Функция коши для дифференциальных уравнений с ухудшающими операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ С ( 0^)СУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Olli ЫЗ

На правах рукописи УДК 518:988.523

Баркова Елена Александровна

ФУНКЦИЯ КОШ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С УХУДШАЩИШ ОПЕРАТОРАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1993

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Петр Петрович Забрейко Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Яков Валентинович Радыно кандидат физико-математических наук, доцент, Юрий Мкртычевич Вувуникян Ведущая организация ■ -- Институт математики Академии Наук

Украины

Защита состоится "21" октября 1993 г. в 10 часов на заседании Специализированного Совета К 056.03.10 в Белорусском государственном университете (220080, г. Минск, пр. Ф. Ско-ршш 4, ком. 206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан

1993 г.

Ученый секретарь Специализированного.Совета кандидат физико-математических наук доцент.

В.И. Корзюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ11

Актуальность темы. Работа связана с получением новых методов исследования дифференциальных уравнений с ухудшающими операторами при различных предположениях на их правые части. К таким уравнениям, в частности, относятся различные типы /равнений с частными производными, некоторые классы интегро-цифференциальных уравнений и др.

В настоящее время известно несколько направлений, изучающих такие уравнения. К ним относится направление Л.В.Ов-:янникова, результаты которого получены для исследования раз-зешимости дифференциальных уравнений, правые части которых рассматриваются в шкалах банаховых пространств; направление, связанное с использованием теории полугрупп} направление, ос-юванное на теории неподвижных точек в К-метрических прост-занствах и ряд других'. Является"актуальным получение результатов, объединяющих все указанные выше направления.

Цель работы. Построить общую схему исследования диффе->енциальных уравнений в банаховых пространствах с ухудшающи-!и правыми частями и исследовать возможность использовагая >сновных результатов теории неподвижных точек в К - метричес-:их пространствах для уравнений второго порядка.

Методика исследования. Предлагаемая схема строится на >снове "классического" представления решений задачи Коши для ¡ифференциальных уравнений в банаховых пространствах, правые

части которых являются непрерывными оператор-функциями. Для дифференциальных уравнений с неограниченными правыми частями такое представление для произвольных начальных условий невозможно. Однако, оно возможно для некоторых из них. Основная часть предлагаемой работы связана с описанием тех множеств начальных условий, для которых классическое представление решения задачи Коши сохраняет силу в случае неограниченных правых частей рассматриваемых дифференциальных уравнений. При этом, для линейных стационарных уравнений получено точное, а для линейных нестационарных- и нелинейных уравнений (при некоторых дополнительных предположениях на правые части уравнений) - достаточно полное описание множеств, на которых решение задачи Коши представимо экспоненциальными формулами (в линейном случае) или в виде предела соответствующих последовательных приближений (в нелинейном случае).

Научная новизна. В работе получены новые аналоги результатов Л.В. Овсянникова - Т. Нисиды теорем существования и единственности для уравнений второго порядка в шкалах банаховых пространств, а также ряд новых результатов, связанных с теорией неподвижных 'точек в К-метрических пространствах и некоторые результаты, объединяющие все указанные выше направления, на основе которых получены простые доказательства основных результатов для уравнений с частными производными.

На защиту выносятся следующие результаты

- теоремы об экспоненциальном представлении решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторами первого и второго порядка при различных предположениях на их пра-

- Л -

зые части;

- новые теоремы о существовании и единственности реше-шй дифференциальных уравнений второго порядна в шкалах бана-совых пространств;

- теоремы о свойствах функции Коши для линейных и нели-1ейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка 1.о связи с соответствующими функциями в двойственных прост->анствах;

Теоретическая и практическая ценность результатов. Ре-

ультаты диссертации могут быть использованы для дальнейших сследований дифференциальных уравнений в шкалах банахову? рортранств в приложении к уравнениям в частных производных ДР-

Апробация работы. Полученные результаты докладывались а научных семинарах кафедры математических методов теории правления Белгосуниверситета (руководитель профессор П.П. абрейко), на научной конференции математиков Белорусн Гродно, .1992), на научной конференции "Понтрягинские гения-4" (Воронеж, 1993).

Публикации. Основные результаты выполненных исследований представлены в работах [1-4].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве-

знин, двух глав и списка цитированной литературы, включаю-

зго 100 наименований. Объем работы составляет 140 страниц шинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении описывается краткая история рассматриваемых в работе аспектов теории дифференциальных уравнений и основные результаты, полученные автором.

Первая глава состоит из четырех параграфов. Первый из них носит вспомогательный характер; в нем изложены основные используемые в дальнейшем факты по теории полугрупп.

Во втором параграфе приводятся определения пространств гладких элементов, порожденных замкнутым неограниченным оператором Л; действующий в банаховом пространстве », с областью определения »(А): пространство Румье

A.n.L) = {х eD(Лю) = n DCA"): з с >0,iia"xhs cl"h

"ж1 (1) '. (n- 1,2,...), (О < L < «)}

(здесь и = (Ы ) - некоторая возрастающая последовательность

П

положительных чисел) с обычными линейными операциями и нормой - •

пхи = inf { с: 1|Апхн 3 cl/v , (n = 1,2,.. . ), (0 < L < «.) ] ;

пространства Шевре' и Берлинга являются, соответственно, индуктивными и проективными пределами пространств Румье

л(Л,д) = U R(A.h.L) , В(А,д) = U R(A,m,L) . (2)

0<L.<œ о< L<со

Далее в параграфе приводятся известные теоремы И.М. Гельфан-да, Я.В. Радыно, В.И. Князюка с некоторыми модификациями -о плотности пространств гладких элементов в исходном банаховом пространстве к.

В третьем параграфе изучаются линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные результаты первых двух

унктов - это теоремы о справедливости экспоненциальной фор-улы и о существовании функции Коши для стационарных и неста-ионарных уравнений с неограниченными, замкнутыми правыми ча-тями, имеющими в основном пространстве плотную область опре-еления, а также результаты о свойствах функции Коши, изве-тные для линейных дифференциальных уравнений с ограниченны-и операторами. В стационарном случае для задачи Коши

= Ах, х(0) = с, (3)

олучено точное описание множеств начальных условий с е (А,и) (£ е в(А,д)), где ц.= (п!), на которых решение зада-и Коши (3) определено классической формулой

.. х(Ъ) = С + tA5 + -2? А2е + . ■ . + Апе + • •. ;

ункция Коши (семейство операторов е^, определенное ра-енством

еАЬ = I + tA + -тг) А2 + .... + —у А" + ...)

инейна и непрерывна на плотных в X подпространствах, для ее получена оценка

||е^|К(А,ц,ь' )-®(А,м,ь")н -:—Д--г (4)

1 - I а )-1 - 1ъIь

ри ь'< ь" и < (ь')"1- (ь")"1 и установлена справедли-

ость полугруппового тождества при соответствующих t и з

ек(Ь + 3) = (5)

В нестационарном случае для задачи Коши

= АШх, х(г) = с (6).

писаны четыре типа условий, при которых решений задачи Ко-

ии (6) представимы в классическом виде

x(t) = U(t,x)ç , (7).

U(t,x) = I + £ J A(t, )...А(тг ) ch: ...dr, (8)

. " 1 П П 1

' ft~1 A (r.t)

• П

(здесь интеграл берется По множбетву û (t,r) всех точек

п

(т. ,.., Т ) « Rn, удовлетворяющих условию T s T s ...Stat

1 п In

для I < t и z t т s ... ь т^ь t для г ь t). Соответствующие результаты получены при выполнении-условий в(В,5,о) '(каждый из операторов A(t), (t е ä) является замкнутым лилейным оператором, справедливы неравенства

«А(х )...А(т )ç* s d aBnÇ» (с е ®(В"), х .....ГС О), (9)

1 п п ' 1 ' ' n '

где S - некоторый.линейный оператор с плотной в я областью определения, 5 = (dn) - некоторая последовательность, функции A(Xj)..,Л(т )ç (Ç с E(Bn)) непрерывны по совокупности переменных х...... х «• В ) и выполнении неравенства

д п.

LTe lim (d },I )1/n n"1 < 1, (10)

n n

ii to

где T - длина интервала а.

Достаточными для выполнения условий »(В,б,а) являются условия e(B,m,c,i) .(выполняются неравенства

nA(t)çn з rnnBÇB (ç е »(В)) (И)

nBA(t)ç» S CHA(t)Bçn. (ç 6 »(В), Bç е u(A(t)))); (12)

неравенство (10) при этом выполнено, если

LTec Jim M 1'n n"1 < 1 ;

n *

n eo

и условия e(B,a,j) (каждый из операторов A(t) (t e о) является замкнутым линейным оператором, и справедливы неравенства

«BnA(t)ç» з (ç € Z)(Bn + 1 ), n = 1,2,...), (13)

где х = (ln) - некоторая последовательность, функции Л(т)е (? е »(В)) непрерывны относительно г е неравенства (10) для М = п! имеют вид • •

П

' IL'I'T < L" - L'. . (14)

Другими достаточными условиями для справедливости экспоненциальной формулы являются условия o(l,>) (кавдый из операторов A(t) (te в) является оператором из пространства ii(x(u ),s(cj )) для достаточно большого числа пар пространств х(и ) и й(и ),' первое из которых непрерывно вложено во второе (х(и ) с я(и )), и для любого n е N множество цеп

почек ы = (и , ы , ... , и ) с ы = ы , ы = и , X(u ) с

O'l' 'п . о ' п ' J-»

»((jj) (j = 1, ... ; п), непусто* здесь (н(и) (и е о)} семейство банаховых пространств непрерывно'вложенных в пространство я)* аналогом условия (10) здесь является неравенство

Те lim п"1 (а (| .и"))1'" < 1, (15)

п. • *

п -♦ со

где ' •

П

а (0 ,</ ,ы") = inf П а( i ,cj , u ) (n = 1,2,...), (16)

n J-l J

J = 1

a(n,(j',u") = sup nA(t)|2(8((j'),a(w"))n (17)

t e 3

(inf берется по всем цепочкам из 11' , здесь 1 - произвольный

П

интервал из • п).

Определяемая равенством (3) функция Коти U(t,r), пр:: выполнении условий 2(В,л,а) или о(зе,{), 'обладает свойствами, аналогичными свойствам экспоненциальной функции е^ в стационарном случае: она определена при t, т е в как линейный • непрерывный оператор, непрерывно зависящий от t, х в достаточно богатом семействе пар банаховых пространств, первое из

которых непрерывно вложено во второе, и удовлетворяет тождествам

Ut'(t,x) = A(t) U(t,r), (18)

Ux'(t,x) = - Ait) U(t.,T). (19)

U(t,s)-U(s,x) = U(t,x). (20)

Кроме того, при выполнении условия я(В,б,и) и неравенства

(10), функция Коши U(t,-r) удовлетворяет неравенствам

со d Tn Ln M uU(t,x)IRÎB.h.L )-4?(В,д,Ь )n a E —-— ; (21)

n=o n!

при выполнении условия е(В,л,о) и неравенства (14), функция Коши U(t,t) удовлетворяет неравенствам

aU(t,T) |R(B,u,l' )-n(B,n,L")ii з

•вир (^4-)ПЕ(Т1')"1п + 1...1п^к);

о i n < о ' L ' k»l

(22)

при выполнении условия о(зс,о) и неравенства (15), функции Коши и(1,г) удовлетворяет'неравенствам

со

■и(Ъ,х)1С(1х1>2(х(и'))|2г(ы"))|| 3 I ^а(о,и',ы"). (23)

п! п

п = 0

Далее получена интегральная формула для решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений; установлена также связь с соответствующими функциями Коши сопряженных (или двойственных) уравнений в сопряженных (соответственно, в двойственных) пространствах.

В пп. 7-8 показано, что полученные результаты содержат классические теоремы существования и единственности решений задачи Коши для уравнений параболического и гиперболического типов с соответствующими самосопряженными й кососопряженными операторами в гильбертовом пространстве.

В последнем пункте приведены замечания, относительно непосредственного приложения основных результатов этого параграфа к различным классам линейных уравнений с частными производными .

В четвертом параграфе изучаются нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка. Полученные в линейном случае теоремы о справедливости экспоненциальной формулы и о существовании функции Коши, а также результаты о ее свойствах,

удается перенести на нелинейный случай только при выполнении

i ■

условия о(г,о).

Рассматривается задача Коши

= f(t,x), x(r) = с; • (24)

где f(t,x) - семейство замкнутых операторов с плотными в ?!

областями определения, определенных на .о х я (я - некоторое

линейное подпространство к) и принимающих значения в

i t

При выполнении условия 0(2,0) (здесь при каждом £ а я(и ) функция f(t,<j) является непрерывной функцией от t' со значениями в »(ы ) и, кроме того, для каждого D с г? удовлет-. воряет неравенствам'

llf(s'x)!lx((j") s а(о,и,,и")г(ле«а((1,')),

llf (t ,хг ) - s а.([ .<*>") ||Х! - х2"я(и')

(t е а, X , X е я(и')), 1 2 '

г ' " n / '• " \

где a(D,u ,и ) некоторая, зависящая от пары (и ) и промежутка п, постоянная, г(г) - некоторая функция) и 'выпол- • нении неравенства

Те lim п'1 (а (J,<j"))1/n < 1, • (26)

п

п го

где

an(>,w ,u ) = inf a(l ,oo,u1)a(l ,иг ,иг),.. .a( в ,"n),

решение задачи Коши (24) при ç'e к(и') существует в х(и") ' на отрезке I и единственно в х(и"), если при некотором о выполнено соотношение

a (l.o'.u")

lim - =0. (27)

П -* «D • n!

Определенная при этом«на I х I функция Коши' U(t,x)ç (которая является пределом последовательных приближений

х , (t,ç) = ç + Ах (t,ç) (n = 0,1... ), (28)

ft^l П

где A нелинейный оператор, определенный равенством . t ■ '. Ax(t) = S f(s;x(s)) ds (29)

•с , '

и действующий в пространстве с непрерывных на о функций со значениями в X, xQ(t,ç) - некоторое начальное приближение) при t,.r'e 9 является действующим из й(ы') в х(и ) 'оператором, удовлетворяющим условию Липшица

lüit.ije.j - u(t,x)ç ii(u-j - m(i,u',u")"içi - ç2uS(u')

■ : , (30)

(c,, £, i £(u ), t, r e J),

12' «

где

, « ш a (î.cj'.u") Tn

ш(з ,u ,u ) = E -— * (31)

n!

n = 0

для соответствующих x < s < t семейство операторов U(t,r) , удовлетворяет полугрупповому тождеству

-U(t,s) U(s,t)ç = U(t,r)ç. (32)

В'последних трех пунктах рассматриваются классические

случаи в "гильбертовом пространстве,. аналогичные рассмотрен.. i

ным выше в линейном случае, и некоторые приложения основных ^ - 12 -

>езультатов этого параграфа к различным классам нелинейных 'равнений с частными производными.

Вторая глава . состоит из двух параграфов. В первом.из • [их получены формулы для решений линейных уравнений второго юрядка с неограниченными замкнутыми правыми частями, имеющи-[и в основном пространстве плотную область определения, и ис-ледованы их свойства.

Для стационарной задачи Коши

= Ах," х(0) = с, х'(0) = V (33)

ормула

де

x(t) = C(t)c + S(t)n, (34)

t2"A"P ' '' ю t2"*1 A"n

(t)c = E (-1)"——-■■ S(t)T, = £ (-1)"—-—,(35)

(2n)! n (2n+l)!

n=0 n=0

пределяет решение на некотором 'отрезке 3 s г? (на всей оси ) в том и только в том случае, когда £ е л(А,ц ) (? е (А )), где и = ((2п)!) и и е J(A,wJ (и е в(А,до)), '

11 -л 2

де и2 = ((2п+1)!). Определенные при этом на плотных Ннояест-ах функции C(t) , S(t) при L < L и |t| < УL,_1 -линейны, непрерывны, для них получены оценки.

iic(t) inu,^ ,l' ) ^ п(а,д1 ,l")ii з

/Г777

1

1 - (/"¡/(/TV1 + Itl/L7):

+

i - (/t/VT)-1 - iti/L7)^

ilS(t)|R(A,n .l')-> й(а,ц ,ii")it s

2 2 2L

r

v 1 - (/Fî/l7)"1 + Itl/Ï7)2

• i - (/PVlY1 - iti/ïTV

и справедливы тёоремы^сложения ("полугрупповые тождества") C(t + s)ç = (cet) C(s) - S(t) S(s))ç, (36)

set + s)yj(cet) ses) + set) сеюь . ез7)

В нестационарном случае для задачи Коши

- A(t)x, х(х) = ç , x'(x) = ч, (38)

dt2

I ■

при выполнении условий a(B,ä,l) и неравенства

LT3e2 Jim (d Ы )1/n(2n)"2 < 1, • (39)

n n

n -* o>

(где Un = U'1» или Ып = M'2)) или условий a(B,а,о) и неравенства епри L'<L", = (2п)!)

/H'L" Т < /I7 - /Г, (40)

или условий 0(2,I) и неравенства

T2e2 lim n"2 (а (•,ы"))1/п < 1 (41)

n ?

n — ta

решения задачи Коши (38) представимы в классическом виде

x(t) = C(t,x)ç + S(t,x)T), (42)

C(t,x) = I +

+ Г J Ль -x)(x -X J...(r -r )A(x ). . ,А(т )clr . . ,dr ;

* 112 .n-1 ni n n 1

П"1 t lx,t]

M

S(t,r) = (t-r)I + •

co

+ E I (t-т, )..'.(r -x )(t -x) A(t )..,A(t )dx . . .dx

" J 1 n-lnn 1 nn 1

n=l Д (X,t) n

(здесь интеграл берется по множеству . An(x,t) всех точек , (т ,.., х ) е Rn, удовлетворяющих условиям:* з г а .. а та

In п 1

s t при т a't ИЛИ Г t Тп г ... t TjS t при t t t),

' При выполнении условий £(B,x,o), 0(2,1), функция Коши

, C(t,x) ' S(t,x) , ü(t,r) = ' . ' ) (43)

I С (t,r) S (t,r)J

обладает свойствами, аналогичными свойствам функции Коши в

стационарном случае.

При выполнении условий о(В,а,в) и неравенства (39), по--

лучены оценки

га ^ »p2n Ln у( 1 )

llC(t,T)CIR(B,n .L')-tf(B,u ,L")ll a E -3--—-—

1 1 „ . ■ (2n)!

a d T2n+1 Ln Mt3)

nS(t,r)u|R(b,u,,L WB.n.L )n s i -z-:—Q-.

2 2 (2n+l)!

n-0

При выполнении условий £(В,х,и) и неравенства (40), fio-, лучены оценки tiС(t,х) iniß.Mj ,L' )-С?(В,д1 ,L")n 3 -у

X7

sup

оз

up [ Ч-Ь- }гП £ (T /17)2к1 ...1 С2*

n < со 4 кж1

!lS(t,T)|lR(B,n ,Ь')-1Р(В(Д .L")ll Я ' ,

2 i2 (

7 sup [—T £ (T/¡7)2k*1l ...1 Сгк*"1 ). о i . < . I L J k-0 -1 n*k

i 2

/Z _ rlV s

2L

При выполнении условий d(i,i) и неравенства (41), полу

чены оценки

!!C(t,T)|C(IxI,2(K(<j')),H(</))ll s £ —- a (Opu'.u")

(2n)! n

' nS(t ,-c) |c( Ixl, je(it(o')) ) II 3 y T"" a (i,u',u"),

n-o (2n+l)! n

где T - длина интервала в.

Во втором параграфе получена теорема существования и

единственности решения нелинейной задачи .-Коши для ' уравнений < *

второго порядка

•^х. = f(t,x, 4f ), х(г) - е, х'(г) = Т), (44) dt Qt

Hy '

г'Де f (t,х, ) - семейство замкнутых нелинейных опера-'

торов с плотными в к • областями определения, определенных •на в х к х х , (где к - некоторое линейное подпространство в х) и принимающих значения в ж. При выполнении условия o(í,l) (здесь функция f(t,x,y) является непрерывной функ-' цией от t со 'значениями в К(и ) и, кроме того, для каждого промежутка I s к выполняются неравенства t ' ' ütj + J f(s,e,0) * И" + *(»еих(ы')).

•и

» «(t.x^y^ - f(t,xa.ya)' Bjj^-y Я a(a,uV)iix/- х211к(ь)')+

+ b(i,u',ü,")iiyi - у2»х(ы')

(te в, . х1',х2,у1,у2 е х(и' ) ,

где а(в,и ,<j"), Ь(в,и',ы") некоторые," зависящие от пары (u'.u ) . и промежутка в постоянные, у(г) - некоторая функция) и выполнениии неравенства

Jira (с (в,и',и"))1/п < 1, (45)

п

п со

, „ т\ -

где с (в,и ,ы ) z(t) = inf п c(j,(j, ,,«j.) z(t)), (46)

j == i . J_1 1

c(o,w',w")z(t) = J (a(l,u',u")(t - s) + b(o,u',u")) z(s) ds,

x

задача Коши (44) при те! и • С ■, ч « я(м ) имеет, по крайней мере, одно решение x(t) <= с(я,х(ы ); более того, это решение единственно в я(ы"), если при некотором ы выполнено соотношение

Jim с (в,ы",ы) = 0. (47)

п

П -» <0

Полученные в этом параграфе результаты в частном случае, когда п = [0,1],

а(з,и ) = а(и - о) )"", Ь(в,ы ,и ) f b(u - и

(здесь а и b некоторые постоянные), являются аналогом классической теоремы Т.Нисиды для уравнений второго порядка.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Баркова Е.А. Некоторые свойства оператор-функций Коши для линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторами.-Минск: 19с. ДЕП в ВИНИТИ, 3.06.1993. j;, 1501-В93.

2. Баркова Е.А. К теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка. - В сб.: Тезисы научной конференции "Понтрягинские чтения 4". Воронен, 1993, с 21.

3. Баркова Е.А., Забрейко П.П. Задача Коши для дифференциальных уравнений высших порядков с ухудшающими операторами // Дифференц. уравнения, 1991. Т.27, ч 3. С.472-473. •

4. Баркова Е.А,., Забрейко П.П. О разрешимости задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченным оператором. - В сб..: Тезисы научной конференции математиков Белоруси. Гродно, 1992, с 78.