Глобальный вариационный анализ. Интегрируемые системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК с? ' МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

л; ! ИМ. В.А. СТЕКЛОВА

Т 5 од

На правам рукописи

ТАЙМАНОВ Искандер Асанович

ГЛОБАЛЬНЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 1994

Работа выполнена в Институте математики Сибирского отделения РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Козлов доктор физико-математических наук И.М. Кричевер академик РАН А.Т. Фоменко

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им, В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 1994 года

в час. мин. на заседании специализированного сове-

та Д 002.38.02 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу : 117966, ГСП-1, Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова.

Автореферат разослан 1994 года.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

М.П.Минеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена применению геометрических методов в теории нелинейных систем и состоит из трех глав

- в главе 1 рассмотрена задача о существовании замкнутых неодноточечных экстремалей многозначных или не всюду положительных функционалов;

- в главе 2 найдены топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на римановых многообразиях ;

- в главе 3 найден метод построения алгебраических кривых большого рода, чьи тэта-функции выражаются через эллиптические, построены новые семейства эллиптических солитонов, которые могут быть суперпозициями сколь угодно большого числа кноидальных волн, указана связь иерархий уравнений Веселова-Новикова, ВКР н Лалдау-Лифшица с четверными секущими многообразий Прима.

Изучение периодических задач для многозначных или не всюду положительных функционалов было начато Новиковым в начале 80-ых годов \ 2 на примере периодических движений частицы в магнитном поле на римаковом многообразии, причем сами постановки возникли из конкретных задач аналитической механики и теоретической физики (уравнения Кирхгофа, Леггета и др.)- В то же время постановка данной периодической задачи обоснована и сама по себе, так как потоки, описывающие движение в магнитном поле, являются естественным обобщением геодезических (к функции Лагранжа надо добавить лишь линейный по скоростям член).

Периодические траектории являются экстремалями функционалов на пространствах замкнутых кривых на многообразиях и к изучению самих функционалов в силу многочисленных причин (многозначность или не положительность всюду вне множества одноточечных контуров, невыполнимость аналогов условия Пале-Смейла) неприменима классическая теория Морса. В настоящее время функционалы, для которых не выполняются условие Пале-Смейла или его аналоги,Интенсивно изучаются, что связано с их ролью в различных задачах математической физики и геометрии

'Новкхов С.П. Много знмиые фукикк ■ фушжяожыы. Акиюг тооржж Морс». // ДАН СССР. 1081. Т.260, N.1. С. 31-34.

2Наикжов С.П. Гвлмьтоиов фориипзи ж ююгозвижый ишг теоржж Морса. // Успех» «тем. нцгк. 1982. Т. 37, выл. 5. С. 3-49.

(например, проблема Ямабе, автодуальные связности и т.д.). Общей теории, позволяющей обобщить и систематизировать многочисленные методы, предложенные для изучения тех или иных функционалов такого типа, пока не создано.

Для изучения рассматриваемых в диссертации функционалов, отвечающих периодическим движениям частицы в магнитном поле, был предложен ряд методов, связанных со спецификой задачи.

Новиковым был предложен метод перекидывания циклов \ позволяющий в основном преодолеть топологические трудности, связанные с не всюду положительностью или многозначностью функционалов. Перекидываемостъ всех циклов для случая однозначных не всюду положительных функционалов была доказала в

Новиковым и автором 3 был выделен класс сильных магнитных полей на двумерных многообразиях и предложен подход к нахождению несамопересекающихся замкнутых экстремалей на двумерной сфере для функционалов, отвечающих таким полям. Полностью доказательство утверждения, сформулированного в 3, и его обобщения на все двумерные многообразия и многозначные функционалы было дано в [6],[8] с помощью метода, предложенного автором.

Иной метод доказательства существования критических точек таких функционалов, состоящий в приближении функционала другими, удовлетворяющими условию Пале- Смейла, и получении критических точек исходного функционала как предельных для критических точек возмущений, был предложен Бахри и автором. Он эффективно работает для случая, когда многообразие имеет положительную кривизну Риччи и выполняется дополнительное условие, состоящее в положительности аналога кривизны Риччи для лагранжевой системы (Mn,gij,Fij), где дц - риманова метрика и F;;- - магнитное поле (замкнутая 2-форма). В этом случае удается полностью обосновать метод перекидывания циклов и доказать существование периодической траектории на любом уровне энергии.

Задача о толологическоих препятствиях к интегрируемости геодезических потоков началась изучаться недавно. Первый пример препятствия был найден Козловым 4, показавшим, что

'Нонков С.П., TiImuob H.A. Перкодпесхке эхстрсмы* шюгоздопшх ыа не ■схя7 волокитимых фуисжохыоа. // ДАН СССР. 1884. Т. 274, N.1. С. 181-18].

'Коиои В.В. Тоиоаогахасие иремтст»» к интегрируемости аатуриавих ме-химесхжх систем. // ДАН СССР. 1978. Т. 249, N.6. С. 1299-1302.

геодезический поток на замкнутом ориентируемом двумерном вещественно-аналитическом многообразии может иметь дополнительный аналитический первый интеграл только в том случае, если это многообразие гомеоморфно сфере или тору.

В основе существования топологических препятствий к интегрируемости лежит тот факт, что согласно теореме Лиувилля кохасательное расслоение к многообразию с интегрируемым потоком устроено в основном достаточно просто по модулю "сингулярного множества,", имеющего меру нуль. Все найденные препятствия являются в действительности препятствиями к существованию достаточно хорошей геометрической картины штока, описываемой дополнительными условиями на "сингулярное множество", причем эти условия отвечают случаям общего положения.

Автором было выделено естественное условие геометрической простоты ([2]), показано, что интегрируемость потока с помощью аналитических функций обеспечивает его геометрическую простоту и найдены топологические препятствия к существованию геометрически простых геодезических потоков на неодносвяхных многообразиях любой размерности.

Совершенно иной класс дополнительных условий возникает при использовании энтропийного подхода к нахождению топологических препятствий к интегрируемости геодезических потоков. Это подход был недавно предложен Патернайном ь, опирается на глубокие результаты Иомдина и Громова о топологической энтропии геодезических потоков и позволяет найти препятствия, не связанные с фундаментальной группой многообразия. В настоящее время этот подход интенсивно развивается Патернайном и автором.

Развитие теории интегрируемых геодезических потоков в последнее время шло в рамках общей теории интегрируемых систем, одной из наиболее замечательных частей которой является теория конечнозонного интегрирования нелинейных уравнений в. Теория конечнозонного интегрирования позволяет находить точные периодические и квазипериодические решения нелинейных уравнений математической физики, к которым применим метод обратной задачи рассеяния. Эти решения строятся по алгебраическим кривым

'Patentais G. Os the topologj ofjnaaiiolds with Completel; integiable géodésie Hoirs. // Ergodic Tbeory and Dynamical System». 1992. V. 12. P. 109-121.

"Дубровин Б.А., Крячевер И.Ы., Новнхов С.П. Интегрируемые системы. I. // Современные проблемы натематни. Фундаментальные направлен**. Т. 4. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 179-285.

и некоторым дополнительным данным и выражаются через тэта-функции этих кривых.

Отдельный интерес представляют задача о построении решений, выражаемых через эллиптические функции, и связанная с ней задача о построении эллиптических солитонов.

Первая из них сводится к нахождению кривых, чьи тэта-функции редуцируются к одномерным, изучалась еще в конце 19-го века в работах Вейерштрасса , Аппеля и др. и вновь привлекла внимание в связи с ее приложениями к теории солитонов 7.

Изучение второй было начато в середине 70-ых годов 8. Общая схема построения эллиптических солитонов была предложена Кричевером 8, первые же существенные продвижения в ее эффек-тивизации были получены Вердье и Трейбихом 10, построившими первые примеры эллиптических солитонов отличных от потенциалов Ламе. В дальнейшем эта деятельность получила развитие в работах Белоколоса и Энольского, Смирнова и автора.

Общей чертой этих задач является то, что они связаны с интенсивно развивающейся в последнее время теорией многообразий Прима, что позволило автору применить для построения новых эллиптических солитонов и получения метода построения алгебраических кривых, чьи тэта-функции редуцируются к одномерным, прямые геометрические конструкции двулистных накрытий, использовав при этом "вычисление" в явном виде многообразий Прима таких накрытий ([4]).

С многообразиями Прима связаны и многие известные уравнения, чьи конечнозонные решения выражаются через тэта-функции этих многообразий. Это - уравнения Веселова-Новикова, Ландау-Лифшица, ВКР. В диссертации показано, как эти уравнения и их конечнозонные решения получаются в результате вырождения (по схеме Мамфорда п) формул четверных секущих для многообразий Прима. Эти результаты могут быть использованы для

'Бедогодос Е.Д., Бобеихо А.И., Матвеев В.Б., Энодьсхх! В.З. Алгеброгеоыетрн-чесжме принципы суперпозиции хожечиозоииш решений интегрируемых нелинейных уравнений. // Успеха мьтем. nijx. 1986. Т. 41, вил. 2. С. 3-12.

'Дубровах Б.А., Новиков С.П. Перисдичесхнй х условко-перисджчесхнй аналога мхогосолхтоххых решехнй уравнении Кортевега-де Фриза. // ЖЭТФ. 1974. Т. 67, выл. 12. С. 2131-2143.

"Кржчевер И.М. Эхлахтпеские решена« уравнении Кадомцева- Петвнашхвли х интегрируемые системы частик. // Фунхк. анализ и его приложении. 1980. Т. 14, вин. 4. С. 45-54.

'"Treibicb A., Verdier J.-L. SoKlona effipliqnee. // Tie Giotleadieck Festschrift. V. III. Prog. Mali., 88, Bixkkaaaei Boatos, 1990. P. 437-480.

"Мамфорд Д. Лехцин о тэта^уикци». М.: Мир, 1988.

доказательства аналогов гипотезы Новикова для таких классов абелевых многообразий (для многообразий Якоби гипотез Новикова была доказана Шиотой 12).

Цель работы. Основные цели работы следующие:

- доказательство существования замкнутых несамоперссекаю- , щихся периодических траекторий движения частицы в сильном магнитом поле на двумерном многообразии ;

- обоснование метода перекидывания циклов и доказательство существования замкнутых экстремалей однозначных функционалов, отвечающих движению частицы в магнитном поле при условна положительности "кривизны Риччи" лагранжевой системы

- нахождение топологических препятствий к интегрируемости геодезических потоков hs, римановых многообразиях ;

- нахождение метода построения алгебраических кривых, чьи тэга-функции редуцируются к одномерным, и построение новых примеров эллиптических солитонов ;

- установление связи иерархий уравнений Веселова-Новикова, Ландау-Лифшица и ВКР с семействами тройных секущих многообразий Прима.

Новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер и может найти применение в вариационном исчислении в целом, качественной теории геодезических потоков, теории ко-нечнозонных решений нелинейных уравнений и ее приложениях к теории алгебраических кривых.

Методы исследования. Методы, применяемые в первой главе, по своей сути относятся к вариационному исчислению в целом и являются новыми. Методы, применяемые в §§1-2 главы 2 носят топологический характер, а применяемые в §3 этой главы используют идеи эргодическсй теории. В §1 главы 3 используются прямые геометрические конструкции алгебраических кривых с искомыми свойствами и эллиптических солитонов, а в §2 этой главы существенно используются идеи алгебраической геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах под руководством Д.В. Аносова и A.M. Сте-пина, В.В. Козлова, А.Т.Фоменко в Московском государственном университете, на семинаре-под руководством В.И. Кузьмянова в

"Sbiot» Т. Chuacteriiatios of Jacobiui wnties ii term* of кЫож eq»tioaa. // Invent. M»tb. - 1886. - V. 83. - P. 33J-J82.

Институте математики СО РАН, семинарах по геометрии в Институте Макса Планка (ФРГ) и в Университете Пенсильвании (США), конференции по геометрии в Математическом институте Обервольфаха (ФРГ, 1990).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах автора [1-9].

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 11 параграфов, и списка литературы, насчитывающего 104 наименования. Объем диссертации 155 стр.

Содержание и основные результаты

Основной целью главы 1 "Замкнутые экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов" является доказательство существования таких экстремалей для широкого класса задач, связанных с движением частицы в магнитном поле или сводящихся к данной модельной задаче.

Обозначим через АР - гладкое замкнутое многообразие, через gij и Fij - риманову метрику и магнитное поле (замкнутую 2-форму) на нем, соответственно.

Как было показано в 2 для ряда важных нелинейных систем периодические траектории, лежащие на заданном уровне энергии, являются экстремалями многозначных или не всюду положительных функционалов вида

S{aK 7) = IjSjVV + A^x^dt (1)

на пространстве Р(Мп), образованном замкнутыми ориентированными непараметризованными кривыми на римановом многообразии Мя, где gij - метрический тензор, a A^dx' - вектор-потенциал глобально определенного магнитного поля (замкнутой 2-формы) F = dA<» на многообразии Мп.

Если задающая магнитное поле форма F точна, то вектор-потенциал глобально определен на всем Мп, и функционал (1) является однозначным. В случае, когда форма F не точна, мы получаем многозначный функционал, причем свойство кривой быть экстремалью не зависит от выбора ветви.

Многообразие одноточечных контуров Мл С Ро(Мп) является многообразием локальных минимумов функционала (1). Объясним, что такое перекидывание циклов для случая, когда функционал 5 однозначен. Рассмотрим область {5 < 0}. Перекидыванием цикла и € М", реализованного отображением ф : К —► Мп полиэдра К, назовем такое непрерывное отображение

цилиндра К х [0,1], что

1) его ограничение на край цилиндра К х 1 совпадает с ф\

2) 0) С {5 < 0}.

Перекидывание каждого »'-мерного цикла порождает нетривиальный класс гомологий пары (Ро(Мп), {5 < 0}), что можно доказать, рассмотрев ее точную гомологическую последовательность. Если все нетривиальные циклы перекидываемы, то

(МтЯ^СЛГ-.П) < д.\тНк{Ро{Мп),{3 < 0};11). (2)

Эти неравенства дают нам достаточно большой запас относительных циклов гомологий, которые заменяют рассматриваемые в теории замкнутых геодезических относительные циклы из Н,(Ро(Мп), Мп). При наличии сходящейся градиентно-подобной деформации для функционала и невырожденности (по Морсу) его критических точек, отвечающих неодноточечным экстремалям, из этих неравенств выводятся следующие оценки на число критических точек (неравенства Морса-Новикова):

ак(5)><11тЯк_1(Мп;К),

где <хк{$) - число критических точек индекса к функционала 5. В §2 главы 1 доказано, что, - если функционал вида

5(7) = / 1{х,х)И,

■'у

где £(ж, АЁ) = А£(х,ж) при А > 0, определен на подпространстве Ро(М") С Р(Мп), образованном стягиваемыми в точку контурами, и существует такой контур т € Ро(Мп), что Я (у) < 0, то все многообразие одноточечных контуров М" С Ро(Мп) перекидывается в область {5 < 0} и, в частности, выполняются неравенства (2) (теорема 1).

В §3 главы 1 дано полное доказательство утверждения, впервые сформулированного Новиковым и автором в 3, и его обобщения на все двумерные ориентируемые замкнутые многообразия и на неоднозначные функционалы:

- если существует такое вложенное компактное 2-мерное подмногообразие И2 С М2 с гладкой границей, что

1) 1епд1к(д№) < /¡уз Р, если форма не точна,

2) 1епд1Ъ.{д№) < если форма F точна,

то существует замкнутая гладкая несамоперссекающаяся кривая 7, являющаяся локальным минимумом функционала

¡Цяф)&х> 4- А{{х)х{)М,

где ¿А — в окрестности 7 (теорема 2).

В §§4-6 главы 1 рассмотрена задача о существовании критических точек функционала 5 в случае, когда кривизна Риччи многообразия Мп положительна и магнитное поле является точной 2-формой.

Пусть К (и, у) - тензор кривизны Риччи метрики <7,/. Определим также 1-форму Н(г) как след преобразования

Мы скажем, что лагранжева система (М71, <7^, Р) имеет "положи; тельную кривизну Риччи",если

тЬ(А-(г,1;)/М-Я(«))>0. В этом случав функционалы

удовлетворяют условию Пале-Смейла и для их критических точек при достаточно малых положительных значениях е, т выполняется универсальная оценка вида

1епдИ1(7) <

связывающая длины экстремалей индексы. Переходя к пределу с, г —► 0, мы получаем, при выполнении условий на "положительность кривизны Рнччи лагранжевой системы в качестве предельных точек для последовательностей критических

точек ограниченного индекса функционалов SCtT критические точки функционала (1).

В $$ 5-6 главы 1 с помощью этого метода

- обоснован принцип перекидывания циклов для функционала (1) в случае, когда кривизна Риччи лагранжевой системы (Mn,gij,F) положительна (т.е. выполняется условие (0.4)) (теорема в);

- доказано, что, если выполняется условие (0.4), то функционал'(1) всегда имеет неодноточечную замкнутую экстремаль, гомотопную нулю (теорема 7).

Доказательства теорем 6 и 7 были получены совместно с А. Бахри, причем вклад каждого из авторов равноценен.

Глава 2 посвящена нахождению топологических препятствий к интегрируемости геодезических потоков.

Определение. Геодезический поток на многообразии МЛ интегрируем (по Лиувиллю), если существует такая ненулевая поверхность уровня гамильтониана L = {Я = const ф 0}, что в некоторой ее окрестности в Т*Мп помимо гамильтониана Я = 1п существует еще (п — 1) первых интегралов /],...,Jn-i таких, что

1) первые интегралы Ii,..., 1п функционально независимы в каждой точке некоторого инвариантого всюду плотного подмножества U С L;

2) все первые интегралы находятся в инволюции:

{Л,/у} = 0,l<i,j<n;

3) если Мп - вещественно-аналитическое риманово многообразие, то под аналитической интегрируемостью понимается существование указанного полного набора первых интегралов, состоящего из вещественно-аналитических функций.

В §1 главы 2 дано определение геометрической простоты геодезического потока:

Определение. Геодезический поток на римановом многообразии М" называется геометрически простым, если существует такой ненулевой уровень гамильтониана L = {Я = const ф 0}, что

а) в L содержится замкнутое инвариантное подмножество Г такое, что дополнение к нему всюду плотно и имеет конечное число компонент линейной связности:

б) каждая компонента гомеоморфна прямому произведению (п— \)-мерного диска на п-мерный тор, причем все слои являются инвариантными торами;

в) для любой точки д € Ь и любой ее окрестности V/ С Ь существует такая окрестность точки д, что W\ С Ш и

П (£ \ Г) имеет конечное число компонент линейной связности.

Заметим, что условие в) выполняется в случае, когда Г является подкомплексом некоторого симплициального разбиения Ь (именно такая ситуация реализуется во всех известных интегрируемых случаях).

Связь между понятиями геометрической простоты и интегрируемости следующая:

- если геодезический поток на вещественно-аналитическом замкнутом римановом многообразии аналитически интегрируем, то он геометрически прост (теорема 8).

В §2 главы 2 найдены топологические препятствия к геометрической простоте геодезических потоков и, согласно теореме 8, к их аналитической интегрируемости:

- доказано, что если геодезический поток на замкнутом римановом многообразии геометрически прост, то существует такой инвариантный п-мерный тор Т, что образ его фундаментальной группы при гомоморфизме, индуцированном проекцией р : Т*Мп Мп, имеет конечный индекс в фундаментальной группе многообразия Мп :

ММ") :р,Т1(Г)| < оо

(теорема 9);

- доказано, что, если геодезический поток ко замкнутом римановом многообразии Мп геометрически прост (например, аналитически интегрируем), то

1) фундаментальная группа многообразия Мп почти коммутативна, т.е. содержит коммутативную подгруппу конечного индекса ;

2) еслиЬ^М*) = к, гдеЬ^М*) = (ИтЯ^М";II) - первое число Бетти многообразия Мп, то кольцо вещественных когомологий многообразия М" содержит подкольцо, изоморфное кольцу вещественных когомологий к-мерного тора:

Н*(Тк;К) ~ЛС Н*(Мл;Л)-,

3) если bi(M") = dimMn = n, то кольцо вещественных кого-мологт3 многообразия АР изоморфно кольцу вещественных ко-гомологий n-мерного тора:

S\Mn;R) = H*{Tn;R)

(теорема 10).

В §3 главы 2 рассмотрены топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на односвязных многообразиях, полученные с помощью энтропийного подхода.

Согласно 6

- если фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия М" конечна и геодезический поток бесконечно-гладкой метрики на АР имеет нулевую топологическую энтропию, то числа Бетти пространства петель на АР растут субэкспоненциально:

-jj— dim ff,(ПАР; R)) _

го-к» m

Условие субэкспоненциального роста чисел Бетти пространств петель для многообразий с конечной фундаментальной группой эквивалентно рациональной эллиптичности:

dimx„(AP)® Q < оо,

которая влечет довольно сильные ограничения на топологию многообразия 13:

- если замкнутое многообразие АР с конечной фундаментальной группой рационально-эллиптично, то

1) dimTT»(AP) ® Q < n = dim АР;

2) dim#,(Mn;R) < 2";

3) характеристика Эйлера-Пуанкаре многообразия АР неотрицательна,

х(Мп) > О,

и положительна тогда и только тогда, когда все нечетномерные группы гомологий многообразия АР конечны.

Сформулируем функциональные условия на дополнительный набор первых интегралов и динамику на "сингулярном множестве", при выполнении которых в §3 доказана рациональная эллиптичность конфигурационных пространств с такими интегрируемыми геодезическими потоками.

"Grove К., На]реrin S. Contributions of rational homotopy theory to global problems in geometry. Ц Pnbl. 1HES. 1982. V. Б6. P. 379-385.

Под /-сфбитой точки х будем понимать совокупность точек, полученных из х сдвигами вдоль траекторий гамильтоновых систем с гамильтонианами

а\1\ + ... + йяГ„,

где (а1,...,ап.) - всевозможные наборы вещественных чисел, а (11,...,7л-1,1п(- Н)) - полный набор первых интегралов интегрируемого геодезического потока на многообразии Мп. Через Ф : и(Ь) —► К" обозначим отображение момента, сопоставляющее точкам из окрестности поверхности уровня гамильтониана Ь, на которой поток интегрируем, значения первых интегралов из полного набора: Ф(я) = (^(ж),.. .,1п(х)).

Сформулируем два условия, на интегрируемые потоки:

Условие I.

1) Для каждого значения отображения момента Ф : Ь —► К"-1 его прообраз содержит не более счетного числа компонент связности.

2) Если IV - компонента Ф-1(с), х Е подмножеств о IV, образованное точками, в которых ранг расширенного отображения момента

Ф: 17(1)-+Я»,*-» (/!(*),...,/«(*)),

определенного в некоторой окрестности С/(£) поверхности уровня Ь, равен к) и I-орбита точки х некомпактна и гомео-морфна многообразию F, то в W(^í') существует такая окрестность 1-орбиты точки х, что она диффеоморфна прямому произведению Р на какую-то область V, причем каждый слой диф-феоморфный Р является I-орбитой какой-то точки.

Условие II.

1) - то же, что и в условии I.

2) Пусть х е и

«1(= ("11,- - .,«!„», ...,»»_*(=(»(„_*)!,..., Ю(л_*)я)) -

такое семейство линейно независимых векторов, что

^(«11/1+ ... + »!,/„)= + + = Ъ (3)

тогда уравнения (3) выделяют в окрестности точки х в к-мерное подмногообразие.

Основной результат §3 главы 2 это следующая теорема

- если интегрируемый геодезический поток Мп удовлетворяет хотя бы одному из условий I или II, то его топологическая энтропия равна нулю, а потому, если ítx(М") конечна и метрика бесконечно дифференциируема, то многообразие Мп рационально-эллиптично (теорема 11).

Глава 3 посвящена некоторым прямым геометрическим конструкциям в теории конечнозонных решений нелинейных уравнений.

Прежде, чем сформулировать основные результаты напомним определение эллиптического солитона:

эллиптическим солитоном называется гладкий конечнозонный потенциал одномерного оператора ПГредингера, имеющий вид

N

Ф) = 2 X) Ф - А>), j=i

т.е. представимый в виде суммы "кноидальных волн" 2р(х — Л).

До последнего времени (до появления работы 11) единственными известными примерами эллиптических со питонов были потенциалы Ламе, т.е. га-зонные потенциалы вида

п(п + 1)р(х)

и их деформации под действием КдФ-потоков.

В §1 главы 3

- указан метод построения алгебраических кривых большого рода, чьи тэта-функции редуцируются к одномерным, основанный на построении башен двулистных накрытий и вычислении их многообразий Прима (теорема 12).

- построено гладкое однопараметрическое семейство двух-зонных конечнозонных операторов Шредингера, такое, что сре-ди них эллиптические солитоны всюду плотны и при гладком вырождении параметра потенциал, зависящий от параметра, переходит в однозонньш потенциал Ламе (теорема 13);

- построена серия двухзонных эллиптических солитонов, являющихся нелинейными суперпозициями неограниченного числа кноидальных волн (теорема Ц).

В §2 главы 3 рассмотрена связь уравнений Веселова-Новикова

14

щ = a3« + d{uv), 3v = 39u,

"Весело» А.П., Нонхов С П. Коиечноюниые двумерные потеицж ильные операторы Шреджигера.. Явные формулы ж эволжщионные урьаненм, // ДАН СССР. 1984. Т. 279, N. 1. С. 20-24.

ВКР 15 и Ландау-Лифшица с формулами четверных секущих многообразий Прима. Мы говорим, что нелинейное уравнение и его ко-нечнозонные решения получаются в результате вырождения формулы секущих, зависящих от параметров, если при вырождении формулы получаются соотношения на тэта-константы, которые являются уравнениями эффективизадии Дубровина 16 для конеч-нозонных решений нелинейного уравнения.

В §2 главы 3

- показано, что уравнения Веселова-Новикова и уравнения ВКР и их конечнозонные решения получаются с помощью вырождения формулы четверных секущих для многообразий Прима двулистных накрытий с двумя точками ветвления (теоремы 16 и 17);

- показано, что уравнения Ландау-Лифшица и его конечно-зонные решения получаются с помощью вырождения формулы четверных секущих для многообразий Прима неразветвленных накрытий (теорема 19).

15Date Б., Jimbo M., Kuhiwua M., Miwa. T. Transformation groupe for soliton equations. IV. A new hierarchy of soliton equations of KF-type. // Physica. D. 1982. V. 4.P. 343-365.

uДубровин Б.А. Тэть-фунхцт и нелинейные уравнен««. // Успеха натек, каух. 1981. Т. 36, вып. 2. С. 11-80.

Публикации по теме диссертации

1. Тайманов И.А. Принцип перекидывания циклов в теории Морса-Новикова. // ДАН СССР. - 1983. - Т.268, N.1. - С. 46-50.

2. Тайманов И.А. Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвязных многообразиях. // Известия АН СССР. Сер. матем. - 1987. - Т.51, N.2. - С. 429-435.

3. Тайманов И.А. О топологических свойствах интегрируемых геодезических потоков. // Матем. заметки. - 1988. - Т.44, вып.2. -С. 283-284.

4. Тайманов И.А. Об эллиптических решениях нелинейных уравнений. // Теор. и мат. физика. - 1990. - Т.84, N.1. - С. 3845.

5. Тайманов И.А. Тэта-функции Прима и иерархии нелинейных уравнений. // Матем. заметки. - 1991. - Т.59, вып.1. - С. 98-107.

6. Тайманов И.А. Несамопересекакнциеся замкнутые экстрема^ ли многозначных или не всюду положительных функционалов. // Известия АН СССР. Сер. матем. - 1991. - Т.55, N.2. - С. 367-383.

7. Тайманов И.А. Замкнутые экстремали на двумерных многообразиях. // Успехи матем. наук. - 1992. - Т.47, вып.2. - С. 143-185.

8. Тайманов И.А. Замкнутые несамопересекающиеся экстремали многозначных функционалов. // Сибирский матем. журнал. -1992. - Т.ЗЗ, N.4. - С. 155-162.

9. Тайманов И.А. Уравнение Ландау-Лифшица и четверные секущие многообразий Прима. // Функц. анализ и его приложения. - 1993. - Т.27, вып.З. - С. 90-92.