Обобщенный принцип сжимающих отображений и периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОЛЯКОВА Лусине Азатовна

ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02 - «дифференциальные уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

Воронеж — 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико - математических наук,

профессор ПЕРОВ Анатолий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ПОКОРНЫЙ Юлий Витальевич

доктор физико - математических наук, профессор ТЮРИН В асилй Михайлович

Ведущая организация — Институт проблем передачи информации РАН

Защита состоится 5 декабря 2006г. в 15.40 на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор ф,- м. наук, профессор

СМАГИНВ.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При изучении различных задач теории нелинейных колебаний первостепенное место занимает исследование установившихся процессов (стационарных, периодических, условно периодических, почти - периодических и т.п.). Настоящая работа посвящена изучению периодических решений слабо нелинейных (квазилинейных) дифференциальных уравнений, возникающих в различных приложениях.

Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений изучают с помощью различных методов - это и метод точечных отображений Пуанкаре - Андронова, и топологический метод Т. Ва-жевского, и предложенный М.А. Красносельским и А.И. Перовым метод направляющих функций, и вариационные методы и т.д.

В теории нелинейных колебаний среди общих положений нелинейного анализа хорошо себя зарекомендовал и нашел разнообразные применения обычный принцип сжимающих отображений (К.О. Фридрихе, Дж. Стокер, К. Кордуняну, Б.П. Демидович, Дж. Хейл и др.)

В основу диссертации положен метод интегральных уравнений, который применительно к периодическим решениям обстоятельно изучен в книге E.H. Розенвассера "Колебания нелинейных систем". Отметим, что в книге М.А. Красносельского, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова "Нелинейные почти периодические колебания "этот метод с успехом был применен к изучению почти - периодических решений.

Целью работы является развитие обобщенного принципа сжимающих отображение и получение, с его помощью, новых признаков существования и единственности (или только существования ) периодических решений нелинейных (квазилинейных) дифференциальных уравнений, нелинейных дифференциально - разностных уравнений и нелинейных систем автоматического регулирования.

Методы исследования. При выполнении работы использовались: метод интегральных уравнений, элементы теории полуупорядоченных пространств, элементы теории обобщенных метрических пространств,

обобщенный принцип сжимающих отображений, принцип Шаудера.

Научная новизна определяется тем, что

- дано полное доказательство обобщенного принципа сжимающих отображений в форме, предложенной А.И. Перовым, на основе критерия Мсцлсра - Котслянского; установлены некоторые новые свойства а - матриц и b - матриц;

- доказаны теоремы существования и единственности (или только существования) периодических решений одного класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений;

- построена функция Грина для задачи о периодических решениях линейных дифференциально - разностных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента, на знак которых не налагается никаких ограничений; найдено необходимое и достаточное условие существования и единственности периодической функции Грина для такой задачи;

- указаны различные признаки существования и единственности (или только существования) периодических решений нелинейных дифференциально - разностных уравнений, правые части которых удовлетворяют условию Липшица или условию типа Липшица;

- предложено обобщение теоремы существования вынужденных периодических колебаний некоторых нелинейных систем автоматического регулирования, предложенной A.M. Красносельским, дана оценка решения, найдено условие единственности (обобщение состоит в том, что нелинейностям разрешается зависить не только от самих искомых функций, но и от их производных).

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть применены при исследовании периодических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейных дифференциально - разностных уравнений и нелинейных дифференциальных уравнений автоматического регулирования.

Аппробация работы. Основные положения диссертационной ра-

боты были представлены в виде докладов и обсуждались на: семинарах кафедры нелинейных колебаний (рук. проф. Перов А.И.); международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения", г. Воронеж, 2005г; Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения

- XVII", г. Воронеж, май 2006г; на отчетных конференциях ВГУ за 2005г., 2006г.; всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения", г. Рязань, 2006г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 работ. В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задачи и направление в котором нужно провести исследования, а подробное проведение доказательств и рассуждений принадлежит диссертантке.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 параграфов, изложенных на 128 страницах машинописного текста и список литературы из 64 наименований.

Краткое содержание работы

Первый параграф посвящен изложению обобщенного принципа сжимающих отображений, а также изучению свойств а - матриц и Ь

- матриц, которые используются в качестве констант сжатия в обобщенном принципе сжимающих отображений.

Вводится в рассмотрение обобщенное метрическое пространство М, в котором расстояние между точками ж и у определяется следующим образом р(х,у) е Д", и р(х, у) > 0; р{х,у) = 0 <=> ж = у; р(х,у) = p{y,x)l р{х,у) < p{x,z) + p{z,y).

Отображение iF: М-* М называется обобщенным сжатием, если

рСЭ'яв.У») < Qp(ac, »), . (1)

где Q - есть а - матрица. (2)

Неотрицательная n х п - матрица Q называется а - матрицей, если положительны все главные миноры матрицы I-Q, где I есть единичная

п х п - матрица. Согласно лемме Д.М. Котелянского если положительны последовательные главные миноры

1 - 9и -912 — — <?1п —912 1 - 922 -?2п

1 - 911 > О, 1 — 911 -912 -921 1 - 922

> О

Яп71

> 0, (3)

—9п1 -?п2

то положительны все главные матрицы I-Q, и, следовательно, матрица Q является а - матрицей.

Данное нами определение тесно связанно с теоремой Мецлера, гласящей, что для того, чтобы спектральный радиус неотрицательной матрицы Q был меньше единицы, (spr Q <1) необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные миноры матрицы I-Q; иными словами Q должна быть а - матрицей.

Критерий (3) - есть необходимое и достаточное условие того, что спектральный радиус неотрицательной матрицы меньше единице. Данный критерий в диссертации был назван критерием Мецлера - Коте-ляского. Его вид, очевидно, сравним с критерием Сильвестра положительной определенности квадратичной формы и критерием Рауса -Гурвица асимптотической устойчивости алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами.

Теорема 1.4. Обобщенный принцип сжимающих отображений (Перов А.И. Вестник ВГ"У 2005г.) Пусть удовлетворяющее условиям (1) и (2). Тогда отображение iF имеет единственную неподвижную точку х. Для любой точки а из М неподвижная точка х лежит в шаре

р(х, а) < (I-Q)~V(a. Sa)-Она может быть получена методом последовательных приближений хМ = ifW*-1!; к — 1,2,..., отправляясь от произвольной точки из М. Скорость сходимости последовательных приблиоюений оценивается следующим образом

р{х, sM) < (I-Q)-1Q*p(a;M, я;И), fc = 1,2.....

Пусть М - обобщенное компактное метрическое пространство,

отображение 9": М —> М удовлетворяет условиям

р(ЗГх, 5-у) < С& р(х,у), х, у ем, ^

(причем знак равенства исключен, если х ^ у),

где О, - есть Ь - матрица. (5)

Неотрицательная п х п - матрица С} называется Ь - матрицей, если одновременно неотрицательны все главные миноры матрицы 1-С2; если хотя бы один из них равен нулю; если указанный минор имеет собственный вектор с положительными компонентами, то равны нулю все элементы матрицы С}, лежащие в выбранных столбцах и не попадающие в выбранные строки, (§у = 0, г ф г'1,г ф ¿2, ...,г ф гр; з = 4,3 — ¿2, ■••>3 =

Если Q является Ь - матрицей, то 0 < С}, яргС^ = 1, однако в отличие от а - матриц это свойство не является характеристическим, т.е. не любая неотрицательная матрица, спектральный радиус которой равен единице, является Ъ - матрицей. Так, например, при п = 2

{1 0\ [О 1 \ /1

матрицы ^ ^ 1 ] ' ^ 1 0/'\,0 / ЯВЛЯЮТСЯ " матРиЧами) в то

время как I г } ] не является Ъ- матрицей. Указанное выше свой-

V 2 2 /

ство становится характеристическим, если неотрицательная матрица Р является положительной или неразложимой.

Теорема 1.6. Пусть отображение 3* переводит обобщенное компактное метрическое пространство М в себя и удовлетворяющим условиям (4) - (5). Тогда отображение ?вМ имеет единственную неподвижную точку х и она может быть получена методом последовательных приближений, отправляясь от произвольного начального элемента х И 6 М.

В диссертации дано еще одно определение а - матриц и Ь - матриц. Для того, чтобы неотрицательная матрица СЗ являлась а - матрицей необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная строка I > 0, для которой ¡С} < I. Для того, чтобы неотрицательная матрица (¡2, спектральный радиус которой равен единице, являлась Ь - матрицей

необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная строка I > 0, для которой < I (Э.М. Мухамадиев, В.Я. Стеценко).

Во втором параграфе обобщенный принцип сжимающих отображений применяется для получения достаточных признаков существования и единственности периодических решений слабо нелинейных (квазилинейных) дифференциальных уравнений.

В работе рассматривалось нелинейное дифференциальное уравнение п - то порядка следующего вида

а0 хи + сцх1-71'*1 + ... + ап-г± + с^х = /(*, х, х,..., г(п_1)), (6)

в котором коэффициенты ао, ...,ап являются постоянными, а нелинейная функция непрерывна и и - периодичена по времени í и удовлетворяет условию Липшица

п-1

|/(4,х0,»..Яп-ч) - /(*,2/о,Уи-,Уп-\)\ -У]\, (7)

.7=0

где 10,...,1п^1 - некоторые неотрицательные постоянные (константы Липшица).

Данная задача рассматривалась в предположении, что выполнено условие нерезонансности

2тг

Ь{?кв)ф 0, к = 0, ±1, ±2,..., 0 = —, (8)

ю

где Ь(А) - есть характеристический полином

Ь(Х) = а0 А" + ахА"-1 +... + а^А + ап. Известно, что для линейного неоднородного дифференциального уравнения

а0а:(п) + а1ж(п_1) + ... + ап^х + апх = (9)

где /(4) непрерывная ш - периодическая функция, в этом случае существует (единственная) приведенная и> - периодическая функция Грина, с помощью которой единственное и - периодическое решение х (4) уравнения (9) записывается в виде Х(Ь) =

о

В рассмотрение вводятся следующие интегральные операторы

ы

(XP,f)(t) = / — s)f(s)ds, р = О, ...,п — 1, для которых спра-

о

и

ведливы следующие утверждения: эзр = ||ЭСр||с = I \G^(t)\dt, ар =

о

\\Хр\\ь = sprXp = max.\{ikey'/L{ik&)\, причем доказано, что oq < Еео, к

Ср < 0Йр, р=1,...,п-1 (в первом случае, кроме того; даны необходимые и достаточные условия, когда имеет место знак равенства).

Используя обобщенный принцип сжимающих отображений доказывается

Теорема 2.4. Пусть выполнено нерезонансное условие (8). Пусть нелинейная функция непрерывна uui - периодична по времени t и удовлетворяет условию Липшица (7) по пространственным переменным. Пусть выполнено условие

п-1

^ = £>¿ = ^<1, (10) 1=0

в котором а — coI(oq, ..., crn_j), a I = (lo,...,ln-i). Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (6) имеет единственное и> - периодическое решение х. Для этого решения справедливы оценки

Н*<011* < т—-ll/olli,, < = 0,1,.... п-1,

J- 4<г

где fo(t) - это непрерывная и - периодическая функция f(t, 0,..., 0). Периодическое решение х можно получить методом последовательных приближений

аохШ") + +... + a»®W = f(t, ..., ^¡^(i)), (11)

k = 1,2,..., причем имеет место следующие оценки погрешности

рм _ < - хМ«|и2,г = 0,1,...,п-1.

j=o

В случае, когда нелинейная функция / определена на параллелепипеде

Ы<А, г = 0,1,...,п-1, (12)

где Aq, ...,A„-i некоторые положительные числа, теорема существования и единственности и> - периодического решения уравнения (6) принимает вид

Теорема 2.5. Пусть выполнено условие нерезаносности (8) и,

значит, существуют положительные постоянные а0, ...,<7п_ъ и

пусть ап = sup [ (ik0)n/Ь(гкв) \. Пусть нелинейная функция к

,f(t.xr\____,x„_i) непрерывна и и) - периодична по времени tue параллелепипеде (12) удовлетворяет условию Липшица по пространственным переменным. Пусть выполнено основное условие (10). Пусть, наконец, выполнены дополнительные условия

т~г ( Тр-зар) ИЛЬ* - Аз> з = 1. -,п-1.

I — qa \j+i<p<n /

Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (6) имеет единственное w - периодическое решение х. Для этого решения справедливы оценки

Шс < rk (V» + ИЛ"*-

Pü)ll с < т~ (.mmnTHap) \\foh2, j = l,2,...,n- 1.

где Tp = w3>_1/'2 1 , а B2p - числа Бернулли.

Теорема 2.6. Пусть п > 1. Пусть выполнено условие нерезонан-стости (8). Пусть нелинейная функция непрерывна и и - периодична по времени t, и в параллелепипеде (12) удовлетворяет условию Липшица по пространственным переменным; тем самым определены постоянные Iq, ..., ln-i, которые мы считаем положительными. Пусть выполнено основное условие

п-1

= ffili = lcr = 1, <=0

Пусть Ji П Зг П... П Jn = Д где Jp = {k : <jp = \(ik9)p / Цгкв)\}. Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (6) в параллелепипеде (12)

имеет единственное ш - периодическое решение и это решение может быть получено методом последовательных приближений (11), отправляясь от любой непрерывной вместе с производными до (п—1) - го порядка включительно и> - периодической функции х1°1, для которой |г»!°!(г)| < Л, ¡=0,...,п-1.

Кроме того, в диссертации были получены аналогичные результаты для случая, когда оператор ЭСР действует в пространстве С, при этом в основном условии вектор сг был заменен на ее, а вместо норм в пространстве Ь2 рассматривались нормы в С.

Третий параграф посвящен изучению нелинейных дифференциально - разностных уравнений с правой частью, удовлетворяющей условию Липшица (или типа Липшица), в нем получены достаточные условия существования и единственности (или только существования) периодических решений.

Рассмотрено нелинейное дифференциально - разностное уравнение

тп п

+ Ы) = /(«, ®(*), х{1 + АО.....+ л™)), (13)

!=0 }=0

где ау - комплексные числа, }ц - отклонения аргумента, а нелинейная функция в правой части является и> - периодичной и удовлетворяет условию Липшица

т п— 1

|/(<,®у) - /(4,»у)I < ЕЕ^'^У - (14>

¿=0 3=0

или условию типа Липшица

т п-1

|/(г,*у)|<а+53Х>'М- (15)

1=0 3=0

где /(4, гу) = /(¿.жоо, •••, ^то, ■ &0п-1> —,хтп-1), а Хц — +

Уравнение (13) рассматривалось в предположении, что оператор £ является регулярным, т.е. линейное неоднородное уравнение

т п

= Е Е ачхи)(-г+= (=0 7=0

имеет единственное ш - периодическое решение при любой непрерывной и и> - периодической f(t). Было установлено, что для этого необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия

L(ik9) ф 0, в = 2тг/«и, к = 0, ±1,..,\щщ\ < с?,р = 0,..., п - 1. (17)

m п

где L(À) = £ Е оуА'е^.

г=0 j=О

Также доказано, что в этом случае существует (единственная) приведенная и> - периодическая функция Грина с помощью которой единственное и> - периодическое решение x(t) уравнения (13) записывается

ы

в виде x(t) = / G(t — s)f(s)ds. о

Были введены в рассмотрение интегральные операторы следующе-

<л>

го вида (ЗСP,f){t) = — s)f(s)ds,p = Q,...,n — 1, для которых

о

W

справедливы следующие утверждения: еер — ||ЭСР||с =

о

ор = ||ЭСр||хг = sprXp = raax | (ik6)p/L[гкв)|, причем доказано, что сг0 < аво> о? < вар, Р = 1, — 1 (в первом случае, кроме того, даны необходимые и достаточные условия, когда имеет место знак равенства).

Теорема 3.7. Пусть выполнены условия регулярности (17). Пусть нелинейная функция f(t, x,j) непрерывна и и> - периодична по времени t и удовлетворяет условию Липшица (14) по пространственным переменным. Пусть выполнено основное условие

п

q„ = ffp/p = 1er < 1, (18)

р=0

где о- = coZ(<roi ■■•)",n-i)i * = (¿о.....in-i)> h - hj + — + lmj- Тогда

нелинейное дифференциальное уравнение (13) имеет единственное из - периодическое решение х. Для этого решения справедливы оценки

P(i)IUa < T-~ll/olUs, г = 0,1,...,п-1,

1 Ça-

еде /о(£) - это непрерывная ш - периодическая функция /(£, 0,...,0).

Периодическое решение х можно получить методом последовательных приближений

= + Л,-)). (19)

к = 1,2,..., причем имеет место следующие оценки погрешности

P« < -x\m)\\L2)i = 0,1.....п-1.

j=о

Теорема 3.8. Пусть выполнены условия (17) и, значит, существуют положительные постоянные ио,..., сгп-\, и пусть ап =

svtp\(ike)n/L(ik9)\. Пусть нелинейная функция f(t,Xij) непрерывна к

и из - периодична по времени tue параллелепипеде (12) удовлетворяет условию Липшица по пространственным переменным. Пусть выполнено основное условие (18). Пусть, наконец, выполнены дополнительные условия

(Vo + НЛНъ < А<>>

ИЛИ^ - А>> 3 = 1 1-

■ Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (13) имеет единственное и) - периодическое решение х. Для этого решения справедливы оценки

№ < ll/ollz,. < ¡l/olU2. 3 = 1>2.....п - 1,

где Тр = и?-1'2 ^ , а В2р - числа Бернулли.

Теорема 3.9. Пусть п > 1. Пусть выполнены условия (17). Пусть нелинейная функция f(t,xtj) непрерывна и ы - периодична по времени t, и в параллелепипеде (12) удовлетворяет условию Липшица по пространственным переменным; тем самым определены постоянные Iq, ..., ¿n_i, которые мы считаем положительными. Пусть выполнено основное условие

п-1

Яа- = crJi = Icr — 1. i=0

Пусть Ji П J2 П ... П J„ = Д где Jp = {k : ap = \((кву/Цгкв)\}.

Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (13) в параллелепипеде (12) имеет единственное ш - периодическое решение и это решение может быть получено методом последовательных приближений (19), отправляясь от любой непрерывной вместе с производными до (п—1) - го порядка включительно ш - периодической функции ж!°1, для которой |ж«М(<)| < Аи i=0,...,n-l.

При доказательстве теорем был использован обобщенный принцип сжимающих отображений, изложенный ранее.

Как и во втором параграфе предложенные результаты были расширены на случай пространства С. Было установлено, что если /(i, Ху) удовлетворяет условию типа Липшица (15), то можно говорить лишь о существовании и - периодического решения уравнения (13).

Четвертый параграф посвящен рассмотрению систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями следующего вида

............................. (20)

Ьпфхп = Мпф/п&хи ...,X<'1-mi-1>,

где Lj(p) = ¿i + a{ph-'l + ... + a>h,MJ(p) = Ь^ + ^-Ч.-. + Ь^ > mj + 1 ,j — l,...,n. Система рассматривалась в предположении, что функции fj измеримые, ш - периодические по i и непрерывные по совокупности переменных почти при всех £, и что выполнены условия Lj(ik9) Ф 0, j = 1,...,п„ где i - мнимая единица, к = 0,±1,..., в — 2тг/о). Поэтому определены числа ст" = max\(ik9)aWj(ikd)\, а = 0,..., lj—nij—1, j = 1,..., п, где lVj(p) = Mj(p)/Lj(p), являются передаточными функциями соответствующих линейных звеньев Wj. Предполагались выполненными следующие условия

k= 1 V О=0 J

j = l,...,n, где a"k - некоторые неотрицательные постоянные, <Pj(t) -

неотрицательные измеримые ш - периодические функции, суммируе-

мые с квадратом на отрезке [0, w] .

Была построена матрица Q = DA - размерности N х N, (N =

а

(-Ail • • • Аы \

■ ' ■. • , где Aij = •Anl • • • Ann j

и доказана следующая

Теорема 4.2. Пусть неотрицательная квадратная матрица Q является а - матрицей ( это равносильно тому, ее спектральный радиус меньше единицы, ) Тогда система (20) имеет по крайней мере одно и> - периодическое решение. Если £i(t), ...,xn(t) - произвольное w - периодическое решение системы (20), то Xj(t) имеет непрерывные производные до порядка qj = lj — mj — 1, j = 1, ...,n.

Получена оценка периодических решений системы (20), найдено условие единственности и в этих условиях дана оценка скорости сходимости метода последовательных приближений.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Полякова Л.А. К теории обобщенного принципа сжимающих отображений /Л.А. Полякова //Труды молодых ученых ВГУ, - 2005. - Вып. 1 - 2. - С. 36-39.

2. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений n-ого порядка (С - теория) /Л.А. Полякова //Материалы международной научной конференции ТВМНА - 2005, Воронеж - 2005. - С. 90-92.

3. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений n-ого порядка (L? - теория) /Л.А. Полякова //Материалы международной научной конференции ТВМНА - 2005, Воронеж - 2005. - С. 92-95.

4. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка (С - теория) /Л.А. Полякова //Вестник факультета ПММ. - 2006,- №5. - С. 142-152.

<4, - "¡Г'-Л

5. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка L2 - теория) /Л.А. Полякова // Вестник факультета ПММ. -2006.- №5. - 2006. - С. 153-166.

6. Перов А.И. Вынужденные периодические колебания в нелинейных системах автоматического регулирования /А.И. Перов, Л.А. Полякова //Вестник ВГУ, Серия Физика, математика. - 2006. - № 1. - С. 176-181.

7. Полякова Л.А. Признаки существования и устойчивости периодических решений нелинейных разностных уравнений/ Л.А. Полякова //Понтрягинские чтения - XVII, Тезисы докладов школы. Воронеж -2006. - С.139-141.

8. Полякова Л.А. К вопросу об оценке спектрального радиуса неотрицательных матриц /Л.А. Полякова // Понтрягинские чтения - XVII, Тезисы докладов школы. Воронеж - 2006. - С. 141-143.

9. Полякова Л.А. Вынужденные колебания нелинейной следящей ■ системы / Л.А. Полякова, A.A. Жукова //Труды молодых ученых ВГУ, - 2006. - №1. - С. 14-18.

10. Перов А.И. Периодические решения дифференциально - разностных уравнений /А.И. Перов, Л.А. Полякова //Понтрягинские чтения - XVII, Тезисы докладов школы. Воронеж - 2006. - С. 131-133.

11. Перов А.И. Периодические решения дифференциально - разностных уравнений /А.И. Перов, Л.А. Полякова; Воронеж, ун-т. - Воронеж, 2006, - 47с. -Дет. в ВИНИТИ 23.05.2006, № 688 - В2006.

12. Полякова Л.А. Периодические решения дифференциально - разностных уравнений /Л.А. Полякова //Известия РАЕН, Дифференциальные уравнения. - 2006. - № 11. - С. 179-182.

Подписано в печать 30.10.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 859. Издательско-полиграфичесхий центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Введение

§1. Обобщенный принцип сжимающих отображений

1.1. Метрические пространства.

1.2. Принцип сжимающих отображений для полных метрических пространств.

1.3. Принцип сжимающих отображений для компактных метрических пространств.

1.4. Обобщенные метрические пространства

1.5. Обобщенный принцип сжимающих отображений для полных обобщенных метрических пространств.

1.6. Обобщенный принцип сжимающих отображений для компактных обобщенных метрических пространств

1.7. а - матрицы и b - матрицы

1.8. Свойства а - матриц и Ъ - матриц

1.9. Оценка спектрального радиуса а - матрицы.

1.10. Об одной теореме.

1.11. Комментарии.

§2. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений 36 2.1. Постановка задачи

2.2. Периодическая функция Грина.

2.3. С - теория.

2.4. L2 - теория.

2.5. Комментарии

3. Периодические решения нелинейных дифференциально

- разностных уравнений

3.1. Введение.

3.2. Основные предположения и постановка задачи

3.3. Нерезонансное условие.

3.4. С - регулярные дифференциальные операторы.

3.5. Периодическая функция Грина.

3.6. С - теория: обобщенный принцип сжимающий отображений и принцип Шаудера.

3.7. 1/2 - теория: обобщенный принцип сжимающий отображений и принцип Шаудера.

3.8. Пример, теорема Хейса.

4. Периодические решения теории автоматического регулирования

4.1. Введение.

4.2. Основные предположения и постановка задачи.

4.3. Теорема Красносельского и ряд ее уточнений.

4.4. Доказательство теоремы Красносельского и ряда ее уточненийШ

4.5. Z/2 - теория: обобщенный принцип сжимающих отображений

При изучении различных задач теории нелинейных колебаний одно из первых мест (если не первое место!) занимает исследование установившихся процессов, как-то: стационарных (то есть не меняющихся со временем), периодических, условно периодических, почти периодических и т.п. Диссертация посвящена периодическим решениям (вынужденным колебаниям) следующих нелинейных уравнений - обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциально - разностных уравнений и уравнений теории автоматического регулирования. Подчеркнем, что речь идет о периодических решениях с заранее известным периодом (периодом правой части).

Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений могут быть подвергнуты изучению с помощью различных методов - это и метод точечных отображений Пуанкаре - Андронова, и метод интегральных уравнений, метод направляющих функций Красносельского и Перова и вариационные методы и т.д. Диссертация всецело посвящена применению метода интегральных уравнений для исследования периодических решений указанных выше типов нелинейных дифференциальных уравнений.

Метод интегральных уравнений обстоятельно изучен в монографии Е.Н. Розенвассера "Колебания нелинейных систем"[51], имеющих подзаголовок "Метод интегральных уравнений". Интересно отметить, что ме~ тод интегральных уравнений с успехом был применен к изучению почти периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, что было продемонстрировано в монографии М.А. Красносельского, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова "Нелинейные почти периодические колебания"[14]. Для того, чтобы свести исследуемую проблему к системе нелинейных интегральных уравнений систематически используется периодическая функция Грина, которая в случае уравнений теории автоматического регулирования принимает облик амплитудно- частотной характеристики (АЧХ). После того, как исходная задача сведена к изучению системы нелинейных интегральных уравнений, к ней для установления условий существования и его единственности (или только существования) применяется обобщенный принцип сжимающих отображений (или принцип Шауде-ра).

Обобщенный принцип сжимающих отображений ведет свое начало с работы А.И. Перова [34], опубликованный в 1964 году, в которой впервые появились условия, названные в данной диссертации критерием Мецлера - Котелянского. Этот принцип дает необходимое и достаточные условия того, что спектральный радиус матрицы с неотрицательными элементами меньше единицы. Этот критерий внешне весьма напоминает классический критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы и критерий Рауса - Гурвица асимптотической устойчивости алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами.

Диссертация разбита на четыре параграфа и снабжена списком цитируемой литературы. Изложим вкратце основное содержание каждого параграфа.

§1. Обобщеный принцип сжимающих отображений.

В диссертации обобщенный принцип сжимающих отображений излагается как для полных (обобщенных) метрических пространств - аналог классического принципа Банаха - Каччиополли, так и для компактных (обобщенных) метрических пространств. В первом случае в формулировке теоремы участвуют а - матрицы (то есть матрицы, удовлетворяющие критерию Мецлера - Котелянского), а во втором случае b - матрицы, определение которых в общем случае выглядит достаточно громоздко (оно полностью приведено в тексте диссертации), В первом параграфе приводится с полными доказательствами как упомянутые выше варианты обобщенного принципа сжимающих отображений, так и различные свойства а - матриц и b - матриц.

§2. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Во втором параграфе приведены различные достаточные условия существования и единственности (или только существования) вместе с оценкой периодических решений и их производных, а также оценками сходимости метода последовательных приближений. Для оценок использованы метрики двух функциональных пространств - пространства Чебыше-ва С[0,и/], и пространства Лебега Ь2[0,и>]. В этом параграфе приведены теоремы, доказываемые с помощью b - матриц.

§3. Периодические решения нелинейных дифференциально - разностных уравнений.

В этом параграфе построена функция Грина задачи о периодических решениях для линейных дифференциально - разностных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента, на знак которых не налагается никаких ограничений. Указываются необходимое и достаточное условия существования и единственности периодической функции Грина и изучаются в пространствах С{0, о;] и -Zv2[0,oj] нормы и спектральные радиусы линейных интегральных операторов, связанных с периодической функцией Грина. Формулируются и с помощью метода интегральных уравнений доказываются различные признаки существования и единственности (или только существования) периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых удовлетворяют или условию Липшица, или условию типа Липшица.

При написании этого параграфа были использованы основополагающие работы А.Д. Мышкиса [23], Л.Э. Эльцгольца и С.Б. Норкина [60], В.П. Рубаника [52], В.Г. Курбатова [63], а также Э. Пинни [38] и Р. Белл-мана и К. Кука [4].

Отметим, что определенный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли воронежские математики: М.А. Красносельский, Ю.Г. Борисович, Б.Н. Садовский. В.В. Стрыгин и др.

§4. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений теории автоматического регулирования.

В этом параграфе на основе обобщенного принципа сжимающих отображений уточняется и обобщается теорема существования вынужденных периодических колебаний некоторых нелинейных систем автоматического регулирования, предложенная A.M. Красносельским [13]. Обобщение состоит в том, что нелинейностям разрешается зависить не только от самих искомых функций, но и от их производных.

В диссертации приняты следующие обозначения. Вектор - строка и вектор - столбец с компонентами ai,., ап обозначаются соответственно (ai,.,an) и со1(ах,. ап). Операция * означает транспонирование; например, если Q = (qij). то Q* — (qji). Спектральный радиус матрицы Q обозначается spr Q. Единичная матрица любого порядка записывается как I. Для п - мерных векторов а и b мы пишем а < b или а < b в зависимости от того di < bi или щ < bj при всех г = 1,. п. Аналогично для матриц. Если Q - неотрицательная квадратная матрица и Qh = ph., где h > 0 и р — spr Q, то h называется перроновым собственным вектором, а р - перроновым собственным значением. Начало и конец доказательства обозначаются значками □ и ■ соответственно.

Пусть А — (aij) - произвольная пхп~ матрица с комплексными элементами Ai,. Хп - полный набор ее собственных значений. Максимальный из модулей собственных значений называется спектральным радиусом матрицы А и обозначается spr А. Максимальная из вещественных частей собственных значений называется спектральной абсциссой матрицы А и обозначается spa А. Таким образом,

Минор матрицы А, построенный по срокам с номерами ii,.,ip и столбцам с номерами ji, .,jp обозначается spr А — max |A;|, spaA = max Re A^.

1. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально - дифференциальных уравнений/ Н.В. Азбелев. В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматулина. - М. Наука, 1991. - 277с.

2. Андронов А.А. Теория колебаний/ А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. М.:Гос изд-во Физ.-мат. лит-ры, 19-59. - 915с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц /Р. Беллман. М.:Наука, 1969. - 368с.

4. Беллман Р. Дифференциально разносные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548с.

5. Боровских А.В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А.В. Боровских, А.И. Перов . М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика: Институт компьютерных исследований, 2004 . - 540 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер .- 3-е изд. М.: Наука, 1967 .- 576 с.

7. Канторович JI.B. Функциональный анализ в нормированных пространствах / JI.B. Канторович, Г.П. Акилов М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959 .- 684 с.

8. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1968 .- 496 с.

9. Колатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика / Л. Колатц. М.: Мир, 1969. - 448с.

10. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука, 1969455 с.

11. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966 331 с.

12. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифщиц, А.В. Соболев,- М.: Наука, 1985. 256 с.

13. Красносельский М.А. Нелинейные почти-периодические колебания / М.А. Красносельский. В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов,- М. : Наука, 1970. -352 с.

14. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский .- М.: Наука, 1966 .- 499 с.

15. Векторные поля на плоскости / М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко .- М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит, 1963 .- 245 с.

16. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский .- М.: Физматиз, 1959. 212 с.

17. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах /P.M. Кроновер .- М.: Постмаркет, 2000.- 352 с.

18. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально разностные уравнения / В.Г. Курбатов .- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990.- 168 с.

19. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер М.: Наука, 1969. -280 с.

20. Лика Д.К. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний / Д.К. Лика, Ю. А. Рябов. -Кишинев: Изд-во "Штиинца", 1974. 291 с.

21. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев М.: "Высшая школа", 1982 .- 271 с.

22. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А,Д. Мышкис. М.: Наука, 1972. - 352 с.

23. Никитин О.И. К вопросу о приближенном нахождении периодических решений дифференциальных уравнений / О.И. Никитин, А.И. Перов // Дифференцильные уравнения. 1983. - 19,№11. - С. 20012004.

24. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975. - 560с.

25. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее приложения / М. Пароди. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. -172с.

26. Перов А.И. Об одном общем методе исследования краевых задач / А.И. Перов, А.В. Кибенко // Изв. АН СССР, сер. Математика, -1966. 30,№2. - С.249-264.

27. Перов А.И. Периодические решения нелинейных дифференциально разностных уравнений / А.И. Перов, Л.А. Полякова,: Воронеж. ун-т.-Воронеж, 2006. - 47с.: - Библиогр. 18 назв. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 23.05.2006, № 688-И 2006.

28. Перов А.И. Теорема Йорка и неравенство Вертингера / А.И. Перов // Математические заметки. 2001. - т.70, Вып. 2. - С.237-245.

29. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов .- Воронеж: Изд.-во Воронежского университета, 1981. 196 с.

30. Перов А.И. Вынужденные периодические колебания в нелинейных системах автоматического регулирования / А.И. Перов, ЛА. Полякова // Вестник ВГУ.Серия Физика, Математика. 2006. - № 1. - С.176-181.

31. Перов А.И. О задаче Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов //В кн.: Приближенные методы-решения дифференциальных уравнений, вып. 2. Киев: Наукова думка, 1964. - С. 115-134.

32. Перов А.И. Обобщенный принцип сжимающих отображений / А.И. Перов // Вестник ВГУ, Серия Физика,Математика. -- 2005. №1. -С.190-201.

33. Перов А.И. Периодические, почти-периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения х — f(t, х) / А.И. Перов// ДАН СССР. 1960. - т.4, №1-2, - С.199-213.

34. Перов А.И. Принцип сжимающих отображений в теории нелинейных колебани: учебное пособие / А.И. Перов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. - 63 с.

35. Пинни Э. Обыкновенные диффернциально разностные уравнения / Э. Пинни. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. - 248 с.

36. Полякова JI.А. Вынужденные колебания нелинейной следящей системы / Л А. Полякова А. А. Жукова / / Труды молодых ученых ВГУ. 2006. - Вып. 1. - С. 14 - 18.

37. Полякова Л,А. К вопросу об оценке спектрального радиуса неотрицательных матриц / Л.А. Полякова // "Современные методы теории кравевых задач"Международная Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVII". Воронеж, 2006.- С. 141-143.

38. Полякова Л.А. К теории обобщенного принципа сжимающих отображений / Л.А. Полякова // Труды молодых ученых ВГУ. 2005.- Вып. 1-2. С. 36-39.

39. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений n-ого порядка (.^-теория) / Л.А. Полякова // Вестник факультета ПММ. 2006. - №5. - С. 153-166.

40. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений n-ого порядка (С-теория) / Л.А. Полякова // Вестник факультета ПММ. 2006. - №5. - С. 142-152.

41. Полякова JI.A. Признаки существования и устойчивости периодических решений нелинейных разностных уравнений / Л.А. Полякова // Материалы Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XVII". - Воронеж,2006. - С. 139-141.

42. Полякова Л.А. Периодические решения дифференциально разностных уравнений / Л.А. Полякова // Известия РАЕН, Дифференциальные уравнения. - 2006. - № И. - С. 179-182.

43. Пуанкаре А. О кривых, определенными дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. М,- Ленинград: Гостехидат, 1947. - 392с.

44. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем. Метод интегральных уравнений/ Е.Н. Розенвассер. М.: Наука, 1969. - 576 с.

45. Рубаник В.П. Колебаний квазилинейных систем с запаздыванием / В.П. Рубаник. М.: Наука, 1969. - 288 с.

46. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1953. -256 с.

47. Треногин В.А, Функцианальный анализ / В.А. Треногин. М.: Наука, 1980. - 496 с.

48. Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. М.- Ленинград: Физматиз, 1972. - 352 с.

49. Халанай А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер. М.: Мир, 1971. - 312 с.

50. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. М.: Мир, 1969. - 232 с.

51. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филиппе. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. - 832 с.

52. Чезари Л. Асимптотическиое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифеернциальных уравнений / Л. Чезари. М.: Мир, 1964. - 480 с.

53. Эльцгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с откланяющимся аргументом / Л.Э. Эльцгольц, С.Б. Норкин. -М.: Наука, 1971. 296 с.

54. Bernfeld S.R. An Introduction to Nonlinear Boundary Value Problems / S.R. Bernfeld, V. Lakshmikantham //Mathematics in Seince and Engineering. Academic Precc, 1974. - Vol. 109. - 386 p.

55. Kamenskii M. Am averaging method for singulary perturbed system of semilinear differetial inclusions with Cq semigroups/ M. Kamenskii, P. Nistri // Set.-Valued Analysis. - 2003. - Vol.11, N.4. - pp. 345-357.

56. Kurepa J. Tablecux ramifies d'ensembles, Espaces pseudodistancies / J. Kurepa // C.R. 1934 - 198. - P.1563-1565.

57. Zabrejko P.P. К metric and К - normed linear spaspases:survey/ P.P. Zabrejko // Collect. Math. - 1997. - vol. 48, 4-6. - P.825-859.