Граничное поведение полианалитических и полигармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Ra правах рухоанса

ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГОЛШШИТЙЧЕСШ И ГОШГАРНОНИЧЕСШ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - иатвкатнческий апалз

АВТОР ESEP AT

диссерташн па смсканяе ученой о те пеня кандидата физяхо-математических наук

'/ • - л

Москва - 1996

Работа выполнена в Сиодеаскои государственном педагогически «нетвтуте.

НАУЧНИЙ РУКОВОДИТЕ»:

кандидат фвэако-иатеватических наук,

доцент P.E. Крвстадввскня

НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ:

каидадат фвзвко-аатвиатическвх наук,

профессор N. Б. Балк

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТ«: . доктор физнко-иатеиатвческвх неук, профессор Е.А. Горин доктор фвзвко-иатеиатвчаских наук, профессор Г.Ц. Туиарквн

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ; Московски! государственна унаверсвтет вн. Н.Э. Ломоносова , иеханвко-иатеиатический факультет.

Заита состоится и. 03 1996 г. в 16 час. ва заседали

дюсертационного совета X 063. 68. 05 Московского госудярствеии института »дектреввкв в ватенатвкв по адресу: Москва, Б. Трех-святвтедьсиа вер., 3/12, ауд.

С двссерташеЯ кота о ознаквмвтьса в беблмтеке МГИЭИ.

Автореферат разослан äS,0:1 1996 г.

Учены! секретарь дас сер тацв о иного совета. Я{-Шурьев П.В. Шнурков К 063. 68. 05 НГИЭИ к. ф.-и. в., доцент

Подписано к печати 24.01,96 Зак.6 Объём I п.л. Тир.100,

МГИЭЛ, Москва, ГЛ.Пионерская ул., 12

ожая характеристика работы

Актуальность тонн. Исследование граничннх свояств ревений эллиптических систем (кратко - э.с.) является актуальны* направлением современного анализа. Как известно, если порядок дифференциального оператора вине первого, то для определения реве-ния соответствувией э.с. внутри области нужно знать граничные значения саков функции и определенного числа частных производных. Однако, представляет интерес и такая задача: при каких условиях функций, являоваяся решением э.с. высокого порядка, имеет угловые граничит значения, в каких ситуациях она однозначно определяется указанны«! значениями? В диссертации с этой точки зрения рассматривался классы поляаналнтяческнх и полигарионических функция.

Как известно функциями, долианалитичвскиыи порядка Ш в некоторой области О хоиолексиоя плоскости (£ , кратхо -

1У)-аналитическими, при т - 2 - бяаналнтическнии,- называется решения в этой области уравнения

дГ- *

где = - оператф Коки-Ринана. •

Соответственно, функциям, полагаржоничесииии порядка т ( сп-гармоническими) в области С| с называются, решения

уравнения:

Д^и-.о,

С Д - оператор Лапласа).

Каждая т-аналитическая в Р функция т-гарионична в О , в то же вреия любая вевюственнозначная т-гарноиичвекая функция (в иоскоЯ одявевязной области) представляет собоЯ вецественнув (или инииуо) чаегь нвкотфоя функции, т-аналитическая в той же области

I/ Бали И. Б. Полианалнтачеекие- функции я их обобцения// Итоги иауки и техники. Совр. щзобл. иатеи. вундаи. яаправл./ ВИНИТИ.-1990. -С. 187-24 б. '

2/ ВоСк А<.8. Ро^мя^Ис Тик-Поп. В««т,

Ака^ыв-И^М9"'

- k -

Изучение граничных свойств поляаыалитическш к полигармонических функций актуальна и в связи с суцествекнши приложениями. которые они находят в математической физике, в частности, в теории упругости. Хорошо известно , что Ангармоническому уравнение удовлетворяет компонент напряжения и смецения упругой деформации.

Цель работы. В диссертации исследуется граничное поведение полканалитическнх и аолнгарноначсских функция, а именно, такие их граничные свойства, которые могут быть описаны в терминах самой функции; ограничения, наложенные на частные производные, ооре делявтея только априорными оценками. В отой ситуации дано обобщение теоремы Фату и получен ряд теорем единственности.

Методика исследования. В работе используются методы комплексного анализа (гармоническая мера, лакунарнне ряды), методы «opai э.с. (априорные оценки), а такие специальные методы теории пола-аналитических функций (согласованные функции).

Научная новизна. В диссертации содержатся следуовие вовне результаты:

1. Построена функция, бнаналитнческая и ограниченная в круге, вещественная часть которой не имеет радиального оредела ни в одно я точке граничной окружности.

2. Для функций, поли гармонических и ограниченных в варе пространства Я" дано необходимое и достаточное условие существования угловых граничных значений на мнохестве положительной меры

(в форме ограничения иа производив b/bt ).

3. Л ля функций, полианалитическЕХ в областях с кусочно-аналитической гранте а получен ряд гр&нкчних тесрен единственности, х частности, установлена теорема типа леммы Кебе.

4. Обнаружено, что существует бесконечна гладкая кривая, обладавшая следуввдм' свойством: если функция ? , полианалиткческая (произвольно высокого порядка) в одностороннее окрестности как угодно малой ее поддуги, имеет на множестве положительной меры гтоа поддуги углевое граничное значение нуль, то 4 тождественно равна нуле. (Заметки, что каждая кривая, обладаоиая таким свойст-

л вон, не может содержать никакой аналитической поддуги.)

4 I/ Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -И. ¡Наука, 1977.-735с.

5. Построены такая область О с гладкой нигде не аналитической границей а такая функция , бианалитическая всиду в О и пе равная тоядественноиу нулл, что £ непрерывна з замкнутой области ¡55 и зсоду па границе области О обращается в нуль.

6. Обнаружено, что для лобоЯ функции}Х(1) , положительной, возраставшей и неограниченной при тМ , класс функция ШХе1*), бягармоннческих в единичном круге и растущих не быстрее /кг) , содержит функции, офащавциеся в нуль на бесконечном множестве замкнутых аналитических кривых и тождественно не равные пулл (как для случая изолированных кривых, так я для вложенных).

7. Для некоторых классов полигармонических функция найдены множества единственности, состоящие яэ конечного числа замкнутых алгебраических кривых, в частности показано, что если т-гармони-ческиЯ многочлен офащается в нуль на т различных эллипсах, то оя тождественно равен нулю.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при изучении граничных свойств различных классов функция, а гакяе в математической физике, при решения краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в МГУ им. м. В. Ломоносова на семинарах по граничным свойствам, предельным множествам и теории приближений, в МПГУ ик. В.И. Ленина . ка семинаре по функциональному анализу, в Смоленском педагогическом институте на секинаре по теории полианалитических функций.

Публика дик. По теме диссертации опубликовано 8 статей.

Структура и объем работы. Диссертация яздогеив на 91 страница, состоит из введения а трех глав, разбитых на 7 параграфов, и списка цитируемой лиература из 54 каикеновпкий.

СОДЕРНАНЙЕ РАБОТА -

Во введении приводится краткое изложение основных результатов.

В первой главе изучается граничные свойства полианалятических (п.а.) и полигармояичзских (п.г.) функций в областях с кусочно-аналитической границей.

В § I вклпчен ряд вспомогательных утверждений и оценок, существенно используемых в дальнейшем. В частности, здесь получена

оценка производных ревзнив э.с., обобцаоцая неравенства Нико-леску для производных п.г. функция.

Результаты § 2 можно рассматривать как обобщение на классы о, а. и п. г. функция известное теоремы Фату.

Теорема вату на указанные классы функций дословно не распространяется. Известно 2 , что существует функция, бнаналитв-ческая н ограниченная з круге в не икесцая почти нигде на граничной окружности углевых граничите значение. 5 связи с этим воз шпеавт следуете вопросы:

Обязана ли кахдая функция, п.г. (или п.а.) и ограниченная в круге, иметь радиальный среде л хотя бы в одной.точке грашгшпЕ окружности? При каких наиболее слабых дополнительных условиях указанная функция будет иметь угловые либо радиальные храничные значения на мноаестве положительное меры? В § 2 дается ответ ва эти вопросы:

1) Построена биапалнтжческая фунхцня, ограниченная в круге, у которой вецественная часть не имеет радиального предала ев в одной точке граничной окружности.

2) Установлено, что если Ос К- область с гладко! границе я Г ,

а | - функция, п.г. (или п.а.) в огражнчеиная в это» области, ?( из сувеетвованвя у функцик ^ на некоторой граничнои кноиестве £ предельных значения ао нормали к границе следует суцествование у $ почти верду на Е (относительно мери Лебзга ва Г ) а угло-вих граничных значения. (Откетим, что уие для бигармонмческих функций, в отличие от гарконвчвеких, утверждать существование углового предела верду на £ здесь нельзя.)

3) Доказано (теорема 2.3): для того, чтобы функция и(Х) , поли-гармонвческая и ограниченная в варе В={1Х1<1} пространства ¡К имела почтя всюду на грааачпон кноиестве Е углевые пределы, необходимо и достаточно, чтобы почта венду на Е функция Ц-1) Щ имела раднальныа предел нуль. (Отметим, что веобходимость указанного ограничения ва производную 1/И вытекает из априорных оценок производных а.г. функция.)

I/ //¿сс£е5си /Ч. ¿е5 {опс1соп$ роСуЫгтопсуиы.-¡кчН, 1Ж. 2/ Петров В. А. Аналоги теоремы Фату для полианалитических функция Изв. АН Арм. ССР. Мат.'-1967. *-2,1>4.-С.211-217.

\

В силу известного результата 1. Карлесона * функция ^ , ограниченная и дифференцируемая в круга K-fl^M} , будет иметь почти всвду на граничной окружности радиальные пределы, если для ев частных производных I. порядка опраладлива оценка Ottt-'tf*] при пекотфои jui , выполняоиаяся в К "в среднем". Из теоремы 2.3 следует, что в случав п. г. функций ограничения па указанные производные иогут быть ослаблены до oCfi-T)"1]. На класс двЭДз-ренцируеиых функций теорема 2.3 ие распространяется.

Для изложения результатов 5 3 напоинни понятие согласованной функции . Предварительно заметай, что если функция fiZ) m-аналитичиа в некоторой области D , то найдется (адннствешшЯ) набор из m аналитических в D функций .... fm-i(Z) (называемых аналитическими компонентами iiZ) ), таких, что:

Uv-lL

КЗО

Пусть D - иорданова область, Y - простая открытая аналитическая дуга, расположенная па ее границе. Тогда найдутся окрест-аость G хутп Г и функция A(Z) , аналитическая в С , такие, что в области G ннокество всех точек кривев У задается уравнением Z = А(2) - Аункцив Агн) називавт функцией Нварца ваалитс-ческой дуги Г . Цри stom ¿r(H)i

«•О ,

называется функцией, согласованно! ct(£l на У .

Если бы Т била расположена строго внутри О . то ir(Z) была той единственной аналитической функцией, которая совпадает с $11) ва ЧГ . В том случав, когда Г - граничная дуга, #г(2) отчасти "наследует" граничные свойства функции ?Г2) - Напомним следущие известные факты:

I) 3 Если frz) имеет в некоторой течке дуга У угловое граничное звачение, то4-,(г) обязательно имеет в этой а» течке такое же угловое граничное значение.

I/ Карлесон Л. йзфанные проблеии теории исключительных множеств.-

И. :Иир, 1971. -12бс., с. 62. 2/ См. сноски I/ я 2/ на с.З. * .

3/ Балк М. Б., Зуев 14.8. О полианалитнческих функциях// 7Ш. -1970.25, *5. -С. 203-226. Существенно более точный результат см. в Долженко Е.П. 0 граничной поведении компонент полианалитических функций// ДАН] -1994. -Т. 338,В>5. -С. 585-589.

2) Для пределов по "более редким" множествам (чем углы Штольца) аналогичное утверждение, в обвей случае, наверно. Существует 1 фунвзия, биавалитическая (и неограниченная) в круге, для которой ее радиальные граничные значения и радиальные граничные значения согласованной функции существует почти всюду и различается на гра алчное множестве волной веры (и, разумеется, I категории, в силу2 известной теореин Е. П. Долженко). Отметим, что в случае ограниченных п. а. функций, как следует из результатов § 2, такая ситуация уже невозможна.

3) 3 Каждое условие, обеспечивавшее обращение согласованной функции в тождественная нуль, ведет к факторизации , где А(г) - П. а. функция меньаего порядка, чем 4(2) , в некоторое одв&сторонией окрестности дуги г .

Это утверждение пезволявт строить 3 граничные теорзыы единственности для п.а. функций в областях с кусочно-аналитическое границей (Ери условии, что предельные значения п.а. н согласован-кой функции совпадают в подходящем синсле).

В § 3 рассматривается связь между предельными значениями п.а. и согласованной функция по ^редким множествам". Приведем некоторые результаты. Пусть, как и выше, О - жордвнова область комплексной плоскости ([ , К - ее граничная аналитическая дуга, Е - множество положительной меры на У . Тогда (теорема 3.1) существует семейство последовательностей (I) (где ^ - произвольная точка множества Е , все точки 2„ расположены на внутренней нормали к Г в точке I ),- обладающее следующим свойством:

если для функции {(2) , п. е. и ограниченной в области £) , почти всюду т Е существует предел (обозначим его

, г4 к-*со

у(1) ). то почти всюду на £ угловые граничные значения согласованной функции также совпадают с {(1) .

Откетиа, что последовательности "Нк могут стремиться к соответ-ствуюяжм точкви нножества Е как угодно медленно. Теорема 3.1 позволяет получить для п.а. функций некоторые граничные теоремы единственности.

В § 3 также устанавливается граничная теорема единственности несколько иного типа, которую можно расснащивать как аналог для

1/ Ба&к'М. Б., Васнлгнков В.П. О некоторых граничных теоремах единственности...// Полианалитические функции (Смоленск).-1988,с. П. 2/ См. Долженко Е. П. Граничные свойства произвольных функций. В книге: Колдингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. М, 1971. 3/ См. сноски I/ и 2/ на с. 3.

п.а. функция известной леммы Rede:

Пусть функция {(?) m-аналятична в круге K = [|':zl<il , причем l#Z)l=OC(i-IZlf\] при некотором s>o . Пусть о . г„ - последовательность дуг fae'"1,1пе ) , ln71 . Тогда если на последовательности Го выполнено условие \tl'Z)\-oC(l-l?.l)n'~i 1 , то функция тождественно равна нуле. В главе 2 изучается полианалитические функции в областях с иг аналитической границей. Ках известно, При исследования граничных саойств аналитических функций не яиеет принципиального значения, является ля граница аналитической, или se неанажнтической, ио достаточно гладкой. Оказывается, для п.а. функций порядка WÍ дело обстоят совериенно иначе.

Отмеченное различие особенно отчетливо проявляется при рассмотрение вопросов граничное единственности. Вблизи граничной аналитической дуги т-аналятические функции определяется с помовью

m независимых условий, заданных на зтоЯ дуге. (Такая ситуация стандартна для э.с. m-го порядка.) В случае границы, не содержа-щеЯ никакой аналитической дуги (кратко - нигде не аналитической), ситуация становятся значительно содержательнее.

В § Ч (тегрека 1.1) строится бесконечно гладкая фнвая Г , обладавшая следувцим свойством: каждая функция, полианалятическая произвольного порядка m вблизи как угодно малой ее поддуга и кнеоная на множестве положительной меры, принадлежали этой под-' дуге, угловое граничное значение нуль, должна быть тождественно равной нулю. Заметим, что кривая Г , обладающая таким свойствен, обязана бнть нигде не аналитической, более того, Г не может пересекаться ни с какой аналитической дугой 21 на множестве положительной меры (в противном случав бяаналитичесхая функция

A¡(Z) , где - функция Яварца дуги ft , сразу же давала

бн контрпример).

йожет создаться впечатление, что отмеченным свойством граничной единственности обладает все нигде не аналитические дуги. Однако, я это будет не так. В теореме 5.1 § 5 строится область D с гладкой нигде не аналитической границей, такая, что существует функция, бианалитическая в D , непрерывная_в замкнутой области О (более того, принадлежащая классу Цр4Г0) ).• обращавшаяся в нуль вевду на границе области D > во тождественно не равная нулв.

Сопоставим теорему 5.1 со следующим результатом 1 : Пусть В(2):Ч>(Г) + I- бианалвтическая функция в жорда-новой области С? , I существует такая с^ямляемая дуга Г

расположенная на границе Ск , что 6 «меет почти всюду на У угловой предел нуль, в выполняется следующее условие А):

А) в некотсрой точке ¿6 Т полное предельное множество отношения не совпадает с распнренной плоскостью.

. Тогда У обязательно содержит аналитическую поддугу. Из теореиы 5.1, в частности, следует, что в сформулированном яыше утверждении условие А) яе может быть отфовено.

В главе 3 рассматривается вопрос о строении нуль-множеств п. г. функций. Известно что функцжя, т-гармоническая в плоско! одно с вяз ней области в обращающаяся в нуль на щ различных окружностях, принадлежащих этой области, тождественно равна нулю. (Одну из окружностей можно заменить на замкнутую кривую, не содержащую никакой дуги остальных окружностей.)

Для т произвольных замкнутых аналитических кривых при т >1 аналогичное утверждение, в общем случае, не верно. Так, существу' ет функция, бигарконическая во всей плоскости, обращающаяся в вул] на бесконечней множестве вложенных замкнуть« аналитических кривых в не равная тождественному нулю. В § б рассматривается класс функций и(ге'*) . бигармовдческих в единичном круге. Здесь показывается, что среди функций этого класса, растущих медленнее любой наперед заданной функции/хес) , неограниченной при ш , наядутс; такие, квтерне обращаются в нуль на бесконечном множестве заишутих аналитических кривых я не равны тождественному нулю (независимо от того, изолированы эта кривые или же влеаены).

В 1994 г. У.К. Хейман поставил 3 вопрос, какие еще (кроме упомянутых выше) наборы из конечного числа замкнутых аналитических кривых являются множествами единственности для в. г. функций?

I/ Езлх И. Б., Зуев И.®. 0 строения граничных нуль-множеств биана-лятической функции// Полваналитическме функции (Смоленск). -1983.-С. 15-19.

2/ Наута« IV. К., КотепДОм.** В. Яерге$еп-£а.£ьоп агчЗ Циьуиеп<

Тйеоъст* 4ог Ро^Ьслтогис Э^ис^оги. АЫй.

3/ На^тап V/. К. А ии^игпесь рю(1<т {он Ро(у1\а**юЫс

Зшийощ. ис|иче Ш« ¿и НаШтьЬсх, р1е>£6ет В&окЗ, ¡кН] ¡ьрчСпЗе*- 1326.

В § 7 »тот но свое решаете* для некоторых классов в. г. функции. В частности, для многочленов п злу чей елвдупжий результат: есл« т-гармвническжа иногочлаи обрекается в нуль на т различных эллипсах, то он тождественно равен пули.

Автор выражает глуйакув благодарность К. Б. Балку ж Р.Е. Ври-оталжнсыму за помощь, оказаннув при работе над джссвртацяеВ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуоцих статьях:

2. Бали Л. Б., Иазалов N. Я. Об мной теореме единственности для аолвгврконических многочленов/ Дев. в ВИНИТИ 27.04.94, ►1039-В94. -9в.

2. Иазалов К. Я. Два квнтр пример а для бианалнтических функций в круге/ Дев. в ВИШИ 19.10. 93,>2614-893.-6с.

3. Иазалов И. Я. I вопросу • строении куль-множеств бигариеничес-ких фужкцив/ Два. » ВИШИ 17. II. 94,>2622^94.-170.

4. Иазалов И. Я. О граничном поведения полиаиалнгнческих функций вблизи нигде из аналитической «рямлявм&Я дуги/ Дев. в ВИНИТИ 17. II. 94,*2623-В94. -1бс.

5. Иазалов И. Я. О ввкотврюс граничных свойствах пелианаллтических я полигариояжчвсох фуякцкй/ Дев. в ВИНИТИ 17.II. 94,8»2б24-В94. -23с.

6. Иазалов И. Я. Об угловых я радиальных пределах некоторых эллиптических систем/ Деп. в ВИНИТИ 09.02. 95,ЮбО-В95.-22с,

7. Иазалов И. Я. Бескове?» гладкая кривая со свойством граничной единстветнсл во каждому своему юокзетву поло китель но я длины для полиаеалжтичесих функций/ Део. а ВИН ЯТИ 09.02.93, М61-В95. -8с.

8. М.В., МагаЬу Уа5$1*епкоу У.Р. Воипдачу рчоргНив ро^апа^Ис (апсЫопз опе апё ¡е\)еъа1 сопурРел тгЫЫ. Рюс. X* $иптег 5сЫ"{\ррксо.-