Принцип сжимающих отображений Банаха-Каччиополли в К-метрических пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ОРДША ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕЕМ В.И. ЛЕНИНА

На правах рукопион УДК 517.988.8

МАКАРЕВИЧ Татьяна Алекоавдровна

ПРИНЦИП СЖИМАЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ ЕАНАХА-КАЧЧИОПОЛЛИ В К-МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

дисоертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1991

Работа выполнена на кафедре математических методов теории управления Белорусокого ордена Трудового Красного Знамени государственного университета имени В.И. Ленина

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: - академик АН БССР, доктор физико-ма-

Защита соотоится 14 мая 1991 года в 10 часов на заседании специализированного совета К 056.03.05 по присуждению ученой степени кандидата наук в Белорусском государственном университете по адресу: 220080, г. Минск, Ленинский проспект, 4, главный корпус, комната 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуни-верситета. '

4 V

Автореферат разослан " 1 " апреля 1991 года.

Учены! секретарь специализированного Совета

профессор П.П. Забрейко

тематичеоких наук, профессор И.В.Гейшу*

кандидат физико-математических наук, доцент С.Б. Жестков

Ведущая организация: Воронежский государственный университет им. Ленинского комсомола

доцент

П.Н. Князев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена новому обобщению классического принципа «имеющих отображений Банаха-Каччиополли на операторы, действу-ЩИ9 в К-метрических пространствах, и некоторым его приложениям : теории дифференциальных и интегральных уравнений. Основное от-ичие предлагаемого обобщения принципа сжимающих отображений от >анее известных связано с новым понятием, являющимся естествен-аш обобщением классического понятия спектрального радиуса.

Как известно, одним из основных методов исследования нели-[ейных уравнений вида

х - /4х, (I)

где /7 - оператор, действующий в некотором пространстве Е, шляется метод последовательных приближений. Суть его состоит в гом, что по заданному начальному приближению ха е £ строится юследовательность

хп^-/1хп ^ = ... ). <2)

2сли эта последовательность сходится к некоторому элементу Х^В г если в (2) можно переходить к пределу, то X является ре-пением уравнения (I).

Наиболее простым и важным утверждением о методе последовательных приближений является классическая теорема Банаха-Каччио-

т \ р\

полли - принцип сяимаюцих отобраяений (см., например, ').

1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1982. - 752 с.

2. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 456 о.

Ей утверждение относится к случаю, когда Е является полным метрическим пространством. Если действующий в таком пространстве Е оператор Д является оператором сжатия, т.е. для него выполнено условие Липшица

у) (Ях, Я у) ± у) (х у & Е)) (з)

причем < / , то уравнение (I) имеет в Е единственное шение х * , а последовательные приближения (2) при любом начата ном приближении хс£-Е сходятся к этому решению.

Это классическое утвервдение было сформулировано в 1922 году С. Банахом, а затем в 1931 году Р. Каччиополли.

Принцип Банаха-Каччиополли относится к операторам, действующим в полных метрических пространствах. Почти сразу же предпринимались попытки распространить его на более общие ситуации, когда рассматриваемый оператор действует не в метрическом, а в К-мет рическом пространстве.

Одним из первых такие обобщения рассматривал Л.В. Канторо-вич3), 4)^ построения относились к случаю, когда значения К-метрик на рассматриваемых пространствах лежали в конусе неотрицательных элементов некоторого К-пространства Канторовича.

Иное направление развивалось в Ташкенте МЛ. Антоновским, В.Г. Болтянским и Т.А. Сарымсаковым ^. В их построениях К-метри-

)—1 '.

3. Вулих'Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. -М.: Физматгиз, 1961. - 408 с.

4. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. функциональный анал! в полуупорядоченных пространствах'. - М.-Л.:Гостехтеориздат, 1950. - 548 с.

5. Антоновский М.Я., Болтянский В.Г., Сарнмсаков Т.А. Очерк теорр топологических полуполей // 7спехи матем. наук. - 1966. - Т. £ вып. 4. - С. 185-218.

sea принимала значения в тан называемом полупода - объекте, который был естественным обобщением шля вещественных чисел, однако охватывал пространства вещественных функций, определенных на различных множествах.

Третье направление исследований в рассматриваемой тематика этносится к тому случаю, когда К-метрика в рассматриваемом К-мет-рическом пространстве принимает значения из некоторого замкнутого конуса в заданном банаховом пространстве В> . 6). . 8). Э), 10), II)>

В предлагаемой диссертации делается попытка использовать методы, традиционно связанные с третьим из перечисленных направлений, в ситуациях, характерных для первых двух направлений. Более точно, в рассматриваемых К-метричвскнх пространствах пространство значений К-метрики не является банаховым или даже нормирован-

S. Евхута H.A. Некоторые обобщения метода A.M. Самойленко отыскания периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Методы функционального анализа в математи-

ческой физике. - М., 1987. - С. 50-60.

7. Евхута H.A., Забрейко П.П. 0 сходимости метода последовательных приближений A.M. Самойленко отыскания периодических решений // Докл. АН БССР. - 1985. - Т. 29, tt I. - С. 15-18.

8. Кведарас Б.В., Кибенко A.B., Перов А.И. 0 некоторых краевых sa~ дачах // Лит. мат. сборник. - 1965. - Т. 5, № I. - С. 69-83.

9. Мухаммадиев Э., Стеценко ВЛ. Принцип неподвижной точки в обобщенном метрическом пространстве // Изв. АН ТадаССР. - 1969, -Т. 10, № 4. - С. 8-19.

10. Перов А.И. О задаче Коми для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1964. - С. II5-I34.

11. Перов А.И., Кибенко A.B. Об одном общем методе исследования краевых задач // Изв. АН СССР. - 1966. - Сер. матем., т. 30, №2.-0. 249-264.

ним, однако для его неотрицательных элементов определены степени X ^ ( О 4 О^оо), что позволяет ввести формально аналог понятия спектрального радиуса такого оператора. Полученное обобщение принципа сжимающих отображений интересно, по крайней мере, в дву отношениях.

Во-первых, оно является существенным обобщением основных ут верздений о сжатых отображениях ташкентской школы М.Я.Антоновско го - В.Г.Болтянского - Т.А.Сарымсакова и основных утверждений о : жорируемых отображениях Л.В.Канторовича. И во-вторых, оно содерж ореди своих следствий такие нетривиальные утверждения, как извес ная теорема Л.В. Овсянникова о разрешимости задачи Коши для дифф ренциальных уравнений в шкалах банаховых пространств и, следовательно, классическую теорему Кош-Ковалевской • 15) 16), 17), 18). 19)

12. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного тип - М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1984. - 360

13. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. - 232 с.

14. Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых прост ранств // ДАН СССР. - 1965. - Т. 163, № 4. - С. 819-822.

15. Овсянников Л.В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых про странств Ц ДАН СССР. - 1971. - Т. 2000, Jí 4. - С. 789-792.

16. DucAatcau Р. 7tsh9S J.F &п afottact СалгсЛу -fártra. -¿utrs&a tA.cct¿sn. Oí scaékj aS ¿r&rtey c&z&d&t. — Si^mpotúz /7Za¿/t. - - de. Г, По - Р. '35-г63.

17. tUoAccéa. Т. ¿2 note- /^'ггл^У ¿Агегелп. avz a,gj£ta¿¿ ^Otsrt tte. Ссиг-сЛу- КеиГа t/u¿>x.e*n. tVt a oca-fe -о/снясе^. - & 2)¿yy.

- f9¡rjr - - 629- & 33.

18. ccóirttjz&ó /иж&'пеах. Ccu¿.cA¿* - ¿fcva ÚJ-lfa. tAtcttnt.- Тгиги. ¿¿srusr, . -Par. ~ KVSP- P ГУ

19. ^аюсиш&а. T. /tote «t Abura&<rj-Ayaj'a'J j-yj¿e^t.

partea £ ^J^CC/IVMAS . - ¿cmme+tJf. /ТСа^Л.

Usitir. JY. Pa¿¿e, - ~ t/ef. 9. ~ P- Y- 'O.

В диссертации содержатся следующие результаты:

- Обобщение принципа Банаха-Каччиополли сжимавдих отобра-;вний на К-метрические пространства, основанное на естественном бобщении понятия спектрального радиуса на не обязательно линейна операторы, действующие в упорядоченных линейных пространствах.

- Теоремы о сравнении (совпадении или несовпадении) обоб-енного спектрального радиуса и обычного спектрального радиуса.

- Новые теоремы о разрешимости двухточечной и интеграль-ой задач для дифференциальных уравнений первого порядка.

- Обобщение теоремы Л.В. Овсянникова о разрешимости задачи дши нелинейных эволюционных уравнений в шкалах банаховых прост-анств.

Основные результаты диссертации обсуждались на научных се-инарах кафедр математических методов теории управления и функционального анализа Белорусского государственного университета, а Ш 7ральской региональной конференции "Фунвдюнально-дифферен-иальные уравнения и их приложения" (г. Пермь, 1-5 февраля 988 г.), на конференции "Проблемы теоретической и прикладной [атематики" (г. Тарту, 21-22 сентября 1990 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в шести рабо-'ах, список которых приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка лигатуры, включающего 81 наименование. Работа изложена на 128 стра-ицах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается история вопроса, определяются цоли а ¡ядачи исследования и приводятся основные результаты работы.

Первая глава - ПРИНЦИП БАНАХА-КАЧЧИОПОЛЛИ В К-МЕТРИЧЕС-КИХ ПРОСТРАНСТВАХ - состоит из двух параграфов. Первый из них носит вспомогательный характер; в нем даны основные определения и утвервдения, используемые в дальнейшем.

В § 2 вводится понятие обобщенного спектрального радиуса

рГ0)г - ^ УО7^ (4

ОО

оператора (р , действующего в конусе К с- , что позволяв сформулировать новое обобщение принципа сжимающих отображений Банаха-Каччиополли на К-метрические пространства. Это утверждение является основным результатом диссертации. В нем приводятся новые условия существования неподвижных точек у действующего в К-метрическом пространстве ¿X оператора /й , удовлетворяющего К-уоловию Липшица

где С? - оператор, действующий в конусе К , при помощи которого введена К-метрика с{: /*)( S. Основным пред-

положением, гарантирующим существование неподвижной точки оператора /} , аналогичным классическому условию сжатия в скаляр ном случае ( ф. * 4 ) , является неравенство

у Г<?) < У (г.* X ), (6

где ^ С (?) £ - обобщенный спектральный радиус оператора (р .

Вторая глава - ОЦЕНКИ ОБОНЦЕННОГО СПЕКТРАЛЬНОГО РАДИУСА -состоит из трех параграфов и посвящена задаче вычисления или оценки обобщенного спектрального радиуса линейных операторов в упорядоченном конусом !\ линейном пространстве Е> и сраг

пенив этого обобщенного спектрального радиуса с обычным спектральным радиусом (если последний существует).

В § 3 рассматривается случай, когда оператор & является линейным, а множество ~ конечным. В этом случав справедли-

во равенство

пгсх^у р ((?) В - г {(7)

где г ((Р^)- обычный спектральный радиус сужения Ог оператора на минимальное инвариантное для О подпространство Й. пг , содержащее £ . К сожалении, общей формулы для обобщенного спектрального радиуса в общем случав получить не удалось. Отметим только, что для широкого класса операторов @ (в частности, неразложимых) справедливо равенство

р Г<?) 2 = Г&2 ) .

Следующий § 4 посвящен случаю, когда мнояество -12 бесконечномерно, в частности, случая, когда -/2 совпадает с некоторым пространством последовательностей С¿р оо) или

а °

Со = . Здесь удается получить лишь оценку обобщенного спектрального радиуса. А именно, если (р является ограниченным оператором в & , то при любом и? £ &

* г*в Г<?). (8)

Зцесь гв обычный спектральный радиус оператора в

в •

Как и в конечномерном случае, в (8) для многих операторов @ почти для всех ненулевых и0 £ К имеет место знак равенства. Для приложений, однако, наибольший интерес представляют сн-

туации, когда (8) является строгим. Именно тогда имеет смысл использовать новое обобщение принципа Банаха-Каччиополли. Здесь удается получить некоторые частные результаты.

Попутно в § 4 сформулированы новые достаточные условия ограниченности в -бр С* о°) матричного оператора <Р .

В § 5 обсуждается вопрос об обобщенном спектральном радиусе линейных операторов в пространствах функций. Здесь также удается получить лишь оценку (8). Во многих случаях, например, если ф является и0-положительным в & , в (8) имеет место знак равенства. Приводится пример оператора (интегральный оператор Воль-терра), для которого неравенство (8) является строгим.

Третья глава - ПРИЛОЖЕНИЯ - посвящена детальному анализу описанной в первых двух главах общей схемы дом различных частных случаев.

В § 6 новый принцип сжимающих отображений применяется для исследования бесконечных систем уравнений и интегральных уравнений.

Пусть правые части бесконечной системы

^ = 5. ^.'".Ч *пг; \Ъ

удовлетворяют условию Липшица с коэффициентами, которые образуют бесконечную матрицу , ~ ** ^ , / Вопрос о

разрешимости (9) сводится к применению основной теоремы. Так, если справедливо неравенство

(Ю)

где У0 - некоторый элемент X , а р

СО)

- обобщенный

I?'

10

спектральный радиус @ , то система (9) имеет решение * , единственное на множестве

№(*.) -/хе X:/ (<?)7л-Х0 г С

Это решение является пределом последовательных приближений, причем

У Хп -х *£ * Г*- с?)~'<?Л7Х. ~ г Гп-с?

Приводится ряд примеров. Для системы вида

|> - К Ъ),

..............................(ш

неравенство (10) равносильно системе окалярных неравенств

а

ггшя / о . жгдп. -¿Г } • I * у / Ч</ * )

при выполнении которых система (II) будет разрешима. Для системы

вида

Ь - *

(12)

и - ^

условием разрешимости будет неравенство

7Г- ^

Далее рассматриваются условия разрешимости нелинейного ин~

/е ЧГ ■

тегрального уравнения Урысона

/ ЛТЧ^ (13)

л

в предположении, что функция Л* ft , ^ и.) удовлетворяет по п ременной и условию Липшица

^ и,) - $ аа )/ < у -У) - -ия /г (14)

где некоторая неотрицательная и измеримая функция.

Если пространство Л измеримых на -О- функций наделить К-нориой

7 £ - /* К)!> (15)

то из (14) будет вытекать, что стоящий в правой части уравнения (13) оператор Д удовлетворяет К-условию Липшица

7 Л*,-* (? - г> се)

где (р - линейный интегральный оператор с ядром /"¿5,

с я) гЮ о£«г. (17)

м

К-уоловие Липшица позволяет применить к уравнению (13) основную теорему. А именно, уравнение (13) разрешимо при выполнении условия (10).

Далее рассматривается частный случай уравнения (13) -

интегральное уравнение Вольтерра

€

= / к а, чг, хю) (18)

о

Приводятся условия разрешимости уравнения (18), когда функция М $ и) удовлетворяет уоловию (14) о (с- не-

которое неотрицательное число).

Наконец, рассматривается более общее нелинейное интеграль-тое уравнение

Х(€) =/ ^ X X Сб» (19)

Л

з предположении, что функция V-) удовлетворяет по

и> условию Липшица

'АП,-г и,г,)-калч. Ъ>/*(20)

щесь и а, Я) - некоторые неотрицательные измеримые функции. Из (20) вытекает, что стоящий в правой части урав-гения (19) оператор удовлетворяет К-условию Липшица (16) с >ператором

(?г ft) = р ft)гГй) * f frt, J-) г rs) c/j ; (21)

л

щесь pfi) - Jpft, s) Если оператор (21) действует в про-

-О.

транстве € непрерывных функций, то для разрешимости уравнения 19) необходимо выполнение условия

jup С//oft)/* f /af6,J)/c/s)

teJl л

§ 7 посвящен приложению полученных результатов к краевым за-ачам. Вначале рассматривается двухточечная задача для системы

ервого порядка

хсо) 1 у . (23)

В предположении, что функции ^ и у удовлетворяют условии Липшица

У* V < ^ '*> + с<г -у* /

(24)

* + с*г /у,-</*/

получено, что задача (22)-(23) разрешима, если выполнено одно иа неравенств

(си * = * 4

Далее раосиатриваетоя краевая задача с заданным средним </у

^ ~ / (25)

] ХСЯ) с/я - £>.

(26)

Получено, что если удовлетворяет условию Липшица с

постоянной ^ , то система (25)-(26) имеет единствен-

ное решение ж# на ГО, /7 .

В § 8 рассматриваются приложения основной теоремы к задаче Коши для дифференциальных уравнений с "ухудшающими" операторами. А именно, гадача Коши

Ж

- /Ъ*), гГО)= Хв и £ (27)

оо

где ВЕп г Еп Си* -/,2, ... ) - последовательность банаховых пространств, для которых выполняются условия

имеет по крайней мере одно решение, определенное па Г О Тщ] , где

Тщ - пиъ ГТ -е^гь п-/~ 17 7

( ' Л- « Г^С^ ... /'

если функция ^ *) : Г* £ -+ Е , непрерывная по г? » в при Хъ*-г » удовлетворяет условиям

/¿('¿.х)*^ « т/х)

Далее приводится обобщение классической теоремы Л.В. Овсянникова. Рассматривается задача Кош

-/Ъ*), хго).*о Гх. е П ^ ) (28)

/ ахг-г '

где семейство банаховых пространств, для ко-

торых выполняются условия

¿г {¿> я) ; /У ^ « **

здесь функция ^ х) * ££ о непрерывна по г?

л при х е Х<$ С<? > з) , причем выполнены условия

-0

Г^ х) £ т гх) ГУ- я)

/у /75 г.) г,)/ * С - ^ /д, СО. * 3 +).

Задача.(28) сводится к исследованию операторного уравнения (I)

с оператором

t

/?ХЮ X гг» ¿/•гг. (29)

о

Оператор (29) удовлетворяет K-условию Липшица с оператором

На основании этого делается вывод, что при * 4 задача Кошз

с/ » / задача (28) имеет по крайней мере одно решаете, опреде-

Утвервдение теоремы в случае <4 = / является одним из

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору П.П. Забрейко за постановку задачи и поотоянное внимание к работе, а также доктору физико-математических наук А.Б. Антоновичу и доктору $ зико-математических наук профессору Я.В. Радано за участие в oöoj деяии работы, ценные совета и замечания.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Забрейко П.П., Макаревич Т.А. Об одном обобщении принципа Бана ха-Каччиополли на операторы в псевдометрических пространствах // Диффер. уравн. - 1987. - Т. 23, Й 9. - С. 1497-1504.

2. Забрейко П,П.,-Макаревич Т.А. Принцип неподвижной точки и теорема Л.В. Овсянникова // Вестник ЕГУ им. В.И. Ленина, сер. фиэ мат. мех. - 1987. - £ 3. - С. 53-55.

3. Евхута H.A., Забрейко П.П., Макаревич Т.А. Новый принцип сжима щах отображений в К-метричеоких пространствах и его прилокени к дифференциальным уравнениям // Тезисы докладов Ш Уральской

(28) имеет едино таенное решение, определенное на /QT], а при

ленное на [Ог Т^) , где

обобщений классической теоремы Л.В. Овсянникова.

региональной конференции "Функционально-дифференциальние уровне-пи и их приложения" (1-5 февраля 1988 г., Пермь). - Пермь, [988. - С. 33.

Макарович Т.А. Обобщенный спектральный радиуо линейных операторов в пространствах последовательностей // Вестник ЕГУ им. В.И. Ленина, сер. физ. мат. мех. - 1990. - Л I. - С. 53-55.

Макаревич Т.А. Об одной двухточечной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Диффер. уравн. Минок, 1990. - 14 е., деп. в ВИНИТИ 27.07.90, Л 4297--В90.

Дешвдович Н.Т., Евхута H.A., Забрейко П.П., Макаревич Т.А. K-оценки в теории неподвижных точек и приблияенннх методах // Тезисы докладов конференции "Проблемы теоретической п прикладной математики" (21-22 сентября 1990 г., Тарту). - Тарту, 1990. - С. 230-233.

дписано к печати- .03.91 г. формат 60x84/16. Объем I п.л. раж 100 экз. Заказ Л . Бесплатно. Отпечатано на ротапринте 7 им. В.И. Ленина, Минск, ул. Бобруйская, 7