Функциональные интегралы , которые соответствуют квантовым решетчатым системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академ1я наук Укра1ни Ордена Трудового Червоного Прапора 1нстятут математики

На правах рукопиоу ЕАРБУЛЯК Володимир Степанович

ФУНКЦ1ОНАЛЬН1 1НГЕГРАЖ, що вШовШгаъ

КВАНТОВИМ ГРАТКОШМ СИСТЕМАМ 01.01.01 - математичний авалхз

Автореферат дисертацй на здобуття вчеяого ступеня кандидата ф1зико-матештичних наук

KHÏB - 1992

Роботу впконано на кафздр! матемагичного * функхйонального анал!зу Львгвоького ун1версптету хменг 1,Франка

Науковий кер!вшш: доктор фхзико-математичних наук, професор КОНДРАТЬСВ Ю.Г.

Оф1ц1йн1 опоненти: доктор фгзико-математичнюс наук, професор ДАЛЩЬКИЙ Ю.Л.

кандидат фгзико-матештнчипх наук, доцент УС Г.Ф.

Пров1дна установа: Ф1зико-твхн!чний Лнстяяу! ¡шзькпх температур АН Укра'1ни, м. Харк1в

Захист дисерташ! вгдбудстьоя " 3 " АКугрю 1933 р, о годин} на зас1даши спешал1зовано!£ ради Д 016.50.01 пра„1нй2И1УТ1 математики АН Украхни за адресов:

...252601 Кя1в 4, МОТ, пул. ТерещенкхЬська, 3

5 дисерташев можна ознайомитись у б1бл£отещ 1но1итуту. Автореферат роз!слано

19 92-р.

Бчений секретар спе1иал1з-овано'1 рада

ГУСАК Д. В.

г

ЬАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОЮТИ

Актуальн1сть теми Функциональна хнтеграли, цо вхддовхдають ыхрам на просторах траекторий, е важливим класом в эагальнхй тео-pil 1нтегрування на нескхнченновш.ирних просторах. Ta¡ti 1нтеграли виникають в ргзних розд1лах математики i П застосувань. Свди, ■перш за все, вхдносяться теорхя випадкових процесхв i математич-_на_фхзика..

Зараз к!лыйсть ройхт, присвячених дослгдаешш загалышх властивостей функш ональних хнтигралгв i ix застооутиням,над-звнчаГшо великаС дшв., маприклад, вгдповхднг глащ в монографиях Ю.М.Березанського, Ю.Г.Кондратьева "Спектральные методы а беско-нечномерно.ч анализе" ( Кихв, "Наукою думка", 1968 ), Ю.Л.Дале-дького, С.В.Фомгиа "Меры и диффершшишшшо уравнения в бесконечномерных пространствах" ( Москва, "Наука", 1983 ) та лхтера-Typiii коментар1 до них ). ¡Ли зушшимося бтлыл детально на зв"яз-ку функш ональних ¡нтегралхв з деякими задачами математичтй' фч-зики. Тут i'x застосува.чня зв"язане nep¡:i за все з ÍMene.4 Р.Фоин-мана, П10нерсы<1 робоги якого поклали початок хнтенсивпому вико-ристанню функшональних 1нгеграл1В в задачах квантово'1 фхзики. Строга математичне обгрунтуваиня матод функпгонального гнтогру-вання отримав у роботах М.Кана, Р.Камерона, У.Мартхиа та ряду iняих математшйв. Новий-хмпульо застосуванню функш оналышх íh-теграл1в дала евклхдова teopifl поля, яка впникла в 70-х роках i дозволила математ:п;ю отрого переформулювати задачу побудови ряду моделей кпантово! reopi'í поля як проблему 1сцува1шя гшвного класу Mip на функшональних просторах.

Аналог1чний шдх1д в моделях квантовой статистично1 фгзнки був запропонований в роботах Д.Ж}н!бра, С*Альбевер1о та Р.Хоаг-. Крона i розвивавсл потхм в статтях А.Клейна, Л.Ландау, Й.Г.Кондратьева, С.А.Глоби та íhihiix. При яьоад було вияенкно, mío побу-дова температурного стану доя певиого класу квантових граткпвпх сиотем иона бути зведвна до конструкиП канонхчно зв"язано1 э розглядуваною системою мхри на npocropi перходнчних rpasKTopfft,

Мхри на перходичних траектор1ях, як! виникапть гакя.! чином, формально близькх до г!ббсових ;лр в класячнШ статистичнтЭ •|1эя-ai. Проте добре в1дом! результат« Р.Л.Добруаииа, Д.Лббо»1ш, ,В.А.Малшзева, Р.А.М!нлоса, Е.Презуттг, С.Б.Шлссмадз та Ьгчиг, ;i'S стосуюгься проблема хенувания ! едишет! такого т.лпу )iip, h¿ М'-жуть бути безпоеередньо засюсопаи! в гдиЫ ситувд!!. Цг

зано з тхею обставшюю, wo npocrip значень iндиз!дуального спхна зараз е нескхнченновим1рним.Тому методи, ahí викорисговуються при доводеннх тоорем 1снування та единост! в класич!пй статиотичн1Й $Í3Hiii вимагають суттсво! модиф1каш5! при переход! до квантового вгаадау.

■Одним з найваюшвших завдань статистичноХ ф1зики с доолгд-ження критичних лвищ. В TopMiiiax фунюлоналышх iHTei'panin ия задача може Сути переформульована як проблема единост! в1дпов!д-них Mip на траектор1ях. Вгдомо, що виникнення фазового переходу може бути досл1дкенв також при допомоз1 встановлення так званого дальнього порядку в систем!. Останне також допускае Ьиерпрета-Ц1Ю в TñpMÍHax в1дп0в!дних функшональних гнтегралгв. Зокрпма, шш шляхом хенування фазових переходхв в рядх моделей квантовой статистичнох ф1зшш було доведеце в роботах В.Дресслера, Л.Ландау, Ф.Перзиа, Л.А.Пастура, Е.А.ХоруженКЕЦ Проте ^отоди них ро— öir накладавгь досять норсткх обмеяення на вигдяд гамгльгон!а-híb досл1дауваних моделей, як! виключають багато цгкавих в зас-тооуваннях випадкхв. Тому е актуальною задача побудови та дос-л1джешш функшональних 1нтеграя1в, dio згдповхдають квантовим гратковим системам у вяпадну досигь загальних моделей.

Метою nieí днеептат! е побудова i дислхдження власшвостей фушшхенальних 1нтеграл1в на просторах перходачних траекторий та застосування иих 1итеграл1в до деякнх моделей квантовой статистичнох ф!зики.

Наукова новизна, теоретична г практична значимгеть. Bei результата, oTpra.ianí в дисертатх, е новими. Перерахуемо основн! з («г-с.

1. Отримано загальний критерМ хенуванрш фуншпональних хнтегра-Л1в, що вхдповхдають широкому, класу моделей квантовох статистичнох фгздки. •

2. Для 11'.теграл1в з додатковою властив1сгю додатностх при вхдби-ттях доведена теорема, яка дао достатН1 умови 'ix 1снування.

3. Для ряду моделей квантових граткових систем отриманх достатн! умови для наявяоетх критично'^ томлератури.

Результата дисертаагх мояуть бути викориоганг в роздхлах теоретично!' та математичнох (йзшш, що зикористодують технхку ®'Игш1онального 1нтегрування.

Апробадтя ооботи. Результата робоги доповгдались на 1-му иЬадародкт.»у радянсько-польському симпоз!ум! з фхзики оегнето-£те«гр:и«й та споршшних miepiafiin ( Jííbíb, 1990 ), PeonySni-

кацсы^й науково-техн!чк1Й конфоренцп "Парамегрична кристалооп-тика та 'И застосування" ( Карпати, 1590 ), Всесоюзна школх-се-м!иар1 "Метода функционального апалгзу в задачах математичноХ фЬжки" ( Виноград!в, Закарпаття, 1990 ), на сем1нар1 з функшо-нальнога аналгзу в Гнститут! математики АН УкраХни ( науковий кер1вник академгк Ю.М.Березанськии, 1991, 1992 ).

Публгкапп. Основнг результат опублхкокшх автором в 14 роботах, перелхк яких наведено в ихшп автореферату.

Структура { пб"ем робота. ДисертацпЧна робота викладена на. 68 стор}нках х складаеться зг вотупу, трьох глав та описку л!те-рагури, який нарахов.уе 37 назв.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У вступх наведено обгрунтування актуальностг доолхджень, проведених у дасвртаШйнхй робот!, дано короткий огляд змгсту П глав.

I. У перя!й глав! розглядаеться задача побудови гхббсових ( темперагурних ) станхв квантових граткових систем, яка полягас в побудовг вгдпов1дного функц!оналу на алгебр! локальних спосте-ре^ваних, яка ноже бути введена до побудови фушш1 опального хн-теграла на проотор1 пер1одич1ШХ траекторхй. Запропоновано пхдххд до побудови фут<ц{ональних 1нтзграл1в, що в!дловхдають квантовим граткошм системам, який базуеться на введен« спехйальнох топоЛогИ в фунйд!овальному простор!, що перетворпе його в 6" -яом-пактний лшйний гополог1чний проспр. 3 використанням останпьо-

фаизу Узагальнено на квантовий випадок мдомий у класичнп.чу випадау крятер}й 1снувшшл р/лДобрушина,

У §1 фбрмулввгься основн} результам, що стосуються зв"язгсу ыЫ гхбЬсовим станом квантового ангармонгйного оспилятора та функщ ональним 1нтегралом на в1дпов!днону фгнкд!опальному проо-торЬ . •

Дяй квантового ангармЬйхЙного оспйлятора а гам}льтон{аяом

Д - оператор Лапласа, V - аигармон!Йний потапх^ал, то яа-• довольняе умовй

V = г-^(^) ,

Л/С«^) } ьу * в ) € Я , О. > О ,

стан осиилятора при оберненхй температур! р> О визначаеться ян «оаал -п^Ае-Р")

<<А>Р= гг1е-1"н)

на алгебр! всхх обмокених оператор:в /Ч € ( Ь. Якщо розглянути вим}рний прост1р (. ) ., де

Бр - коло довжини р , а (50 - С -алгебра на Бр , шо по-роджена 1шл1ндричшти ынокинами шгляду

4 ... с®*- I > / А , \ : пи иЛ

.....г ^ > <г~'■»•••'

Ь^ £ ! ( вваяаемо Эр вхдрхзком

з ототокненими кгншши), то задача побудовй г!ббсово-го стану ангармон1Йного осшиягора зводиться до побудови м!ри

-рр на мноиш! вс!х траектор!й Ър, Де вишшваз Узлсп1вв1дно- .

' ^ тг(,е*рн)

( с , де - комутатявна пхдалгебра алгебри

Х(Цг). но складаеться з оператормнояенпя на обмежен! вим^рнх функи}:; бЯ^Ъ,

г/ , ^

л*.-,А*, , ■ .

' V

^тяцщс р!ш1сть монна прийнягя як-: означения м!ри ч)^ .

ь1пы1-я того, якео розглянути проетгр гельдероргл: на •

Функц/й -з поаазником гсльдерогост! б"; -

та з нормою

IV 41

го в!рна наступна лема.

Лема 1.1» При виконанн! для потенп!алу V умов (1),(2)

для дов!льного у-

^ с Н^Свр)) - í.

Тобто, Н^^р) С о МНОЯИНОВ П0ВН01 мхри для '.

У §2 показано як схема §1 реал!зуеться у випадку системя ангармо!ПЙних квантошх осшляторгв, роэм1щенях у вузлах н!лочи-аельно! гратки

. Г1ббс!в сган система в облает! Лс2 при оберншШ! температур! £>0 при.певнях припуценнях на потенц!али взаемод!? ко-ректно вязначаеться як фушш!онал ц

Д8

1Л > +

' «л кел *

, - канон1Ч1п опвраторя 1мцульсу 1 координат« на простор!

; - одночастинков! потени!али, що задовольня-

ЮтЬ умови (*),(2); У/^-'.- парняй (дал1 розГлядатимуться I загапь-м!ш!) потенйал взаемодГх,. а А Сереться з С* -алгебра А'ы

обмекенях оператор!в в

Г1ббё!в стан иеон!нчен!Ю1 сиотёми частинок, розм!щешнс у йузлах

означаеться як функшонал на алгебр!

и А ,

взиманий з (3) в результат! граничного переходу

«А>У '

Як показано в роботах С.АльСеге^о, Р.Хоог-Ксона, Ю.Г.Кондрат&а-'м, и.» Задача р!вносияыи пойудов! сЬМ'ствд м!р

G

P

<U (cot-»* 4- e-0xd/4^.)),

да Дс Z та гранично'1 (в neвному розум1ши) мри

Ор на А

=\aoco, |<о ^ R* co^ccv).

Завдяки лом Ï.1 як проотгр стшив n;jjiicï чаотинки мояна ви~ брати ¿P s Н^Ър) при S"< •gi' i з тополсг!ею, 1ндуко-

ванor, з СС^О . Tojti SP буде 6* -компактним проотором i ней факт дае моклшпсть узагальнити вхдом! в класичному випадку кри-lepi'f 1снування tí66c;obhx Mip на квантовий винадок.

У §3 будуються потешиали взаемодН hi ж чаотинками у вуалях гратки иаПзагалыпиого вигляду, а такок в1дповхдн1 ïm м!рй. о врахуванням результат!в §2 в теорем: Î.2 для гамхлмо1йана вй~ гчяду

, V/д - потенМали взаемодН части-

AczA,KlAk«>

нок, hkî розташован! у вузиах, що входять в мноэтшу А ) отри- . мано узагальнення на квантовий винадок вЦомого у класичному випадку критер1ю Р.Л.Добруплна хсчування Нббсових стангв. Цей критерий дае достатн! умови i скупал мл принайл о дм eï глри «1л)(шС-'), яка в!дпов1дое тоя!льтон{ану (4) в гону розушнн1, що ïï умовнг розподхли задаються фодмулою

. E^Ccü^oloj^O)) ,

M^toi^t.))» — е

АПД

Р

,\л/АС^СО) * ^ УдСсоС-еЧ Аг , О

мгра ct>0- из продакт-мхра X сЦ^ (f*>K{')) утворена з

однакових одночастинкових мгр, а нормукчпй множник Хд вибира-еться з умовя, щоб игра Ч) буда йновгрнгоною.

II. У друГ1й глав! розглядаетьсд важлишй нлас _гам1льтонха-нхв, у яких взаемодхя мае додат;(ову властив!сть, що забозпочуе так звану додаипсгь при вгдбнтгях гхббсовях мхр. Для вхдпов!д-них г!ббсових стангв у класичноцу вяпадку розроблена ефективна TaxHÍKa í'x побудови та дослшкння.Важяивх результат у дьому на-прямку отриманх в роботах Ю.Фрелхха, РЛзраеля, E.JIida, Б.Саймона, Т.Спенсера, С.Б.Шлоонаяа. У uift глав! показано, як вхдшов1д-hí конструкахг' i твердження з використанням результатов х'лави 1 можуть Сути переносен! на кшнтовий витадок.

У §1 наведено ochoehí означения I теореми, пю стосуються до-датност1 при в!дбиттях.

iíexafl i 9 - в!дбиття в гхпергоющшх простору IR,^

таке. ио ~ . Мнонина вехх таких вхдбнттхв утворюе тру-

пу. Через Ql позначаеться вгдбиття в гхперплощин! L .

Розглян^чо i\c i гхперплопщну L гаку, що .

= Л а Через позначимо один хз зачгшених niBiipocropÍB,

на як1 L роэбшзае . Jíexafl = АП L+ , Л*П А"

Також позначймо

<S* -алгебру пхдмножш простору p¡o породнена дшкпдричними множинами вигляду

Mípa в об"емх Л мае властлвгсть додагност!; пря'вхлбя-ттг , ятй для дозьташ! -KiMicüroí -Tyni'idi F на

Qf W - * К: У ^

справедлива нерхвн1сть •

Врахувавши результата глави I, на квантовий випадок переноситься вгдоний у класичному випадку кригерН того, що Mipa мае властгагсть додатносп при вхдбиттях.

Теорема 2.1. Нехай м!ра на

QpCM мае вдгляд а функщя - , Ыд^ й^Л) , коке бути подана у ви-

да

с -вим1рними функахями. Тод£

Mipa (6) мае власвшсгь додатнооп при вхдбит 9 .

Баяшквим насл!дком (5) е так зван! шахов! ошнки. (Hod i'x

сформулювачл вводиться перходична конф!1урапхя на Sep

каотупням чином. Нехай

= Л N-li Up« А},

per j j j

L = wam , а на вою гратну вона продовлуегьоя э Амс£

перходщчним, чином. Дал! для И* » Xе- N означаемся пе-р1одичяиЙ погешйал взаемодИ

: М A+secAM.AcAH м

дв seZ е . .....еы>), "ес1Ч ,U U ¿1.

Tojii Mipy в оСемх Лц можпа заднги naciyrmrot чином: м м ZAm

г - ЕГЧео. • с9 I ZAM= ie М М ¿W*'»'

Розглянемо г!перплощину

U - ЪСт>-

при деякому m-tfí , -fsVusd, i itíZ, а Г--1' або refcí. Мае Micaa наступна теорема, що е однхею з найпростшгх шахових

OnillOK,

Теорема'2.2, Яйцо MÍpa (7) при i мае властив1сть до-

датностг при вхдбиттях в гхперллощинах' U при Г~ - Я"5, ^ t Fí i

П. е Я . то BipHa наступна нер1внхсть5 ^

\ Ог^о) * [ \ Пст^

дв Pn-РПДы , а Р - пхдгратка з пер!одом 2, í гака, що

(o,...,ü) е. р .

7 §2 розглядаеться взаемодхя бгльш спешального вигляду, а

саче: нехай множша А ^ , для яко!' означаемся ф/шщхя

V/д , - ЯЗ cL"BKMÍpHnfi куб 31 стороною ^цо мхстить початок

координат. Для tíikoí взасмодх! Bipaa наступна теорема.

Теорема 2.3. Hexafl .per

Z»

Тод1 множила мхр сЫд = -Ц2,... е слабко ком-

пактною. ^ z .

Hipií, як i (эг'рллгутоться як границ! мхр вигляду (7), йазивак-ться перходкчшт з.'хббсовкмй станами.

Як иасл!даи теореш 2.3 отримано прост! критерН тспування гхббсошх стан1В для конкретних модольиях гатлмснпан!в:

Твердое пая 2.Í. Перходнчшй ri66cis стан для модол! з га>«-льтонханом

н- l'K-^v ^^

го

■ iciiye, лто для f>>0 i Hv « +Y, V"€ оператор

exp(-pHv) e ядерним.

Твордаення 2.2. Перходичний riööciB стан при обернен1й тем-iiepaiypi jb > О для модел1 з гам1льтон!аном'

ИйГ4 * «Р KiZ*

А

icHye, якщо при 'Х = 2, для

оператор ехр е ядерним в Lj.i.CR.4').

Тут символ означае сумування парами*. найблинчих

сусдав на гратш , тобто, по bcix К. , ^ е Ж.^- , для яких

III. Третя глава присвячена застосуванню пер1одачних г!б-бсових станIB до дослхдкення явища фазового переходу в даяких моделях квантово1 статисгично! физики.

В класичнЫ статистичн!й фхзии! застосування пер1одичних гхббсових стай в до вивчення явища фазового переходу за допомо-гою технпш, що використовус додатнхсть при в!дбиттях провади-лося багатьыа авторами(Б.Саймон, Е.Л!б, Ю.Фрел1х, С.В.Щлосмац та iaai). В квантовому випадиу такий шдх!д до вявчення критич-них явищ в ряд: моделей квантовох отатистичнох ф!зшш був запро-понований в роботах В.Дросолара, Л.Ландау, Ф.Переаа, ЛД.Паогу-ра, Б.Л.Хоруженка.

У §1 досл!дауеться модель, яка описуетьоя гам1льтои!аном

Стал!, як! входить в гам1лыон1йИ, мапть наотушшй $!зичний змхот: vrv - маоа чаотиики, - стала взаемод!!. В!дносно

лотемгёалу "V додатвово припустимо, що

1) V i i

2) VC«) > a,keift , а> Oct

(Ф

a) Vxen- VW)« v(.-x) ;

и

4) для деякого функ^я "УС"3^) в точках .

мае строгай глобальний невироджений мни чум.

Введено параметр дальнього порядку

Будемо.говорити, що в систем! виникае далыпй порядок, якщо

РС?)>0 . Температуру назвемо критичною.

Каступна теорема е узагальненням результату Л.А.Пастура та Б.А.Хоруженка, який в!дпов1дае випадку одночастшкового потенш-алу вигляду V(.«■)= а•хА - .

Теорема 3.1, Нехай.розм1рК1сть гратки с1>Э I заданий довинти потеншал V , який задовольняе умови (9). Тод! 1снуе таке т0>0 , що при в систем! з гам!льтон1аном (8) хс-

нуе критична температура.

Як насл1док мозкна довести, що в систем! ангармонШмх кваа-тових оопилятор1В, що онисуеться гам!льтон!аном (8) нри I ф!ксованих Э та Иг , при достатньо великих ^о та глпбин! • м!н!муму потенлхалу V гонуе критична температура.

У §2 розглядаеться узагальнена система ангармон!йних кван-тових осшмяторхв, яка описуеться гачхльтонханом

И " Х , Й I + Л^Сх*.)- Ш.

Тут функцхя "ЬШ с непарной монотонно зростаючою на I такою, що

для деяких сталях С , С/ , <*• , =</ .

Модел! з га'Дхльтонханом (10) запровадяен! в роботах Ю.М.Сухова.

Нехай потешйал УС*) такий, що

Тод! пас н!сае уэагаяьнешш теорема 3.1:

Тодвпа 3.2, Нехай розн)ри!зт1> 1'1-Г:«*.-:-*5Т Ъ х до-

вхльшгй потеншал V , яп?Й опчзэяыюс умвЕИ ¡Тод!

1снуе таке «п.0>0, що при т>т0в систем! з гашльтон1аном (10) 1снуе критична температура.

Нзсл1док. Розглянемо систему з формалышм гам!льтон1аном вигляду (10) I з потентатом ЯУ , э 'Х > О.

Тод! при Ъ при фхксовадих т. та 21 хсдують такх ^о та , що при » Я > V в систем! з гашльтонханом (10)

!снуе критична температура.

Автор щиро вдячний своему пауковому KepiBHiwy доктору ф1зи-ко~математичних наук, профосору Юрш Григоровичу Кондратьеву за постхйну увагу, допомогу та шдтримку.

0сновн1 положения дисертапп опубл1Кован1 в настушшх роботах:

I,. Барбуляк B.C. Существование фазового перехода I рода для одной модели сегнетоэлектрика// I советско-польский сишгоз. по физике сегнетоэлоктриков и родственных материалов, Львов, 4-8 июня 1990 г.: Тез. докл. - Киев, 1990. - С. 145 - 146.

2. Барбуляк B.C. Достатня умова хснування фазового переход I роду ддг сегнвтоелектршав ищу порядок-безпорядок// Республ. наук.-техн. конф. "Паршметрична крисгалооптика та ii заетосу-вання", Карпати, 6-8 BepVl990 р.: Тез. доп. - Льв!в, 1990. -С. 43.

3. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Критерий существования периодических гиббсоЕских состояний квантовых решеточных систем// Мотсд.ч функционального анализа в задачах математической физики. - Киев: Ин-r маиматики АН УССР, 1990. - С. 30-41. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Существование фазового перехода первого рода для одного класса моделей сегнетоэлектрика// Изв. АН CCCF.Cep. физ. - 1991. - 55, № 3. - С. 602 - 605.

5.. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Задания иббсових сташв кван-тових грзтковюс систем у терм!нах фушшхолачышх 1итеграл1в// Пршмсдш!' питапня математики: В!он. Льв!в . V ун-ту, <?ер. мех.-ш»т.г 1991.-&Ш. 36. - С. 66 - 70.

6. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Критер{й 1снування г1ббоових сTriiiin нвантових граткоплх систем// Прнкладн1 питания матбма-таши -, ,BicH. ДьЙЕ .. -'■• ун-ту, ¿"ер. мех.чшг,- 1991,-Ьш.

• 36. - С. 70 - 74.

7. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Функц!опалый мтеграли i квантов1 гратков1 системи: I. 1снування г!ббсових стагпв// Доп. АН УРСР. - 1991. - № 8. - С. 28 - 31.

8. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. СЕункц{оналый 1Нтеграли i квантов! гратков1 системи: II. Перходичнх г!ббсов! сташ!// Доп. АН УРСР. - 1991. - № 9. - С. 37 - 39.

9. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Функщ ональнх прегради i квантовг гратков1 системи: III, ¿азивг переходи// Доп. АН УРСР. - 1991. - № 10. - С. 19 - 21.

10. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Теоремы существования для функциональных интегралов, отвечающих гкббсовским состояниям квантовых решеточных систем. - Киев, 1991. - 30 с. -( Препр./ АН Украины. Ин-т математики; 91.33 ).

И. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Наличие дальнего порядка в системе квантовых ангармонических осцилляторов. - Киев, 1991. - 18 о. - ( Препр./ АН Украины. Ин-т математики; 91.35 ).

12. Барбуляк B.C. Шахматные оценки и критическая температура в квантовых решеточных системах// Укр. мат. у.урн. - 1991. -43, й II. - С. 1574 - 1576.

13. Барбулчк B.C., Кондратьев Ю.Г. Фазовый переход в сегнетоэ-лектркках порядок-беспорядок// Применение методов функционального алатяэа в математической физике. - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1991. - С. 21 - 27.

14. Барбуляк B.C., Кондратьев Ю.Г. Квазиклассичеокий предел для оператора Шредингера и фазовые переходы в квантовой статистпчес-

. кой физике// Фушщион. анализ а его прил. - 1992.- 26.ч -'¿2. -С. 61 - 64. '

Шдп. до друку 01.12.92. Формат 60x84/16. Пащр друк. Офс.друк. Умов.друк. арк. 0,93. Умов. фарб.-в/дО. 0,93. 00л.-вид.арк.0,7. Тира» 200 прим. Зам. 337. Безкоштовно.

Вхддруковано в 1нотитут1 математики АН УкраШ 252601 Ки1в 4, 1ДСЙ, вул. Терещвнк1вська, 3