Функция спектрального сдвига в пределе большой константы связи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПУШНИЦКИЙ Александр Борисович

ФУНКЦИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО СДВИГА В ПРЕДЕЛЕ БОЛЬШОЙ КОНСТАНТЫ СВЯЗИ

специальность 01.01.03 — математическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Содержание

1 Введение 3

1 Постановка задачи ..........................................................3

2 Обозначения. Предварительные сведения................................4

3 Функция спектрального сдвига............................................9

4 Основной результат работы................................................12

5 Оператор Шредингера ......................................................14

6 Оценки для ФСС ............................................................15

7 ФСС в пределе большой константы связи................................17

2 Представление для ФСС 20

8 Доказательство основной теоремы ........................................20

9 Величины Л/± как функции от А, К, а....................................24

10 Величины Л/± как функции от Но) Сг, А..................................31

11 Представление (4.6): относительно ядерные возмущения ..............35

3 Вспомогательные факты об операторе Шредингера 41

12 Определение. Свойство доминации........................................41

13 Спектральные оценки и асимптотики ....................................44

4 Интегральные оценки для ФСС 51

14 Абстрактные результаты....................................................51

15 Приложения ..................................................................57

5 ФСС в пределе большой константы связи 60

16 Считающие функции в пределе большой константы связи ............60

17 Поточечная асимптотика....................................................64

18 Интегральная асимптотика ................................................67

19 Заключение....................................................................71

Глава 1

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Модель Рассмотрим оператор Шредингера Но = —Л + и(х) в Х^О^)) (1 > 1, где II — некоторый периодический потенциал. Оператор Но есть гамильтониан электрона, находящегося в поле решетки некоторого ¿-мерного кристалла (без учета взаимодействия данного электрона с остальными свободными электронами кристалла — "одноэлектронное приближение"). Как хорошо известно, оператор Но имеет зонный спектр.

Далее, пусть в кристалл введена некоторая примесь, локализованная в конечной области пространства. Предположим, что количество атомов примеси можно каким-то образом менять. Модельным гамильтонианом для такой задачи может служить оператор Н(а) = Щ — аУ, где V = V(х) - потенциал, создаваемый одним атомом примеси, а а > 0 — параметр (константа связи), который можно интерпретировать как количество атомов примеси. Непрерывный спектр оператора Н(а) совпадает со спектром Но. В отличие от Но, оператор Н(а) может иметь дискретный спектр в лакунах непрерывного. При изменении константы связи а дискретный спектр оператора Н(а) изменяется.

1.2 Поток собственных значений Предположим для простоты, что потенциал V неотрицателен: V > 0. Тогда все собственные значения Хп(а) оператора Н(а) являются невозрастающими функциями параметра а. Пусть (А_,А+) — лакуна в спектре оператора Но. При непрерывном росте а собственные значения Ап(а), находящиеся в лакуне (А_, А+), двигаются справа налево (т.е. в сторону отрицательных энергий) и в конце концов "исчезают" на левом крае А_ лакуны. В то же время, на правом крае А+ при росте а "рождаются" собственные значения. Таким образом, мы приходим к следующей картине: при росте а имеется поток собственных значений справа налево; этот поток "течет" в лакунах, "просачиваясь" через непрерывный

спектр.

Этот поток подчиняется некоторому асимптотическому закону сохранения. Именно, для точки Л из лакуны спектра Н0 обозначим через N+(X,a) количество собственных значений (с учетом кратностей) оператора H(t), проходящих через Л при монотонном росте параметра t от 0 до а. Оказывается, что при достаточно быстром убывании V(x) на бесконечности главный член асимптотики величины N+(X,a) при а —V оо не зависит от Л:

где — объем единичного ¿-мерного шара.

1.3 ФСС Настоящая работа посвящена функции спектрального сдвига (ФСС) — важному объекту спектральной теории, введенному физиком-теоретиком И. М. Лифшицем в 1952 г. и впоследствии изученному М. Г. Крейном. ФСС £(А) для пары операторов Но, Н(сх) является естественным аналогом "считающей функции" М+ (А, а) на непрерывном спектре. Основной результат работы (см. параграф 4) — некоторое новое формульное представление для ФСС. Из этого представления, в частности, вытекают некоторые интегральные оценки для ФСС, а также асимптотическое соотношение вида (1.1) для ФСС на непрерывном спектре.

2 Обозначения. Предварительные сведения

2.1 Общие обозначения Обозначения Н, Z, К, С имеют стандартный смысл; 1+ = {0}им, - (0,1)й С Г*, С+ = {г е С I 1тг > О}. Стандартное скалярное произведение и норма в Са обозначаются через (•, •) и |-|; 1 — единичная йхй-матрица. Через теав5 обозначается мера Лебега борелевского множества 8 С М; есть объем единичного шара в К6*. Характеристическая функция множества М обозначается через \м\ в(х) = Х(0,оо)(х), х 6 К. Количество элементов множества М обозначается через фМ. Интеграл без указания пределов интегрирования подразумевает интегрирование по Формулы и утверждения с двойными индексами (± и следует читать как пары независимых утверждений, в одном из которых все индексы принимают верхние значения, а в другом — нижние. Через С, с обозначаются различные оценочные постоянные; константа, впервые появляющаяся в формуле с номером (г^), обозначается через С. В утверждениях, включающих в себя оценки сверху, мы предполагаем конечными все величины (нормы и интегралы) в правых частях, не оговаривая этого особо в формулировках. Для вещественнозначной функции / мы полагаем /± := (|/| ± /)/2.

2.2 Функции Пусть О С — открытое множество. Пространства Со°(П), Ьр(С1), Хр>1ос(П) определяются обычным образом. Нг(0,) — пространство Соболева и — замыкание Со°(0) в #Х(Г2). Пространство

(1.1)

состоит из таких функций /, что |/|log(l + |/|) G Li(Cl). В пространстве L logL(O) можно ввести норму Орлича, соответствующую функции B(s) ~ (1 + |s|)log(l + |s|) — |s| (см. [61, 62]). Определим слабые Х^-классы. Для измеримой функции / положим

pf(t) = meas {х е | \f(x) >t}, t> 0.

Класс LP:OO(0,), 0 < р < оо, состоит из функций / таких, что конечна квазинорма

\\f[\Lp¡co := suPí(P/(í))1/p-í>0

Классы XPj00(fi) несепарабельны. Сепарабельное подпространство Lp>(X(Q) С ip,oo(íí) выделяется условием

tppf(t) -» 0 при t ->• 0 и í ->■ оо.

Далее, пусть L — любой из классов Lp, LP!OC, LPjO0- Решеточный класс ZT(Zd; L(Qd)), г > 0, состоит из таких функций, что

:= S IMII(Q"+¿)

\j£Zd

а класс l00(Zd; L(Qd)) — из таких функций, что

IMIioo(£) sup ||u||L(Qd+j) < оо. j&d

Подпространство l^(Zd\L(Qd)) С l00(hd-, L(Qd)) выделяется условием

IMIw+j) 0 пРи lil

Наконец, запись / б Lioc(fi), как обычно, означает, что сужение / на любой компакт К C.Q принадлежит классу L(K).

2.3 Операторы Ниже %, Hi, Н2 — сепарабельные гильбертовы пространства. Для линейного оператора А обозначения DomA, Ran А, КегА, rank А, А*, А(г(А), р(А) имеют стандартный смысл. А — замыкание оператора А, I — единичный оператор, |А| = {A*A)1/2, R(z,A) = {А - zl)"1. Для самосопряженного оператора А символ Дд(<5) обозначает спектральную меру борелевского множества S С К; А± :— (|А| ± Л)/2\ ар(А), аас(А) обозначают соответственно точечный и абсолютно непрерывный спектры А и т(А) := inf а(А).

Через B(Hi,H2) и &00(Hi,'H2) обозначаются соответственно пространства ограниченных и компактных операторов, действующих из Hi в Н2', В(%) := В{%,%), 6оо(Н) := &оо{Н,Н). Для Т = Т* G &оо{Н) и 8 > 0 мы обозначаем

/'

< оо,

n±is>T) := ranki£±r((s,+00)), а для T e ©00(^1^2) полагаем n(s,T) := n+(s2,T*T). При этом ясно, что для Т = Т* имеем n(s,T) = n+(s,T) + n_(s,T).

Для компактных самосопряженных операторов Ti, Т2 имеет место оценка (см., напр., [7])

n±(si + S2,Ti + T2) <П±(в1,Г1)+П±(52>Г2), si, s2>0, (2.1)

которая может быть записана в виде

n±{sí,T1 + T2)>n±(s1 + s2,T1)-n4:{s2,T2), Si, s2>0. (2.2)

Если Т = Т* е &оо{П), а Б € В (П), ||Я|| < 1, то

n±(s,BTB*) <n±(s,T), s > 0. (2.3)

2.4 Классы компактных операторов Для 0 < р < оо класс Неймана-Шаттена &р(11и'Н2) С ©оо(^1,^2) есть множество операторов Г таких, что конечен функционал

/ roo \ 1/р

1|Т||вг> := Wo • (2-4)

Функционал У • ||@р есть норма при р > 1 и квазинорма при р < 1. Отметим неравенство

\\TiT2\\6p <||Ti||eJ|T2||6r, р"1 = Г1 + г"1. (2.5)

Для 0 < р < оо класс mp('Hi,'H2) С вooÍHi^Hq) есть множество всех компактных операторов Т таких, что конечен функционал

||Г||Е,:= (sup Г)) /Р ■ (2-6)

\8> 0 /

Функционал У • ||sp является квазинормой. Классы ЕД'Нь'Нг) несепарабельны (при dirndl = d.mi%2 = 00); сепарабельное подпространство С определяется условием

Sj := {Т е £р I Дт^п^Т) = 0}. Отметим, что С Для Т = Т* е &оо вводятся функционалы

Д^(Т) := lim sup spn±(s,T), (2.7)

S—»-ОО

¿(±) (Г) lim inf spn± (s, T), (2.8)

s—»-оо

так что 0 < ¿^(Т) < Др^(Г) < оо. Функционалы Др^, óp^ непрерывны в Кроме того,

Д(±)(Г1) = А^(Т2) если Тг - Г2 е (2.9)

Последнее утверждение, по существу, есть асимптотическая лемма Г. Вейля. Подробнее о функционалах Sp^ см. [7] и [8].

2.5 Операторные суммы Пусть H — основное, а К — вспомогательное гильбертово пространство, Но — самосопряженный оператор в H и G : Ti —У К — линейный оператор. Предположим, что

Dom|#o|1/2 cDomG, G(|tf0| + /)~1/2 G ©«>(?*,К). (2.10)

Далее, пусть

Ф = Ф* € В (/С). (2.11)

Ниже мы определяем самосопряженный оператор H = Яф(Яо, G), отвечающий формальной сумме Но + G*<&G. Для 2 G р(Но) определим компактный в К оператор

T(z- Н0, G) := (G(|#o| + /Г1/2)(|Я0| + I)R(z, H0)(G(\H0\ +1Г1/2)*. (2-12)

Если G замыкаем и, следовательно, G* плотно определен, то оператор T(z;Hq,G) может быть определен как замыкание оператора GR{z,Ho)G*. Мы будем писать T(z) или Т вместо T{z\Hq,G), если выбор операторов Но и G ясен из контекста.

Несложное рассуждение (см., напр., [63, п. 1.10]) показывает, что при всех г 6 С\1 выполнено включение

-1 G р(ФТ(г)). (2.13)

Определим ограниченный оператор R(z) в H формулой

R(z)=R(z,H0) - (GR(z,Ho))*(I + ФT(z))-1(ФGR(z,Ho)). (2.14)

Здесь г G р(Н0) — такое, что выполнено (2.13) (в частности, годится любое z G C\R). Следующее предложение содержится, например, в [63, п.1.9-1.10].

Предложение 2.1 Пусть выполнены условия (2.10), (2.11). Тогда:

(i) Оператор R(z) из (2.14) совпадает с резольвентой в точке z некоторого самосопряженного в H оператора H = H^{Hq,G). Оператор H не зависит от выбора точки z.

(ii) При всех z G р(Но) П р{Н) выполнено (2.13) и равенство (2.14) верно при R{z) = R(z,H).

(iii) Если оператор Но полуограничен снизу, то H тоже полуограничен снизу и для любого До < min(га(Я),т(Я0)} форма ((Я - А0Z)1/2/, (H - А0 совпадает с суммой форм ((Я0 - А0Z)1^2/, (Я0 - Ао 1)г^2д) + (ФС?/, Gg).

(iv) Если G замкнут, а оператор G*QG является Но-ограниченным с относительной гранью 7 < 1, то H совпадает с суммой Но + G*QG в смысле теоремы Като-Реллиха.

Замечания 1. Ниже мы в большинстве случаев (а в приложениях — всегда) будем иметь дело с полуограниченными снизу операторами Яо, Н. При этом из (2.10) следует, что

Бот|#оГ/2 = Оот|Я|1/2. (2.15)

2. При условии (2.15) оператор Т(,г;Я, (?) корректно определен. Из (2.14) следуют тождества

(I + ФТ(г; Но, (?))(/ - ФГ(г; Я, С))

= (I - ФТ(г; Я, С))(1 + ФГ(г; Я0, С)) = 1, г 6 р{Н) П />(Я0). (2.16)

3. Описанная выше конструкция операторной суммы будет встречаться нам в двух вариантах.

А) Пусть Ф = ±/. Тогда условимся обозначать оператор, отвечающий формальной сумме Но ± через

Я±(Яо,(7) := Я±/(Я0,С).

Б) Пусть Яо — самосопряженный оператор в %, /С+ и —

вспомогательные гильбертовы пространства и : И —>■ /С± — линейные операторы, удовлетворяющие условиям вида (2.10):

Оот|Я0|1/2 СБот(?±, С±(|Я0| + /)~1/2 € &ж{% К). (2.17)

Для того, чтобы определить оператор, отвечающий формальной сумме Но — (7+С+-Ь(7!!1Сг_, поступим следующим образом. Положим К, = /С+ф/С_, С = Сг+Ф 0-, Ф = (—1) Ф I и определим оператор Нф(Но,0). В этом случае условимся писать

Я(Яо, Сг+, (?_) := Яф(Яо, С).

2.6 Считающая функция N. Принцип Бирмана—Швингера для полуограниченных операторов Пусть оператор Но в И полуограничен снизу, а операторы (т± : Н —>■ К.± удовлетворяют условиям (2.17). Для любого а > 0 определим оператор

Н(а) := Я(Я0, у/ав-), (2.18)

отвечающий формальной сумме Яо — агС+С-). + ай*_С-, в соответствии с конструкцией предыдущего пункта (т.е., в данном случае, через соответствующие квадратичные формы — см. предложение 2.1(ш)). Положим

;Я0, се) := ггшкЕн(в)((-оо, А)), А < ш(Я0). (2.19)

Если выбор операторов Яо, (?_ ясен из контекста, то мы будем писать ЛГ(А, а) вместо Л^(А;Яо,(■?+,а). Далее, определим операторы

Х±(А) := С±Я1/2(А,Яо), Я±(А) := Х£(А)Х±(А), А < т(Я0). (2.20)

Следующее утверждение хорошо известно и может быть получено, например, из вариационных соображений.

Предложение 2.2 Пусть выполнены условия (2.17). Тогда имеет место соотношение

N{\) Но, G+, G-) а) = п+(аГг, Z+(X) — Z_(A)), А < т(Н0). (2.21)

2.7 Считающие функции N±. Принцип Бирмана-Швингера для знакоопределенных возмущении Пусть Но — самосопряженный оператор в % и для G /С выполнены условия (2.10). Определим операторы

H±(H0,G). Хорошо известно следующее утверждение (см., напр., [32] или в полуограниченном случае [3]).

Предложение 2.3 При условии (2.10) имеет место равенство

dimKer (Я±(Я0,G) - XI) = dimKer (Т(А;Я0, G) ± I), А еМ\<т(Я0). (2.22)

Из предложения 2.3, в частности, следует, что собственные значения оператора H±(Ho,\/ctG), а > 0, суть монотонные функции а. Для А € R \ сг(Яо) и а > 0 считающая функция N±(\-, Я0,С;а) определяется как количество собственных значений (с учетом кратностей) оператора HT(Ho,VtG), проходящих через точку А, когда параметр t монотонно растет в интервале (0, а). Для удобства дальнейших ссылок запишем формально

N±(\;H0,G-,a) = #{te (0,а) | X е a(HT(H0,VtG))}, X eR\a(H0). (2.23)

Из предложения 2.3 вытекает тождество

iV±(A;Яо,<2;а) = п±(а~г,T(X]Hq,G)), X £R\a{H0). (2.24)

Наконец, отметим очевидное равенство

N+(X-,H0,G;a) = N(X-,Ho,G,0-,a), X <т(Н0). (2.25)

3 Функция спектрального сдвига

3.1 Ядерные возмущения Пусть Но и Я — самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Киих разность V ядерна:

У :=Я-Я0 € &1{П). (3.1)

Тогда имеет место следующая формула следа Лифшица-Крейна:

/оо

£(А; Я, Но)ф' (X)dX. (3.2)

-оо

Здесь ф — любая функция из некоторого подходящего функционального класса, а функция £(А;Я, Я0) есть ФСС для пары Я0, Я. ФСС дается формулой Крейна [34]

£(А; Я, Но) = - lim argdet(/ + VR(X + ie, Я0)), п.в. А Gl. (3.3)

Ветвь аргумента в (3.3) фиксируется условием

arg det(J + VR(z, Я0)) —> 0, Im г +оо. (3.4)

ФСС была впервые введена (на формальном уровне) в работе И. М. Лифшица [37] по квантовой теории твердого тела. Основы математической теории ФСС были заложены М. Г. Крейном [34]. Современное состояние теории ФСС описано в [16, 63]; там же можно найти подробную библиографию.

Достаточные условия на функцию ip, гарантирующие ядерность оператора <р(Н) — (р(Но) и справедливость формулы (3.2), были даны в [34]; более точные условия, близкие к необходимым, имеются в [43]. Во всяком случае, класс допустимых функций включает в себя Со°(Е). ФСС удовлетворяет неравенству Крейна [34]

K(A;tf,#o)|dA<p4|6l. (3-5)

J —оо

Кроме того [34],

-rank VI < £(А; Я0, Я) < гапкУ+,

откуда следует, что

±У>0 ±£(А; Я, Но) > 0. (3.6)

В свою очередь, из (3.6) вытекают неравенства

£(А; Но - У_, Н0) < £(А; Я0 + У, Щ) < ^(А; Я0 + V+, Я0). (3.7)

Если операторы Я0, Hi, Щ в Н таковы, что разности Я2—Hi и Hi—Но ядерны, то, как следует из формулы следа (3.2),

£(А; Я2, Я0) = £(А; Я2, Ях) + ^(А; Яь Я0). (3.8)

Обсудим поведение ФСС вне существенного спектра Я0. Если оператор Но полуограничен снизу, то, выбирая подходящую "пробную" функцию <р в (3.2), найдем, что

£(А; Я, Но) = -гапкЕя((-оо, А)), А < Ыа{Н0). (3.9)

Далее, пусть интервал (a, i) С К не содержит точек существенного спектра оператора Но- Тогда, вновь используя (3.2), находим:

- 0; Я, Н0) - £{а + 0; Я, Я0) = гапк£Яо((а, Ъ)) - гапкЯя((а, 6)). (3.10)

Формула (3.10) позволяет интерпретировать ФСС как проинтегрированную плотность изменения числа собственных значений при введении возмущения.

Для знакоопределенных возмущений имеет место формула Соболева [58] для ФСС:

£(А;Яо±У,Яо) = ±пт(1;УУД(А,Яо)\/У), АеК\<г(Я0), У > 0. (3.11)

Отметим, что, в силу принципа Бирмана-Швингера (2.24), величина пт(1,л/УЛ(Л,Я0)\/У) в правой части (3.11) совпадает со считающей функцией ЛГт(А;Яо, л/У; 1) (см. (2.23)).

На абсолютно непрерывном спектре оператора Но ФСС связана с матрицей рассеяния 5(Л;Я, Но) формулой Бирмана-Креина [5]:

<1<Л ^(Л; Я, Но) = п.в. Л е сгас(Я0). (3.12)

Эта связь позволяет интерпретировать ФСС как фазу рассеяния и стимулирует интерес к ней в квантовомеханических задачах. В несколько иной форме в конкретной задаче (одномерный оператор Шредингера) соотношение (3.12) было известно до абстрактной работы [5] (см [38, 19]). В задачах математической физики часто бывает удобна "дифференциальная форма" соотношения (3.12) — см. [20].

3.2 Относительно ядерные возмущения В приложениях вместо (3.1) обычно удается проверить включение

/(я)-/(я0)ебх(я), (3.13)

где / : (а, Ъ) —»■ М — некоторая достаточно гладкая монотонная функция, а (а,Ь) С1 — интервал, содержащий <т(Я) исг(Я0). Тогда ФСС для пары Яо, Я определяется естественной формулой

£(А;Я,Я0) :=ш8п//е(/(А);/(Я),/(Я0)). (3.14)

Как легко убедиться с помощью замены переменной в интеграле, формула следа (3.2) для пары Яо, Я остается в силе при определении ФСС через (3.14); требует пересчета лишь класс допустимых функций (р. Обсудим, что происходит со свойствами ФСС, упомянутыми в п. 3.1, при таком определении ФСС.

Неравенство Крейна (3.5) переходит в оценку

/оо

|£(А;Я,Я0)||/'(А)ИА< У(Н)-ЦНо)\\&1. (3.15)

-оо

Соотношение (3.6) иногда может быть оправдано. В случае, когда операторы Яо и Я полуограничены снизу, а

/(А) = (А - Хо)~к, к> 0, А0 < тш{го(Я0), т{Н)}, (3.16)

(3.6) было доказано в [33] (эта ситуация охватывает большинство практически интересных приложений). Отметим, что при 0 < к < 1 нужное утверждение

немедленно следует из неравенства Гайнца (см., напр., [63, п.8.10]); нетривиальным является лишь случай к > 1. Другой подход к оправданию (3.6), использующий соображения гладкой теории рассеяния, был указан в [29].

Если о�