Геометрия коротких корневых подгрупп в группах Шевалле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

>Г6 од

- 1 ЯР ^96 САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НЕСТЕРОВ Владимир Викторович

ГЕОМЕТРИЯ КОРОТКИХ КОРНЕВЫХ ПОДГРУПП В ГРУППАХ ШЕВАЛЛЕ

Специальность 01.01.06. —математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории Саякт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физ.-ыат. наук, профессор

Н.А.Вазилов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор фиэ.-маг. наук, профессор кандидат фнз.-мат. наук, доцент

Н.Л.Гордеев А.В.Степанов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Московский государственный университет им. М.В.Лоыонс

Защита состоится 2.4 ШлЛа^Х 1996 г. в 17 часов на засе; диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертации I искание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургскс сударствешгом университете. Адрес совета: 198904, С-Петер Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механич факультет Саякт-Петербургского государственного универси1

Защита будет проходить по адресу: Санкт-Петербург, наб. Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научнс блиотеке им, А. М. Горького СПбГУ, Университетская наб.,

Автореферат разослан декабря 1995 г.

Ученый секретарь Совета, канд. фиэ.-мат. наук, доцент

Р.А.Шми/

-з -

■ . общая характеристика. работы :

Актуальность темы. ' '

В теории грушх и смежных с ней дисциплинах очень важное значение имеют группы Шевалле. В свою очередь, эти группы порождаются длинными и короткими корневыми унипотентными элементами. Отсюда происходит немалый интерес к "пониманию стру г-ул подгрупп, которые ими могут быть порождены. Так, до сих пор полностью не решена проблема описания неприводимых подгрупп, порожденных корневыми подгруппами и элементами. "м С одной стороны,"геометрия длинных корневых подгрупп дос-га-

1 точно' хорошо' изучена. ' В' результате многочисленных работ, начиная с [1], были описаны неприводимые подгруппы, порожденные -длинными корневыми1 подгруппами и 'элементами. -Для классических групп это описание завершено в [2] - [б]. Для исключительных — в [б] - [8].

Ключевым моментом в изучении неприводимых подгрупп и в других классификационных'задачах явилось описание подгрупп, порожденных парой длинных корневых подгрупп (см. [9]). Впоследствии ' этот факт часто передоназывался (см. {4], [6], [10]) и нашел применение при решений многих вопросов(см. по атому поводу обзор [11] и ' последние исследования по ^-корневых подгруппам в [1?,] - Г141У

С другой стороны, ситуация с короткими корневыми подгруппами совершенно иная. Известно лишь описание неприводимых подгрупп, порожденных короткими корневыми подгруппами; в случае -классических групп (см. [15],'[16]).

'•" В данной диссертации делается следующий шаг в этом направлении. А именно, классифицируются пары подгрупп, порожденные короткими корневыми подгруппами и описываются орбиты группы Шевалле, действующей одновременным сопряжением на таких ии.-рах..|. • ■ :• -"/ -г !.;-■ ••.■ .■■••..•.,<.-. >•

На примере ортогональной группы в диссертации демонстрируется как на основе полученной классификации можно описать неприводимые подгруппы, . порождешше, короткими корневьши иод-группами. При втом метод и техника, докаэательства совершенно не зависят от геометрии данной группы и могут быть использованы при описании неприводимых подгрупп в любой группе Шевалле. В ©том состоит главное отличие дайной работы от предшествующих работ, которые опирались на специфические свойства, связанные с представлениями конкретных групп.

В перспективе лолучешгое описание, подобно аналогичному описанию для пар длинных корневых.подгрупп, может сыграть решающую роль при решении разного рода задач,, связанных с порождениями корневыми подгруппами и их обобщениями, в группах типа

И> [11], [17], .

Цель работы.

Описать подгруппы, порожденные парой коротких корневых уни-потентных;подгрупп в,группах Шеваляе типа В;,С/ и Р<; получить аналогичное описание дляпар, состоящих из длинной и короткой корневых подгрупп в группе Шевалле типа вз. На основе получен-:тт*х классификаций развить методы и технику описания неприводимых подгрупп, порожденных короткими корневыми подгруппами.

Общая методика нсследовшшя. , \

Попользуется аппарат теории групп Шевалле, также применяются-общие методы линейной алгебры, проективной геометрии и теории абстрактных групп. • ; ■

Научная новизна«-. .. . , >!._•• • • . .. \\х

Все основные результаты диссертации являются новыми.

- Б -

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использовали в вопросах изучения порождений групп, описании неприводимых подгрупп в группах Шевалле и других вопросах, связанных со строением групп Шевалле над произвольный полем.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов ПОМИ АН РФ и кафедры высшей алгебры и теория чисел СПбГУ, на конференции в Обервольфе (Германия) и обсуждались в школе-семинаре на Крите (Греция).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [N1], [Н2],.[НЗ].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав, подразделенных на 13 параграфов, ее объем составляет 72 ТеХ-страницы. Библиография содержит 46 наименований.

Содержание: работы

Глава I. Пары коротких корневых подгрупп в группах Шевалле типа В/, С/,

В § 1 вводятся стандартные и новые обозначения, используемые далее и напоминаются некоторые хорошо известные факты.

§ 2 содержит формулировки основных результатов главы: теоремы 1 и 2 о парах коротких корневых подгрупп. В описании рассматриваемых пар используются известные результаты о ларах длил-

нал - длинная (теорема А) и длинная - короткая корневые подгру] пы (теорема В).

Напомним, что пара длинных корневых подгрупп может образ-вать одну из пяти конфигураций, которые обозначаются (Ь1) - (Ъ5) теореме А. Пара из длинной и короткой корневых подгрупп — одт из шести, (ЬБ1) - (ЬЭб) в теореме В.

Для подгрупп Х\, Х2 в группе <7 обозначим соответственно чер< Л = Л(Хх,Хз) ий = 1,^2) число коротких и длинных корневь подгрупп, содержащихся в группе, порожденной Х\ и Х2, {Х^Хъ)

Пары коротких корневых подгрупп имеют следующее описание

Теорема 1. Пусть Х\1 — две различные короткие корнев1 подгруппы в универсальной группе Шевалле <7(Ф,.К") типа В(, С| и. Р4. Предположим, что сЬахХ ф 2, Тогда

1) Х\ и Х2 порождают группу, изоморфную одной из грутг(81) (321) перечисленных ниже;

2) пары (XI, Хз) принадлежащие к различным случаям не сопр жены в в и число орбит под действием сопряжением парах одного и того же случая равно í (мы опускаем & — 1,

(81) Хх х Х2, |Л| = з + 1 или оо, |П| = О, Ф = Си Р4;

(82) ХгхХ2, |Л| = д+1 или оо, |П| = 0, й = |{ ±с е К | с?-4 £ К'2 Ф=В(, С|, Р4;

(БЗ) Х!хХ2, |Л| = или со, |П| = 2, <£ = |{ ±с е К | с3 -4 € К*'3 Ф=ВЬ СЬ Р4;

(34) Х1 х Я2, |Л| = д, или оо, |П| = 1, Ф = В|, С{, Р4;

(ЭБ) Хх х Хя, |Л| = 3, |П| = О, Ф = С,, Р4;

(Б6) Хг х Х2, |Л| = 2, |П| = 0, 6 = 1 для Ф = В/ и & для Ф = С/,

(Б7) ХхХзЯ, 2 = \ХиХ7] € Я, |А| = или оо, |П| = 1, (Хи

как в (ЬЭ!), » = 1,2, Ф = В/, С/, F^;

(58) ХгХ7г, Z = [XI( X3] 6 ft, |Л| = 2q или со, |П| = 1, d = {q - l)/2 или oo, (X;,Z) как в (LSI), i" = 1,2, Ф = В/, F4)-

(59) 2 = ЛГа] € Л, |Л| = 2« или oo, |П| = 1, d = 2, (X;, Z) кок a (LSI), i = 1, 2, Ф = F4;

(S10) ХаХ3У ~ Cf(Aj, K), Y — [ХЬХ2] € Л,(Х;,У) как a (SI), i= 1,2, Ф = Cj, F4;

(SI 1) YMZtfrsiUiCbK), Ylt У2 еЛ, £3 6 ft, (У1(У2) как e (SI), Z2) как « (L3), (Уг, Zx), (У2, как a (LSI), i = 1, 2, Ф = В,, С/, F4;

(512) XiX2YZ a <7(СЬ, К), У е Л, 2 б Í), (Хг,У) как о (S4), (Х2,У) как з (S5), (Х3, Z), (У, Z) как ¿ (LSI), (Xi, г) как в (LS2), Ф = Сг, Р4;

(513) ХгХ2У2, У е А, Z G П, (Х2, г), (У, г) как 0 (LSI), (Xi, Z) как в (LS3), (Хг,У) как в (S2), (Х2,У) как a (S5), Ф = В,, Р4;

(514) (/(С2,К) х г, г € П, Ф = Fi,'

(515) SL2(/C), Ф = В,, Q, F4;

(516) ЗЬз(ЛГ) k Z, Z £ü, если К ф F3 и SL3(К), если К = F3, d = 1 Элл* Ф = В, (/ > 3), Fi и d равно индексу v = {К* : ЛГ*3 U-К'2) Ьлк Ф = Cj;

(517) ЗЬз(/Г) х^х 6 П, (Zi,Z3) как в (L3), если К ф F3, и SL2(/<') х Z, если К = F3, Z — циклическая группа поряЬка 3, Ф = Cj, F4;

(518) 8Ьз(К)Х (Zi х Z-2), ZuZ<i G П, {Zu Z3) как в (L3), Ф = P4;

(519) СГ(Са,Л:)Ярг»я^, Ф = B¡, С,, F4;

(92D) SLa(K) x SLa(Jf), d = |{±ce К | c2 - 4 € K*3}|, Ф = В,, C,, P4.

(S21) SL3(L) x SL2(£), где I/ — квадратичное расширение К, ¡i — = |{±с еДГ|с2-4^К*2}|, Ф = В,, С,, F*.

Когда сКаг К = 2, короткие корневые подгруппы ведут себя точи также, как и длинные.

Теорема 2. При тех же предположениях, что и в теореме 1, у сКагХ = 2, .мы имеем следующие случаи:

(Т1) XI х Хъ, |Л.| = $ + 1 ил и оо, |П| = О, Ф = С{, Г4;

(Т2) Хг х.Хг, |А| = 2, |П| = О, I = 1 для$ = B^, Г* и £ для СI (I > 4

(ТЗ) и(А2!К), Ф = С;, Р4;

(Т4) 8Ь2(К), Ф = В(, С,,

Оставшаяся часть главы 1, главным образом, посвящена доказЕ тельству втих результатов.

Отправной точкой доказательства является разложение Дрюакс роткого корневого унипотентного элемента, вычисленное в [17] (дл В(, С|, Г^). Оно, в сущности, утверждает, что, если х короткий кор невой элемент, то найдется такой и &1/ и либо такой короткий кс рень уу что а; = либо пара длинных ортогональных корне]

от и /?, полуразность которых тоже корень, что х = иха(з)х^(г)и~1.

С использованием втого разложения, пара коротких корневы: подгрупп приводится сопряжением к одной из следующи;

пар (Х0,ХГ) или (Х0,Ха^), где Ха,р = {»»(л)«^-*)} и = -)>„(*; ■хрг(с^) .. б К] и С2,... Ст. некоторые элементы поля К.

Дальнейший анализ всех возможностей и действие элементам] группы Вейля позволяют получить следующее.

Лемма 1.3. Пусть Х\, Xз как в теореме 1. Тогда существует) } £ С такой, что 1 Хг]*1 = Ху илиХа>р и верно одно из следующего

(1) 1X^-1 =ХР1

(2) /Х!/"1 = = {*,<ф5(е4), < € К}

(3) /X!/-1 = {вя(0»р3(сз<)®/»(сз*)»

Случай (3) может встретиться только дляТ^.

Таким образом, конфигурации пар рассматриваемых подгрупп определяются расположением двух - пяти корней. Можно доказать, что такая оценка точна. Это объясняет почему в нашем случае список получается значительно длиннее. Так, орбиты пар длиппых корневых подгрупп определялись, практически, одпим углом. Геометрия пар из длинной и короткой корневых подгрупп зависела от одного или двух углов между корнями.

Следующий шаг — избавиться от коэффициентов с,- при образующих ^„.(с^) (см. лемму 1.3).

Лемма 1.4. Пуетпь Х\, X? как в теореме 1. Тогда, исключал четыре варианта расположения корней (один только для С;), найдется д € С? такой, что

дХхд~х - Хр ьль или • {хр^)хр7^)хрз^)},

и

дХ^д~1=Ху или Хаф.

Эта лемма оказывается точной в том смысле, что в упомянутых в ней исключениях от коэффициентов никакими сопряжениями не избавиться. Для них пара (Хг,Хз) сопряжена одной из пар вида ({*,(<)**(<*)№.*),« е к*.

В случае (319) пары подгрупп сопряжены тогда и только тогда, когда коэффициенты при их образующих с и с' удовлетворяют соотношению с = ±(Рс' для некоторого й € /С*. В случаях (Я2) - (34), (88), (816) - (318) сопряженность пар эквивалентна условию с = ±</.

Кроме того, несмотря на то, что образующие (Х\,Х-2) в каждой тройке случаев (Э2) - (84) и (819) - (321) отличаются только коэффициентом, уже структура подгруппы (Х^, X?) зависит от него. А именно, если с2 — 4 £ К*2, .реализуются случаи (Б2) и (820), если <? — 4 € К*2, то (ЭЗ) и (321) и для с = ¿2, получаем (Э4) и (БЮ).

- ю -

Учитывал результаты леммы 1.4, в § 4 выписываются все пр< ставители орбит.

В § 5 отождествляются порождения X = (Хх^Хъ) с соотвегству щими группами и перечисляются корневые подгруппы, содержат еся в X.

Таким образом, для завершения доказательства теоремы 1 (ел чай характеристики отличной от двух), остается разобрать сопр женность или не сопряженность тех пар, которые имеют одинаков описание в § 5. Это, в точности, те пары, порождения которых < впадают и содержат одинаковое »ясло корневых подгрупп. Эгоь собственно, и посвящен § 6. 4

Окончательно, в § 7 (случай характеристики два) доказывает теорема 2, которая достаточно легко вытекает из теоремы 1.

Глава Д. Расположение длинной и короткой корневых пс групп в группе Шевалле типа Сг-

Эта глава имеет дело с парой длинная-короткая корневые ас группы в группе Шевалле типа ва. Ее построение, также как метод исследования, в сущности, такие же, как и в главе 1. В < вводятся некоторые обозначения и описывается матричное предст вление группы, которое используется в дальнейшем при проведен вычислений.

В § 2 сформулированы основные результаты.

Теорема 3. Пусть X — длинная, У — короткая корневые п> группы в группе Шевалле С?(0з,К). Предположим, что сЬатК ф Тогда

1) X и У порождают одну из групп^Ь81)-(Ь85), перечислены

ниже;

2) пары (X, У) сопр/гжены в <7 тогда и только тогда, когда с принадлежат к одному и тому же случаю.