Геометрические методы в моделировании деформаций панели с сотовым заполнителем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Никульчиков Андрей Викторович

На правах рукописи ^.......

с-К//]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ДЕФОРМАЦИЙ ПАНЕЛИ С СОТОВЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

Специальность 01.02.04 - «Механика деформируемого твердого тела»

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

5 ДЕК 2013

Томск 2013

005542665

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», на кафедре геометрии ММФ ТГУ и в лаборатории 102 Научно-исследовательского института прикладной математики и механики.

Научный руководитель Кандидат физико-математических наук,

доцент Бухтяк М.С.

Официальные оппоненты Светашков A.A., доктор физико-

математических наук, старший научный сотрудник, федеральное бюджетное образовательное учреждение «Национальный исследовательский Томский

Политехнический Университет», кафедра теоретической и прикладной механики. Чуриков В.А., кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное бюджетное образовательное учреждение «Национальный исследовательский Томский Политехнический Университет», кафедра высшей математики.

Ведущая организация Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский Государственный Университет» (г. Кемерово)

Защита состоится 25 декабря 2013 г в10 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д212.267.13, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский Государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корпус №10 ТГУ)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского Государственного университета по адресу: 634050 г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан "22" ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Ю.Ф. Христенко

Актуальность работы.

Композитные материалы в наше время завоевали большую популярность благодаря своим высоким характеристикам жесткости и прочности. Изначально применявшиеся в аэрокосмической отрасли как жесткие и прочные материалы, обладавшие небольшим весом, постепенно они проникли и в другие сферы промышленности (морская промышленность, строительство, изготовление спортивного инвентаря и т.п.). Помимо меньшего веса, композитные материалы имеют и другие преимущества, такие как: способность выдерживать воздействие агрессивной окружающей среды (например, прямые солнечные лучи, резкие перепады температур), надежность, ремонтопригодность и стоимость эксплуатационного периода.

= ІТІ

111111111ППЛ2<

Относительная жетскость на изгиб 1 7.0 37

Предел прочности при изгибе 1 3.5 9.2

Относительная масса 1 1.03 1.00

Табл. 1. Преимущество композитных материалов в сравнении с монолитными плитами (на примере сэндвич-панелей). Одним из самых распространенных композитных материалов являются т.н. сэндвич-панели состоящие из

1. пары тонких, но жестких и прочных лицевых поверхностей;

2. толстого, но легковесного заполнителя, разделяющего лицевые поверхности и переносящего нагрузки от одной лицевой поверхности к другой;

3. клейкого слоя, позволяющего передавать сдвиговые и осевые нагрузки по направлению к заполнителю и от него.

Такое разделение лицевых поверхностей повышает момент инерции панели, с незначительным увеличением веса. Таким образом, получается структура, способная хорошо выдерживать изгибающие нагрузки (в поперечном и продольном направлении). В таблице 1 представлены жесткость на изгиб и прочность сэндвич-конструкций, иллюстрирующие их преимущества перед монолитными панелями.

Первые работы в области механики структурно-неоднородных сред относятся к 20-м года XX века, когда В. Фойгт и А. Рейсе предложили вычислять соответственно модули упругости и податливости микронеоднородных материалов по правилу механического смешивания. Одними из наиболее известных работ в этой области являются работы 3. Хашина, С. Штрикмана, Б. Розена, Р. Хилла и д.р.

V 'л ••—'

Рис.1. Типичная сэндвич-панель с двумя лицевыми поверхностями и сотовым

заполнителем.

Существующие виды экспериментов и виды расчетов, призванных определить величину деформации панели с заполнителем, наряду с достоинствами не лишены и определенных недостатков. К примеру, в случае натурных экспериментов исследователи сталкиваются с особыми требованиями к проведению экспериментов (например, в случае исследования устойчивости панелей с заполнителем к взрывным нагрузкам нужно соблюдать четкие правила техники безопасности, нужен полигон, пригодный для взрывных работ и т.д.); способы, принятые в механике композиционных материалов (например, системы уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами) имеют определенную сложность; или, в случае конечно-элементного анализа, требуют весьма дорогостоящих программных продуктов.

Рис. 2. Конечно-элементная модель панели с сотовым заполнителем. Эксперимент на устойчивость сэндвич-панелей к взрывным нагрузкам, проведенный сотрудниками Университета Вирджинии и Гарвардского университета. В натурных экспериментах использовались заряды различной мощности - 1, 2, 3 кг тротила, устновленные на расстоянии 10 см а- импульс 21,5 кПа, Ь - 28,4 кПа, с - 33,7 кПа Таким образом, математическое моделирование деформаций панелей с заполнителем представляют существенный интерес для

исследователей. Такие исследования с точки зрения механики композитов проводятся с помощью уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами, характеризующими отдельные компоненты композиционной структуры. Такой подход существенно затрудняет решение возникающих при проектировании задач. С 70-х годов XX века для композитов регулярной структуры используется асимптотический метод осреднения, при использовании которого быстро изменяющиеся коэффициента предстают в виде периодических функций.

В случае, если для решения поставленной в ходе разработки конструкции задачи не требуется детального рассмотрения процессов, происходящих в панели с заполнителем, а достаточно указать в каких случаях произойдет разрушение материала, из которого изготовлена сэндвич-конструкция, то применение более простых способов оценки величины деформации, основанных на геометрических методах, является более оправданным. Например, если при проектировании конструкций с сотовым заполнителем возникает необходимость придать панели какую-либо специфическую форму (например, требуется прикрепить панель к какой-либо поверхности), то необходимо иметь возможность оценить величину деформации еще на этапе проектирования. Таким образом, представляет интерес использовать аппарат дифференциальной геометрии для вычисления экстремальных значений отношения метрических форм («исходной» поверхности, т.е. поверхности до манипуляций и «деформированной» поверхности), по которым можно судить о величине деформации панели и о возможных разрушениях. Даже если невозможно обойтись без дорогостоящих натурных испытаний, предварительный анализ методами моделирования позволит сузить поле эксперимента, что приведет к экономии ресурсов.

Цель работы: создание математической модели деформации, позволяющей в рамках дифференциальной геометрии решать ряд задач, традиционно решаемых в механике деформируемого твердого тела.

Для достижения данной цели были поставлены следующие основные задачи исследования:

1. Построение математической модели панели с сотовым заполнителем.

2. Разработка математического аппарата, позволяющего рассматривать процесс деформации панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии.

3. Установка связи между объектами механики деформируемого твердого тела и объектами предложенной математической модели, подтверждающей адекватность предложенной модели.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Применена модель сотовой панели на основе пары поверхностей, соответствующие точки которых соединены отрезками одинаковой

длины, нормальными для обеих поверхностей. В отличие от теории деформируемого твердого тела и от механики сплошной среды мы в основу модели кладем пару ограничивающих поверхностей со специфическим точечным их соответствием.

2. Для описания геометрических свойств модели применены, кроме экстремалей отношений метрических форм, совместные кривизны и их экстремали.

3. Применены направления экстремальных отношений метрических форм.

4. Для предложенной модели деформации панели с сотовым заполнителем построен тензор деформаций.

Теоретическая значимость состоит

1. В сформулированных новых инвариантах теории поверхностей - т.н. «совместных кривизнах».

2. В способе задания и применения поточечного соответствия поверхностей.

3. В построенном для модели панели тензоре деформаций. Практическая значимость

Модель, построенная в работе, и реализованная в Мар1е-программах, позволяет оценивать изменения, происходящие в обеих ограничивающих поверхностях панели с сотовым заполнителем.

Обоснованность научных положений и выводов, сделанных в диссертационной работе, следует из адекватности и непротиворечивости используемого математического аппарата. На защиту выносятся следующие положения.

1. Геометрическая модель панели с сотовым заполнителем.

2. Математический аппарат, позволяющий рассматривать процесс деформирования панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии.

3. Построенный в ходе работы тензор деформаций, характеризующий изменение формы модели панели с сотовым заполнителем.

Личный вклад автора Диссертационная работа и все результаты, полученные в ходе работы, выполнена и получена при непосредственном участии автора на всех этапах.

Основные результаты диссертации доложены соискателем на следующих конференциях:

III Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики-2012». (Томск, 23-25 апреля 2012 года), XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов»-2011. (Москва, МГУ, 11-15 апреля 2011 года), Объединенный семинар кафедры геометрии ММФ ТГУ и отдела математической физики НИИПММ ТГУ, (Томск, 16 октября 2013 года), Семинар механико-математического факультета КемГУ. (Кемерово, 6

ноября 2013 года).

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 2 печатные работы, опубликованные журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций. Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и 1 приложения, общий объем работы -155 страниц. Работа содержит 3 таблицы и 37 рисунков. Список цитируемой литературы включает в себя 154 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные цели и задачи. Подчеркнута теоретическая и практическая ценность. Перечислены положения, выносимы на защиту, дано краткое изложение содержания диссертационной работы.

В первой главе приводится краткое обзорное исследование работ по механике композитных материалов и сэндвич-панелей, а также краткий обзор применения метода конечных элементов при исследовании поведения композитов и сэндвич-панелей под нагрузками различного рода.

Во второй главе приводится математическая постановка задачи деформирования сотовой панели и метод вычисления деформаций. Далее разрабатывается способ установления поточечного соответствия между поверхностями. С помощью этого инструмента мы можем указывать местоположение какой-либо выбранной заранее точки на поверхности до процесса деформации, и уже после проведенных манипуляций с поверхностью. В последней части второй главы обосновывается использование в диссертационной работе понятия «искажение локальных длин».

Поточечное соответствие устанавливается с помощью отнесением поверхностей к общим для них криволинейным координатам. Именно, рассмотрены гладкие регулярно параметризованные поверхности

X, :R=T\(u,v), Z2 :R = r2(5,v) и гладкое отображение

ф:м' =ф(м',и2) (/=1,2).

Оно называется регулярным, если его матрица Якоби имеет максимальный ранг. Там же доказана следующая

Теорема. Если отображение ср регулярно, то в окрестностях соответствующих точек параметризации поверхностей можно выбрать так, чтобы соответствующие точки имели одинаковые (криволинейные) координаты. Тогда локальное отображение запишется в виде сри:й' = и'.

Здесь фу, как обычно, сужение отображения ф на окрестность U.

7

Таким образом, мы имеем дело с параметризованными поверхностями

5:, :К = 1;(И,У), Е2:Н = Г2(и,У). (1)

Точки А = у) и А' = г, (и,у) как раз и являются соответствующими.

Искажение локальных длин.

Для поверхности

Е: Я = 1;(м,у)єС2, (м,у)єОсМ2 определяют четыре квадратичных дифференциальных формы. Из них алгебраически независимы лишь две. В качестве базисных форм следует взять первую (метрическую) и вторую (главная часть отклонения точек поверхности, близких к точке Мее7 от касательной плоскости, взятой в точке М ). Первая квадратичная форма

<1нг = сГг1 = (гис1и + г,Л)2 = Есіи2 + 7¥(1и(і\> + Ссіу1 (2)

Данная квадратичная форма индуцирует в касательной плоскости поверхности в точке М0 = г(м0,у0) метрику, обусловленную матрицей Грама базиса {ї; (г<0,У0),ї;(и0,У0)}, то есть матрицей

Для прояснения свойств указанной метрики мы задаём такую же метрику, но не в плоскости, погруженной в Е3, а в плоскости Е2 (на этом пути возникает ещё и удобный способ визуализации). С этой целью в плоскости е2 задаем помимо стандартного ортонормированного репера еще и аффинный репер {С,ё|,ё2}, для которого матрица Грама

такая же, как в (3). При этом пусть ё, ТТ і. Тем самым первая координатная ось аффинного репера соответствует касательной к линии у = на поверхности. Полагая

^ =а\,ё2 = Ь\ +с\,

и требуя условия

получим соотношения на константы а,Ъ, с в виде

а2=Е\ аЪ = Е°, Ь2+с2 =в\ ограничиваясь лишь положительными решениями (для наших целей этого достаточно), получаем, что

Искомый аффинный базис таков:

(3)

Пусть в плоскости параметров

du-cost, c/v = siní.

Тогда в плоскости с репером получим конику, пробегаемую концевой точкой радиус-вектора

V = 1, COS/sin/ = xi +yj . Учитывая (4), находим, что

F° sin/ IE°G°-(F°)2 .

х = л/Е cost+ j-- = ^-—0--sin/.

Данная коника - эллипс

(e°G° -(F°)2)x2 -2xyF°yjE°G°-(F0)2 +((E0)2 + (F°)2)y2 = E°(E°G° -(F0)2).

Он есть результат деформации единичной окружности в плоскости параметров при «перенесении» её в касательную плоскость поверхности при касательном отображении. Проведя указанные построения для двух поверхностей (1), используя при этом одну и ту же плоскость е2, мы получаем два эллипса, отнесенных к одной и той же точке (w0>vo) в плоскости параметров, что позволяет судить о локальных искажениях длин в каждом направлении, исходящем из этой точки. Следует иметь в виду, что каждому направлению, проведенному из указанной точки плоскости параметров, соответствуют два касательных направления: одно - в точке M1=í^(m0,v0) первой поверхности, второе - в точке

М2 = Т2 (и0,\'0) второй поверхности.

Экстремальные значения искажения локальных длин.

Форма (2) определяет внутреннюю геометрию поверхности (свойства, сохраняющиеся при изометрических отображениях). Заметим, что переменные m,v мы должны считать безразмерными величинами. Тогда

M = [E] = [F] = [G] = L'.

Для первых квадратичных форм наших поверхностей воспользуемся обозначениями ds2 и ds\ соответственно. Тогда

ds2 = Exdu2 + 2Ftdudv + Gtdv2, ds¡ = E2du2 + 2F2dudv + G2dv2. Отношение данных квадратичных форм

dsl P = -dt

есть величина безразмерная. Величина р есть функция от dn: dv (если и и V фиксированы).

Нахождение стационарных значений для р сводится к нахождению

= 0.

собственных чисел пары квадратичных форм и приводит к уравнению

р2(£,G, - F2) + p(2FxF2 - EtG2 - E2GX) + (E2G2 -F2) = 0. (5)

Корни px, p2 (безразмерные) данного уравнения суть наибольшее и наименьшее локальное искажение длин в данной точке. Касательные направления dw.dv, доставляющие величине р стационарные значения, суть главные направления пары квадратичных форм. Из курса дифференциальной геометрии известно, что если собственные числа Pi,p2 различны, то главные направления ортогональны. Уравнение главных направлений имеет вид E2du + F2dv E{du + Ftdv F2du + G2dv Fxdu + Gxdv Введение толщины слоя заполнителя в математическую модель. С каждой точкой ориентируемой поверхности

Z: R = F(h,v)sC2, (u,v)eficM2 связан вектор Лп, где п - единичный вектор нормали, h = const, и ориентация базиса неизменна. Требуется вычислить

коэффициенты первой квадратичной формы поверхности

R = г(м,у) + йп еС2, (M,V)SQCR2. (6)

Заметим, что п = где g = ^EG-F2, К = г +

g g

соответственно,

R =_(7)

g g

Теперь, для отыскания коэффициентов первой квадратичной формы поверхности ХА, используем формулу (2).

В третьей главе рассматриваются скалярные и векторные поля на поверхностях, находящихся в точечном соответствии, а также вводятся новые инварианты теории поверхностей - «совместные кривизны».

В предыдущей главе мы располагали средствами учета экстремальных значений искажений локальных длин в соответствующих точках поверхностей (факты, относящиеся к внутренней геометрии поверхности) при невозможности судить о направлении изгибания поверхности. Скалярные поля.

Именно, пусть мы имеем дело с параметризованными поверхностями

Z,:R = 4(«,v), X2:R = r2(W,v). (1)

класса гладкости не ниже второго. Точки M,=i^(m,v) и М2 = г, (u,v)

являются соответствующими (соответствие поверхностей, обусловленное

10

параметризацией, общей для них, мы называем поточечным соответствием). Для первых квадратичных форм наших поверхностей снова воспользуемся обозначениями и соответственно. Тогда с1я2 = (¿Л;, сЯ\) = Е^и2 + + ,

= (¿/г,, ¡/г,) = Е2с1и2 + 2Е2с1и^ + С2йм2. (2)

Вторые квадратичные формы, соответственно, имеют вид ¿1/г,2 = (а?2!; ,п,) = Ь^и2 + 2 М,г/и<Л> + Л^у2,

Й№2 = (с/2г2,п2 ) = Ь2с1и2 + 2 М2ЙЫУ + А^с/у2. (3)

Здесь п, ,п2 суть единичные нормальные векторы поверхностей X, И 12

Для поверхностей, находящихся в поточечном соответствии, введем следующие величины.

Определение. Совместными кривизнами нормальных сечений поверхностей (1) будем называть следующие отношения.

£(1,2) _ (^'"О _ ь^и2 + 2м^ийу + Ы^У2 (¿/г,,^,) Е^и2 + 2Е2с1ис1у + 02с1\>2 '

(2,1) _ _ + 1М2с1ис1\> + А^у2

Представление о совместных кривизнах дает Рис. 3.

Рис. 3. Геометрический смысл совместных кривизн. Здесь есть квадрат касательного смещения из точки Л/

поверхности X, в точку ^ на касательной прямой т,. Данное смещение -

главная часть вектора MІQІ, определяемого смещением из точки Л/ в точку е X,• Величина (с/21*,п,) есть удвоенная главная часть отклонения точки <2, от касательной плоскости а, поверхности X,, проведенной в точке М,. Таким образом, совместная кривизна /г''";| равна удвоенному отношению главной части отклонения точек поверхности , близких к точке М(, от касательной плоскости а,, к квадрату касательного смещения из точки М ■ в точку Qj е X, •

Иначе говоря, величина А-'1,2' показывает, насколько будет

п

искривлена первая поверхность, если мы сместимся по второй поверхности в направлении, определенном отношением дифференциалов с1и:с1у.

Уравнения главных направлений, доставляющих величинам А:0,2' и стационарные значения, имеют вид, соответственно:

Егс1и + /^¿/у

Ьх(1и + М,с/у Р2с1и + Сг(1\> Мх(іи +Л']сі\>

= 0.

ЕАи + Ксім

Ь2с1и + Мгй\

Рхс1и + М2с/и +

= 0.

Из этих уравнений мы получаем по паре ортогональных векторных полей на каждой из поверхностей, находящихся в поточечном соответствии. Рассматривая векторные поля на «деформированной» поверхности, мы можем получить направления наибольших и наименьших искажений.

Например, возьмем кусок плоскости .Р0=[и,у,0] и поверхность

Рх = [и,V, 0.3- +0.03-V3-0.04-г/3], для визуализации векторного поля воспользуемся средствами Мар1е:

Л- — .4 > X N > > г< * ■• -

—*—— — - >

Рис.4. Векторное поле на поверхности Р.

Однако, сама по себе визуализация векторного поля не несет в себе практической ценности, нам нужно иметь возможность воспользоваться данными для решения практических задач. Для этого найдем интегральные кривые в численном виде.

Рис. 5. Интегральные кривые векторного поля поверхности^.

Линии построены по численному решению с помощью стандартных средств Маріє.

В результате, в виде интегральных кривых векторного поля на поверхности Р] мы получили линии, вдоль которых проходит деформация плоскости Р0 при приведении ее в положение «деформированной» поверхности Р1 .

В четвертой главе приводится инструмент оценки величины деформации. Фиксируя на какой-либо из лицевых поверхностей модели панели с сотовым заполнителем «окружность» (в общем случае эти замкнутые линии не будут являться окружностями) и опуская перпендикуляры из каждой ее точки ко второй лицевой поверхности, мы получим следующую конструкцию:

При приведении этой модели панели в «деформированное» положение, мы фиксируем изменение длин этих «окружностей»

А, В:

Пример.

Пусть задана поверхность Р = [м,у, 0.1 -и2 -0.2- V2].

Рис 8. Поверхность Р (выделена красным цветом) и лицевые поверхности модели панели с заполнителем (выделены зеленым и синим) «Окружность» задается на условно названной нейтральной (красной) поверхности, после чего опускаются перпендикуляры на лицевые поверхности.

Рис.9. «Окружности» на поверхностях. Случай отрицательной гауссовой кривизны.

С помощью численных методов фиксируем длины этих окружностей:

ДЛИНА «ОКРУЖНОСТИ» НА НЕЙТРАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 6.422257

ДЛИНА «ОКРУЖНОСТИ» НА «ПЕРВОЙ» ПОВЕРХНОСТИ 6.984669

ДЛИНА «ОКРУЖНОСТИ» НА «ВТОРОЙ» ПОВЕРХНОСТИ 6.020131

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ 6.283185

Рис.10. «Окружности» на поверхностях. Случай положительной гауссовой

кривины.

Пятая глава посвящена установлению связи между объектами механики деформируемого твердого тела и математической моделью, предложенной в работе - построению тензора деформаций,

Применяемая нами модель сотовой панели основана на паре поверхностей, между точками которой установлено точечное соответствие, причем соответствующие точки соединены отрезками одинаковой длины, ортогональными обеим поверхностям. Таким образом, сотовая панель допускает рассмотрение в качестве деформируемого твердого тела Наличие отрезков, жестко связанных с ограничивающими поверхностями, налагает определенные ограничения на преобразование панели: точка, лежащая на упомянутом отрезке на расстоянии И от нижней грани, перейдет в точку, лежащую на новом отрезке, ортогональном уже новой поверхности , но (примерно) на том же расстоянии от своей нижней грани. Не «точно» - ввиду упругих свойств материала.

Принцип деформации поясняет следующий рисунок.

математической модели.

Здесь ах,аг - криволинейные координаты на «первой» поверхности -до преобразования, /(а,,а2) - третья координата указанной поверхности. Аналогичный смысл имеют ¿>,,£2,/?(6(,62). Вектор (/¡,/^,-1) - градиент функции /(а,,о2) = 2 - направлен по нормали к первой поверхности. Аналогичный смысл имеет вектор (рх,р2,-1)

Я - точка — прообраз деформации, и - точка — результат деформации. Коэффициент к лишь приближенно равен коэффициенту Ь. Детальный анализ показывает, что

и(и1,и2,и3)

о, + оГа, + (Ъ + <Ш) ((~ /(а,, а2) J + • ] + [ > а2) |

Вычисляя |/?£/|2 и исключая из результата производные выше первого порядка, приходим к следующей матрице тензора деформации:

д/ сГ

r / \2 1 + J

дах ) дах да2

О

1 у

1 +

сЦ да2 О

ч&г2У

О

1 +

уда,j

В приложении приведен разработанный комплекс программ. В ней представлено описание работы процедур, включенных в комплекс, список процедур, а также сами тексты программ со схемой использования процедур в программах.

Схема использования процедур в программах (на примере построения геометрической модели деформированной сотовой панели):

Модель деформированной сотовой панели

1SK KR1V NAPR

ZVET

POROG

SURFER

На входе в программу задается поверхность Р (первая граничная пластина сотовой панели, подвергнутая деформации) и длина Ь отрезков, нормальных к данной поверхности в каждой её точке. Получаем поверхность Я, соответствующую первой поверхности параллелизмом касательных плоскостей. Это вторая граничная пластина сотовой панели. Для полученной пары поверхностей вычисляются: экстремали локальных искажений длины в соответствующих точках, совместные кривизны, касательные направления, задающие экстремальные искажения локальных длин, строится цветовая диаграмма для каждого из экстремумов локальных искажений длин - с расшифровкой числовых значений, изображенных цветом. Для выбираемого нами порогового значения любого из вычисляемых скалярных полей строится диаграмма,

индексирующая одним цветом область с «допороговым» значением и другим - область с «послепороговым» значением. Наконец, для любого из скалярных полей вычисляется матрица значений в узлах прямоугольной сетки, позволяющая обратиться к программе SURFER. Процедура ISK. Вычисляет экстремальные величины искажений локальных длин. Процедура анализирует точечное соответствие упорядоченной пары поверхностей, заданных вектор-функциями одних и тех же аргументов. Вычисляет отношение локальной длины второй поверхности к локальной длине первой, а также отношение локальной площади второй поверхности к локальной площади первой поверхности. Пакет линейной алгебры не используется.

Процедура KRIV. Процедура вычисляет сумму квадратов главных кривизн, полную кривизну, среднюю кривизну и коэффициент элемента площади. Пакет линейной алгебры не используется.

Процедура NAPR. Ищет главные направления искажения метрики. Процедура анализирует точечное соответствие двух поверхностей, заданных вектор-функциями (А-первая, В-вторая). Вычисляется отношение локальной длины второй поверхности к локальной длине первой, находятся направления экстремальных искажений длин. Пакет линейной алгебры не используется. На выходе — массив , элементы которого - поля касательных векторов направлений экстремальных искажений.

Процедура ZVET. На входе - функция F(u,v) (и е (H,,u2),ve (v,,v2)), заданнаю на поверхности, определяемой вектор-функцией R(u,v), и параметры N, Gl, G2, Q, обеспечивающие присвоение определенного цвета каждой точке поверхности в зависимости от значения функции F в этой точке. На выходе - поверхность, раскрашенная указанным образом, и диаграмма, расшифровывающая зависимость цвета от значения функции. Параметр N - число точек для замера цвета. При этом Gl, G2 задают число делящих точек на сторонах координатного прямоугольника, Q задает число градаций для расшифровки цвета.

Процедура POROG. На входе - поверхность, заданная вектор-функцией R = R(u,v). ие(и„иг), ve(v,,v2),функция F= F(u,v) и константы G, с. Процедура отображает поверхность R = R(u,v) красным там, где F <с и синим там, где F>c. G задает число делящих точек на сторонах координатного прямоугольника. Описание функции F выводится на монитор перед картинкой

Процедура SURFER. На входе - вектор-функция [X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)], (и е (к,, и2), v е (v,, v2)). Процедура строит равномерную сетку (и,, vy), N - число делящих точек по параметрам и,v. Процедура вычисляет двумерный массив [Ar(t/(,vy),K(i/(,vy),Z(i/(,vy)] и путем изменения нумерации

превращает в одномерный массив [X(uk,vk),Y(uk,vk),Z(uk,vk)]. Этому массиву соответствует матрица, которую процедура экспортирует в формате, пригодном для использования программой SURFER. Необходимость в данной процедуре объясняется тем, что SURFER указывает значение функции на изображаемых им линиях уровня, что не реализовано в Maple. Процедура адаптирована к Maple 15. Заключение:

В результате выполнения работы, в соответствии с поставленной целью, с точки зрения дифференциальной геометрии приближенно рассмотрены процессы, происходящие при деформации панели с сотовым заполнителем. В итоге, в работе:

1. Построена математическая модель панели с сотовым заполнителем.

2. Предложен математический аппарат, позволяющий рассматривать процесс деформирования панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии. Для описания геометрических свойств модели применены экстремальные значения отношения метрических форм, и т.н. «совместные кривизны», характеризующие точечное соответствие поверхностей, и их экстремальные значения.

3. Для предложенной математической модели деформации панели с сотовым заполнителем построен тензор деформаций, характеризующий изменение формы модели панели с сотовым заполнителем.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи, в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1. Бухтяк М.С., Никульчиков A.B. Оценка среднеквадратичного отклонения поверхности параболического рефлектора от шестиугольной фронтальной сети. Вестник Томского Государственного Университета. Математика и Механика, №4(20), 2012 г. -С. 5-14.-0,30 п.л.

2. Бухтяк М.С., Никульчиков A.B. Моделирование деформации сотовой панели. Вестник Томского Государственного Университета. Математика и Механика, №2(22) 2013 г. - С. 5-16. - 0,32 пл.

Статьи, опубликованные в других научных изданиях:

1. Никульчиков A.B. О моделировании точечного соответствия поверхностей. Современные проблемы математики и механики 2012. Сборник трудов III всероссийской молодежной научной конференции: Изд. ТГУ - 2012 г. - С. 5-16. - 0,32 п.л.

2. Никульчиков. A.B. Визуализация главных кривизн в среде Maple. Конференция «Ломоносов 2011»:Сборник трудов конференции: Изд. МГУ-2011.- 0,04 п.л.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

На правах рукописи

04201456028

Никульчиков Андрей Викторович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ДЕФОРМАЦИЙ ПАНЕЛИ С СОТОВЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель канд. физ.-мат. наук, доцент

Бухтяк М.С.

Томск - 2013

Оглавление:

Оглавление:....................................................................................................................................2

Введение.........................................................................................................................................4

Глава 1............................................................................................................................................9

1.1. Общие сведения о композиционных материалах............................................................9

1.1.1. Применение композиционных материалов в промышленности............................9

1.1.2. Материалы, используемые при изготовлении композиционных материалов.....10

1.1.4. Сэндвич-панели.........................................................................................................12

1.2. Моделирование композитных материалов и процессов, происходящих при их деформациях............................................................................................................................14

1.2.1. Общие сведения о математическом моделировании.............................................14

1.2.2. Математические модели композитных материалов..............................................16

1.2.3. Различные способы исследования композитных материалов и сэндвич-панелей на прочность........................................................................................................................17

1.2.4. Процесс деформации композиционных материалов и процессы структурного разрушения...........................................................................................................................20

1.3. Другие методы инженерного анализа............................................................................25

1.3.1. Общие сведения об инструментах инженерного анализа.....................................25

1.3.2. Численные методы инженерного анализа..............................................................26

1.3.3. Применение МКЭ при исследовании деформаций сэндвич-панелей..................28

Заключение..............................................................................................................................32

Глава 2. Моделирование точечного соответствия поверхностей...........................................33

2.1. Общая постановка вопроса..............................................................................................33

2.2. О точечном соответствии двух поверхностей...............................................................35

2.3. Моделирование изгибания сотовой панели...................................................................44

Заключение..............................................................................................................................54

Глава 3. Поля на поверхностях, находящихся в точечном соответствии..............................55

3.1. Соображения общего характера.....................................................................................55

3.2. Скалярные поля................................................................................................................55

3.3. Векторные поля................................................................................................................66

Заключение..............................................................................................................................69

Глава 4. Измерение величины искажения.................................................................................70

Заключение..............................................................................................................................^

Глава 5. Приложения к задачам механики...............................................................................77

5.1. Построение тензора деформации........................................................................................77

5.2. Рекомендации по замощению параболоидного купола....................................................89

Заключение..............................................................................................................................^8

Основные результаты и выводы..............................................................................................100

Приложение А. Комплекс Мар1е-программ...........................................................................102

1. Состав комплекса программ.............................................................................................102

2. Мар1е-процедуры, входящие в комплекс программ......................................................104

2.1. Процедура OTNKRIV..............................................................................................104

2.2. Процедура ISK............................................................................................................105

2.3. Процедура KRIV.........................................................................................................106

2.4. Процедура LINJJROVN...........................................................................................106

2.5. Процедура ZVET........................................................................................................107

2.6. Процедура KON..........................................................................................................108

2.7. Процедура SURFER...................................................................................................108

2.8. Процедура POROG.....................................................................................................109

2.9. Процедура GRAD.......................................................................................................109

2.10. Процедура POLE......................................................................................................109

2.11. Процедура NAPR......................................................................................................110

2.12. Процедура TRAEKT.................................................................................................110

3. Компоновка Мар1е-программ...............................................................................................111

3.1. Программа «Поля и градиенты параллельных поверхностей»..............................111

3.2. Программа «Скалярные и векторные поля. Градиент»..........................................124

3.3. Программа «Области и граница»..............................................................................127

3.4. Программа «Модель деформированной сотовой панели».....................................135

3.5. Программа «Окружность в криволинейных координатах»...................................146

Список использованных источников......................................................................................160

Введение.

Актуальность работы.

В связи с повсеместным использованием в промышленности

композиционных материалов и конструкций (например, аэрокосмическая отрасль, морская промышленность) часто возникает вопрос о поведении этих конструкций при различного рода нагрузках, в частности, об их устойчивости и особенностях их деформации.

Существует много различных видов экспериментов и видов расчетов, призванных определить величину деформации панели с заполнителем, каждая из которых наряду с достоинствами не лишена и определенных недостатков. В случае натурных экспериментов исследователи сталкиваются с особыми требованиями к проведению экспериментов (например, в случае исследования устойчивости панелей с заполнителем к взрывным нагрузкам нужно соблюдать четкие правила техники безопасности, нужен полигон, пригодный для взрывных работ и т.д.); способы, принятые в механике композиционных материалов (например, системы уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами) имеют определенную сложность; или, в случае конечно-элементного анализа, требуют весьма дорогостоящих программных продуктов.

Таким образом, математическое моделирование деформаций панелей с заполнителем представляют существенный интерес для исследователей. Такие исследования с точки зрения механики композитов проводятся с помощью уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами, характеризующими отдельные компоненты композиционной структуры. Такой подход существенно затрудняет решение возникающих при проектировании задач. С 70-х годов XX века для композитов регулярной структуры используется асимптотический метод осреднения, при использовании которого быстро изменяющиеся коэффициенты предстают в виде периодических функций.

В тех случаях, когда для решения поставленной в ходе разработки конструкции не требуется детального рассмотрения процессов, происходящих в панели с заполнителем, а достаточно указать в каких пределах происходит изменение локальных метрических свойств сэндвич-конструкции, то применение более простых способов оценки величины деформации, основанных на геометрических методах, является более оправданным. Например, если при проектировании конструкций с сотовым заполнителем возникает необходимость придать панели какую-либо специфическую форму (например, прикрепить панель к какой-либо поверхности), то необходимо иметь возможность оценить величину деформации еще на этапе проектирования. Таким образом, представляет интерес использовать аппарат геометрии для вычисления экстремальных значений отношения метрических форм («исходной» поверхности, т.е. поверхности до манипуляций и «деформированной» поверхности), по которым можно судить о величине деформации панели. Поскольку деформации распределены по панели неравномерно, то речь может идти только о локальном исследовании. Следовательно, геометрия имеется в виду в первую очередь дифференциальная. Даже если невозможно обойтись без дорогостоящих натурных испытаний, предварительный анализ методами моделирования позволит сузить поле эксперимента, что приведет к экономии ресурсов.

Цель работы: создание математической модели деформации, позволяющей в рамках дифференциальной геометрии решать ряд задач, традиционно решаемых в механике деформируемого твердого тела.

Выбор программной среды для решения достаточно богатый (Mathematica, MatLab, Maple, MathCad и др.) и был осуществлен в пользу Maple (причем имеется в виду так называемый Classic Worksheet). Не последнюю роль сыграло следующее обстоятельство: примерно с конца 1997 года версия Maple V R4 открыто и бесплатно распространяется через Internet,

а значит, объем публикаций Мар1е-программ именно на языке Classic Worksheet (а он с тех пор существенно не менялся), практически необозрим.

Последовательное достижение целей исследования конкретизировалось в представлении панели с сотовым заполнителем в виде пары поверхностей, находящихся в точечном соответствии, причем отрезки, соединяющие соответствующие точки, лежат на общих нормалях этих поверхностей. Соответствие поверхностей такого рода рассматривалось различными геометрами. Существенные для нас моменты приведены В.Ф. Каганом в работе «Основы теории поверхностей». Применение данной конструкции для наших целей потребовало решения следующих задач:

1. Построение математической модели панели с сотовым заполнителем.

2. Разработка математического аппарата, позволяющего рассматривать процесс деформации панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии.

3. Установление связи между объектами механики деформируемого твердого тела и объектами предложенной математической модели, подтверждающей адекватность предложенной модели.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые:

1. Применена модель сотовой панели на основе пары поверхностей, соответствующие точки которых соединены отрезками одинаковой длины, нормальными для обеих поверхностей. В отличие от теории деформируемого твердого тела и от механики сплошной среды мы в основу модели кладем пару ограничивающих поверхностей со специфическим точечным их соответствием.

2. Для описания геометрических свойств модели применены, кроме экстремалей отношений метрических форм, совместные кривизны и их экстремали.

3. Применены направления экстремальных отношений метрических форм.

4. Для предложенной модели деформации панели с сотовым заполнителем построен тензор деформаций.

5. Разработаны рекомендации по замощению параболоидного купола трапецевидными кусками панели с сотовым заполнением, существенно опирающиеся на геометрические построения.

Для отмеченных геометрических конструкций построены алгоритмы, реализованные в Мар1е-программах.

Теоретическая значимость. Представленные в работе теоретические исследования включают в себя:

1. В сформулированных новых инвариантах теории поверхностей -т.н. «совместных кривизнах».

2. В способе задания и применения поточечного соответствия поверхностей.

3. В построенном для модели панели тензоре деформаций. Практическая значимость. Модель, построенная в работе, и реализованная в Мар1е-программах, позволяет оценивать изменения, происходящие в обеих ограничивающих поверхностях панели с сотовым заполнителем.

Достоверность полученных результатов обеспечивается адекватностью и непротиворечивостью используемого математического аппарата, тщательным тестированием программ и анализом результатов. Для подтверждения результатов, полученных в ходе работы, также был проведен схожий эксперимент, основанный на методе конечных элементов, показавших близость результатов теоретической модели с результатами, полученными с помощью конечно-элементной модели.

Личный вклад автора заключался в анализе литературных данных, написании и отладке программ, обсуждении полученных результатов.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Геометрическая модель панели с сотовым заполнителем.

2. Математический аппарат, позволяющий рассматривать процесс деформирования панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии.

3. Построенный в ходе работы тензор деформаций, характеризующий изменение формы модели панели с сотовым заполнителем.

Апробация работы основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях различного ранга: III Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики-2012». (Томск, 23-25 апреля 2012 года), XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов»-2011. (Москва, МГУ, 11-15 апреля 2011 года), Объединенный семинар кафедры геометрии ММФ ТГУ и отдела математической физики НИИПММ ТГУ, (Томск, 16 октября 2013 года), Семинар механико-математического факультета КемГУ. (Кемерово, 6 ноября 2013 года).

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 2 печатные работы, опубликованные журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций. Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка литературы из 157 наименований, содержит 60 рисунков, 3 таблицы. Общий объем диссертации составляет 175страниц.

Глава 1.

1.1. Общие сведения о композиционных материалах.

1.1.1. Применение композиционных материалов в промышленности

Композиционным (или композитным) материалом называются материалы, обладающие следующими свойствами [1]:

1. Не встречаются в природе, так как созданы человеком.

2. Состоят из двух и более компонентов, различающихся по своему химическому составу и разделенных выраженной границей.

3. Имеют новые свойства, отличающиеся от свойств составляющих их компонентов.

4. Неоднородны в микромасштабе и однородны в макромасштабе.

5. Состав, форма и распределение компонентов «запроектированы» заранее.

6. Свойства определяются каждым из компонентов, которые в связи с этим должны быть в материале в достаточно больших количествах (больше некоторой критической величины)

Изначально применявшиеся в аэрокосмической отрасли как жесткие и прочные материалы [2], обладавшие небольшим весом, постепенно они проникли и в другие сферы промышленности. В морской отрасли, например, использование композитов стабильно увеличивается с начала 1950-х годов, что частично обуславливается низкой стоимостью стекловолоконного волокнита (FRP - Fibre Reinforced Polymer). Вначале этот материал применялся на небольших судах, спасательных шлюпках и прогулочных катерах, но потенциальная область применения очень широка — радары, мачты и трубопроводы, корпуса кораблей, их надстройки и подводные аппараты [3,4]. Например, яхты, участвующие в регате «Кубок Америки», имеют полностью композитные корпуса, кили и мачты. В последние десятилетия композитные материалы все больше проникают в отрасли, далекие от аэрокосмической - кузова гоночных автомобилей, изготовленные

из композитов, дают большую защиту водителям (отнесенную к единице массы) [5]; спортивный инвентарь теперь тоже все больше и больше изготавливается из композитных материалов: ракетки для тенниса, клюшки для гольфа, весла для лодок, велосипеды и т.п. Применение этих материалов также включает в себя высокоскоростные поезда, вагоны поездов метро и надводные корабли [6]. Помимо меньшего веса, композитные материалы имеют и другие преимущества, такие как: способность выдерживать воздействие агрессивной окружающей среды, надежность, ремонтопригодность и стоимость эксплуатационного периода.

1.1.2. Материалы, используемые при изготовлении композиционных материалов.

Композиционные материалы можно классифицировать по типу

используемых материалов:

Композиты:

1) Полимерные композиционные материалы

2) Металлические композиционные материалы

3) Керамические композиционные материалы

4) Углеродные композиционные материалы

Также композиционные материалы можно классифицировать по виду армирующего наполнителя: волокнистые (армирующим компонентом служат волокнистые структуры), слоистые, наполненные пластики (армирующим компонентом служат различные частицы). В свою очередь наполненные пластики могут быть разделены на насыпные (гомогенные) и скелетные (начальные структуры, заполненные связующим элементом). Армирующие компоненты могут представлять собой различные волокна, порошки, микросферы и кристаллы и т.п.

Несущие слои панелей, и