Гомоморфизмы и конгруэнции игр с отношениями предпочтения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Савина Татьяна Федоровна

ГОМОМОРФИЗМЫ И КОНГРУЭНЦИИ ИГР с ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика

1 ь УН! ¿и

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов — 2011

4857667

Работа выполнена на кафедре геометрии Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Розен Виктор Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Молчанов Владимир Александрович

кандидат физико-математических наук Акимова Светлана Александровна

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится «10» ноября 2011 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете имени Н. Г. Чернышевского по адресу: 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, IX корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского.

Автореферат разослан

2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, //У"

доцент £¿¥¿¿>¡1/ в. В. Корпев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В классической теории игр целевая структура задается при помощи числовых функций (функций выигрыша, функций полезности). В последние десятилетия значительное внимание исследователей, как в нашей стране, так и за рубежом, было привлечено к играм, в которых целевая структура задается не функциями выигрыша, а отношениями предпочтения. Это объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых, понятие предпочтения является первичным, в то время как понятие целевой функции - производным. Во-вторых, построение целевой функции в практических задачах требует большого объема дополнительной информации и связано с преодолением значительных трудностей как технического, так и принципиального характера.

Для построения отношения предпочтения на множестве объектов первичная информация должна быть задана в виде результатов измерений их существенных признаков в порядковых или ранговых шкалах, а также необходимо фиксировать некоторое решающее правило; важнейшими из них являются доминирование по Парето, модифицированное доминирование по Парето и предпочтение по решающей системе коалиций.

Первые результаты об играх с отношениями предпочтения появились в конце 50-х-начале 60-х годов в работах Р. Фаркуарсона [1], Р. Аумана [2,3], Б. Пелега [4), П. Фишберна [5]. В дальнейшем различные аспекты теории игр с отношениями предпочтения исследовались в работах отечественных ученых; отметим среди них работы Э. И. Вилкаса [6,7], Е. Б. Яновской [8,9], О. Н. Бондаревой [10], Т. Е. Кулаковской [11], Б. Г. Миркина [12], В. В. По-диновского [13,14], В. В. Розена [15-21].

Можно выделить следующие направления, активно развивающиеся в последние десятилетия в теории игр с отношениями предпочтения: выработка принципов оптимальности для классов игр с отношениями предпочтения; нахождение условий существования решений игр как в чистых, так и в смешанных стратегиях; разработка кооперативной теории для игр с отношениями предпочтения; перенос важнейших понятий теории игр с функциями выигрыша игроков на игры с отношениями предпочтения (нижняя и верхняя цена игры, обобщение соотношения максимина, ситуации равновесия, харак-

теристическая функция игры, построение смешанного расширения игры и другие). В работах В. В. Розена [15-24] была построена теория игр с упорядоченными исходами, для которых важнейшим свойством предпочтения является его транзитивность. В то же время некоторые типы решающих правил приводят к предпочтениям, не обладающим свойством транзитивности. Из сказанного ясно, что разработка теории игр с отношениями предпочтения общего вида является весьма актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в переносе принципов оптимальности классической теории игр на игры с отношениями предпочтения общего вида и описании оптимальных решений игр с отношениями предпочтения на базе понятия гомоморфизма игр.

Методы исследований. При выполнении работы использовались методы теории игр с функциями выигрыша, общей алгебры и теории упорядоченных множеств, отдельные результаты и методы алгебры бинарных отношений и теории графов.

Научная новизна и выносимые на защиту положения. Рассмотрен новый класс игр, в которых целевая структура задается произвольными рефлексивными бинарными отношениями (отношениями предпочтения). Для этого класса игр введены следующие типы оптимальных решений: равновесие общего вида, равновесие по Нэшу, допустимые, а также вполне допустимые ситуации и исходы. При сужении на подкласс стратегических игр с функциями выигрыша игроков эти принципы оптимальности переходят в известные принципы оптимальности классической теории игр. При этом, как и в теории игр с функциями выигрыша игроков, оптимальные ситуации всех введенных типов характеризуются тем, что они могут быть стабилизированы с помощью простых угроз.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1) для игр с отношениями предпочтения введены гомоморфизмы различных типов и доказаны структурные теоремы о факторизациях, приводящих к гомоморфизмам введенных типов;

2) найдены достаточные условия непустоты множества допустимых исходов для игры с отношениями предпочтения общего вида;

3) для различных типов оптимальных решений (общее равновесие, рав-

новесие по Нэшу, допустимые и вполне допустимые ситуации или исходы) найдены ко- и контравариантные гомоморфизмы;

4) для антагонистических игр с транзитивной структурой предпочтении, а также для игр общего вида с упорядоченными исходами дано полное описание их оптимальных решений с помощью ковариантно полных семейств контраварпантных гомоморфизмов.

Все вышеназванные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы при анализе социально-экономических моделей конфликтов и в менеджменте.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: на Международной конференции «Теория игр и менеджмент» (Санкт-Петербург, 20092011 гг.); на X Международном семинаре «Дискретная математика и математическая кибернетика» (Москва, 2010); на Международной научной конференции «Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры» (Саратов, 2008); на Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (Саратов, 2009); на ежегодных научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» в 2009-2011 гг.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [А1] - [А12]. Работы [А1], [А2] опубликованы в издании, содержащемся в Перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 65 наименований. Общий объем диссертации составляет 139 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткое описание основных направлений теории игр с отношениями предпочтения игроков. Указаны основные способы выявления предпочтений.

В главе 1 вводятся различные типы гомоморфизмов для структур предпочтения, а затем для игр с отношениями предпочтения: строгие, реверсивные, взаимные, точные. При этом указана связь между введенными типами гомоморфизмов.

Игра игроков N = {1,..., п} с отношениями предпочтения в нормальной форме определяется как система объектов

(1-18)

где Хг — множество стратегий игрока г (г £ ЛГ), А — множество исходов, рг — рефлексивное бинарное отношение на А, выражающее предпочтения игрока г, Р — отображение множества ситуаций X = Х\ х ... х Хп в множество исходов А, называемое функцией реализации.

Наряду с игрой С рассматривается игра тех же игроков с отношениями предпочтения Г = {(^)гелг, В, (<т„-)<бЛГ, Ф).

Определение 1.5. Набор отображений / = (<р1,...,1рп,-ф), где 1р{: Х{ Уг (г 6 И) и ф: А —> В, называется гомоморфизмом игры (7 в игру Г, если для любого индекса г € N, любых элементов ах, аг е А и любой ситуации х— (хь... ,хп) € X выполняются следующие два условия:

Нот!-. 'ф{Р(х1,...,хп)) = Ф{щ(х1),...,<рп{хп)), Нот2: оя < а2 < ф(а2).

Определение 1.6. Гомоморфизм f игры С в игру Г называется

• строгим, если для каждого г € N отображение ф является строгим гомоморфизмом структуры предпочтений (А,рг) в структуру предпочтений (В,Сг), т.е. дополнительно выполняется условие

а\ < а2 ф{а{) <

• реверсивным, если для каждого { £ N отображение ф является реверсивным гомоморфизмом структуры предпочтений {А,р¿) в структуру

предпочтений {В,(п), т.е. выполняются следующие условия:

ф(аг) < ф{а2) а\ < а2, Ф(а\) ~ Ф(а2) => ~ а2\

СЧ

Яеи2: ф{а1) ф ф(а2)

• взаимным, если для каждого г € N отображение ф является взаимным гомоморфизмом структуры предпочтений (Л, р¡) на структуру предпочтении (Б,иг);

• точным, если для каждого г £ ЛГ отображение ф является точным гомоморфизмом структуры предпочтений (А, р;) в структуру предпочтений (В,(Тг}.

Построение для заданной игры С гомоморфной ей игры Г делается на базе понятия факторизации игры по конгруэнции. При этом конгруэнции различных типов могут быть охарактеризованы как ядра гомоморфизмов соответствующих типов.

Определение 1.7. Набор эквивалентностей е = (£1,...,е„, е), где £г С X} (г £ ЛГ),£ С А2, называется конгруэнцией в игре б, если для него выполнено условие согласованности, которое имеет следующий вид:

Определение 1.8. Конгруэнция е в игре называется 81г-конгруэнцией, если для каждого г € N выполняется дополнительное условие:

Конгруэнция е в игре С? называется геь-конгруэнцией, если для любого

£2

Х2 Р(х[,...,х'п) = Г(х1,...,хп).

I §2

Хп — хп

Л

=> ах ~ а2.

г € ЛГ выполняются следующие два условия

й!

а2

л

аг < а2

а\ = а0 =

сц а2

> ах < а2,

Ф а%

I .£. £ //

= ах = а"

/ ± е //

а2 = а2 = «г

Рг

а>1

< « А

< а

Pi

<21 ~ а2.

Конгруэнция е в игре <3 называется гес-конгруэнцией, если для любого I £ N выполняется следующее условие

< а2

%[ = а! > а'\ £ 4-

«2 = «2

Теорема 1.1. О каноническом гомоморфизме игры с отношениями предпочтения

Пусть £7 — игра с отношениями предпочтения вида (1.18) ие- конгруэнция в игре (7. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Можно построить фактор-игру С/ е с отношениями предпочтения в виде:

С/е = {Х1/е1,...,Хп/еп, А/е, Р1/е,..., рп/£, Ъ),

где Х{/ £1 — фактор-множество, полученное факторизацией множества стратегий Хг игрока г по соответствующему отношению эквивалентности А/ е — фактор-множество по эквивалентности е; р^ е — фактор-отношение на Л/ г (г £ ./V); ^ — функция реализации, которая корректно определена равенством ^([^Ц ,..., [®„]£в) й [Р(хь ..., ®„)]£.

2) Набор отображений fe = (</з£1,... фе), где ^ есть каноническое

отображение X, -> (г G N) и фЕ есть каноническое отображение

A-tA/e, является сюръективным гомоморфизмом игры G на фактор-игру G/ £ (этот гомоморфизм называется каноническим).

3) Канонический гомоморфизм /£ будет строгим тогда н только тогда, когда конгруэнция е является str-конгруэнциен.

4) Канонический гомоморфизм будет реверсивным тогда и только тогда, когда конгруэнция £ является rev-конгруэнцией.

5) Канонический гомоморфизм /е будет взаимным тогда и только тогда, когда конгруэнция е является гес-конгруэнцией.

Найдены необходимые и достаточные условия, накладываемые на конгруэнцию е, при которых фактор-отношения игроков обладают «хорошими» свойствами.

Теорема 1.3. Пусть G — игра с отношениями предпочтения вида (1.18) не— конгруэнция в игре G.

1. Для того чтобы фактор-игра Gj е была игрой с транзитивной структурой предпочтений, необходимо и достаточно, чтобы для каждого г 6 N из условий

Pi ч

ai < гч a2

Е f

й2 = а2

Pi

а2 < а3.

следовало а" < а3 для некоторых а" = = а3.

2. Для того чтобы фактор-игра в/ £ была игрой с ацикличной структурой предпочтений, необходимо и достаточно, чтобы для каждого г е N отношение Р1 и г было ацикличным относительно е, т.е. чтобы выполнялась импликация:

р.иг р; ие p¿ ие р,1)е £ £ £

а-о < < ... < ат < а0 => а0 = ах = ... = ат.

3. Для того чтобы фактор-игра С! £ была игрой с линейной структурой предпочтений, необходимо и достаточно, чтобы для каждого г 6 ./V и любых

ЕЕ Р* Р* п

(¡1,0,2 Е А существовали а[, а" = а 1, а2, а2 = а2 такие, что а[ < а2 V а2 < а\.

4. Для того чтобы фактор-игра й/ е была игрой с упорядоченными исходами, необходимо и достаточно, чтобы для каждого г е N

1) из условий

Pi >

01 < Я2

£ /

02 — о2

Pi

а2 < r^J а3.

' £ е

следовало а" < для некоторых а" = ai,a'i = а3;

2) из условий

01 Pi < r^J а2

0'! £ Oi

«1 Pi > Гъ/ а2

«2 е а'2

следовало ai s а2.

Указаны условия вложимости игры с отношениями предпочтения в класс игр с функциями выигрыша. В частности, справедлив следующий результат.

Теорема 1.6. Для того чтобы игра G с конечным множеством исходов была вложима в класс игр с функциями выигрыша, необходимо и достаточно, чтобы для каждого i отношение рг- было слабо ацикличным.

В главе 2 для изучаемого класса игр введены следующие типы оптимальных решений: общее равновесие, равновесие по Нэшу, допустимые и вполне допустимые исходы и ситуации.

Определение 2.8. Ситуация ж0 = (x°)!g V е X в игре G называется

• ситуацией общего равновесия, если для любых х{ е Хг выполнено условие

F(x° || а*) ? F{x°y,

• ситуацией равновесия по Нэшу, если выполняется

Определение 2.9. В игре G вида (1.18) исход а называется

10

• допустимым для игрока i, если

(Зх, G Xi) (VxN\i € XN\i) F (xu xN\i) > a,

• вполне допустимым для игрока i, если

Pi

(3xN\i e XN\j) (Vxi e Xi) F ^ a.

Следующая теорема устанавливает связь между введенными типами оптимальных решений.

Теорема 2.3. В любой игре G вида (1.18) с отношениями предпочтения выполнены включения:

NEq (G) С Eq (G) С дЛс (G) С Лс(С).

Найдены достаточные условия непустоты множества допустимых исходов игры с отношениями предпочтения, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 2.4. Пусть G — игра с отношениями предпочтения вида (1.18) с конечными множествами стратегий игроков и ацикличной структурой предпочтений. Тогда в ней существует ситуация, допустимая для всех игроков, т.е. Ас (G) ф 0.

Для антагонистических игр предложен метод нахождения допустимых и вполне допустимых исходов.

Определение 2.11. Зафиксируем некоторый класс Я гомоморфизмов из игр класса К в игры класса Ж. Гомоморфизмы класса Я называются ковариантными относительно классов (К, Ж), если для любых двух игр G € К н Г 6 X и любого гомоморфизма / б Я /-образ оптимального решения игры G есть оптимальное решение в игре Г.

Определение 2.12. Зафиксируем некоторый класс Я гомоморфизмов из игр класса К в игры класса Ж. Гомоморфизмы класса Я называются кон-травариантными относительно классов (Кесли для любых двух игр G £ К и Г 6 Ж и любого гомоморфизма / € Я /-прообраз оптимального решения игры Г есть оптимальное решение в игре G.

Для всех вышеперечисленных типов оптимальных решений найдены ко-вариантные и контравариантные гомоморфизмы.

Теорема 2.5. В классе К игр с отношениями предпочтения с фиксированным множеством игроков N имеют место следующие утверждения.

1. Для принципа равновесия:

a) строгие гомоморфизмы являются контравариантными,

b) реверсивные сюръективные гомоморфизмы являются ковариантны-ми.

2. Для равновесия по Нэшу:

сюръективные гомоморфизмы являются ковариантными.

3. Для принципов допустимости и вполне допустимости:

a) строгие сюръективные гомоморфизмы являются контравариантными,

b) реверсивные сюръективные гомоморфизмы являются ковариантными.

Для некоторых видов оптимальных решений построены полные семейства гомоморфизмов, что позволяет дать точное описание оптимальных решений игр одного класса через оптимальные решения игр другого класса. Сформулируем две теоремы о полных семействах гомоморфизмов.

Пусть К — класс игр с упорядоченными исходами, JXf — класс игр с линейно упорядоченными исходами. В качестве оптимальных решений игры G = {(Xj)ieN , A, (pi)ieN, F) G К возьмем множество ее ситуаций равновесия, в качестве оптимальных решений игры Г = {(Yi)ieN, В, {(Ti)ieN, Ф) £ Ж — множество ее ситуаций равновесия по Нэшу:

Opt G = Eq (G), Opt Г = NEq (Г).

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.8.

1. Относительно указанных классов игр и их оптимальных решений все строгие гомоморфизмы являются контравариантными.

2. Для каждой игры G £ К семейство всех ее строгих гомоморфизмов в игры класса Ж является ковариантно полным.

Пусть К — класс игр с упорядоченными исходами игроков N, в которых множества стратегий игроков конечны, Ж — класс игр того же множества игроков с функциями выигрыша. В качестве оптимальных решений игры G £ К возьмем множество ее допустимых исходов, а в качестве оптимальных решений игры Г 6 Ж — множество ее индивидуально рациональных исходов. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.10.

1. Относительно указанных классов игр и их оптимальных решений все строгие сюръективные гомоморфизмы являются контравариантными.

2. Для каждой игры G Е К семейство всех ее строгих сюръектпвных гомоморфизмов в игры Г £ Ж является ковариантно полным.

В главе 3 рассматривается кооперативный аспект игр с отношениями предпочтения. Предполагается, что фиксировано некоторое правило согласования предпочтений, которое для каждой коалиции S С N и набора отношений предпочтения (Pi)ieS задает отношение предпочтения ps коалиции S.

Множество стратегий коалиции S в игре G вида (1.18) задается в виде П Х{.

íes

Пусть Е — некоторое семейство коалиций. Введенные в главе 2 принципы оптимальности естественным образом распространяются на семейство коалиций Е, приводя к понятиям: ситуации E-равновесия, ситуации Е-равновесия по Нэшу, Е-допустимого и вполне E-допустимого исхода.

Гомоморфизм / = (ipi,..., tpn, ф) игры G в игру Г называется коалиционным гомоморфизмом, если для любой коалиции S С N выполнено

PS <7s

ai<a2 Ф{а{) < ф(а2).

Понятия сюръективного, строгого и реверсивного гомоморфизма естественным образом переносятся на коалиционные гомоморфизмы. Для указанных выше принципов оптимальности найдены ковариантные и контрава-риантные гомоморфизмы. В частности, доказаны следующие результаты.

Теорема 3.2. Пусть в качестве правила согласования предпочтений взято Парето-согласование или модифицированное Парето-согласование пред-

почтений игроков. Тогда для Е-равновесия по Нэшу всякий сюръективный гомоморфизм является ковариантным.

Теорема 3.3. Пусть в качестве правила согласования предпочтений взято Парето-согласование или модифицированное Парето-согласование предпочтений игроков. Тогда для Е-равновесия всякий строгий сюръективный гомоморфизм является контравариантным.

Теорема 3.4. Пусть в качестве правила согласования предпочтений взято Парето-согласование или модифицированное Парето-согласование предпочтений игроков. В качестве оптимального решения игры рассмотрим Е-допустимый исход. Тогда всякий строгий сюръективный гомоморфизм является контравариантным.

Список литературы

1. Farquharson R. Sur une generalisation de la notion d'equilibrium. C.r. Acad, sci. Paris, 1955, 240, №1. P. 46-48.

2. Aumann R. J. Utility theory without the completeness axiom. — Econometrica, 1962, v. 30, №3. P. 445-462.

3. Aumann R. J. Utility theory without the completeness axiom: a correction. — Econometrica, 1964, v. 32, №1-2. P. 210-212.

4. Peleg B. The independence of Game theory of utility theory. Bull, of the Amer. Math. Soc. Vol. 72, №6, 1966. P. 995-999.

5. Fishburn Peter C. The Theory of Social Choice. — Princeton University Press. 1973. - 264 p.

6. Вилкас Э. Й. Оптимальность в играх и решениях. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 256 с.

7. Вилкас Э. И. Понятия оптимальности в теории игр. // Современные направления теории игр. — Вильнюс, МОКСЛАС, 1976. С. 25-43.

8. Яновская Е. Б. Ситуации равновесия в играх с неархимедовыми полез-ностями. // Матем. модели в социальных науках. — Вильнюс, изд. пн-та физики и математики АН Лит. ССР. С. 98-118.

9. Яновская Е. Б. Ситуации равновесия в общих бескоалиционных играх и их смешанных расширениях. // Теоретико-игровые вопросы принятия решений. - Л.: Наука ЛО, 1978. С. 43-64.

10. Бондарева О. Н. Решение и ядро ациклического отношения на компакте. // Успехи теории игр. — Вильнюс, 1973. С. 127-130.

11. Кулаковская Т. Е. Классические принципы оптимальности для бесконечных кооперативных игр. // Современные направления теории игр. — Вильнюс, МОКСЛАС, 1976. С. 94-108.

12. Миркин Б. Г. Проблема группового выбора. — М.: Наука, 1979.

13. Подиновский В. В. Принцип гарантированного результата для частичных отношений предпочтения. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1979, т. 19, №6. С. 1436-1450.

14. Подиновский В. В. Общие антагонистические игры. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, т. 21, №5. С. 1140-1153.

15. Розен В. В. Гомоморфизмы игр с упорядоченными исходами. // Матем. модели поведения. — Саратов, изд. СГУ, 1981. С. 90-104.

16. Розен В. В. Игры с упорядоченными исходами. — Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, №5, 1977. С. 31-37.

17. Розен В. В. Нахождение оптимальных рещений методом построения ковариантно полных семейств контравариантных гомоморфизмов. Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. — М.: Изд-во Моск. ун-та. 1994. - 371 с. С. 349-350.

18. Розен В. В. Применение теории бинарных отношений к общей теории игр. // Матем. методы решения экономических задач. — Новосибирск: Наука СО. С. 127-152.

19. Розен В. В. Редуцируемость оптимальных решений игр с упорядоченными исходами. // Теория полугрупп и ее приложения. Вопросы аксиоматизации. 1988. С. 50-60.

20. Розен В. В. Ситуации равновесия в играх с упорядоченными исходами. // Современные направления теории игр. — Вильнюс: MOKCJIAC, 1976. С. 115-118.

21. Розен В. В. Смешанные расширения игр с упорядоченными исходами. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, №6. С. 1436-1450.

22. Rozen V. V. Cooperative games with ordered outcomes. // Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the Third International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2009. P. 221-222.

23. Rozen V. V. Equilibrium points in games with ordered outcomes. // Contributions to game theory and management. Vol. III. Collected papers on the Third International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2010. P. 368-386.

24. Rozen V. V. Nash equilibrium points in games with ordered outcomes. // Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the Fourth International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2010. P. 190-191.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Al. Савина Т. Ф. Ковариантные и контравариантные гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 3. С. 66-70.

А2. Савина Т. Ф. Оптимальные решения в играх с отношениями предпочтения. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 2. С. 32-36.

A3. Савина Т. Ф. Ситуации равновесия в играх с отношениями предпочтения. // Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры: Тез. докл. Междунар. науч. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения проф. В. В. Вагнера. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. С. 131-132.

A4. Savina Т. F. Mathematical Models for Games, Based on Preference Relations. // Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the Third International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2009. P. 227-228.

A5. Савина Т. Ф. Гомоморфизмы и конгруэнтности игр с транзитивной структурой предпочтений. // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф. Саратов, Россия, 1-4 июля 2009г. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 157-160.

А6. Савина Т. Ф. Гомоморфизмы и конгруэнтности игр с отношениями предпочтения. // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 63-66.

А7. Савина Т. Ф. Гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения. // Дискретная математика и ее приложения: материалы X Международного ce-

ll

минара, Москва, МГУ, 1-6 февр. 2010. - М.: Изд-во мех.-мат. фак. Моск. ун-та, 2010. С. 426-428.

А8. Savina Т. F. Homomorphisms and Congruence Relations for Games with Preference Relations. // Contributions to game theory and management. Vol. III. Collected papers on the Third International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2010. P. 387-398.

A9. Savina T. F. Coalition Homomorphisms of Games with Preference Relations. // Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the Fourth International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2010. P. 197-199.

A10. Савина Т. Ф. Равновесные и допустимые исходы для коалиций в игре с отношениями предпочтения. // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. С. 74-78.

All. Savina Т. F. Cooperative Optimality Concepts for Games with. Preference Relations. // Contributions to game theory and management. Vol. IV. Collected papers on the Fourth International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2011. P. 421-432.

A12. Savina T. F. Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of Inclusion Map of Game with Preference Relations into Game with Payoff Functions. ¡I Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the Fifth International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2011. P. 204-205.

Подписано в печать 29.09.2011. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Объем 1.25 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 197-Т

Типография СГУ г. Саратов, ул. Б. Казачья 112а тел.: (845-2) 27-33-85

Глава 1. Структурные теоремы о гомоморфизмах игр с отношениями предпочтения

1.1. Структуры предпочтений

1.2. Гомоморфизмы структур предпочтений

1.3. Игры с отношениями предпочтения. Основные понятия

1.4. Теоремы о гомоморфизмах игр с отношениями предпочтения

1.5. Вложения игры с отношениями предпочтения в игру с функциями выигрыша

Глава 2. Оптимальные решения в играх с отношениями предпочтения

2.1. Ситуации равновесия и допустимые исходы в антагонистических играх с отношениями предпочтения

2.2. Оптимальные решения игр с отношениями предпочтения общего вида

2.3. Ковариантные и контравариантные гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения

Глава 3. Коалиционные гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения

3.1. Правила согласования предпочтений игроков

3.2. Коалиционные принципы оптимальности

3.3. Определение коалиционного гомоморфизма

3.4. Теоремы о коалиционных гомоморфизмах

1. В классической теории принятия решений и в теории игр основным способом формализации целевой структуры является задание целевой функции (функции выигрыша). При этом цель отождествляется с максимизацией или минимизацией этой функции в зависимости от ее содержания с точки зрения лица, принимающего решение. В прикладных задачах физического или технического содержания целевая функция иногда получается внешним образом или из теоретических соображений. Однако при построении целевой функции в реальных моделях принятия решений возникает ряд сложностей как принципиального, так и технического характера.

Как. известно, на практике объекты (состояния, ситуации) обычно оцениваются по нескольким показателям (критериям) качества. В литературе по принятию решений для оценки объекта используется «дерево критериев», что отражает иерархическую структуру подчиненности критериев. При таком подходе набор критериев должен обладать следующими свойствами (см. Мендель [22]),

Полнота. Набор критериев должен содержать критерии, позволяющие охарактеризовать все основные аспекты оценки объекта.

Действенность (операционность). Критерии должны быть однозначно понимаемыми и способствовать выработке и принятию эффективных решений.

Разложимость. Возможность разбиения критериев на более мелкие группы.

Неизбыточность. Исключение возможности дублирования критериев.

Минимальная размерность. В набор критериев для оценки объекта должны быть включены только те, без которых адекватная оценка невозможна.

При составлении математических моделей принятия решения используется система многокритериального оценивания, причем для каждого критерия должна быть задана некоторая шкала измерения.

Целевая функция представляет собой единый (интегральный) показатель эффективности, поэтому для ее задания необходимо «свернуть» все имеющиеся критерии в один. На практике эта задача решается разными способами. Например, каждому показателю приписывают некоторый «вес», выражающий значимость этого показателя, и рассматривают в качестве оценки объекта взвешенную сумму. Однако в практических ситуациях выбор «весов» осуществить достаточно сложно. «Вес» должен быть постоянным для каждого показателя, но, как правило, невозможно заранее указать, во сколько раз один показатель важнее другого. В настоящее время проблема «свертывания» векторного критерия в скалярный превратилась в самостоятельное направление, по которому имеется обширная литература (см. например, [20, 27, 37]). Один из способов решения данной задачи — лексикографическое упорядочение. Критерии (показатели) в этом способе должны быть упорядочены по относительной важности (например, см. [34]). В работе [40] выяснена возможность построения единого (обобщенного) критерия на базе некоторой дополнительной информации об относительной важности этих критериев для лица, принимающего решение. В качестве такой информации выступает задание в рассматриваемой области карты безразличий или равносильная информация — задание локального коэффициента замещения.

В связи с указанными сложностями при построении целевых функций возник альтернативный подход, состоящий в том, что объекты оцениваются не с помощью числовой функции, а по отношению предпочтения. В этом случае при построении модели принятия решения надо задать отношение предпочтения (или структуру «доминирование-безразличие») на множестве объектов, а именно указать совокупность всех пар объектов, в которых один объект предпочтительнее другого для принимающего решение.

На "практике используются следующие основные способы выявления предпочтений на множестве объектов.

Метод попарных сравнений.

В некоторых случаях этот метод реализуется на базе субъективных представлений индивидуума об исследуемых объектах. А именно, для каждой пары объектов индивидуум должен указать более предпочтительный в этой паре. Если для какой-нибудь пары он затрудняется это сделать, индивидуум вправе считать сравниваемые объекты равноценными либо несравнимыми. На многочисленных опытах показано, что субъективное предпочтение обычно бывает нелинейным (т.е. некоторые объекты несравнимы друг с другом) и нетранзитивным [16], а иногда содержит циклы (контура). Результатом такого сравнения будет матрица предпочтений или граф предпочтений.

Разновидностью этого подхода является метод, в котором объекты сравниваются по инструментальному или опытному признаку (например, взвешивание или проведение турнира, выявляющего победителя).

Основной метод сравнения объектов базируется на таблице значений их признаков (показателей). В этом случае объект рассматривается как набор соответствующих ему значений признаков, а не как единое целое, что имеет место при методе попарных сравнений.

Для математических моделей, изучаемых в настоящей работе, этот метод может быть описан следующим образом. Каждый критерий (признак) измеряется в порядковой шкале (т.е. пункты шкалы — элементы некоторого линейно упорядоченного множества), а измерение состоит в сопоставлении объекту некоторого пункта шкалы и определено с точностью до монотонно возрастающей функции.

Итак, задана таблица значений признаков, где а,1,.,ап — данные объекты; р\,.,рп — введенные для них признаки (критерии); Pj (щ) — значение критерия р^ для объекта а* {'] = 1,., га; г = 1,., п). Формально Pj (а) = с € где С) — линейно упорядоченное множество. объекты критерии VI Рз Ргп а>1 р\ М Рз М Рт

Р\ (щ) Рз М Рт (а») ап Рг (ап) Рз К) Рт (ап)

Для того чтобы определить предпочтение между объектами, необходимо ввести какое-либо одно или некоторую совокупность решающих правил. Решающее правило должно удовлетворять требованию инвариантности относительно монотонных преобразований и может не удовлетворять ни условию линейности, ни условию транзитивности.

Важнейшими из таких правил являются предпочтение по Парето, модифицированное Парето-предпочтение и правило решающих коалиций. Парето-предпочтение означает, что один объект лучше другого по всем критериям сразу, модифицированное Парето-предпочтение характеризуется тем, что один объект строго лучше другого, если по всем критериям первый объект строго лучше второго.

Таким образом, отказываясь от числового описания объектов, мы заменяем его заданием отношения предпочтения, которое в общем случае является рефлексивным бинарным отношением и может не обладать привычными свойствами транзитивности и линейности.

2. Реакцией на сложности построения целевых функций явилось появление в теории игр на рубеже 50-60-х годов ряда работ, в которых целевая (оценочная) структура задачи принятия решений задается не с помощью целевой функции, а с помощью отношений предпочтения игроков. Начиная с фундаментальной монографии Неймана и Моргенштерна [26] в теории игр рассматриваются вопросы существования и нахождения С-ядра и решения (по Нейману-Моргенштерну) для произвольных бинарных отношений, а также для отношений, удовлетворяющих дополнительным условиям: транзитивность, ацикличность, частичный порядок и т.д. Это направление отражено в частности в работах Бержа [5,6], Араксляна [1-4] и др.

Промежуточным классом между классическими играми с функциями выигрыша и играми с отношениями предпочтения является класс игр с векторными выигрышами (здесь свойство транзитивности сохраняется, а свойство линейности не имеет места) [24,59,65].

Различные аспекты теории игр с отношениями предпочтения исследовались в работах как зарубежных авторов (Р. Фаркуарсон [57], Р. Ауман [55,56], Б. Пелег [61], П. Фишберн [58]), так и отечественных ученых (Э. Й. Вилкас [11-14], Б. Б. Яновская [53,54], О. Н. Бондарева [9], Т. Е. Кулаковская [19], Б. Г. Миркин [23], В. В. Подиповский [35,36],

В. В. Розен [38,39,41-46]).

Можно выделить следующие направления, активно развивающиеся в последние десятилетия в теории игр с отношениями предпочтения: выработка принципов оптимальности для классов игр с отношениями предпочтения; нахождение условий существования решений игр как в чистых, так и в смешанных стратегиях; разработка кооперативной теории для игр с отношениями предпочтения; перенос важнейших понятий теории игр с функциями выигрыша игроков на игры с отношениями предпочтения (нижняя и верхняя цена игры, обобщение соотношения максимина, ситуации равновесия, характеристическая функция игры, построение смешанного расширения игры и другие). В. В. Подиновский [35] предлагает новые формулировки принципа максимина для антагонистической игры с частичными (нелинейными) отношениями предпочтения. О. В. Шимельфениг в работе [51] рассматривает игры на графах, в которых правило игры и предпочтения игроков заданы бинарными отношениями между элементами базисного множества. В этой работе получены необходимые и достаточные условия того, что гомоморфный образ игры определенного типа будет игрой того же типа. Достаточные условия существования индивидуально-рационального исхода и непустоты множества дележей в игре с квазиупорядоченными исходами найдены М. В. Пасечник в статье [28]. В работах В. В. Розепа [38,39,41-48,62-64] была построена теория игр с упорядоченными исходами, для которых важнейшим свойством предпочтения является его транзитивность. В то же время некоторые типы решающих правил приводят к предпочтениям, не обладающим свойством транзитивности.

3. В данной диссертационной работе основной изучаемой моделью является игра фиксированного множества игроков N = {1,.,п} с отношениями предпочтения вида: 6? = ((Хг-)^еЛГ, Л, (/?г)г£ЛГ, .Р), где Хг — множество стратегий игрока г (г е ./V), А — множество исходов, Рг — рефлексивное бинарное отношение на А, выражающее предпочтения игрока г, Р — отображение множества ситуаций X = х . х Хп в множество исходов А, называемое функцией реализации.

Подсистема ((Хг)ге^Г, А, Р) представляет собой реализационную структуру, а подсистема (А, (Pi)ieN) — оценочную структуру игры G. Предполагается, что п ^ 2; \Хг\ ^ 2 (i £ N), \А\ ^ 2. Никаких других ограничений на мощности множеств Хг и A a priori не накладывается.

Для класса игр с отношениями предпочтения введены следующие типы оптимальных решений: равновесие общего вида, равновесие по Иэшу, допустимые, а также вполне допустимые ситуации и исходы. При сужении на подкласс стратегических игр с функциями выигрыша игроков эти принципы оптимальности переходят в известные принципы оптимальности классической теории игр. При этом, как и в теории игр с функциями выигрыша игроков, оптимальные ситуации всех введенных типов характеризуются тем, что они могут быть стабилизированы с помощью простых угроз [25].

Основным инструментом исследования в данной диссертации являются гомоморфизмы и конгруэнции игр. В работе введены различные типы гомоморфизмов игр: строгие, реверсивные, взаимные, точные. В главе 1 доказаны структурные теоремы о гомоморфизмах игр с отношениями предпочтения; в частности, охарактеризованы конгруэнции, факторизации по которым приводят к гомоморфизмам указанных видов. Указаны необходимые и достаточные условия вложимости игры с отношениями предпочтения в класс игр с функциями выигрыша. В главе 2 получено достаточное условие непустоты множества допустимых исходов игры с отношениями предпочтения. Для всех вышеперечисленных типов оптимальных решений найдены ковариантные и контравариантные гомоморфизмы. Для некоторых видов оптимальных решений построены полные семейства гомоморфизмов, что позволяет дать точное описание оптимальных решений игр одного класса через оптимальные решения игр другого класса. В главе 3 для коалиционных принципов оптимальности при фиксированном правиле согласования предпочтений игроков указаны типы гомоморфизмов, удовлетворяющие условию ко- или контравариантности.

1. Аракелян А. А. Решение для системы нерефлексивных, транзитивных отношений, заданных в метрическом пространстве. // Ученые записки. — Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1973. №1. С. 115-119.

2. Аракелян А. А. Гомоморфизмы и решения произведений релятивов. // Математические вопросы кибернетики и вычислительной техники. XI. Автоматизация проетирования и численные методы. — Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1982. С. 108-115.

3. Аракелян А. А. Нерефлексивные отношения в компактом пространстве множеств. // Доклады АН Армянской ССР. Том 1ЛУ, №1. С. 3-7.

4. Аракелян А. А. О представлении задач принятия решений. // Доклады АН Армянской ССР. Том ЬХ1Х, №3, 1979. С. 135-139.

5. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. Пер. с франц. под ред. В. Ф. Колчина. — М.: ФМ, 1961.

6. Берж К. Теория графов и ее применения. Пер. с франц. под ред. И. А. Вайпштейна. — М.: ИЛ, 1962.

7. Биркгоф Г. Теория решеток. Пер. с англ. — М.: Наука, 1984. — 568 с.

8. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М., Наука. Физматлит, 1997. — 368 с.

9. Бондарева О. Н. Решение и ядро ациклического отношения на Компакте. // Успехи теории игр. — Вильнюс, 1973. С. 127-130.

10. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных отобраэ/сений. // Теория полугрупп и ее приложения. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1965. Вып. 1. С. 3-178.

11. Вилкас Э. Й. Многоцелевая оптимизация. // Матем. методы в социальных науках, вып. 7. — Вильнюс, изд. ин-та физики и математики АН Лит. ССР, 1976. С. 17-68.

12. Вилкас Э. Й. Оптимальность в играх и решениях. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 256 с.

13. Вилкас Э. Й. Понятия оптимальности в теории игр. // Современные направления теории игр. — Вильнюс, МОКСЛАС, 1976. С. 25-43.

14. Вилкас Э. Й., Майминас Е. 3. Решения: теория, информация, моделирование. — М.: Радио и связь, 1981.

15. Воробьев Н. Н. Современное состояние теории игр. — УМН, т. XXV, вып. 2 (152), 1970. С. 81-140.

16. Гранберг А. А. Проблема транзитивности индивидуальных и коллективных предпочтений при построении целевых функций. В кн.: Количественные методы в социологии. — М.: Наука, 1966. С. 70-92.

17. Кирута А. Я., Рубинов А. М., Яновская Е. Б. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах. — Л.: Наука ЛО, 1980.

18. Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагонистических игр.- М.: Изд-во МГУ, 1984. 104 с.

19. Кулаковская Т. Е. Классические принципы оптимальности для бесконечных кооперативных игр. // Современные направления теории игр. Вильнюс, МОКСЛАС, 1976. С. 94-108.

20. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование.-М.: Наука, 1984. — 392 с.

21. Льюс Р., Райфа X. Игры и решения. Пер. с англ. под ред. Д. Б. Юдина. — М.: ИЛ, 1961.

22. Мендель А. В. Модели принятия решений: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлениям «Экономика» и «Менеджмент» / А. В. Мендель. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. — 463 с.

23. Миркин Б. Г. Проблема группового выбора. — М.: Наука, 1979.

24. Морозов В. В. Смешанные стратегии в игре с векторными выигрышами. // Вестн. МГУ, Вычисл. матем. и кибернетика, №4, 1978. С. 44-49.

25. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. Пер. с франц. — М.: Мир, 1985. — 200 с.

26. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. Пер. с англ. под ред. H. Н. Воробьева. — М.: Наука, 1970. — 708 с.

27. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. — М.: Физматлит, 2002. — 176 с.

28. Пасечник М. В. Дележи в бескоалиционных играх с квазиупорядоченными исходами. // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. С. 114-117.

29. Пасечник М. В. Исходы, допустимые для семейства коалиций в игре с квазиупорядоченными исходами. // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 93-95.

30. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. — 224 с.

31. Петросян Л. А., Захаров В. В. Введение в математическую экологию. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. — 224 с.

32. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. — М.: Книжный дом. Университет Высшая школа. — 1998. — 301 с.

33. Петросян Л. А., Томский Г. В. Дифференциальные игры с неполной информацией. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1984. — 188 с.

34. Подиновский В. В. Коэффициенты ваоюности критериев в задачах принятия решений. Порядковые, или ординальные, коэффициенты важности. // Автоматика и телемеханика. — М.: Академия Наук СССР, 10, 1978. С. 130-141

35. Подиновский В. В. Принцип гарантированного результата для частичных отношений предпочтения. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1979, т. 19, №6. С. 1436-1450.

36. Подиновский В. В. Общие антагонистические игры. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, т. 21, №5. С. 1140-1153.

37. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982.

38. Розен В. В. Гомоморфизмы игр с упорядоченными исходами. // Матем. модели поведения. — Саратов, изд. СГУ, 1981. С. 90-104.

39. Розен В. В. Игры с упорядоченными исходами. — Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, №5, 1977. С. 31-37.

40. Розен В. В. Математические модели принятия решений в экономике. — М.: Книжный Дом Университет: Высш. шк., 2002.

41. Розен В. В. Нахождение оптимальных рещений методом построения ковариантпо полных семейств контравариантных гомоморфизмов. Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. — М.: Изд-во Моск. ун-та. 1994. 371 с. С. 349-350.

42. Розен В. В. Общие теоремы о достижимости и минимаксе в позиционных играх. // Матем. модели и методы в социально-экономических исследованиях. — Новосибирск: Изд. ИЗ и ОПП, вып.1, 1968. С. 64-70.

43. Розен В. В. Применение теории бинарных отношений к общей теории игр. // Матем. методы решения экономических задач. — Новосибирск: Наука СО. С. 127-152.

44. Розен В. В. Редуцируемостпъ оптимальных решений игр с упорядоченными исходами. // Теория полугрупп и ее приложения. Вопросы аксиоматизации. 1988. С. 50-60.

45. Розен В. В. Ситуации равновесия в играх с упорядоченными исходами. // Современные направления теории игр. — Вильнюс: МОКСЛАС, 1976. С. 115-118.

46. Розен В. В. Смешанные расширения игр с упорядоченными исходами. — Ж. вычисл. матсм. и матем. физ., 1976, №6. С. 1436-1450.

47. Розен В. В. Структура отношений предпочтения. Учеб. пособие для слушателей факультета повыш. квалиф. ИДПО. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. — 56 с.

48. Розен В. В. Цель оптимальность - решение. М.: Радио и связь, 1982. - 169 с.

49. Фишберн Питер С. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978. — 352 с. с илл.

50. Харшаньи Д., Зельтен Р. Общая теория выбора равновесия в играх. Пер. с англ. под ред. Н. А. Зенкевича. СПб: Экономическая школа, 2001. 424 с.

51. Шимельфениг О. В. Применение алгебры полирелятивов к теории игр. // Сиб. мат. журн., т. XII, №4, 1971. С. 855-879.

52. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. — 256 с. с илл.

53. Яновская Е. Б. Ситуации равновесия в играх с неархимедовыми полезностями. // Матем. модели в социальных науках. — Вильнюс, изд. ин-та физики и математики АН Лит. ССР. С. 98-118.

54. Яновская Е. Б. Ситуации равновесия в общих бескоалиционных играх и их смешанных расширениях. // Теоретико-игровые вопросы принятия решений. — Л.: Наука ЛО, 1978. С. 43-64.

55. Aumann R. J. Utility theory without the completeness axiom. — Economet-rica, 1962, v. 30, №3. P. 445-462.

56. Aumann R. J. Utility theory without the completeness axiom: a correction. Econometrica, 1964, v. 32, №1-2. P. 210-212.

57. Farquharson R. Sur une generalisation de la notion d!equilibrium. C.r. Acad. sci. Paris, 1955, 240, №1. P. 46-48.

58. Fishburn Peter C. The Theory of Social Choice. — Princeton University Press. 1973. 264 p.

59. Jentzsch G. Some thoughts on the theory of cooperative games. — Advances in game theory. Ann. Math. Studies, 1964, 52. P. 407-442.

60. Nash J. Non-cooperative games. Ann. of Math.,"54, 1951. P. 286-295.

61. Peleg B. The independence of Game theory of utility theory. Bull, of the Amer. Math. Soc. Vol. 72, №6, 1966. P. 995-999.

62. Rozen V. V. Cooperative games with ordered outcomes. // Game. Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the Third International Confcrcncc Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2009. P. 221-222.

63. Shapley L. S. Equilibrium points in games with vector payoffs. — Naval Res. Logist. Quart, 1959, v. 6, №1. P. 57-61.Список трудов

64. Савина Т. Ф. Ковариантпые и контравариантные гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 3. С. 66-70.с

65. Савина Т. Ф. Оптимальные решения в играх с отношениями предпочтения. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 2. С. 32-36.

66. Савина Т. Ф. Гомоморфизмы и конгруэнтности игр с транзитивной структурой предпочтений. // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф. Саратов, Россия, 1-4 июля 2009г. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 157-160.

67. Савина Т. Ф. Гомоморфизмы и конгруэнтности игр с отношениями предпочтения. // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 63-66.

68. Савина Т. Ф. Гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения. // Дискретная математика и ее приложения: материалы X Международного семинара, Москва, МГУ, 1-6 февр. 2010. — М.: Изд-во мех.-мат. фак. Моск. ун-та, 2010. С. 426-428.

69. Савина Т. Ф. Равновесные и допустимые исходы для коалиций в игре с отношениями предпочтения. // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. С. 74-78.