Неавтономные операторы суперпозиции на отображениях конечной Л-вариации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.98

Солычева Ольга Михайловна

НЕАВТОНОМНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СУПЕРПОЗИЦИИ НА ОТОБРАЖЕНИЯХ КОНЕЧНОЙ А-ВАРИАЦИИ

01.01.01 — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математического анализа механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

доктор физико-математических наук, доцент В. В. Чистяков

доктор физико-математических наук, профессор М. В. Долов

доктор физико-математических наук, профессор М. И. Дьяченко

доктор физико-математических наук, доцент А. А. Клячин

институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита диссертации состоится « 8 » декабря в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.029.05 в Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, г. Волгоград, пр-т Университетский, 100, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан « » Н!ОД 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.029.05 в ВолГУ, кандидат физико-математических наук

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Е. А. Мазепа

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена решению актуальных задач, связянных с характеризацией однозначных, многозначных и абстрактных нелинейных операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной обобщенной вариации.

Исследованию операторов суперпозиции посвящена обширная лито ратура1-3. Одной из центральных проблем является описание действия оператора суперпозиции между различными функциональными пространствами посредством генератора, порождающего этот оператор.

Действие оператора суперпозиции в большинстве классических фуик-циональных пространств таких, как пространства измеримых, непрерывных функций и отображений, пространства Лебега, Гельдера, полностью описано1'2'4; тем не менее, он недостаточно хорошо изучен па пространствах функций конечной (обобщенной) вариации. В этом смысле более подробно исследованы липшицевы операторы суперпозиции: хотя условие Липшица является довольно жестким, в определенных классах функций и отображений оно позволяет получать содержательные результаты2, применимые, в частности, к вопросу решения функциональных уравнений с нелинейным оператором суперпозиции типа Немыцкого в правой части, что дает возможность описать более общие классы операторов суперпозиции и связанных с ними функциональных уравнений5'6. Однозначные липшицевы операторы суперпозиции рассматривались в

*М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Фиаматгиз, 1958.

2J. Appell, P.P.Zabrejko. Nonlinear superposition operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.

3V.V. Chistyakov. Selections of bounded variation. J. Appl. Anal. 10, Л* 1 (2004). 1-82.

4M. А. Краспосельс.кий. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостсхиздат, 1956.

5J. Matkowski. Functional equations and Nemytskii operators. Funkcial. Ekvac. 25, Д5> 2 (1982), 127-132.

6J. Matkowski. Lipschitzian composition operators in some function spaces. Nonlinear Anal. 30, .V» 2 (1997), 719-726.

работах5-9. В случае многозначных операторов суперпозиции имеется ряд результатов10-13 в основном для операторов, принимающих значения на отображениях с компактными выпуклыми образами. Абстрактные операторы суперпозиции исследованы в работах14-16. В настоящей работе дано полное описание абстрактных липшицевых операторов суперпозиции на пространствах отображений конечной обобщенной вариации по Уотерману одной и двух вещественных переменных в предположении, что эти операторы принимают значения в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах.

Цель работы. Целью диссертации является развитие теории отображений одной и двух вещественных переменных конечной обобщенной вариации со знамениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах, включающей, в частности, случай многозначных отображений, и исчерпывающее описание нелинейных липшицевых операторов суперпозиции типа Немыцкого, действующих на пространствах таких отображений.

7J. Matkowski, J. МЫ. On a characterization of Lipschitzian operators of substitution in the space BV(a,b). Math. Na.chr. 117 (1984), 155-159.

8V. V. Chistyalcov. Lipschitzian superposition operators between spaces of functions of bounded generalized variation with weight. J. Appl. Anal. 6,.\» 2 (2000), 173 186.

9V. V. Chistyalcov. Mappings of generalized variation and composition operators, Dynamical systems. J. Math. Sci. 110,.V« 2 (2002), 2455-2466.

10A. Smajdor, W. Smajdor. Jensen equation and Nemytskii operator for set-valued functions. Rad. Mat. 5 (1989), 311-320.

nG. Zawadzka. On Lipschitzian operators of substitution in the space of set-valued functions of bounded variation. Rad. Mat. 6 (1990). 279-293.

12W. Smajdor. Note on Jensen and Pexider functional equations. Demonstratio Math. 32, ,Y> 2 (1999), 363 376.

13V. V. Chistyakov. Generalized variation of mappings with applications to composition operators and multifunctious. Positivity. 5, .V» 4 (2001), 323-358.

14B. В. Чистяков. Метрические полугруппы и конусы отображений конечной вариации нескольких переменных и многозначные операторы суперпозиции. Доклады АН. 393, Л"» 6 (2003), 757-761.

15В.В.Чисткой Абстрактные операторы суперпозиции па отображениях ограниченной вариации дпух пегцестпеппьтх перемеппых. 1.И . Сив. машем, журн. 46, Л'3 3 (2005), 698 717, 46, 4 (2005), 942-957.

16V. V. Chistyakov. Lipschitzian Nemytskii operators in the cones of mappings of bounded Winer (¿»-variation. Folia Math. 11, JY» 1 (2004), 1-24.

Общие методы исследования. В работе используются различные методы теории функций вещественных переменных, теории метрических пространств и теории нелинейных операторов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором. Перечислим их.

1) Введены и изучены пространстваУотерманаотображений конечной обобщенной Л-вариации одной переменной со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах. Пространства таких отображений обладают свойством типа банаховости алгебры.

2) Определено понятие метрической полугруппы отображений коночной обобщенной Л-вариации и изучены свойства таких полугрупп. На этих метрических полугруппах охарактеризованы нелинейные липшице-вы операторы суперпозиции типа Немыцкого.

3) Дано обобщение понятия двойной вариации по Уотермany-Дьяченко и введено понятие полной Л-вариации для отображений двух вещественных переменных со значениями в метрических полугруппах. Пространство таких отображений снабжено структурой метрической полугруппы. Показано, что пространство вещественнозначных функций двух переменных конечной полной вариации образует банахову алгебру.

4) Дано исчерпывающее описание операторов суперпозиции Немыцкого, действующих из банаховой алгебры веществен нозначных функций конечной обобщенной вариации в себя. Для метрических полугрупп отображений конечной обобщенной вариации со значениями в произвольной метрической полугруппе установлено достаточное условие липшицевости оператора суперпозиции типа Немыцкого, действующего из одной такой метрической полугруппы в другую.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в различных разделах функционального анализа, теории функций и теории операторов. Методы исследования и развитая в диссертации техника могут быть использованы в дальнейшем в теории нелинейных, в том чис-

ле многозначных, операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 6-ой Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, со прилож. и еможн. вопросы"(Казань, 2003), на 13-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2006).

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах |1|-|4|, указанных в конце автореферата. Личным вкладом автора в опубликованную совместно с научным руководителем В. В. Чистяковым работу [1] являются формулировки и доказательства теорем. В. В. Чистякову принадлежат постановка, задачи и общее руководство.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации составляет 109 страниц, набранные в макропакете ЖЩК в формате машинописного текста. Библиография включает 47 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержатся краткие исторические сведения и обзор литературы, дается общая характеристика рассматриваемых задач и излагаются основные результаты диссертации.

В главе I (§§1—4) развивается теория отображений одной переменной конечной в смысле Уотермана Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах. На пространствах ABV таких отображений описаны неавтономные нелинейные липшицевы операторы суперпозиции типа Немыцкого.

В главе II (§§5 — 9) основные результаты главы I переносятся на случай отображений двух переменных, заданных на прямоугольнике в R2, конечной полной Л-вариации в смысле Уотермана-Дьяченко. В §§5 — 7 исследован случай вещественнозначных функций конечной полной Л-вариации. Здесь устанавливается свойство пространства ЛВV(i^) функций конечной полной Л-вариации быть нормированной банаховой алгеброй, и дается исчерпывающее описание неавтономных липшицевых операторов суперпозиции, действующих из ABV(J^) в себя. Параграфы 8 — 9 содержат обобщения полученных ранее результатов на случай отображений конечной полной Л-вариации со значениями в метрических полугруппах. Для операторов суперпозиции, действующих между метрическими полугруппами отображений конечной полной Л-вариации, получены достаточные условия, при которых операторы удовлетворяют условию Липшица.

В §1 рассматривается следующее пространство: пусть I = [а,Ь] — отрезок вещественной прямой и Л = {А,}?^ С R последовательность Уотермана, т.е. неубывающая последовательность положительных чисел, для которой ряд У^-11/Л» расходится. Через ЛВУ обозначим пространство функций / : I —» R (коротко / G R7), для которых конечна А-вариация по Уогперману f па /:

Ы/, /)=vA(f)=sup £ ш^ш, (*)

где супремум берется по всем т € N и веем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [а», 6»] С I, г = 1,..., т. В этом параграфе в качестве мотивации наших исследований напоминаются некоторые известные факты о неавтономных операторах суперпозиции на пространстве ЛВУ.

В §2 вводятся основные определения и устанавливаются некоторые свойства метрических полугрупп и абстрактных выпуклых конусов.

Метрический полугруппой называется тройка (М, <¿,4-), где (М,д) — метрическое пространство с метрикой <1, (М,+) — абелева полугруппа по сложению +, и метрика с? инвариантна относительно сдвигов, т.е. <1{и + ги, V + го) = с1(и, г>) для всех и, V, ги € М. Метрическая полугруппа (А/,с?,-Ь) называется полной, если (М,с?) полно. Если метрическая полугруппа М содержит нуль 0 € М, то полагаем = <1(и, 0) для и € М.

Абстрактным выпуклым конусом называется четверка (М, с?,+, •), где (Л/, о?, +) — метрическая полугруппа с нулем 0 и операция • : [0, оо) х М —*■ М, определенная правилом (Л, и) \—► А и, такова, что для всех и, V € М и Л, ¡1 > 0 выполнены следующие равенства: А(гН-г>) = Хи+Хь, Х(^и) = (Х(.1)и, (Л 4- /м)и — Хи + /ли, 1 • и — и и Хи, Аг>) = Хс1(и, г»).

Для отрезка I С К, метрического пространства (М, (I) и последовательности Уотермапа Л = {Аг}^1 обозначим через ЛВУ(/, М) множество всех отображений / : I —+ М, для которых конечна А.-вариация по Уоте.рмаиу /), которая определяется как в (*), где выражение

\/(Ьг) - 1(ад \ заменено на о/(а,)).

Если (М, «¿, 4-) — метрическая полугруппа с нулем и / € ЛВУ(/, М), то полагаем \\fl\d = |/(а)|<* 4- УдД/, /).

В лемме 2.5 показано, что если М — есть (полная) метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус), то на множестве ЛВУ(1, М) также можно ввести структуру (полной) метрической полугруппы (соответственно абстрактного выпуклого конуса), определив поточечную операцию сложения 4- (и умножения на неотрицательные числа •) и инва-

риантную относительно сдвигов метрику d\ правилом:

<*л(/,д) = d(f(a),g(a))+WA,d(f,9), f,ge ЛВV(/,M),

где величина <?), называемая совместной К-вариацией f и д, есть

ш г* _____d(f(bj) + д(щ),/(а<)

М'лД/, 9) — sup -г-,

г=1 ^

а супремум берется по всем т G N и всем неупорядоченным наборам непалегающих отрезков [щ, bi] с I, г = 1,т.

Пусть (N,p) — метрическое пространство и (M,d,+) — метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус). Оператор Т : N М будем называть липшицевым, если конечна его (наименьшая) константа Липшица:

ЦТ) = sup ^ ^Д

I W«) J

а через Lip(iV, М) обозначать множество всех таких операторов. Это множество является метрической полугруппой (абстрактным выпуклым конусом) с поточечными операциями сложения + (умножения на неотрицательное число •), и метрикой d

dL(T, S) = d(Tu0, Su0) + di(T, S) для T,S e Lip(iV, M),

где элемент wo € -ЛГ фиксирован и

ф(Т, S) = sup { —-r-Z-т--u,v e N, и ф v ^ .

I v) J

Пусть (iV, p, +) и (M, d, +) — две метрические полугруппы. Положим

L (N, M) = {Те Lip(iV, М) | Т(и + v)=Tu + Tv, u,v e N}.

Если N и M содержат нули и Те L(iV, М), то Т( 0) = 0, является метрикой на прост ранстве L(iV, М), и L(T) — d^iT, 0) = \T\dL.

В §3 доказана следующая Теорема 3.1. Предположим, что (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями. Если / € ЛВУ (/, L(N, М)) «у € ЛВУ(/, iV),

то отображение fg : / —»• М, действующее по правилу (fg)(x) = f(x)g(x), х € I, лежит в ABV(1,А1) и выполнено неравенство

ll/slU^maxO^MII/IUJMU

где \\f\\dL = L(f(a)) + V^f,!) и \\g\\p = \g(a)\p + VA,p(g,I).

В §4 описаны липшицены операторы суперпозиции, /действующие между метрическими полугруппами и конусами ABV(/, М). Основные результаты этого параграфа сформулированы в теоремах 4.1 и 4.7.

Пусть (M,d) и (N, р) — метрические пространства и N1 — множест во всех отображений из I в N. Для заданного отображения h : / х N —► М оператор Н : N1 —*■ М1, определенный для всех х € / £ N1 правилом

(Hf)(x) = h(xJ(x)),

будем настывать оператором, суперпозиции (типа Немыцкого), а отображение h назовем генератором оператора Н,

Следствием теоремы 3.1 является следующая Теорема 4.1. Пусть (N, р, +) и (M,d,+) две. Л1,етрические полугруппы с нулями и отображение h : I х N —*■ М, определенное согласно правилу h(x,u) = ho(x) + h\(x)u, где hо € ABV(/, М) и h\ € ABV(7, L(/V, Л/)), является генератором оператора, суперпозиции Н. Тогда Н является липшицевым и имеет место неравенство

ЦН) < max{l,2Ai}||/ii||d£, где |Ы<*£ = L(f(a))+VAídL(f,I).

Отметим, что если в теореме 4.1 положить N = М, где М — полная метрическая полугруппа с нулем и ||/ii||dL < l/max{l, 2Ai}, то принцип сжимающих отображений Банаха гарантирует существование единственного отображения / € ABV(/, М) такого, что /(х) — hi(x)f(x) + ho(x) для всех х €. I. Положим

ABV*(/, М) = {/ е ABV(/,M) | lim f(y) = f(x), x e (a,6]}.

y->x-0

В лемме 4.5 показано, что если / € ABV(/, AÍ), то /* G ABV*(I,M).

Теорема 4.7 устанавливает необходимое условие липшицевости оператора суперпозиции, действующего между абстрактными выпуклыми конусами АВУ(/, М).

Теорема 4.7. Пустг> (Аг, р, +, •) и (М, с?,+, •) — два абстрактных выпуклых конуса, причем М — полный, и отображение Н : / х N —► М является генератором оператора суперпозиции Н.

Если Н € 1лр(ЛВУ(/,А0,ЛВУ(/,М)), шо Л(х, •) € 1лр(ЛГ,М) <?ля всех х € I, и найдутся два отображения До : I —*■ М и : I —*■ Л/) такие, что Ло, € ЛВУ*(/, М) <?ля в сеж и € -/V, и Шпу-^-о /г(у, и) =

Л-о(х) + /гх(х)г/. для всех х £ I и и € N, а (-)и действует по правилу х I—► Ъ,\{х)и.

В главе II изучены операторы суперпозиции, действующие на пространствах отображений двух вещественных переменных конечной полной Л-вариации. В §5 дапы определения и свойства функций двух переменных конечной полной Л-вариации. Будем писать х = (х^хг), У — (УиУъ) для х, у € К2 и считать, что х < у, если х\ < у\, х^ < у2, а под 1% понимать всякий прямоугольник = = [хх^ух] х [х2,г/2] С К2,

где х < у. Пусть /д = [«1, &1] х [02^2] — (основной) прямоугольник в М2, где а = (ах,а2),Ъ — (61,62) € М2 и а < 6, и К7« множество всех функций, действующих из в М. Далее, пусть Л = — последова-

тельность Уотермана, для которой ряд 1/Л2 расходится. Для (функции /(-,«2) : [«1,61] —»• К, определенной правилом /(-,а2)(£) = ¡(Ь,а-2), а] < £ < 61, А-вариация иа отрезке [«1,61] определяется так:

где супремум берется по всем тп € М, всем наборам отрезков [с*»,/?*] С [ах, 61], г — 1,..., т, таким, что «1 < С*1 < (3\ < «2 < < • • • < &тп < ¡Зт < Ь\ и всем перестановкам а : {1,...,т} —*■ {1, ...,т}. Аналогичным образом определяется Л-вариация Ул(/(аь •)> [а2,62]) = У\(/(а,1, •)) функции /(«1, -)(з) = /(ах, в) при <22 < в < 62. Это определение эквивалентно данному ранее.

т

1/0%, Ог) - /(а<,02)|

К(г)

УА(Я;а2), [01Л]) = УАС/О.оз)) = зир^

»=1

Для функции / € М*« двойной А-вариацией (в слшсле Уотермана-Дьяченко) на, прямоугольнике /д называется выражение

К2,л(/,4) = 8иР-:-л глЛ /л-'

где верхняя грань берется по всем парам

всем наборам

отрезков С [а1,Ьх], г = 1,... ,т, таким, что а\ < а\ < < <

< • • • < < {Зт < всем наборам отрезков С [ао,3 —

1,..., га, таким, что «2 < 71 < ¿1 < 72 < ¿2 < • • • < 1п < < и всем перестановкам а : {1,..., т} —► {1,..., т} и ^ : {1,..., га} —» {1,..., п}. Такой набор условий назовем стандартным.

Полной А-вариацией для функции / 6 назовем величину

ТУА(/, 1ъа) = ВД(аь •)) + Уа(/0, а2)) + У2,л(/, /аь),

и через ЛВУ(/д) обозначим множество всех функций / : —К, для которых она конечна.

В §6 обобщены некоторые известные факты для пространства ВУ(/£) функций двух переменных конечной вариации по Харди-Витали-Крау-зе, соответствующего случаю А* = 1 для всех г € N.

Теорема 6.3. Пространство ЛВУ(/д) является банаховой алгеброй относительно обычных поточечных операций и нормы

Н/Цл = |/(а)| + ГКА(/, 1Ьа), / € АВУ(/аь),

и для всех /, д € АВУ(/^) выполнено неравенство:

Ш1|а<4тах{1,А1, А;}||/||а-|Ы1а.

В §7 дается описание липшицевых операторов супрепозиции, действующих из АВУ(/д) в себя, сформулированное в виде двух теорем. Теорема 7.1 Пусть Н : М7« —► М7« оператор суперпозиции, пороо/с-денный функцией 1ъ : х К. —► К. согласно правилу (Н/)(х) = Ь,(х, /(х)), х € 1а, и к(х,и) = Но(х) + }х1{х)и для некоторых ко, е ЛВУ(/£) и

всех х € 1а, и е М. Тогда Н действует из АВУ(/£) в себя и является литшщевым. При этом, Ь(Н) < 4шах{1, Л1, Л^Ш^хЦл-

Для заданной функции / € АВУ(/£) определим ее левую-левую регуляризацию /* : —*■ Ж правилом:

ч lim ч /tebSfe), если аг < хх < Ьх и а2<х2< Ьг,

{У1,У2)-+(Х1-0,Х2-0)

lim /(г/1,2/2), если ö! < хх < 6i и х2 = а2,

lim /(г/ь 2/2), если xi = ai и а2 < х2 < Ь2,

(У1,Уъ)-+(а1+0,Х2-0)

, lim л /(2/1,2/2), сети xi = ai и х2 = а2.

V. (г/1,г/2)->(а1+0,а2+0)

Отметим, что условие (2/1,2/2) —► (xi —0,а;2 —0) понимается как (yi,y2) G /д, г/ < х и (г/1,2/2) —* {х\,х2) в R2, и аналогично для остальных трех пределов. Обозначим через ABV*(/£) подпространство всех функций в ABV(/q), которые непрерывны слева-слсва на (ai,&i] х («2,62], т.е. для которых выполнено

lim f(yi, У2) = f(x 1, х2) для всех € (аь Ьх] и х2 € (а2, h]-

(У1,У2)-+{Х1-0,Х2-0)

Если / € ABV(/q), то Г е ЛВУ*(/д).

Теорема 7.4. Пусть Н : —R7« оператор суперпозиции с генератором h : х R —R. Если Н действует из ABV(1%) в себя и является липшицевым в смысле нормы этого пространства, то h{x, •) также Липшицев а при всех х € и найдутся две функции ho, hi € ABV*(/') такие, что h*(x,u) — h0(x) + h\{x)u для всех х G 1%, и € R, где h*(-,u) — левая регуляризация функции h(-, и), определенная для каждого фиксированного и € R.

В §8 даны определения основных понятий в терминах метрических полугрупп.

Смешанной разностью (Витали) отображения / : —>• Л/ на под-прямоуголышке = = [xuyi\ х [х2,г/2] С назовем величину

md(f,I%) = d(f(xux2) + /(уь Ы> /(^ьй) +/(t/i,x2)).

Тогда двойная А-вариация отображения f : М определится так:

где Iij — [«г, Pi] x [7j, ¿j] для всех г = 1,..., m и j = 1,..., n, и верхняя грань берется по стандартному набору условий.

Полной К-вариацией отображения / : —► М называется величина:

TVKd(f,Iba) = VA>d(f{au •)) + Vm(/(.,02)) +

все ее слагаемые вычислены в метрике d. Класс отображений / : —> М с конечной полной Л-вариацией будем обозначать через ЛВV(/£,M). Если (Л/, с?, Н-) — метрическая полугруппа с нулем, то полагаем

ll/IU = l/(«)|d + TyAji2(/,/ab) для / € ABV(Iba,M).

Для метрической полугруппы (М, d, +) структура метрической полугруппы па ЛВУ(/д, Af) вводится следующим образом: операция сложения + определяется поточечно, а мерика d2,A определяется для /, <? € ЛВ У (la, М) по правилу:

d2,M,9) = d(f(a),g(a))+TWAid(f,9Jba)\

здесь совместная полная А-вариация отображений fug есть TWAM 9,1Ъа) = <*(/(•,a2), g(-,a2))+WAMM, gM)+W2,A(f, g, Iba),

где первое слагаемое есть величина WA^d для отображений t 1—► /(¿,02) и 11—> g(t, «2) на отрезке [ai, bi], и аналогичный смысл имеет второе слагаемое в правой части, а совместная двойная А-вариация W2iA(f, 9i отображений fug определяется правилом:

И'2,л(/, л 46) = sup jr ±

где /¿j = [»j, Pi] x [7<5j]? г = 1, • • •, тп, j = 1,..., n, супремум берется по стандартному набору условий, а величина тс?2(/, па с ^а есгь

™d2(/, ff, = ¿(/(а*, аг2) + /(ух, у2) + jte) + p(j/i, х2),

5(а;ь rr2) + g(yi, г/2) + f{x ь г/2) + /(уь аса)).

В §9 доказаны две теоремы. Теорема 9.1 устанавливает свойство типа банаховости алгебры для пространства ЛВУЛ/). Теорема 9.1. Пусть (Дг, р, +) ад (Л/, с?, +) две метрические полугруппы с нулями. Если / € ЛВУЦДО, М)) и д € ЛВУ(/£, ДО), то отображение М, действующее по правилу: (/ д)(х) = /(х)д(х) для всех х е 1а, лежит в ЛВУ(1%,М), и справедливо неравенство

\\fg\U <4тах{1, Аь\1}\\Д\Мр,

\\f\Ub = ЦПа))+ТУА^(/,1ьа), \\9\\р = \д(а)1 + ТУА,р(д,1ьа).

В теореме 9.3 найдены достаточные условия, при которых оператор суперпозиции действует из одной метрической полугруппы ЛВУ(/£, М) в другую и является липшицевым.

Теорема 9.3. Пусть (Лг, р, +) и (А/, в,, +) — две метрические полугруппы с нуля,ми, и пусть отображение к : х N —>■ М, определенное согласно правилу к(х,и) — к0(х) + к\{х)и, где ко € ЛВУи Л-1 € ЛВУ(/д, Ь(АГ, Л/)), является генератором оператора суперпозиции Н. Тогда Н <Е 1Лр(ЛВУ(/*, ДО), ЛВУ(/*, А/)).

Работа автора по теме диссертации в 2003-2005 гг. была поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 0301-00473, рук. д. ф.-м. и. В. В. Чистяков). В 2005 г. автор стал призером конкурса для аспирантов на стипендию им. академика Г. А. Разуваева на 2005-2006 учебный год. В 2006 г. работа была частично поддержана грантом РФФИ (проект 05-01-00697 рук. д. ф.-м. п. В. А. Калягин).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук В. В. Чистякову, за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе, доктору физико-математических наук, профессору М. В. Долову за активное участие и интерес к работе, и доктору физико-математических наук, профессору В.А.Калягину за внимание к работе и ценные комментарии и замечания.

Публикации автора по теме диссертации

|1| Chistyakov V. V., Solycheva О. М. Lipschitzian operators of substitution in the algebra ABV// J. Difference Equat. Appl. 2003. Vol. 9, N 3/4. P.407-416.

[2] Солычева О. M. Многозначные липшицевы операторы суперпозиции в пространствах Уотермана ABV// Теория функций, ее прилож. и смежн. вопр. Т. 19. Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2003. С.203-205.

[3] Солычева О. М. Алгебра Уотермана функций двух переменных и операторы суперпозиции // Совр. пробл. теории функций и их прил. Тезисы докл. 13-ой Саратовской зимн. школы. Саратов, ООО Издательство "Новая книга". 2006. С. 1G3-164.

[4] Солычева О. М. Липшицевы операторы суперпозиции на метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах отображений конечной Л-вариации // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47, N 3. С.649-664.

Отпечатано в типографии "АЬЬрпп^'. 603057, Россия, г.Н.Новгород, пр.Гагарина, 50, корп.15, офис 221 Тел./факс: (8312) 64-93-74 Тираж 100 экз.

Введение

I. Отображения одной переменной конечной Л-вариации

1. Вещественные функции конечной Л-вариации

2. Метрические полугруппы и конусы отображений

3. Произведение отображений конечной Л-вариации

4. Липшицевы операторы суперпозиции.

И. Функции двух переменных конечной полной Л-вариации

5. Определения и основные свойства

6. Банахова алгебра ЛВУ(/ц) функций двух переменных конечной полной Л-вариации.

7. Липшицевы операторы суперпозиции в ЛВУЙ)

8. Метрическая полугруппа ЛВУ(/^, М).

9. Липшицевы операторы суперпозиции. Достаточное условие.

Диссертация посвящена проблеме описания операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной полной Л-вариации Уотермана.

Функции конечной (ограниченной) вариации играют фундаментальную роль в теории функций вещественной переменной и имеют важные приложения в других разделах математики (см., например, [4], [28]). Понятие вещественной функции конечной вариации на вещественной прямой М. было введено К. Жорданом (см. |4j) в 1881 году в связи с признаком Дирихле сходимости рядов Фурье. К. Жордан также показал, что функция конечной вариации представима в виде разности двух неубывающих ограниченных функций. В 1905 году Дж. Витали (см. [11]) предложил определение функции конечной вариации двух вещественных переменных. В различных контекстах функции конечной вариации изучали А. Лебег, Г. Харди, Ф. Рисс, Н. Винер, JI. Янг и другие математики (подробнее см. [11]).

В 1972 году Д. Уотерман ввел понятие функции конечной Л-вариации на отрезке вещественной прямой. Подобно Жордану, на пространствах таких функций он изучал сходимость и равномерную сходимость рядов Фурье. Другим приложением теории Уотермана является описание нелинейных операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах функций конечной Л-вариации. В данной диссертации развивается теория отображений одной ([44], [45], [47]) и двух [46] вещественных переменных конечной (обобщенной) Л-вариации в смысле Уотермана. На пространствах таких отображений полностью изучены неавтономные нелинейные операторы суперпозиции, удовлетворяющие условию Липшица. Полученные результаты являются обобщением на случай отображений со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах некоторых известных результатов Я. Матковского, Я. Мища, В. В. Чистякова, В. Смайдор, Г. Завадской, касающихся характериза-ции операторов суперпозиции на пространствах функций и отображений одной переменной конечной вариации по Жордану ([19], [33], [34], [35], [39], [40], [43]), и двух переменных конечной вариации в смысле Харди-Витали-Краузе ([9], [10], [21]).

Пусть I, N и М — некоторые непустые множества. Обозначим через М1 семейство всех отображений, действующих из I в М. Для заданного отображения h : I х N М оператор Н : N1 М1, определенный правилом

Hf)(x) = h(x,f(x)), feN^xei, (*) называется оператором суперпозиции типа Немыцкого, а отображение h называется генератором (или порождающим отображением) оператора Н.

Начиная с классических работ В. В. Немыцкого [5] и [6], операторы суперпозиции (как однозначные, так и многозначные), действующие в различных классах отображений, интенсивно изучаются и представляют интерес (см. [1], [8], [17], [19], [20], [33], [35], [39], [43], [45], [46], [47]).

Для того чтобы использовать основные принципы нелинейного анализа, во многих приложениях от нелинейных операторов требуется больше, чем свойство непрерывности. Например, принципиальное предположение в теореме Банаха о сжимающем отображении — это (глобальное) условие Липшица. Если в рамках определения (*) считать, что (Ni,p) С N1 и (Mi,d) с М1 — метрические пространства с метриками pud соответственно, то условие Липшица для оператора суперпозиции Н запишется так:

Зр > 0 : d(HfhHf2) < М/1,/2), /ь/2 G Nv (L1)

В частном случае, когда (N1, |[ ■ Ц^) С N1 и (Mi, || • ||мх) С М1 — нормированные пространства, условие (L1) естественным образом перепишется в виде:

3/1 > 0 : \\Hfi - Я/21|Mi < Mll/i - /2|к, fh fzeNi. (L2)

Таким образом, возникает задача о нахождении условий (по возможности необходимых и достаточных) для того, чтобы охарактеризовать условие

L1) для оператора суперпозиции Н в терминах его генератора h.

Изложим некоторые известные результаты, полученные в данном направлении. Всюду ниже считаем, что в определении (*) I = [а, Ь] — отрезок в Ж, N = М = R. Обозначим через Lip(7) С MJ банахову алгебру непрерывных по Липшицу функций на / с обычной липшицевой нормой.

Пусть - генератор оператора суперпозиции Н : Ш1 —*

К7. Матковски [33] показал, что Н отображает Lip(/) в себя и сам является липшицевым тогда и только тогда, когде найдутся две функции ho, h\ £ Lip(I) такие, что h(x,u) = ho(x) + h\(x)u для всех х € I и и G К. Так, например, оператор, порожденный липшицевой функцией h(x,u) = sin и для же/иие!не является липшицевым в Lip(/)). Отметим, что этот критерий специфичен для пространства Lip(/), поскольку он не имеет места ни в пространстве С(1) непрерывных на I функций с обычной sup-нормой, ни в пространстве LP(I) суммируемых на I по Лебегу функций со степенью р > 1 со стандартной нормой.

Этот результат Я. Матковского можно интерпретировать двояко. С одной стороны, он показывает, что множество липшицевых операторов на Lip(/) весьма бедно (генераторы h таких операторов необходимо линейны по второму аргументу). С другой стороны, поскольку при 0<д< 1 Липшицев оператор Н тесно связан с решением функционального уравнения / = Я/ относительно функции / Е Lip(I) при помощи теоремы Банаха о неподвижной точке, то результат Я. Матковского говорит о том, что это уравнение нельзя решить в пространстве липшицевых функций на отрезке / при помощи теоремы Банаха, если генератор h нелинейно зависит от второго аргумента и Е М (в этом случае следует привлечь более-мощную теорему о неподвижной точке, например, Шаудера и т.п. [3]).

Обозначим через BV(/) подмножество в W всех функций / конечной вариации по Жордану: т

V г=1 где супремум берется по всем то G N и всем разбиениям V = {ж7;}"10 отрезка 7 вида а = xq < х\ < . < хт-\ < хт = Ь.

Известно, что пространство ВV(7) является нормированной банаховой алгеброй относительно нормы ll/bv = |/(a)|+V(/l/)> feBV(I), причем имеет место неравенство fg\\Bv<2\\f\\Bv\\g\\Bv, f,g £ BV(7).

Это неравенство является непосредстенным следствием следующих двух неравенств [4, VIII,§3.3j: f\\u = sup 1/(2)1 < IIf\\BV и V(fg,I) < V(f,I)\\g\\u + \\f\\uV(g,I). xel

Приведем ряд фактов, известных относительно операторов суперпозиции на пространстве BV(7). Прежде всего, рассмотрим случай, когда функция /г:/хК^К имеет вид h(x, и) = h(u) для всех х 6 7 и и G М. Тогда оператор суперпозиции Н : Ж1 —> Ш1, порожденный функцией h, определяется правилом

Hf)(x) = h(f(x)), xe^feR1.

Такой оператор суперпозиции назовем автономным, и, соответственно, оператор суперпозиции общего вида (т.е. заданный формулой (*)) — неавтономным. Отметим, что если такой генератор h сам является функцией конечной вариации на М, то отсюда еще не следует, что порожденный им оператор суперпозиции Н действует из ВV(7) в себя. Например [12, §6.5], если h(u) = л/\и\ для \и\ < 1 и f(x) = ж2 sin2 ^ для х 6 (0,1], /(0) = 0, то ./ е BV(7), в то время, как (Я/)(ж) = xsm^ и Я/ ^ BV(7). Это объясняется тем, что функция h не удовлетворяет условию Липшица ни в какой окрестности точки и — 0. Действительно, имеет место следующий результат М. Джозефи [31]: пусть автономный оператор суперпозиции Н действует из BV(7) в себя тогда только тогда, когда его генератор удовлетворяет следующему локальному условию Липшица: существует функция д : (0, оо) —> R+ такая, что для любого г > 0 выполнено неравенство h(u) — h(v)| < i-i(r)\u - г>|, \u\ < г, |г>| < r.

Этот результат M. Джозефи полностью описывает генераторы автономных операторов суперпозиции, действующих из BV(7) в себя, однако, никакие общие результаты относительно h, касающиеся действия онера-тора суперпозиции Н из ВV(/) в себя, его ограниченности, непрерывности, компактности и т.п. неизвестны в неавтономном случае, т.е. когда h = h(х, и), где х € /имей. Однако если генератор h : I х К —► R неавтономного оператора суперпозиции Н имеет вид h(x, и) = ha(x) + hi(x)u для всех х £ I, и е Ж и некоторых функций ho, h\ G ВV(/), то утверждение о том, что пространство BV(/) является банаховой алгеброй, позволяет заключить, что оператор суперпозиции Я, порожденный таким генератором, действует из ВV(/) в себя и является липшицевым в том смысле, что найдется постоянная /л > 0 (можно положить /х = 2[[/"ii||£y) такая, что

Hfi ~ Hf2\\BV < mII/i - /2||w, /ь ./2 € BV(/).

Несмотря на то, что на пространстве BV(I) неизвестно описание произвольного неавтономного оператора суперпозиции, оказалось возможным полностью охарактеризовать генератор неавтономного оператора, удовлетворяющего условию Липшица (L2). Я. Матковски и Я. Мищ в [35] доказали следующий результат: если неавтономный оператор суперпозиции Н : Ш1 —Ж1, порожденный функцией h : I х R —> К. согласно (*) для х G I и / G М1, действует из ВV(/) в себя и удовлетворяет условию (L2), то имеет место представление Матковского: h*(x,u) = hо(х) + hi(x)u для всех х £ (а, Ь], и £ Ж, где h*(x, и) = \Шу->х-а h(y,«) — левая регуляризация функции h по первому аргументу при каждом фиксированном и G R, а функции ho, hi £ BV(/) и непрерывны слева на (а, Ь].

Таким образом, представленные выше результаты показывают, что на ВV(/) липшицевы операторы суперпозиции описаны полностью. Хотя условие Липшица является довольно жестким, в определенных классах функций и отображений (более общих, чем ВV(I)) оно позволяет получить содержательные результаты. Кроме того, используемая (при этом) техника и методы исследования липшицевых (как автономных, так и неавтономных) операторов суперпозиции на BV(/), переносятся на более общие, чем ВV(I), функциональные пространства. Приведем некоторые обобщения уже изложенных результатов.

Пусть Л = {А.;}^ С К — последовательность действительных чисел такая, что выполнено условие Уотермана:

Такую последовательность Л назовем последовательностью Уотермана. Функция / : / = [а, Ь] —> М называется функцией конечной Л-вариации на I (в смысле Уотермана [41], [42]), что записывается в виде / € ЛВУ (/), если следующее выражение называемое К-вариацией / на отрезке /, конечно; здесь супремум берется по всем т 6 N и всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [a,;, 6J С [а, Ь], г = 1,., т. При А, = 1 для всех t G N данное определение совпадает с определением вариации У(/, I) функции / на отрезке / по Жордану, данным ранее.

Пространство ЛВV(/) совпадает с пространством BV(J) функций конечной жордановой вариации на I тогда и только тогда, когда Л является ограниченной последовательностью. Если же supieN А<; = оо, тогда ВV(/) является собственным подмножеством ЛВУ(/).

Известно [42, раздел 3], что ЛВУ(1) является банаховым пространством относительно нормы

Более того, в [32, теорема 4] (см. также [44, формула (19)]) показано, что ЛВУ(/) является нормированной банаховой алгеброй.

WfU = \f{a)\+VA(f,I), f Е ЛВУ(/).

В случае Л = {г}^ соответствующее пространство обозначается через HBV(/) и называется пространством функций конечной гармонической вариации. Для автономных операторов суперпозиции на HBV(/) М. Чайка и Д. Уотерман [16] установили результат, аналогичный приведенному выше результату М. Джозефи для операторов суперпозиции на BV(/), а именно, автономный оператор суперпозиции Н : Ш1 R1 действует из HBV(/) в себя тогда и только тогда, когда h является локально-липшицевой функцией. Поскольку, как отмечено выше, пространство HBV(/) является банаховой алгеброй, то неавтономный оператор суперпозиции Я, порожденный функцией h(x,u) = /го(ж) + h\{x)u для некоторых /го, h\ £ HBV(/) и всех х G I, и G R, действует из HBV(/) в себя и является липшицевым относительно нормы в HBV(I).

Также, как и в случае ВV(I), для неавтономных операторов суперпозиции, действующих на пространствах ABV(I), где Л — произвольная последовательность Уотермана, неизвестны условия на генератор h, дающие описание действия оператора суперпозиции из ABV(J) в себя, его непрерывности, ограниченности и пр. Цель настоящей диссертации — полное решение некоторых из этих задач, а именно, характеризация неавтономных липшицевых операторов суперпозиции на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной Л-вариации.

Переходим к изложению основных результатов диссертации.

В главе I (§§1 — 4) развивается теория отображений одной переменной, заданных на отрезке вещественной прямой со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах и имеющих конечную в смысле Уотермана Л-вариацию. Для пространства ЛВУ таких отображений устанавливается свойство типа банаховости алгебры и дается исчерпывающее описание неавтономного липшицева оператора суперпозиции, действующего из одного пространства ЛВУ в другое.

В главе II основные результаты главы I переносятся на случай отображений двух переменных. В §§5 — 7 рассмотрен случай вещественно-значных функций двух переменных, заданных на прямоугольнике в R2, конечной полной Л-вариации в смысле Уотермана-Дьяченко. Здесь устаиавливается свойство пространства ABV(/„) функций конечной полной Л-вариации быть нормированной банаховой алгеброй и дается полное описание неавтономного липшицева оператора суперпозиции, действующего из ЛВУ(1ьа) в себя.

Параграфы §§8-9 содержат некоторые обобщения теории функций двух переменных конечной полной Л-вариации на случай отображений со значениями в произвольных метрических полугруппах. В частности, для неавтономного оператора суперпозиции, действующего между метрическими полугруппами отображений конечной полной Л-вариации, найдены достаточные условия, при которых оператор удовлетворяет условию Липшица.

В §1 рассматривается частный случай пространства ЛВУ функций / : / = [а, Ь] —> К. одной переменной, заданных на отрезке I = [а,Ь} вещественной прямой, а < Ь, конечной Л-вариации, и устанавливается результат, дающий необходимое и достаточное условия липшицевости оператора суперпозиции Н, действующего из пространства функций ЛВУ в себя. Цель главы I заключается в обобщении нижеследующей теоремы 1 на случай абстрактных операторов суперпозиции, действующих между пространствами отображений одной переменной конечной Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах.

Теорема 1. Пусть Н : RJ Ж1 — оператор суперпозиции с генератором h : /хR R; определенный согласно формуле (Hf)(x) = h(x, f(x)), где f G Ш1, x G I. Если H действует из ЛВУ в себя и является лип-шицевым в смысле нормы л = |/(а)| + Ул(/,/), / G ЛВУ, то существуют постоянная /ло > О, такая, что h(x,ui) - h(x,U2)\ ^ до - и2\, же/, Mi, щ G R, и две непрерывные слева па (а, b} функции ho, hi G ЛВУ такие, что h*(x,u) — ho(x) + hi(x)u, х G /, и G R, где h*(x,u) — левая регуляризация функции у i—> h(y,u) в точке х £ I для као/сдого фиксированного и £ К. Если oice h(x,u) = h$(x) + h\(x)u, x £ I, и £ E, для некоторых ho, hi £ ABV, то H действует из ABV в себя и удовлетворяет условию Липшица.

Описанный выше результат Я. Матковского и Я. Мища вытекает из теоремы 1 при А= 1 для всех i £ N, но теорема 1 остается справедливой и для операторов суперпозиции, действующих между пространствами функций со значениями в произвольных линейных нормированных пространствах (см. [44, теорема 4.1]).

В §2 вводятся основные определения и устанавливаются некоторые свойства метрических полугрупп и абстрактных выпуклых конусов.

Метрической 'полугруппой называется тройка (М, d, +), где (М, d) — метрическое пространство с метрикой d, (М, +) — абелева полугруппа по сложению +, и метрика d инвариантна относительно сдвигов, т.е. d(u+w, v+w) = d(u, v) для всех и, v,w £ М [8]. Метрическая полугруппа (М, d, +) называется полной, если (М, d) есть полное метрическое пространство. Если метрическая полугруппа (М, d, +) содержит нуль О ЕМ, то полагаем = d(u, 0).

Абстрактным выпуклым конусом называется четверка (М, gJ, +,•), где (М, d, +) — метрическая полугруппа с нулем 0 и операция • : [0, оо) х М —> М, определенная правилом (A, u) i—> Аи, такова, что для всех u,v £ М и А,д > 0 выполнены следующие равенства [40]: A (u + v) = Xu+Xv, А(/ш) = (A/i)u, (X+fi)u — Хи+ри, 1-й = и и d(Aii, A-u) = n).

Для отрезка IcK, метрического пространства (M, d) и последовательности Уотермана А = обозначим через ABV(/, М) множество всех отображений / : I —> М, для которых конечна А -вариация по Уотерману (см. [41], [42] для М = Ж): тг fr п т/ ,fs x^d(f{bj)J{ai)) Ум(/, I) = VA4{f) = sup -у-, г=1 1 где супремум берется по всем шЕНи всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [щ, bj\ с I, i = 1,., т.

Если (М, d, +) — метрическая полугруппа с нулем и / £ ЛВУ (/, М). то полагаем f\\d = \f(a)\d + VAM,I)- (1)

Нижеследующая лемма 2.5 позволяет ввесту структуру метрической полугруппы на пространстве ЛВУ(/, М).

Лемма 2.5. Если (М, d, +) — (полная) метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус), то (ABV(/, М), dA, +) — также (полная) метрическая полугруппа (соответственно абстрактный выпуклый конус) с поточечной операцией сложения + (для конуса — умножения на неотрицательные числа •) и инвариантной относительно сдвигов метрикой dA: dA(,f,g) = d(f(a),g(a))+WAM,g), f,9 e ABV(/,M), где полуметрика Wa,^/, $), называемая совместной А-вариацией f и д, есть

WM=e upf + + (2) т~г Л; г=1 а супремум берется по всем т G N и всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [а,;, 6,;] С /, г = 1,., т.

Пусть (N, р) — метрическое пространство и (М, с?, +) — метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус). Оператор Т : N —>• М будем называть липшицевым, если конечна его (наименьшая) константа Липшица:

L(T) = sup I и^Л,

I J а через Lip (А, М) обозначать множество всех таких операторов. Это множество замкнуто относительно поточечной операции сложения (умножения на неотрицательное число), и является метрической полугруппой (абстрактным выпуклым конусом) с поточечными операциями сложения + (для абстрактного выпуклого конуса — умножения на неотрицательное число •), и метрикой di, порожденной метрикой d: dL{T, S) = d{TuQ, Suq) + di{T, S) для T, S e Lip(iV, M), где элемент щ £ N фиксирован и di Т,S = sup \ ----, u,veN, и^гЛ

I рМ) J см. [8], [9], [19], [22], [39], [40]).

В лемме 2.6 изложены свойства инвариантной относительно сдвигов полуметрики di (см. [9], [23, § 4.2]).

Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы. Оператор Т : N М называется аддитивным, если он удовлетворяет уравнению Коши: Т(и + v) =Tu + Tv для всех u,v £ N. Обозначим через L(N, М) множество всех липшицевых аддитивных операторов из N в М, Если N и М содержат нули и Т £ L(N,M), то Т(0) = 0. В этом случае di~di (при щ = 0) является метрикой на пространстве L(N, М), и для Т £ L(N, М) имеем ЦТ) = dL{T, 0) = \T\db.

В §3 доказана теорема 3.1, в которой устанавливается свойство типа банаховости алгебры для пространств отображений конечной Л-вариации (см. ниже). Эта теорема обобщает результаты работ [32, теорема 3], [43] и [44, формула (19)] на случай отображений со значениями в метрических полугруппах.

Теорема 3.1. Предположим, что (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями. Если / £ ABV(/, L(N, М)) и g £ ABV(/, N), то отображение fg : / —> М, действующее по правилу (fg)(x) = f(x)g(x), х £ лео/сит в ЛВУ(/, М) и выполнено неравенство

Wfgl^m^il^WfWMp, где

Г\к = ЦПа)) + Ук4ь{^1) U \\g\\p = \g(a)\p + VA,p(g,I).

В §4 дано полное описание липшицевых операторов суперпозиции (Немыцкого), действующих между метрическими полугруппами и конусами отображений конечной Л-вариации. Основными результатами этого параграфа являются теоремы 4.1 и 4.7. Для их формулировки дадим основные определения.

Пусть (М, d) и (N, р) — метрические пространства и А'"1 — множество всех отображений из / в N. Для заданного отображения двух переменных h : I х N —> М отображение Н : N1 —■» М1, определенное для всех х G I и / € N1 правилом называется оператором суперпозиции (оператором подстановки Немы-цкого), а отображение h называется генератором (или пороэюдающим отобраэюением) оператора Н.

Следствием из теоремы 3.1 является приведенная ниже теорема 4.1, дающая достаточное условие липшицевости неавтономного оператора суперпозиции.

Теорема 4.1. Пусть (N,p,+) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями и пусть отображение h : I х N —► М, определенное согласно правилу h(x,u) = ho(x) + hi(x)u, где Hq G ЛВУ(/, M) и h\ G ABV(/, h(N, M)), является генератором оператора суперпозиции Н. Тогда Н действует из ABV(/, N) в ЛВУ(/, М) и является липши-цевым, причем имеет место неравенство

L{H) <max{l,2Ai}||fci||dt) где \\hi\\dL = L(hi(a)) + VA.db(hi, I).

Если (M, d, +) — полная метрическая полугруппа, то для отображения / G ЛВУ(/, М) левой регуляризацией называется такое отображение

Чтобы показать, что определение левой регуляризации корректно, т.е. что односторонние пределы отображения / на I существуют, напомним понятие модуля вариации отображения /. Для п G N и отображения / : I —> М положим

Hf)(x) = h(x,f(x))

3) : I М, что п V n>/,/)=sup^d(/(fei),/(ai)) где супремум берется по всем наборам отрезков {[aj,6j]}"=1 с I таким, что а < а\ < Ь\ < а2 < <.< ап < Ьп < Ъ. Последовательность i/(•,/,/) : N —> [0,оо] называется модулем вариации отображения f на I (см. [7] для М = М, а также [24], [28, Раздел 11.3.7]).

Следующая лемма дает оценку модуля вариации для отображения конечной Л-вариации на / (аналог [13], М = М, I = [0, 2тт\).

Лемма 4.3. Если / 6 ЛВУ(1,М), то для любого п е N выполнено неравенство п u(n,f,I)< .nVA4(fJ)

На это свойство опирается следующий результат.

Лемма 4.4. Для отображения / е ЛВУ(/, М) существует предел слева f(x —0) G М в каждой точке ж € (а, 6] и предел справа f(x+0) G М в каждой точке х 6 [a, b), причем множество точек разрыва отображения / не более, чем счетно.

Отображение / : / —> М называется непрерывным слева на (а, 6], если lim f(y) = f(x) в М для всех х £ (a, b}. у—*х—0'

Обозначим через ЛВУ*(/, М) подпространство в ЛВУ(/, М) тех отображений, которые непрерывны слева на (a, Ь).

Лемма 4.5. Если / е ЛВУ(/,М), то /* 6 ЛВУ*(/,М), причем V^A (Л/)<VA (/,/).

Приведенная ниже теорема 4.7 устанавливает необходимое условие липшицевости оператора суперпозиции, действующего между абстрактными выпуклыми конусами ЛВУ(/, М), которое заключается в том, что если сам оператор суперпозиции Я Липшицев, то его генератор h также Липшицев и левая регуляризация h* имеет представление Матковского, т.е. линейно зависит от второго аргумента. Идея доказательства заимствована из работы [21] и опирается на построение функций специального вида.

Теорема 4.7. Пусть (N, р, +, ■) и (M,d,+,-) — два абстрактных выпуклых конуса, причем М — полный, и отображение h : I xN М является генератором оператора суперпозиции Н, определенного согласно

3). Если Н G Lip(ABV(/, N),KBV(I, М)), то h{xr) G Lip(N,M) для всех х £ I и найдутся два отображения ho : I —» М и h\ : I —> L(7V, М) такие, что h\{-)u G ABV*(/, M) d/u вееж и £ N, и h*(x, и) — ho(x) + h\{x)u для всех х £ I и и Е N, где h\(-)u действует по правилу х \—> h\{x)u, a h*(-,u) есть левая регуляризация отображения h(-,u) при каждом фиксированном и G N.

В случае, когда М = М, а Л — постоянная или ограниченная последовательность, теоремы 4.1 и 4.7 дают результаты [35]. Если же М = К, а Л — последовательность Уотермана, то теоремы 4.1 и 4.7 приводят к результатам работы [44]. Отметим, что если в теореме 4.1 положить N = М, где М — полная метрическая полугруппа с нулем и ЦЛчЦо^ < l/max{l, 2Ai}, то принцип сжимающих отображений Банаха гарантирует существование единственного отображения f G ABV(/, М) такого, что /(ж) = hi(x)f(x) + hQ(x) для всех х е I.

Результаты, полученные в главе II, показывают, что развитые в главе I методы исследования и описания операторов суперпозиции пригодны не только для отображений одной вещественной переменной. Вначале ограничимся рассмотрением случая вещественнозначных функций двух переменных, заданных на прямоугольнике в R2, что позволяет выявить принципиальные отличия при переходе от функций одной переменной к функциям двух переменных.

В §5 даны определения и свойства функций двух переменных конечной полной Л-вариации. Будем писать х = (ж^жг), у ~ (уьуг) для х,у G R2 и считать ж < у, если х\ < у\, ж2 < Кроме того, под Ц. для х < у будем понимать всякий прямоугольник

Пусть 1ьа = [ai,bi] х [о2,62] — (основной) прямоугольник в К2 (область определения функций), где а = (ai, a2), b — (bi, b2) G M2 такие, что a < b. Под R1» будем понимать множество всех функций, действующих из в

М. Далее, пусть Л = с R — последовательность Уотермана, для которой выполнено условие Дьяченко:

00 ^

1=1 1

Для функции одной переменной /(-, а2) : [ai,fei] -+1, определенной правилом f(-,a,2)(t) = /(t, «2), a-i < t < &i, (обычная) К.-вариация на отрезке [ai,b\] определяется правилом:

-■«.)> К Ы) = VA(f(; О»)) = SUp £ где супремум берется по всем т G N, всем наборам отрезков [aj, А] С [ai, bi], г = 1,., та, таким, что а\ < а\ < (3\ < «2 < А < • • ■ < < An < и всем перестановкам ст : {1,. ,ш} —► {1,. ,т]. Аналогичным образом определяется Л-вариация V\(f(ai, •), [аг, Ьг]) = ')) функции /(ai,-)(s) = f(ai,s) при < s < 62- Это определение Л-вариации эквивалентно данному ранее в главе I.

Для функции двух переменных / G двойной К-вариацией (в смысле Уотермапа-Дъяченко) (см. [26], [27]) на прямоугольнике 1ьа называется выражение т п i=1 j=1

1/К 7j) + /(A, ty - /К fr) - /(A, 7j)l

K[i)K(j) где верхняя грань берется по всем парам (та,п) G N2, всем наборам отрезков [«г, А] С [ai,6i], г = 1,. , та, таким, что а\ < ot\ < f3\ < «2 < 02 <■■ ■ < ат < An < и всем наборам отрезков [7^,^] С [0.2,62], j = 1,., п, таким, что <22 < 7i < < 72 < < • • • < in < <5п < h, и также всем перестановкам <т : {1,., та} —>■ {1,., та} и 1/: {1,., п] —> {1,.,тг}.

Полной К-вариацией для функции / G R7» называется величина m(fX) = ВДК")) + УаШ-.оз)) + V2A(f,Iba), (4) и через ABV(I^) обозначается множество всех функций / : Iba —» R, для которых она конечна. Известно [26], что каждая функция / G ABV(/„) имеет предел справа-справа f(x 1 +0, х2 + 0) в каждой точке прямоугольника [ai, bi) х [аг, b2) (в том смысле, что \f{x\ + 0, ж2 + 0) - f(yi, у2)\ —> 0 при yi —> х\ + 0 и у2 —i► Ж2 + 0), предел слева-слева f(x 1 — 0,ж2 — 0) в каждой точке прямоугольника (ai,6i] х (0.2,62], предел слева-справа f(x 1 — 0,^2 + 0) в каждой точке прямоугольника (ai,bi] х [0,2,62), и предел справа-слева f(x\ + 0,Ж2 - 0) в каждой точке прямоугольника [ai,bi) х (^2,^2], и множество точек разрыва функции / не более, чем счетно.

Основным свойством двойной Л-вариации V2,A(-, является (секвенциальная) полунепрерывностъ снизу по первому аргументу: если последовательность функций fk : Iba JR. сходится поточечно на к функции / : /д —> R при к —> оо для всех ж G 1ьа) то справедливо неравенство:

V2sA(fJba) <bmmfV2,A(fk,Iba). (5) с—» ОО

Отметим, что в силу полунепрерывное™ снизу Л-вариаций VA(-, [ai, Ь\]) на отрезке [01,61] и Va(-, [ог,62]) на отрезке [<22,62] (лемма 2.3(d)), неравенство (5) остается справедливым и для полной Л-вариации TVA(-,Ib).

В §6 обобщаются некоторые известные факты для пространства BV(i^) функций двух переменных конечной вариации в смысле Харди-Витали-Краузе, соответствующего \ = 1 для всех г € N ([21] и [29]). В лемме 6.2 показано, что пространство ABV(J^) является полным относительно нормы ll/IU = \f(a)\+TVA(f,Z)> f е ЛВУЙ). (6)

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 6.3. Пространство ЛВУ (1ьа) является банаховой алгеброй относительно обычных поточечных операций и нормы (6), и для всех /, <? 6 ЛВУ(/д) выполнено неравенство: л<4тах{1,Л1,Л?}||/||л-||^11л.

Идея доказательства заключается в почленном оценивании слагаемых б величине полной Л-вариации функции fg и опирается на нетривиальное равенство, заимствованное в работе В. В. Чистякова [21, Теорема 1].

В §7 дается исчерпывающее описание неавтономных липшицевых операторов су препозиции, действующих из ABV(/^) в себя. В этом параграфе доказаны две теоремы (теоремы 7.1 и 7.4). Теорема 7.1 является следствием установленной в предыдущем параграфе теоремы 6.3 и дает достаточное условие липшицевости оператора суперпозиции Н. Теорема 7.1. Пусть Н : М7" —> М1" — оператор суперпозиции, пороою-депный функцией /i : х I 1 согласно (3), где х G и h(x,u) = ho(x) + hi(x)u для некоторых ho, hi G ABV(I^) и всех х G 1ьа, и G М. Тогда Н действует из ABV(J^) в себя и для любых fi,f2 G АВV(/J) выполнено неравенство

Hfi-Hf2\\A<[i\\fi-f2\\A, где ^ = 4тах{1,АьА?}||Мл.

Для заданной функции / G ЛВN(Iba) определим ее левую-левую регуляризацию /* : Iba —» М правилом [21]: f*iXhX2)=< lim /(2/1,2/2), если ai < xi < bi и a2 < x2 < b2, lim /(2/1,2/2), если аг < Xi < Ьг и x2 = a2) cl/i ,2/2)——0,a2+0) lim /(2/1, У2), если x\ — a\ и a2 < x2 < b2, з/ь2/2)-»(а1+0,Ж2-0)' lim f{yi,y2), если хг = и x2 = a2.

3/i,2/2)-(ai+0,a2+0)

Здесь условие (2/1,2/2) —> (^l - 0,ж2 - 0) понимается как (уьуг) С ух < xi, у2 < х2 и (yi,y2) —> (ж1, Ж2) в R2, и аналогично для остальных трех пределов. Существование всех этих пределов установлено в [26, Теорема 1].

Функция / : Iba —> М называется непрерывной слева-слева, если lim /(г/i,г/2) = /(^1,ж2) для всех х\ G (аь61] и ж2 G (а2, (:</ъ№Н(ж1-0,ж2-0) а подпространство всех функций ABV(/„), которые непрерывны слева-слева на (ai, 61] х (a2,62] обозначается через ABV*(/„).

В лемме 7.2 установлена оценка Л-вариации функции двух переменных по отрезку, т.е. как функции одной переменной в случае, когда значение другой переменной произвольно и фиксировано: если / £ ЛВУ (/„) и cti < to < &1, < so < то va(/(-, so)) < вд(-, 02)) + ахц.ас/, < ВДК •)) + AIV2,A(/, 7^), где а = ^м X [02, So], = [ah to] x [a2, b2).

В лемме 7.3 установлено, что для функции / с конечной полной Л-вариацией ее левая-левая регуляризация /* непрерывна слева-слева во всех точках прямоугольника (ai,bi\ х (<22,62] и имеет конечную полную Л-вариацию, причем

У2Л(ГХ) < ViAfX) и TVA(f*,Iba) < (1 + 2Ai)7Va(/,^).

Следующая теорема дает необходимое условие на генератор липши-цева оператора суперпозиции.

Теорема 7.4. Пусть Н : RJ« —> — оператор суперпозиции с генератором h: Ibax R —► К, определенный согласно (3), где х £ 1ьа. Если Н действует из ЛВУ{1ьа) в себя и удовлетворяет условию Липшица в смысле нормы, (6) этого пространства, то найдется константа > 07 такая, что h(x,Ui) - h(x/U,2)\ < fJ.o\ui -U21, X G Iba U U[,U2 £ M, и найдутся две функции ho, hi G ABV*(Ib) для которых h*(x,u) = ho(x) -f hi(x)u для всех x G Iba, и G M7 где h*(x,u) — левая регуляризация (функции у i-> h(y, и) в точке х G 1ьа, определенная для каждого фиксированного и G К.

Параграфы §8-9 посвящены изучению абстрактных операторов суперпозиции на отображениях двух вещественных переменных со значениями в метрических полугруппах. В §8 содержатся основные понятия mdjf, Ijj)

K(i)K(j) теории отображений двух вещественных переменных конечной полной Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и выпуклых конусах. Здесь же установлено свойство пространства ЛВМ) быть метрической полугруппой, и основные свойства метрики и полуметрики на ЛВУ(/„, М). Дадим необходимые определения.

Смешанной разностью (Витали) отображения / : 1ьа —» М на под-прямоугольнике II = /f*'^ = [£1,2/1] х [ж2,Уг] С 1ьа назовем величину [8],

9], [14] mdU\ I'x) = d{f{xhx2) + f{yhy2), f{xh y2) + f{yi, X2)).

Тогда двойная А-вариация отображения / : Iba —> М определяется правилом т п

V2,A(fJba)=™pJ2E г=1 j=1 где Iij — fa] х [7j, 5j] и верхняя грань берется по всем парам (т, п) 6 N2, всем наборам отрезков [а^Д] С [ai,b\], г = 1 ,.,т, таким, что < оа < А < «2 < Д < • • • < ост < Рт < bi, всем наборам отрезков bj,5j] С [а2, b2], j = 1,.,гг, таким, что а2 < 71 < й. < 72 < 52 < ■ ■ ■ < 7n < < Ь2 и всем перестановкам сг : {1,., т} —>• {1,., т} и ^ : {1 ,.,п} {1,.,п}.

Основное свойство полунепрерывности снизу для двойной Л-вариации (■ > 1а) ПРИ этом сохраняется.

Полной А-вариацией отображения / : —> М называется величина (4), вычисленная в метрике d, и обозначаемая через ■> ll)■ Класс отображений / : —> М с конечной полной Л-вариацией будем обозначать ЛВУ (IIМ).

Если метрическая полугруппа (М, d, +) содержит нуль 0, то аналогично (1) полагаем f\U = |/(a)|d + TVA4(j\ III f e ABV(t M). (7)

В лемме 8.3 показано, что в случае, когда (М, d, +) является метрической полугруппой (абстрактным выпуклым конусом), в пространстве ЛВУ(/д, М) также можно ввести структуру метрической полугруппы (или абстрактного выпуклого конуса), в которой операция сложения + (умножения на неотрицательное число Л) вводится поточечно: (/ + д)(х) — f(x) + §(х) (соответственно f(Xx) — А/(х)), х G /„, а инвариантная относительно сдвигов мерика с£2,л определяется правилом:

М/,0) = d(f(a),g(a)) + TWA4(f,9Jba), где совместная полная А-вариация отображений / и д есть

Здесь первое слагаемое есть величина (2) для отображений t \—> /(£, а2) и 11—> g(t, а2) на отрезке [a\,bi], и аналогичный смысл имеет второе слагаемое в правой части, а совместная двойная А-вариация W2.A{,f\ g, Iba) отображений f is. g определяется правилом: и/ ft rb\ V^V^ ™d2{f,9Jij)

W2Aif, 9,1 a) = sup -\-' где Ijj = [0/4, Pi] x [jj, 5j) и супремум берется по тому же набору условий, что и в (7), а значение совместной смешанной разности md2(f, 9, Ц) на подпрямоугольнике С 1ьа есть rnd2(f,g,mf2) = d{f(xhx2) + f{yhy2) + g{xhy2) + g(yhx2), g{xhx2) + g(yby2) + f{xby2) + f{yhx2)).

В §9 доказаны две теоремы. Теорема 9.1 является обобщением на случай отображений двух переменных установленной в §3 теоремы 3.1 и устанавливает свойство типа банаховости алгебры для пространств ABV«,M).

Теорема 9.1. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы, с нулями. Если f G ABV(/„, L(N,M)) и g G ЛВV(/J, N), то отображение fg : М, действую'щее по правилу: (fg){x) — f(x)g(x) для всех х G 1ьа! лежит в ЛВУ(1ьа) М), и справедливо неравенство fg\\d < 4max{l,Ai,A5}||/||dJ|p||p, 22 где

И/к = ifHdL + TVA,dL(.f\lt), Ы\р = \g(a)\p + TVAtP(g,Iba).

В теореме 9.3 найдены достаточные условия на генератор оператора суперпозиции, при которых оператор действует из одной метрической полугруппы ЛВУ(/д, М) в другую и Липшицев в смысле метрик этих пространств, а также получена оценка его констванты Липшица. Теорема 9.3. Пусть (N, р. +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями, и пусть отобраоюение h : 1ьа х N —>• М, определенное согласно правилу h(x,u) = ho(x) + h\{x)u, где До б ЛВУ{1ьа)М) и h\ £ ЛВУ(/д, L(N, М)), является генератором оператора суперпозиции Н. Тогда Н е Lip(ABV(/^, N),ABV(Ib, М)) и имеет место неравенство

L(F)<4ma^{l,A1A?}||/i1||(iL.

I. Отображения одной переменной конечной Л-вариации

В этой главе развивается теория отображений одной вещественной переменной конечной в смысле Уотермана Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах. Для пространства ЛВУ таких отображений устанавливается свойство типа бана-ховости алгебры (теорема 3.1) и дается полное описание липшицевых операторов суперпозиции, действующих из одного пространства ЛВУ в другое (теоремы 4.1 и 4.7).

Основные результаты этого параграфа сформулированы в теоремах 9.1 и 9.3. В теореме 9.1 показано, что пространство ABV® М) обладает свойством типа банаховости алгебры. Установленная в теореме оценка на величину ||/<?||л позволяет описать достаточное условие Липшица для неавтономного оператора суперпозиции, действующего между метрическими полугруппами ABV® М), в терминах его генератора (теорема 9.3).

Теорема 9.1. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями. Если / £ ABV® L(N, М)) ug £ ABV® N), то отображение fg:Ib-+ М, действующее по правилу: (fg)(x) = f(x)g(x) для всех х £ Ib, лежит в ABV® М); и справедливо неравенство fg\\d < 4max{l,Ai,A5}||/|y|f/||p, где ll/lk = Ь(/(а)) + ТУлаС/, Iba), \\g\\p = \g(a)\p + TVA.P(g, Iba). Доказательство. Поскольку fg : Ib —► М, то в силу определения (5.4) ll/'^IU = ОЗ+^з^с/бг,/^). (9.1)

Для первого слагаемого из определения константы Липшица оператора /(а) имеем fg)(a)\d = d((fg)(a),0) = d(f(a)g(a),f(a)(0)) < L(f(a))p(g(a), 0) = = L(/(a))|p(a)|p. (9.2)

Для оценки второго слагаемого воспользуемся определениями константы Липшица L(-) и метрики di, так что если t, s е [ai, 61], то d((fg)(s,a2),(fg)(t,a2)) < d(f{s, a2)g{s, a2), /(s, a2)#(t, a2)) + d{f(s, a2)g(t, a2), f(t, a2)g(t, a2)) <

L(f{s, a2))p(g(s, a2),g{t, a2)) + dL{f{s, a2), /(i, a2))p{g(t, a2), 0).

Тогда для набора отрезков [с^, Д], г = 1,., то, в [ai,b\] и произвольной перестановки a : {1,., то} —> {1,., то} имеем: d((fg)(0uO2),(f9)(<*i, «2)) А „(Л ^ J V ~ f I \*> и / \ - - ь ) Ь! / / ^^ к ^ ' (sup L(/(, 02))) V +

Mi] -\-(SUP m('>a2),0)),

1=1 ffW [aih\ откуда

УаЖШШ) < (sup L(/(-,a2)))VA,p(5(-,a2)) + abfci] VA4L{f(-,a2))(sup p(g(-,a2), 0)). [ai,bi]

Из лемм 2.3(b) и 2.6(b) следует, что sup L(f(t,a2)) < L(f {a))+ X1VA4b{f{; 02)), te[ai,6i] sup p(#(s,a2),0) < p(#(a),0) + А^Д^-,^)), se[aub i] поэтому оценку можем продолжить следующим образом:

2)) < а2)) + a2))|5'(a)U + 2\lVA4L(f(;a2))VKp(gC'az))- (9-3)

Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого в (9.1):

VA4((fg)(ah ■)) < L(f(a))VA,p(g(aь ■)) + -))|^(a)|P +

Для того, чтобы оценить четвертое слагаемое в (9.1), воспользуемся тем, что между элементами метрической полугруппы (М, d, +) имеет место следующее соотношение [10]: если п е N, {lk,rk}k=o С М и И=о1к = Тл=огк, то и d(l0,r0) <Y,d(rk,lk). (9.5) к-1

Действительно, в силу инвариантности относительно сдвигов метрики d и неравенства (2.2) имеем п п п п d(l0, r0) = d(l0 + lk, г0 + lk) = d(r° + е гк> г° + е = к=1 fc=l fc=l А:=1 п п п к=1 fc=l fc=l Пусть [ctj, Д], г = 1,., то, и ру^, <У, j = 1,., п, — наборы отрезков в [ai,bi] и [02,62] соответственно. Заметим, что в силу аддитивности оператора f(x) при всех х £ для г = 1,.,ти j = 1,.,п имеет место равенство (см. подобное равенство в доказательстве [10, теорема 2]) (нижние индексы у квадратных скобок в этом равенстве осуществляют нумерацию слагаемых и указывают на соответствие между слагаемыми в правой и левой частях равенства, которое будет использовано ниже):

ШКт?) + (МАЛ-)]о + [(f{0H,Sj) + /(A,7j)M^;7j)]i + +[f{Pi,SjM(*i,6j)+g{0i,'yj))}2 + f{ahlj)gWi,a2)+f(ahSj)g{ai,a2)}3 + [(/(аЬ + ДА, 7j)MA'> «г) + (/Кт?) + ДАЛОЖ"*, ^Ь + + [(/K<*j) + f{Pulj)){g{Q-ua2) + <?(A,7j)) + (/(«1,7j) + /(А, 7j) + #(А, аг))]б + ^M^i Л') + /(А, «2)^(01,7j)b + Н-[/(с^, a2)(flr(ai, -75) + + /(A, a2)(flf(ai, 5,-) +g{ai,j:j))]8 +

Mj) + ДА,а2)Жа 1,^) + (/(a*, a2) + ДАЛОМ^х, 7j)]9 + f(auSj) + f((3i,a2))(g(ah-fj)+g(ai,Sj)) + if{ai,a2) + f {Pi, 5j)){g{ai, 5j) + £(«,;, 7j))]io = = ШМ) + (fg)(Pi,l:i)]o + [(/(«*, 7,0 +М,8зМсч,-Уз))1 + +[f(PiJj){g(aulj)+g{Pi,Sj))}2 + +[f(ai,8j)g(Pi,a2) + /(ab 7jMai> аг)]з + f(ah8j){g(ai,a2)+g(Pl,jj)) + f{a1,7j){g(ai,jj)+g{Pi,a2))}4 + +[№i, 7j) + ДА, 5j))g{Pi, a2) + (/(ab + /(Д, 7,)Ж«г, а2)Ь + +[№i,7j) + ДАЛ0)№г,а2) + #(A;7j)) + (/(ai,^) + /(A,7j))(5f(a?,7i) +^(А,а2))]б + +[/(A, агМаъ 8j) + /(a*, a2M«b 7j)]7 + [(/(«i, аг) + /(A, fy) + (/("i, sj) + fiPu a2))g(ah 7j)]g + +[(/K,a2) + ДАЛ))(2(аь7?) + (f(ai,8j) + f{pi,a2)){g{ah8j)+g(ai,^j))}w.

Для к = 0,., 10 обозначим через Ц (соответственно г^) к-тое слагаемое в квадратной скобке слева (соответственно справа) в этом равенстве, так что его можно переписать в виде Ч ~ • Согласно (9.5) обозначениях Iij = [оц, А] х [7j, 8j], находим, что ю к=1 поэтому т п и л т \ 10 m n ,nij 10 у у^md(fg,Ijj) < уууС.ф ■ ' • Л /'«ч Л. / • \ ' * ' * А /'ч Л./• • ч в А*(оЛкя tii^U WKJ) к-1

Оценим выражения ^ = к = 1,., 10, по отдельности. Из леммы 8.1(a), (с) следует, что если (t,s) Е то tf(a)|, + тах{Ль A?}7Va,,(<7, С2) < b(a)|p + max{Ai,A;}iyA)p(5,iJ) < тах{1, Аь А5Ш||„

96 и, аналогично, учитывая лемму 2.6(b) и лемму 8.1(c), имеем

I/Mk = WM) < L(f(a))+dL(f(t,s),f(a)) <

L(f(a)) + max^, X\}TVA4lU, I^J <

L(f(a))+m&x{XhXl}TVA4L(fJba) < max{l, Ab A?}||/||dL.

В силу определения метрики di и оценки на \g(t,s)\p, для S\ находим, что: md{f,Iij)\\g\\p, откуда

Из определения константы Липшица и оценки на \f(t,s)\dL для S2 будет

Щ(/3,,53)Шаг,ъ) +д(&,Ъ)) = = 11(Ри6у)\ЛьтЛ{д,1^) < WfW^mdigJi-j) и, следовательно,

S2<\\f\\dLV2,A{gJi)

Для слагаемого S3 по определению метрики di ив силу неравенства (2.2) имеем

Фз^з) = d(fiai^j)9Wi,a2) + f(ahjj)g(ai,a2), fia-hlMPhOv) + f{ah8j)g(ai, 02)) < d(f{au 8j)g(a.i, a2), f(ah 8j)g{fih a2)) + d{f(ah jj)g{Pi, a2), f{ah 7:1)д{щ, a2)) < dL{f (аи5з),/(а1,^))р{д{ри 02), д{оц,аа)) и, значит, s = A dL(f(ah 8j), /(ab 7j)) A p(g(pu a2), a2)) < VAA(/(a1,-))njP(^(-,a2)).

97

Аналогично 63 оценивается выражение Sj: f/) < dL(f(pi,a2),f{ai,a2))p{g{a1,SJ),g(ai,'yj)), откуда

S7<VA4L(f(;a^))VAiP{g(alr)).

Для оценки £4 (аналогичным образом оценивается слагаемое Sg) имеем следующие цепочки неравенств: d{r%l,lli) = d{f{a1,8j){g{ai,a2)+g(Pinj))+f(ai,Jj){g{ai,Jj)+9{Pi>a2)), f (ah lj) {9 fa, a2)+g(pi, 7,-))+/(ai, 5j){g{ai, lj)+g(A, 02))) < dLtf{ah5j),f(ah7j)) x x р(д(а{,а2) + g{pi,^j),g{ai^j) + g(pha2)) = = dL{f{a1} 5j), f{au 7j))md{g, 1^).

Представим прямоугольник Ia-X в виДе объединения конечного чиста неналегающих подпрямоугольников: т/Зг,7j fPi,71 I I I I гД;.72 II II rPulj или в обозначениях h = К A] X й = [он, Pi] X [й,7ш]

1=1 1=1

Ясно, что п п-1

1 1=1 тогда в силу неравенства треугольника для р имеем:

4(/(ai,57),/(a1,73))(m%,/22) +

1=1 dL(f(al,5j)J(ahlj))(md(g,I^ + n n-1 E md(g, II) + £ md(g, 1Ц) + md(g, 1^ )). 1=1 1=1

Отсюда видно, что первый множитель (содержащий /) имеет аргументы лишь с индексом j, а второй — с индексом j, поэтому находим, что

54 i= 1 j=i vw х

Kmd(9, mdig, + * x--1-~<

Mi) A y^4(/(ab^),/(ai,7i)) x

1 aKj)

AlAcr(i) ~

2=1

Аналогично получаем оценку для

S8<XiVA,dL(f(;a2))V2A(g,Iba)

Оценки (и Sq) основываются на том же принципе представления прямоугольника Ial',^ в виДе объединения неналегающих подпрямоуголы-ш-ков, что и S4. Для £5 имеем: dirlll) =d((/(ai,7,)+/(A,^))5(A,a2) + (/(a1,ft)+/(A,7J))5(^,a2), ab ft)+/(A, 7.;)ЖА, a2)+(/(ab 7j)+/(A, ftM^ a2))< < 4(/(аь7.?') + /(А,^),/(аь^) + /(А,ъ)) x x p{g{Pi,a2),g{ai,a2)) = = ™d{f, I&fypWu ),g{oii, a2)).

Тогда, повторяя рассуждения для S^ для 5*5 получаем ss<XiV2AfXWAM><>2)), и сходная оценка имеет место для

S9<XiV2,A(fJba)VAA9(air))

Осталось оценить Sq (и Sw оценивается подобным же образом). Аналогично предыдущему случаю, заметим, что, во-первых,

И; г ( I j rb-J-' 1аиъ U ai Hj и 1РгЩ и, кроме этого, г {11(1 I ТРи°1 \ 11 I I I TPiril+i ] I I Т' aii7i С VJaba2 и [ (J 4,7/ ) и { (J ) U Ia1,Sn j >

С Ib

71—1

РгЛ, ^ ^Д-,'2 U ( U ) U ( U ) U ' z=i 1=1 на основании чего, учитывая определение и свойства метрики d,L, можем записать: dt'lm < [dL(f(ahlj) + f(fJi,5j),f(ah5j) + f((3l,lj)) + dL{№, lj) + f(bi, /(A, 5j) + f(bh 7j))] x x р(д(аиа2) + + g(0ha2)) < n [md(f, + md(f, /£;£) + £ ^ + i=i

71-1 i=i тогда rn 71 ^A(t rPi'^j \ I ^.Л! с Tb 1>й. i=l j=l ^ a?E(E /v AlA^(j)

1=1 ^ кК(г) j=1 ^l^(i) ^ < >Zy2AfX)Vw(9X)

Слагаемое <5io оценивается так же, как Sq: d(4, ® < [md(f, /М) + md(f, 1%%)] (md(g, + п п-1

Е ++О)' г=1 i=i откуда

SlQ<\\V2A(fJba)V2A(gJba). Таким образом, для V2jA(fg,Ib) получаем следующую оценку:

V2tA(fg,Iba) < Ь(/(а))У2;Л(0,/о6) + 2тах{1,Л1}УлА(/(-^2))У2!л(0,/Й + +2тах{1, Ai}V2)a(/, Ib)VAjP(g(-, a2)) +

2тах{1,А1}У2)л(/,/аь)Ул,р(0(аь-)) +

4тах{1, А^}У2)л(/, Ib)V2tA(g, Ib).

Принимая во внимание (9.1)—(9.4) и последнюю оценку, получим искомое неравенство в теореме 9.1. □

Замечание 9.2. Если в теореме 9.1 положить Ib = [а,Ь] с М и заменить ЛВУ{1ьа,М) на ЛВУ([а, Ь],М), ЛВУ{Ib,N) на ЛВУ([а, 6], N) и ABV(/J,L(iV,M)) на ЛВУ ([а, 6], L(iV, М)), то получим результат теоремы 3.1, при М = R получаем результат теоремы 6.3.

Результат, установленный в теореме 9.3, позволяет описать достаточное условие липшицевости неавтономного оператора суперпозиции в терминах его генератора.

Теорема 9.3. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями, и пусть отображение h : Iba х N —+ М, определенное согласно правилу h(x,u) = h0(x) + h\(x)u, где h0 6 ЛВУ(/„,М) и h\ 6 ЛВУ(1^, L(N, М)), является генератором, оператора суперпозиции Н. Тогда Н G Lip(ABV(iJ, N),ЛВУ(/0Ь, М)) и имеет место неравенство

L{H)< 4rriax{l,A1A?}|N|(iL.

Доказательство. Вначеле предполагаем, что ho = 0. Тогда оператор суперпозиции Я с таким генератором действует по правилу: (Hf)(x) — h\(x)f(x) = (hif)(x) для х G Iba и / : —> А". По теореме 9.1 если / G ABV(Jj, TV), то Я/ G АВУ(/д, М), так что Я действует из ABV(Iba, N) в ABV(iJ, М). Покажем, что Я Липшицев.

Пусть /i, /2 G АВУ(/д, iV). По определению метрики d2A имеем

4л(Я/ьЯ/2) = d((Hfi)(a), (Я/2)(а)) +Т^(Я/ьЯ/2,/й, где второе слагаемое равно

WM((tf/i)(ai, ■), (ЗДЖ •)) + Wm((#/i)(-, a2), (Я/2)(., a2)) + + W2.A(HfhHf2,I?1).

Оценим каждое из четырех слагаемых в с?2д по отдельности. Для первого слагаемого имеем d{(Hfi)(a), (Н f2)(a))=d(hi(a)fi(a), hi(a)f2(a))<\hi(a)\ciLp(fi(a), /2(а))

Для оценки второго слагаемого заметим, что в силу аддитивности операторов hi(t, a2) для всех t, s G [01,61] будет иметь место равенство ii/i)(t,02) + (/ii/2)(s,a2)]0 + [^i(t,a2)(/2(t,a2) +/i(s,a2))]i + + [hi(s, a2)/i(s, a2) + /*i(£, a2)/2(s, a2)]2 = = [(hf2){t,a2) + (hifi)(s, a2)]o + [hit, a2)(/i(t, a2) + /2(s,a2))]i + + a2)/i(s,a2) + /ii(s,a2)/2(s,a2)]2. откуда в силу (9.5) получаем, что d({Hh){t,a2) + (Hf2)(s,a2),(Hj2)(t,a2) + (Hf\)(s,a2)) = = d((hif\)(t, a2) + [h/2)(s,a2), (/ц/2)(*, a2) + (/ii/i)(s, a2) < d(h\(t, a2)(/i(t, a2) + /2(s, a2)),hi(t, a2){f2(t, a2) + /1 (s, a2))) + + d(/ii(t, a2)/i(s, a2) + a2)/2(s, a2), i(s,a2)/i(s,a2) + /^i(t,a2)/2(s,a2)) <

L(/ii(t,a2))p(/i(t,a2) + /2(s,a2),/2(t,a2) +/i(s,a2)) + + dL{hi(t, a2), /11 (s, a2))p(/i(s, a2), /2(s, a2)) и, следовательно,

Я/1)(-,а2),(Я/2)(-,а2))< sup L(h1(t,a2)))WKp(f1(;a2)J2(;0,2)) + telaifii] VA4(h1{-,a2))( sup p(/i(-,a2),/2(-,a2))). se[ai,&i]

В этом неравенстве, как отмечено в доказательстве теоремы 9.1, sup L{hi(t,a2)) < \hi{a)\dL +XiVA}dL{hi(-,a2)), te[aubi] sup p(/i(s,a2),/2(s,a2)) < p{fi{a)J2(a)) + X1WA:P{f1{-,a2)}f2{-,a2)). se[a,,bi\

Таким образом, подобно (9.3) имеем

WA;d((Hf\)(-, a2), (Hf2)(-, a2))<\hi(a)\dLWAjP(fi(-, a2), /2(-, a2)) + +^(/ii(^a2))p(/1(a))/2(a))+2A1yA>d(^i(^a2))^AJp(/i(-,a2),/2(-1a2)).

Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого:

Я/1)(а1,-),(Я/2)(а1,-)) < |/ii(a)kWAlP(/i(ai>-),/2(ai,-)) + +I4.AK •))/?(№), /2(a))+2A1VA/i^i(ai,•)№„(/! К •), /2К ■))■

Для оценки четвертого слагаемого W2,A{Hfi,Hf2,Ib) поступим следующим образом. Пусть [а^, Д], г = 1,., то, и [7^, 5-,-], j = 1,., п, — наборы отрезков в [ai,bi] и [a2, Ь2] соответственно. Обозначим через и r^(f) выражения в квадратных скобках и rjf из доказательства теоремы 9.1. Тогда получим, что в М выполнено равенство ю ю к=0 к=0 (формально оно вытекает из использованного в доказательстве теоремы 9.1 равенства (Я = EfcLo гк(Л при / = /1 - /2), из которого в силу (9.5) при ijj = [aj, А] х [Тл^] имеем md2(hJ2) Ih:j) = dffiU) 4- г? (/2), #(/2) + r^/i)) <

10 10

Положим т п i=1 j=l

Чтобы оценить величины заметим, что ввиду леммы 8.2(a) и определения метрики р2,л для всех (£, s) 6 Iba выполнено p(fi(t,s)J2(t,s))<p(fl(a),f2(a))+m^{X1^l}TWAMi,f2,Iba) < < max{l, Ai, Л|}р2,л(/ь /г)

Как и в доказательстве теоремы 9.1, оценка S\ следует из определения метрики d]j: dll = d{ (hi [ah jj)+hi (a, 8j ))fi{ai,jj) + {hi(ai,5j) + hi (a, 7j)) /2 ("i, 7?), (/ii (oj, т,-) + hi (a, fy)) /2 («г, 7j) + (■h (on, 5j) + hi (a ,7,-)) }\ (,a*, )) < dL(hi(ai.^)+hi(pi,8j))hi(ah5j)+hi(pi^j))p(fi(ai^:j),/2(«г,7j))< md(hi,ILj)p2A(fiJ2), откуда

У21л(/гь/2Кл(/1;/2)

Подобным образом получаются такие же оценки на б*,-, как и в доказательстве теоремы 9.1, в которых следует заменить величины VAiP(g(-,a2)) на WA.p{fi(-, а2),/2(-, а2)), (^ь •)) иа WAlP(fi(ai, О./г^ъ •)) и /J) на W2.A(fi, f2,Ib). Следовательно, собирая вместе все эти оценки, получим, что d2A{HfuHf2)<max{l,X1 A?}||M<w(/i, ,/2).

Общий случай для /го G ABV(/^, М) вытекает из только что рассмотренного благодаря инвариантности относительно сдвигов метрики d2,A на ABV Й,М). □

Замечание 9.4. Пусть N и М — как в теореме 9.3, и / е ЛВУ(/„, iV). Тогда оператор Я : ЛВУ(/вь,ВД М)) -> ABV(iJ,M), действующий по правилу Я(/) = hif является липшицевым с константой Липшица Ь(Я) < 4max{l,AbA^}||/i1||/J.

Замечание 9.5. Из теоремы Банаха о неподвижной точке и теоремы 9.3 при N = М, где М — полная метрическая полугруппа с нулем, следует, что если /i0GABV(Jj,M), /цеЛВУ(/£,ВД М)) и hi\\dL < 1/4тах{1, АЬА?}, то существует единственное отображение / G ЛВУ М) такое, что f(x) = hi(x)f(x) + ho(x) для всех х е 1ьа.

1. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

2. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. 272 с.3j Люстерник JI. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая Школа, 1982. 271 с.

3. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

4. Немыцкий В. В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений // Матем. сб. 1934. Т. 41, N 3. С. 438-452.

5. Немыцкий В. В. Метод неподвижных точек в анализе// Успехи матем. наук. 1936. Т. 1. С. 141-174.

6. Чантурия 3. А. Модуль вариации функции и его приложение в теории рядов Фурье // ДАН СССР 1974. Т. 214. С. 63-66.

7. Чистяков В. В. Метрические полугруппы и конусы отображений конечной вариации нескольких переменных и многозначные операторы суперпозиции.// Докл. РАН 2003. Т. 393, N 6. С. 757-761.

8. Чистяков В. В. Абстрактные операторы суперпозиции на отображениях ограниченной вариации двух вещественных переменных. I // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, N 3. С. 698-717.

9. Чистяков В. В. Абстрактные операторы суперпозиции на отображениях ограниченной вариации двух вещественных переменных. II // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, N 4. С. 942-957.

10. Ambrosio L., Fusco N., Pallara D. Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford: Clarendon Press, 2000. 435 P

11. Appell J., Zabrejko P. P. Nonlinear Superposition Operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. 311 p.

12. AvdispahiC M, On the classes ABV and Vv] // Proc. Arner. Math. Soc. 1985. Vol. 95, N 2. P. 230-234.

13. Balcerzak M., Belov S. A., Chistyakov V. V. On Helly's principle for metric semigroup valued BV-mappings of two real variables // Bull. Austral. Math. Soc. 2002. Vol. 66, N 2. P. 245-257.

14. Castaing Ch., Valadier M. Convex Analysis and Measurable Multifunctions. Lecture Notes in Math. Vol. 580. Springer-Verlag, Berlin. 1977. 278 p.

15. Chaika M., Watermat D. On the invariance of certain classes of functions under composition // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 43, N 2. P. 345-348.

16. Chistyakov V. V. Lipschitzian superposition operators between spaces of functions of bounded generalized variation with weight// J. Appl. Anal. 2000. Vol. 6, N 2. P. 173-186.

17. Chistyakov V. V. On mappings of finite generalized variation and nonlinear operators // Real Analisys Exchange 24th Summer Syrrip. Denton, Texas, USA. 2000. P. 39-43.

18. Chistyakov V. V. Generalized variation of mappings with applications to composition operators and multifunctions// Positivity. 2001. Vol. 5, N 4. P. 323-358.

19. Chistyakov V. V. Mappings of generalized variation and composition operators // Dynamical systems, 10, J. Math. Sci. (New York) 2002. Vol. 110, N 2. P. 2455-2466.

20. Chistyakov V. V. Superposition operators in the algebra of functions of two variables with finite total variation// Monatsh. Math. 2002. Vol. 137, N 2. P. 99-114.

21. Chistyakov V. V. Lipschitzian Nernytskii operators in the cones of mappings of bounded Winer ^-variation// Folia Math. 2004. Vol. 11, N 1. P. 1-24.

22. Chistyakov V.V. Selections of bounded variation// J. Appl. Anal. 2004. Vol. 10, N 1. P. 1-82.

23. Chistyakov V. V. The optimal form of selection principles for functions of a real variable// J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 310, N 2. P. 609-625.

24. De Blasi F. S. On the differentiability of multifunctions// Pacific J. Math. 1976. Vol. 66. P. 67-81.

25. Dyachenko M. I. Waterman classes and spherical partial sums of double Fourier series // Anal. Math. 1995. Vol. 21. P. 3-21.

26. Dyachenko M. I., Waterman D. Convergence of double Fourier-series and W-classes// Trans. Arner. Math. Soc. 2004. Vol. 357, N 1. P. 397-407.

27. Goffman C., Nishiura Т., Waterman D. Homeomorphisms in Analysis // Math. Surveys and Monographs, Vol. 54, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1997. 216 p.

28. Hildebrandt Т. H. Introduction to the Theory of Integration. New York and London: Academic press, 1963. 385p.

29. Hormander L. Sur la fonction d'appui des ensembles convexes dans un espace localement convexe// Ark. Mat. 1954. Vol. 3, N 12. P. 181-186.

30. Josephy M. Composing functions of bounded variation// Proc. Amer. Math. Soc. 1981. Vol. 83, N 2. P. 354-356.

31. Maligranda L., Orlicz W. On some properties of functions of generalized variation// Monatsh. Math. 1987. Vol. 104. P. 53-65.

32. Matkowski J. Functional equations and Nemytskii operators// Funkcial. Ekvac. 1982. Vol. 25, N 2. P. 127-132.

33. Matkowski J. Lipschitzian composition operators in some function spaces // Nonlinear Anal. 1997. Vol. 30, N 2. P. 719-726.

34. Matkowski J., Mig J. On a characterization of Lipschitzian operators of substitution in the space BV(a, b) // Math. Nachr. 1984. Vol. 117. P. 155-159.

35. Nikodem K. K-convex and K-concave Set-Valued Functions. Zeszyty Nauk. Politech. LodzMat. 559, Rozprawy Naukowe 114. 1989.

36. Perlman S., Waterman D. Some remarks on functions of A-bounded variation // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 74, N 1. P. 113-118.

37. RMstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets// Proc. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 3, N 1. P. 165-169.

38. Smajdor A., Smajdor W. Jensen equation and Nemytskii operator for set-valued functions // Rad. Mat. 1989. Vol. 5. P. 311-320.

39. Smajdor W. Note on Jensen and Pexider functional equations // Demonstrate Math. 1999. Vol. 32, N 2. P. 311-320.

40. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation// Studia Math. 1972. Vol. 44, N 2. P. 107-117.

41. Waterman D. On Л-bounded variation// Studia Math. 1976. Vol. 57, N 1. P. 33-45.

42. Zawadzka G. On Lipschitzian operators of substitution in the space of set-valued functions of bounded variation // Rad. Mat. 1990. Vol. 6. P. 279-293.

43. Chistyakov V. V., Solycheva О. M. Lipschitzian operators of substitution in the algebra ABV// J. Differevce Equat. and Appl. 2003. Vol. 9, N 3/4. P. 407-416.

44. Солычева О. M. Многозначные липши девы операторы суперпозиции в пространствах Уотермана ABV// Теория функций, ее прилож. и смежн. вопр. Т. 19. Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2003. С. 203205.

45. Солычева О. М. Алгебра Уотермана функций двух переменных и операторы суперпозиции // Совр. пробл. теории функций и их прил. Тезисы докл. 13-ой Саратовской зимн. школы. Саратов, ООО Издательство "Новая книга". 2006. С. 163-164.

46. Солычева О. М. Липшицевы операторы суперпозиции на метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах отображений конечной Л-вариации // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47, N 3. С. 649664.