Граничные особые точки и граничная аппроксимация функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

В работе рассматриваются граничные свойства аналитических и гармонических функций.

Работа состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. содержащего об названий.

Во введении приводятся необходимые определения, кратко излагается история вопроса и формулируются основные результаты диссертации. В первой главе исследуются множества особых граничных точек функций — в основном, аналитических в единичном круге 1) . Во второй главе рассматривается вопрос о возможности поточечного приближения полиномами функций, определенных на окружности Г , и о равномерном приближении функций, непрерывных на единичной окружности (но не продолжающихся непрерывно внутрь I.) до аналитической функции в В), посредством граничных значений ограниченных аналитических функций в О .

Приведем основные определения, используемые в работе.

Пусть — функция, определенная в круге В ; Я- — замкнутый радиус круга В с концом в точке ( € Г . Радиальным пределом функции /(г) в точке С называется предел 1ш1г—10 /(?'С) ■ т.е. предел /(в С по радиусу . Если этот предел существует и конечен, то точка ( называется точкой радиальной непрерывности функции /(г) , в противном случае С называется точкой радиальной неопределенности.

Говорят, что функция ¡{г) имеет угловой предел в точке ( 6 Г , если она имеет угловой предел в ( по любому углу с вершиной в С , образованному парой хорд круга В . (Всюду в дальнейшем под углом будем понимать угол именно этого типа; очевидно, угловой предел функции / в точке ( 6 Г , если он существует, определен единственным образом.) Точки, в которых есть конечные угловые пределы, называются точками Фату.

Обозначим через E(f) множество всех точек окружности Г , в которых функция f(z) не имеет конечных угловых пределов, а через Ep(f) — множество всех точек, в которых нет конечных радиальных пределов. Множество всех точек Фату и всех точек радиальной непрерывности функции / обозначим, соответственно, через F(f) и

FÂf)

Пусть функция g(z) определена на некотором множестве Q комплексной плоскости и С — предельная точка Q. Предельным множеством функции g(z) в точке £ относительно Q называется множество всех частичных пределов g(z) в точке £ при стремлении 2 к £ по Q . Будем его обозначать Cq(J1 £) .

Точка С G Г называется GV'-особой точкой функции f(z) . z G D . если хотя бы по одному углу V с вершиной £ , образованному хордами круга D , предельное множество функции / в этой точке отличается от предельного множества относительно всего круга D : Су (/, С) Ф CD(f,Ç). Точка ( называется VV-особой точкой функции, если существуют два угла Тд и V2 с общей вершиной £ , по которым предельные множества различны: Суг (/, £) ф Су2 (/, Q .

Множество всех GV-особых и VF-особых точек функции / будем обозначать, соответственно, Egv{J) и Eyy(f) .

Точка £ G Г называется точкой Плеснера функции f(z) (z G D), если предельное множество по любому углу V с вершиной в £ совпадает с расширенной комплексной плоскостью: Cy(f, £) = С. Множество всех точек Плеснера функции / обозначим через 1(f) .

Пусть H00 — пространство функций, ограниченных и аналитических в D с нормой II/H = sup |/(2)| < 00 , и пусть L°°(r) — пространzeD ство функций, определенных и конечных почти всюду на Т , с нормой ll/lloo = sup vraizer 1/(^)1 < 00 .

Пространство всех непрерывных функций на Г с обычной супремум-нормой и его подпространство, состоящее из непрерывных функций, допускающих непрерывное и аналитическое продолжение с окружности Г внутрь круга D , будем обозначать, соответственно, С(Г) и Сд(Г).

По теореме Фату каждая функция / G H00 имеет почти в каждой точке С G Г конечный угловой предел /(£) • Обозначим через Н°°(Т) подпространство пространства ¿^(Г), состоящее из всех граничных функций /(() для функций / G Н°° .

Пусть / G Х°°(Г) . Функция g(z) = g(f, г) G Нх(Г) называется функцией наилучшего приближения для функции f(z) в классе Н°°(Г) , если для любой функции q{z) G H00(Г) будет

-р||оо < II/ - Ч\\оо •

В первой главе исследуются множества E(f), Ep(f), Eyy(f), /(/) для различных классов функций f(z) , определенных в круге D, а также аналогичные множества для функций /, определенных в го-мерном единичном шаре Вп С Rn (го > 2).

Случай функций, непрерывных в .D , был рассмотрен Хаусдорфом: фактически он показал, что множества Ep(f) и E(f) имеют тип G ¿а [35].

Обратно, Е.П.Долженко [26, Добавление переводчика] было показано, что для любого множества Е С Г типа G ¿а- можно построить непрерывную ограниченную в D функцию f(z) , не имеющую радиальных (а значит, и угловых) пределов на множестве Е и имеющую угловые (а значит, и радиальные) пределы в каждой точке множества Г\Е . Следовательно, для непрерывных в D функций, как класс всех множеств Ep(f ), так и класс всех множеств E(f) совпадает с классом всех множеств типа G ¿а на окружности Г .

В 1906 г. П.Фату [44] было доказано, что для ограниченных гармонических и ограниченных аналитических функций f(z) угловые пределы существуют почти в каждой точке ( G Г , и, следовательно, линейная мера Лебега множеств Ep(f) и E(f) равна нулю: mesE(f) = mes Ep(f) = 0 . Как следует из теоремы Линделефа [51], для случая ограниченной аналитической функции / из существования радиального предела следует существование и углового предела, так что в этом случае E(f) — Ep(f) .

Н.Н.Лузин ( 1919 г., [27]) показал, что для любого множества Е С Г , имеющего линейную меру нуль, существует аналитическая и ограниченная в D функция f(z) , для которой Е С E(f) .

Таким образом, множества Ep(f) и E( f ) для ограниченных гармонических и аналитических функций необходимо удовлетворяют двум условиям:

1) Ep(f) и E(f) имеют тип Göa ;

2) Ер(/) и Е(/) имеют нулевую линейную лебегову меру.

При этом второе условие является неулучшаемым.

Возник вопрос: будут ли эти два условия являться достаточными для того, чтобы множество Е С Г являлось множеством Ер([) или функций?

Вопрос о полной характеристике множеств угловой и радиальной неопределенности для гармонических ограниченных функций был решен 3.С.Загорским (1947 г., [11]). Им было показано, что для любого множества Е С Г, имеющего нулевую меру и тип , существует ограниченная гармоническая функция, не имеющая радиальных пределов на Е и имеющая угловые пределы в каждой точке множества

Множества Е(/) для ограниченных аналитических функций рассматривались А.Ловатером и Дж.Пираняном, (1957 г., [52]). Ими было показано, что любое множество Е С Г , имеющее линейную меру нуль и тип , совпадает с множеством Е(/) для некоторой аналитической и ограниченной функции / . Будет ли это верно для любого

E(f) для ограниченных гармонических и ограниченных аналитических

Г \Е . множества типа Gsa меры нуль, оставалось невыясненным. Эта задача полностью решается в теореме 1.3 гл.1 настоящей работы.

Для произвольных (необязательно ограниченных) аналитических функций / рассматривались множества радиальной непрерывности Fp(f ) = T\Ep(f) . Из сказанного выше о типе множества Ep(f) следует, что для любой непрерывной в D функции f(z) множество Fp(f) имеет тип Faè .

Ф.Герцогом и Дж.Пираняном (1954 г., [47]) было показано, что всякое множество типа Fa на окружности Г является множеством всех точек радиальной непрерывности для некоторой функции, аналитической в круге D . Там же ими был построен пример функции f(z), аналитической в D, для которой множество E(f) не является множеством типа Fa. Полностью задача о характеризации множеств Fp(f), в случае произвольных аналитических функций /. решается в теореме 1.4, гл. 1, настоящей работы.

Коллингвуд (1957 г., [48]) показал, что для мероморфных в D функций / множества Eqv{S) и Eyv(f) являются множествами первой категории на окружности Г . В 1959 г. [7] Е.П.Долженко было показано, что это имеет место и для произвольных функций в единичном круге, не обязательно аналитических или непрерывных. Немногим позже, в 1960 г., П.Эрдеш и Дж.Пиранян [43] показали, что для любого множества Е С Г первой категории на Г существует такая аналитическая функция /, для которой каждая точка множества Е является (?У-особой точкой: Е С Ecv(f) • Окончательный результат для множеств Eov(f) был получен Е.П.Долженко в 1964 г., [8]. Им было показано, что класс множеств Eov(f) Для произвольных (необязательно измеримых и даже необязательно однозначных) функций совпадает с классом таких множеств для ограниченных аналитических функций и совпадает с классом множеств Е С Г одновременно первой категории и типа Fa на Г . Таким образом, полная характеристика множеств Есу{1) — даже для ограниченных аналитических функций — является число топологической. Также в [8] было показано, что и для отображений / п-мерных областей £ с гладкой границей дС в заданное произвольное банахово пространство класс всех множеств Есу{[) совпадает с классом всех множеств одновременно первой категории и типа Еа на дСг .

Множества Еуу(/) имеют не только топологические свойства, но и следующее, введенное Е.П. Долженко, метрическое свойство <т-пористости.

Пусть ( — точка множества Е С Г ; г(е) — длина наибольшей открытой дуги окружности Г , лежащей в с-окрестности точки ( и не имеющей общих точек с Е . Точка ( называется точкой пористости множества Е, если отношение не стремится к нулю при г —> 0 . Множество, каждая точка которого является точкой пористости, называется пористым; сг-пористым называется множество, представимое в виде объединения не более чем счетного числа пористых множеств. Очевидно, всякое сг-пористое множество является множеством первой категории и, по теореме Лебега о точках плотности, имеет линейную лебегову меру нуль.

Е.П.Долженко [8, 9] было установлено, что для любой, (возможно неоднозначной и принимающей бесконечные значения) функции /(г) множество Еуу(1) является сг-пористым множеством типа на Г , в частности, множеством первой категории на Г и меры нуль. Кроме того, им было показано, что для любого сг-пористого множества Е С Г существует ограниченная аналитическая функция /(¿г) , г 6 I) , для которой Е С Еуу(/) , а если при этом Е имеет тип Еа , то найдется такая ограниченная аналитическая функция /, что Е — Еуу(/) . В [9] этот результат также распространен на случай отображений п-мерных областей с гладкой границей в произвольное сепарабельное метрическое пространство.

В § 5, гл.1 диссертации дается полная характеристика множеств Еуу(Л для произвольных функций, а также для ограниченных аналитических функций / . Ю.А. Шевченко ([36], [37]) обобщил этот результат на случай отображений полупространства пространства Яп , (п > 3). в произвольное локально компактное метрическое пространство со счетной базой.

Относительно множеств /(/) И.И. Плеснером [54] было показано, что для любой мероморфной в В функции / почти каждая точка окружности Г является или точкой Фату, или точкой Плеснера. Таким образом, окружность Г представляется в виде объединения множества Плеснера /(/), множества Фату и некоторого исключительного множества £/"(/), линейной меры нуль.

В 1970 г. П.Лаппаном [49] было доказано, что для мероморфных в И функций / множество Плеснера имеет тип Сё ; отсюда, в частности, следует, что для мероморфных функций / множество £/(/) имеет тип Сёсг • Кроме того, им было доказано, что для любого множества Е С Г типа С,5 существует голоморфная функция /(2) , для которой Е = /(/). В этом примере Лаппана точки множества Г \ /(/), вообще говоря, могут быть как точками Фату, так и точками из £/(/). В.И. Гавриловны и А.Н. Канатниковым в 1977 г. [3] было показано, что существует такая мероморфная в В функция / , что Е = /(/) и Г\Е = Е(/) .

Вопрос о полной совместной характеристике всех трех множеств /(/), рассматривался А.Н.Канатниковым. Им было показано [13], что для любых трех попарно непересекающихся множеств Е1, Е2, и Е3, Ц=1 Ег — Г, таких, что Е\ имеет тип а Е3 — тип Еа и линейную меру нуль, существует такая мероморфная в круге В функция /, что Е\ ■= /(/), Е2 = и Е3 = £/(/). При этом для доказательства им применялся приведенный выше результат Ловатера и Пираняна о множествах Е(/) для ограниченных аналитических функций.

Ниже, в § 4 главы 1, дается полная совместная дескриптивно-метрическая характеристика множеств /(/) , и £/(/) (теорема

1.5).

Во второй главе рассматривается поточечное и равномерное приближение функций на окружности Г .

М.В. Келдышем (1935, [16] ) рассматривался вопрос о поточечном приближении функций, определенных на Г, посредством равномерно ограниченных последовательностей полиномов от г , возникший, по-видимому, в связи с более общей задачей о поточечном приближении функций полиномами в произвольной области.

Если функция /(¿) , 2 Е Г , является поточечным пределом последовательности полиномов Рп(г), равномерно ограниченной на Г (|Р„(2)| < А', Ус Е Г , Уд =1,2,.), то легко доказывается, что /(г) должна удовлетворять следующим трем условиям:

1) функция /(г) ограничена: |/(г)| < К.

2) функция /(¿) не выше первого1 класса Бэра на Г ,

3) функция /(г) почти всюду на Г равна угловым граничным значениям некоторой ограниченной аналитической в И функции.

М.В.Келдышем было доказано, что если функция /(г), г Е Г, удовлетворяет условиям 1) — 3) и, кроме того, множество ее точек разрыва имеет лебегову меру нуль, то существует равномерно ограниченная последовательность полиномов, сходящаяся к /(г) в каждой точке окружности Г. В этой же работе было отмечено, что для существования такой последовательности полиномов последнее условие не является необходимыми.

С.Н.Мергеляном и А.А.Талаляном (1961 г., [30]) были сделаны до

1 Непрерывные функции составляют нулевой класс. Первый класс Бэра составляют функции, представляющиеся в виде поточечного предела последовательности непрерывных функций и не являющиеся непрерывными. полнения к теореме М.В.Келдыша. Они доказали, что всякая функция первого класса Бэра, равная нулю почти всюду на Г, является пределом равномерно ограниченной последовательности полиномов. Ими также было приведено следствие из этого утверждения и теоремы Келдыша: если ограниченную функцию первого класса Бэра, удовлетворяющую условиям 1) — 3), можно изменить на множестве меры нуль так, чтобы она стала ограниченной функцией не выше первого класса Бэра и почти всюду непрерывной на Г, то она является поточечным пределом равномерно ограниченной последовательности полиномов.

В § 1 гл. 2 доказывается, что дополнительное условие на множество точек разрыва в теореме Келдыша излишне, т.е. условия 1) — 3) являются как необходимыми, так и достаточными для существования равномерно ограниченной последовательности полиномов, сходящейся к ¡(г) поточечно.

Хорошо известно, что не всякая функция /(г) , непрерывная на Г , допускает на Г сколь угодно точное равномерное приближение алгебраическими полиномами. Для существования последовательности полиномов Рп{^) , равномерно сходящейся на Г к функции /(г), необходимо и достаточно, чтобы функция /(г) непрерывным образом продолжалась с Г внутрь И до функции, аналитической в И . В силу теоремы Рунге, возможность равномерного приближения непрерывной функции полиномами на Г равносильна возможности ее равномерного приближения функциями из пространства С'д(Г). Это также равносильно возможности равномерного приближения функциями из Н°°(Г).

Если функция /(;?) не продолжается в круг В аналитически, то величина

Р = ЫдесА(Г) II/ - я\\оо = ^деН^(Т) ||/ - <?Цоо положительна и существует функция д Е Н°°(Г) (функция наилучшего приближения функции / из класса Н°°(Г)) для которой — Р||оо = Р

Такая функция g единственна [33] (см. также [1] и [4]), но может не являться функцией из Сд(Г). В этом случае в пространстве Сд(Г) у функции f(z) нет функции наилучшего приближения.

Более общий случай, связанный с приложениями, рассматривался в ряде работ (см. напр. [4-5], [46]) Д.Е.Маршалла, Дж.У.Хелтона, О.Мерино и др.

Именно, пусть Н^? и HPN, р > О, — пространство векторнозначных функций и, каждая координата которых является функцией из или. соответственно, из Нр; G(Ç} w) — некоторая действительнозначная функция переменных С G Г, го G CN. Ищется функция и* из Н^? или Н%, на которой достигается минимум величины задача ОРТ1).

Для этой, более общей задачи, также исследовались вопросы существования, единственности и непрерывности экстремальной функции ■и* (см. [45]).

Вопрос о непрерывности функции наилучшего приближения из Н°°(Т), т.е. о ее принадлежности к Сд(Г), изучался Л.Карлесоном и С.Якобсом (1972 г., [42]). Ими было показано, что если функция /(¿) непрерывна по Дини, т.е., если ее модуль непрерывности со¡(6) удовлетворяет условию то д(г) будет непрерывна. Ими также было показано, что для любой функции и(8) типа модуля непрерывности, для которой

Ш, 40)11 оо задача ОРТ00) или величины существует такая непрерывная на Г функция что ее модуль непрерывности удовлетворяет неравенству '^/(6) < cj(<5), в то время как функция наилучшего приближения g(z) разрывна.

Кроме этого результата Карлесона и Якобса известно, что для функций f{elß). имеющих абсолютно сходящиеся ряды Фурье, указанные функции наилучшего приближения также имеют абсолютно сходящиеся ряды Фурье и, следовательно, непрерывны. Это следует из результатов, посвященных изучению спектра операторов Ганкеля (см. [1]).

В теореме 2.3 гл.2 дается достаточное условие непрерывности функции наилучшего приближения из класса Н°°{Т). формулируемое в терминах модулей непрерывности Uf{6) и ojj{6) , соответственно, функции / и ее гармонически сопряженной функции / .

Приведем более подробное описание основных результатов по главам.

В § 1, гл.1 рассматривается случай функций, ограниченных и гармонических в единичном шаре Вп n-мерного пространства Rn , п > 2 .

Пусть f(x) — функция, определенная в Вп , Sn — дВп . Будем говорить. что функция / имеет некасательный предел в некоторой точке £ G Sn , если она стремится к некоторому пределу /(£) при стремлении X к £ по любому фиксированному открытому полномерному конусу с вершиной в точке £ , с осью, совпадающей с радиусом шара Вп , и углом при вершине, меньшем тг . Множество всех точек сферы Sn , в которых нет конечных некасательных пределов функции / , по-прежнему обозначим E(f) .

Как уже говорилось выше, 3.С.Загорским было показано, что условия (*) являются не только необходимыми для того, чтобы множество Е Е Г было множеством Ep(f) или E(f) для некоторой функции / , ограниченной и гармонической в D, но и достаточными. Этот результат был получен как следствие из доказанной им теоремы о множествах точек, в которых нет пределов параметрических сингулярных интегралов определенного вида.

В § 1 эта теорема Загорского обобщается на случай функций, гармонических в п-мерном шаре Вп (п > 3).

В § 2 дается полная характеристика множеств Е(/) для ограниченных аналитических функций в круге И (теорема 1.3). Именно, доказывается, что так же, как и в случае ограниченных гармонических функций, характеристическим свойством множеств Е{$) является его мера нуль и тип . Хотя эта теорема формулируется так же. как для случая гармонических функций /, однако ее доказательство является с}'"щественно более трудным, поскольку требуется следить за поведением сразу двух гармонически сопряженных функций. Она требует серьезных вспомогательных результатов, касающихся граничного поведения интегралов Шварца от характеристических функций, специальным образом строящихся открытых множеств (лемма 1.3) и существования некоторых функций со специальными свойствами (лемма 1.4). Перед основным результатом доказывается следуюгцяя

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть множество Е С Г имеет тип С,5 на Г и нулевую линейную меру. Тогда существует функция '/(г) , аналитическая в В, с 11е /(г) > 0, имеющая конечные угловые пределы в точках ( £ Г \ Е и имеющая бесконечные угловые пределы в точках множества Е .

Эта теорема имеет и самостоятельный интерес. Р.Берманом ([38] — [40]) рассматривался вопрос об обращении теоремы единственности Лузина-Привалова. В частности, в [39] им было показано, что для любого множества Е С Г типа и нулевой меры существует не равная тождественно нулю ограниченная аналитическая в И функция д{г), модуль которой имеет угловые пределы в каждой точке окружности Г и которая имеет на Е угловые пределы, равные нулю.

Им ставился вопрос: можно ли найти ненулевую ограниченную и аналитическую в Б функцию д, которая сама имеет в каждой точке окружности Г угловые пределы, равные нулю на Е? Поскольку функция 1/(/(г) + 1) обладает нужным свойством, теорема 1.2 отвечает на этот вопрос.

Отметим, что в 1985 г. Лаппан и Вонг [50] опубликовали теорему, которая дает положительный ответ на вопрос Бермана, однако доказательство их теоремы содержит неустранимую ошибку (к их рассуждениям можно построить контрпримеры).

В работе [40] Берман, используя этот результат Лаппана и Вонга, получает полную характеристику множеств Е С Г1, для каждого из которых существует аналитическая в И функция /, имеющая радиальные пределы всюду на Г , равные нулю на Е и отличные от нуля на Г \ Е. Таким образом, теорема 1.2 спасает результат из [40].

Описание множеств Е(/) и Ер(/) для произвольных аналитических функций / тесно связано с описанием этих множеств для ограниченных аналитических функций /. В случае неограниченных аналитических функций множества Е(/) и Ер{{) уже, вообще говоря, не совпадают.

Используя теорему 1.3, гл. 1, можно получить полную характеристику этих множеств. При этом, для удобства формулировки, в § 3 вместо множеств Ер{/) характеризуются множества -¿?р(/) — Г\ЕР(/) .

ТЕОРЕМА 1.4. Для того, чтобы множество Е С Г совпадало с множеством ^р(/) для некоторой функции /, аналитической в круге Б , необходимо и достаточно, чтобы Е было множеством типа Еа$ на окружности Г, удовлетворяющим следующему условию: для любой дуги 7 С Г либо Е является множеством первой категории-на 7, либо 7 содержит такую дугу 7что множество 7 '\Е имеет нулевую линейную меру Лебега.

Полная характеристика множеств ЕЦ) для произвольных аналитических в В функций получается в § 4 как простое следствие приводимой там следующей полной совместной характеристики множеств /(/) , , Е(/) (ср. с приведенной выше соответствующей теоремой А.Н.Канатникова).

ТЕОРЕМА 1.5. Для того, чтобы три попарно непересекающихся множества Е-2 и 1^=1 ^г ~ Г, были, соответственно, множествами /(/), и и(/) для некоторой голоморфной в В функции / , необходимо и достаточно, чтобы Е\ имело тип <3^, а имело тип Си линейную меру нуль.

Полная характеристика множеств Еуу(1) Для произвольных, а также для ограниченных аналитических функций /, дается в § 5.

Пусть Е — некоторое множество на окружности Г. Обозначим через р(Е) множество всех точек пористости множества Е , не являющихся изолированными точками этого множества.

ТЕОРЕМА 1.6. Семейство всех УУ-особых множеств для произвольных функций /(¿), определенных в круге В, совпадает с семейством всех УУ-особых множеств для функций, ограниченных и аналитических в В, и совпадает с семейством множеств, представимых в виде объединения

Е = и^МЕп), где Еп — некоторая последовательность замкнутых множеств на Г .

В § 6 рассматриваются множества Е([) для однолистных аналитических функций.

А.Берлинг (1940 г., [41]) доказал, что если функция / однолистна в круге В , то множество Е(/) имеет нулевую логарифмическую емкость: СарЕ{/) = 0. (Говорят, что множество Е имеет нулевую логарифмическую емкость, СарЕ = 0, если для любой положительной борелевской меры сосредоточенной на Е, ее логарифмический потенциал

In dfi(Ç) неограничен сверху на комплексной плоскости.) Так как всякое множество нулевой логарифмической емкости имеет и нулевую хаусдор-фову а-меру mesаЕ любого порядка а > 0, то множества E(f) для однолистных функций / имеют существенно более "тонкую" метрическую природу, чем для ограниченных аналитических функций / (для которых mes1 E(f) = 0 , и, как отмечалось выше, любое множество Е С Г с mes1 Е = 0 включается в E(f) для некоторой ограниченной аналитической функции /).

В § 6 доказывается, что для любого множества Е С Г нулевой логарифмической емкости и типа С$ существует однолистная в В функция /(~) , такая, что Е — Е(/) (теорема 1.8). Таким образом, остается "'зазор'1 между необходимым условием "£'(/) £ и СарЕ(/) — О" и достаточным условием "£(/) Е и СарЕ(/) = 0" для функций /, однолистных в В.

Вторая глава посвящена равномерному и поточечному приближению функций на единичной окружности.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть функция /(2) определена на окружности Г. Для того, чтобы функция /(2) была поточечным пределом некоторой равномерно ограниченной на Г последовательности полиномов, необходимо и достаточно, чтобы /(г) удовлетворяла следующим трем условиям:

1) функция ¡(г) ограничена,

2) функция f(z) не выше первого класса Бэра на Г,

3) функция /(г) почти всюду на Г совпадает с угловыми граничными значениями некоторой ограниченной и аналитической в круге В функции.

Этот результат был обобщен А.А.Даниэляном (1986 г. [6]) на случай границ компактов со связным дополнением на комплексной плоскости.

В § 2 гл. 2 рассматривается задача Л.Карлесона и С.Якобса об условиях граничной непрерывности функции g(z) = g(z, /) — наилучшего равномерного приближения непрерывной на Г функции f(z) .

В доказательстве теоремы Карлесона и Якобса ими использовался тот факт, что у функции, непрерывной по Дини, сопряженная функция также непрерывна. Поэтому возникла гипотеза о том, что функция g(z) будет непрерывна, если непрерывны функция / и гармонически сопряженная к ней функция / (см. Дж.Гарнет, [4], гл.4, стр.178). Эта гипотеза оказалась неверной. Именно, в 1988 г. автором был построен пример функции, непрерывной на окружности Г и имеющей непрерывную сопряженную функцию / , у которой функция наилучшего приближения является разрывной [20, 21]. Существенно более простой пример был дан в том же 1988 г. М.Пападимитракисом, [53], который кроме того доказал, что если функция f(z) принадлежит к Са(Г') и ее модуль непрерывности Uf удовлетворяет условию то функция наилучшего приближения д(г) непрерывна. В § 2 гл. 2 доказывается

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть функция /(г) и гармонически сопряженная к ней функция ¡(г) непрерывны на окружности Г и и ш^{8) — их модули непрерывности, соответственно. Тогда, если

- 18 то функция наилучшего приближения для / из класса Л"00 (Г) непре рывна на Г .

Как следствие из этой теоремы получается результат Папади-митракиса.

1. Адамян В.М., Аров Д.З., Крейн М.Г. О бесконечных Ганкелевых матрицах и обобщенных задачах Каратеодори-Фейера и Ф.Рисса// Функц. анализ и прил. - 1968. - Т. 2. - В. 1. - С. 1 — 19.

2. Бари Н. К., Тригонометрические ряды. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.

3. Гаврилов В.И., Канатников А.Н.// Характеристика множеств М(/) для мероморфных функций// 1977. - Т. 232. - №. 6. - С. 1237 —1240.

4. Гарнетт Дж., Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

5. Голузин Г.М., Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

6. Даниелян A.A. О представлении функций последовательностями равномерно ограниченных полиномов на компактных множествах комплексной плоскости// Известия АН Арм.ССР 1986. - XXI. -Ж 4. 345 — 357.

7. Долженко Е.П. О граничных теоремах единственности и поведении аналитических функций вблизи границы// ДАН СССР 1959. - Т. 129. -Ш. - С. 23 — 26.

8. Долженко Е.П. Граничные свойства аналитических и гармонических функций// Диссертация. М. МГУ. - 1964.

9. Долженко Е.П. Граничные свойства произвольных функций// ИАН СССР, сер. матем. 1967. - Т. 31. - С. 3 — 14.

10. Загорский З.С. О множестве точек недифференцирУеМОС™ рывной функции// Матем. сб. 1941. - Т. 9(51)508.j j • ^tfpnce de certaines

11. Загорский З.С. Sur les ensembles des points de divers y ig p. intégrales singulières// Ann. Soc. Polon. Math. l^47489 — 508.

12. Иосида К. Функциональный анализ. M.: Мир, I963

13. Канатников А.Н. Обращение теоремы Мейера ^^^^^ функций// ДАН СССР. 1978,. - Т. 238. - №. 5- - С.

14. Канатников А.Н., Хасан А.А.-Р. Обращение теоремы Мейера для произвольных направлений// Вестник Моск. университ матем., мех. 1984. - Т. 5. - С. 38 — 41.Т;г ттючительных мно

15. Карлес^н Л. Избранные проблемы теории искл жеств М.: Мир. - 1971.U ri ans leur ensemble//

16. Келдыш M.В. Sur les suites de polynomes bornas clansМатем. сб. 1935. - T. 42 (84). - №. 6. - C.719 ^ 724.-v Я-FTЯ литических функ

17. Колесников C.B. Об особых граничных точкам аналшоп т 98 N° - с. 809 о2и. Дай// Матем. заметки - 198U. - 1

18. Колесников C.B. О некоторых граничных свойствах функций// М. МГУ. Канд. диссертация. -68 с.

19. Колесников C.B. Об одной теореме м.в.К^лдыша, ка—:йен поточечной сходимости последовательности ^полиномов/,/- 1984. Т. 124 (166). - №. 4(8). - С. 568 —

20. Колесников C.B. К вопросу о непрерывности функции наилучшего приближения из класса для функций непрерывных на окружности// Алгебраические системы, Межвузовский сборник науч. тр. Иваново, Ив.ГУ, - 1991. - С. 125 — 134.

21. Колесников C.B. О множествах несуществования радиальных пределов ограниченных аналитических функций// Матем. Сб. 1994. -Т. 185. - С. 91 — 100.

22. Колесников C.B. On a problem of L.Carleson and S.Jacobs concerning the continuity of the function of best approximation from the class H°°// East J. on Approximation 1996. - V. 2. - N. 1. - P. 71 — 87.

23. Колесников C.B. О множествах точек радиальной непрерывности аналитических функций// Analysis Math. 1997. - Т.23. - С. 13 — 23.

24. Колесников C.B. Некоторые замечания о граничных особых множествах аналитических функций// Матем. заметки 1998. - Т.61, В.1 С. 56 — 61.

25. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств М.: Мир. - 1971.

26. Лузин H.H. Sur la representation conforme// Изв. Иваново-Вознес. политехи, ин-та. 1919. - Т. 2. - С. 77 — 80.

27. Мергелян С.Н. О некоторых классах множеств и их приложениях// сб. Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, СО АН СССР, - 1961, С. 133 — 172.

28. Мергелян С.H., Даниелян A.A. О последовательностях полиномов, сходящихся на множествах типа Fa/ / ДАН Арм.ССР 1988. - LXXXVI. - №. 2. - С. 54 — 57.

29. Мергелян С.Н., Талалян A.A. Об одном классе точечно-разрывных функций// ДАН Арм.ССР 1961. - XXXII. - №. 4. - С. 183 — 187.

30. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М. Наука, Издание третье, 1974. - 480 с.

31. Федоров B.C. О производной комплексной функции// ДАН СССР -1948. Т. 63. - С. 34 — 36.

32. Хавинсон С.Я. О некоторых экстремальных задачах теории аналитических функций// Ученые записки МГУ, Матем. 1951. - Т. 148. -Ж 4. - С. 133 — 149.

33. Хавинсон С.Я. Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области// Успехи матем наук 1963,. - Т. 18. -№. 2. - С. 28 — 98.

34. Хаусдорф Ф. Теория множеств, M.-JL, 1934.

35. Шевченко Ю.А. О граничном поведении произвольных функций в полупространстве// Матем. заметки. 1989. - Т. 46. - №. 5. - С. 80 — 88.

36. Шевченко Ю.А. Граничные свойства многомерных отображений// Диссертация, МГУ, М., 1991. 76 с.

37. Berman R.D. A converse to the Luziii-Privalov radial uniqueness theorem// Proc. Amer. Math. Soc. 1983. - V. 87. - P. 103 — 106.

38. Berman R.D. A note on the Lusin-Privalov radial uniqueness theorem and its converse// Proc. Amer. Math. Soc. 1984. - V. 92. - N. 1. -P. 64 — 71.

39. Berman R.D. Some results concerning the boundary zero sets of general analytic function// Trans. Amer. Math. Soc. 1986. - V.293. - N. 2. - P. 827 — 836.

40. Beurling A. Ensembles exceptionnels// Acta Math. 1940. - V. 72., -P. 1 — 13.

41. Carleson L., Jacobs S. Best approximation by analytic functions// Arkiv Math. 1972. - V. 10. - P. 219 — 229.

42. Erdos P., Piranian G. Restricted cluster sets// Math. Nachr. 1960. -V. 22. - P.155 — 158.

43. Fatou P. Series trigonometriques et series de Teylor// Acta.Math. -1906. -V. 30.,-P. 335 — 400.

44. Helton J.W. Marshall D., Frequency domain design and analytic selections// Indiana Univ. Math. J. 1990 . -V. 39. - N. 3. - P. 157 — 184.

45. Helton J.W. Merino O., Walker T.E., Algorithms for optimizing over analytic functions// Indiana Univ. Math. J. 1993. - V. 43. - N. 3,. -P. 839 — 874.

46. Herzog F., Piranian G. Sets of radial continuity of analytic function// Pacif. J. Math. 1954. - V.4. - N.2. - P. 533 — 538.

47. Kollingwood E.F. On sets of maximum indertermination of analytic functions// Math. Z. 1957. - V. 67. - P. 377 — 396.

48. Lappan P. A characterization of Plessner points// Bull. London Math. Soc. 1970. - V. 2. - P. 60 — 62.

49. Lappan P., Hwang J.S. On a problem of Berman concerning radial limits// Proc. Amer. Math. Soc. 1985. - V.95. - N. 1. - P. 155 — 156.- 135

50. Lindelöf E. Sur un principe général de l'analyse et ses applications à la théorie de la représentation conforme// Acta soc. sei. Fenn. 1915. -V. 46. - N. 4. - P. 1 — 35.

51. Lohwater A.J., Piranian G. The boundary behavior of function analitic in a disk// Acad. Sei. Fen., Ser. Al. 1957. - V. 239. - P. 1 — 17.

52. Papadimitrakis M. Best uniform approximation by bounded analitic functions// Proc. Amer. Math. Soc. 1988. - V. 103. - N. 3. -P. 882 — 886.

53. Plessner A. Uber das Verhalten analytischer Functionen am Rande ihres Definitionsbereichs// J. Reine Angew. Math. 1927. - V. 158. - P. 219 — 227.

54. Poreda S.I. A characterization of badly approximable function// Trans. Amer. Math. Soc. 1982. - V. 169. - P. 249 — 256.

55. Zeleny M. On singular boundary points of complex functions// Mathe-matika, 1998. - V. 45. - N. 1. P. - 119 — 133.