Генерация стохастических сигналов на основе явления динамического переходного хаоса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Ж' ^ №

ШНИСТВРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ

На правах рукописи $ДК 621.373.21

Стручков Игорь Николаевич

ГЕНЕРАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВВ ЯВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ПЕРЕХОДНОГО ХАОСА

( 01.04.03 - радиофизика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-иатемвтичесшп наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре радиофизики московского физико-технического института.

Научные руководители - доктор технические!

наук, профессор В.К. Слока, кандидат физико-математических наук, доцент В. В.РождаственсхиЯ.

Официальные оппоненты - доктор физико-

математических наук, профессор Г.В.Сенчаков, кандидат физико-математических наук, доцант Ю.И.Кузнецов.

Ведущая организация - ИРЭ РАН.

Защита состоится «:гя 40

на заседании Специализированного совета К-063.9!.02 при московской физико-ыатеиагическои институте по адресу; Московская обл., г.Долгопрудный .Институтский

•Нг&его ^ С диссертацией йогою ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан 92.

Ученый секретарь Специализированного совта

в.ф.-и.и. • - /С.У.Коршунов/

РОССИЙСКИМ - '1 -

'МУДАРСГАгЩл::-§И6ЛИи г н ^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В настоящее время значительная часть задач теории нелинейных колебаний связана с исследование»» динамических систем (ДС) с динамическим хаосом (ДХ),для погашания особенностей поведения которых принципиальную роль играет знание сценария перехода регулярного движения в ДХ. В частности, ДХ может предшествовать переходный хаос (ПХ) - длительный, но конечный по времени процесс неупорядоченного (хаотического) поведения ДС посла ее возбуждения, завегшзгщийся выходом на регулярное движение некоторого типа. Длительность ПХ может быть настолько велика, что экспериментально и численно его легко принять за ДХ, в тогда пригсятиалышы становится вопрос о существования "термодинамически равновесного" состояния ДС. Интересго в этой связи отметить, что для целого ряда активно исследующихся ДС ( отобраяетш Зно1', осциллятора Даффзнга21) до сих пор еще нат окончательной уверенности в том, что наблюдаемое в них хаотическое движение является ДХ, 8 На представляет собой ПХ к некоторому слабоустойчивоыу сложному регулярному движению. Без знания возможных типов и механизмов возникновения ПХ а нелинейных ДС ответы на упомянутые вопросы вряд ли могут быть получены.

Другая необходшюсть исследований ДС с ПХ диктуется воэло.тностяш! его широких практических приложений в задачах кодировки, генерации Еуловнх последовательностей со специальными свойствами, исследоважя процессов деятельности мозга ( поиск эвристик ) и т.п.

Целью диссертационной работы является исследование закономерностей ПХ в ДС, а также его возмсятах практических приложений.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты.

Обобщена формула,связывавдая критический показатель скэйлкнга ( зависимости среднего времени жизни т(р) ПХ от управляющего

параметра р ДС ) с размерностью докризисного аттрактора.

Предложен метод определения точечной размерности DB( 1Q) странного аттрактора (С/) некоторой данамической системы по критическому показателю скейлинга ПХ, индуцированного этой системой в одномерной отображении. Разработанный метод позволяет определять размерность DB( iQ) для произвольной точки ÎQ, лежащей на СА шумозадающей ДС.

Разработан автогенератор высокоразмерного хаоса с равномерной спектральной плотностью ( неравномерность меньше 10 Дб ) в широкой диапазоне частот ( от нескольких кГц до 1 МГц ).

Проведены исследования ПХ в автогенераторе переходного хаоса (АПХ) с нелинейностью, близкой к четной.

Открыто явление ПХ, неизвестное ранее, и характеризующееся бескризисной зависимостью среднего времени жизни т(р) от управляицего параметра р: Lnii(p)) =< Cq+ С^р .

Разработано техническое устройство - иштатор пуассоновского потока импульсов - на основе изученного явления переходного хаоса в АПХ. Разработанное устройство является принципиально новым, на него получено авторское свидетельство.

Впервые обнаружен и исследован ( численно и теоретически ) HZ в математической надели АПХ - апериодическом осцилляторе с запаздыванием и нелинейностью, близкой к четной.

Построено двумерное невзаимноодноэначное отображение, сохрашшцее в своей динамике основные черта ПХ экспериментально исследованных автогенераторов и демонстрирущее бескризисный ГК. Ранее такие отображения были неизвестны.

На основе проведенных теоретических и экспериментальных исследований предложена правдоподобная модель возникновения ПХ в изученных ДС, качественно объяснянцая бескризисный характер зависимостей In t т(р)1.

Практическая ценность работа заключается в установлении качественных и количественных особенностей ПХ в системах класса АПХ ( системы с близкой к четной нелинейностью и единственным кулевым положением равновесия ). Особенности ПХ в этих системах были положены в основу имитатора пуассоновского потока импульсов, допусхаодеы перестройку средааго времени следования импульсов в диапазона 3 и более декад. Кроив того на основе ПХ в одномерном

отображении специального вида разработан метод диагностики систем с неупорядоченный поведением, позволяыдай, в частности, отличать системы с классическим шумоы ( белый и т.п. ) от динамических систем с иультафрактаяьныыи странншш аттракторами.

Апробация работы. Материалы, включенные в диссертации, докладывались на III и IV Всесоюзных школах по хаотической динамике в г.Саратове ( 1988 и 1991 гг.), на III Международной сколе "Динамические системы и турбулентность" ( п.Кацивели, май 1991 г.), на научной конференции "Радитехническая информатика" ( п.Раково, Московской обл., ноябрь 1990 г.), на ежегодных научных конференциях МФТИ, обцемосковскои семинаре под руководство)* С.М.Рытова ( uaü 1991 г.), а также на внутренних сешшарах кафедры радиофизики МФТИ.

Публикации.Результаты диссертации опубликованы в работах [1+6].

Структура и объем диссертаюш. Диссертация состоит из введения, восьми глав и заключения. Работа содержит 188 страниц и 68 рисунков. Список цитируемой литературы включает 75 наименований.

КРАТКОЕ С0ДЕРХА1МВ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обоснована актуальность теш исследований, сформулированы цель и научная новизна работы, описана структура изложения материала диссертации.

Первая глава носит обзорный характер и посвящена изложению опубликованных результатов о свойствах и закономерностях ПХ в исследованных ДС.На основании проведенного обзора сформулированы задачи и методики данной работы.

Вторая глаза посвящена обобщению полученной3' для трехмерных потоков связи критического показателя скейликга ае с точечной размерность» Пв отталкивающего множества, остающегося посла гранично-кризисного разрушения СА, на высокоразыерныв ДС. В частности, в случае общего положения для гетерогенного кризиса й п-мерной ДС показано, что

- 4 -

X - а*Рв *■ (1-а)»йА . (1)

п

где "]) =БП(К)= ^ (1 (К) - точечная размерность в точке К гранично-

кризисного касания СА с границей ЗВ области его притяжения, с^ -точечная коразмерность е трансверсальноы к дВ направлении в точке К, а - показатель, определяющий форму инфинитезимальной ( при р->рс> "области выброса" С, попадание траектории в которую ведет к завершению ПХ. ( аЦ , когда 0 - параболоид ).

В третьей главе рассматривается конструктивный, отличный от существующих, метод измерения размерности СА некоторой ДС

еп+1= Г(£п) по критическому показателю я скейлинга ПХ, индуцированного в простои одномерной отображении интервала в себя путем введения в него аддитивного динамического шума малой

змшштуда от иумозадапцгй ДС Р(^п> (2):

8т1-е(ав) + ет(ф , (2)

где (1-гКр-С»|2*г-11 . (3)

При этой в (3): е - некоторый фиксированный малый параметр, равный амплитуде аддитивного динамического шуыа £*Г(£*); й г 1-2*е = согэг; р - варьируемый параметр порядка (р^О); Их) - достаточной степени гладкости функция, отображапдая интервал V1 значений 1-ой скалярной компоненты £ в отрезок (-¡;П (т.е. ^(^Ж! ). При атом значение 1 достигается в некоторой единственной точке в окрестности которой:

Их) = 1-В*|Е^-х|а для Ух € иб( . (4)

Как показано в 93.2 для ПХ в (2) критический показатель скейлинга

где Бвм= В0(£м) - точечная размерность СА в т. £м, р и с^*' -аналогичны а и с^ в (1). При этом соотношение (5) дает возможность измерять локальные особенности вероятностного распределения ( точечную размерность ) произвольной внешней системы ( не обязательно динамической природа ) в произвольной,

наперед заданной точке £м> как это показано в §3.3 для (2) с отображением Эно в качестве шумозадапцей ДС.

В четвертой главе представлены данные экспериментальных исследований ПХ в кольцевых автогенераторах ( автогенераторах переходного хаоса (АПХ) с частотными диапазонами 12,100,700 кГц) с жесткий возбуждением и нелинейностью, близкой к четной, при различных степенях асимметрии нелинейности, в зависимости от внешнего аддитивного пума и количества степеней свободы (звеньев фильтра).Обнаруженный в них в широкой области значений параметра регенерации р ( приведений коэффициент усиления по петле обратной связи ) ПХ характеризуется некоррелируемостью своих последовательных времен жизни \ , которые подчиняются экспоненциальному закону распределения с плотаостью:

p(t1=T) ■= -i- } . (6).

Тип и качественное поведение экспериментальных зависимостей среднего времени жизни ПХ т(р) = <tt> в диапазоне измеренных величин т(р) зависят от степени нечетности нелинейности, в частности от величины и знака асимметрии амплитудного ограничения положительной и отрицательной полуволн входного сигнала. При шшшалькой достютоюй степени нечетности нелинейности зависимости ЬпГт(р)] испытывают линейный по р рост:

1лГг(р)3 " Со + С^р (7)

с небольшим! периодическом оылшмциями. ПХ с такого рода завист.иостью х(р) обнарунен впервые.При отрицательной асимметрия аш:.ситудного ограничения ( когда уровень ограничения Н_ отрицательной попуволш бал больше Н уровня огратпе.'ия для

положительно!) полуволны ) экспериментальные зависимости 1п[х(р) ] адекватно описывайся моделями гранично-кризисного ПХ:

1лК(р)] " С - ае*1лС|ро- р|) , (8)

I

Шт(р)] - к, + к2*[р0- р] 2 (9)

( с равней степенью точности для обеих в пределах точности экспериментальных измерений ),а при достаточно больных значениях параметра р в /ПХ рождались периодические режимы Г(Т) ( с периодом Т порядка нескольких десятков мсек ) При этом, чей сильнее была асимметрия, тем круче становился рост 1лК(р)] и тем при меньших р возникали Г(Т).

При положительной асимметрии амплитудного ограничения (Н+>Н_) аксиерименталькые кривые 1лСт: (р)) является линейными функциями р с небольшими осцалляциями, как в случае максимальной симметрии " нелинейности (Н+<»Н_), однако в отличие от последнего случая при достаточно больших значениях р в АПХ рождались периодические режимы.

Пятая глава посвящена рассмотрению возможных практических приложений имитатора пуассоновского потока импульсов, пришил действия которого основан на особенностях переходного хаоса в АПХ, а статистика времен следования тшпульсов на выходе гтого устройства описывается (6) с возможность» перестройки г в диапазоне трзх ( и более ) декад.

В шестой главе представлены результаты численного и теоретического исследований ПХ в дифференциально-разностном уравнении апериодического осциллятора с запаздаьащей внешней силой (АОЗ):

т.Ш + 27ХШ + ыгх(1;)- К ЦпцМ)]} , (10)

взятого в качестве простой математической модели экспериментальных АПХ, причем

i(X) . -___-

1 +D*x

п моделирует четную (при I! ? 0.0 ) нелинейную характеристику АПХ с нэсыщениеи и возможной асимметрией амплитудного ограничения

( при H * 0.0 ), Как показало численное моделирование ПХ к О ПР ( нулевому положению равновесия ) существует в (10) в широкой области значений параметра р и при разных степенях асимметрии нелинейности ( величинах H ). Статистика времени жизни ПХ описывается экспоненциальным распределением с плотностью (6). Зависимость Lni т(р)! для среднего вреиени жизни ПХ н ACQ не позволяет с хорошей достоверностью отнести ее к какому-либо одному типу из (7+9) ( а также сопоставить ее с соответствующей зависимостью в АПХ ) из-за иалости диапазона значений LnCx(p)l для АОЗ: последний почти в да а раза меньше аналогичного для АПХ ( 3.6 против 7.0 ). Циклы разнообразной формы ( сложности ) и периодов наблодались в АОЗ при ненулевой асимметрии ( H ?Ю.О ) нелинейности. Характерным для ситуации отрицательного амплитудного ограничения ( H<0 ) является существование пра любом р больше некоторого критического ( зависящего от |Н| ) цикла простой формы и малого периода ( Г|(Т), 1 < Т < 2 ). В случае положительного амплитудного ограничения ( Н>0 ) пря достаточно больших р существуют окна периодичности, внутри которых решения (б.б) носят характер длиннопериодических циклов с автомодулядаей ( двухчэстотных режимов ). Поведение решений на границах окон периодичности носит характер перемежаемости.-В $6.5 описан возможный механизм монотонного спуска-завершения

-v

ПХ в АОЗ, позволивший ( при отсутствии дополнительных к О ПР аттракторов ) рассматривать эту систему ( в случае четной нелинейности ) в качестве потенциального кандидата в класс ДС с бескризисным ПХ и получить линейную нижнею граничную оценку для среднего времени жизни ПХ в АОЗ типа (7). Аналогичная оценка была независимо получена и в пределах стохастического анализа.

Исследованное в 7 главе невзаиынооднозначное отображение

х = Q*x + A*[f(x)-sl 3 = 3 + B*[x + xJ

[гда ô = i«(1-q)*u£ ; 1 - q-|

A в

■K ;

В

fq - Cl

q = exp[-2*if]; Q= - :

Ь + Ôj

; К = A*p; Д = 7 + Г72- ш2)5 , •к r V

Ы

«

2*K

a f(x) определена в (11) полученное из (10) в приближении сильной диссипации 27 >> 1 ( ранее такие отображения были неизвестны ), при имеющихся отличиях индивидуального поведения обнаружило целый ряд одинаковых с системой АОЗ свойств п

закономерностей. В частности, в обеих системах ПХ к О ПР (всегда устойчивому ) существует в широких областях параметра р и разных степенях асимметрии нелинейности ( величинах H ), а зависимости ЬпСт(р)] в них обладают однотипным поведением. Поскольку численное моделирование (12) значительно проще и менее вреиекиемко чем для АОЗ, то естественно зависимости Lnii(p)3 для отображения были исследованы в существенно более широком диапьзона значений t(p), обнаружив при этом существование "лакун" ( как при Н/0, так и при Н=0 ) в местах расположения окон периодичности Лп, вблизи границ которых имела место лереиежаеыоогь, приводящая к "гранично-кризисному" поведению Intx(p)) в окрестностях Лп.

Характерным для обеих систем является существование при Н<0 и Vp > ркр(Н) >> 1 цикла простой формы и малого периода: rj(1<ï<2) - в АОЗ и Г^(2) - в (12), а при Н>0 и больших р -длиннопориодических циклов с автоиодуляцией ( двухчастотных режимов ).

Числштс подтверждено существование циклов в АСЗ и для чисто четной нелотейности Н=0 ( при исследовании АПХ предполагалось,

что при Н=0.0 циклы и прочие аттракторы, отличные от О ПР, в такого рода системах существовать не могут, и появляются диеь благодаря внесению асимметрии в неликеность ). Идентифицировать сложное неупорядоченное поведение АОЗ в окрестностях таких окон

периодичности как ПХ или ДX а измерить его закономерности количественно на представилось возможный. Тем не менее ввиду аналогичности свойств (10) и (12), а также подобия визуального поведения их траекторий н одинаковости механизмов завбрпения 01 в них можно предположить, что графика Ln[t(p)1 в АОЗ должны иметь ( при Ln(T(p)J > 8 + 10 ) также как и для (12) характер линейных зависимостей с лакунами в местах расположения окон периодичности и гранично-кризисным поведением в окрестностях последних.

Хотя в (10), (12) циклы наблюдались и при Н=0.0, однако их число.сложность (формы) и размеры областей их существования были во много раз меньше ( проще ) соответствующих характеристик циклов при H/Q. При достаточно больших р и Н=0 циклов в (12) либо совсем нет. либо соответствуйте им окна периодичности настолько малы, что практически не наблюдаются в эксперименте. Поскольку размеры и расположение Дк характеристики Г(п) в них зависят от таких параметров обеих ДС как ио, 7, Н, то подбором последних можно пытаться нужным образом перемещать ■ изменят* их характеристики. В частности, большую практическую ценность в этой связи может иметь решение задачи синтеза ДС с ПХ, зависимость Lntt(p)] которого является линейной и не содержит окон периодичности в интервале значений t(p) порядка нескольких декад. Последнее, собственно говоря, и было успешно реализовано в экспериментальных макетах АЛХ, если вспомнить те усилия, которые были затрачены для подавления генерации в них разного рода периодических режимов. Поэтому созданные макеты АПХ можно рассматривать в качества примера радиофсзических систем,• в которых подбором параметров удалось добиться генерации "чистого" ( без окон периодичности ) ПХ хорошего качества с линейной зависимостью Ln["c(p)] в диапазоне значений i порядка 3 декад.

В $7.3 списаны структура и свойства канала монотонного спуска

(КЫС), идущего в 0 ПР из бесконечности и суцествуеп'.ехчз при лнбих р и Н. Существование последнего в (12) дало возможность рассматривать это отображние в качестве ДС с бескризисный ПХ, прериваеныы окнзш периодичности. Явный вид уровнэний ггло'Л ДС получен впериги. Интересно, что KMC сукесгаует и внутри окся периодичности Д^, однако практически не яабявдается из-за своей

чрезвычайной узости.С учетом особенностей структуры КМС в §7.3 была получена линейная оценка для т(р) типа (7).

В восьмой главе проводится системагазация совокупности реэучьтатов экспериментального и теоретического исследований ПХ в классе ДС, характерной особенностью которых является наличие единственного, устойчивого в малом кулевого положения равновесия а близкой к четной нелинейности. В частности, более быстрый чем в (7) рост Lntiíp)] при отрицательной астшетрии амплитудного ограничения в АПХ может быть обусловлен близостью некоторого окна периодичности, в окрестности которого Lnítfp>! Еедет себя в соответствии с (В), либо (9) подобно тому, как это имело место в отображении (12). Тот факт, что относительная величина интервала значений р, при которых имел место еыход Ln[t(р)i ка вертикальную асимптоту, составляла для (12) десятые доли процента и меньше, а в АПХ достигало 5 + 10 %, можно объяснить малостью ( ж < 1 ) величины критического показателя скейлинг.. я. для отображения и его значительностью ( ж --« 12 ч 30 ) для, АПХ. Последнее в предположении линейной связи (!) а; и размерности Г^ отражает факт малости DB докризисного аттрактора к ('¿) ( для этой системы DB не может превышать размерности фазового пространства, равной двум ), и, наоборот, - значительность I¡ докризисного аттрактора в экспериментальных АГК, размерность фазового пространства которых принимала значения от 9 до 29.

"Недостатком" степеней свободы в случае отображения (!2) можно объяснить н гот факт, что аттрактор, рсждавдгаЮя в этсй систеые в результате граничного кризиса (на границах окон периодичности), являлся не "странным" как в АПХ, а регулярным - периодическим режимоц некоторого типа. Соответственно этому в докризисной области значений параметра ( в окрестности некоторого окна периодичности ) типичная траектория (12) имела характер перемежаемости "цикл » ДХ", а не "СА *—+ ДХ" как в большинстве случаев шсокоразмерных ДС с гранично-кризисным ПХ.

Анализ результатов натурного и -численного исследовмзгй АПХ, АОЗ, отображения (12) позволяет составить следукную правдоподобие» кертину возникновения ПХ в нкх. Благодаря невзаиадооднознлчности и симметричности хграктеристикн нелинейности в фазовом пространстве системы возникает сложно

устроенное стохастическое множество ( типа гоиокликной структуры или подковы Смей л а ), отделяющее устойчивое нулевое положение равновесия от неустойчивой бесконечности. При увеличении управлявшего параметра ( коэффициента усиления АПХ ) плотность этой "стохастической сети" растет, что вызывает рост среднего времени кизки ПХ. В недрах стохастического множества существует набор периодических орбит, вообще говоря неустойчивых, некоторые из которых ногу? становиться устойчивыми при изменении р в приобретать свою область притяжения ненулевой меры. Выесте с тем существуют и такие начальные условия, при которых система по-прежнему демонстрирует ПХ, притягиваясь в конечном итога к нулевому ПР, а нэ к сосуществугцему с ним циклу.

В заключении кратко сформулированы основные результата проведенной работы, которые выносятся на защиту.

Ledrappier P. Some relations between dimension and Lyapunov exponents.// Conm.Math.Phi's.1981 .v.81 ,n.2,p.229+238. frjekenheimer J.M., Koines Ph. Nonlenear oscillations, dynamical systems and bifurcation of vector field3.- N.Y.Berlin - Heidelberg - Tokyo: Springer, 1983. Пиковский А.С., Рождественский В.В. Размерность и время переходного процесса при переходах типа кризис в хаосе.// 5ТФ.1987,т.57Д1 ,с. 140Н1403.

з

- 12 -ПУБЛИКАЦИИ

1. Стручков И.Н. Переходный хаос в простом одномерном отображении под воздействием внешнего динамического пума. // ХТФ. 1990, 7.60, X 7, с.8+14.

2. Рождественский В.В., Стручков И.Н. Переходный хаос в автогенераторе стохастических колебаний с жестким возбуждением и четной нелинейностью.// ХТФ,1992,т.62,^0

3. Рождественский В.В., Стручков И.Н. // Заявка на изобретение Л4836422/21(063282) "Имитатор пуассоновсхого потока импульсов ( получено положительное решение экспертизы от 10.04.91 ).

4. Рождественский В.В., Стручков И.Н. //Тезисы докладов конференции "Радиофизическая информатика" (27+29 ноября 1990 года). -Москва, 1990.

5. Рождественский В.В., Стручков И.Н. Переходный хаос в системах с четной нелинейностью. // Изв.ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика (Саратов). - 1993, * 2.

6. Стручков И.Н. Переходный хаос в апериодическом осцилляторе с запаздыванием. // Радиотехника я Электроника,1993,т.38,* 1.