокоамплитудных локализованных нелинейных волн.

4. Разработка программного комплекса для вычисления динамических характеристик солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона, инструментов анализа и средств визуализации, необходимых для физической интерпретации численно полученных данных.

Методы исследования. При решении, поставленных в данной работе задач, использовалось математическое моделирование, на основе численного решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. При наличии малого параметра использовался аналитический подход. Путем линеаризации, исходная задача сводилась к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решаемым как аналитически, так и численно. Для получения уравнений, описывающих динамику нелинейных волн, был использован метод коллективных координат, который активно применялся для изучения эволюции динамики солитонов. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Научная новизна:

1. Исследована резонансная динамика рассеяния кинков как на точечной, так и на протяженной, примесях различных видов, размеры которых качественно соответствуют размерам (ширинам) солитонов.

2. На примере двойной примеси показано, что коллективные эффекты влияния таких примесей на динамику кинков во многом связаны с резонансным обменом энергией между солитонами. Впервые изучена временная эволюция, возбуждаемых в результате такого рассеяния локализованных нелинейных волн, и получена система уравнений, аналогичная модели упруго связанных гармонических осцилляторов, приближенно описывающая колебания данных волн.

3. Впервые выполнено исследование влияния диссипации и внешней силы на резонансное рассеяние кинков на одиночной и двойной примеси и на эволюцию, получаемых в результате такого рассеяния локализованных нелинейных волн. В частности, показано, что наличие затухания в системе может приводить к значительному ослаблению (или полному исчезновению) эффектов резонансного рассеяния кинка.

Теоретическая и практическая значимость. Проведенное исследование расширяет знания об общей картине динамики солитонов уравнения синус-Гордона, при наличии ПМПП, которая описывает одномерную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами и протекание сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах сверхпроводников. Результаты исследования динамики кинков при наличии как точечной, так и протяженной примеси, позволяют определить условия наиболее эффективного прохождения кинка через дефектные области материала. Рассмотренная задача с двойной примесью демонстрирует качественно новые эффекты коллективного влияния примесей, вызванные уже известным ранее резонансным обменом энергией между солитонами. Найденный характер влияния затухания и внешней силы на изученные эффекты, делает рассматриваемую модель более соответствующей реальным физическим системам, что позволяет провести сравнение некоторых результатов с экспериментальными исследованиями, для описания которых применима данная модель. Разработанный программный комплекс дает возможность моделирования разнообразных физических задач, описываемых УСГ, подробного анализа и визуализации получаемых результатов в виде векторного поля. Он также может быть задействован в учебном процессе при выполнении лабораторных работ. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследования инерционной резонансной динамики кинков и локализованных нелинейных волн в рамках модели синус-Гордона с одной или двумя притягивающими примесями точечного и протяженного вида. Механизм использования примесей для возбуждения мультисолитонов УСГ определенного вида. Диаграммы возможных сценариев динамики кинка, в зависимости от начальной скорости и расстояния между двумя примесями. Зависимости частот и амплитуд внутренних мод колебаний кинка и примесных волн от параметров, описывающих свойства примеси. Уравнения, описывающие связанную динамику кинка и примесных волн.

вида. Уравнения, описывающие связанную и резонансную динамику кин-ка и примесных волн, учитывающие наличие затухания и внешней силы. Диаграммы возможных сценариев динамики кинка, движущегося под действием внешней силы, в зависимости от начальной стационарной скорости и расстояния между двумя примесями.

3. Разработанный программный комплекс для вычисления динамических характеристик солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона, описывающего одномерную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами и протекание сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах сверхпроводников.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, а также путем сравнения с результатами, полученными другими авторами. Результаты численного моделирования сравнивались с известными предельными случаями, рассчитанными с помощью аналитических методов.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись и докладывались на: Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых — ВНКСФ (Уфа 2008, Кемерово-Томск 2009, Волгоград 2010, Екатеринбург 2011, Красноярск 2012, Архангельск 2013), IV конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» — НННФ-4 (Саратов, 2009), Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа 2009,2010,2011,2012,2013), Открытой школе-конференции стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы» (Уфа, 2010, 2012), Moscow International Symposium on Magnetism — MISM (Москва, 2011), Международной конференции «Functional Materials» — ICFM (Украина, Крым, 2011, 2013), Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-XXXIV» (Новоуральск, 2012), XXII Международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» — НМММ (Астрахань, 2012), Joint European Magnetic Symposia — JEMS (Италия, Парма, 2012), Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (о. Банное, 2013), Международном симпозиуме «Spin Waves» (Санкт-Петербург, 2013), Международной конференции «Современный групповой анализ» — MOGRAN-16 (Уфа, 2013).

Личный вклад. Автор принимал участие в'постановке задач, разработал и оптимизировал комплекс проблемно-ориентированных программ для численного моделирования, анализа и визуализации полученных результатов. Автор выполнил все численные эксперименты. Часть аналитических результатов получена совместно с Е. Г. Екомасовым и Р. В. Кудрявцевым. Разработка некоторых программных модулей велась совместно с Р. Р. Муртазиным.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 29 работах, в том числе, 8 изданы в журналах, рекомендованных ВАК для соискателей ученой степени кандидата наук, 16 — в материалах конференций и других изданиях, 5 — свидетельств о государственной регистрации программ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 178 страниц текста, включающего 85 рисунков, 2 таблицы и 193 библиографических ссылки.

Краткое содержание работы

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В ПЕРВОЙ главе приводится обзор работ по теме диссертации, посвященных значительному количеству аналитических и численных методов решения УСГ и МУСГ. Рассмотрены наиболее важные, с точки зрения темы диссертации, методы решения (аналитический метод коллективных координат, численные методы с явной и неявной схемой). Изложены некоторые основные приложения МУСГ в теоретической физике.

ВТОРАЯ глава посвящена разработке метода численного решения МУСГ, полученного для описания одномерной резонансной динамики доменных границ в ФМ и СФМ с пространственной неоднородностью магнитной анизотропии [10]:

d2U d2U . . гг пи . U dU

-W-W+Kix)smU=-2kSin 2 " «Ж' (1)

тогда U =- U(x, t) описывает отклонение намагниченности от оси легкого намагничивания для ФМ, К{х) — описывает неоднородность константы магнитной анизотропии (или пространственную модуляцию периодического потенциала), h — связано с наличием внешнего постоянного магнитного поля (или внешней силы), а — коэффициент затухания. Для численного решения (1) выбран метод конечных разностей на основе явной схемы решения, позволяющий рассчитать сеточную функцию Uh, значения которой приблизительно совпадают с точным решением U в узлах сетки. В рамках данного метода, решение уравнения (1) сводится к вычислению значений искомой функции в узлах заданной сетки с помощью рекуррентной формулы:

U?+1 = с2 (С/Г-1 + u"+i) + c*ui + 1 - К*{х) sin U" - Ch sin 0.5U?, (2)

где в целях оптимизации введены следующие обозначения:

(3)

Ах - шаг по координате, Дг — шаг по времени. Введение функции К* (х) позволяет предварительно рассчитать ее до начала моделирования, и исключить одну операцию умножения на каждом шаге. Отметим, что данный метод решения одним из первых был применен для численного решения УСГ [11]. Решение двумерного и трехмерного МУСГ построено по аналогичной схеме.

Далее получено необходимое условие устойчивости численной схемы (2):

накладывающее ограничение на выбор сеточных постоянных. Приведены граничные и начальные условия, особенности моделирования волн на границе. Из сравнения с известными аналитическими и численными результатами вычислена погрешность и невязка. Исходя из оптимальных соотношений необходимой точности и времени расчета, подобраны сеточные параметры аппроксимации At и Ах. Кроме этого, разобраны методы численного расчета основных динамических характеристик нелинейных волн и всей системы в целом.

Далее рассмотрены возможные приемы оптимизации вычислений и обсуждена их эффективность с точки зрения скорости выполнения алгоритмов (реализованных в среде программирования Delphi). В частности, специфичность задачи позволила за счет ограничения пределов изменения аргумента и уменьшения точности (при использовании полиномиальной аппроксимации) ускорить вычисление синуса более чем в восемь раз. Для оптимизации обращений к памяти, был использован встроенный ассемблер компилятора Delphi, и было показано, что отказ от абстракций высокоуровневых языков программирования, позволяет обойти многие их ограничения и написать существенно более оптимальный код, чем генерирует компилятор. По результатам тестирования, за счет проведенных оптимизаций, достигнуто общее ускорение вычислений в 4 — 5.57 раз по сравнению с традиционной реализацией. Из сравнения построенных итерационных схем, можно увидеть, как одномерная задача с минимальными изменениями адаптируется до двумерного и трехмерного случаев (в том числе и методы оптимизации). Показаны преимущества явной схемы решения нашей задачи, с учетом возможности проведения аналогичных операций по оптимизации.

Далее описывается реализованный комплекс проблемно-ориентированных программ, который позволяет пользователям не только непосредственно проводить расчеты в рамках рассмотренных моделей и эффективно анализировать полученные результаты, но и строить наглядные анимационные демонстрации. Последнее важно с точки зрения физической интерпретации полученных результатов. Поскольку результаты исследований имеют отношение и к физике магнитных явлений, то визуализация проводилась в виде векторного поля, где вектора соответствуют магнитным моментам. Подобные демонстрации можно также использовать и в образовательном процессе. Разработанные программы позволяют визуализировать динамику нелинейных волновых процессов в виде одномерного и двумерного векторных полей и служат для создания нагаядных анимированных демонстраций различных физических процессов (например, динамики доменных стенок, эволюции магнитных вихрей). Отличительной особенностью данных разработок от множества подобных пакетов состоит в том, что они представляют собой не программный модуль или надстройку к среде программирования, а самостоятельные приложения. Причем, протекание процесса во времени, описывается с помощью аналитических выражений на «встраиваемом» языке с Pascal-подобным синтаксисом.

В ТРЕТЬЕЙ главе исследуется резонансная динамика солитонов МУСГ вида (1) с одиночной и двойной примесями при h = а = 0. Рассмотрены как точечные, так и протяженные примеси различного вида. В случае точечных примесей ПМПП задается в виде:

Kj[x) = 1 -е6(х),

(5)

0.10

0.05

0.05-

0.10-

0.15

Рис. 1: Зависимость конечной скорости движения кинка Vkon от начальной скорости va при W = 1, А К = 0.9. Случаи v¡¡on = 0 соответствуют пиннингу кинка, vkon > 0 - прохождению кинка через примесь, vkon < 0 - отражению кинка от области примеси. Случаи, представленные на рисунках (а) и (б) различаются лишь масштабом

К и (х) = 1 - еб (х) -e6(x-d), (6)

где 0 < е < 1, ó(х) — дельта-функция Дирака, d — параметр, задающий расстояние между двумя примесями. Протяженные примеси моделируются функциями вида:

КАх) - ! х < 0, х > W,

лцх) - | 1 _ AK¡ Q ^ х ^ щ (7)

KrrM-l1' х<0> W<x<W+d, x>2W + d,

АК, O^x^W, W+d^x^W + d, (8)

где W > 0, AK > 0.

Для случаев одиночных примесей вида (5) и (7), с помощью численных и аналитических методов, детально рассматриваются резонансные свойства рассеяния кинка на притягивающей примеси (в зависимости от начальной скорости кинка). Изучен эффект резонансного отражения кинка от притягивающей примеси, который проявляется в виде появления набора узких «резонансных окон» отражения на рассчитанном графике зависимости конечной скорости кинка от начальной, представленном на рис. 1.

Также исследуются локализованные нелинейные волны, возбуждаемые в области примеси как в результате пиннинга кинка, так и в результате его прохождения через примесь. При этом, для малых точечных примесей получены аналитические выражения для амплитуды колебаний примесных волн, которые совпадают с результатами численных расчетов. Для протяженных примесей в линейном приближении получены аналитические выражения, позволяющие найти частоты примесных волн в зависимости от параметров примеси, которые показывают хорошее количественное совпадение с результатами численных расчетов

при малых параметрах примесей. Кроме этого, на примере протяженных примесей рассмотрено влияние вида функции, моделирующей ПМПП, и показано, что для функций различного вида, качественных отличий в рассмотренных эффектах не наблюдается. Результаты расчетов, в соответствующих частных случаях, находятся в согласии с полученными ранее результатами исследований резонансной динамики кинков как для точечных [8, 12], так и для протяженных примесей [13].

Для случая двойной примеси вида (6) и (8), исследуется коллективное влияние примесей на динамику рассеяния кинка. Построена диаграмма возможных вариантов динамики кинка, в зависимости от начальной скорости кинка и от расстояния между примесями (рис. 2). Показано, что существует критическое расстояние между примесями d^-u, разделяющее две области параметров с принципиально различным поведением системы. При d < dcrit область двойной примеси можно в целом рассматривать как эффективную одиночную примесь. Однако при d > da-ц, диаграмма приобретает «лепестковый» характер: области «захвата» и прохождения начинают чередоваться и сопоставление со случаем одиночной примеси невозможно. На рис. 3 приведены соответствующие зависимости конечной скорости кинка от начальной (для трех различных значений параметра d), которые существенно отличаются от случая одиночной примеси, представленного на рис. 1.

Интересно отметить, что в некоторых частных случаях для прохождения кинка через область двойной примеси требуется кинетическая энергия меньшая, чем для прохождения области одиночной примеси с теми же значениями параметров АК и W. Область начальных скоростей кинка, позволяющих преодолевать примесные области (ниже линии vo = = 0.245), можно назвать областью «квазитуннелирования» (см.рис. 2, область 6). Проведенное исследование показало, что для точечных и протяженных примесей наблюдается качественно одинаковая картина. Возможность подобного явления на одиночной примеси была показана ранее в работах [14, 15]. Для некоторых эффектов коллективного влияния примесей (в области d > dcrit) предложен механизм, разработанный ранее для случая одиночной примеси и основанный на идее резонансного обмена энергией между солитонами.

Исследованы также случаи связанных нелинейных волн, локализованных в области примесей. Для случая протяженных примесей вида (8), численно показано, что если на первой примеси локализован кинк, а на второй — нелинейная локализованная волна, то существует несколько областей параметров с различным поведением системы. На рис. 4 представлена зависимость частоты колебаний локализованной нелинейной волны ujim, пульсационной моды кинка ojpulse (кривая 2) и трансляционной моды кинка (¿trans от расстояния между примесями d. При больших значениях параметра d = б — 10, взаимодействия солитонов, локализованных в областях примесей, практически не наблюдается. Начиная с d = 4, наблюдается сильносвязанное состояние кинка и локализованной нелинейной волны, причем внутренние моды колебаний кинка (пульсацион-ная и трансляционная) становятся равными ujim. В третьей, самой узкой области, начиная с d « 1.4—1.6, возможно образование сильно связанного состояния кинка и солитона, которое также является трехкинковым состоянием со значительно более низкой частотой колебаний. Подобные трехкинковые состояния исследо-

Рис. 2: Диаграмма возможной динамики кинка, в зависимости от начальной скорости кинка va и расстояния d между протяженными примесями вида (8), при W = 1, АК = 0.8. Области диаграммы: (1) — захват кинка на одной из примесей с длительным перескоком, (2) — захват на первой примеси, (3) — захват на второй примеси, (4) — прохождение кинка через область обеих примесей, (5) — полное отражение кинка, (6) — область «квазитуннелирования», является частью области (4)

Рис. 3: Зависимость конечной скорости движения кинка у^оп от начальной скорости движения кинка при параметрах примеси вида (8) ДК = 0.8, IV = 1: а) в. = 5, б) с1 = 5.3, в) /1 = 6. Случаи v^ion = 0 соответствуют пиннингу кинка на одной из примесей, укоп > 0 -прохождению кинка через область двойной примеси

0,7

Рис. 4: Зависимость частоты колебаний локализованной нелинейной волны ujijn (кривая 1), пульсационной моды кинка WjmUe (кривая 2) и трансляционной моды кинка wtrana (кривая 3) от параметра d при W = 1, АК = 1.2

вались аналитически также в работе [16]. Для анализа локализованных волн на примесях был также применен коллективно-координатный подход [8, 12]. Суть данного метода состоит в том, что решение исходной задачи ищется в заданном виде иата^(х,Х{Ь)) с несколькими степенями свободы (или «коллективными координатами») Х(Ь) = {Хг(1;), ..., Хп{{)}, которые зависят только от

времени. Это позволяет свести исходную задачу (1) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно введенных коллективных координат Х(Ь), откуда затем и находится их временная эволюция. Для случая, когда на обеих точечных примесях вида (6) возбуждаются локализованные нелинейные волны бризерного типа, были введены две коллективные переменные а\ = а\{€) и <22 = ог(^), а решение искалось в виде:

^'ОПЗО.Ь-: (О I > а2,х) = ах(¿) ехр(—е | х\ /2) 4- о2ехр(—£ \х — б!| /2). (9)

Показано, что в рамках данной модели колебания нелинейных локализованных волн можно описать системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений для гармонических осцилляторов со связью упругого типа:

äi + !Л2а,1 — F {02 — ai) , ö2 + íí2a2 = —F (o2 - oí),

(10)

где П — эффективная собственная частота колебаний локализованной волны:

Ü2 = О2 (е, d) = Ü20 -

£2 [e~£d ( 2 + ed) + ede~id - -2] \e-id

\e~ed{2 + edf -

(И)

fio — частота колебаний локализованной волны на одиночной точечной примеси [2]:

£2

По = 1 - (12)

Р — эффективный коэффициент связи:

г, ^ е2 Ме^ + (2 + ес1)]е-£с1

•Р = -Р (е, й) = г---Ц-Л-. (и)

[е~е<*(2 + ее?)2 - 4]

Показано, что данная модель качественно описывает результаты численного моделирования МУСГ.

Кроме этого, в линейном приближении аналитически получен спектр возможных мод колебаний в области протяженных примесей вида (8), и показано, что при малых значениях параметров примесей наблюдается хорошее количественное совпадение с результатами численного решения (1).

В ЧЕТВЕРТОЙ главе рассматривается влияние затухания а и внешней силы к на основные эффекты, возникающие при рассеянии кинков уравнения (1) на одиночной и двойной примеси. Для того, чтобы раздельно учитывать влияние внешней силы и затухания, в исследованиях кинк движется как по инерции, так и под действием постоянной внешней силы со стационарной скоростью. Поскольку в третьей главе было показано, что использование примесей разных типов не приводит к качественно новым результатам, случаи точечных и протяженных примесей не рассматриваются обособленно.

Для случая одиночной примеси вида (5) с учетом Н и а рассмотрена аналитическая модель, для построения которой, были использованы две коллективные переменные X = Х{€) и а = а(Ь), а решение искалось в виде:

иапаы.г(х,Х{£)) = 4аг^ (ехр [х - Х(Ь)}) + а(Ь) ехр(-ф|/2), (14)

где Х(Ь) описывает временную эволюцию центра кинка, а а{1) — колебания локализованной нелинейной волны в области примеси. Соответствующие уравнения движения получены с помощью коллективно-координатного подхода в виде:

Г 8Х (<) + и' (X) - еа (Ь) Р' (X) = -8ДГ (*) а + 8Л, 1 + = ( }

где и{Х) = 8 - ге/совЬ2 Х{г), Р{Х) = гзшЬХф/совЪ2Х(^, «штрих» означает производную по переменной Х(£).

Анализ системы (15) и численное моделирование соответствующего МУСГ показали, что затухание и внешняя сила противодействуют возникновению эффекта резонансного отражения кинка от притягивающей примеси, однако вызывающая его причина — резонансный обмен энергией между солито-нами — по-прежнему имеет место. Таким образом, картина резонансных окон, представленная для бездиссипативного случая на рис. 1, при определенной величине затухания, полностью исчезает. Из анализа зависимости минимума трансляционных колебаний А]^пк от начальной скорости кинка г/о, представленной на рис. 5 для случаев слабого (а) и сильного (б) затухания, видно, что широкие резонансные окна на рис. 5а превращаются в небольшие минимумы на рис. 56 (т.е. области отражения переходят в области пиннинга кинка). Данный факт может служить объяснением того, почему резонансные эффекты являются трудно наблюдаемыми в реальных физических экспериментах.

б)

)а'„

0.2

0.4

0.6

Рис. 5: Максимум А'кык и минимум А'к\пк амплитуды трансляционных колебаний кинка в зависимости от начальной (стационарной) скорости кинка ио в модели (15). При построении параметр ио табулировался с шагом 6у = 10~4 при: а) а = 0.002, б) а = 0.02

Рис. 6: Диаграмма возможной динамики движущегося по инерции кинка, в зависимости от начальной стационарной скорости кинка и0 и расстояния <1 между протяженными примесями вида (8), при УУ = 1, А К = 0.8 и а = 0.02. Области диаграммы: (1) — захват кинка на первой примеси, (2) — захват кинка на второй примеси, (3) — прохождение кинка через

область обеих примесей

Далее рассмотрены колебания, локализованных в области примеси нелинейных локализованных волн, и найдено аналитическое выражение для декремента затухания — А = сет/По- Показано, что типичные величины внешней силы, которые используются в компьютерных экспериментах в рамках данной работы, не оказывают существенного влияния на колебания локализованных волн.

Для случая двойной примеси численно показано, что основные эффекты коллективного влияния примесей на инерционную динамику кинка практически полностью исчезают при наличии затухания. Диаграмма возможной динамики для этого случая приведена на рис. 6. Учет затухания привел к существенному упрощению структуры диаграммы возможной динамики кинка (по сравнению с бездиссипативным случаем, представленным на рис. 2) и исчезновению резонансных окон прохождения через область двойной примеси, поскольку лежащие

Рис. 7: Диаграмма возможной динамики кинка, движущегося под действием внешней силы,

в зависимости от начальной стационарной скорости кинка г>о и расстояния d между протяженными примесями вида (8), при W = 1, АК = 0.8 и а — 0.02. Области диаграммы: (1) — захват кинка на первой примеси, (2) — захват кинка на второй примеси, (3) — прохождение кинка через область обеих примесей

в основе данного эффекта малоамплитудные волны быстро затухают. Т.е. наличие диссипации приводит к ослаблению влияния локализованных нелинейных волн на динамику кинка. Совершенно по-иному выглядит диаграмма при действии внешней силы (рис. 7). Структура диаграммы в значительной степени похожа на бездиссипативный случай, и механизм коллективного влияния примесей аналогичен рассмотренному в третьей главе.

Численное и аналитическое исследование колебаний связанных локализованных примесных волн показало, что поскольку рассматриваемая внешняя сила не оказывает заметного влияния, то их колебания, с учетом затухания, с хорошей точностью могут описываться системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

( ах + ПЪа,! = -аг) -а'^а,

\а2 + П20а2 = (а2 - а1) - а2{1)а, ^

которая отличается от бездиссипативного случая (10) появлением дополнительного диссипативного члена с коэффициентом а.

Основные результаты и выводы

1. Исследована динамика рассеяния кинков на одиночной и двойной примесях с учетом возникновения резонансных эффектов для случая точечных и протяженных примесей. На основе явной схемы разработана методика и алгоритм расчета структуры и динамических характеристик солитонов уравнения синус-Гордона в модели с притягивающими примесями. Создан программный комплекс для вычисления резонансной динамики солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона, с помощью которого изучены возможные сценарии динамики кинков при наличии точечных и протяженных притягивающих примесей. Для малых одиночных точечных примесей, в случае малых скоростей движения, найдена аналитическая зависимость амплитуды колебаний локализованной волны от параметров данной примеси, которая качественно описывает полученные численно результаты. Для одиночной протяженной примеси найдена аналитическая формула, описывающая зависимость критической скорости движения кинка, при которой происходит его отражение от притягивающего потенциала, от частоты возбуждаемой на примеси нелинейной волны бризерного типа, количественно описывающая полученные численно результаты.

2. На примере двойной примеси показано, что коллективные эффекты влияния примесей на динамику кинков во многом связаны с резонансным обменом энергией между солитонами. Построена диаграмма возможных сценариев динамики кинка в зависимости от начальной скорости и расстояния между двумя примесями. Обнаружено наличие критического расстояния между примесями, разделяющего параметры двойной примеси на две области с качественно различным поведением системы. В первой области, где расстояние между примесями достаточно мало, рассеяние кинка происходит аналогично случаю одиночной примеси. Во второй — наблюдается существенно более сложная динамика рассеяния кинка, связанная со взаимодействием кинка и локализованной в области примеси нелинейной волны. Рассчитаны

зависимости частот и амплитуд внутренних мод колебаний кинка и примесных волн от параметров, описывающих свойства примеси. Наблюдался новый динамический эффект «квазитуннелирования» кинка, т.е. прохождение кинка через эффективный потенциальный барьер, появляющийся из-за наличия двух примесей в системе при скоростях, меньших минимального значения для случая одиночной примеси. Полученный результат - существование диапазона параметров, в котором для прохождения кинка через обе примеси требуется существенно меньше энергии, может быть интересен с практической точки зрения.

3. Показана возможность генерации и исследована структура и характеристики трехкинковых связанных состояний, образуемых на двойной примеси (когда на одной примеси локализован кинк, а на второй — локализованная нелинейная волна бризерного или солитонного типа). Обнаружено наличие критического расстояния между примесями, при котором меняется тип взаимосвязи между локализованными волнами. Найдены условия для генерации особого трехкинкового решения уравнения синус-Гордона типа «воббл». Для случая четырехкинковых состояний (когда имеем локализованные на обеих примесях связанные колебания нелинейных волн бризерного типа) в линейном приближении найдена система обыкновенных дифференциальных уравнений для двух гармонических осцилляторов со связью упругого типа, которая качественно описывает полученные численно результаты.

4. С учетом внешней силы и затухания, с помощью метода коллективных переменных, получена система дифференциальных уравнений для координат центра кинка и примесной волны, описывающая динамику рассеяния кинка на одиночной точечной примеси. Анализ данных уравнений и результатов численного моделирования МУСГ, в том числе и для протяженной примеси, показали, что затухание и внешняя сила противодействуют возникновению резонансного отражения кинка от притягивающей примеси. Однако, вызывающая его причина — резонансный обмен энергией между солитонами — по-прежнему имеет место. Для случая двойной примеси показано, что основные эффекты коллективного влияния примесей на инерционную динамику кинка практически полностью исчезают под действием большого затухания. Однако, при учете действия внешней силы, поведение системы во многом похоже на случай инерционного рассеяния кинка на двойной примеси. Проведенное численное исследование колебаний связанных локализованных примесных волн показало, что их колебания, с учетом затухания, с хорошей точностью можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Для обнаружения резонансных эффектов отражения и квазитуннелирования в реальных физических экспериментах, предложен метод измерения амплитуды трансляционных колебаний локализованного в области примеси кинка и использование физических систем с достаточно слабым затуханием.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертационной работы

[А1] Екомасов, Е. Г. Моделирование нелинейной динамики магнитных неод-нородностей в реальных магнетиках / Е. Г. Екомасов, Ш. А. Азаматов, Р. Р. Муртазин, А. М. Гумеров, А. Д. Давлетшина // Известия РАН. Серия физическая. - 2010. - Т. 74, № 10. - С. 1520-1522.

[А2] Екомасов, Е. Г. Численное моделирование пиннинга и нелинейной динамики доменных границ в ферромагнетиках с дефектами / Е. Г. Екомасов, А. М. Гумеров, И. И. Рахматуллин // Вестник Башкирского университета. — 2010. - Т. 15, № 3. - С. 564-566.

[A3] Екомасов, Е. Г. Моделирование взаимодействия нелинейных волн в модели синус-Гордона для материалов с дефектами / Е. Г. Екомасов, А. М. Гумеров // Перспективные материалы. — 2011. — № 12. — С. 104-108.

[A4] Екомасов, Е. Г. Нелинейная динамика доменных границ в ферромагнетиках с учетом возбуждения магнитных солитонов на дефектах / Е. Г. Екомасов, А. М. Гумеров // Письма о материалах. — 2012. — Т. 2. — С. 17-20.

[А5] Екомасов, Е. Г. О возбуждении солитонов при взаимодействии кинков уравнения синус-Гордона с притягивающей примесью / Е. Г. Екомасов, А. М. Гумеров, Р. Р. Муртазин // Компьютерные исследования и моделирование. - 2012. - Т. 4, № 3. - С. 509-520.

[А6] Гумеров, А. М. Исследование влияния точечных дефектов на нелинейную динамику магнитных неоднородностей / А. М. Гумеров, Е. Г. Екомасов // Письма о материалах. — 2013. — Т. 3, № 2. — С. 103-105.

[А7] Екомасов, Е. Г. Коллективное влияние примесей на динамику кинков модифицированного уравнения синус-Гордона / Е. Г. Екомасов, А. М. Гумеров, Р. Р. Муртазин // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013. — Т. 5, № 3. - С. 403-U2.

[А8] Ekomasov, Е. G. One-dimensional dynamics of domain walls in two-layer ferromagnet structure with différent parameters of magnetic anisotropy and exchange / E. G. Ekomasov, R. R. Murtazin, О. B. Bogomazova, A. M. Gumerov // J. Magn. Magn. Mater. — 2013. — Vol. 339. — P. 133.

Публикации в других изданиях

[А9] Екомасов, Е. Г. Численное моделирование нелинейной динамики доменных границ в ферромагнетиках с учетом возбуждения магнитных неоднородно-стей на дефектах / Е. Г. Екомасов, А. М. Гумеров, И. И. Рахматуллнн // Межвузовский сборник научных трудов «Структурные и динамические эффекты в динамических средах». — Уфа : РИЦ БашГУ, 2011. — С. 111-119.

[А 10] Ekomasov, Е. G. The nonlinear dynamics of the magnetic nonhomogeneities simulation in real magnetics / E. G. Ekomasov, R. R. Murtazin, Sh. A. Azam-atov, A. M. Gumerov // International Conference "Functional Materials". — Crimea, Ukraine, 2009. - P. 24.

[All] Гумеров, A. M. Моделирование взаимодействия нелинейных волн в модели синус-Гордона в материалах с дефектами / А. М. Гумеров, Е. Г. Екомасов // Тезисы докладов Открытой школы-конференции стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы». — Уфа : БашГУ, 2010. — С. 269.

[А 12] Ekomasov, Е. G. Simulation of dynamics of domain walls in magnetic with ID and 2D in modulation of magnetic anisotropy parameters / E. G. Ekomasov, A. M. Gumerov, R. R. Murtazin, A. E. Ekomasov // Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism". Nanospintronics. — Ekaterinburg, 2010. — P. 334.

[A 13] Екомасов, E. Г. Моделирование возбуждения и взаимодействия нелинейных волн в модели синус-Гордона для материалов с дефектами / Е. Г. Екомасов, Ш. А. Азаматов, Р. Р. Муртазин, А. М. Гумеров // Материалы IX Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Челябинск : Изд-во Челяб. гос. ун-та,

2010. - С. 196.

[А 14] Ekomasov, Е. G. Dynamics of the magnetic nonhomogenities of the magnetic with ID nonhomogenities modulation of the magnetic anisotropy parameters / E. G. Ekomasov, A. M. Gumerov, О. B. Bogomazova [et al.] // Moscow International Symposium on Magnetism. — Moscow : MSU, 2011. — P. 460.

[A 15] Ekomasov, E. G. Dynamics of the domain walls of the magnetic with ID and 2D case nonhomogenities modulation of the parameters of the magnetic anisotropy / E. G. Ekomasov, R. R. Murtazin, A. M. Gumerov, A. E. Ekomasov // International Conference "Functional Materials". — Crimea, Ukraine,

2011. - P. 96.

[A 16] Екомасов, E. Г. Нелинейная динамика магнитных неоднородностей в ферромагнетиках с периодической модуляцией параметров анизотропии и обмена / Е. Г. Екомасов, Р. Р. Муртазин, А. М. Гумеров [и др.] // Тезисы докладов Международной зимней школы физиков-теоретиков «Коуровка-XXXIV». - Новоуральск, 2012. - С. 27.

[А 17] Екомасов, Е. Г. Исследование влияния одиночных и двойных локализованных дефектов на нелинейную динамику магнитных неоднородностей в

ферромагнетиках / Е. Г. Екомасов, А. М. Гумеров, Р. Р. Муртазии [и др.] // Сборник трудов XXII Международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах». — Астрахань : Астрах, гос. ун-т, 2012. — С. 191.

[А 18] Gumerov, А. М. Dynamics of the domain walls in magnetic with modulation of the parameter of the magnetic anisotropy / A. M. Gumerov, R. R. Murtazin, E. G. Ekomasov // Joint European Magnetic Symposia. — Italy, Parma, 2012. - P. 312.

[A19] Gumerov, A. M. Nonlinear dynamics of the domain walls in magnetic with modulation of the parameter of the magnetic anisotropy / A. M. Gumerov, E. G. Ekomasov, R. R. Murtazin, R. V. Kudryavtsev // 36th International Conference of the Asian Union of Magnetics Societies. — Japan, Nara, 2012. — P. 42.

[A20] Ekomasov, E. G. Nonlinear dynamics of the magnetic inhomogenities in magnetic with modulation of the magnetic parameters / E. G. Ekomasov, A. M. Gumerov, R. R. Murtazin // International Conference Nonlinear Equations and Complex Analysis. — Bannoe Lake (Russia) : Institute of Mathematics with Computer Center of RAS, 2013. - P. 24.

[A21] Gumerov, A. M. Simulation of nonlinear dynamics of the domain walls in magnetic with modulation of the parameter of the magnetic anisotropy / A. M. Gumerov, E. G. Ekomasov, R. R. Murtazin, R. V. Kudryavtsev // International Symposium "Spin Waves". - Saint Petersburg : Ioffe Physical-Technical Institute, 2013. - P. 160.

[A22] Gumerov, A. M. One-dimensional dynamics of the domain walls in multilayer ferromagnetic structure / A. M. Gumerov, R. R. Murtazin, R. V. Kudryavtsev, E. G. Ekomasov // Joint European Magnetic Symposia. — Rhodes, Greece, 2013. - P. 172.

[A23] Gumerov, A. M. One-dimensional dynamics of the domain walls in multilayer ferromagnetic structure / A. M. Gumerov, R. V. Kudryavtsev, E. G. Ekomasov, V. V. Plavsky // International Conference "Functional Materials". — Simferopol, Ukraine : DIP, 2013. - P. 163.

[A24] Ekomasov, E. G. Excitation of high-amplitude localized nonlinear waves as a result of interaction of kink with attractive impurity in sine-Gordon equation [Electronic resource] / E. G. Ekomasov, A. M. Gumerov, R. R. Murtazin [et al.] // arXiv: 1307.3470 [nlin.PS]. - 2013. - URL: http: //arxiv.org/abs/1307.3470vl.

Патенты и авторские свидетельства на программное обеспечение

[А25] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619121: <Программный модуль анализа дискретных временных рядов> / Гумеров А. М., Екомасов Е. Г. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619121 от 25.09.2013. Роспатент.

[А26] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013616082: <Программный пакет для моделирования нелинейных волн модифицированного уравнения синус-Гордон> / Гумеров А. М., Екома-сов Е. Г., Муртазин Р. Р. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013616082 от 26.06.2013. Роспатент.

[А27] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013616083: «Визуализация динамики одномерных нелинейных волн> / Гумеров А. М., Екомасов Е. Г., Муртазин Р. Р. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013616083 от 26.06.2013. Роспатент.

[А28] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619211: «Программный продукт для численного моделирования трехмерной динамики солитонов уравнения sine-Gordon с примесями> / Гумеров А. М., Екомасов Е. Г. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619211 от 27.09.2013. Роспатент.

[А29] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619119: «Динамическая визуализация двумерного векторного поля> / Гумеров А. М., Екомасов Е. Г. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619119 от 25.09.2013. Роспатент.

Список цитируемой литературы

[1] Ферро- и антиферромагнитодинамика. Нелинейные колебания, волны и со-литоиы / М. А. Шамсутдинов, В. Н. Назаров, И. Ю. Ломакина [и др.]. — М. : Наука, 2009. - 368 с.

[2] Браун, О. М. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения / О. М. Браун, Ю. С. Кившарь. — М. : Физматлит, 2008. — 519 с.

[3] Борисов, А. Б. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках. Т.2. Топологические солитоны, двумерные и трехмерные «узоры» / А. Б. Борисов, В. В. Киселев. — Екатеринбург : УрО РАН, 2011. - 416 с.

[4] Шаповалов, А. В. Солитоны уравнения синус-Гордона / А. В. Шаповалов, Л. А. Краснобаева. - Томск : Изд-во ТГУ, 2009. - 192 с.

[5] Knight, С. J. К. Stability of stationary fronts in a non-linear wave equation with spatial inhomogeneity / C. J. K. Knight, G. Derks, A. Doelman, H. Susanto // Journal of Differential Equations. - 2013. - Vol. 254, no. 2. - P. 408^68.

[6] Ferreira, L. A. The concept of quasi-integrability: a concrete example / L. A. Ferreira, W. J. Zakrzewski // Journal of High Energy Physics. — 2011. — Vol. 2011,no. 5. - P. 1-39.

[7] Dauxois, Т. Physics of solitons / T. Dauxois, M. Peyrard. — New York : Cambridge University Press, 2010. — 436 p.

[8] Kivshar, Yu. S. Resonant soliton-impurity interactions / Yu. S. Kivshar, F. Zhang, L. Vazquez // Phys. Rev. Lett. - 1991. - Vol. 67. - P. 1177-1180.

[9] Paul, D. I. Application of soliton theory to ferromagnetic domain wall pinning / D. I. Paul // Physics Letters A. - 1978. — Vol. 64, no. 5. - P. 485-488.

[10] Екомасов, E. Г. Изучение зарождения и эволюции магнитных неоднород-ностей типа солитонов и бризеров в магнетиках с локальными неоднород-ностями анизотропии / Е. Г. Екомасов, Ш. А. Азаматов, Р. Р. Муртазин // Физика Металлов и Металловедение. — 2008. — Т. 105, № 4. — С. 341-349.

[11] Perring, J. К. A model unified field equation / J. К. Perring, Т. H. R. Skyrme // Nuclear Physics. - 1962. - Vol. 31. - P. 550-555.

[12] Goodman, R. H. Interaction of sine-Gordon kinks with defects: The two-bounce resonance / R. H. Goodman, R. Haberman // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2004. - Vol. 195, no. 3. - P. 303-323.

[13] Piette, B. Scattering of sine-Gordon kinks on potential welts / B. Piette, W. J. Zakrzewski // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2007. - Vol. 40. - P. 5995-6010.

[14] Kalbermann, G. A model for soliton trapping in a well / G. Kalbermann // Chaos, Solitons and Fractals. - 2001. - Vol. 12, no. 13. - P. 2381-2385.

[15] Javidan, K. Analytical formulation for soliton-potential dynamics / K. Javidan // Phys. Rev. E. - 2008. - Vol. 78. - P. 046607.

[16] Ferreira, L. A. Wobbles and other kink-breather solutions of sine-Gordon model / L. A. Ferreira, B. Piette, W. J. Zakrzewski // Phys. Rev. E. — 2008. — Vol. 77. - P. 036616.

Подписано в печать 29/11/13. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 120 экз. Заказ 1186. Гарнитура «TimesNewRoman». Отпечатано в типографии «ПЕЧАТНЫЙ ДОМЪ» ИП ВЕРКО. Объем 1,5 п.л. Уфа, Карла Маркса 12 корп. 5. т/ф: 8(347) 27-27-600, 27-29-123

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Гумеров, Азамат Маратович, Уфа

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физико-технический институт Кафедра теоретической физики

На правах рукописи

04201455938

ГУМЕРОВ АЗАМАТ МАРАТОВИЧ

РЕЗОНАНСНАЯ ДИНАМИКА СОЛИТОНОВ В МОДЕЛИ СИНУС-ГОРДОНА С ПРИТЯГИВАЮЩИМИ

ПРИМЕСЯМИ

Специальность 01.04.02 — «Теоретическая физика»

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Екомасов Е.Г.

Уфа - 2013

Оглавление

Введение......................................................................................5

1 Литературный обзор..................................10

1.1 Уравнение синус-Гордона и его применение в теоретической физике..............11

1.1.1 Уравнение синус-Гордона. Интегрируемая модель..........................11

1.1.2 Модификации уравнения синус-Гордона, близкие к интегрируемым моделям ............................................................................14

1.1.3 Энергия известных решений уравнения синус-Гордона ....................19

1.2 Аналитические методы решения модифицированного уравнения синус-Гордона 21

1.2.1 Метод коллективных координат..............................................24

1.2.2 Пример использования метода с одной коллективной переменной .... 26

1.2.3 Пример использования метода с двумя коллективными переменными . . 29

1.3 Численные методы решения модифицированного уравнения синус-Гордона . . . 32

1.3.1 Конечно-разностные методы решения на примере линейного волнового уравнения........................................................................33

1.3.2 Конечно-разностные схемы для нелинейного уравнения Клейна-Гордона 37

1.3.3 Другие методы численного решения УСГ....................................39

1.4 Выводы по главе........................................................................41

2 Методика численного решения модифицированного уравнения синус-Гордона . 42

2.1 Численная схема........................................................................43

2.1.1 Случай одномерного уравнения................................................43

2.1.2 Случай многомерного уравнения..............................................49

2.1.3 Исследование устойчивости явной схемы....................................51

2.2 Методы расчета характеристик системы, структуры кинка и локализованных волн......................................................................................53

2.2.1 Вычисление динамических характеристик кинка............................53

2.2.2 Частотный анализ временных зависимостей ................................56

2.3 Выбор параметров численной схемы и расчет погрешности........................58

2.3.1 Выбор шага по координате....................................................59

2.3.2 Выбор шага по времени. Анализ устойчивости схемы......................61

2.3.3 Поглощение волн на краях сетки..............................................62

2.4 Способы аппроксимации дельта-функции при численных расчетах ..............64

2.5 Оценка производительности численных схем и их вычислительная оптимизация 69

2.6 Выводы по главе........................................................................79

3 Резонансная инерционная динамика солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона....................................80

3.1 Динамика кинка в модели с одиночной примесью..................................80

3.1.1 Рассеяние кинка на одиночной точечной примеси..........................81

3.1.2 Рассеяние кинка на одиночной протяженной примеси......................88

3.1.3 Динамика локализованных в области примеси нелинейных волн .... 94

3.1.4 Вычисление частоты колебательной моды в линейном приближении . . 99

3.1.5 Влияние формы примеси на динамику солитонов .............102

3.2 Динамика кинка в модели с двумя примесями...................103

3.2.1 Динамика рассеяния кинка в случае точечных примесей.........105

3.2.2 Динамика рассеяния кинка в случае протяженных примесей.......108

3.2.3 Генерация трехкинковых мультисолитонных состояний. Тритоны .... 115

3.2.4 Возбуждение и эволюция связанных локализованных примесных мод (квадронов) в случае точечных примесей..................117

3.2.5 Возбуждение и эволюция связанных локализованных примесных мод (квадронов) в случае протяженных примесей................124

3.3 Выводы по главе....................................136

4 Влияние внешней силы и затухания на резонансную динамику солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона.....................138

4.1 Динамика кинка при наличии одиночной примеси.................140

4.1.1 Анализ задачи методом коллективных координат .............140

4.1.2 Влияние затухания на динамику кинков ..................145

4.1.3 Колебания локализованных волн с учетом затухания и внешней силы . 149

4.2 Резонансная динамика кинка при наличии двойной примеси...........152

4.2.1 Влияние затухания и внешней силы на динамику рассеяния кинка на двойной примеси................................152

4.2.2 Генерация четырехкинковых мультисолитонных состояний в модели с двойной примесью...............................155

4.3 Выводы по главе....................................159

Заключение.........................................162

Список сокращений.....................................164

Авторский список публикаций..............................165

Список использованных источников...........................168

Введение

Актуальность темы. За последние десятилетия в теоретической физике при исследованиях нелинейных волновых процессов наблюдается бурный прогресс, характеризуемый рядом фундаментальных достижений. Одним из таких достижений бесспорно является прогресс в изучении динамики солитонов — уединенных частицеподобных устойчивых волн, способных распространяться с постоянной скоростью и упруго взаимодействовать с себе подобными волнами. Специальные решения, способные описывать поведение подобных волн, были открыты для ряда нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, часто называемых также «солитонными» уравнениями, одним из самых известных представителей которых является уравнение синус-Гордона (УСГ). Замечательным свойством данного уравнения является его полная интегрируемость.

На сегодняшний день, модели, основанные на использовании данного уравнения и его различных модификаций, встречаются в самых разнообразных областях естествознания [13]: геологии, молекулярной биологии, физики, космологии и т.д. Помимо физической привлекательности солитонная наука интересна и с математической точки зрения. Открытие новых точных решений солитонного типа и исследование различных свойств уже известных, является актуальной математической задачей. При этом, разработано значительное количество методов интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (таких как, например, метод обратной задачи рассеяния, метод Хироты или преобразований Бэклунда) [4, 5], с помощью которых были найдены различные точные решения УСГ типа кинка, бризера и их различные мультисолитонные комбинации (см., например, [6, 7]).

Однако построение различных моделей, наиболее адекватно описывающих физические системы, приводит к необходимости модифицировать УСГ, вводя, например, переменные коэффициенты, внешнюю силу и затухание. Подобное уравнение применимо для теоретического описания динамики доменных границ в ферромагнетиках (ФМ) и слабых ферромагнетиках (СФМ) и протекания сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах сверхпроводников. И поскольку, в общем случае, не удается найти точные решения модифицированного уравнения синус-Гордона (МУСГ), для его исследования активно разрабатывается и применяется ряд аналитических методов (таких как, например, теория возмущений или метод коллективных координат) [2, 8-11]. С помощью данных методов был исследован ши-

рочайший спектр различных задач, среди которых, например, временная эволюция кинков и солитонов под действием внешней силы различного вида (зависящих от времени и пространственных переменных) [8]. Подробно изучаются также вопросы рассеяния кинков на области пространственной модуляции периодического потенциала (или примеси) и возбуждение локализованных нелинейных волн в области таких примесей. Было показано также, что их влияние на динамику рассеяния солитонов может приводить к качественно новым эффектам [2].

Тем не менее, во многих случаях область применения подобных аналитических методов в теоретической физике существенно ограничена необходимостью наличия малого параметра и они позволяют получить лишь качественную картину эволюции системы. Например, пространственная модуляция периодического потенциала часто моделируется в виде ¿-функции, или в других специальных видах. В более общем случае возникает необходимость применения методов численного моделирования, которые не только позволяют открывать новые явления, но и значительно продвигают исследователей к построению полной картины уже известных эффектов. Так, например, интересный эффект резонансного обмена энергией между солитонами МУСГ был открыт численно [12], а качественное объяснение ему было дано на основе метода коллективных переменных.

Надо отметить, что в настоящее время остаются малоисследованными достаточно многие подобные задачи. Например, слабо изучено влияние вида функций, моделирующих примеси, на динамику солитонов. Коллективное влияние подобных неоднородностей изучалось лишь в частных случаях [2, 13], и практически не рассматривался вопрос их влияния на динамику рассеяния кинка и характер эволюции связанных локализованных колебательных мод. Поскольку многие работы посвящены исследованиям в рамках бездиссипативных моделей, возникает еще много интересных (с физической точки зрения) вопросов. Например, сохраняются ли открытые эффекты и как изменится поведение системы при учете затухания и внешней силы. Рассмотрение таких задач могло бы существенно помочь при проведении экспериментов в реальных физических системах по наблюдению теоретически открытых эффектов (например, резонансного отражения кинков от притягивающих примесей).

1. Изучение резонансной динамики кинков модифицированного уравнения синус-Гордона, при наличии одной и двух локализованных пространственных модуляций периодиче-

ского потенциала, с учетом возможности генерации высокоамплитудных нелинейных локализованных волн.

2. Исследование связанных колебаний двух высокоамплитудных нелинейных волн, локализованных на примесях.

4. Разработка программного комплекса для вычисления динамических характеристик со-литонов модифицированного уравнения синус-Гордона, инструментов анализа и средств визуализации, необходимых для физической интерпретации численно полученных данных.

Методы исследования. При решении, поставленных в данной работе задач, использовалось математическое моделирование, на основе численного решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. При наличии малого параметра использовался аналитический подход. Путем линеаризации, исходная задача сводилась к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решаемым как аналитически, так и численно. Для получения уравнений, описывающих динамику нелинейных волн, был использован метод коллективных координат, который активно применялся для изучения эволюции динамики солито-нов. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Научная новизна:

что наличие затухания в системе может приводить к значительному ослаблению (или полному исчезновению) эффектов резонансного рассеяния кинка.

Основные положения, выносимые на защиту:

2. Результаты исследования влияния затухания и внешней силы на резонансную динамику кинков и локализованных нелинейных волн в рамках модели синус-Гордона с одной или двумя притягивающими примесями различного вида. Уравнения, описывающие связанную и резонансную динамику кинка и примесных волн, учитывающие наличие затухания и внешней силы. Диаграммы возможных сценариев динамики кинка, движущегося под действием внешней силы, в зависимости от начальной стационарной скорости и расстояния между двумя примесями.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись и докладывались на: Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых — ВНКСФ (Уфа 2008, Кемерово-Томск 2009, Волгоград 2010, Екатеринбург 2011, Красноярск 2012, Архангельск 2013), IV конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» — НННФ-4 (Саратов, 2009), Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа 2009, 2010, 2011, 2012, 2013), Открытой школе-конференции стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы» (Уфа, 2010, 2012), Moscow International Symposium on Magnetism — MISM (Москва, 2011), Международной конференции «Functional Materials» — ICFM (Украина, Крым, 2011, 2013), Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-XXXIV» (Новоуральск, 2012), XXII Международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» — НМММ (Астрахань, 2012), Joint European Magnetic Symposia — JEMS (Италия, Парма, 2012), Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (о. Банное, 2013), Международном симпозиуме «Spin Waves» (Санкт-Петербург, 2013), Международной конференции «Современный групповой анализ» — MOGRAN-16 (Уфа, 2013).

Личный вклад. Автор принимал �