Нормальные формы квантовых наблюдаемых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

0046150^

Аникин Анатолий Юрьевич НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КВАНТОВЫХ НАБЛЮДАЕМЫХ

01.01.03 — Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 2 ДЕН 2010

Москва - 2010

004615032

Работа выполнена в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физико-

математических наук ТрещевД.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Карасев М. В.

кандидат физико-математических наук, Зеленов Е. И.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН им. А. Ю.

Ишлинского

Защита состоится "23" декабря 2010 г. в 14 ч. на заседании Диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "_2010 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета

доктор физико-математических наук Ю. Н. Дрожжинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В классической механике нормальные формы представляют собой мощный инструмент исследования динамических систем в окрестности особенностей. Теория нормальных форм получила свое развитие благодаря работам Пуанкаре, Дюляка, Биркгофа, Черри, а также более подзним работам Мозера, Зигеля, Брюно и других авторов. Эта теория изучает простые формы, к которым можно привести систему дифференциальных уравнений в окрестности особенности (неподвижной точки, периодического решения, инвариантного тора) с помощью замены переменных.

Такие нормализующие замены переменных рассматриваются в классе формальных степенных рядов или сходящихся рядов (аналитических функций). В связи с этим, при изучении нормальных форм различают формальную теорию и вопросы сходимости. Заметим, что формальная теория довольно проста. Доказательство сходимости намного сложнее и требует использования изощренной техники, близкой по духу к теории KAM.

Первые результаты о нормальных формах принадлежат Пуанкаре и Дюляку. Они относятся к системам дифференциальных уравнений общего вида:

Х{ — Fi(xi, ..., zn), i — 1, . . . , П, (1)

где Fi - комплексно-аналитичные функции в нуле. Требуется найти ана-литичную замену переменных

yi = Yi{x1,...,x„), (2)

определенную в малой окрестности положения равновесия, которая бы приводила систему уравнений (1) к наиболее простому виду.

В дальнейшем получил развитие гамильтонов вариант этой теории. В нем требуется, чтобы нормализующие преобразования сохраняли гамильтонову структуру, т.е. являлись каноническими. Нормальные формы гамильтоновых систем исследовались в 20-е, 30-е годы XX века Биркгофом х, Черри и другими авторами. Во всех этих работах аналитич-

'Биркгоф Дж. Д., Динамические системы. — М.: Гостехиздат, 1941.

ность не доказывается.

Теорема 1 (Биркгоф). Рассмотрим систему Гамильтона сп степенями свободы с каноническими переменными р\,... ,рп,Х\,... ,хп и гамильтонианом, являющимся формальным степенным рядом:

Н = Н2 + Я3 + ...,

причем,

Н2 = Хтхг + ■.. + Хпрпхп, (3)

где Нк - однородные по р и х многочлены степени к с комплексными коэффициентами. Тогда существует формальная каноническая замена переменных, приводящая гамильтониан Н к такому виду Н = Н2 + П3 + На + ..., что

{Н,Н2} = 0. (4)

Гамильтониан, удовлетворяющий (4), называется нормальной формой. В этом выражении

(дР дС _ дР д(Л \dpjdxj дxjдpj)

есть стандартная скобка Пуассона.

В классической механике имеют дело с вещественными гамильтонианами и заменами переменных. Поэтому для приложений важно переформулировать теорему 1 в вещественном варианте.

Теорема 2 (Биркгоф, вещественный вариант). Рассмотрим систему Гамильтона с п степенями свободы с каноническими переменными р\,..., рп, х\,..., хп и гамильтонианом

Н — Н2 + Н3 + ...,

где Нк - однородные по р и х многочлены степени к с вещественными коэффициентами. Предположим, что Н2 можно привести линейной канонической (вообще говоря, комплексной) заменой к виду (3). Тогда существует формальная вещественная каноническая замена переменных, переводящая данную систему в такую систему с вещественным гамильтонианом Н = Н2 + + На + . ■., что {Н, Н2} = 0.

Первый результат о сходимости нормализующего преобразования в гамильтоновом случае был получен Мозером 2 для систем с одной степенью свободы и периодической зависимостью от времени (так называемых систем с полутора степенями свободы) вблизи гиперболического положения равновесия.

Теорема 3 (Мозер). Рассмотрим гамильтонову систему с полутора степенями свободы с вещественно-аналитичным гамильтонианом:

H(p,x,t) = H(p,x,t + T), Т> 0.

Предположим, что точка р = х = 0 является гиперболическим положением равновесия этой системы. Тогда существует неавтономная вещественно-аналитическая каноническая замена переменных, приводящая Н(р, х, t) к автономному виду:

Н(р, х) = h(px) = Xipx + А2(рх)2 + — (5)

Ясно, что гамильтониан вида (5) является нормальной формой в смысле теоремы 1 в случае одной степени свободы. Требование гиперболичности в этой теореме существенно: известно, что нормальная форма системы с полутора степенями свободы вблизи устойчивого равновесия расходится.

Также Мозер 3 рассмотрел систему с двумя степенями свободы около положения равновесия типа седло-фокус, а именно, случай собственных значений гамильтониана вида

<^1,2,3,4 = ±а ± ib, а,Ь 6 К

и установил сходимость ее нормализующего преобразования.

Дальнейшее развитие теории нормальных форм можно найти у Брю-но 4. Им были получены достаточные условия сходимости и расходимости нормализующего преобразования, а также обобщение формальной теории.

2Moser J., The analytical invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point. Comm. Pure Appl. Math., 1956, 9(4), 673-692.

3Moser J. On the generalization of a theorem of Liapounoff // Comm. Pure Appl. Math. 1973.V. 11. P. 257-271.

4Брюно А.Д., Аналитическая форма дифференциальных уравнений I, Труды ММО 25, 1971, 119262.

Брюно А.Д., Аналитическая форма дифференциальных уравнений II, Труды ММО, 26, 1972, 199239.

Приведем краткий обзор известных результатов, связанных с квантовой формальной теорией нормальных форм.

Одна из основных идей квантовой нормализации состоит в следующем. Псевдодифференциальному оператору сопоставляется функция на фазовом пространстве заменой производных на импульсы. Такая функция называется символом оператора. Символ приводится к нормальной форме каноническим преобразованием. После этого, данному каноническому преобразованию сопоставляется унитарный оператор, называемый интегральным оператором Фурье, который соответствует каноническому преобразованию символа с точностью до малых поправок. Эти результаты имеются в работах Егорова, Хормандера, Дуистермаата. На основе этих идей строились нормальные формы вблизи устойчивого или неустойчивого положений равновесия Беллиссардом, Виттотом, Сьосграндом, Грерардом и другими авторами. Более общие результаты имеются у Янтченко и Сьо-странда.

Также отметим работы Карасева, который строил нормальные формы и исследовал алгебры, порожденные ими, используя метод Маслова квантового усреднения. Этот метод был в общей алгебраической форме разработан Масловым и Карасевым 5

Цели и задачи работы. Разработать общий алгебраический подход для изучения нормальных форм квантовых наблюдаемых. Ввести для квантовых наблюдаемых такие понятия как самосопряженность (эрмито-вость), аналитичность и неавтономность. На основе данного подхода доказать квантовые аналоги важнейших теорем классической формальной теории нормальных форм (в том числе, теоремы 1,2). Доказать квантовый аналог теоремы 3.

Методы исследования. В работе квантование рассматривается с алгебраической точки зрения, а не с позиции уравнений с частными производными. В общей форме этот подход, называемый теорией некоммутативных структур, разработан Д.В. Трещевым в локальном6 и глобальном

5Карасев М.В., Маслов В.П., Асимптотическое и геометрическое квантование, УМН, 1984, 39:6(240), 115-173.

6 Д. Трещев, Квантовые наблюдаемые: алгебраический аспект, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 250, 2005, 226—261.

7 случаях. Заметим, что данный подход близок по духу к идеям некоммутативной геометрии и геометрического квантования. Развитие этих теорий связано с работами Конна, Березина, Кириллова, Костанта и других авторов.

Квантовые наблюдаемые рассматриваются как элементы некоторой некоммутативной алгебры формальных рядов. Динамика на алгебре наблюдаемых задается лиевским коммутатором. Автоморфизмы, сохраняющие одновременно структуры ассоциативной алгебры и алгебры Ли квантовых наблюдаемых, являются квантовыми аналогами классических канонических преобразований.

Для построения автоморфизмов в работе используется квантовый аналог метода Депри-Хори, когда каноническое преобразование наблюдаемых строится как сдвиг вдоль гамильтонова векторного поля.

По аналогии с квантовыми наблюдаемыми вводятся классические наблюдаемые. Они образуют коммутативную алгебру степенных рядов с лиевской скобкой Пуассона. Можно вести гомоморфизм, действующий из алгебры квантовых наблюдаемых в алгебру классических наблюдаемых. Этот гомоморфизм называется усреднением. Благодаря ему, классические теоремы получаются из своих квантовых аналогов как следствия.

Используя данный алгебраический подход, в работе изучаются нормальные формы квантовых наблюдаемых. А именно, дается ответ на вопрос, к какому виду можно приводить элементы алгебры наблюдаемых с помощью автоморфизмов.

Вопросы представления наблюдаемых в виде операторов на Ь2(Шп) остаются за рамками работы. Впрочем, это представление очевидно для полиномиальных по импульсам наблюдаемых.

При доказательстве квантового аналога теоремы 3 не используется разложение по степеням постоянной Планка. Вместо этого используется метод квадратичной сходимости, что дает оценки, близкие по духу к классическим, и обеспечивает аналитичность.

Научная новизна. Подход к изучению квантовых нормальных форм является новым. Некоторые результаты формальной теории были

7Трещёв Д.В., Некоммутативные структуры, Тр. МИАН, 2007, 259, 203—242.

получены ранее другими авторами в иной постановке и в меньшей общности. Результаты об аналитичности нормальной формы получены впервые.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для вычислении спектра оператора Шредингера.

Рассмотрим наблюдаемую с устойчивым положением равновесия в нуле. Формальная нормальная форма такой наблюдаемой позволяет находить асимптотику для собственных значений оператора Шредингера из нижней части спектра. Аналитичная нормальная форма (для устойчивого равновесия только в случае одной степени свободы) в виду локальности, также может дать информацию лишь о нижней части спектра. Однако с ее помощью можно построить локальные переменные действие-угол. Если построить глобальное продолжение этих переменных, то можно получить информацию о всем спектре оператора Шредингера. Более подробно эти наводящие соображения изложены в работе Трещева8.

Кроме того, результаты об аналитичности дают информацию о структуре разложений нормальных форм в ряды по степеням постоянной Планка. Конечно, разложения даже аналитичных наблюдаемых по степеням постоянной Планка факториально расходятся. Однако аналитичность позволяет получать количественные оценки роста коэффициентов этих рядов и, в частности, доказать, что имеет место расходимость класса Жевре 1.

Результаты, выносимые на защиту:

1) Предложен алгебраический подход для изучения квантовых аналогов нормальных форм Биркгофа. В рамках данного подхода доказаны квантовые аналоги основных фактов из классической формальной теории нормальных форм.

2) Введено понятие и исследованы свойства неавтономных квантовых наблюдаемых. Доказан квантовый аналог теоремы Мозера об аналитичности нормальной формы для неавтономной системы с одной степенью

8Д. Трещев. Квантовые наблюдаемые: алгебраический аспект // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2005. Т. 250. С. 226—261.

свободы и периодической зависимостью от времени вблизи гиперболического положения равновесия.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы доказаны на математическом уровне строгости.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1) Семинар „Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством акад. РАН В.В.Козлова, чл.-корр. РАН Д.В.Трещева и проф. С.В.Болотина, 2007 г.

2) Семинар „Избранные задачи классической и квантовой механики" под рук. чл.-корр. РАН Д.В.Трещева, 2005 г.

3) Международная конференция ,,14th International Workshop on Dynamics and Control", Москва, Звенигород, 2007 г.

4) Семинар отдела математической физики МИАН им. ВА. Стеклова под руководством В.С.Владимирова и И.В. Воловича, 2008 г.

5) Методический семинар кафедры ФН-1 „Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в трех печатных работах, две из которых входят в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы из 40 наименований. Общий объем диссертации 96 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, описаны методы, цели исследования, приведено краткое содержание работы и сформулированы результаты.

В главе 1 вводятся все необходимые понятия и конструкции из теории некоммутативных структур Д.В. Трещева, а также доказываются некоторые новые результаты.

Рассмотрим ассоциативную алгебру О над С коммутативных формальных степенных рядов: 00

■ р= Е иЖ- ......С, д,„еС

/х, 1/е2£

со стандартным коммутативным произведением. Образующие р\,...,рп,х\,...,хп можно интерпретировать как координаты и импульсы механической системы. Ассоциативая алгебра О также имеет структуру алгебры Ли по отношению к стандартной скобке Пуассона. Элементы алгебры О называются классическими наблюдаемыми.

Квантовые наблюдаемые также являются элементами некоторой алгебры, некоммутативной, в отличие от классического случая. Сначала построим свободную ассоциативную некоммутативную алгебру. Мономами в ней будут следующие слова: 2 = о ... о ¿к, где буквы ¿\,..., ¿к взяты из множества {¿1,..., хп,р\,... Число к называется степенью монома (ск^г = к). Мономы считаются равными, если они состоят из одинаковых букв, взятых в одинаковом порядке. Произведением двух мономов 2 и и> мы будем называть моном:

2ой = 21о...0гкой)1о...о щ,

где г = ¿1 о ... о ¿к и ги = щ о ... о щ. Рассмотрим алгебру над С:

0 = /¿ее}

г

с ассоциативным произведением о. Здесь сумма берется по всевозможным мономам г.

Положим г,- := р^ох] —х^ о р^ и рассмотрим алгебру Н, порожденную следующими тождествами:

rj -rs = 0; Tj ops-pso rj = 0; г,- о xs - xs о Tj ~ 0 (7)

для всех s, j = 1,... ,n, а также тождествами:

PjOXs-XsOpj = 0, s,j = l,...,n, s^j. (8)

Говоря более точно, мы рассматриваем факторалгебру Н = О/J, где J есть идеал, порожденный левыми частями (6),(7),(8). Обозначим через ж : О -> Н гомоморфизм проекции. Введем обозначение г = tttj.

Ассоциативная алгебра Н называется алгеброй квантовых наблюдаемых или алгеброй Гейзенберга. В стандартном координатном представлении образующие pj и Xj отождествляются со следующими операторами в

Ь2(КП):

^ у

Xj/(z) = Xjf(x), Pjf(x) = -ih—{x).

Элемент г отвечает константе —г/г (более точно, оператору —ihid).

Коммутатор вводит структуру алгебры Ли на Н. Неформально он определяется следующим образом:

г

Существует гомоморфизм aver : Н —> О ассоциативных алгебр и алгебр Ли, т.е. отображение со свойствами:

aver(F о G) = aver Favor G, aver[F, G] = {averF, averG},

называемый усреденением. Он получается отождествлением г = 0 и сопоставляет квантовым объектам классические.

В алгебре О очевидным образом вводится понятие однородной формы некоторой степени. Аналогичное понятие можно ввести и в алгебре Н. А именно, наблюдаемая F Е И называется однородной степени j , если существует однородная форма F0 £ О степени j, такая, что ■kFq = F. Корректность этого определения требует обоснования, поскольку в алгебре Н имеются тождества, например, при п = 1

2рохор — р2ох + хор2} р о х2 о р = х о р2 о х.

Однако можно показать, что все тождества являются однородным, если образующим р, х приписать вес 1, а элементу г - вес 2.

Пространство всех однородных форм степени к обозначается через Ffc. Если F £ то используется запись:

F = Ok(p,x).

Рассмотрим в алгебре Н векторное подпространство однородных форм степени (ц, v) = ..., /х„, v\,..., ип)- Это подпространство является линейной оболочкой мономов типа (ц, и), то есть содержащих ¡j,j множителей pj и Vj множителей Xj. Обозначим такое пространство через Классическим аналогом F^" будет одномерное пространство.

Автоморфизмы ассоциативной алгебры и алгебры Ли Н удобно вводить следующим образом. Рассматриваются такие наблюдаемые Pj,Xj = Oi(p, х) € Н, где j = 1,..., п, что

[Xj,Хк] = [Pj, Д ] = 0, [Pj,Xk}= 5jk для всех l<j,k<n. (9)

Определим следующее отображение:

А: Й-s-H, F(p,x)^ A{F){p,x) = F{P(p,x),X{p,x)).

Оказывается, что А является автоморфизмом алгебры (Н,о, [,]). Это означает, что А есть биективное линейное отображение Н в себя со следующими свойствами:

A(F о G) = AF о AG, A[F,G] = [АР, AG]

для всех F, G 6 Н. В качестве следствия получаем, что Ах = г.

Эти автоморфизмы образуют группу, обозначаемую Aut Н, с операцией композиции, заданной следующим образом:

(AB)F := A{BF), А,В € AutЙ, F £ Й.

Автоморфизмы, порожденные наблюдаемыми Pj,Xk £ Fi, образуют группу, обозначаемую Aut¿И. Ясно, что А : F* —» Fjt для любого отображения A £ Autili и к £ Z+.

Если наблюдаемые, задающие некоторый автоморфизм А алгебры Ли Н, имеют вид:

Xj = Xj + 02 (р, х), Pj = pj + 02 {р, х),

то А называется автоморфизмом, близким к тождественному. При действии на наблюдаемую он оставляет без изменения ее однородные формы первой и второй степени.

Для любого монома в Ы вида z = z\ о... о zk g и постоянной а ЕС определяется следующая операция:

(az)* = äzk о ... о zi,

называемая эрмитовым сопряжением или просто сопряжением. Эту операцию можно продолжить по линейности до инволюции в Н. Наблюдаемая F, со свойством F* = F, называется эрмитовой или самосопряженной.

Введем понятие аналитичной наблюдаемой. Это определение является естественным в том смысле, что при усреднении аналитичной квантовой наблюдаемой мы получаем аналитичную классическую наблюдаемую, то есть сходящийся ряд Тейлора.

Для того, чтобы, по аналогии с классическим случаем, оценивать рост коэффициентов в разложении наблюдаемой, строится норма в пространствах Р1'".

После введения конструкции нормы, можно дать определение аналитичности. Наблюдаемая FSH называется аналитичной, если для некоторых ß,p > 0 имеют место неравенства:

р — Fß'v е FM'V, || Fß'v ||< 1"'.

¡1,V

Все объекты обобщаются в диссертационной работе на неавтономный случай.

В главе 2 изучается формальная теория квантовых нормальных форм.

Пусть А G Z", (к, А) = kj\j. Введем обозначение:

R(X) = Uß,v)

</х — i/,А> = 0 .

Рассмотрим ассоциативную алгебру:

Na = Span ( |J F"v).

MzR( а)

Пусть Н2 = 1 ^чР] ° Алгебра Мд состоит из тех наблюдаемых Н, для которых [Н, Н2] = 0, и называется алгеброй нормальных форм.

Частоты Л называются резонансными, если существуют такие числа к\,...,кп € Ъ, не все одновременно равные нулю, что = О- В

противном случае набор частот называется нерезонансным. Заметим, что множество Л), введенное выше, содержит наборы вида ц 6

для всех наборов частот Л. Для нерезонансного набора частот Л множество .Й(А) другие наборы не содержит. В нерезонансном случае ассоциативная алгебра Мд коммутативна, в резонансном - некоммутативна.

Перечислим основные результаты.

Сначала сформулируем утверждение о приведении квантовой квадратичной наблюдаемой к канонической форме линейным преобразованием. Здесь и далее собственные значения Н - это собственные значения классического гамильтониана ауегЙ.

Теорема 4. Пусть собственные значения Н2 £ Рг просты и равны ±Л1,...,±Л„. Тогда существует такой автоморфизм А € Аи^Н, что АН2 имеет вид:

п

У^ ^Рз ° ^ + сг) с € С. (10)

Сформулируем квантовый аналог теоремы 1.

Теорема 5. Пусть Н = Н2 + Оз(р,х) £ Н, причем квадратичная форма Н2 имеет простые собственные значения и приведена к каноническому виду (10). Тогда существует такой автоморфизм А 6 близкий

к тождественному, что АН £ Мд.

Теперь мы сформулируем теорему об эрмитовом виде нормальной форме для нерезонансного случая.

Теорема 6. Пусть эрмитова наблюдаемая Н = Н* = Н2+0^(р, х) имеет простые собственные значения. Тогда

а) существует эрмитов автоморфизм А € АгйН, близкий к тождественному, такой, что [АН, Й2] = 0,

б) если вектор частот А нерезонансный, то существует такой эрмитов автоморфизм А £ AutH (переводящий эрмитовы наблюдаемые в эрмитовы), что

AH = F{Qx,...,Qn,i г), (И)

где F есть формальный ряд Тейлора с вещественными коэффициентами от взаимно коммутирующих эрмитовых наблюдаемых гг и Qi,---,Qn вида:

1)

П _ PjOXj+XjOpj

— 2 ' ■! ~~ '''' > 1

•рЦ

Qj = 3 2 3, j = k1 + l,...,k2,

3)

^ = feoij+ijofe^o^ + ^ofe^ i = fe + 1,..., te + i,

Qj+l = Pj ° ¿j+i - 0 Pj+Ь j = h + 1, • • • , k2 + l,

где k2 + 21 = n, ki < k2 и k\, k2, l > 0.

Следствие 1. Пусть H = ^+V(x) = 02(p,x) - эрмитова наблюдаемая. Тогда существует такой автоморфизм А G AutH, что АН имеет вид (11), где Qi,...,Qn суть наблюдаемые вида 1) и 2) из теоремы 6.

Наконец сформулируем результаты, связанные с единственностью нормальной формы и нормализующего преобразования.

Теорема 7. Пусть А 6 Aut Н - автоморфизм, близкий к тождественному. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

1) Существует такая наблюдаемая Н = Н2 + 03(р,х) G Мд с квадратичной частью Н2 вида (10), что АН G Мд.

2) Д(КЛ) = Na.

А = lim exp (adß■ ) ... exp (ad#,), Wj е F,- П Мд. (12)

Здесь используются обозначения:

ехр (а = Р+[]У,Р} + [1У, + ..., (ас!^ = Р].

Классическим аналогом такого экспоненциального автоморфизма является преобразование Ли в методе Депри-Хори.

Следствие 2. Пусть Н = Н2 + Оз(р,х), где Н2 имеет вид (10). Пусть В\,В2 6 АггёЫ - близкие к тождественному нормализующие автоморфизмы, т.е. такие, что В1Н,В2Й € Тогда

В\ = АВ2,

где А € А^Н имеет вид (12).

Если набор частот А нерезонансный, то В\Н = В2Н, и

А = ехр (ас!^), Ж = 03(р,®), (13)

В главе 3 изучается динамика квантовых неавтономных наблюдае-. мых. В автономной ситуации на автоморфизмы алгебры Гейзенберга можно смотреть с динамической точки зрения. Динамика в этом случае определяется уравнением Гейзенберга:

Предположим, что решение задачи Коши £ Н для этого уравнения существует, единственно и определено для всех г € К. Тогда наблюдаемая (или гамильтониан) Н определяет поток:

дтЙ: Н ^ Й.

Автоморфизм А £ АиШ является сопряжением для потоков д.^ и д Это означает, что диаграмма

Н

коммутативна. Иными словами, вид уравнения Гейзенберга сохраняется при автоморфизмах.

Все эти рассуждения можно перенести и на неавтономный случай. Опишем кратко эту конструкцию.

Пусть Т = R/Z - единичная окружность. Обозначим через Н(Т) алгебру Гейзенберга неавтономных наблюдаемых. В отличие от автономной алгебры Н коэффициенты ее элементов являются функциями переменной i 6 Т. Таким образом, мы рассматриваем только периодические по времени наблюдаемые, поскольку они возникают в теореме Мозера. Однако наши рассуждения легко переносятся и на непериодический случай.

Далее, пусть фиксирована наблюдаемая (или гамильтониан) Н £ Н(Т) . Эта наблюдаемая определяет динамику с помощью неавтономного уравнения Гейзенберга:

Это уравнение вполне естественно, поскольку при усреднении оно определяет правильную эволюцию классических функций на расширенном фазовом пространстве. Отметим, что в уравнении имеется два „времени". Время t - это переменная в расширенном фазовом пространстве, а время г является параметром эволюции.

Предположим, что решение задачи Коши для уравнения (14) F(t) € ЩТ) существует, единственно и определено для всех г £ R. Тогда определен поток д1^ : Н(Т) —> Н(Т) неавтономного уравнения Гейзенберга. Пусть А £ AutH(T) - автоморфизм неавтономной алгебры Гейзенберга. Тогда существует такая неавтономная наблюдаемая А+Н, что диаграмма

Н(Т) Н(Т)

Й(Т) Н(Т)

коммутативна.

Отображение А+ мы назовем неавтономным каноническим преобразованием. В работе показывается, что такие преобразования образуют группу, т.е. (АВ)+ = А+В+.

Преобразование устроено следующим образом: А+Н = АН + к, где вид Л зависит от автоморфизма А- При этом, если А не зависит от времени,

то к = 0. Заметим, что при усреднении добавочному слагаемому к будет соответствовать производная по времени от классической производящей функции.

В работе доказывается, что при фиксированном А добавок к, определен единственным образом с точностью до слагаемого, несущественного для динамики. Также указывается явный вид добавка к для различных типов автоморфизмов, используемых при нормализации.

Предложение 1. Расслютрим автоморфизм А е Аи1ьН(Т); порожденный наблюдаемыми

Р = сп(г)р + с12{г)х, х = сы{г)р + с22{ь)х, спс22 - с12с21 = 1.

Тогда

к(А) = ацр2 + 2а\2р + а22х2,

где

СцС21 - ¿21Сц ¿12С21 - ¿21С12 ¿12^22 ~ ¿22С12

а и =-2-' 0,12 ~-2-' °22 =-2-'

Предложение 2. Рассмотрим квантовое преобразование Ли, близкое к тождественному,

А = е** е АиШ(Т), 1У = Оз(р,х).

Тогда

00 ас^ДЖ

где ДИ^ - дифферецирование неавтономной наблюдаемой № по

Свойства отображения А+ в работе доказываются двумя способами. Первый способ основан на сохранении вида неавтономного уравнения Гей-зенберга. При втором способе используется автономизация, т.е. переход от неавтономной системы одной степенью свободы к автономной системе с двумя степенями свободы.

Глава 4 посвящена доказательству теоремы 8, квантового аналога теоремы 3.

Теорема 8. Пусть Н — С>2{р,х) G Н(Т) есть такая аполитичная эрмитова наблюдаемая, что классическая наблюдаемая aver Н имеет гиперболическое положение равновесия в точке р = х = 0. Тогда существует такое аполитичное эрмитово отображение Л £ AutH(T), что Л+Н = \Poi+ioP + 04(р,х) € N, где 0 ф A € К, причем отображение Л+ также аналитично (переводит аполитичные наблюдаемые в аполитичные) и эрмитово.

Доказательство основано на методе Ньютона квадратичной сходимости. Нормализующий автоморфизм А+ строится как предел отображений:

А+ = lim Ш... if Л«),

п-> оо \ /

где

2"+1

Д(п) = eadw("), Win)= J2 ^eFj.

j=2"-1+2

В заключении сформулированы основные результаты работы. В приложениях доказаны некоторые технические результаты.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. A. Anikin. Normal Form of a Quantum Hamiltonian with One and a Half Degrees of Freedom Near a Hyperbolic Fixed Point // Regular and Chaotic Dynamics. 2008. V. 13, N. 5. P. 377-402.

2. А. Ю. Аникин. Квантовые нормальные формы Биркгофа // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 160, № 3. С. 487—506

3. Anikin A.Yu. Non-commutative normal forms // Advances in Mechanics: Dynamics and Controll: Proceedings of the 14th International Workshop on Dynamics and Controll. 2008. P. 30-37.

ВВЕДЕНИЕ

1. Квантовые наблюдаемые

1.1. Алгебра Нп.

1.2. Норма, мажоранты и аналитичность.

1.3. Примитивный базис, r-разложение и базис Es.

1.4. Эрмитовы наблюдаемые.

1.5. Автоморфизмы алгебр И и И(Т).

1.6. Лемма Пуанкаре для Нп.

2. Формальная теория нормальной формы

2.1. Вводные замечания.

2.2. Каноническая форма квадратичных наблюдаемых.

2.3. Квантовая нормальная форма: простой случай.

2.4. Квантовая нормальная форма: общий случай.

2.5. Нерезонансная нормальная форма. Явный вид.

2.6. Эрмитов вид нормальной формы.

2.7. Вопросы единственности.

3. Динамика неавтономных квантовых наблюдаемых 52 3.1. Уравнение динамики квантовых наблюдаемых.

3.1.1. Динамика в Ш.

3.1.2. Уравнение Гамильтона динамики неавтономных наблюдаемых

3.1.3. Неавтономное уравнение Гейзенберга.

3.2. Неавтономное каноническое преобразование.

3.2.1. Дифференцирование алгебры Н(Т).

3.2.2. Отображение Л+.

3.2.3. Группа канонических преобразований.

3.2.4. Примеры.

3.3. Квантовая автономизация.

3.3.1. Алгебра Н^ неавтономных наблюдаемых.

3.3.2. Алгебра А автономных наблюдаемых.

3.3.3. Поток Гейзенберга в А.

3.3.4. Преобразование Ли в А.

4. Квантовая теорема Мозера о нормальной форме

4.1. Формулировка теоремы.

4.2. Формальная нормализация

4.2.1. Последовательность канонических преобразований

4.2.2. Свойства

4.2.3. Лемма о формальной нормализации.

4.3. Аналитичность: подготовка.

4.3.1. Некоторые важные оценки.

4.3.2. Оценка правой части гомологического уравнения.

4.4. Аналитичность: доказательство.

4.4.1. Оценка решений гомологического уравнения.

4.4.2. Оценка остатка.

4.4.3. Индуктивная лемма.

Классическая теория нормальных форм. Обзор известных результатов.

Теория нормальных форм в классической механике является одним из важнейших средств локального анализа дифференциальных уравнений вблизи положения равновесия, периодического решения или инвариантного тора.

Основная идея этой теории состоит в следующем. Рассмотрим систему п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с положением равновесия в нуле: ж» = я„), г = 1,., п, (1) где ^ - комплексно-аналитичные функции в нуле. Требуется найти замену переменных у1=У{(х 1,.,хп), (2) определенную в малой окрестности положения равновесия, которая приводила бы систему уравнений (1) к виду

Уг = •• ,Уп), простейшему, насколько это возможно. Более строгое определение слова "про-стейший"мы дадим позже. Сейчас лишь отметим, что такой вид называется нормальной формой системы дифференциальных уравнений, а соответствующая замена переменных (2) - нормализующим преобразованием.

Замены переменных (2) рассматриваются в классе формальных степенных рядов или сходящихся рядов (аналогичных функций). В связи с этим, при изучении нормальных форм различают формальную теорию и вопросы сходимости. Заметим, что формальная теория довольно проста. Доказательство сходимости намного сложнее и требует использования изощренной техники, близкой по духу к теории KAM.

Нормальные формы для систем общего вида (1) были построены Пуанкаре [33] и Дюляком [23]. Но для нас особый интерес представляет гамильтонов вариант этой теории. В нем требуется, чтобы нормализующие преобразования сохраняли гамильтонову структуру, т.е. являлись каноническими. Сформулируем теорему о формальном приведении гамильтоновых систем к нормальной форме, полученную Биркгофом [4] и Черри [19].

Теорема 0.1 (Биркгоф). Гамильтониан с п степенями свободы с каноническими переменными Pi,. ,pn,Xi,. ,хп, являющийся формальным степенным рядом:

Н = #2 + #з + ., причем,

Н2 = Aipi^i + . + Апрпхп, (3) где Hk - однородные по р и х многочлены степени к с комплексными коэффициентами, приводится формальной комплексной канонической заменой переменных к виду: п = н2+ ]Г c^pf(4)

Здесь и в дальнейшем (А, к) — АЗк3 есть стандартное скалярное произведение. Гамильтониан вида (4) называется нормальной формой. Отметим, что для нормальной формы имеет место равенство: {Н, Н2} = 0, где

ГдF8G dF dG\ \др3 dxj dxj др0) есть стандартная скобка Пуассона.

Гамнльтонова система называется нерезонансной, если числа Ах,., А,, в формуле (3) линейно независимы над Ъ. В этом случае вид нормальной формы гамильтониана следующий:

Слагаемые из правой части (5) содержатся в (4) при любых \3 и называются нерезонансными. Остальные слагаемые в (4) называются резонансными.

В классической механике имеют дело с вещественными гамильтонианами и заменами переменных. Поэтому для приложений важно переформулировать теорему 0.1 в вещественном варианте.

Теорема 0.2 (Биркгоф, вещественный вариант). Рассмотрим систему Гамильтона с п степенями свободы с каноническими переменными Рх,.,рп, ., хп и гамильтонианом где Н}~ - однородные по р и х многочлены степени к с вещественными коэффициентами. Предположим, что можно привести тнейной канонической (вообще говоря, комплексной) заменой к виду (3). Тогда существует формальная вещественная каноническая замена переменных, переводящая данную систему в систему с таким вещественным гамильтонианом

Подчеркнем еще раз, что приведенная квадратичная часть (3) вовсе не обязана быть вещественной. Для примера мы рассмотрим следующий гамильтониан с одной степенью свободы. Пусть Н — Н2 + Щ + • ■где = р2 + х2.

Теорема 0.2 утверждает, что существует замена переменных в виде формаль ного степенного ряда, которая приводит Н к форме:

5)

Я = #2 + #3 + • •

• 1

Н = Н2 + Пз + ПА + что {Н,Н2} = 0. оо являющейся также формальным степенным рядом с вещественными коэффициентами а3.

В работах [4], [19] не доказывается аналитичность (сходимость) нормализующего преобразования ни в одном частном случае. Впрочем, надо заметить, что Черри предпринял попытку доказать сходимость нормализующего преобразования в одном случае (доказанную впоследствии Мозером [32]).

Первый результат о сходимости нормализующего преобразования в га-мильтоновом случае был получен Мозером [31].

Теорема 0.3 (Мозер). Рассмотрим гамильтонову систему с полутора степенями свободы (т.е. неавтономную систему с одной степенью свободы и периодической зависимостью от времени) с веществеяно-аналитичным гамильтонианом:

Н(р,х:Ь) = Н(р,х^ + Т), Т> 0.

Предполоэ/сим, что точка р = х = 0 является гиперболическим положением равновесия этой системы. Тогда существует неавтономная вещественно-аналитичная каноническая замена переменных, приводящая Н(р, ж, ¿) к автономному виду:

Н{р, х) = /г(рх) = Арх + А2{рх)2 +--------(6)

Ясно, что гамильтониан вида (6) является нормальной формой в смысле теоремы 0.1 в случае одной степени свободы. Отметим существенность требования гиперболичности для сходимости нормальной формы в теореме 0.3. Хорошо известно (см., например, [6]), что нормальная форма системы с двумя степенями свободы вблизи устойчивого периодического решения расходится.

В другой своей работе [32] Мозер рассмотрел систему с двумя степенями свободы около положения равновесия типа седло-фокус, т.е. случай собственных значений гамильтониана вида:

1,2,3,4 = ±а ± гб, и установил сходимость нормализующего преобразования.

Дальнейшее развитие теории нормальных форм можно найти у Брюно [6], [7]. Им были получены достаточные условия сходимости и расходимости нормализующего преобразования. Для нас представляет интерес в этой работе обобщение формальной теории, а именно случай недиагонализируемой матрицы линейной части системы Гамильтона. Сформулируем этот результат в слегка упрощенном варианте, чтобы избежать громоздких формул. Теорема 0.4 (Брюно). Рассмотрим гамильтониан Н = Н2 + + .где

Нк - однородные по р и х многочлены степени к с комплексными коэффициентами. Пусть линейная часть системы уравнений Гамильтона не имеет нулевых собственных значений. Тогда существует каноническая замена переменных, приводящая Н к виду:

Л — 7^2 + Т^з + ., где п

Н2 = в0 + в1 + я2 + = О7) 1

71—1

Д1 = уу^-аз^, Я2 — О" о ^ РФ3, я3 = о о хгхУ.

1 п+1 для некоторых о0,., <тп1 6 С, причем, {ТС, Л0} = 0.

В этой теореме используется результат Вильямсона [37], в котором квадратичная часть гамильтониана приводится к виду (7) линейной канонической заменой.

Квантовая теория нормальных форм. Обзор известных результатов

Заметим, что в квантовой механике формальная теория нормальных форм хорошо известна. Приведем обзор известных результатов. Одна из основных идей квантовой нормализации состоит в следующем. I

10

Псевдодифференциальному оператору сопоставляется функция на фазовом пространстве заменой производных на импульсы. Такая функция называется символом оператора. Символ приводится к нормальной форме каноническим преобразованием. После этого, данному каноническому преобразованию сопоставляется унитарный оператор, называемый интегральным операгором Фурье, который соответствует каноническому преобразованию символа с точностью до малых поправок. Эти результаты имеются в работах [8], [25], [22]. На основе этих идей строились нормальные формы вблизи устойчивого положения равновесия [18], [34] и неустойчивого [24], [35], [27]. Более общие результаты имеются в [26].

Также отметим работы Карасева [28], [29], [30] который строил нормальные формы и исследовал алгебры, порожденные ими, используя мегод Мас-лова квантового усреднения. Этот метод был в общей алгебраической форме разработан в [9].

Цели и задачи исследования

Разработать общий алгебраический подход для изучения нормальных форм квантовых наблюдаемых. Ввести для квантовых наблюдаемых такие понятия как самосопряженность (эрмитовость), аналитичность и неавтономность. На основе данного подхода доказать квантовые аналоги важнейших теорем классической формальной теории нормальных форм (в том числе, теоремы 0.1,0.2,0.4). Доказать квантовый аналог теоремы Мозера 0.3.

Методы исследования

В нашей работе квантование рассматривается с алгебраической точки зрения, а не с позиции уравнений с частными производными: Такой подход близок по духу к идеям некоммутативной геометрии [21] и геометрического квантования [2], [3], [9], [10], [11], [17]. Мы развиваем идеи теории некоммутативных структур, предложенные Д.В. Трещевым в [13], [14]. Методы-этой теории позволяют получить квантовые аналоги некоторых теорем классической механики, например теоремы Дарбу, Лиувилля и пр.

Следуя [13], квантовые наблюдаемые рассматриваются как элементы некоторой некоммутативной алгебры формальных рядов. Динамика на алгебре наблюдаемых задается лиевским коммутатором. Автоморфизмы, сохраняющие одновременно структуры ассоциативной алгебры и алгебры Ли квантовых наблюдаемых, являются квантовыми аналогами классических канонических преобразований.

Отметим, что в классической гамильтоновой механике известны два способа построения канонических преобразований. Первый, более часто используемый - метод производящей функции. Второй - менее традиционный, называется методом Депри-Хори, где каноническое преобразование наблюдаемых строится как сдвиг вдоль гамильтонова векторного поля. Мы используем квантовый аналог второго метода, поскольку в отличие от производящей функции, ряды Ли из метода Депри-Хори допускают при нашем подходе естественное квантование.

По аналогии с квантовыми наблюдаемыми вводятся классические наблюдаемые. Они образуют коммутативную алгебру степенных рядов с лиевской скобкой Пуассона. Можно вести гомоморфизм, действующий из алгебры квантовых наблюдаемых в алгебру классических наблюдаемых. Этот гомоморфизм называется усреднением. Его физический смысл: квазиклассический предел (Я —> 0). Благодаря ему, все классические теоремы являются следствиями своих квантовых аналогов.

В алгебре квантовых наблюдаемых можно ввести естественное понятие аналитичных наблюдаемых. Оно аналогично классическому определению, согласно которому коэффициенты степенного ряда возрастают не* быстрее, чем с экспоненциальной скоростью. При усреднении квантовые аналогичные на блюдаемые переходят в классические сходящиеся ряды, то есть в аналогичные функции.

Также, без труда, в алгебре вводится понятие эрмитовой наблюдаемой. При усреднении эрмитовы квантовые наблюдаемые переходят в классические вещественные наблюдаемые.

Все перечисленные конструкции введены в [13]. В нашей работе вводятся в рассмотрение неавтономные наблюдаемые и изучается их динамика. Коротко говоря, мы вводим неавтономное уравнение Гейзенберга, и изучаем, когда потоки уравнений с исходным и преобразованным гамильтонианами сопряжены с помощью автоморфизмов. Подробности изложены в главе 3.

Используя данный алгебраический подход, мы изучаем нормальные формы квантовых наблюдаемых. А именно, мы отвечаем на вопрос, к какому виду можно приводить элементы алгебры наблюдаемых с помощью действия автоморфизмов. Такой подход к изучению квантовых нормальных форм представляется нам естественным и эстетичным с алгебраической точки зрения.

Вопросы представления наблюдаемых в виде операторов па ^(К71) остаются за рамками нашей работы. Впрочем, это представление очевидно для полиномиальных по импульсам наблюдаемых.

Часть нашей работы посвящена квантовой формальной теории нормальных форм. В частности, доказываются квантовые аналоги теорем 0.1, 0.2, 0.4. Эти результаты изложены в главе 2.

Самым значительным результатом нашей работы является доказательство квантового аналога теоремы 0.3. Эта теорема сложнее, чем факты из формальной теории по двум причинам. Первая состоит в неавтономноеги наблюдаемой, вторая - в аналитичности.

При доказательстве этой теоремы мы избегаем разложений по степеням постоянной Планка. Вместо этого мы используем метод квадратичной сходимости и получаем оценки, близкие по духу к классическим, что обеспечивает сходимость. Изложению квантового аналога теоремы 0.3 полностью посвящена глава 4.

Доказательство отличается от метода мажорант, используемого первоначально в работе [31]. Идея использования метода квадратичной сходимости для доказательства классической теоремы 0.3 была предложена в работе [20], а само доказательство содержится, например, в работе [12]. Однако наше доказательство квантового аналога этой теоремы отличается от того, что приведено в [12]. Мы не используем разложения по времени в ряды Фурье и требуем не аналитичность, а лишь бесконечную гладкость гамильтониана по времени.

Научная новизна

Подход к изучению квантовых нормальных форм является новым. Некоторые результаты формальной теории были получены ранее другими авторами в иной постановке и в меньшей общности. Результаты об аналитичности нормальной формы получены впервые.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для вычислении спектра оператора Шредингера.

Рассмотрим наблюдаемую с устойчивым положением равновесия в нуле. Формальная нормальная форма такой наблюдаемой позволяет находить асимптотику для собственных значений оператора Шредингера из нижней части спектра. Аналогичная нормальная форма (для устойчивого равновесия только в случае одной степени свободы) в виду локальности, также может дать информацию лишь о нижней части спектра. Однако с ее помощью можно построить локальные переменные действие-угол. Если построить глобальное продолжение этих переменных, то можно получить информацию- о всем спектре оператора Шредингера. Более подробно эти наводящие соображения изложены в [13].

Кроме того, наши результаты об аналитичности дают информацию о структуре разложений нормальных форм в ряды по степеням постоянной Планка. Конечно, разложения даже аналитичных наблюдаемых по степеням постоянной Планка факториально расходятся. Однако аналитичность позволяет получать количественные оценки роста коэффициентов этих рядов и, в частности, доказать, что имеет место расходимость класса Жевре 1.

Основные конструкции

Чтобы дать некоторое представление о наших результатах, мы строго сформулируем квантовые аналоги теорем 0.1 и 0.3.

Сначала введем основные понятия теории некоммутативных структур [13]. Рассмотрим ассоциативную алгебру О над С коммутативных формальных степенных рядов: оо со стандартным коммутативным произведением. Образующие рх,. ,рп,х 1,., можно интерпретировать как координаты и импульсы механической системы. Ассоциативная алгебра О также имеет структуру алгебры Ли по отношению к стандартной скобке Пуассона: п 'дГдв дР дв\

1 ^^з^^з др]дхз дходр^

Элементы алгебры О называются классическими наблюдаемыми.

Биективные линейные отображения >А : О —О называются автоморфизмами ассоциативной алгебры и алгебры Ли О, если

А^О) = АРЖ?, - {АР, Ав}.

На языке классической механики такие отображения называются каноническими преобразованиями. Группу таких отображений обозначим через А^ О. Теорему 0.1 можно переформулировать следующим образом. Для всякой наблюдаемой вида = #2 + Я3 + #4 + . . £ О, где //,• - однородная форма по р и х степени '], причем Нч имеет вид (3), существует такой автоморфизм А € Аи1,0, что

АН = #2 + ^з + + ., {АН, Н2} = 0.

Квантовые наблюдаемые также являются элементами некоторой алгебры, некоммутативной, в отличие от классического случая. Сначала построим свободную ассоциативную некоммутативную алгебру. Мономами в ней будут следующие слова: г = о . о ¿ь где буквы ., % взяты из множества {¿1,., хп,р1,. ,рп}. Число к называется степенью монома = к). Мономы считаются равными, если они состоят из одинаковых букв, взятых в одинаковом порядке. Произведением двух мономов г и ги мы будем называть следующий моном: о и> = ¿1 о . . о ¿к о ги1 ° • • • ° Щ, (8) где г = ¿\ о., .о ¿к и ю = г&х о., .о г&г

Рассмотрим алгебру над €: С ? г с ассоциативным произведением о. Здесь сумма берется по всевозможным мономам 2.

Положим гj := р^ о х^ — X] о pj и рассмотрим алгебру И, порожденную следующими тождествами: р3 ° рв -Рз° гРз = 0; ¿7 ° ^ - £.9 ° Хз = 0; (9) rJ - rs = 0; Tj О ps - ps О r, = 0; г, о £s - о r^ = 0 (10) для всех s, j = 1,., n, а также тождествами: pJoxa-xsopJ=0, s,j = l,.,n, s^j. (11)

Говоря более точно, мы рассматриваем факторалгебру Н = О/ J, где J есть идеал, порожденный левыми частями (9),(10),(11). Обозначим через 7Г : О —* И гомоморфизм проекции. Введем обозначение г = тгГу.

Ассоциативная алгебра Н называется алгеброй квантовых наблюдаемых или алгеброй Гейзенберга. В стандартном координатном представлении образующие^- и Xj отождествляются со следующими операторами в Lo(Шп): df jf{x) = Xjf(x), p3f(x) = -ih—(x). dxj

Элемент г отвечает константе —ih (более точно, оператору —ih id). Однако мы будем смотреть на этот элемент как на однородную форму второй степени.

Коммутатор вводит структуру алгебры Ли на Ж Точное определение мы дадим позже, однако неформально он определяется следующим образом: р о G - G о F - ~ [F, G] = ———————, F,GeM. г ч ^-s.

Биективные линейные отображения Л : И —> И, сохраняющие операции о и [•, •], мы назовем автоморфизмами ассоциативной алгебры и алгебры Ли И. Группа таких автоморфизмов обозначается Aut Ж

Существует гомоморфизм aver : Н —» О ассоциативных алгебр и алгебр Ли, т.е. отображение со свойствами: aver(F о G) = aver.FaverG', averfF, G] = {averF, averG}, называемый усреднением. Он получается отождествлением: г = 0 и сопоставляет квантовым объектам классические.

В алгебре О очевидным образом вводится понятие однородной формы некоторой степени. Аналогичное понятие можно ввести и в алгебре ШТ. А л ^ именно, наблюдаемая ^ £ М называется однородной степени 7 , если существует однородная форма Я0 € О степени такая, что 7гЯо ~ Р. Корректность этого определения требует обоснования, поскольку в алгебре Н имеются тождества, например, при п= 1:

Л Л С\ АЛ су Л

2р о х о р = р о х + х о р , рохор — хорох.

Однако можно показать, что все тождества являются однородным, если образующим р: х приписать вес 1, а элементу г - вес 2. Сформулируем квантовый аналог теоремы 0.1. Дпя всякой наблюдаемой из Н вида:

Я==Я2 + Я3 + Я4 + .) (12) где Н] есть однородная форма степени у, причем ауегЯг имеет вид (3), существует автоморфизм А е Ai.it Н, такой, что ЛИ = Но + Яз + Я.] + ., причем [АН, Я2] = 0.

Чтобы сформулировать квантовый аналог теоремы 0.3, мы подробно остановимся на конструкциях эрмитовости, аналитичности и неавтономности.

Начнем с понятия эрмитовой наблюдаемой. Для любого монома в О вида 5 = ¿1 о . о £ и постоянной а 6 С определим следующую операцию: аг)* = агк о . о ¿ь называемую эрмитовым сопряжением или просто сопряжением. Эту операцию можно продолжить по линейности до инволюции в О. Пусть теперь Я € Н. Возьмем произвольный элемент С € О такой, что -кС = Я. Поло

А л жим, Я* = 7г(б?*). Как показано в [13], такое определение корректно и задает ч инволюцию в Н. Наблюдаемая Я называется самосопряженной или эрмитовой, если Р* = Р.

Теперь мы введем понятие аналогичной наблюдаемой. Это определение является естественным в том смысле, что при усреднении аналитичной квантовой наблюдаемой мы получаем аналитичную классическую наблюдаемую, то есть сходящийся ряд Тейлора.

Рассмотрим в алгебре Ш векторное подпространство однородных форм степени (р, и) = (pi,., рп, ., vn). Это подпространство является линейной оболочкой мономов типа (д. v), то есть содержащих р3 множтелей /37 и и3 множителей хэ. Обозначим такое пространство через F/v'. Классическим аналогом W^" будет одномерное пространство.

Для того, чтобы, по аналогии с классическим случаем, оценивать рост коэффициентов в разложении наблюдаемой, построим норму в пространствах

Пусть F € F/!,1/. Разложим наблюдаемую произвольным образом в виде линейной комбинации мономов: F = f\Z\ +. + fizi, где z3 - мономы степени (р, v). Конечно, такое разложение не единственно. Мы назовем нормой наблюдаемой F точную нижнюю грань выражения \fi\-\- ■. + | fi\ по всем таким разложениям.

Рассмотрим для примера следующее тождество в Н: р ох2 — —х2 op + lxopox.

Для правой части этого тождества сумма модулей коэффициентов равна единице, а для левой - трем. Поэтому || F ||< 1. В дальнейшем мы построим в явном виде базис, называемый примитивным, в котором точная нижняя грань суммы модулей коэффициентов достигается. Оказывается, выражение в левой части тождества принадлежит примитивному базису. Следовательно, || F ||= 1.

После введения конструкции нормы, мы можем дать определение аналитичности. Наблюдаемая F € И называется аналогичной, если для некоторых /5, р > 0 имеют место неравенства:

F — Ff1'" б F^'", || F^ || <

1,V

Чтобы сформулировать квантовую теорему Мозера, нам требуется таюке изучить динамику квантовых неавтономных наблюдаемых.

Посмотрим в автономной ситуации на автоморфизмы алгебры Гейзенберга с динамической точки зрения. Динамика в этом случае определяется уравнением Гейзенберга: дР ~ л ^Ч

Предположим, что решение Р{т) € М задачи Коши для эгого уравнения существует, единственно и определено для всех т е К. Тогда наблюдаемая (или гамильтониан) Н определяет поток:

4 : Й - Й.

Автоморфизм А 6 АиШ является сопряжением для потоков дг^ и д^. Это означает, что диаграмма

Н И А Л н И коммутативна. Иными словами, вид уравнения Гейзенберга сохраняется при автоморфизмах.

Все эти рассуждения можно перенести и на неавтономный случай. Опишем кратко эту конструкцию, подробности которой содержатся в главе 3.

Пусть Т = Ж/Ъ - единичная окружность. Обозначим через Н(Т) алгебру Гейзенберга неавтономных наблюдаемых. В отличие от автономной алгебры Ш, коэффициенты ее элементов являются функциями переменной { £ Т. Таким образом, мы рассматриваем только периодические по времени наблюдаемые, поскольку они возникают в теореме Мозера. Однако наши рассуждения легко переносятся и на непериодический случай.

Далее, пусть фиксирована наблюдаемая (или гамильтониан) Й <Е Н(Т) . Эта наблюдаемая определяет динамику с помощью неавтономного уравнения Гейзенберга: дР гт~ - дР

Это уравнение вполне естественно, поскольку при усреднении оно определяет правильную эволюцию классических функций на расширенном фазовом пространстве. Отметим, что в уравнении имеется два "времени". Время t -это переменная в расширенном фазовом пространстве, а время г является параметром эволюции.

Предположим, что решение задачи Коши для уравнения (13) Р(т) е 1Ы(Т) существует, единственно и определено для всех г 6Ё. Тогда определен поток дт-{ : Н(Т) —» Н(Т) неавтономного уравнения Гейзенберга. Пусть А £ А^Н(Т) - автоморфизм неавтономной алгебры Гейзенберга. Оказывается, существует неавтономная наблюдаемая А+Н, такая, что диаграмма

Й(Т) Й(Т) л л

Зл+й

Н(Т) —^ Н(Т) коммутативна.

Отображение А+ мы назовем неавтономным каноническим преобразованием. Оно устроено следующим образом: А+Й = АН + К, где вид к зависит

Л А Л от автоморфизма А. При этом, если А не зависит от времени, то к = 0. Заметим, что при усреднении добавочному слагаемому к будет соответствовать производная по времени от производящей функции.

В главе 3 мы указываем явный вид добавка к для интересующих нас классов автоморфизмов и доказываем его единственность. Также мы доказываем, что неавтономные канонические преобразования образуют группу. Итак, формулировка квантового аналога теоремы 0.3. Л

Для всякой аполитичной эрмитовой наблюдаемой Н Е ЩТ) вида я = + р + я3 + Я4 + .

• Л V где 7/у является однородной формой степени существует такой аполитичный и эрмитов автоморфизм А (который переводит любую аполитичную и эрмитову наблюдаемую в аполитичную и эрмитову) ассоциативной алгебры и алгебры Ли Н(Т), что [А+Н, Н^ = 0.

Результаты работы

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и четырех приложений; В главе 1 мы вводим основные понятия и.конструкции, используемые в работе [13], а также даем некоторое развитие этим идеям. Мы вводим понятие алгебры квантовых и классических наблюдаемых, строим гомоморфизм усреднения, действующий из первой алгебры во вторую. Мы рассматриваем группу автоморфизмов этих алгебр, вводим понятия эрмитовых и аналитичных наблюдаемых, строим специальные базисы в конечномерных подпространствах этих алгебр. Мы доказываем несколько новых, по сравнению с [13], фактов, а также обобщаем все объекты на неавтономный случай. Наши результаты из главы 1 опубликованы в [39].

В главе 2 мы изучаем формальную теорию квантовых нормальных форм. В теоремах 2.1 и 2.2 строятся нормальные формы квадратичных квантовых наблюдаемых с помощью линейной канонической заменьъпеременных. В теоремах 2.3 и 2.4 строится! формальная нормальная форма. Теорема 2.3 является квантовым аналогом теоремы 0.1, а теорема 2.4 - аналогом теоремы 0.4. В предложении 2.3 мы указываем явный вид нормальной формы в нерезонансном случае. В теореме 2.5 мы строим нормальную форму для:эрмитовой-наблюдаемой. Это - квантовый аналог теоремы 0.2. В следствии 2.5 мы получаем вид нормальной формы для натурального квантового гамильтониана (сумма кинетической и потенциальной энергий). В теореме 2.6 и следствии 2.6 рассматриваются вопросы единственности нормальной формы и нормализующего преобразования. Во-первых, доказывается, что в нерезонансном случае нормальная форма данного гамильтониана еда в резонансном нет. Во-вторых, доказывается, что нормализующее преобразование единственно с точностью до композиции с автоморфизмом алгебры нормальных форм. Результаты главы 2 содержатся в [39].

В главе 3 мы изучаем динамику квантовых неавтономных наблюдаемых. В этой главе рассматривается лишь интересный в дальнейшем случай одной степени свободы. Однако все конструкции без труда переносятся и на многомерный случай.

Мы вводим неавтономное уравнение Гейзенберга, пользуясь мотивировкой из классической механики. Затем мы изучаем такие преобразования, которые сохраняют вид этих уравнений. Иными словами, мы изучаем такие преобразования гамильтониана, что потоки неавтономных уравнений Гейзенберга для исходного и преобразованного гамильтонианов сопряжены. Мы докажем, что такие преобразования, называемые каноническими, образуют группу. Также мы укажем несколько важных классов таких преобразований.

Кроме того, в этой главе получаем аналог известной в классической механике процедуры автономизации. Автономизация означает сведение динамики неавтономной системы с одной степенью свободы к динамике авюномной системы с двумя степенями свободы.

Глава 4 посвящена доказательству теоремы 4.1, квантового аналога теоремы 0.3. Результаты глав 3 и 4 содержатся в [38] и [40].

В заключении сформулированы основные результаты работы В приложениях доказываются громоздкие технические результаты.

Благодарность

Я выражаю благодарность своему научному руководителю Д.В. Трещеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

Квантовые наблюдаемые

В этой главе мы даем обзор основных алгебраических конструкций из работы [13]. Кроме того, мы рассматриваем неавтономные обобщения квантовых наблюдаемых и доказаем несколько новых утверждений.

1.1. Алгебра Нп

Построим некоммутативную ассоциативную алгебру О формальных рядов с образующими х^ и произведением о. Мономами в этой алгебре мы назовем следующие слова: г = ¿1 о . о ¿к, где ¿1,., 2к взяты из множества {¿1,., хп, р1,., рп}.

1.1)

Число к называется степенью монома ( с^ 5 = к). Будем говорить, что моном г имеет тип {¡1,и) € есть множество неотрицательных целых чисел), записывая это следующим образом:

Ъур(мь-'-.Мп), У - (^ь • • • если он содержит в точности ¡i3 раз множитель р3 и v3 раз множитель xj для всех j = 1,., п. Положим п п

Подчеркнем, что мономы равны, если они совпадают как слова, то есть построены из одних и тех же элементов, взятых в одинаковом порядке. Введем естественное некоммутативное произведение мономов по формуле (8).

Рассмотрим следующие линейные пространства над С формальных рядов: оо к=О deg z=k оо n(T) = [f = J2 J2 f* G C°°(T,C)}. k=0 deg£=fc

Второе из этих пространств нам понадобится для изучения некоммутативных наблюдаемых с периодической зависимостью от времени. Здесь суммирование происходит по всевозможным мономам z, а Т есть единичная окружность M/Z. В линейных пространствах Оп и Оп(Т) определено ассоциативное неком

N ^Ч мутативное произведение о. Таким образом, (©„,+, о) и (Оп(Т),+, о) являются ассоциативными алгебрами, причем Оп можно считать подалгеброй в On (Т). Нижний индекс в обозначении Оп, который мы часто будем в дальнейшем опускать, есть число степеней свободы. Введем обозначение для линейных пространств однородных форм в алгебре О(Т): = = Е ш}сб(т), deg z=k

J2 9s(t)z} С Ö(T). typez=(/i,i/)

4 ИЧ

Производим в алгебрах О и О(Т) следующие отождествления. Положим л л /-Ч г pjOXj — ctj opj и рассмотрим идеалы J С О и ,/(Т) с О(Т), порожденные левыми частями тождеств (9),(10),(11).

Рассмотрим следующие объекты:

И = 6/J, Й(Т) = 0(T)/J(T), 7г : О(Т) М(Т), г = тфч) = . = тг(гя), где 7г - естественный гомоморфизм проекции. Элементы ассоциативной алгебры И (соответственно, М(Т)) называются автономными (соответственно, неавтономными) квантовыми наблюдаемыми. Для упрощения записи будем обозначать элементы 7гр3 и тгх1 (образующие) алгебры Н через р3 и х3 соответственно.

Будем обозначать линейные пространства однородных форм в алгебре И(Т) следующим образом:

Ffc = 7rfFfc, F^-ttF^.

Из тождеств, порождающих И, ясно, что F^nF; = {0} для всех к Для пространств F^'" аналогичное утверждение не выполнено. Например, для п = 2 имеем: г е FM,I/ П F/iV, р = v = (1,0), fjf = i/ = (0,1)

Более подробно свойства этих пространств мы изучим ниже в параграфе 2.1. Если F G то мы используем следующее обозначение:

F = Ok(p,x).

Далее, пусть Jo(T) есть идеал в алгебре Ы(Т), порожденный г. Тогда фактор-алгебру H(T)/Jo(T) можно отождествить с коммутативной алгеброй классических рядов Тейлора с С°°-гладкими 1-периодическими по t коэффициентами. Назовем ее алгеброй классических наблюдаемых и обозначим через О(Т). В автономном случае обозначим аналогичную алгебру через О Естественный гомоморфизм проекции обозначим aver : Н(Т) —> О(Т) и назовем усреднением. Элементы aver р3 и aver х3 алгебры О обозначаем через р1 и Xj соответственно. Элементы р3 и хэ можно интерпретировать как обычные (классические) импульсы и координаты механической системы. л '/Ч Л Л Л А Л

Для наблюдаемых F,G G ЩТ) мы положим H = F о G — G о F. Да

А Л А Л Л лее, aver H = 0, и, следовательно, H £ /о(Т). Таким образом, Н — го где наблюдаемая Н0 определена единственным образом, поскольку в алгебре Н(Т) отсутствуют нетривиальные делители нуля. Определим операцию F,G ¡—> [F, G] = Èq, называемую коммутатором. Говоря неформально,

Легко увидеть, что коммутатор удовлетворяет тождествам Лейбница и Яко-би (см. [13]):

F о G,Ê] =F о [G,H] + [F,H] о G, [[#,£], Я] + [[G,H],F] + [[H,F],G] = 0.

Введенная нами операция [-, •] задает на И структуру алгебры Ли. Также можно рассматривать О как алгебру Ли относительно стандартной скобки Пуассона.

F, G >-> {F, G} - g ^ ^ ■ ч

Оказывается, [13], усреднение aver является гомоморфизмом алгебр Ли И и О. Аналогичное свойство имеет место и для Н(Т) и О(Т).

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974.

2. Берсзин Ф. А. Квантование // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1974. Т. 38, №. 5. С. 1116-1175.

3. Березин Ф. А. Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли // Функц. анализ и его прил. 1967. Т. 1, № 2. С. 1—14.

4. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. — М.: Гостехиздаг. 1941.

5. Боголюбов H.H., Боголюбов H.H. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука. 1984

6. Брюно А. Д., Аналитическая форма дифференциальных уравнений I // Труды ММО. 1971. Т. 25. С. 119-262.

7. Брюно А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений II II Труды ММО. 1972. Т. 26. С. 199-239.

8. Егоров Ю. В. О канонических преобразованиях псевдодифференциальных операторов,УМН. 1969. Т. 24, № 5. С. 235-236.

9. Карасев М. В., Маслов В. П. Асимптотическое и геометрическое квантование // УМН. 1984. Т. 39, № 6. С. 115-173.

10. А. А. Кириллов. Геометрическое квантование II Динамические системы 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 4, ВИНИТИ, М. 1985. С. 141-176.

11. Б. Костант. Квантование и унитарные представления II УМН. 1973. Т. 28, № 1. С. 163-225

12. Трещев Д. В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: Фазис. 1998.

13. Д. Трещев. Квантовые наблюдаемые: алгебраический аспект // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2005. Т. 250. С. 226-261.

14. Трещёв Д. В. Некоммутативные структуры II Тр. МИАН. 2007. Т. 259. С. 203-242.

15. Фаддеев Л.Д., Якубовский O.A. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л., Изд-во ЛГУ. 1980.

16. Bambusi D., Graffi S. and Paul T. Normal forms and quantization formulae // Commun. Math. Phys. 1999. V. 207. P. 173—195.

17. Bay en, F., Flato, M., Fronsdal, C., Liehnerowiez, A., and Sternheimer, D. Deformation theory and quantization, I and II // Ann. Phys. 1977. V. 111. P. 61—151.

18. Bellissard J. and Vittot M., Heisenberg's picture and noncommutative geometry of the semiclassical limit in quantum mechanics // Ann. Inst. H Poincarre Phys. Threor. 1990. V. 52. P. 175-235.

19. Cherry T. M., On the solution of Hamiltonian systems of differential equations in the neighborhood of a singular point // Proc. London Math. Soc. 1927. V. 2. P. 151-170.

20. Chierchia L., Gallavotti G. Drift and diffusion in phase space. // Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 1994. V. 60, N. 1. P. 1-114.

21. Connes A. Noncommutative Geometry, Academic Press, San Diego. 1995.

22. Duistermaat J. J., Hôrmander L. Fourier integral operators. II // Acta Math. 1972. V. 128. P. 183-269.

23. Dulac H. Solutions d'une systme d'équations différentielles dans le voisinage des valeurs singulires // Bull. Soc. Math, de France. 1912. V. 40. P. 324— 383.

24. Grerard C. and Sjôstrand J. Semiclassical resonances generated by a closed trajectory of hyperbolic type // Commun. Math. Phys. 1987. V. 108. P 391-421.

25. Hôrmander L. Fourier integral operators I // Acta Math. 1971. Y. 127. P. 79-183.26. lantchenko A. and Sjôstrand J. Birkhoff normal forms for Fourier integral operators II // Am. J. Math. 2002. V. 124. P. 817-850.

26. Kaidi N. and Kerdelhure P. Forme normale de Birkhoff et rresonances // 1 Asymptotic Anal. 2000. V. 23. P. 1-21.

27. Karasev M. Noncommutative Algebras, Nano-Structures, and Quantum Dynamics Generated by Resonances I // AMS Translations, Ser. 2, AMS, Providence, RT. 2005. V. 216. P. 1-18.

28. Karasev M. Noncommutative Algebras, Nano-Stractures, and Quantum Dynamics Generated by Resonances II // Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 2005. V. 11. P. 33-56.

29. Karasev M. Noncommutative Algebras, Nano-Structures, and Quantum Dynamics Generated by Resonances III // Russian Journal of Mathematical Physics. 2006. V. 13, N. 2. P. 131-150.

30. Moser J. The analytical invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point // Comm. Pure Appl. Math. 1956. V. 9, N. 4. P 673-692.

31. Moser J. On the generalization of a theorem of Liapounoff // Comm. Pure Appl. Math. 1973.V. 11. P. 257-271.

32. Poincare H. These. Ouevres, 1. 1879. Paris. 1928.

33. Sjostrand J. Semi-excited states in nondegenerate potential wells // Asymptot. Anal. 1992. V. 6, P. 29-43.

34. Sjostrand J. Resonances associated to a closed hyperbolic trajectory in dimension 2 // Asymptot. Anal. 2003. V. 36. P. 93—113.

35. Waalkens H., Schubert R., Wiggins S. Wigner's dynamical transition state theory in phase space: classical and quantum // Nonlincarity. V. 21. P. 1—118.

36. Williamson J. On an algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical system // Amer. J. of Math. 1936. V. 58, N 1. P. 141-163.Публикации автора по теме диссертации

37. A. Anikin. Normal Form of a Quantum Hamiltonian with One and a Half Degrees of Freedom Near a Hyperbolic Fixed Point // Regular and Chaotic Dynamics. 2008. V. 13, N. 5. P. 377^102.

38. А. Ю. Аникин. Квантовые нормальные формы Биркгофа // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 160, № 3. С. 487—506

39. Anikin A.Yu. Non-commutative normal forms // Advances in Mechanics: Dynamics and Controll: Proceedings of the 14th International Workshop on Dynamics and Controll. 2008. P. 30-37.